22.1.4二次函数的图像和性质新
新人教版九年级上册数学22.1.4《二次函数的图象和性质(1)》教案
22.1.4二次函数y = ax2+ bx+ c的图象与性质第一课时一、教学目标（一）学习目标1. 会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象.2. 会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性及最大或最小值.3•经历探索二次函数y = ax2+ bx + c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y= ax2+ bx+ c的性质.4.能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想.（二）学习重点用描点法画出二次函数y= ax2+ bx+ c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标及其性质。
（三）学习难点理解二次函数y = ax2+ bx + c（a^0）的图象和性质，会利用二次函数的图象性质解决简单的实际问题.二、教学设计（一）课前设计11•预习任务(1) 二次函数y=a(x-h)1 2+k 的顶点坐标是(hk)，对称轴 是x=h ,当a>0时，开口 向上，此时二次函数有最小值，当 x >h 时，y 随X 的增大而增大，当x <h 时， y 随x 的增大而减小；当a<0时，开口向下，此时二次函数有最大值，当 x <h时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小.(2) 用配方法将y=ax 2+bx+c 化成y=a(x-h)2+k 的形式为 2值，当a>0时，函数y 有最小值，当a<0时，函数y 有最大值. 2.预习自测(1)抛物线y = 2x 2 — 2x -1的开口 __________ ，对称轴是 _________ 【知识点】二次函数的性质.【解题过程】解：抛物线y = 2x 2 — 2x — 1，v 2>0,二开口向上，对称轴为:b -21 — — — ・2a 2 22【思路点拨】掌握二次函数的性质，正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键. 【答案】向上，x =丄2(2)抛物线y = x 2 — 2x + 2的顶点坐标是 _________. 【知识点】二次函数的性质.【解题过程】解：将y = x 2— 2x + 2配方得y=(x-1)2，1，顶点坐标是(1，1) 【思路点拨】将抛物线的一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特” 2 2b j 4ac —b 2 y = a lxV 2a 丿 4a4ac * .则二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是(-—, 2a4a 2a则h=-A，k=4ac_b )，对称轴是x=-—，当x=-A时，二次函数y=ax2+bx+c有最大(最小) 4a 2a2a点，直接写出顶点坐标.【答案】（1,1）（3）________________________________ 二次函数y = -x2+ 2x+ 1的最是.2【知识点】二次函数的最值.【解题过程】解：将y =丄x2+ 2x+ 1配方得y J（x，2）2_1 , v ->0,.••其最2 2 2小值是-1.【思路点拨】把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值.【答案】小，-1（4）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①4ac v b2;②a+c>b;③2a+b> 0.其中正确的有（）A.①② B .①③ C.②③ D .①②③【知识点】二次函数图象与系数的关系.【思路点拨】根据抛物线与x轴有两个交点即可判断①正确，根据x=- 1,y v0, 即可判断②错误，根据对称轴x> 1,即可判断③正确，由此可以作出判断.【解题过程】解：v抛物线与x轴有两个交点，•••△ > 0,b2- 4ac> 0,••• 4ac v b2，故①正确，v x= - 1 时，y v 0,••• a- b+c v0,• a+c v b,故②错误,•••对称轴x> 1, a v 0,• - b v 2a,• 2a+b> 0,故③正确.故选B.【答案】B(二) 课堂设计i. 知识回顾(1)二次函数y = a(x -h)2• k(a严0)的图象性质:(h)左加右减，(k)上加下减2•问题探究探究一从旧知识过渡到新知识•活动①复习配方2 2 2 2填空.(1)x +4x+9=(x+ ) + .(2)X 一5x + 8 = (x- ) +生答：(1) 2, 5; (2)-,-2 4总结规律：当二次项的系数为1时，常数项须配一次项系数一半的平方.【设计意图】复习配方，为新课作准备•活动②以旧引新1. 二次函数y = a(x—h)2+ k的图象，可以由函数y= ax2的图象先向 ________ 平移 ________单位，再向___________ 移__________ 单位得到.生答：左或右，|h，上或下，|k2. 二次函数y = a(x—h)2+ k的图象的开口方向 _______ ，对称轴是，顶点坐标是 ________ .生答：a>0，向上；a<0，向下x=h (h，k)3. 二次函数y= 2x2—6x + 21,你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？1 2点拨:先将y= 2x —6x+ 21配方，再得出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象，由此引出新课【设计意图】整合旧知，引出新课探究二用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴★ ▲ •活动①合作探究1 2例1：画函数y=?x -6x 21的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.2分析：首先要用配方法将函数写成y=a(x-h) k的形式；然后，确定函数图象的开口方向、对称轴与顶点坐标；接下来，利用函数的对称性列表、描点、连线.1 2解：y=2x —6x+ 21=1(x2—12x+ 42)=1(x2—12x+ 36—36+ 42)=1(x2—12x+ 36+ 6)=1(x2—12x+ 36) + 3=*(x —6)2+ 3.画图略，所以它的开口向上，对称轴是x=6，顶点坐标是(6，3)归纳:一般式化为顶点式的思路：(1)二次项系数化为1; (2)加、减一次项系数一半的平方；(3)写成平方的形式.【设计意图】引导学生利用配方法，求抛物线的对称轴和顶点坐标，并由此作抛物线。
人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质要点链接★二次函数y=ax ²+bx+c 可配方为：224()24b ac b y a x a a-=++，其顶点坐标为（ ， ），对称轴直线是 . ★求抛物线顶点和对称轴的方法：（1）直接代入顶点公式24(,)24b ac b a a --，对称轴公式2bx a=- （2）将函数y=ax ²+bx+c 配方成y=a （x-h ）²+k 的形式得到顶点坐标和对称轴. ★a 、b 、c 与图象的关系：1.a 正负决定抛物线的 ：a ＞0时， ；a ＜0时， .|a |决定抛物线的开口大小：|a |越大，则 ，|a |越小，则 .2.a 、b 同时决定 ：①当b =0时，对称轴是 ；②左同右异，即当a 、b 同号时，对称轴在 ；当a 、b 异号时，对称轴在 .3.c 决定抛物线与y 轴 ：①当c ＞0时，抛物线与y 轴交点在 ；②当c ＜0时，抛物线与y 轴交点在 ；③当c =0时，抛物线经过 . 题型一 直接利用c bx ax y ++=2获取图象信息例1 下列对于二次函数x x y -=2的图象描述正确的是（ ）A.开口向下B.对称轴是y 轴C.经过原点D.在对称轴右侧部分是下降的 【变式训练1】对于二次函数12842--=x x y 下列说法正确的是（ ） A.图象开口向下 B.顶点坐标是（-1,3） C.当0<x 时，y 随x 的增大而减小 D.图象的对称轴是直线1-=x题型二 确定抛物线c bx ax y ++=2的解析式 角度a 利用平移规律确定抛物线的解析式例2 把抛物线322+-=x x y 沿x 轴向右平移2个单位长度，得到抛物线的解析式为 角度b 利用待定系数法确定抛物线的解析式例3 抛物线c bx ax y ++=2经过A （-2,4），B （6,4）两点，且顶点在x 轴上，则抛物线的解析式为 .【变式训练2】若函数k h x a y +-=2)(的图象经过原点，最小值为-8且形状与抛物线3222+--=x x y 相同，则此函数的解析式为 ；题型三 根据抛物线c bx ax y ++=2确定a 、b 、c 的关系例4 已知二次函数y=ax ²+bx+c （a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①0<abc ；②c a b -<；③b c 32<；④)1)((≠+<+m b am m b a .其中正确的结论是 （只填序号）例4图 变式3图【变式训练3】已知二次函数y=ax ²+bx+c （a ≠0）的图象如图，现有下列结论：①abc ＞0；②0<++c b a ；③b =2a ；④a+b ＞0.其中正确的结论是 （只填序号）. 题型四 二次函数y=ax ²+bx+c 与一次函数的双图象问题例5 一次函数y=ax+b （a ≠0）与二次函数y=ax ²+bx+c 在同一坐标系中的图象可能是（ ）题型五 二次函数y=ax ²+bx+c 的实际应用例6 某小说中有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y 是温度x 的二次函数，有下列说法： ①该植物在0℃时，每天高度增长量最大；②该植物在-6℃时，每天高度增长量仍能保持在20mm 以上；③该植物与大多数植物不同，6℃以上的环境下高度几乎不增长，其中正确的有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个【变式训练4】某学校开展了多场足球比赛，在某场比赛中，一个足球被从地面上向上踢出，它距离地面的高度h （m ）可以用公式t v t h 025+-=表示，其中)(s t 表示足球被踢出后经过的时间，)/(0s m v 是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大高度达到20m ，那么足球被踢出时的速度应该达到（ ）A.5m/sB.10m/sC.20m/sD.40m/s题型六 二次函数的动态问题例7 如图，已知关于x 的二次函数y=x ²+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1,0）和点B ，与y 轴交于点C （0,3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D.（1）求二次函数的解析式.（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标.（3）有一个动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M ，N 运动到何处时，△MNB 的面积最大，试求出最大面积.【变式训练5】如图，已知抛物线y=x²+bx+c过点A（1,0），C（0，-3）.（1）求此抛物线对应的函数解析式，并确定其顶点.（2）在抛物线上存在一动点P，使△ABP的面积为10，请求出点P的坐标.中考演练考法一 二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质例1.（2018成都）关于二次函数1422-+=x x y ，下列说法正确的是（ ） A.图象与y 轴的交点坐标为（0,1） B.图象的对称轴在y 轴的右侧 C.当0<x 时，y 的值随x 值的增大而减小 D.y 的最小值为-3【变式训练1】（2018攀枝花）抛物线222+-=x x y 的顶点坐标为（ ） A.（1,1） B.（-1,1） C.（1,3） D.（-1,3） 考法二 求二次函数的解析式 例2.（2018宁波）已知抛物线c bx x y ++-=221经过点)23,0(),0,1(. （1）求该抛物线的函数解析式； （2）将抛物线c bx x y ++-=221平移，使其顶点恰好落在原点，写出一种平移的方法及平移后的函数解析式.【变式训练2】（2018乌鲁木齐）把抛物线3422+-=x x y 向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为 .【变式训练3】（2018湖州）已知抛物线)0(32≠-+=a bx ax y 经过点)0,3(),0,1(-，求b a ,的值考法三 抛物线c bx ax y ++=2与一次函数的双图象问题例3.（2017阜新）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数c ax y +=的图象可能是（ ）【变式训练4】（2018德州）函数122+-=x ax y 和a ax y -=（a 是常数且0≠a ）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）考法四 二次函数c bx ax y ++=2的图象与c b a ,,的关系例4.（2018日照）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列结论：①0<abc ；②02<-b a ；③22)(c a b +>；④若点),1(),,3(21y y -都在抛物线上，则有21y y >.其中正确的结论有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个例4图 变式5图【变式训练5】（2017遵义）如图，抛物线c bx ax y ++=2经过点（-1,0），对称轴为l ，有下列结论：①0>abc ；②0=+-c b a ；③02<+c a ；④0<+b a .其中，所有正确的结论是（ ）A.①③B.②③C.②④D.②③④考法五 二次函数的综合应用例5.（2018宁夏）如图，抛物线c bx x y ++-=231经过点)0,33(A 和点B （0,3），且这个抛物线的对称轴为直线l ，顶点为C.（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB 、AC 、BC ，求△ABC 的面积.【变式训练6】（2018南通）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线k k x k x y 25)1(222-+--=（k 为常数）.（1）若抛物线经过点),1(2k ，求k 的值；（2）若抛物线经过点),2(1y k 和点),2(2y ，且21y y >，求k 的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新的抛物线，当1≤x ≤2时，新抛物线对应的函数有最小值23-，求k 的值.课后作业1.用配方法将二次函数982--=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式为（ ）A.7)4(2+-=x yB.25)4(2--=x yC.7)4(2++=x yD.25)4(2-+=x y2.如图，二次函数bx ax y +=2的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点P 的横坐标为-1，则一次函数b x b a y +-=)(的图象大致是（ ）3.如图，抛物线c bx ax y ++=2的对称轴为直线x=1，且过点（3,0），有下列结论：①0>abc ；②a-b+c ＜0；③3a-c ＞0.其中正确结论的个数有（ ） A.1 B.2 C.3 D.44.二次函数342++=x x y 的图象是由c bx ax y ++=2的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，则=a ，=b ，=c . 5.已知抛物线y=ax ²+bx+c 的图象如图，则|a-b+c |+|2a+b |= .6.已知如图，抛物线y=ax ²+bx+c 经过A （1,0），B （5,0），C （0,5）三点.（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标、对称轴；（3）若过点C 的直线与抛物线交于点E （4，m ），连接CB ，BE ，并求出△CBE 的面积.人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质7.如图，已知抛物线过点A（4,0），B（-2,0），C（0，-4）.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点M是抛物线AC上段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小时，求点M的坐标.11 / 11。
22.1.4y=ax2+bx+c的图像和性质(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、图像特点、增减性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
突破方法：通过大量绘制图像，让学生观察、总结规律，形成直观认识。
（2）对称轴的求解：学生对对称轴的计算公式容易忘记或混淆；
突破方法：引导学生回顾一次函数的对称轴概念，进而理解二次函数对称轴的计算方法，并给出具体例子进行讲解。
（3）二次函数在实际问题中的应用：学生可能不知道如何将现实问题抽象为二次函数模型；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
突破方法：通过列举生活中的实际例子（如抛物线形状的拱桥、物体抛掷等），引导学生学会建立二次函数模型，并求解相关问题。
在教学过程中，教师需针对上述重点和难点内容，通过讲解、举例、互动等方式，帮助学生透彻理解二次函数的图像和性质，并能够将所学知识应用于实际问题中。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数y=ax^2+bx+c的基本概念。二次函数是描述变量间二次关系的函数，它是数学中的重要组成部分，广泛应用于物理、工程等领域。
22.1.4二次函数Y=ax2+bx+C(1)
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质
回顾反思
y=a(x-h)2+k
顶点式
a>0 a<0
开口方向
顶点坐标 对称轴 增 减 性
向上 (h ,k) x=h
向下 (h ,k) x=h
倍 极值 速 x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 课 时 2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移 抛物线 y=a(x-h) 学 练 得到的。 x:左加右减
8 x顶 2 2 2
4 2 8 82 y顶 0 4 2
顶点坐标为 2,0
倍 速 课 时 学 练
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
2.将下列函数化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并指出 其对称轴与顶点坐标：
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化 而变化，当 l 是多少时，场地的面积S最大？ 分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值． s 矩形场地的周长是60m，一边长为l， 60 则另一边长为 l m ，场地的面积 2 200 S＝l ( 30－l ) 100 即 S＝－l 2 +30l O 5 10 15 20 25 30 ( 0 < l < 30 )
2
b 时， 2a
4ac b 2 4a
倍 速 课 时 学 练
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的 值最小（大）？
（ 1） y 3 x 2 x
2
2 y x 2x （ 2）
（3） y 2 x 8x 8
22.1.4 二次函数y=ax^2+bx+c图象和性质(练习)(解析版)
第二十二章 二次函数22.1.4 二次函数y=a x 2+bx+c 图象和性质精选练习答案一、单选题（共10小题)1．（2019·湖南师大附中博才实验中学初二期末）抛物线y ＝x 2﹣4x +5的顶点坐标是（ ） A.（2，1） B.（﹣2，1） C.（2，5） D.（﹣2，5）【答案】A【分析】先把抛物线的解析式配成顶点式得到y ＝（x ﹣2）2+1，然后根据抛物线的性质即可求解． 【详解】∵y ＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（2，1）． 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=a （x -h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x=h ，本题还考查了利用配方法化二次函数的一般式化为顶点式．2．将抛物线23(2)y x =-向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）A ．(3,2)B ．(0,2)C ．(-3,0)D ．(2,1)-【答案】A【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，可得答案．【详解】y=3（x -2）2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得y=3（x -2-1）2+2， 即y=3（x -3）2+2，抛物线的顶点坐标是（3，2）， 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移的规律：左加右减，上加下减是解题关键．3．（2019·重庆中考真题）抛物线2362y x x =-++的对称轴是（ ）A ．直线2x =B ．直线2x =-C ．直线1x =D ．直线1x =-【答案】C【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴． 【详解】解：∵223623(1)5y x x x =-++=--+， ∴抛物线顶点坐标为(1,5)，对称轴为1x =． 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质．抛物线2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x ＝h ．4．直线y=ax+b （ab≠0）不经过第三象限，那么y=ax 2+bx+3的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】首先根据直线y=ax+b （ab≠0）不经过第三象限判断出a 、b 的取值范围，再根据a 的取值范围可判断出开口方向，再加上b 的取值范围可判断出对称轴，最后根据c=3判断出与y 轴交点，进而可得答案． 【详解】解：∵直线y=ax+b （ab≠0）不经过第三象限， ∴a ＜0，b ＞0，∴y=ax 2+bx+3的图象开口向下，对称轴y 轴右侧，与y 轴交于（0，3）， ∴D 符合． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数图象，关键是掌握一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．5．（2018·中山大学附属中学初三期中）某同学在用描点法画二次函数y=ax 2+bx+c 的图象时，列出下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y 值，则这个错误的数值是（ ） A.-11 B.-2 C.1 D.-5【答案】D【分析】由已知可得函数图象关于y 轴对称，则错误应出现在x=-2或x=2时，根据正确的数据求出函数的解析式，进而可得答案．【详解】解：由已知中的数据，可得函数图象关于y 轴对称， 则错误应出现在x=-2或x=2时， 故函数的顶点坐标为（0，1）， y=ax 2+1，当x=±1时，y=a+1=-2， 故a=-3， 故y=-3x 2+1，当x=±2时，y=4a+1=-11， 故错误的数值为-5， 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．6．（2019·四川中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是（ ）A ．0c <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．图象的对称轴是直线3x =【答案】D【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解.【详解】由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴，故c>0. A 选项错误； 函数图象与x 轴有两个交点，所以24b ac -＞0，B 选项错误；观察图象可知x ＝－1时y=a －b ＋c ＞0，所以a －b ＋c ＞0，C 选项错误； 根据图象与x 轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，152x +=， x ＝3即为函数对称轴，D 选项正确； 故选D【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像.7．（2017·湖北卓刀泉中学建和分校初三月考）二次函数y ＝x 2﹣2x +2的顶点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（2，2）C ．（1，2）D ．（1，3）【答案】A【分析】根据顶点坐标公式，可得答案．【详解】解：2y x 2x 2=-+的顶点横坐标是212--=，纵坐标是2412(2)141⨯⨯--=⨯， 2y x 2x 2=-+的顶点坐标是()1,1．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是2b 4ac b ,.2a 4a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭8．（2019·山东省五莲县第二中学初三期末）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+8x+b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】令x=0，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a ＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解． 【详解】解：x=0时，两个函数的函数值y=b ，所以，两个函数图象与y 轴相交于同一点，故B 、D 选项错误； 由A 、C 选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a ＞0，则一次函数y=ax+b 经过第一三象限， 所以，A 选项错误，C 选项正确， 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．9．（2019·山东省五莲县第二中学初三期末）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点,c Q a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 由图像可知，，则c Q a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第三象限。
人教版九年级数学上册22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(共53张PPT)
|个单
位，
向上平移 |个4单a4ca位-b。2 |
b
2a ＞0
4ac-b2 4a
＜0
由y=ax2
向左平移
|
b 2a
|个单
位，
向下平移 |个4单a4ca位-b。2 |
b
2a ＜0
4ac-b2 4a
＞0
由y=ax2
向右平移
|
b 2a
|个单
位，
向上平移 |个4单a4ca位-b。2 |
都是 （-
b 2a
，
4ac-b2 4a
＝a(x＋ b
2a
)2＋4
ac 4
a
b
2
\识记
因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是
x＝－ b 顶点坐标是（－ b ，4ac b 2 ）
2a
2a
4a
yax2 bxc图象的画法．
步骤：1．利用配方法或公式法把yax2 bxc
化为yaxh2 k 的形式。
2．确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
22.1.4 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质
a>0,在对称轴
y ax2
左侧,y都随x 的增大而减小,
a>0, 在对称轴右
yax2 c 开口 侧,y都随 x的
向上; 增大而增大.;
yaxh2
a<0,在对称轴 左侧,y都随x
a<0, 的增大而增大,
yaxh2k
开口 向下.
在对称轴右 侧,y都随 x的
95.二 次 函 y数 ax2bxc的 图 象 开 口 向 图 象 经(过 1,2点 )(1,0)且 与 y轴 相 交 于 负
人教版九年级数学上册 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c=0的图象和性质(共22张PPT)
归纳总结
交点法求二次函数解析式的方法
这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一 次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
求出这个二次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入
y=ax2+bx+c得
9a-3b+c=0， a-b+c=0， 解得 c=-3，
a=-1， b=-4， c=-3.
∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
C．S≤2 D．S＜﹣3
11．二次函数在 x= 3 时，有最小值 1 ，且函数的图象经过点（0，2），则此函数的解析式
2
4
为_______．
12．已知 A3, y1 ， B1, y2 两点均在抛物线 y ax2 bx c(a 0) 上点C m, y3 是该
抛物线的顶点，若 y1 y2 y3 ，则 m 的取值范围为___________．
是( )
A． y 1 x 22 3 B． y 1 x 22 3 C． y 1 x 22 3
2
2
2
D． y 1 x 22 3
● 10．已2 知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经
过第一象限，若S＝a+b﹣c，则S的取值范围是（ ）
九年级数学人教版(上册)22.1.4第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如
图所示，则下列结论：
y
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是（2）.
–1 O
–2
x 3
直线x=1
侵权必究
5.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
(1) y 2x2 12x 13; 直线x=3 3, 5
(2) y 5x2 80x 319; 直线x=8 8, 1
(3)
y
2
x
1 2
x
2
;
直线x=1.25
5 4
,
9 8
(4) y x 12 x.
直线x= 0.5
1 2
,
9 4
侵权必究
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
最小值-6
侵权必究
2.将抛物线y＝x2－2x＋3向上平移2个单位长度，再向右
平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为( B )
A．y＝(x－1)2＋4
B．y＝(x－4)2＋4
C．y＝(x＋2)2＋6
D．y＝(x－4)2＋6
3.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x= 1 ，x=2对 应的函数值y= -8 ．
2
问题 怎样将 y 1 x2 6x 21 化成y=a(x-h)2+k的
2
形式？
侵权必究
配方可得 y 1 x2 6x 21 2
数学人教版九年级上册22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质(胪中王伟
向上
向下
直线x=–3 直线x=1
活动2：创设情Leabharlann ，导入新课思考：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,容 1 2 y x 6x21 能否利用这些知识来讨论二次函数 的图象和性 2 质？ 即怎样把函数 y 1x2 6x21 转化成 y=a(x-h） 2+k的形式? 2
ax bx c • 一般地，我们可以用配方法将 y 配方成
2
2 b b ac b b 2b b 2 2 24 a ( x x ) c a x x () () c a ( x ) a a 2 a 2 a 4 a a2 2
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以 通过平移得到。
草图略
y
1 2 (x 4 x) 1 2
1 2 1 ( x 4 x 4 ) ×4 1 2 2 1 ( x 2)2 3 2
对称轴为直线x=-2 顶点坐标为（-2，-3） 当x=-2时，y最小值=-3
草图略
活动3：探究新知
22.1.4 二次函数
2 y ax bx c 的图像
y x2 6x21 2 1 2 12 x 21 提取二次项系数 x 2 1 2 1 x 12x 36 ×36 21 配方 2 2 配方后的表达 1 2 . 整理 x6 3 式通常称为配 2 方式或顶点式
用配方法。 1
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 2
二次本节课我们学习了哪些知识？ 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
人教版九年级上册22.二次函数的图像与性质课件(共129张)
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称 轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区分:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
画形如y=ax2的函数图像： 1、函数y=x2的图像；视察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
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22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数 y ax2 bx c的图象和性质
思礼初中 姚未娟
回顾：二次函数y=a(x-h)2+k的性质
y=a(x-h)2 +k(a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性
最值
a>0
a<0
向上 (h ,k) x=h
向下 (h ,k)
x=h
当x<h时，
这是确定抛物
线顶点与对称 轴的公式
3．探究二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
你能说说二次函数 y ax2 bx c 的图
象和性质吗？
4、巩固练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐 标．当x为何值时y的值最小（大）？
（1）y 3x2 2x （2）y x2 2x
一般地，我们可以用配方求抛物线 y = ax2 + bx + c (a≠0) 的顶点与对称轴
y ax2 bx c
a x
b
2
4ac
b2
2a 4a
因此，抛物线 y ax2 bx c
坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
的对称轴是 x b 顶点 2a25O Nhomakorabea5
10 x
•
观察图像，二次函数
y 1 x2 6x 21 2
的性
质是什么？
y 10
5
O
5
10 x
2．探究二次函数 y = -2x2 - 4x +1 的图象和性质
你能用前面的方法讨论二次函数 y = -2x 2 - 4x +1 的 图象和性质吗？
3．探究二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
4、抛物线y x2 4x 7 的顶点坐标为（B）
A、（－2,3） C、（－2,7）
B、（2,11） D、（2，－3）
5、在平面直角坐标系中，若将抛物线
y 2x 2 4x 3 先向右平移3个单位长度，再
向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后，
所得到的抛物线的顶点坐标为（ D）
2
我们来画 y 1 x2 6x 21 的图象，并讨论一般 2
地怎样画二次函数 y ax2 bx ca 0 的图象．
X … -3 -2 -1 0 1 2 3 … Y … 43.5 35 27.5 21 15.5 11 7.5 …
配方可得: y 1 x2 6x 21 1 (x 6)2 3
当x<h时,
y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。
当x>h时，
当x>h时，
y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小值=k
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过 上下和左右平移得到.
1．探究二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象和性质
（3）y 2x2 8x 8 （4）y 1 x2 4x 3
2
2、抛物线 y 4x2 8x 3的开口方向向 下 ， 对称轴是 直线x=1 ，最高点的坐标是(1,1) ， 函数值得最大值是 y=1 。
3、抛物线 y 2x2 12 x 12 变为的 y a(x m)2 n 形式，则 m n = -90 。
2
2
由此可知，抛物线 y 1 x2 6x 21 的顶点是（6，3），对称轴
是直线 x = 6
2
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
x
··· 3 4 5 6 7 8 9 ···
7.5 y 1 x2 6x 21 ··· 2
5 3.5
3
3.5
5 7.5 ···
y
10
y 1 x2 6x 21
2
2
现在你能画出二次函数
y 1 x2 6x 21 2
的函数
图像吗？
它与二次函数 y 1 x2 有什么关系？ 2
y 1 x2 2
y 1 (x 6)2 3 2
y 1 (x 6)2 2
如何直接画出 y 1 x2 6x 21 的图像？
2
配方可得 y 1 x2 6x 21 1 x 62 3
A、（－2,3） C、（1,4）
B、（－1,4） D、（4,3）
5、课堂小结
• 1、本节课主要研究的内容是什么？ • 2、我们是如何研究的（过程与方法）？
6、布置作业
• 教科书复习巩固22.1第6、7
y 1 x2 6x 21 2
X … -3 -2 -1 0 1 2 3 … Y … 43.5 35 27.5 21 15.5 11 7.5 …