高中学业水平考试 三角函数
高中学业水平测试(合格性)数学第24讲任意角、弧度制及任意角的三角函数课件
所以y＝± 5，r＝2 2.
所以cos α＝xr＝－ 46.
tan
α＝xy＝±
15 3.
谢谢观赏
形所对圆心角为( )
A．2π
B．π
C．π2
D．32π
解析：θ＝22π＝π. 答案：B
3．若集合A＝ xx＝k2π＋π4，k∈Z ，B＝{x|－2≤x≤ 1}，则A∩B＝( )
A.－34π，－π4，π4
B.－π4，π4
C.－54π，－34π，－π4 D.－π4，π4，34π
解析：集合A中的元素为：…－54π，－34π，－π4，π4，34
所以该圆弧所对圆心角的弧度数为 R3R＝ 3. 答案：(1)A (2)C
1．cos 600°等于( )
A．12
B．－12
C．
3 2
D．－
3 2
解析：cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°＝
cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 答案：B
2．如果一扇形的弧长为2π cm，半径为2 cm，则扇
夹的扇形的面积是________．
解析：(1)－2192π＝－2π－152π，故为第四象限角． (2)由1弧度角的 定义可知A，B，C都不对，应选D. (3)因为S＝12lr，rl＝α 所以r＝6，S＝12×6×6＝18.
答案：(1)D (2)D (3)18
剖析：角度制与弧度制的换算． 抓住：360°＝2π rad，所以180°＝π rad. 所以1°＝1π80 rad≈0.01745 rad. 1 rad＝1π80°≈57.30°＝57°18′.
π….且－34π<－2，34π>1，所以A∩B＝－π4，π4故应选B. 答案：B
高考数学学业水平合格考试总复习 第10章 三角函数(教师用书)教案-人教版高三全册数学教案
第10章 三角函数考纲展示考情汇总备考指导(1)任意角的概念、弧度制 ①了解任意角的概念．②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.本章的重点是三角函数的定义、图象和性质，难点是三角恒等变换与三角函数图象、性质的综合应用，学习时熟练掌握三角函数的图象和性质是前提条件，熟练掌握和应用三角函数公式，三角恒等变换的方法与技巧是保障.(2)三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)．理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的单调性．④理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x2017年1月T82018年1月T122018年1月T172019年1月T162020年1月T6⑤了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.三角函数的定义1．任意角和弧度制(1)角的概念及分类：角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形．按旋转方向可分为正角、负角、零角；按终边落在平面直角坐标系中的位置，可分为象限角、轴线角．(2)终边相同角的表示：凡是与角α终边相同的角，都可以表示成α＋k ·360°(k ∈Z )的形式，特例：终边在x 轴上的角的集合为{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，终边在y 轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k ·180°，k ∈Z }，终边在坐标轴上的角的集合为{α|α＝k ·90°，k ∈Z }．(3)弧长和扇形的面积公式：在弧度制下，扇形的弧长公式为l ＝αr ，扇形的面积公式为S ＝12lr ＝12αr 2，其中α(0＜α＜2π)为弧所对圆心角的弧度数．2．任意角的三角函数的定义利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数，设P (x ，y )是角α的终边上任意一点(与原点不重合)，记r ＝|OP |＝x 2＋y 2，那么sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．[学考真题对练]1．(2017·1月某某学考)角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边过点P (5，－2)，以下等式不正确的是( )A ．sin α＝－23B ．sin(α＋π)＝23C ．cos α＝53D ．tan α＝－52D [∵r ＝x 2＋y 2＝52＋－22＝3，sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.∴A，B ，C 正确，D 错误．tan α＝y x ＝－25＝－255.] 2．(2020·1月某某学考)假设sin α>0，且cos α<0，那么角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [由sin α>0，可得α为第一、第二及y 轴正半轴上的角； 由cos α<0，可得α为第二、第三及x 轴负半轴上的角． ∴取交集可得，α是第二象限角．应选B ．]3．(2019·1月某某学考)角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (4，－3)，那么cos α＝.45[r ＝42＋－32＝5，cos α＝x r ＝45.]角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值；方法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)，那么sin α＝y r，cos α＝x r.当α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．1．(2018·某某市学考模拟题)角β的终边经过点P (1，－2)，那么sin β＝( ) A ．－2 B ．－12C ．－255D ．55C [∵角β的终边经过点P (1，－2)，∴x ＝1，y ＝－2，|OP |＝5，因此根据三角函数的定义可得sin β＝－25＝－255，应选C ．]2．(2019·某某学考模拟题)角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，那么tan α等于( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34D [根据三角函数的定义，知tan α＝y x ＝－34.]3．(2019·揭阳市学考模拟题)设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，那么2sin α＋cosα的值为( )A ．25 B ．25或－25 C ．－25D ．与a 有关C [∵a <0，∴r ＝－4a2＋ 3a2＝5|a |＝－5a ，∴cos α＝x r ＝45，sin α＝y r ＝－35，∴2sin α＋cos α＝－25.]4．(2019·某某高一期中)点P (tan α，cos α)在第三象限，那么角α的终边在第象限．二 [因为点P (tan α，cos α)在第三象限，那么tan α<0且cos α<0，故角α的终边在第二象限．]5．(2018·揭阳高一月考)角α的终边经过点P (m ，22)，sin α＝223且α为第二象限．(1)求m 的值；(2)假设tan β＝2，求sin αcos β＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin βcos π＋αcos －β－3sin αsin β的值．[解] (1)由三角函数定义可知sin α＝223＝22m 2＋8，解得m ＝±1，∵α为第二象限角，∴m ＝－1.(2)由(1)知tan α＝－22，sin αcos β＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin βcos π＋αcos －β－3sin αsin β＝－sin αcos β＋3cos αsin βcos αcos β＋3sin αsin β＝－tan α＋3tan β1＋3tan αtan β＝－－22＋321＋－22×32＝211.三角函数的基本关系与诱导公式 [基础知识填充]1．同角三角函数的基本关系式2．三角函数的诱导公式利用三角函数的定义，可以得到诱导公式，即α＋k2π(k ∈Z )与α之间函数值的关系，主要有六组常用的诱导公式：公式一：sin(α＋k ·2π)＝sin α，k ∈Z ， cos(α＋k ·2π)＝cos α，k ∈Z ， tan(α＋k ·π)＝tan α，k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α. [学考真题对练](2018·1月某某学考)假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝23，且0<θ<π，那么tan θ＝.52 [∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ＝23，且0<θ<π， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53， ∴tan θ＝sin θcos θ＝53×32＝52.](1)将负角的三角函数化为正角的三角函数． (2)将正角的三角函数化为0～2π的角的三角函数． (3)最后化为锐角的三角函数． 2．求同角三角函数值的一般步骤(1)根据三角函数值的符号，确定角所在的象限； (2)对角所在的象限进行分类讨论； (3)利用两个基本公式求出其余三角函数值；(4)根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出某三角函数值．[最新模拟快练]1．(2018·揭阳高一月考)sin 600°的值是( ) A ．12 B ．32C ．－32D ．－12C [sin 600°＝sin(600°－720°)＝sin(－120°) ＝－sin 120°＝－32.] 2．(2019·某某高二期末)sin α＝14，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( ) A ．14 B ．－14C ．154D ．－154B [cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝－14.]3．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．22B [∵cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝12.]4．(2019·蛇口市学考模拟题)假设sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，那么cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是()A ．－23aB ．－32aC ．23a D ．32a B [由条件得－sin α－sin α＝－a ，故sin α＝a2，原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .]5．(2019·某某市学考模拟题)tan θ＝2，那么sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43B ．54C ．－34D ．45D[sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.] 6．(2018·揭阳高一月考)函数y ＝sin 2x －cos x 的值域为．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 [y ＝sin 2x －cos x ＝1－cos 2x －cos x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋122＋54∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54.] 三角函数的图象和性质 [基础知识填充]三角函数的图象与性质 解析式 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 RR{x |x ∈R 且x ≠k π＋x2，k ∈Z }值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎢⎡2k π－π2，⎦⎥⎤2k π＋π2(k ∈Z )上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 (k ∈Z )上递减在[2k π－π，2k π](k ∈Z ) 上递增，在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上递减 在开区间⎝⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π (k ∈Z )上都是增函数最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，y min ＝－1无对称性 对称中心：(k π，0)(k ∈Z ) 对称轴：对称中心： ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) 对称轴：对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π，0(k ∈Z )对称轴：x ＝k π＋π2，(k ∈Z )x ＝k π，(k ∈Z )无[学考真题对练](2018·1月某某学考)函数f (x )＝4sin x cos x ，那么f (x )的最大值和最小正周期分别为( )A ．2和πB ．4和πC ．2和2πD ．4和2πA [∵f (x )＝2sin 2x ，∴f (x )max ＝2，最小正周期为T ＝2π2＝π，应选A ．]三角函数性质的解法(1)奇偶性的判断方法：由正、余弦函数的奇偶性可判断出y ＝A sin ωx 和y ＝A cos ωx 分别为奇函数和偶函数．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期为2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期为π|ω|求解．(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．(4)求三角函数的最值(值域)：形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求最值(值域)．1．(2019·某某学考模拟题)函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( ) A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数，但不是奇函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．既不是奇函数，又不是偶函数A [由f (－x )＝－x －sin x ＝－(x ＋sin x )＝－f (x )，可知f (x )是奇函数．] 2．(2019·某某学考模拟题)以下函数中，周期为2π的是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2D ．y ＝|sin 2x |C [y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π；y ＝sin 2x 的周期为T ＝2π2＝π；y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的周期为T ＝2π；y ＝|sin 2x |的周期为T ＝π2.]3．(2019·某某高一期中检测)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A ．65 B ．1 C ．35D ．15A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，那么f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.]4．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1的是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数A [y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，且为奇函数，应选A ．]5．(2018·江门市学考模拟题)函数f (x )＝12－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈ZB ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈ZC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈ZD ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈ZC [f (x )＝12－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x 2＝－12sin 2x ，即求12sin 2x 的单调递减区间：2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z .选C ．]6．(2018·揭阳高一月考)下面结论正确的是( ) A ．sin 400°>sin 50° B ．sin 220°<sin 310° C ．cos 130°>cos 220°D ．cos(－40°)<cos 310°C [A 中sin 400°＝sin 40°<sin 50°；B 中sin 220°＝－sin 40°，sin 310°＝－sin 50°，由于sin 50°>sin 40°，所以sin 220°>sin 310°；C 中cos 220°＝cos 140°<cos 130°；D 中cos(－40°)＝cos 40°，cos 310°＝cos 50°，由于cos 50°<cos 40°，所以cos(－40°)>cos 310°，应选C ．]7．(2019·某某高二月考)假设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ是偶函数，那么φ＝.π2＋k π，k ∈Z [由诱导公式得假设f (x )是偶函数，那么φ＝π2＋k π，k ∈Z .]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 [基础知识填充]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(1)作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的图象主要有以下两种方法： ①用“五点法〞作图：用“五点法〞作y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点的纵坐标，描点、连线后得出图象．②用“图象变换法〞作图：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩〞与“先伸缩后平移〞．(ⅰ)先平移后伸缩：y ＝sin x 的图象――――――――――→向左φ＞0或向右φ＜0平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象横坐标变为原来的1ω倍,纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象―――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．(ⅱ)先伸缩后平移：y ＝sin x 的图象横坐标变成原来的1ω倍,纵坐标不变y ＝sin ωx 的图象――――――――――――→向左φ ＞0或向右φ ＜0平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中各参数的物理意义：[最新模拟快练]1．(2019·某某高一月考)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度D [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∴需要将y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．]2．(2019·某某市学考模拟题)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数D [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4图象向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象，y ＝－cos 2x 是偶函数．]3．(2019·某某市学考模拟题)以下函数中，图象的一部分如下图的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 D [由图知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．]4．(2019·某某市学考模拟题)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，那么以下结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 D [函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上先递减后递增，D 选项错误．]5．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，那么ω＝.π2 [由两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T 2＝222－22，∴T＝4，∴ω＝π2.]6．(2018·某某市高一期中)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(其中φ为常数，|φ|<π2)的部分图象如下图，那么φ＝.π3 [由2×π3＋φ＝π得φ＝π3.] 7．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)在如下图坐标系中画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．[解] (1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1的振幅为2，最小正周期T ＝2π2＝π，初相为－π4. (2)列表并描点画出图象：x －π2 －3π8 －π8 π83π8 π2 2x －π4 －5π4－π－π2π23π4y 2 1 1－2 1 1＋22故函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象是8．(2018·某某市高一期末)实验室某一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t －π3，t ∈[0,24]．(1)某某验室这一天上午10点的温度；(2)当t 为何值时，这一天中实验室的温度最低． [解] (1)依题意f (t )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t －π3，t ∈[0,24] 实验室这一天上午10点，即t ＝10时，f (10) ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12×10－π3＝4sin π2＝4，所以上午10点时，温度为4 ℃.(2)因为0≤t ≤24，所以－π3≤π12t －π3≤5π3，令θ＝π12t －π3，即－π3≤θ≤5π3，所以y ＝4sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π3故当θ＝3π2时，即t ＝22时，y 取得最小值，y min ＝4sin3π2＝－4 故当t ＝22时，这一天中实验室的温度最低．三角函数图象变换的两种方法的注意点三角函数图象变换的方法一先平移后伸缩和方法二先伸缩后平移需要注意以下两点：。
高中数学 学业水平测试复习 第18讲 三角函数图像、性质学案 新人教A版必修4 学案
某某省某某凤凰中学高中数学 学业水平测试复习 第18讲 三角函数图像、性质学案 新人教A 版必修41、三角函数的图象与性质 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象定义域 值域奇偶性 周期性 单调性 最值2、案例剖析 例1、函数12cos ,y x x R =-∈的最大值是 （ ）A 、1-B 、1C 、3D 、3- 例2、函数sin(),0,62y x x ππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域是（ ） A 、[]1,1- B 、1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C 、132⎡-⎢⎣⎦D 、3⎡⎤⎢⎥⎣⎦例3、函数3cos 1,y x x R =+∈的周期是__________。
例4、已知函数).34sin(2)(π+=x x f（1）求函数)(x f 的周期、单调区间和最值；（2）要得到)(x f 的图像，可将函数x y sin =的图像作怎样的变换？三、学考真题演练与达标练习1.(09年)下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） A.13x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭= B.3log y x = C.1y x = D. cos y x = 2.(10年)下列函数中，是偶函数的是（ ）A.()f x x =B.1()f x x= C.2()f x x = D.()sin f x x = 3.(11年)函数()sin ,f x x x R =∈的最小正周期是（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．2π 4.(13年)函数2cos 1,y x x R =-∈的最小值是（ ）A.3-B.1-C.1D.35．已知函数()sin()2f x x π=-，则()f x 是（ ）A 、周期为π的奇函数；B 、周期为π的偶函数；C 、周期为2π的奇函数；D 、周期为2π的偶函数；6．32cos ,y x x R =+∈的值域是（ ）A.[5,5]-B.[1,1]-C.[1,5]D.[2,2]-7.sin y x =的一个单调递增区间是（ ） A.,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.[],0π- D.[]0,π。
2023年高中学业水平考试数学总复习：第六章 三角函数
赢 在 考 情 精 析赢 在 考 点 训 练章 末 综 合 测 试赢 在 考 情 精 析赢 在 考 点 训 练考点1三角函数的有关概念、同角三角函数关系及诱导公式1.任意角(1)象限角的集合:第一象限角:___________________________________.第二象限角:___________________________________.第三象限角:___________________________________.第四象限角:___________________________________.(2)终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是α+2kπ,k∈Z{β|β=____________}.2.弧度制(1)弧度制的定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角.180°=____________ rad;1°=____________ rad;1 rad=____________≈57.3°. (2)弧长公式:l =____________(α是圆心角的弧度数).π|α|r3.任意角的三角函数(1)三角函数的定义设P(x,y)是角α终边上任一点,且|OP|=r(r>0),则sin α=__________;cos α=__________;tan α=_________.(2)三角函数的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.4.同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1(1)平方关系:_______________.5.诱导公式－sin α－cos αtan αsin α－cos α－tan α－sin αcos α－tan αcos α－sin αcos αsin α考向1 三角函数的定义及应用【答案】D【名师点拨】利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,需确定三个量:①角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x;②纵坐标y;③该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上,此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同).1.已知角α的终边经过点(－4,3),则cos α=( )D【解析】∵角α的终边经过点(－4,3),即x=－4,y=3,2.已知点P (cos α,tan α)在第三象限,则角α的终边在( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限B 所以角α的终边在第二象限,故选B .3.已知角α的终边上一点P与点A(－3,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点对称,求sin α+sin β的值.【解】由题意,得P(3,2),Q(3,－2),考向2 同角三角函数关系式的应用(1)已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ－2cos2θ=( )【答案】(1)D (2)A【名师点拨】(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用 =tan α可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α－cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.1.若sin x +sin 2x =1,则cos 2x +cos 4x 的值是( )A.0B.1C.2D.3B 【解析】由已知sin x =1－sin 2x =cos 2x ,所以cos 2x +cos 4x =cos 2x +(cos 2x )2=cos 2x +sin 2x =1.B考向3 诱导公式及其应用【名师点拨】用诱导公式化简三角函数的步骤(1)将负角的三角函数化为正角的三角函数.(2)将正角的三角函数化为0~2π的角的三角函数.(3)最后化为锐角的三角函数.D 1.(2020·广东东莞校级学业考试)sin 240°的值为( )C1.若sin α>0且cos α<0,则α是( )A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角B 【解析】设α终边上一点为(x ,y ),由sin α>0且cos α<0,则y >0且x <0,则点(x ,y )在第二象限,从而α是第二象限角.DA 【解析】因为sin (2π+α)=sin α,C5.(2017·1月广东学业水平测试)已知角α的顶点为左边原点,始边为x轴的正半轴,终边过点P( ,－2),则下列等式不正确的一项是( )D6.(2019·1月广东学业水平测试)已知角α的顶点与坐标原点重合,终边经过点P(4,－3),则cos α=____________.8.已知sin(π+α)= ,且α是第四象限角,则cos(α－2π)的值是____________.考点2三角函数的性质及其应用1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(π,－1)2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)[－1,1][－1,1]2ππ奇函数偶函数[2kπ－π,2kπ][2kπ,2kπ+π](kπ,0)x=kπ考向1 三角函数的单调性求下列函数的单调递增区间:(2)由sin x>0,得2kπ<x<2kπ+π,k∈Z.【名师点拨】求与正弦、余弦函数有关的单调区间的策略(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.(2)求y=A sin(ωx+φ)(ω>0)的单调区间时,利用整体代换,把ωx+φ代入相应不等式中,求解相应的变量x的取值范围. (3)求复合函数的单调区间时,要先求定义域,同时还要遵循“同增异减”法则.A【解析】对于函数f(x)=sin x,>考向2 三角函数的值域及最值(1)求f(x)的定义域;(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值.。
河北专版学业水平测试专题五三角函数(含答案解析)
河北专版学业水平测试专题五三角函数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知α是锐角,那么2α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．小于180︒的正角D ．不大于直角的正角2．cos120 =A ．12B ．2C ．12-D ．3．如果点()sin 2,cos P θθ位于第三象限，那么角θ所在象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．把83π-化成角度是（）A ．960-B ．480-C ．120-D ．60-5．已知tan 2α=,则sin cos 2cos ααα-的值为A ．2B ．12C ．-2D ．12-6．函数1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x R ∈的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π7．函数()2cos3xy x =-∈R 的最大值和最小正周期分别是（）A ．max 2y =，3T π=B ．max 1y =，6T π=C ．max 3y =，3T π=D ．max 3y =，6T π=8．为了得到函数3sin(2)5y x π=-的图象，只需把函数3sin(5y x π=-的图象上所有的点的（）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变9．下列既是偶函数又是以π为周期的函数（）A ．cos y x=B ．sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．32cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10．计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于A ．12B．3C．2D．211．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（）A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=12．cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A ．1,22⎡-⎢⎥⎣⎦B．122⎡⎢⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．2⎤⎥⎣⎦13．函数1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[]2,2x ππ∈-的单调递增区间是（）A ．52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．已知()0,απ∈，sin cos αα+=cos 2=α（）A．3BC．D15．为了得到函数sin(2)4y x π=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象A ．向左平移4π个单位长度B ．向右平移4π个单位长度C ．向左平移8π个单位长度D ．向右平移8π个单位长度16．已知θ为第二象限角，且1sin 4θ=，则3cos 22πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A ．78B ．78-CD．17．若32sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 2sin 2απα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．1710B ．1017C ．1710-D ．1017-18．如果21tan(),tan 544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，那么tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．1318B ．1322C ．322D ．1619．把函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移4π个单位，则所得图形对应的函数解析式为（）A ．cos 24x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos 28x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭20．在ABC ∆中，满足tan tan >1A B ⋅，则这个三角形是（）A ．正三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形21．如图是函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，则ω和ϕ的值分别为（）A ．2,6πB ．2,3π-C ．1,6πD ．1,3π-二、填空题22．2100︒化成弧度是___________.23．已知点(,3)P x 是角θ终边上一点，且4cos 5θ=-，则x 的值为__________.24．半径为R的圆的一段弧长等于，则这段弧所对圆心角的弧度数为______.25．计算：22cos 15sin 15︒-︒=__________.26．sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.27．已知2cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于______.28．求值:231313sin()cos tan 4cos 673ππππ-+-=___________.29．化简：π7πsin(2π)cos(π)cos cos 225πcos(π)sin(3π)sin(π)sin 2αααααααα⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫---++ ⎪⎝⎭__________．30．函数()3sin 5πα+=,3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos α=______.31．已知tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=________.32．已知2παπ<<，且4cos 65πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos α的值为______．33．在ABC 中，35sin ,cos 513A B ==，则cos C =___________.三、解答题34．已知24cos 25α=，3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求：(1)sin2α的值；(2)3πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．35．已知0＜α＜2π，sin α＝45．（1）求tan α的值；（2）求cos(24πα+)的值；（3）若0＜β＜2π且cos(α+β)＝-12，求sin β的值．36．已知函数()()2cos 22sin 3f x x x a a R π⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，且03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求a 的值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，求()f x 的值域．参考答案：1．C【解析】根据α是锐角，得出2α的取值范围是()0,π，再判定2α的终边位置即可．【详解】∵α是锐角，即090α<<︒，∴02180α<<︒.所以2α是小于180︒的正角．故选：C ．【点睛】本题考查象限角的概念及判定，任意角的概念．得出2α的取值范围是关键．2．C【详解】()1cos120cos 18060cos 602=-=-=-，故选C.3．B【分析】由二倍角的正弦公式以及已知条件得出cos θ和sin θ的符号，由此得出角θ所在的象限.【详解】由于点()sin 2,cos P θθ位于第三象限，则sin 22sin cos 0cos 0θθθθ=<⎧⎨<⎩，得cos 0sin 0θθ<⎧⎨>⎩，因此，角θ为第二象限角，故选B.【点睛】本题考查角所在象限的判断，解题的关键要结合已知条件判断出角的三角函数值的符号，利用“一全二正弦，三切四余弦”的规律判断出角所在的象限，考查推理能力，属于中等题.4．B【分析】利用弧度和角度的关系1=180rad π，即得解【详解】由题意，8818048033π-=-⨯=- 故选：B 5．B【解析】根据题意，对sin cos 2cos ααα-分子和分母同时除以cos α，利用sin tan cos ααα=，可将原式化简成tan 12α-，由此即可求出结果.【详解】由题意可知，sin cos tan 112cos 22αααα--==，故选：B.【点睛】本题主要考查了同角的基本关系的应用，熟练掌握和应用sin tan cos ααα=是解题关键，属于基础题.6．D【分析】利用三角函数的周期公式即可得到答案.【详解】函数1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2412T ππ==.故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期，熟记公式为解题的关键，属于简单题.7．D【分析】由余弦函数的性质得出周期和最值.【详解】因为1cos 13x -≤≤，所以max 213y =+=，2613T p p==.故选：D 8．B【解析】直接利用三角函数伸缩变换法则得到答案.【详解】为了得到函数3sin(25y x π=-的图象，只需把函数3sin()5y x π=-的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变故选：B【点睛】本题考查了三角函数的伸缩变换，意在考查学生对于三角函数图像变换的理解和掌握.9．B【分析】根据函数的周期排除A 、C ，根据诱导公式化简可知B 为偶函数.【详解】由函数解析式可知，cos y x =与2sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2π，故可排除，因为sin(2cos 2)2y x x π-=-=，是偶函数，32cos(2)2sin 22y x x π=+=，是奇函数，故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的周期，奇偶性，考查了诱导公式，属于中档题.10．A【详解】sin43°cos13°-cos43°sin13°=sin(43°-13°)=sin30°=.11．D【解析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】对于函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎝⎭，令22,3x k k Z ππ+=∈，解得,23k x k Z ππ=-∈，当1,0,1k =-时，函数的对称轴为65x π=-，3x π=-，6x π=.故选：D.【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．12．C【分析】根据x 的取值范围，求出6x π-的取值范围，再根据余弦函数的性质计算可得；【详解】解：102x π≤≤ ，663x πππ∴-≤-≤，1cos 126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭即112y ≤≤，故函数的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；故选：C .13．C【分析】利用正弦型函数的图象及性质求得已知函数的单调递增区间，根据已知即可求得.【详解】令123z x π=+，函数 sin y z =的单调递增区间为222,2()k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.由1222232k x k πππππ-≤+≤+，得5 44()33k x k k Z ππππ-≤≤+∈，而[]2,2x ππ∈-，所以所求单调递增区间是5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数的图象和性质，考查整体替换法求解单调区间，属于基础题.14．A【分析】在等式sin cos αα+=cos sin αα-的值，然后利用二倍角的余弦公式可求得cos 2α的值.【详解】()0,απ∈ ，sin cos 3αα+=两边平方后得：112sin cos 3αα+=，即1sin cos 3αα=-，sin 0α∴>，cos 0α<，()215cos sin 12sin cos 1233αααα⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭，cos sin 3αα∴-=-，则()()22cos 2cos sin cos sin cos sin ααααααα=-=-+=--故选：A.【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力，属于中等题.15．D【详解】sin 2sin 248x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此可知，为了得到函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin2y x =的图象向右平移8π个单位长度.本题选择D 选项.16．D【解析】由同角三角函数关系得cos θ=，再结合诱导公式和二倍角公式计算即可得答案.【详解】解：由θ为第二象限角，且1sin 4θ=，可得cos θ=故3cos 2sin 22πθθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭12sin cos 24θθ⎛=⨯⨯= ⎝⎭故选：D ．【点睛】本题考查正弦的二倍角公式，诱导公式，同角三角函数关系，考查运算能力，是中档题.17．A【解析】由已知利用诱导公式可求cos α的值，利用二倍角公式可求cos 2α的值，进而求解即可.【详解】∵32sin cos 25παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，∴2cos 5α=-，∴22217cos 22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯--=- ⎪⎝⎭，∴17cos 2cos 217252cos 10sin 52ααπαα-===⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.故选：A.【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.18．C【分析】将所求式子中的角(4πα+变形为()()4παββ+--，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将已知的两等式的值代入即可求出值．【详解】解：2tan()5αβ+= ，1tan()44πβ-=，21tan()tan()3544tan()tan[()()]2144221tan()tan()1454παββππααββπαββ-+--∴+=+--===++-+⨯．故选：C【点睛】本题考查了两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．19．D【分析】函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），x 的系数变为原来的2倍，即为2，然后根据平移求出函数的解析式．【详解】函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），得到cos 2y x =，把图象向左平移4π个单位，得到cos[2()]cos(2)42y x x ππ=+=+故选：D ．【点睛】本题考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换．准确理解变换规则是关键，属于中档题．20．C【解析】由tan tan >1A B ⋅可知tan A 与tan B 符号相同,且均为正,则()tan tan tan 01tan tan A BA B A B++=<-,即tan 0C >,即可判断选项【详解】由题,因为tan tan >1A B ⋅,所以tan A 与tan B 符号相同,由于在ABC ∆中,tan A 与tan B 不可能均为负,所以tan 0A >,tan 0B >,又因为1tan tan 0A B -<,所以()tan tan tan 01tan tan A BA B A B++=<-,即tan 0C -<,所以tan 0C >,所以三角形是锐角三角形故选：C【点睛】本题考查判断三角形的形状,考查三角函数值的符号21．A【解析】根据图象由6π到23π是半个周期，即22T π=，可得到周期2T ππω==，从而可求出ω的值，再代入最高点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭计算可得ϕ的值.【详解】由题意可得22362T πππ=-=，即2T ππω==，解得：2ω=，又函数()()2sin 2(0,)2=+><f x x πϕωϕ图象的一个最高点为,26π⎛⎫⎪⎝⎭，2sin 226πϕ⎛⎫∴⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：()2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即()2,6k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，0k ∴=时，6πϕ=，综上可知：2ω=，6πϕ=故选：A【点睛】方法点睛：本题考查利用函数图象求函数解析式，求sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>解析式的步骤：（1）求,A B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则,22-+==M m M mA B ；（2）求ω，确定函数的周期T ，则2Tπω=.（3）求ϕ，代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．22．353π【分析】根据1180rad π=计算即可【详解】由题意得35210021001803ππ︒=︒⨯=.故答案为：353π23．4-【解析】由三角函数定义可得4cos 5θ=-,进而求解即可【详解】由题,4cos 5θ=-,所以4x =-,故答案为：4-【点睛】本题考查由三角函数值求终边上的点,考查三角函数定义的应用24．【解析】直接由弧长公式求解即可.【详解】由l R α=知R α==故答案为：【点睛】本题考查扇形的弧长公式，属于基础题.25【分析】直接利用二倍角公式计算得到答案.【详解】22cos 15sin 15cos30︒-︒=︒=故答案为：2.26．【分析】由诱导公式化为锐角三角函数，再求值．【详解】sin sin 332ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭．故答案为：27．23【分析】由4πα-与4πα+的和为2π，利用诱导公式把4sin πα⎛⎫- ⎪⎝⎭转化成cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，从而可得结果.【详解】cos 424sin πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2cos 33πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故答案为23.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．28．0【解析】原式利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】原式sin(4)cos(2)tan 4cos(4)673πππππππ=-++--+11sin 0cos 006322ππ=+-=-.故答案为：0.【点睛】本题考查诱导公式的作用，考查运算求解能力，求解时注意特殊角的三角函数值.29．tan α【分析】原式利用诱导公式化简，约分即可得到答案．【详解】原式sin (cos )sin (sin )sin (sin )tan cos sin (sin )cos (sin )cos ααααααααααααα---==---．故答案为tan α【点睛】本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解决本题的关键，属于中档题．30．45-【解析】利用三角函数的诱导公式()sin +=sin παα-，可得3sin 5α=-，再根据3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求出结果.【详解】因为()3sin 5πα+=，()sin +=sin παα-，所以3sin 5α=-，又3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α=-.故答案为：45-.【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式以及同角的基本关系，属于基础题.31．-3.【分析】由两角差的正切公式展开，解关于tan α的方程．【详解】因为tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以tan 12tan 31tan ααα-=⇒=-+．【点睛】本题考查两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点：分子是减号，分母是加号．32．310--【分析】根据同角的三角函数的关系，利用66ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭结合两角和的余弦公式即可求出．【详解】2απ<<π ，5366πππα∴<-<，4cos 65 πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，3sin 65πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4313525210--=-⨯-=，【点睛】本题主要考查同角的三角函数的关系，两角和的余弦公式，属于中档题.已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值，角的变换是解题的关键．33．1665【分析】利用cos cos()C A B =-+，并根据两角和的余弦公式展开即可.【详解】(0,)B π∈，则sin 0B >，由5cos 13B =得，12sin 13B =，注意到123135>，即sin sin B A >，于是在ABC 中，B A >，则A 不可能为钝角，由3sin 5A =，可得cos 45A ==.则3124516cos cos()sin sin cos cos 51351365C A B A B A B =-+=-=×-×=.故答案为：1665.34．(1)336625-(2)50【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式求解；(2)利用两角和的正弦公式直接求解.【详解】（1）因为24cos 25α=，所以7sin 25α==．又3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以7sin 25α=-，则有724336sin22sin cos 22525625ααα⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭．（2）3π3π3π247sin sin cos cos sin 44422522550ααα⎛⎛⎫⎛⎫+=+=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.35．（1）43；（2）-50；（3【分析】（1）根据同角的三角函数的关系即可求出，（2）根据二倍角公式和两角差的余弦公式即可求出，（3）根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出【详解】（1）∵0＜α＜2π，sin α＝45，∴cos α35，∴tan α＝sin 4cos 3αα=.（2）∵sin2α＝2sin αcos α＝2425，cos2α＝cos 2α-sin 2α＝725-，∴cos(24πα+)(cos2α-sin2α)(725--2425)＝-，（3）∵0＜α＜2π，0＜β＜2π，∴0＜α+β＜π，∵cos(α+β)＝-12，∴sin(α+β)＝2，∴sin β＝sin[(α+β)-α]＝sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α＝410+.36．（1）1a =；（2）32⎡-⎢⎣.【解析】（1）利用03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得实数a 的值；（2）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦可求得23x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()y f x =的值域.【详解】（1）()2cos 22sin 3f x x x a π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ，2cos 2sin 10333f a a πππ⎛⎫∴=+=-= ⎪⎝⎭，因此，1a =；（2）由（1）可得()21cos 22sin 1cos 2sin 2cos 2322f x x x x x x π⎛⎫=--+=++ ⎪⎝⎭32cos 2sin 2223x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.当02x π≤≤时，42333x πππ≤+≤，sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，则()32f x -≤≤因此，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上的值域为32⎡-⎢⎣.【点睛】本题考查利用三角函数值求参数，同时也考查了正弦型函数在区间上值域的求解，考查计算能力，属于中等题.。
高中学业水平测试(合格性)数学第26讲三角函数的图象与性质课件
B.4，34π D.π2，π
解析：令2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)， 所以kπ≤x≤kπ＋π2(k∈Z)，
当k＝0时，x∈0，π2. 答案：C
2．已知函数y＝sin(2x＋φ)＋1的图象关于直线x＝－
π 8
对称，则φ的可能取值是( )
3π A. 4
B.－34π
π
π
C.4
D.2
答案：A
3．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝( )
所以2×12－1＜2sinx＋π6－1≤1×2－1， 所以0＜2sinx＋π6－1≤1， 即0＜y≤1.
答案：(0，1]
8．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函 数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈ 0，π2 时，f(x)＝ sin x，则f 53π的值为________．
解析：f 53π＝f －π3＝f π3＝sin π3＝ 23.
A．
1－k2 k
B．－
1－k2 k
C．
k 1－k2
D．－
k 1－k2
解析：因为cos(－80°)＝cos 80°＝k，
所以sin 80°＝ 1－cos280°＝ 1－k2，
所以tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝－csoins 8800°°＝
－
1－k2 k.
答案：B
4．函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间是(
)
A.k2π－1π2，k2π＋51π2(k∈Z)
B.k2π－1π2，k2π＋51π2(k∈Z)
C.kπ＋π6，kπ＋23π(k∈Z)
D.kπ－1π2，kπ＋51π2(k∈Z)
解析：由kπ－π2<2x－π3<kπ＋π2得k2π－1π2<x<kπ2 ＋51π2 (k∈Z)，所以函数f(x)＝tan 2x－π3 的单调递增区间为 k2π－1π2，k2π＋51π2(k∈Z)，故选B.
高中学业水平测试(合格性)数学第33讲简单的三角恒等变换课件
答案：B
4．函数y＝2cos2x－π4－1是(
)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为π2的奇函数
D．最小正周期为π2的偶函数
解析：y＝2cos2
x－π4
－1＝cos(2x－
π 2
)＝sin
2x，奇
函数，T＝π.
答案：A
5．在锐角△ABC中，设x＝sin Asin B，y＝cos
(2)化简：11－＋ccooss
θ－sin θ－sin
θθ＋11＋－ccooss
θ－sin θ－sin
θ θ.
(1)解析：①原式＝sin
π 24
·cos
π＋2π4
·cos
π－1π2
＝sin
π 24·cos
π 24·cos
1π2＝122sin
2π4cos
π 24·cos
1π2＝12sin
π 12·cos
10．在△ABC中，已知cos A＝17，cos(A－B)＝1134，
0＜B＜A＜π2.
(1)求tan 2A的值；
(2)求角B.
解：(1)因为cos
A＝
1 7
且A∈
0，π2
，所以sin
A＝
473，所以tan A＝4 3，
故tan 2A＝1－2tatannA2A＝－8473.
(2)因为A∈0，π2，cos A＝17， 所以sin A＝473，又B＜A＜π2， 所以0＜A－B＜π2 ，因为cos(A－B)＝1134，所以sin(A－ B)＝3143. 所以cos B＝cos[A－(A－B)]＝cos Acos(A－B)＋sin Asin(A－B)＝12， 因为B∈0，π2，所以B＝π3.
高中数学合格考资料 专题05 三角函数
专题05三角函数考点一：任意角和弧度制1．（2022春·天津）360︒化为弧度是A ．2πB ．πC ．32πD ．2π【答案】D【详解】因为180π= ，所以2360π= ，故选D.2．（2021·贵州）若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B【详解】试题分析：直接由三角函数的象限符号取交集得答案．解：由sinα＞0，可得α为第一、第二及y 轴正半轴上的角；由cosα＜0，可得α为第二、第三及x 轴负半轴上的角．∴取交集可得，α是第二象限角．故选B ．考点二：三角函数的概念1．（2023·北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α以O 为顶点，以Ox 为始边，终边经过点()1,1-，则角α可以是（）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π【答案】C【详解】由题意1tan 11α==--，并且点()1,1-在第二象限，3π4α∴=；故选：C.2．（2023·江苏）已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin α=A ．55B ．55-C ．255D ．255-【答案】B【详解】解：角α的终边经过点()2,1P -，则sinα()2215512-==--+，故选B ．3．（2023春·浙江）已知点(23,2)-在角α的终边上，则角α的最大负值为（）A ．5π6-B ．2π3-C ．π6-D ．5π3【答案】C【详解】由题意可知点在第四象限，且23tan 323α-==-，所以π2π,Z 6k k α=-+∈,故当π0,6k α==-此时为最大的负值，故选：C4．（2023春·湖南）设角α的终边与单位圆的交点坐标为13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则sin α=（）A ．12B ．22C ．32D ．1【答案】C【详解】由题意得332sin 21344α==+，故选：C5．（2023·广东）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过(1,3)P ，则tan α的值为（）A ．32B ．33C ．12D ．3【答案】D【详解】由题意3tan 31α==．故选：D ．6．（2021·北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，它的终边经过点()4,3，则cos α=（）A ．45-B ．45C ．34-D ．34【答案】B【详解】解： 角α以Ox 为始边，终边经过点()4,3，∴2244cos 543α==+.故选：B.7．（2022秋·福建）在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于P 点34,.55⎛⎫⎪⎝⎭(1)求()sin πα-的值；(2)求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)45(2)-7【详解】（1）由题意，4445sin ,tan 3535αα===，()4sin sin 5παα∴-==；（2）41tantan 34tan 7441tan tan 143παπαπα++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭--；综上，()4sin π,tan 754παα⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭.考点三：同角三角函数基本关系1．（2022春·辽宁）已知4sin 5θ=，且θ为第二象限角，则cos θ=（）．A ．35-B ．15-C ．15D ．35【答案】A【详解】解：因为4sin 5θ=，且θ为第二象限角，所以cos 0θ<，23cos 1sin 5θθ=--=-故选：A2．（2022秋·福建）已知3sin 5α=，且α为第一象限角，则cos α=（）A ．45B ．45-C ．34D ．34-【答案】A【详解】因为α为第一象限角，3sin 5α=，所以24cos 1sin 5αα=-=．故选：A ．3．（2022秋·广东）已知α是第一象限角，且4sin 5α=，则cos α=（）A ．35-B ．35C ．43-D ．43【答案】B【详解】因为α是第一象限角，则23cos 1sin 5αα=-=.故选：B.4．（2022春·广西）已知cos α=22，tan α=1，则sin α=（）A ．13B ．22C ．37D ．59【答案】B【详解】22sin cos tan 122ααα=⨯=⨯=.故选：B5．（2022春·贵州）若角α是锐角，且1sin 2α=，则cos α=（）A ．12B ．－12C ．－32D ．32【答案】D【详解】因为1sin 2α=，可得223cos 1sin 4αα=-=，又因为角α是锐角，可得cos 0α>，所以3cos 2α=.故选：D.6．（2021秋·吉林）已知4sin 5α=，且α为第二象限角，则cos α的值为（）A ．45B ．45-C ．35D ．35-【答案】D【详解】α为第二象限角，则2163cos 1sin 1255αα=--=--=-.故选：D7．（2021秋·福建）已知3cos 5α=，()0,απ∈，则sin α=（）A ．34-B ．35-C ．34D ．45【答案】D【详解】因为3cos 5α=，()0,απ∈，22sin cos 1αα+=,sin 0α>,所以sin α=22341cos 155α⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.故选：D8．（2021·湖北）已知3sin 5θ=-，且θ为第四象限角，则tan θ=（）A ．43B ．43-C ．34D ．34-【答案】D【详解】解：因为3sin 5θ=-，22sin cos 1θθ+=，所以4cos 5θ=±，因为θ为第四象限角，所以4cos 5θ=，所以sin 3tan cos 4θθθ==-故选：D9．（2021秋·广西）已知2sin 2α=，2cos 2α=，则tan α=（）A ．0B ．1C ．3D ．5【答案】B【详解】由题意可得：sin tan 1cos ααα==.故选：B.10．（2021春·贵州）已知角α是锐角，且4sin 5α=，则cos α=（）A ．35B ．35-C ．45D ．45-【答案】A【详解】解：因为4sin 5α=且角α是锐角，所以cos 0α>，所以2243cos 1sin 155αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭；故选：A11．（2021秋·贵州）若α是第一象限角，且4cos 5α=，则sin α=（）A ．35B ．1C ．12D ．32【答案】A【详解】因为α是第一象限角，且4cos 5α=，所以2163sin 1cos 1255αα=-=-=，故选：A12．（2021秋·贵州）若α第三象限角，且7sin cos 5αα+=-，则sin cos αα-=（）A ．35±B ．35C ．15-D ．15±【答案】D【详解】因为α第三象限角，所以sin 0,cos 0αα<<，因为7sin cos 5αα+=-，且22sin cos 1αα+=，解得3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4sin 53cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则1sin cos 5αα-=±.故选：D.13．（2023·河北）若3cos 210cos 1αα+=，则cos 2cos αα+=（）A ．49-B ．1-C ．109D ．1【答案】A【详解】由题意可知()232cos 110cos 1αα-+=，令cos ,[1,1]t t α=∈-，则23520t t +-=解得1,23t t ==-（舍），故22cos 2cos 2cos 1cos 21t t αααα+=-+=+-2341999=+-=-.故选：A14．（2023·江苏）已知tan 3α=-，则sin 2cos sin cos αααα+=-（）A ．52B ．14C ．54-D ．72-【答案】B【详解】由题意tan 3α=-，可知cos 0α≠，则sin 2cos tan 2321sin cos tan 1314αααααα++-+===----，故选：B15．（2023·云南）已知sin 3cos αα=，则tan α=（）A ．13-B ．3-C ．13D ．3【答案】D【详解】因为sin 3cos αα=，所以sin tan 3cos ααα==.故选：D16．（2022春·天津）已知3cos 4α=-，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求sin α，tan α的值；(2)求sin 2α的值.【答案】(1)7sin 4α=，7tan 3α=-(2)37sin 28α=-【详解】（1）因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α＞，又因为3cos 4α=-，所以297sin 1cos 1164αα=-=-=，所以7sin 74tan 3cos 34ααα===--.（2）因为3cos 4α=-，7sin 4α=，所以7337sin 22sin cos 2448ααα⎛⎫==⨯⨯-=-⎪⎝⎭考点四：诱导公式1．（2023·北京）已知1sin 2α=，则()sin α-=（）A ．12-B ．12C ．22-D ．22【答案】A【详解】由诱导公式得()sin sin αα-=-，因为1sin 2α=，所以()1sin sin 2αα-=-=-，故选：A ．2．（2023·河北）若1sin 4α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos()α-=（）A ．34B ．34-C ．154-D ．154【答案】C【详解】因为1sin 4α=，且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以215cos 1sin 4αα=--=-，又因为cos()cos αα-=，所以15cos()4α-=-，故选：C .3．（2023春·新疆）sin210= （）A ．12-B ．12C ．32-D ．32【答案】A【详解】由诱导公式可知，()1sin210sin 18030sin 302=+=-=-.故选：A4．（2022·北京）()sin 45-︒=（）A ．22B ．22-C ．12D ．12-【答案】B【详解】()2sin 45sin 452-︒=-︒=-.故选：B5．（2022秋·浙江）已知α∈R ，则cos （π-α）=（）A ．sin αB ．-sin αC ．cos αD ．-cos α【答案】D【详解】因为()cos cos παα-=-，故选：D.6．（2022·湖南）已知4sin 5α=，则sin()πα-=（）A ．35-B ．35C ．45-D ．45【答案】D【详解】解：因为4sin 5α=，则4sin()sin 5παα-==.故选：D.7．（2022春·广西）若1tan 4α=，则()tan α-=（）A ．1-2B ．1-3C ．1-4D ．1-5【答案】C【详解】()1tan tan 4αα-=-=-.故选：C8．（2021春·福建）()sin πα-等于（）A ．-sin αB ．sin αC ．-cos αD ．cos α【答案】B【详解】()sin sin παα-=.故选：B9．（2021秋·广东）已知π1cos α 22⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin α=（）A ．12B ．-12C ．32D ．-32【答案】A【详解】解：因为π1cos α22⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以1sin α 2=故选：A10．（2021秋·广西）已知()7cos 4α-=，则cos α=（）A ．73B ．74C ．75D ．76【答案】B【详解】因为()7cos 4α-=，则()7cos cos 4αα-==.故选：B.11．（2021秋·青海）19cos 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．32-B ．12-C ．12D ．32【答案】A【详解】19193cos cos cos 2cos cos 666662ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A考点五：三角函数的图象和性质（周期）1．（2023春·福建）已知()cos 1f x x =+，x ∈R ，则()f x 的周期为（）A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π【答案】D【详解】()cos 1f x x =+的最小正周期为：2πT =.故选：D.2．（2023春·湖南）下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A ．sin y x =B ．sin 2y x=C ．cos y x=D ．cos 2y x=【答案】D【详解】由正弦函数与余弦函数的性质可知sin y x =，sin 2y x =为奇函数，cos y x =，cos 2y x =为偶函数，故A ，B 错误，cos y x =的最小正周期为2π，cos 2y x =的最小正周期为π，故C 错误，D 正确，故选：D3．（2023·云南）若函数()sin f x x ω=的最小正周期为π，则正数ω的值是A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【详解】因为函数()sin f x x ω=的最小正周期为π所以222T ππωπ===故选：C4．（2022秋·福建）函数sin 2y x =的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】B【详解】解：由函数sin 2y x =，则最小正周期22T ππ==.故选：B.5．（2022春·贵州）函数()3sin ,f x x x R =∈的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】C【详解】由题意，函数()3sin ,f x x x R=∈根据正弦型函数的周期的计算公式，可得函数()f x 的最小正周期为221T ππ==.故选：C.6．（2021春·福建）函数tan y x =的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π【答案】B【详解】解：函数tan y x =的最小正周期是π；故选：B7．（2021秋·河南）函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是（）A ．周期为2π的奇函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为π的偶函数【答案】D【详解】sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，22T ππ==.设()cos 2f x x =，定义域为R ，()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以cos 2y x =为偶函数.故选：D8．（2023·北京）已知函数()1sin 2f x x =+．(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 的最大值，并写出相应的一个x 的值．【答案】(1)π；(2)最大值为2，相应的一个x 的值为π4．【详解】（1）因为()1sin 2f x x =+，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==；（2）因为()1sin 2f x x =+，当π22π,Z 2x k k =+∈，即ππ,Z 4x k k =+∈时，sin 2x 有最大值1，所以()1sin 2f x x =+的最大值为2，此时ππ,Z 4x k k =+∈,故相应的一个x 的值可取π4.9．（2023春·新疆）已知函数31()sin2cos2122f x x x =++．(1)求()f x 的最小正周期T ；(2)求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合．【答案】(1)π(2)min ()0f x =；|,Ζ3x x k k π⎧⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭【详解】（1）由31()sin2cos2122f x x x =++得π()sin(2)16f x x =++，所以2ππ2T ==；（2）由（1）知min ()110f x =-+=，此时π2ππ262k x =-++，即ππ,Z 3x k k =-+∈，故x 的集合为|,Ζ3x x k k π⎧⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭.10．（2022·北京）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)写出()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】(1)2π(2)121)()f x 的最小正周期为：221T ππ==.(2)因为02x π≤≤，所以336x πππ-≤-≤．当36x ππ-=，即2x π=时，()f x 取得最大值12．11．（2022秋·浙江）已知函数()3sin(2),6f x x x R π=+∈.(1)求()0f 的值；(2)求()f x 的最小正周期.【答案】(1)32(2)π【详解】（1）∵()3sin(2),6f x x x R π=+∈，∴3(0)3sin62f π==（2）∵()3sin(2),6f x x x R π=+∈，∴2ω=，∴()f x 的最小正周期2πT πω==12．（2021·北京）已知函数()sin 2f x x =.(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间[0,4π]上的最大值及相应x 的值.【答案】(1)T π=(2)1，4π【详解】（1）解：因为()sin 2f x x =，所以函数的最小正周期22T ππ==；（2）解：因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以220,x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 20,1x ∈，当且仅当22x π=，即4x π=时函数取得最大值()max 1f x =；13．（2021秋·吉林）已知函数()sin 2cos 2f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求函数()f x 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合.【答案】(1)π(2)()f x 的最大值是2，此时自变量x 的集合为π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.【详解】（1）()πsin 2cos 22sin 24x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（2）由（1）得()π2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以当()πππ22π,πZ 428x k x k k +=+=+∈时，()f x 取得最大值2，此时自变量x 的集合为π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.14．（2021春·浙江）已知函数()cos 2sin 23f x x x +=，x R ∈．（Ⅰ）求()0f 的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期；（Ⅲ）求使()f x 取得最大值的x 的集合．【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）π；（Ⅲ）π|π,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．【详解】（Ⅰ）因为()cos 2sin 22sin π323f x x x x +=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π02sin33f ==．（Ⅱ）因为()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以，2ππ2T ==，所以，()f x 的最小正周期为π．（Ⅲ）因为()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为2．当且仅当ππ22π32x k +=+时，即()ππ12x k k +=∈Z 时，()f x 取得最大值，所以使()f x 取得最大值的x 的集合为π|π,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．15．（2021秋·浙江）已知函数31()sin cos 2626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x R ∈.（1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期；（3）当20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域.【答案】（1）32；（2）2π；（3）[0,1].【详解】（1）313sin cos 322222f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）31()sin cos sin sin 2626663f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()f x 的最小正周期2T π=.（3）因为20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当3x ππ+=，即23x π=时，min ()sin 0f x π==；当32x ππ+=，即6x π=时，max ()1f x =，故()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,1].考点六：图象变换1．（2023·河北）将函数sin 2cos 2y x x =+的图象向右平移π4个单位长度，所得图象的函数解析式可以是（）A ．2cos 2y x =B ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π2cos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．3π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【详解】由sin 2cos 2y x x =+可得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移π4个单位长度可得πππ2sin 22sin 2444y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B2．（2023·江苏）要得到函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．只需将函数2sin y x =的图象（）A ．向左平移3π个单位B ．向右平移3π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位【答案】A【详解】根据相位变换的左加右减有：2sin y x =向左移动3π个单位得到2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选A.3．（2023春·福建）已知sin y x =，则sin y x =上的所有点全部向右移动π6个单位的函数解析式是（）A ．πsin()6y x =+B ．πsin()6y x =-C ．πsin()3y x =+D ．πsin()3y x =-【答案】B【详解】把sin y x =上的所有点全部向右移动π6个单位的函数解析式是πsin()6y x =-.故选：B4．（2023·广东）要获得()1sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，只需要将正弦图像（）A ．向左移动16个单位B ．向右移动16个单位C ．向左移动6π个单位D ．向右移动6π个单位【答案】A【详解】把sin y x =的图象向左平移16个单位，所得图象的函数解析式为1sin()6y x =+．故选：A ．5．（2022春·天津）为了得到函数πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R 的图像，只需将余弦曲线上所有的点（）A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动13个单位长度D ．向右平行移动13个单位长度【答案】B【详解】将cos y x =图像所有的点向右平移π3个单位长度，得到πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像，即为了得到函数πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R 的图像，只需将余弦曲线上所有的点向右平行移动π3个单位长度.故选：B6．（2022·山西）将函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是（）A ．函数()g x 的最小正周期为2πB ．函数()g x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 为奇函数D ．函数()g x 的图象关于直线2x π=对称【答案】C【详解】由题意得：()2cos 2cos 2sin 23362g x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；对于A ，()g x 的最小正周期22T ππ==，A 错误；对于B ，当12x π=时，26x π=，,012π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭不是()g x 的对称中心，B 错误；对于C ，()()()sin 2sin 2g x x x g x -=--==- ，()g x ∴为奇函数，C 正确；对于D ，当2x π=时，2x π=，2x π∴=不是()g x 的对称轴，D 错误.故选：C.7．（2022秋·浙江）为了得到函数1cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos y x =的图象（）A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移13个单位长度D ．向右平移13个单位长度【答案】D【详解】函数cos y x =中的x 替换为13x -,可得到函数1cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此对应的图象向右平移移13个单位长度,可以将函数y =cos x 的图象变为函数1cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故选：D8．（2022秋·福建）为了得到函数sin 13y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin y x =的图象（）A ．向右平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3π个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3π个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【详解】要得到函数sin 13y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，需把函数sin y x =的向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，故选：C9．（2022·湖南）将sin()6y x π=+的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，则得到的新的解析式为（）A ．1sin()36y x π=+B ．sin(3)6y x π=+C ．1sin()36y x π=+D ．3sin()6y x π=+【答案】D【详解】解：sin()6y x π=+的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到的新的解析式为1sin()36y x π=+，整理得3sin()6y x π=+.故选：D.10．（2022秋·广东）为了得到函数y=cos(x +3π)的图象，只需把余弦曲线y=cos x 的所有的点A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移13个单位长度D ．向右平移13个单位长度【答案】A【详解】把余弦曲线cos y x =上的所有的点向左平移3π个单位长度，可得函数cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故选：A.11．（2022春·贵州）给出下列几种变换：①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．②向左平移3π个单位长度．③横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变．④向左平移6π个单位长度．则由函数sin y x =的图象得到sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以实施的变换方案是（）A ．①→②B ．①→④C ．③→②D ．③→④【答案】D【详解】sin y x =的图象得到sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，有如下两个方法，第一种：sin y x =向左平移3π个单位得到sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变得到sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即②→③.第二种，sin y x =横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变得到sin 2y x =，再向左平移6π个单位长度得到sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即③→④.故选：D.12．（2021春·天津）为了得到函数πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R 的图像，只需将正弦曲线上所有的点（）A ．向左平行移动π6个单位长度B ．向右平行移动π6个单位长度C ．向左平行移动16个单位长度D ．向右平行移动16个单位长度【答案】A【详解】sin y x =到πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x 变为π6x +，可得图像向左平移了6π个单位；故选：A.13．（2021春·河北）将函数()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（）A ．()πsin 212g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()πsin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()πsin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()sin 2g x x=【答案】D【详解】函数()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度得到：()ππsin 2sin 2126g x x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：D ．14．（2021·吉林）已知函数sin()4πy x =-的图象为C ，为了得到函数1sin()34πy x =-的图象，只要把C 上所有的点（）A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的1/3，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的1/3，横坐标不变【答案】A【详解】将sin()4πy x =-图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，即可得1sin()34πy x =-的图象，故选：A.15．（2021春·浙江）为了得到函数3sin()5y x π=-的图象，只要把函数3sin()5y x π=+图象上所有的点（）A ．向右平行移动5π个单位长度B ．向左平行移动5π个单位长度C ．向右平行移动25π个单位长度D ．向左平行移动25π个单位长度【答案】C【详解】因为23sin()3sin 555y x x πππ⎡⎤⎛⎫=-=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以只要把函数3sin()5y x π=+图象上所有的点向右平行移动25π个单位长度，即可得到函数3sin()5y x π=-的图象．故选：C考点七：三角函数的图象和性质（综合）1．（2023·河北）已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π0ϕ-<<）的图象如图所示，则ϕ的值是（）A ．7π10-B ．9π10-C ．π2-D ．π5-【答案】A 【详解】由图可知π5ππ266T =-=，所以5π2π3T ω==，所以65ω=，则6()sin 5f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得，πsin 05ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 52k k ϕ+=-+∈，则7π2π,Z 10k k ϕ=-+∈，又因π0ϕ-<<，所以7π10ϕ=-.故选：A.2．（2023春·新疆）已知函数()3π2cos 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的一个单调递增区间是（）A ．π[0,]2B ．π3π[,]44C ．[0,]πD ．π3π[,]22【答案】A【详解】函数3π()2cos i ()2s n 2f x x x =+=，由正弦函数的性质知，函数()f x 在π3π[,]44、[0,]π上都不单调，在π3π[,]22上单调递减，即选项BCD 都不是，函数()f x 在π[0,]2上单调递增，A 是.故选：A3．（多选）（2021·湖北）下列函数中最大值为1的是（）A ．sin y x =B ．cos y x=C ．tan y x=D ．sin y x=【答案】ABD【详解】解：对于A ：函数sin y x =值域为[]1,1-，故A 正确；对于B ：函数cos y x =的值域为[]1,1-，故B 正确；对于C ：函数tan y x =的值域为R ，故C 错误；对于D ：函数sin y x =的值域为[]0,1，故D 正确；故选：ABD4．（2022春·广西）关于正弦函数y =sin x （x ∈R)，下列说法正确的是（）A ．值域为RB ．最小正周期为2πC ．在(0，π)上递减D ．在(π，2π)上递增【答案】B【详解】函数sin (R)y x x =∈的图象如图所示：如图所示，函数sin (R)y x x =∈的定义域为R ，值域为[]1,1-，所以A 错误；sin (R)y x x =∈的最小正周期为2π，所以B 正确；sin (R)y x x =∈在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所C 、D 错误；故选：B5．（多选）（2023春·浙江）已知π()sin 22cos(2)3f x x x ϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭且π(0)6f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ππ22ϕ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．()f x 一条对称轴方程为π12x =B ．π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 值域为[]3,3-C ．()f x 的图像可由()3sin(2)g x x =的图像向左平移π3个单位得到D ．()f x 的一个对称中心为π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】AD【详解】因为π()sin 22cos(2)3f x x x ϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭且π(0)6f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以π2ππsin2cos sin 2cos 333ϕϕ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，即ππ2cos 2cos cos 2sin sin 33ϕϕϕ=-，所以3tan 3ϕ=-，因为ππ22ϕ-≤≤，所以π6ϕ=-，所以ππ()sin 22cos 236f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππsin 22c 2os 23sin 2333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为31212ππππ3sin 23si 2n 3f ⎛⎫⎛⎫⨯+== ⎪ ⎪⎝⎝=⎭⎭，所以()f x 一条对称轴方程为π12x =，故A 正确；当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ4π2333x +∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦,，所以π3sin 2,132x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则(),3332f x ∈-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故B 错误；将()3sin(2)g x x =的图像向左平移π3个单位得到π2π3sin 23sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；因为πππ3sin 23sin 03066f ⎛⎫⎛⎫--⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，所以()f x 的一个对称中心为π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：AD6．（2023·山西）已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图示，且()5π60f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值．【答案】(1)()2sin 2π23x f x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭(2)()f x 的最大值为3,()f x 的最小值为2-【详解】（1）由图像可知2A =，因为()5π60f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 图像的一条对称轴为直线5π05π6212x +==，设()f x 的最小正周期为T ，则5πππ41264T =-=，即πT =，所以2π2T ω==，又5π212f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以5π2sin 26ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即5πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以5ππ2π62k ϕ+=-，Z k ∈，即4π2π3k ϕ=-，Z k ∈．因为π<ϕ，所以2π3ϕ=，所以()2sin 2π23x f x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭．（2）π0,,,2π2π25π2333x x +⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,()2π32πsin 21,,2sin 22,3,323x f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤+∈-=+∈-⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦当2π3π2,32x +=即25π,1x =()f x 的最小值为2-；当2π2π2,33x +=即0,x =()f x 的最大值为3.7．（2023·江苏）已知函数()sin f x x =.(1)求函数23πy f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期；(2)若()()211[]28f x m f x +-≥，求实数m 的取值范围.【答案】(1)π(2)21,2⎡⎫-++∞⎪⎢⎪⎣⎭【详解】（1）3π23πsin 2y f x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==.（2）()()211[]28f x m f x +-≥，即211sin sin 28x m x +-≥，设1sin 2x t -=，1sin 2x t =+，31,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当0t >时，即21128t mt ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，整理得到118m t t ⎛⎫≥-+- ⎪⎝⎭，1121211882t t t t ⎛⎫-+-≤-⋅-=-- ⎪⎝⎭，当且仅当18t t =，即24t =时等号成立，故212m ≥--；当0=t 时，不等式恒成立；当0t <时，即21128t mt ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，整理得到118m t t ⎛⎫≥--++ ⎪-⎝⎭，1121211882t t t t ⎛⎫--++≤--⋅+=-+ ⎪--⎝⎭，当且仅当18t t -=-，即24t =-时等号成立，故212m ≥-+.综上所述：212m ≥-+，即21,2m ⎡⎫∈-++∞⎪⎢⎪⎣⎭8．（2023春·浙江）已知函数23()sin 2cos 23sin 22f x x x x =-+.(1)求()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)若π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且325f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求π28f α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)π2；()ππZ 244k x k =+∈(2)45-【详解】（1）因为()2313πsin 2cos 23sin 2sin 4cos 4sin42223f x x x x x x x ⎛⎫=-+=+=+⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ42T ==；由()ππ4πZ 32x k k +=+∈可得()ππZ 244k x k =+∈，即()f x 的对称轴为()ππZ 244k x k =+∈；（2）因为π0,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又π33sin 22352f a α⎛⎫⎛⎫=+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2ππ5π2336a <+<，因此234cos 21355a π⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故πππ4sin 2c 5π28os 2233f a a α⎛⎫+ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫=+=⎭++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.9．（2023春·湖南）已知函数()3ln f x x =，()()2sin cos g x x x =-.(1)写出函数()f x 的单调区间；(2)求函数()g x 的最大值；(3)求证：方程()()0f x g x +=有唯一实根0x ，且()0130f x -<<.【答案】(1)()f x 单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；(2)()max 22g x =(3)证明见解析【详解】（1）函数()3ln f x x =，定义域为()0,∞+，由对数函数的性质可知，()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()f x 单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；（2）因为()()π2sin cos 22sin 4g x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又因为[]πsin 1,14x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当πsin 14x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()max 22g x =；（3）令()()()()3ln 2sin cos (0)h x f x g x x x x x =+=+->，①当πx ≥时，()3ln 3ln π3ln e 3f x x =≥>=，()()π2sin cos 22sin 2234g x x x x ⎛⎫=-=-≥->- ⎪⎝⎭，则当πx ≥时，()()()0h x f x g x =+>，没有零点；②当ππ2x <<时，有ππ3π444x <-<，则ln 0x >，πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()()()π3ln 22sin 04h x f x g x x x ⎛⎫=+=+-> ⎪⎝⎭，没有零点；③当π02x <≤时，有ππ3π444x <+≤，由()33π2cos 2sin 22sin 04h x x x x x x ⎛⎫'=++=++> ⎪⎝⎭()h x 在π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，()π13ln122sin 104h ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，πππππ3ln 22sin 3ln 3ln1044444h ⎛⎫⎛⎫=+-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在唯一实数0π,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，因为()()3ln 0,f x x x =∈+∞在上单调递增，所以()()0π14f f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，因为()10f =，所以()00f x <，因为0()0h x =，即()0003ln 2sin cos 0x x x +-=,所以()0000π3ln 2sin cos 22cos()4x x x x =-+=+，因为0π,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0ππ43x <<，所以0ππ7π,4122x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令0π4t x =+，由cos y t =在π7π,212⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，得7πππ26cos coscos 12344t -⎛⎫>=+= ⎪⎝⎭，即0π26cos()44x -+>，所以0π2622cos()221344x -+>⨯=-，又因为00π3ln 22cos()4x x =+，所以03ln 13x >-，即()013f x >-，综上所述：方程()()0f x g x +=有唯一实根0x ，且()0130f x -<<.10．（2022·山西）已知函数()4cos sin()16=+-f x x x π.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2，1-．【详解】（Ⅰ）因为()4cos sin f x x =16x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭314cos sin cos 122x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭23sin22cos 13sin2cos22sin 26x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，故()f x 最小正周期为π（Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤．于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当ππ266x +=-，即6x π=-时，()f x 取得最小值1-．11．（2022春·辽宁）已知函数()ππsin cos cos sin44f x x x =+(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；(3)求满足()12f x >的x 的取值范围．【答案】(1)函数()f x 的最小正周期为2π(2)函数()f x 的值域为2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)x 的取值范围为π7π2π,2π1212k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()k ∈Z 【详解】（1）解：函数πππ()sin cos cos sin sin 444f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭；故函数的最小正周期为2π2π1T ==；（2）解：由于π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故π2sin ,142x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦．即函数的值域为2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（3）解：由于π1sin 42x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以ππ5π2π2π646k x k +<+<+，()k ∈Z ，故π7π2π2π1212k x k -<<+，()k ∈Z ，故x 的取值范围为π7π2π,2π1212k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()k ∈Z ．12．（2022春·浙江）已知函数()23sin 22cos f x x x =+.(1)求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求函数()f x 的最小正周期；(3)当[],2x t t ∈（[][],20,2πt t ⊆）时，()1f x ≤恒成立，求实数t 的最大值.【答案】(1)314f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)π(3)1124π【详解】（1）22πππππ3sin 22cos 3sin 2cos 3144424f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()2π3sin 22cos 3sin 2cos 212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；（3）当[],2x t t ∈，()1f x ≤恒成立，即π2sin 2116x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，所以π1sin 206x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，因为[],2x t t ∈，[][],20,2πt t ⊆，所以πππ242π66t t ≤+<+≤，解得5π11π1224t ≤≤，即实数t 的最大值为11π24；综上，π314f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为π，实数t 的最大值为11π24.13．（2021·湖北）已知函数()cos 23sin 21f x x x m =+++．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()f x 的最小值为0，求常数m 的值．【答案】（1）π；（2）1m =.【详解】（1）由函数()cos 23sin 212cos(2)13f x x x m x m π=+++=-++，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==.（2）由（1）知函数()2cos(2)13f x x m π=-++，因为()f x 的最小值为0，可得当cos(2)13x π-=-时，取得最小值，即2(1)10m ⨯-++=，解得1m =.考点八：三角恒等变换1．（2022·北京）sin cos θθ=（）A ．1sin 22θB ．1cos 22θC ．sin 2θD ．cos 2θ【答案】A【详解】由二倍角公式可得，sin cos θθ=1sin 22θ.故选：A.2．（2023·江苏）在ABC 中，已知3cos25A =-，则sin A =（）A ．255-B ．45C ．55D ．255【答案】D【详解】()0,πA ∈，sin 0A >，23cos212sin 5A A =-=-，解得25sin 5A =.故选：D3．（2023春·福建）求2sin15°cos15°的值（）A ．3B ．22C ．32D ．12【答案】D【详解】2sin15cos151sin 302==故选：D.4．（2023·云南）cos40cos10sin40sin10+= （）A ．12-B ．12C ．32-D ．32【答案】D【详解】2c )os 40cos10sin 40sin 310cos(3cos 40100+===-.故选：D5．（2022春·广西）cos66cos6sin 66sin 6⋅+⋅= （）A ．12B ．13C ．15D ．16【答案】A【详解】cos66cos6sin 66sin 6⋅+⋅= 1cos(666)cos602-==.故选：A6．（2022春·贵州）sin73cos17cos73sin17︒︒︒︒+＝（）A ．0B ．12C ．32D ．1【答案】D【详解】()sin73cos17cos73sin17sin 73+17sin 901︒︒︒︒==︒+︒=︒.故选：D7．（2021春·河北）若2sin cos 3αα+=，则πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．23C ．12D ．22【答案】A【详解】因为2sin cos 3αα+=，所以()π222221sin sin cos sin cos 4222233ααααα⎛⎫+=+=+=⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.8．（2021·吉林）sincos44ππ的值为（）A ．12B ．22C ．24D ．2【答案】A 【详解】sin cos44ππ11sin 222π==；故选：A.9．（2021春·福建）已知3sin 5α=，α为锐角，则sin 2α=（）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425【答案】D【详解】234cos 155α⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=故选：D10．（2021·北京）sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝（）A ．12B ．22C ．32D ．1【答案】A【详解】原式()1sin 2010sin 302=︒+︒=︒=故选：A11．（2021·北京）函数()3sin cos f x x x =的最大值为（）A ．1B ．12C ．2D ．32【答案】D【详解】∵()33sin cos sin 22f x x x x ==，∴函数()3sin cos f x x x =的最大值是32.故选：D.12．（2023·山西）已知tan 2x =，则2sin 21cos 2=+x x ．【答案】22【详解】因为tan 2x =，所以22sin 24sin cos 2tan 221cos 22cos x x x x xx ===+，故答案为：2213．（2022·山西）已知tan 2θ=，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2θ=.【答案】35-/0.6-【详解】22222222cos sin 1tan 143cos 2cos sin sin cos tan 1415θθθθθθθθθ---=-====-+++.故答案为：35-.14．（2021·北京）计算sin13cos32cos13sin 32+=.【答案】22/122【详解】()sin13cos 32cos13sin 32sin 1332sin 4522+=+==故答案为：2215．（2021秋·吉林）已知1sin 23α=-，则2πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为.【答案】13【详解】由于2ππ22c cos os 124αα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22π1π1sin 22cos 1cos 4343ααα⎛⎫⎛⎫=--=-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：1316．（2021秋·河南）sin 37cos 23cos37sin 23︒︒︒︒+的值为.【答案】32【详解】sin 37cos 23cos37sin 23︒︒︒︒+3sin(3723)sin 602=︒+︒=︒=．故答案为：32．。
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一、选择题
1．若{EMBED Equation.DSMT4 |A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）
A．B．C．D．
2．sin14ºcos16º+cos14ºsin16º的值是（）
A．B．C．D．-
3．已知a=b=且a∥b，则锐角的大小为（）
A．B．C．D．
4．已知角的终边经过点P(-3,4)，则下列计算结论中正确的是（）
A．B．C．D．
5．在△ABC中，若则( )
A．B．C．D．
6．设，若，则等于（）
A．B．C．D．
7．已知，且，那么角是（）
A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角
8．在[0，]上满足的的取值范围是（）
A．[0，] B．[] C．[] D．[]
9．把正弦函数y=sin x（x∈R）图象上所有的点向左平移个长度单位，再把所得函数图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，得到的函数是（）
A．y=sin B．y=sin C．y=sin D．=sin
10．函数是（）
A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数
11．函数的最小值是（）
A．0 B．1 C．-1 D．—
12．函数在一个周期内的图象如图,此函数的解析式为（）
A．B．
C．D．
二、填空题
15．在△ABC中，若_________。
16．在△ABC中，若_________。
17．在△ABC中，若则△ABC的形状是_________。
18．若，则的值是
三、解答题
19．已知求
20．已知函数
（1）求取最大值时相应的的集合；
（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到的图象
21．已知为的最小正周期，，且．求的值．。