第3章离散时间序列及其Z变换
离散时间信号z变换
3.2.4 Z变换旳性质和定理
1.线性
假如 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx 则有： Z[ y(n)] Y (z), Ry z Ry
Z[ax(n) by(n)] aX (z) bY (z), max(Rx , Ry ) z min(Rx , Ry )
*即满足均匀性与叠加性； *收敛域为两者重叠部分。
z b
z b
z a z a , z b; zb zb zb
Y (z) X (z)H (z) z z a z za zb zb
X (z)的极点与H (z)的零点相消，Y (z)
的收敛域扩大，为 z b .
y(n) x(n) h(n) Z 1[Y ( z)] bnu(n)
12.帕塞瓦定理(parseval)
6. 翻褶序列
假如 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
1
1
1
Z[x(n)] X ( ) ;
z
z
Rx
Rx
证明： Z[x(n)] x(n)zn x(n)zn
n
n
x(n)(z1)n
n
X
(
1 z
)
，Rx
z 1
Rx ，
即 1 z 1
Rx
Rx
7. 初值定理
对于因果序列x(n)，则x(0) lim X (z)。 z
0.5z 1)
(z
z2 2)(z
0.5)
X (z)
z
A1 A2
z (z 2)(z 0.5) z 2 z 0.5
A1
[( z 2)
X (z) z ]z2
4 3
X (z)
1
A2 [( z 0.5)
第3章 离散信号的时域和Z域分析
f1 (n) [ f2 (n) f3 (n)] f1 (n) f 2 (n) f1 (n) f3 (n)
f1 (n) f2 (n) f3 (n) f1 (n) f2 (n) f3 (n)
任意序列可以利用单位脉冲序列及带时移 单位脉冲序列的线性加权和表示，
如图所示离散序列可以表示为
f (n) 3 (n 1) (n) 2 (n 1) 2 (n 2)
性质：它也具有抽样性，即
f (n) (n) f (0) (n) f (n) (n m) f (m) (n m) f (n) (n m) f (m) (n m)
2． 单位阶跃序列u(n)
1 u ( n) 0
这个序列在
n0 n0
n 0 时取值为1，n 0 时取值为0， 因此
称为“单位阶跃序列”。单位阶跃序列如图3所示。
u (n )
1
… －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 n
图 3 u(n)序列
它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶 跃函数u(t)，它也具有截取特性，即可将一个双 边序列截成一个单边序列。
例 设序列
求y(n)= x(n)*z(n) 。
解：
对应点相乘！ n＜0时，x(m)与z(n-m) 没有重叠，得y(n)=0。 对应点相乘！ 0≤n≤4时，
4＜n≤6时，
6＜n≤10时，
n＞10时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)= 0。
4）卷积的性质 (1)代数定律：交换律、分配律、结合律
m 0 N 1
4．实指数序列
实指数序列是指序列值随序号变化刚好按
离散时间序列的Z变换
z变换与傅里叶变换，拉普拉斯变换的关系
虚轴上的拉普拉斯变换对应与连续时间信 号的傅里叶变换 。 单位圆上的z变换对应于离散时间信号的傅 里叶变换 。 s平面的虚轴s=jω映射到z平面的单位圆 。 如果一个离散时间信号的傅里叶变换存在， 它在z平面的收敛域应包含单位圆。
5.2.2 常用序列的 变换 常用序列的z变换
.1 z变换的定义 变换的定义
X ( z) =
双 边
Im[z]
n = −∞
∑ x( n) z
∞
−n
X ( z ) = ∑ x (n) z −n
n =0
Im[z] Im[ ]
∞
单 边
a 0 b Re[z] 0 Re[z]
(a) 双边z变换的收敛域
(b) 单边z变换的收敛域
１.单位序列
z[δ (n)] = ∑ δ (n) z −n = δ (n) = 1
n =0 ∞
２.阶跃序列
Z [ε (n)] = ∑ ε (n) z
n =0 ∞ −n
= ∑ z −n =
n =0
∞
1 z = 1 − z −1 z − 1
3．指数序列
z[a n ε (n)] = ∑ a n z − n = ∑ (az −1 ) n
n =0 n =0 ∞ ∞
当|az-1|<1，即|z|>|a|时，级数收敛，其结果为
z 1 z[a ε ( n)] = = −1 1 − ( az ) z − a
n
常 用 序 列 的 Z 变 换 表
5.2.3 Z变换的性质 变换的性质
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法
X ( z)
n
x ( n ) z n
n2
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 为分析收敛域的特点，将序列分成两部分，一部分 是n≥0的部分，另一部分是n<0的部分，分析如下：
X ( z)
n
x ( n ) z n x ( n ) z n
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 如果|a|＜1，则由于|a|-1＞1，收敛域一定包含单位圆，因 此该序列的傅立叶变换存在，即
X (e j ) X ( z ) z e j
X ( z ) x ( n ) z n x ( n ) z n
例 3.2.2
1
n n1 n 0 求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域。
解
X ( z)
n
a u( n ) z
n
n
a z
n 0
n n
上式Z变换存在，要求|az-1|＜1，解这个不等式，得 到： |z|＞|a|，它的Z变换为
对因果序列的Z变换，称为单边Z变换，定义如下：
X ( z ) x ( n ) z n
n 0
(3.1.3)
(3.1.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要求级数绝对可和，用公式表示如下：
n
x(n) z
n
(3.1.4)
第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析方法 要使上式成立，除和序列x(n)有关以外，和z变量 在z平面上取值的域也有关。如果对于某个序列，称能 使上式成立的z变量取值的域为X(z)的收敛域, 则可以 推想, 对于不同的序列, 就有不同的收敛域。 收敛域一般用下式表示：
离散时间信号及其Z变换
离散时间信号及其Z变换离散时间信号是信号与时间变量在一系列离散时间点上取值的函数，它在数字信号处理中有着重要的应用。
离散时间信号与连续时间信号类似，也可以通过不同的数学工具进行分析和处理。
其中，Z变换是离散时间信号的重要工具之一。
离散时间信号是在一系列离散时间点上取值的函数，这些离散时间点可以是整数、实数或复数。
离散时间信号通常用序列表示，即按一定顺序排列的值的集合。
离散时间信号可以是有限长度的，也可以是无限长度的。
离散时间信号在很多领域都有广泛的应用，包括通信、控制系统、数字图像处理等。
在通信系统中，信号可以是传输数据的形式，例如音频信号、视频信号等。
在控制系统中，离散时间信号可以作为控制信号，用于调整系统的状态和输出。
在数字图像处理中，图像可以被表示为二维离散时间信号，通过对其进行处理，可以实现图像的增强、压缩等功能。
Z变换是一种重要的工具，能够将离散时间信号从时域转换到复频域。
Z变换本质上是一种数学变换，它将离散时间信号转换为复平面上的函数。
Z变换的定义是通过对离散时间信号的每个样本点进行加权求和得到。
离散时间信号的Z变换可以表示为：X(z) = ∑[x(n) * z^(-n)] (n从负无穷到正无穷)其中，X(z)是离散时间信号X(n)的Z变换，x(n)是离散时间信号X(n)在时间点n上的取值，z是复平面上的变量。
通过Z变换，我们可以将离散时间信号转换到复频域，从而可以进行频域分析和处理。
在Z平面上，可以通过观察X(z)的性质来分析离散时间信号的频域特性，例如振幅谱、相位谱等。
我们还可以通过对Z变换进行逆变换，将离散时间信号恢复到时域。
Z变换的性质包括线性性、平移性、时域乘法、频域卷积等。
这些性质使得Z变换在信号处理中有着广泛的应用。
通过Z变换，我们可以分析离散时间系统的稳定性、频率响应、脉冲响应等。
此外，Z变换还可以用来设计离散时间系统，例如数字滤波器的设计等。
总结来说，离散时间信号及其Z变换在数字信号处理中起着重要的作用。
第3章-离散时间序列与Z变换1
3.1 离散时间信号--序列 序列 经典序列 序列旳运算 序列旳周期性
一、序列
1. 离散时间信号与数字信号
时间为离散变量旳信号称作离散时间信号； 而时间和幅值都离散化旳信号称作为数字信号。
x(n)
x(0)
x(-1) x(1)
x(-2)
x(2)
n -2 -1 0 1 2
3.斜变序列n u(n)
Z[n u(n)]=z1 +2z2 + +nzn +
可利用u(n)旳z变换
zn n=0
=
1 1z1
等式两边分别对z1求导，得
n(z1)n1 n=0
=
1 (1z1)2
= z2 (z 1)2
等式两边各乘z1 ，得到
n(z1)n =
z
n=0
(z 1)2
|z| >1
|z| >1
②旳收敛域 RX <|z|
0
n
RX < RX+ ①、 ②旳公共收敛域 RX < |z|< RX+
RX > RX+双边序列z变换不存在
例已知x(n) =c|n|， c为实数，求X(z) 。
cn 解：x(n)= c|n| =
cn
n<0 n0
1
X(z) = c|n| zn = cnzn + cnzn =X1(z) +X2(z)
n=
n=1
n=0
=1
lim
n
1(a1z)n 1a1z
|a1z| <1
=1
1 1a1z
=
z za
|a| > |z|
离散时间系统与z变换简介
离散时间系统与z变换简介离散时间系统是一种在时间轴上以离散方式运行的系统。
在这种系统中，信号的取样是在特定的时间间隔内进行的，而不是连续地采样。
离散时间系统可以用于模拟实际世界中的许多系统，如数字信号处理、数字滤波器和控制系统等。
离散时间系统的数学表达通常使用z变换。
z变换是一种将离散时间信号转换为复平面上的函数的变换。
它与连续时间系统中的拉普拉斯变换类似，但在z变换中，时间是用离散的步长表示的。
z变换将离散时间系统中的差分方程转换为复平面上的代数表达式，从而方便了对系统的分析和设计。
在离散时间系统中，信号和系统的运算通常使用差分方程进行描述。
差分方程是一种递推关系，它将当前时间步的输入和输出与其之前的时间步的输入和输出之间建立起关联。
z变换提供了一种将这些差分方程转换为代数方程的方法，从而可以更方便地分析系统的特性。
使用z变换，可以计算离散时间系统的频率响应、稳定性和传输函数等重要性质。
频率响应描述了系统对不同频率输入的响应。
稳定性判断了系统是否能够产生有界的输出，而传输函数则表示系统输入和输出之间的关系。
总结来说，离散时间系统是一种以离散方式运行的系统，可以使用z变换进行数学建模和分析。
z变换将离散时间信号和系统转换为复平面上的函数，方便了对系统的频率响应、稳定性和传输函数等特性进行研究。
离散时间系统和z变换在数字信号处理和控制系统等领域具有广泛的应用。
离散时间系统是现代通信、信号处理、控制系统等领域中的核心概念之一。
离散时间系统可以通过对输入信号进行离散采样，以特定的时间间隔获取信号的采样值，从而实现在离散时间点上对信号进行处理和操作。
与连续时间系统不同，离散时间系统的输入和输出信号在时间上都是离散的。
离散时间系统的分析和设计常常采用差分方程描述。
差分方程是一种递推关系，它表达了当前时间步的输入和输出与之前时间步的输入和输出之间的关系。
在离散时间系统中，z变换是一种非常重要的数学工具。
z变换将离散时间信号转换为复平面上的函数，从而方便了对离散时间系统进行数学建模和分析。
z变换公式
z变换公式在信号处理领域中，z变换是一种将离散时间序列转换为复频域的工具。
它在数字信号处理、控制系统分析和通信工程等领域中广泛应用。
本文将详细介绍z变换的概念、特性以及常见的z变换公式。
一、z变换的概念z变换是对离散时间信号进行频域分析的一种方法。
它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换只适用于连续时间信号，而z变换适用于离散时间信号。
通过将离散时间序列表示为z的幂级数形式，可以将离散时间信号在复频域中进行表示和分析。
z变换的定义如下：X(z) = Z{x(n)} = ∑[ x(n) * z^(-n)] （1）其中，x(n)是离散时间序列，X(z)是x(n)的z变换。
二、z变换的特性与傅里叶变换类似，z变换也具有线性性、时移性、共轭性和卷积性质。
下面对每个特性进行详细讨论。
1. 线性性z变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及离散时间序列x1(n)和x2(n)，有以下公式成立：Z{a * x1(n) + b * x2(n)} = a * X1(z) + b * X2(z) （2）其中，X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的z变换。
2. 时移性z变换具有时移性质，即对于离散时间序列x(n - k)，其z变换为Z{x(n - k)} = z^(-k) * X(z)。
3. 共轭性z变换具有共轭性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，则x*(-n)的z 变换为X*(1/z*)，其中，*表示共轭。
4. 卷积性质z变换具有卷积性质，即对于离散时间序列x1(n)和x2(n)的卷积序列y(n) = x1(n) * x2(n)，其z变换为Y(z) = X1(z) * X2(z)，其中，*表示乘法运算。
三、常见的z变换公式根据z变换的定义和特性，可以得到一些常见的z变换公式，下面将逐个进行介绍。
1. 常数序列对于常数序列x(n) = C，其z变换为X(z) = C * (1 - z^(-1)) / (1 - z^(-1))。
Z变换及离散时间系统分析
Z变换及离散时间系统分析Z变换是一种用于描述离散时间系统的重要数学工具。
离散时间系统是指信号的取样点在时间上离散的系统。
而Z变换可以将离散时间信号从时域（时间域）转换到频域（复频域），并在频域进行分析和处理。
Z变换在数字信号处理、控制系统和通信系统等领域有着广泛的应用。
Z变换的定义为：\[ X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} x(n)z^{-n} \]其中，\(x(n)\)表示离散时间信号，\(X(z)\)表示该信号的Z变换，\(z\)表示复变量。
通过对离散时间系统的输入信号进行Z变换后，可以得到系统的传递函数。
系统的传递函数是指系统的输出与输入之间的关系。
在离散时间系统中，传递函数可以表示为：\[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} \]其中，\(Y(z)\)表示系统的输出信号，\(X(z)\)表示系统的输入信号。
通过Z变换可以对离散时间系统进行频域分析。
频域分析可以用来研究离散时间系统的频率特性，比如系统的频率响应、幅频特性、相频特性等。
频域分析可以揭示系统在不同频率下对信号的处理情况，对于设计和优化离散时间系统非常有帮助。
Z变换具有一些重要的性质，可以方便地对离散时间系统进行分析和计算。
其中一些常用的性质包括：1. 线性性质：对于任意常数\(a\)和\(b\)，以及信号\(x(n)\)和\(y(n)\)，有\(Z(a \cdot x(n) + b \cdot y(n)) = a \cdot X(z) + b \cdot Y(z)\)。
这个性质说明Z变换对线性系统是可加性的。
2. 移位性质：如果将信号\(x(n)\)向左或向右移动\(k\)个单位，那么它的Z变换\(X(z)\)也将发生相应的移位，即\(Z(x(n-k)) = z^{-k} \cdot X(z)\)。
这个性质说明Z变换对系统的时移（时延）是敏感的。
3. 初值定理：如果离散时间信号\(x(n)\)在n=0处存在有限值，那么在Z变换中，它的初值可以通过计算\(X(z)\)在z=1处的值得到，即\(x(0) = \lim_{z \to 1}X(z)\)。
Z变换及离散时间系统.
1 zN
, z 0
1 z 1
三、S、Z复平面间的映射关系 S平面到Z平面的映射是非单一的。
四、频率轴的定标
2.2 Z变换的定义域ROC
X (z) x[n]zn n
令 z re jω, z r.
z 变换收敛意味着:
X (z) x[n]zn x[n] z n
n
n
x[n] r n
例2. 左边序列：x[n] a nu[n 1],
1
X (z) a n z n n a 1 z n n1
ROC : a 1z 1,
i.e. z a .
X
(z)
1
1 az
1
.
唯一性问题
Z变换与F变换的关系
• DTFT : 在 z e j 的z 变换, i.e., z 1。 • DTFT : 在单位圆上的 z 变换。 • DTFT 存在 (i.e. 序列稳定 ) ROC 含单位圆。
(b) 再用观察法求x[n].
• 例1. X (z) e z1 , z 0.
(b) 时移 : x[n d ] z d X (z)
(c)
指数相乘:
z
n 0
x[n]
X(z /
z0 ),
ROC z0 ROCx
(d ) 微分 : nx[n] z dX (z) , ROC不变 dz
(e) 反序 : x[n] X (z 1 ), ROC 1/ ROC
( f ) 共轭 : x[n] X (z ), ROC 不变
Z变换是F变换的一般化、推广， 序列的F变换是在单位圆周（|Z|＝1）上 的Z变换。
(1) [n] 1, z C
(2)
u[n]
1
1 z
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即
的
0
有
效
取
值
区
间
为
：
0 或0 0 2
12 May 2020
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号）
8、用单位脉冲序列 (n)表示任意的序列 x(n)
x(n) x(2) (n 2) x(1) (n 1) x(0) (n)
x(1) (n 1) x(2) (n 2) x(k) (n k)
X (z) x(n) zn —— 单 边Z变 换 n0 z —— 连 续 的 复 变 量
例如： x(n) anu(n) ，a 为常数（实数或复数）求 X(z)。
X(z)
anu(n) • zn
a
n
n
n0 z
12 May 2020
第3章 第2节 序列的Z变换
二、Z变换的收敛域
1、收敛条件和收敛域的定义
n
0 ,
也可
表
示
为
：u(n)
(n m)
n0
m0
u(n
k)
1 0
nk nk
12 May 2020
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号）
3、矩形序列 RN (n)
1
RN
(n)
0
0 n N 1 (其 他n）
或 RN (n) u(n) u(n N )
R4(n) 1
01 23
( A为正整数)
12 May 2020
第3章 第1节 离散时间信号
三、序列的运算
5、尺度变换——压缩和扩展
序列的扩展也称为序列的延伸（补零、内插零值），是
在原序列的相邻序号之间插入零值，重新排列使原序列延长。
z(n)
x(
n A
)
0
(n Ak;k 0,1,2, ) (n Ak)
12 May 2020
n
-0.39 -0.2
-0.26
12 May 2020
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 7、复指数序列
x(n) e j0n cos0n j sin0n
由 于n取 整 数 ， 则 有 ：
e e j0n
j0 (n 2k )
（k为 正 整 数 ）
由 此 可 得 ： 复 指 数 序 列在 频 域 是 以2为 周 期 的 周 期 函 数 ！
3
2
2 2
f1 (k )
1
1
1
f2(1 k) 3
2 2 f1(k)
11
1
f2(2 k) 3
2 2 f1(k)
1
1
n2 n 1 n
0 1 2 3 k -2 -1 0 1 2 3 k -1 0 1 2 3
k 0 123
k
y(0)=2
y(1)=7
y(2)=11
f2(3 k)
f1 (k )
3
2 22
f1(k) f2 (4 k) 3
即：2 10为无理数,不是周期序列。 0
1
sin n
1
5
0.93 0.99 1 0.97 0.91
0.56 0.72 0.84 0.2 0.39
0.81 0.68 0.52 0.33 0.14
16 17 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -0.06
序列的Z变换是一个幂级数，只有收敛时才有意义。根
据级数收敛的条件可得，X(z)收敛的条件是级数绝对可和。
| x(n) • z n |
n
收敛域的定义：使序列x(n)的Z变换X(z)收敛的复平面 上所有Z的集合，可用图形来表示，称为该Z 变换的收敛域。
记为ROC——Region of Convergence
（2） 根值判别法
R 1 R 1
lim n
n
an
R
R 1
收敛 发散 不定
12 May 2020
第3章 第2节 序列的Z变换
二、Z变换的收敛域
2、收敛性的判定方法 例如：已知序列
x(n) anu(n)
则 其Z变 换 为 ：X (z) anzn (az1 )n
n0
n0
由lim an1 az1 R或lim n az1 n az1 R
Ts 闭合一次
12 May 2020
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号）
1、单位抽样（脉冲）序列 (n)
(n)
1 0
n0 n0
(n
k)
1 0
nk nk
12 May 2020
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号）
2、单位阶跃序列u(n)
1
u(n)
0
n
n
对 其 进 行 拉 普 拉 斯 变 换， 可 得 ：
Fs (s) L fs (t) f (nTs )L (t nTs ) f (nTs ) esnTs
n -
n -
令z e STs , x(n) x(nTs ),则 可 得 一 个z的 函 数 为 ：
X (z) x(n) zn —— 双 边Z变 换 n -
第3章 第1节 离散时间信号
三、序列的运算 2、相乘 两个序列同序号（同一时刻）的序列值对应相乘。
z(n) x(n) • y(n)
序列的数乘： y(n) a • x(n)
12 May 2020
第3章 第1节 离散时间信号
三、序列的运算 3、移位（延时）
z(n) x(n m)
表示z(n)是x(n)的移位序列，若n 0，则m为正时是 右 移 ，m为 负 时 是 左 移 。
12 May 2020
第3章 第1节 离散时间信号
三、序列的运算 4、反褶（转置）
z(n) x(n)
12 May 2020
第3章 第1节 离散时间信号
三、序列的运算 5、尺度变换——压缩和扩展 序列的压缩也称为序列的抽取，即将序列中的某些值
去除后剩下的序列值按次序重新排列，其结果使序列缩短。
z(n) x( An)
n 12 May 2020
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号）
4、单边指数序列
x(n) anu(n)
anu(n)
anu(n)
1 0 a 1
a 1 1
n -1 0 1 2 3
anu(n) 1
1 a 0
-1 0
12
3
n
n -1 0 1 2 3
anu(n)
a 1 1
n -1 0 1 2 3 4
sin 4 n
11
1 0.91
0.99
0.91
0.76
0.54
0.28
n
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-0.28
9 10 11 12
-0.76
-0.91 -1
-0.54 -0.99
-0.76 -0.91
12 May 2020
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号）
6、正弦、余弦序列 再例如：x(n) sin 1 n 5
x(k) (n k) k
例如：
f (n)
3
f (n) 2 (3) (1) (2)
2
0 (1) 1 (0) 3 (1) (2) (2)
1
n -3 -2 -1 0 1 2
-1 -2
12 May 2020
第3章 第1节 离散时间信号
三、序列的运算
1、相加
两个序列同序号（同一时刻）的序列值对应相加。
2
1
1
0 123 f1 (k )
22
n
f2 (k ) 3
2
1 n
012
f2 (k ) 3
2
1
1
0 123 k
1、置换
1 k
012
1
k -2 -1 0
2、反褶
12 May 2020
第3章 第1节 离散时间信号
三、序列的运算 7、卷积运算——图解示例
3
f2(n k)
2
2
1
1
f1 (k )
2 1
f2 (k )
z(n) x(n) y(n)
n
序列的累加（求和）： y(n) x(m)
m
表 示y(n)当 前 时 刻n的 值 是x(n)当 前 时 刻n的 值
与 过 去 所 有 时 刻 值 的 和。
y(n)
f (n)
33
2 1
求和
22 2
1
n -1 0 1 2
n -1 0 1 2 3 4
-1
12 May 2020
6、正弦、余弦序列
正弦：x(n) sinn0 余弦：x(n) cos n0 0 ——数字角频率。
sin n
6
1
1
0.87
0.87
0.5
0.5
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
n
7 8 9 10 11 12
-0.5
-0.87 -1
-0.5
-0.5
-0.87
-0.87
-1
12 May 2020
只在离散时刻才有定义。工程上是从连续时间信号经抽样 得到的离散时间信号。
f (n) 3.1, 3.8, 4.3, 4.5, 4, 3.5, 2.5, 0.7
n0
f (t)
f (n)
4.5
R
4.3 4.5
4
3.8
4
3