余子式
行列式余子式
行列式余子式
余子式所属现代词，指的是在线性代数中，一个矩阵A的余子式（又称余因式）是指将A 的某些行与列去掉之后所余下的方阵的行列式。
严格定义
设A为一个m×n的矩阵，k为一个介于1和m之间的整数，并且k≤n。
A的一个k阶子式是在A中选取k行k列之后所产生的k个交点组成的方块矩阵的行列式。
A的一个k阶余子式是A去掉了m−k行与n−k列之后得到的k×k矩阵的行列式。
由于一共有k种方法来选择该保留的行，有k种方法来选择该保留的列，因此A的k 阶余子式一共有k^2个。
如果m=n，那么A关于一个k阶子式的余子式，是A去掉了这个k阶子式所在的行与列之后得到的(n-k)×(n-k)矩阵的行列式，简称为A的k阶余子式。
n×n的方块矩阵A关于第i行第j列的余子式M ij是指A中去掉第i行第j列后得到的n−1阶子矩阵的行列式。
有时可以简称为A的（i，j）余子式。
余子式与代数余子式的定义
余子式与代数余子式的定义余子式与代数余子式的定义一、什么是余子式与代数余子式余子式和代数余子式是矩阵理论中常见的概念，它们与行列式密切相关。
我们来明确一下余子式和代数余子式的定义。
余子式：对于一个n阶矩阵A，若去掉其中的第i行和第j列后得到的（n-1）阶矩阵记作A(i, j)，则A(i, j)的行列式称为矩阵A的余子式，记作M(i, j)。
代数余子式：对于一个n阶矩阵A，矩阵A的任一元素a(i, j)与其对应的余子式M(i, j)的乘积记作A(i, j)，即A(i, j) = a(i, j)·M(i, j)。
其中，正负号由元素的位置(i, j)决定，根据“剪切法则”确定。
总结起来，余子式就是一个矩阵中去掉某行某列后得到的子矩阵的行列式，而代数余子式则是某个元素与其对应的余子式的乘积。
二、深入探讨余子式与代数余子式的性质与作用接下来，我们将从深度和广度两个维度分别探讨余子式和代数余子式的性质与作用。
1. 深度探讨：余子式的性质和作用余子式在矩阵理论和线性代数中有着重要的地位和作用，具体表现在以下几个方面：1.1. 行列式的计算：余子式是行列式计算中的关键环节。
通过递归地计算余子式，可以得到行列式的值。
具体而言，对于一个n阶矩阵A，我们可以选择任意一行或一列，计算该行（列）中每个元素与其对应的余子式的乘积，并按照正负号相加得到行列式的值。
1.2. 矩阵的逆与伴随矩阵：通过余子式的概念，可以定义矩阵的逆和伴随矩阵。
对于一个n阶可逆矩阵A，其逆矩阵A^(-1)的第i行第j列的元素可以表示为A^(-1)(i, j) = M(j, i) / |A|，其中M(j, i)为A的余子式，|A|为A的行列式。
1.3. 特殊矩阵的性质：余子式在研究特殊矩阵的性质时发挥了重要作用。
如果一个方阵A的所有余子式都为零，则A必定是奇异矩阵，即不可逆；又如，一个上（下）三角矩阵A的对角线上所有元素的余子式都为1，则A是一个单位上（下）三角矩阵。
代数余子式的性质
代数余子式的性质
代数余子式（Algebraicresiduum）是一个与数学中的多项式有
着千丝万缕的联系的一种概念，它是在代数学研究中非常重要的概念，在解决很多数学问题中都有它的用武之地。
在多项式除法中，代数余子式是一种随着除数系数变化而变化的特殊多项式，它由除数系数决定，也就是说，如果更改除数系数，余子式也跟着改变。
首先我们来介绍一下什么是代数余子式。
代数余子式是指一组特殊多项式，在得到这些多项式之前必须先完成一次多项式的除法运算，最终得到的余子式的系数也是由除数的系数在一定的范围内变化而
变化的。
所有代数余子式都可以表示成一组多项式，即余式的系数及其系数的函数，多项式的系数及其系数形式也是一样的。
其次，我们要知道代数余子式有什么性质。
首先，代数余子式的形式是由除数的系数决定的，这就意味着当系数变化时，余子式也会变化。
其次，代数余子式是一组特殊多项式，余子式的系数及其系数的函数形式也是一样的，因此可以用来求解多项式的除法问题。
最后，不论余子式指数多少，其系数只会发生变化，由此可知余子式也被称为只改变系数而不改变指数的多项式。
综上所述，代数余子式具有千丝万缕的联系，它是一种特殊多项式，由除数的系数决定的，系数变化时余子式也会改变，它具有唯指数不变，仅系数变化的特点，因此在多项式除法中可以运用代数余子式解决多项式求根等问题。
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代数余子式和余子式的区别
代数余子式和余子式的区别代数余子式和余子式的区别在于：首先，要理解“余”这个字。
它是相对于“代数余子式”而言的，所谓“代数余子式”就是指：把一个含有字母或者符号作为因子而写出来的代数式，从形式上看，它具有如下特点：除了有左右两边的项之外，还包括中间的项；当然，也必须考虑到它们都是整式。
另外，把每一项分开的时候，必须遵守“同字母或者数字”不能省略，而且每一项本身都不能带有字母，否则会影响到运算。
比方说，如果遇到2×3，我们直接把最后一项“×”去掉就行了，但如果遇到2×4，那么只需在前面加上2，不用任何改变，以免发生错误。
余子式表示法就是把代数余子式中各项分开写成字母或者符号，并且规定最高次项的字母在前，如果没有字母，必须用数字，并且一般情况下不允许单独使用符号，这样做就避免了书写上的混乱现象。
通常我们使用乘法来简便地计算乘积，但我们在学习数学的过程中经常会碰到利用幂的指数关系进行计算，也即在指数中使用乘法公式来简化运算。
这里涉及到两种代数余子式，即用数字和字母组合起来的代数余子式和以字母为幂的代数余子式，下面重点介绍用数字和字母组合起来的代数余子式，当然，字母为幂的代数余子式我们也要掌握。
在有些题目里，不管求的结果是什么，有一条件是肯定的，那就是无论怎样的复杂运算，其实质都是要满足某些性质，通俗的讲就是为了得到更多的积而使问题简化。
那么为了满足这个条件，我们自然应该知道怎样正确的使用代数余子式。
根据欧几里德几何的原理，设a，b∈R，将 r^(a- b)称为代数余子式，将 a=- b^(a+ b)称为余子式，那么余子式 a+ b=- a+ b=-（ a+ b）*（ a- b）。
余子式的种类很多，一般人们提到余子式主要想到的是余子式的乘积，其实只要稍微扩展一下，我们就可以应用到很多其他方面，例如除式、根式等等。
还有，就是你看到题目里的余子式可以分成乘积形式，和字母形式。
如 x^2+ y^2=1（ x=0， y=1）那么当然就是 a+ b=- a+ b=-（ a+ b）/ x* y 了。
代数余子式定义
代数余子式定义
代数余子式是一种矩阵中与行列式有关的重要概念。
代数余子式的定义是：对于一个n阶方阵A，它的(i,j)元素的代数余子式是A
的伴随矩阵Adj(A)的(j,i)元素。
具体来说，代数余子式的计算方法是：设A是一个n阶方阵，对于它的任意一个元素a(i,j)，可求出它的代数余子式A(i,j)。
具体的计算方法是：先将a(i,j)从A中删除，得到一个n-1阶的子阵B，然后求出B的行列式det(B)，最后乘以(-1)^(i+j)得到A(i,j)。
代数余子式在矩阵的理论和运算中有着广泛的应用。
它与行列式、逆矩阵、矩阵的秩等概念密切相关。
在实际应用中，代数余子式可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆、证明矩阵的行列式等等。
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代数余子式定理 -回复
代数余子式定理-回复代数余子式定理，又称为拉普拉斯定理或逆序适性定理，是代数学中一个重要的定理。
它在矩阵理论、线性代数和数学分析等领域有着广泛的应用。
本文将一步一步回答有关代数余子式定理的问题，以帮助读者更好地理解和运用这个定理。
1. 什么是代数余子式？代数余子式是指一个n阶方阵A中，删去其中的第i行和第j列后得到的n-1阶方阵的行列式。
记为M_{ij}，其中A是一个n阶方阵，i和j分别表示被删去行和列的编号。
2. 代数余子式定理的表述是什么？代数余子式定理表述如下：对于一个n阶方阵A，它的任意一个元素a_{ij}乘以代数余子式M_{ij}得到的结果等于方阵A的行列式的值。
即a_{ij}M_{ij} = A 。
3. 为什么代数余子式定理成立？代数余子式定理的证明可以通过数学归纳法来完成。
当n=1时，定理显然成立。
假设定理对于n-1阶方阵成立，我们需要证明对于n阶方阵也成立。
考虑方阵A的行列式展开式，其中每一项为a_{ij}A_{ij}，其中A_{ij}表示代数余子式。
我们可以通过观察展开式的定义推导得到a_{ij}A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} A 。
4. 代数余子式定理的应用举例是什么？代数余子式定理在求解线性方程组、矩阵的行列式和逆矩阵等问题中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用代数余子式定理来计算矩阵的行列式。
对于一个3阶方阵A，我们可以利用代数余子式定理将其展开为a_{11}A_{11} - a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}，其中A_{ij}为代数余子式。
通过计算代数余子式的值，我们可以得到矩阵A的行列式的值。
5. 代数余子式定理与克莱姆法则有什么关系？克莱姆法则是一种求解线性方程组的方法，它利用了代数余子式的概念。
根据克莱姆法则，对于一个有n个未知数和n个方程的线性方程组，如果方程组的系数矩阵的行列式不等于0，则方程组有唯一解，并且解的每个分量可以通过方程组的系数矩阵的每个元素除以该元素对应的代数余子式来求得。
余子式计算方法高中
余子式计算方法高中
代数余子式是针对于行列式的某一个元素而定的，这种式子的求解方法就是划掉这个元素所在的行和列。
进而形成低一阶的行列式，然后求这个行列式的值，这就是代数余子法的求解方法。
代数余子式具体求解步骤：首先第一行的代数余子式的和是等于把原行列式中第一行元素都换成数字“1”的所得出来的一个行列式，而第二行的代数余子式是的和是等于把原子行列式中的第二行元素换成数字“1”之后所得出来的行列式，所以通过该规律我们可以看出，第n行的代数余子式之和也是等于把原行列式中第n行的元素都换算成数字“1”所得出来的行列式，而所有代数余子式之和就是上面n个新行列式的和。
在我们日常遇到题在计算的时候可以直接将经过多次交换所形成的对焦阵，每次进行交换乘以-1，或者是按照第一列展开之和，代数余子式的系数就是(-1)^(5+1)，同理情况下，再将余子式按照某一个行和某一个列进行展开的时候就可以得出最终的结果了。
代数余子式有哪些性质呢？按照行列式中A中的某一个行（列）用同一个数K来乘，得出来的结果就是kA，而行列式A等于其他转置行列式AT（AT则为第n行行为A的第n列），若n阶行列式|αij|中某行（或列），则可以得出行列式|αij|是两个行列式的和。
则其余各行（列）上的元值和|αij|是完全一样的。
代数余子式的是什么？在n阶行列式中把元素a所在的第o行和第e列划出之后，留下来的是一个n-1的行列式，这个行列式就叫作元素a的余子式，我们一般将其记作M，而用余子式M再乘以-1的o+e次幂则记为A，则得出的A叫作元素a 的代数余子式。
以上就是代数余子式的具体求解方式以及知识拓展，大家在学习的时候一定要注意区分细节之间的关系，要一步步的求解，不要直接跳步很容易出现错误的。
行列式的余子式和代数余子式
行列式的余子式和代数余子式
行列式的余子式是指将行列式中的某一行与某一列划去后剩余元素所组成的新的行列式。
余子式用Mij表示，其中i表示所划去的行数，j表示所划去的列数。
行列式的代数余子式是指每个元素的余子式与对应元素的符号相乘后所得到的结果。
代数余子式用Aij表示，其中i表示所对应元素的行数，j表示所对应元素的列数。
行列式的余子式和代数余子式在计算行列式的逆、伴随矩阵、特征值等方面起着重要的作用。
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第二讲 行列式、矩阵教学目的：1. 举例介绍行列式的一些常用算法；重点是常用算法的掌握；2. 介绍Cramer 法则及其推论；3. 为“矩阵”开个头； 教学内容；第一章 行列式 § 1.3 行列式按行（列）展开； § 1.4 Cramer 法则 第二章 矩阵 § 1.1 矩阵的概念 教材相关部分：§ 1.3 行 列 式 按 行（列）展 开一、余子式与代数余子式定义 1.4 在n 阶行列式nnn n nnn a a a a a a a a a D212222111211=中任取一个元素ij a ，划去ij a 所在的第i行、第j 列，剩下的那个1-n 阶行列式nnnj nj n n i j i j i i n i j i j i i n j j ij a a a a a a a a a a a a a a a a M111111111111111111111111+-+++-++-+----+-=),,2,1,(n j i =， （1.12） 称为元素ij a 的余子式。
记ij ji ij M A +-=)1(，称为元素ij a 的代数余子式。
例 1.8 在963852741=D 中，元素124a =的余子式是6938212-==M ，而它的代数余子式是6)6()1(122112=--=-=+M A 。
引理 如果n 阶行列式D 的第i 行除ij a 外的其余元素都为零，则这个行列式等于ij a 与其代数余子式ij A 的乘积，即ij ij A a D =。
证 先证最简单的情况：设nnn n na a a a a a a B2122221110=，这是例1.6中1=k 时的情况，由例1.6的结论，即有1111M a B =。
又因11111111)1(M M A =-=+，故得 1111A a B =。
再证一般的情况：设D 的第i 行除ij a 外的其余元素都为零：nnnjn ij n j a a a a a a a D1111100= 将D 的第i 行依次与上面的1-i 行逐行对换，再将第j 列依次与左面的1-j 列逐列对调，共经11-+-j i 次对调，将ij a 调到了第1行第1列的位置上，所得的行列式记为D '，则D D D j i j i +-+-=-=')1()1(2，而ij a 在D '中的余子式仍然是ij a 在D 中的余子式ij M 。
利用已证的结果有ij ij M a D ='，因此ij ij ij ij j i j i A a M a D D =-='-=++)1()1(。
◆定理1.3 n 阶行列式D 的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，等于D 的值，即 ∑==+++=nk ik ikin in i i i i A aA a A a A a D 12211 ),,2,1(n i =，或 ∑==+++=nk kj kjnj nj j j j j A aA a A a A a D 12211 ),,2,1(n j =。
(1.13)证 任选D 的第i 行，把该行元素都写作n 个数之和：==nn n n in i i n a a a a a a a a a D 212111211=+++++++++nnn n in i i na a a a a a a a a212111211000000nn n n i n a a a a a a a2111121100=+nnn n i n a a a a a a a2121121100+nnn n in n a a a a a a a211121100+， 由引理即得∑==+++=nk ik ik in in i i i i A a A a A a A a D 12211 ),,2,1(n i =。
这称为“按第i 行展开”，按第j 列展开可类似证明，即∑==+++=nk kj kjnj nj j j j j A aA a A a A a D 12211 ),,2,1(n j =。
◆这个定理称为行列式按一行（列）展开法则。
它为行列式计算提供了又一种思路：将n 阶行列式的计算化为1-n 阶行列式的计算，这称为降阶。
例 1.9 设1111111111111)(324------=x x x x D ，求其展开式中2x 项的系数。
解： 将)(4x D 按第一行展开：143132121141)(A x A x A x A x D ⋅+⋅+⋅+⋅=，则可见2x 项的系数为2x 的代数余子式4111111111)1(3113-=------=+A 。
例 1.10 计算n 阶行列式aa a a a a a a D n 2120000000021000210002222= 解法一：按第一列展开：22122212211221002000021000)1(210020000210022)1(--++-=-+-=n n n D a aD aa a a a a a a a a a a D便得到一个递推公式： 2212---=n n n D a aD D 。
但用此式较难递推，将其变形为：)(211----=-n n n n aD D a aD D 。
用此公式递推可得： )()(1223221aD D aaD D a aD D n n n n n --=-----＝＝ 。
而223a D =，a D 21=，故首先递推得：⇒=-=---nn n n a a a a aD D )23(22211-+=n n n aD a D 。
由此再作递推： =+=++=---22212)(n n n n n n D a a aD aa a D n n n n n a n a a a n D a a n )1(2)1()1(111+=+-=+-=-- 。
解法二：得到递推公式2212---=n n nD a aD D 后，用数学归纳法。
易见11)11(2a a D +==； 2222)12(3212a a aa a D +===。
假设 11]1)1[(--+-=n n a n D ， 22]1)2[(--+-=n n a n D ，则得n n n n n n a n a n a na a D a aD D )1(])1[()(22221221+=--=-=----。
例 1.11 证明范得蒙)(Monde De Van 行列式：∏≤<≤-----==ni j j i n nn n n nnn x x x x x x x x x x x x x x V 111312112232221321)(1111其中)())(())()(()1212313121-≤<≤------=-∏n n n n ni j jix x x x x x x x x x x x x x （。
证 用数学归纳法：当2=n 时，)(11211221j i i j n x x x x x x V -=-==∏≤<≤，等式成立。
假设等式对1-n 阶范得蒙行列式成立，即∏-≤<≤--=111)(n i j j in x xV 。
则对n 阶范得蒙行列式：)()()(0)()()(00111112132312221133122113122,,1,11x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x V n n n n n n n n r x r n n i ni i --------------=-=按第一列1c 展开并提取公因子，得223223211312111)())((------=n nn n nn n x x x x x x x x x x x x V。
后面的行列式是一个1-n 阶范得蒙行列式1-n V ，由归纳假设可写作∏≤<≤--=ni j jin x x V 21)(，代入上式便得 ∏∏∏≤<≤≤<≤=-=--=ni j j ini j j ini in x xx xx xV 1221)()()(。
定理1. 4 行列式某一行元素与另一行对应元素的代数余子式之积的和等于零，即 ∑===+++nj kj ijkn in k i k i A aA a A a A a 122110 )(k i ≠ (1.14) 证 =++++=nnn n inkn i k i k ini i nik nnn n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a a a a r r a a a a a a a a a a a a D212211211121121212111211∑∑∑===+=+=++++++=++++++=n j n j nj kj ij kj kj kj ij kn kn k k kn in k i k i knkn in k k i k k i DA a A a A a A a A a A a A a A a A a a A a a A a a 111112211222111)()()(故01=∑=nj kj ijA a)(k i ≠。
◆结合定理1.3和定理1.4，可得拉普拉斯)(Laplace 定理：⎩⎨⎧≠===∑=ki if ki if D D A a iknj kj ij ,0,1δ、 (1.15)⎩⎨⎧≠===∑=kj if kj if D D A a jkni ik ij ,0,1δ， (1.16) 其中，⎩⎨⎧≠==ki k i ik ,0,1δ，称为克龙纳克尔（Kronecker ）函数。
例 1.12 设9734502073141111----=D ，求∑=414j jA。
解： 本例可以按代数余子式的定义计算，但较繁。
可以利用定理1.4：28020314111202)1(1114444434241414-=--+=+⋅-+⋅+⋅+⋅=∑=A A A A A Aj j。
§ 1.4 克莱默（Cramer ）法则一、 C ramer 法则考察二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a （1.17）用消去法来求解，若消去2x ，便得122221*********)(a b a b x a a a a -=-； 若消去1x ，则得211112*********)(a b a b x a a a a -=-； 当021122211≠-a a a a 时，便有解 211222*********a a a a a b a b x --=， 211222112111122a a a a a b a b x --=。