最新-人教版高中数学高中数学选修4-2《矩阵与变换》教学思考与备考建议 精品
/ x0 2 0 x0 / y 0 1 y0 ，即 0
' x0 2 x0 ' ，所以 y 0 y0
' x0 x0 2 y y' 0 0
4、教学建议
（1）重视展现基本概念、重要结论
的发生发展过程
（2）强调把矩阵看作线性变换的本质，
强调几何直观
（3）强调数学思想方法的渗透和运用
（4）处理好五大关系 基础与拓展
局部与整体
具体与抽象 操作与理解
总结与提高
三、备考建议
1．准确把握教学要求，落实基础 2．加强相关知识的联系性，强 调数学思想方法 3．严格控制本专题内容的教学 难度
《矩阵与变换》
教学思考与备考建议
一、背景分析
1、浙江省 2、其他省份
（1）广东省 （2）海南、宁夏 （3）山东省
2007、2008年考试内容分析：
省区 文理 理 选修系列4
广东
填空题
山东 文
1． 几何证明选讲 2． 不等式选讲 3． 坐标系与参数方程
1． 坐标系与参数方程 2． 几何证明选讲
理 文
与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的
内容（考生只需选考其中两个专题）。
2008年高考江苏数学试题 在平面直角坐标系中，设椭圆 4 x 2
y 1
2
2 0 在矩阵 A 0 1 对应的变换下得到曲线 F， 求 F 的方程.
解：设 P( x0 , y 0 ) 是椭圆上任意一点，点 P( x0 , y 0 )
2、教材定位及意图
＊ 只讨论具体的二阶矩阵 ＊ 从几何上理解矩阵的有关知识 ＊ 为进一步学习高等数学奠定基 础
与大学教学相区别：
• 大学:代数的运算对象,主要研究运算性 质;线性方程组与线性空间的表示方法. • 课程标准:通过几何变换对几何图形的
作用体会矩阵的几何作用,从直观上认
识矩阵的意义.
“矩阵与变换”与“线性代数”
• 线性代数 突出的是代数，计算及运算规律，内容抽象。 方程组 行列式 矩阵 线性空间
• “矩阵与变换”强调矩阵的几何背景和矩阵 的几何意义，强调通过具体的变换建立和 理解这些抽象的概念.
3、设计思路及特色
突出矩阵的几何意义 从具体到一般，从直观到抽象 用实例展示矩阵应用广泛性 运用信息技术
3、教学建议
1、知识结构
矩阵与变换
常见的二阶矩阵
恒等变换矩阵 旋转变换矩阵 反射变换矩阵 伸缩变换矩阵 投影变换矩阵 切变变换矩阵
常见几何变换
恒等变换 旋转变换 反射变换 伸缩变换 投影变换 切变变换
矩阵的乘法 逆矩阵 特征值
变换的复合 逆变换 特征向量
2 2 F x y 1 又因为点 P在椭圆上， 所以 的方程是
具体考查要求如下： 内 容 矩阵的有关概念 二阶矩阵与平面向量 常见的平面变换 矩阵的复合与矩阵的乘法 二阶逆矩阵 二阶矩阵的特征值和特征向量 二阶矩阵的简单应用 要 求 A B C √ √ √ √ √ √ √
二、教学思考
1、知识结构 2、教学定位
0 1 -1 0
0
-1
1
0
投影变换
1 0 0 0
0 1
0 1
矩阵变换的基本性质——线性
1)A() A 2)A( ) A A
• 也就是，
A( ) A A
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
• 求解线性方程组即为：求一个向量，它 由已知变换变为一个Leabharlann 知向量。Mx xM
1
• 可以根据变换，讨论可逆解的情况。
教材P60思考 如果关于变量x, y的二元一次方程组
• 直线的向量方程 一般地，在平面直角坐标系中，经过点
v1 M0(x0,y0）且平行于非零向量 v0 v 的直线l 2
的方程为
矩阵乘法的几何意义——变换的合成 乘法满足结合律，不满足交换律
1/2 0 1 0 0 1 -1 0 的变换过程(先旋转后压缩):
0
-1
1/2
0
1
0
不考 不考
1． 几何证明选讲 2． 不等式选讲 3．坐标系与参数方程 1． 坐标系与参数方程 2．几何证明选讲
海南 宁夏
解答题
理 文
（4）江苏省
2008江苏高考数学科考试说明
附加题部分考查的内容是选修系列2（不含选修
系列1）中的内容以及选修系列4中专题4-1《几何
证明选讲》、4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系
0
1
的变换过程(先压缩后旋转):
逆变换与逆矩阵
反射变换之逆为反射变换
-1 0 0 1 -1 0 0 1
• 伸缩变换之逆为伸缩变换 • 旋转变换之逆为旋转变换 • 切变变换之逆为切变变换
线性方程组与变换
• 线性方程组的矩阵形式
2x y 1 x 3 y 2
2 1 x 1 1 3 y 2
1．研究高考试题，把握考试趋势 2．认真研读课标，吃透教学意见
3．回归课本，抓好基础落实
4、注重规范，重视通性通法
5、了解学生学情，制订复习计划
矩阵---几何变换的代数表示
• 几何代数化----向量 • 平面几何变换 : 二阶矩阵 乘向量
2 1 1 2 1 1 0 2 1 1 0 11 (1) 0 1 2 1 0 2 0 11 1 1 1 1 1 0 (1) 1 1
矩阵就是一个几何变换，它 把平面上 的任一个点 ，变成平面上的另一个点。
中学常见的几种几何变换的矩阵表示
• • • • • • 恒等变换 旋转变换 反射变换 伸缩变换 投影变换 切变变换
伸缩变换
1/2 0
0 1
1 0
0 1/2
反射变换
1 0
0 -1
-1
0
0
1
切变变换
1
0
1
1
1 2
0 1
旋转变换
高二数学选修42矩阵与变换全章指导精品PPT课件
f()= c a d b， 其A 中 =c a d b．
• 学会从几何变换的角度进行解释。
1 0 1 0 0 1 1 1 1 2
0
2
0
1
1
0
0
0
0
1
伸压、反射、旋转、投影、切变
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
（1）A() Βιβλιοθήκη A；（2） A( + ) = A + A。
A( + ) = A + A。
2．3 变换的复合与矩阵乘法
• 连续施行两次变换——矩阵的乘法 ； • 矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律：
1 0
01210
0110
0110
0
1 2
交 换 律 验 证
先旋转再压缩
先压缩再旋转
2．4 逆变换与逆矩阵（一）
与ax = b类比引入单位矩阵和逆矩阵→特殊矩阵 (变换)的逆矩阵(变换) 。
• 反射矩阵(变换)的逆矩阵(变换)是其自身；
1 0 1 0 1 0
0
1
0
1
0
1
• 伸压矩阵的逆矩阵是伸压矩阵；
1 0
0
1
2
互逆 1
0
0
2
2．4 逆变换与逆矩阵（二）
• 旋转矩阵的逆矩阵是旋转矩阵；
★
2．2 几种常见的平面变换；
★
2．3 变换的复合与矩阵的乘法； ★ ★
2．4 逆变换与逆矩阵；
★★★
高中数学选修4-2：矩阵与变换
高中数学选修4-2：矩阵与变换矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。
本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。
一、内容与要求1．引入二阶矩阵2．二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换（1）以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。
（2）证明矩阵变换把平面上的直线变成直线，即证明A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ。
（3）通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。
3．变换的复合--二阶方阵的乘法（1）通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。
（2）通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律。
（3）验证二阶方阵乘法满足结合律。
（4）通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律。
4．逆矩阵与二阶行列式（1）通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在。
（2）会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1 等简单性质，并了解其在变换中的意义。
（3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。
5．二阶矩阵与二元一次方程组（1）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。
（2）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。
（3）会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。
6．变换的不变量（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。
（2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。
7．矩阵的应用（1）利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示，并能用它来解决问题。
（2）初步了解三阶或高阶矩阵。
（3）了解矩阵的应用。
8．完成一个学习总结报告。
报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。
[精品]新高中高考数学第一轮复习精编同步讲义选修4-2矩阵与变换
![[精品]新高中高考数学第一轮复习精编同步讲义选修4-2矩阵与变换](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/5b7da0b2dd88d0d233d46ab8.webp)
选修4－2 矩阵与变换 A[最新考纲]1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系． 2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质． 4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.知 识 梳 理1．矩阵的乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21的乘法规则：[a 11 a 12]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21a 12a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则①A (λα)＝λAα；②A (α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A (λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21b 12b 22＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22性质：①一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )；③矩阵的乘法不满足消去律． 2．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc－c ad －bc a ad －bc .(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m n ， 其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc－c ad －bc a ad －bc . 3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量． (2)特征多项式与特征方程设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab c d 的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故⎩⎪⎨⎪⎧λ－a x －by ＝0－cx ＋ λ－d y ＝0⇔⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00(*)则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab c d 的特征方程．(3)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根． 解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记ξ1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 2y 2. 则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab c d 的特征值，ξ1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．诊 断 自 测1. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤57＝________. 解析 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤57＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1×5＋0×7 0×5＋ －1 ×7＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－7. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－7 2．若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－12 12，则AB ＝________.解析 AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 －12－12 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×1212×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 00 0. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 00 0 3．设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －11 0，则AB 的逆矩阵为________． 解析 ∵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1，B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 1－1 0 ∴(AB )－1＝B －1A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 1－1 0 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0 4．函数y ＝x 2在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 14变换作用下的结果为________． 解析⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 14y＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′⇒x ＝x ′，y ＝4y ′， 代入y ＝x 2，得y ′＝14x ′2，即y ＝14x 2.答案 y ＝14x 25．若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 56 2，则A 的特征值为________． 解析 A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －5 －6 λ－2 ＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 答案 7和－4考点一 矩阵与变换【例1】 (2014·苏州市自主学习调查)已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 a b 1所对应的变换将直线x －y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解 设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 a b 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)，在直线x ＋2y ＝1上，所以(2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.规律方法 理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．【训练1】 已知变换S 把平面上的点A (3,0)，B (2,1)分别变换为点A ′(0,3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T .解 设T ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ac bd ，则T ：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤30→⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤30＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3a 3b ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤03，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1；T ：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21→⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，d ＝－3，综上可知T ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 －3. 考点二 二阶逆矩阵与二元一次方程组【例2】 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解 依题意得由M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －31 －1，得|M |＝1， 故M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 3－1 2. 从而由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1 32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－3，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，∴A (2，－3)为所求．规律方法 求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB )－1＝B －1A －1性质的应用．【训练2】 已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32，(1)求矩阵A 的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0.解 (1)法一 设逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤acb d ， 则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤acb d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 01，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－32. 法二 由公式知若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤acb d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32，(2)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0，可转化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝1，x ＋2y ＝3，即AX ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，且由(1)， 得A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－32. 因此，由AX ＝B ，同时左乘A －1，有A －1AX ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1 －32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－75. 即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－7，y ＝5.考点三 求矩阵的特征值与特征向量【例3】 已知a ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a 21对应的线性变换把点P (1,1)变成点P ′(3,3)，求矩阵A 的特征值以及每个特征值的一个特征向量．解 由题意⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a 21 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3a ＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33， 得a ＋1＝3，即a ＝2，矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)， 令f (λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3. ①对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.因此，α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量；②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，－2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.因此，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．规律方法 已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤acb d ，求特征值和特征向量，其步骤为： (1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －c －b λ－d ＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ；(2)列方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－a x －by ＝0，－cx ＋ λ－d y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应的向量．【训练3】 (2014·扬州质检)已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－1－13，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解 由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－311λ－3＝ (λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值．设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， 当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，可得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，x －y ＝0.可令x ＝1，得y ＝1，∴α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量． 当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，得y ＝－1，∴α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量．用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程【典例】 二阶矩阵M 对应的变换T 将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换T 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程． [审题视点] (1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解．(2)知道直线l 在变换T 作用下的直线m ，求原直线，可用坐标转移法．解 (1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4. (2)因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：x ′－y ′＝4， 所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即x ＋y ＋2＝0，∴直线l 的方程是x ＋y ＋2＝0.[反思感悟] (1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法 . (3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误． 【自主体验】(2014·南京金陵中学月考)求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 02，N ＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1 01.解 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 02⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1 01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2 02. 设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P ′(x ，y )，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2 02⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′， 于是x ′＝x ，y ′＝x ＋y2，代入2x ′2－2x ′y ′＋1＝0，得xy ＝1.所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.一、填空题1．已知变换T ：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3x ＋4y 5x ＋6y ，则该变换矩阵为________． 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ＋4y ，y ′＝5x ＋6y ，可写成⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 45 6⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′.答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 45 6 2．计算⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 75 8⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1等于________． 解析 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 75 8⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3×2－75×2－8＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 3．矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5 00 1的逆矩阵为________． 解析 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5 00 1＝5，∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5 00 1的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 01. 答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 1 4．若矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 a b 13把直线l ：2x ＋y －7＝0变换成另一直线l ′：9x ＋y －91＝0，则a ＝________，b ＝________. 解析 取l 上两点(0,7)和(3.5,0)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤07＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤7a 91，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3.5 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10.53.5b . 由已知(7a,91)，(10.5,3.5b )在l ′上，代入得a ＝0，b ＝－1. 答案 0 －15．矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6 －36 －3的特征值为________． 解析 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 3－6 λ＋3＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0.∴λ＝0或λ＝3. 答案 0或36．已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4，α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－3，则M (2α＋4β)＝________.解析 2α＋4β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤24＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－8，M (2α＋4β)＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－8＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14－26. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14－26 7．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 21的作用下变换为曲线C 2，则C 2的方程为________．解析 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′ y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .因为P ′是曲线C 1上的点， 所以C 2的方程为(x －2y )2＋y 2＝1. 答案 (x －2y )2＋y 2＝18．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －1－3 1，则满足AX ＝B 的二阶矩阵X为________．解析 由题意，得A －1＝ AX ＝B ， ∴X ＝A －1B ＝.答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1 9．已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，则矩阵A 为________．解析 设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤acb d ，由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，d ＝0.所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 10. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 10 二、解答题10．(2012·江苏卷)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝错误!，求矩阵A 的特征值．解 因为AA －1＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝错误!，所以A ＝(A －1)－1＝错误!， 于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－2－3λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.11．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1a －1b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21. (1)求矩阵A ；(2)若向量β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤74，计算A 5β的值． 解 (1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 2－1 4. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21，当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11. 由β＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21＋35⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤435339. 12．(2012·福建卷)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 0b 1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)．由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1， 即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.因为a ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 01 1，A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 01 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 01 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 02 1. 所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0－2 1.。
高中课标课程选修4-2《矩阵与变换》教学参考四 伸缩变换及其在有关面积求解中的应用
高中课标课程选修4-2《矩阵与变换》教学参考(四)伸缩变换及其在有关面积求解中的应用李云杰1陈清华21福建福清第三中学(350315)2福建师范大学数学与计算机科学学院(350007)通过变换(诸如全等、相似、平移、伸缩、旋转等)对几何图形进行分类，是几何学研究的重要内容，揭示在不同变换下几何图形的不变性质或不变量是研究这类问题的基本思想方法.在几何学中，我们已经接触过几类变换，这些变换为研究几何问题提供了方便，下面以伸缩变换为例谈变换思想的应用.1伸缩变换与仿射变换1.1仿射变换的定义与性质平面上的点之间的一个变换111213212223''x a x a y a y a x a y a =++=++，111221220a a a a =≠,叫做仿射变换，仿射变换的逆变换也是仿射变换.仿射变换的图形不变性有①同素性：点变为点，线变为线；②结合性：把共线点变为共线点，把不共线变为不共线点；③平行性：把平行的直线变为平行直线，把相交直线变为相交直线；④共线三点的简单比不变.仿射变换的不变量是指两平行线段之比、两个封闭图形的面积之比.例1(2007年高考江苏卷第10题)在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)B x y x y =+|(,)x y }A ∈的面积为()A ．2B ．1C ．12D ．14解析：本题实质是以仿射变换思想为背景，求一封闭图形区域经过仿射变换后图形区域的面积.仿射变换u x y v xy=+=对应的行列式1111的绝对值是2，先做出区域A ，求出区域A 的面积是1/2，故区域B 的面积是1212×=.故选B.评注：本题的解法摆脱线性规划的禁锢，利用了“两个三角形面积之比是仿射不变量”，居高临下，让人耳目一新.1.2伸缩变换的定义伸缩变换是中学几何中常提到的一种变换，其代数表达式为'1'2,x k x y k y==，表示将每个点的横坐标变为原来的1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍，其中1k ，2k 均为非零常数.一般的伸缩变换我们用矩阵1200k k 来表示，其中120k k ≠.伸缩变换实质是特殊的仿射变换.2伸缩变换的性质众所周知，椭圆的许多性质可以利用圆进行类比发现.利用伸缩变换将椭圆方程变换为圆的方程，从而研究它的一些性质.即若椭圆方程2222:x y C a b +=1，在伸缩变换100/a b作用下，得到的圆方程为222:C x y a ′+=．这样，圆的方程和椭圆的方程可以相互转化．由椭圆变为圆，除了满足以上仿射变换的性质外，还可进一步细化为如下几个不变性质：1.二次曲线在变换后的次数保持不变；2.变换前直线与椭圆的位置关系与变换后直线与圆的位置关系不变；3.椭圆上的线段长或圆弧长的比值与变换后圆上的线段长或圆弧长的比值不变；4.两条平行(重合)或相交的直线在变换后仍是两条平行(重合)或相交的直线；5.同一条直线(或平行直线)上的线段比值在变换前后不变；2008年第6期福建中学数学116.一条直线的像仍是一条直线，且若原直线的斜率为k ，则变换后的直线斜率为a kb .3伸缩变换在有关面积求解中的应用湘教版选修4-2《矩阵与变换》P 57的定理3为:定理：线性变换将平面上所有的图形的面积放大或缩小同一个倍数，这个倍数就是变换所对应矩阵的行列式的绝对值.即若椭圆方程22221x y a b +=在伸缩变换100/a b作用下，变换后圆的方程为222x y a +=，则变换后的多边形(内接多边形、外切多边形等)面积为原来的/a b.因此，解决椭圆的一些问题可以转化为圆的相关问题去解决，特别是有关椭圆的最值问题，解题思路显得新颖、简捷.3.1证明有关椭圆的性质如果要证明的图形性质是属于图形的仿射性，就可以利用该图形的仿射等价图形来代替该图形加以证明，这体现了“由此及彼”的变换思想，从而为数学的解题提供了新的思维方式．例2(阿波罗尼定理)以椭圆的任意一对共轭半径为邻边的平行四边形的面积为定值.证明：设椭圆O ′:22221x ya b+=是由圆O 22:x y +2a =经伸缩变换'',:(/)x x y y a b ==得到，这里的,a b 分别为椭圆的长半轴和短半轴的长.显然这两个半轴共轭，且由它们为邻边的平行四边形为矩形，其面积等于ab .设,O A O B ′′′′分别是圆的共轭半径,OA OB 在变换作用下的像，对于椭圆中任意一对共轭半径,O P O R ′′′′，设它们分别是圆的共轭半径,OP OR 的像.因为圆的共轭半径都是互相垂直的，所以在圆中以共轭半径为邻边的平行四边形都是面积相等的正方形，即O P Q R O ACB S S =.由仿射变换保持对应图形的面积比不变，所以O P Q R O AC BO PQR OA CBS S S S ′′′′′′′′=.故O Q R O B S S ′′′′′′′′==为定值 3.2计算椭圆的内接n 边形的最大面积我们说平面上的每个图形都可以用平行于坐标轴的直线近似地划分成一些很小的矩形小块的并集.整个图形的面积近似地等于这些矩形小块面积的和.既然每一小块的面积都被放大同一个倍数，整个图形也被放大同样的倍数，虽然这种划分是近似的，但是，分得越细，误差越小.无限细分，误差趋于0.进而得到椭圆的面积为ab π，甚至也可以得到椭圆的内接n 边形的最大面积.例3试证椭圆22221x y a b +=的内接n 边形的最大面积为2sin2na b n π.解析：椭圆22221x y a b +=在伸缩变换10a b 作用下，变换后圆的方程为222x y a +=．又因为内接于半径为R 的圆的一切(3)n n ≥边形中以正n 边形的面积最大，即212sin 2S nR nπ≤.由前面介绍的定理，得到21212sinsin 22bb S S na nab a a nnππ′=≤=.评注：1)当3n =时，椭圆的内接三角形的最大面积为334ab ；当4n =时，椭圆的内接四边形的最大面积为2ab ；(2)类似地，可以得到外切于椭圆22221x y a b +=的(3)n n ≥边形的最小面积为tannab nπ.3.3利用伸缩变换解竞赛题例4(2006年全国高中数学联赛福建预赛第12题)在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(23,0)F ，右顶点为D (4，0).设点A 的坐标是(2，1)，过原点O 的直线交椭圆于点B 、C ，则△A BC 面积的最大值是?解析：由已知得椭圆的半长轴a =4，半焦距12福建中学数学2008年第6期P AC ab .23c =，则半短轴b =2.又椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为221164x y +=.而椭圆方程221164xy+=在伸缩变换','2x x y y==作用下，变为圆的方程2216x y +=，此时点(2,1)A 变为点(2,2)A ′.要求△ABC 面积的最大值问题转化为先求过原点做直径B C ′′，使△ABC ′′′面积最大.又根据圆的性质，当OA BC ′′′⊥时，点A ′到直径B C ′′的距离取到最大值，此时△AB C′′′的面积为1128228222R OA ′=××=最大.再由定理，知182422ABCA BC b S Sa ′′′==×=.故填42.4.利用伸缩变换解高考题例5(2006年高考山东文科卷)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.(I)求椭圆的方程；(II)直线l 过点P(0，2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当△AOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程.解析：(I)易求椭圆方程为22121xy+=.(II)椭圆22121x y +=在伸缩变换','2x x y y==作用下，变为圆的方程222x y +=，此时点P(0，2)在伸缩变换1002作用下变为(0,22)P ′.由题意知直线l 的斜率K 存在且0K ≠时，设直线l 的方程为2y Kx =+，则直线l ′的方程为22y kx =+1()2bK k k a ==，原点到该直线l ′的距离2221d k =+，弦长22222826222211k AB Rd k k ′′===++，故ΔA OB 面积为22211262222211AO Bk S AB d k k ′′′′′==++2222622(1)(1)k k k =++令226(0),m k m =>则2262m k +=，从而21224218612AO Bm Sm m m ′′′==≤+++，当且仅当8m m=，即22m =时，ma x 1S =，此时7k =±.所以原直线l 的斜率114(7)22b K k a ==×±=±，故所求直线方程为14240x y ±+=.高中课标课程选修4-5《不等式选讲》教学参考(二)柯西不等式杨恩彬1,2柯跃海11福建师范大学数学与计算机科学学院(350007)2福建省宁德第一中学(352100)柯西不等式是大数学家柯西在研究数学分析学的过程中发现的．柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，不仅形式优美，而且具有非常重要的应用价值．因而《普通高中数学课程标准(实验)》中将柯西不等式列入高中数学的选学内容．2008年第6期福建中学数学13。
人教A版选修4-2《矩阵与变换》教材解读与教学建议
人教A版选修4-2《矩阵与变换》教材解读与教学建议
金克勤
【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》
【年(卷),期】2009(000)001
【摘要】@@ "矩阵与变换"这一模块是高中新课程中的新增内容,为了提高对新增内容教学的认识,更准确地把握教学要求,结合教学实践对<矩阵与变换>作教材解读.rn一、教学要求解读rn1.基本要求rn(1)理解二阶矩阵的概念.rn(2)了解线性变换与二阶矩阵之间的关系.rn(3)掌握旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示.
【总页数】3页(P15-17)
【作者】金克勤
【作者单位】浙江省黄岩中学
【正文语种】中文
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高二数学选修系列4-2矩阵与变换教学建议课件
关于技术的使用
两种不同层次的课件：一种用于揭示数学
的本质，一种用于分步演示。 前者要求——即时、透明、互动； 后者要求——清楚、流畅、简洁。
支架式教学（ Scaffolding Instruction ）
矩阵与变换
具体与抽象——通过学生熟悉的情境提出问
题，引入内容（包括数学理论、思想方 法），并在分析和解决问题过程中，加深 对数学的理解。力图通过学生熟悉的语言、 实例、图形等多种方式介绍有关数学内容， 尽量避免过度形式化。
操作与理解——系列4既不是科普读物，也
不是理论专著。应在充分的活动、操作的 基础上，使学生理解专题中的核心概念和 基本数学思想。
选修 4 - 8 —— 统筹法与图论初步
选修 4 - 9 —— 风险与决策
选修 4 - 10——开关电路与布尔代数
延伸、拓展某些中学课程内容——几何证明选 讲、不等式证明选讲、坐标系与数方程。 体现数学的应用价值——优选法与试验设计初 步、统筹法与图论初步、风险与决策。 反映重要的数学思想——矩阵与变换、数列与 差分。 体现数学的科学价值——初等数论初步、开关 电路与布尔代数。
基础与拓展 —— 从已有的内容出发，引导学
生自主探究，做适当的拓展与延伸，在处 理问题的思想方法、在思维发展上获得突 破。
局部与整体 —— 突出学生解决问题的思想方
法，不求完美的科学体系。例如，矩阵与 变换。
总结与提高 —— 学会查阅资料，整理、思考
本专题所学的内容并与同学交流。
教学过程 问 题 情 境 提 出 问 题 学 生 活 动 体 验 数 学
选修 4 - 1 —— 几何证明选讲 ★
选 修 系 列 的 个 专 题
选修 4 - 2 —— 矩阵与变换 ★
高中数学选修4-2(人教A版)第一讲线性变换与二阶矩阵2.3知识点总结含同步练习及答案
描述：高中数学选修4-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一讲 线性变换与二阶矩阵 三 线性变换的基本性质一、知识清单线性变换与二阶矩阵二、知识讲解1.线性变换与二阶矩阵旋转变换平面上的图形绕原点旋转可以看成一个变换（transtormation），称为旋转变换，它建立了平面上的每个点到的对应关系用一个字母来表示这个旋转变换．为了表示点对应，写成，称是在变换作用下的像（image）．并且用箭头来表示与的这种关系：变换：或：．在平面上建立了直角坐标系之后，变换也建立了这两个点的坐标之间的对应：变换：．与对应关系式左边的，组成点的坐标，可以看成向量的坐标，排成一列的形式，称为列向量（columnvector）．一般地，如果变换：前后坐标之间的关系具有如下的形式：也就是，都是，的常数项为的一次函数，就将这样的变换称为线性变换（linear transformation），此时可以将变换表达式写成的形式 ．不同的线性变换差别仅仅在于一次函数表达式中的个系数，，，的不同．因此这个数排成的行列的数表决定了平面上的线性变换．我们将这样由个数排成的行列的数表称为行列的矩阵（matrix），也称为矩阵．高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
αP (x ,y )(,)P ′x ′y ′{=x cos α−y sin α,x ′=x sin α+y cos α．y ′T P P ′=T (P )P ′P ′P T P P ′ T P ↦P ′ T P ↦T ()P ′T T (x ,y )↦(,)x ′y ′P P ′x ′y ′P ′(,)x ′y ′O P ′−→−()x ′y ′T P (x ,y )↦(,)P ′x ′y ′{=ax +by ,x ′=cx +dy ．y ′x ′y ′x y 0T ()=x ′y ′()a c b d ()x y 4a b c d 422()a c b d 422222×2。
矩阵与变换教学指导-新课标-选修4-2
矩阵与变换教学指导-新课标-选修4-2矩阵与变换教学指导在全省高中数学选修模块教学研讨会上对选修系列4教学指导研讨的发言吴公强按照我省及宁夏回族自治区高中数学选修４专题系列选课方案，及０７年高考说明的要求，我省统一选学４－１几何证明选讲４－２矩阵与变换４－４坐标系与参数方程４－５不等式选讲四门课程，以下我代表中心组就这四门课程的定位、教学目标、教学法及复习迎考建议，借这个机会分专题同同志们一起进行研讨．关于选修4-２专题：矩阵与变换的教学研究一、课标内容与要求矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。
本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。
1. 引入二阶矩阵2. 二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换（1）以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。
（2）证明矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即证明()A A A λαλβλαλβ1212+=+（3）通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。
3. 变换的复合——二阶方阵的乘法（1）通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。
（2）通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律。
（3）验证二阶方阵乘法满足结合律。
（4）通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律。
4. 逆矩阵与二阶行列式（1）通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在。
（2）会证明逆矩阵的唯一性和()AB B A ---=111等简单性质，并了解其在变换中的意义。
（3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。
5. 二阶矩阵与二元一次方程组（1）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。
（2）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。
高中课标课程选修4-2《矩阵与变换》教学参考三 计算二阶矩阵n次方幂的公式及其应用
a c
b 的两 d
个特征值．
1．若 c ≠0 时，(I)当 b ≠0 时，
(i)若 λ1 ≠λ2 ，则 An = P
λ1n 0
0 P-1 ; λ2n
(ii)若 λ1 = λ2 = λ，则 An = λnI + nλn 1Q ，
b 其中 P =
λ2
d
a
,Q =
λ
b
．
λ1 a c
c dλ
a0
(II)当 b = 0 时，即 A=
21
3:已知 A=
，求 An (本文记为例 1)．
30
教材首先求出矩阵 A 的特征值和特征向量，再
ab
利用待定矩阵法设 An =
，通过所求的两组特
cd
征值和特征向量，利用 An X1 = λ1n X1 ，An X2 = λ2nX2 ， 建立二元一次方程组，解方程组求出矩阵
An = a b 中四个元素的含 n 的表达式，进而得到 cd
2008 年第 5 期
福建中学数 学
1
高中课标课 程选修 4-2《矩阵与变换》教学参考(三)
计算二阶矩阵 n 次方幂的公式及其应用
李云杰 1 陈清华 2
1 福建省福清第三中学(350315) 2 福建师范大学数学与计算机科学学院(350007)
1 提出问题
问题 选修 4-2 湘教版的《矩阵与变换》P66 例
，
cd
a0
(i) 若 a = d 时， 即 A=
，
ca
则 An = λnI + nλn 1Q ，即 An =
an na n 1c
0 an
;
(ii) 若 a ≠d 时，则 A n = a nI + (d n a n) R ，
人教版高中数学选修 4-2矩阵变换 第二章 第一节 复合变换与二阶矩阵的乘法
情感态度与价值观 培养学生抽象思维能力.
教学重难点
重点:
1.矩阵乘积的概念；
2.矩阵乘法的运算律.
难点:
1.矩阵乘积的概念； 2.矩阵乘法的运算律.
举例1
两个旋转变换的复合
在直角坐标系xOy内,二阶矩阵
y
θ2
O
cos θ1 －sin θ1 sin θ1 cos θ1
与
cos θ2 －sin θ2 sin θ2 cos θ2
a1 a 2 + b1 c 2 a1 b2 + b1 d 2 = c1 a 2 + d 1 c 2 c1 b2 + d 1 d 2
直角坐标系xOy内任意向量 α ,有 ) ( ( ) A Bα = AB α
( AB )α ) ( A Bα
AB f • g
α
f
A
g
B
Bα
课堂小结
x y
定义
上述这个线性变换就称为变换g和变换f 的复合变换,记为f· g.
复合变换f· g对应的矩阵为
a1 a 2 + b1 c 2 a1 b2 + b1 d 2 c1 a 2 + d 1 c 2 c1 b2 + d 1 d 2
称这个矩阵为矩阵A与B的乘积,记为AB AB=
a1 b1 c1 d 1 a 2 b2 c2 d 2
特殊线性变换的复合
一一 对应
复合前后矩阵的关系
线性变换的复合与二阶矩阵的乘积
两个线性变换的复合变换仍然是线性变换;
两个线性变换的复合变换的二阶矩阵是原来 两个线性变换的“乘积”.
矩阵乘法的内在规律: 矩阵AB第一行的第一个元素等于A的第一行的 元素与B的第一列的元素的乘积之和; 矩阵AB第一行的第二个元素等于A的第一行的 元素与B的第二列的元素的乘积之和; 矩阵AB第二行的第一个元素等于A的第二行的 元素与B的第一列的元素的乘积之和; 矩阵AB第二行的第二个元素等于A的第二行的 元素与B的第二列的元素的乘积之和.