高一数学-向量的起点、大小 精品
高一数学平面向量归纳总结
高一数学平面向量归纳总结一、向量的概念及基本性质向量是有大小和方向的量，用箭头表示。
向量的大小可以用模表示，方向可以用角度或方位角表示。
向量的相等与相反，向量的加法和数量乘法满足交换律、结合律、分配律。
二、向量的表示方法1. 终点坐标表示法：向量的起点在坐标原点O处，终点在坐标平面上的某个点P(x,y)处，向量记作OP。
2. 坐标表示法：向量的起点在坐标原点O处，终点在坐标平面上的某个点P(x₁,y₁)处，向量记作(x₁,y₁)。
3. 位置矢量表示法：在平面直角坐标系中，向量的起点是原点O，终点为某一点P，则OP向量可以表示为以O为原点，以P为终点的位置矢量。
三、向量的运算1. 向量的加法：向量加法满足三角形法则和平行四边形法则。
2. 向量的数量乘法：向量与实数相乘，改变向量的长度但不改变方向。
3. 向量的减法：向量减法等于加上减向量的负向量，即A-B=A+(-B)。
4. 内积运算：内积(点积)的运算结果是一个实数，满足交换律、分配率，且与夹角θ的余弦有关。
5. 外积运算：外积(叉积)的运算结果是一个向量，其大小等于以两个向量为两条邻边的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形的平面。
四、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示与直角坐标系中的坐标表示是一致的，即用向量的横、纵坐标表示向量的分量。
五、向量共线与共面1. 向量共线：若向量A与向量B的数量积为0，则两个向量共线。
2. 向量共面：若向量A、B、C的数积为0，则A、B、C三个向量共面。
六、向量的数量积应用1. 向量夹角的性质：夹角余弦公式可以用于求解向量夹角。
2. 向量投影的概念：设A为非零向量，B为任意向量，点的B在A 上的投影记为Prj(A,B)。
3. 向量投影的计算：设A为非零向量，B为任意向量，则Prj(A,B) = (A·B)/|A|。
4. 向量垂直与平行的判定：若向量A与向量B的数量积为0，则两个向量垂直；若向量A与向量B共线且方向相同或相反，则两个向量平行。
《高一数学向量》课件
向量混合积具有分配律、结合律和交换律等性质。
详细描述
向量混合积具有以下性质
向量混合积在物理和工程领域有广泛的应用，如力矩、速度和加速度的计算等。
向量混合积在物理和工程领域中有许多应用，例如计算力矩、速度和加速度等。在三维空间中，力矩可以通过三个向量的混合积来计算，即力矩等于向量与向量的叉乘的点乘。此外，向量混合积还可以用于计算速度和加速度的合成，以及解决一些物理问题，如刚体的运动学和动力学问题等。
总结词
3. 交换律
$vec{A} cdot vec{B} = vec{B} cdot vec{A}$。
2. 结合律
$(vec{A} + vec{B}) cdot vec{C} = vec{A} cdot vec{C} + vec{B} cdot vec{C}$；
1. 分配律
$vec{A} cdot (vec{B} + vec{C}) = vec{A} cdot vec{B} + vec{A} cdot vec{C}$；
总结词
详细描述
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高一数学向量
目录
向量的基本概念向量的运算向量的数量积向量的向量积向量的外积向量的混合积
01
CHAPTER
向量的基本概念
向量的定义是指既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
总结词
向量是数学中一个基本的概念，它表示一个既有大小又有方向的量。在物理学和工程学中，向量被广泛应用于描述速度、加速度、力等物理量。在数学中，向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为任意点。
向量的模长可以通过点乘来计算，即|a|=sqrt(a·a)，向量的方向可以通过点乘来确定，即当a·b>0时，向量a和b同向，当a·b<0时，向量a和b反向。
高一向量数学知识点归纳
高一向量数学知识点归纳在高中数学中，向量是一个重要的概念和工具。
它不仅可以用于描述物体的位移和方向，还可以应用于解决实际问题。
在高一数学学习中，向量的相关知识点是必须掌握的内容。
本文将对高一向量数学知识点进行归纳总结。
一、向量的定义和表示方法向量是有大小和方向的量，它可以看作是一个有序数对或一个有向线段。
一般情况下，向量用小写字母加上一个箭头来表示。
例如，向量a可表示为→a。
向量有多种表示方法，其中最常用的是分量表示法和单位向量表示法。
分量表示法是将向量的大小和方向分解成两个分量，通常以x 和y轴方向为基准进行分解。
例如，向量→a可以表示为→a=(a₁, a₂)。
其中a₁表示向量在x轴上的分量，a₂表示向量在y轴上的分量。
单位向量表示法是将向量的大小标准化为1，方向保持不变。
单位向量可以通过将向量除以其大小得到。
例如，如果向量→a的大小为a，那么它的单位向量表示为→ĉ=→a/a。
二、向量的加法和减法向量的加法和减法运算是基本的向量运算技巧。
向量的加法可以看作是将两个向量的分量相加得到一个新的向量。
例如，向量→a=(a₁, a₂)和向量→b=(b₁, b₂)的和向量→c=(a₁+b₁, a₂+b₂)。
向量的减法则是将两个向量的分量相减得到一个新的向量。
例如，向量→a=(a₁, a₂)和向量→b=(b₁, b₂)的差向量→c=(a₁-b₁,a₂-b₂)。
需要注意的是，在减法运算中，我们先取减向量的相反数再进行加法运算。
三、向量的数量积和向量积向量的数量积也称为点积或内积，它是将两个向量的对应分量相乘再求和得到的一个标量。
数量积的计算公式为a·b=a₁b₁+a₂b₂。
需要注意的是，计算数量积时要求两个向量的方向相同或相反。
向量的向量积也称为叉积或外积，它是通过确定一个新的向量，使得它垂直于原来的两个向量且方向满足右手螺旋定则。
向量积的计算公式为a×b=(a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁)。
【精品资料】高一数学必修4 向量的概念及表示
高一数学必修4 向量的概念及表示一．教学目标：（一）知识目标：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.（二）能力目标：通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.（三）情感目标：通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.二．教学重点、难点；教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.难点突破：借助原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.三．教学方法与教学手段：教学方法：启发式教学教学手段：多媒体教学四．教学过程，（一）情景设置一个质量m=60kg的物体放在光滑的水平面上，在与水平方向成α=60 °角斜向上的拉力F=10N的作用下向左运动了5m ，求拉力所做的功。
物理中的标量和矢量对应数学中的数量和向量。
问：再举出一些向量和数量数量：距离、质量、身高、时间、密度、以及体检中的视力、 肺活量等 向量：位移、力、速度、加速度等 （二）新课学习1．向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2．向量的表示方法：（1）几何表示法：用有向线段表示向量，长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
（2）用字母等表示；①用有向线段字母表示：（A 为起点、B 为终点）； ②用小写字母表示：、、；（印刷用a ，书写用） 注：小写字母表示平面向量时，字母上的箭头不能省略。
3．向量的有关概念： （1）大小：①向量的模：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作||. ②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作.思考：0与0的含义与书写区别.③单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位A(起点)B （终点）a向量.思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？（2）方向：平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
高一向量的基本知识点总结
高一向量的基本知识点总结一、引言高中数学学科的复杂性以及对数学学习的基础要求，使得初入高中学生面临许多新的概念和知识点。
其中，向量作为重要的数学概念之一，对于理解和应用其他数学领域的知识都至关重要。
本文将对高一向量的基本知识点进行总结。
二、基本概念1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量。
在二维平面内，向量通常用有向线段表示；在三维空间中，向量用有向线段或坐标表示。
2. 向量的表示：向量通常用字母加箭头表示，如AB 或 a，表示起点为A，终点为B的向量。
3. 零向量：零向量是长度为零，方向随意的向量，通常用 0 或0→ 表示。
4. 向量的相等：两个向量相等，需要满足大小和方向都相同。
5. 平行向量：两个向量的方向相同或相反时，称为平行向量。
6. 共线向量：两个向量的方向相同或平行，称为共线向量。
三、向量运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
即 A + B = B + A 和 (A + B) + C = A + (B + C)。
2. 向量的减法：向量的减法可以通过将减向量取反再进行向量的加法来实现。
即 A - B = A + (-B)。
3. 数乘运算：将向量与一个实数乘积相乘，可以改变向量的长度和方向。
例如，2A表示将向量A的长度乘以2。
四、向量的性质1. 平行向量的性质：平行向量的长度相等或成正比。
而且，平行向量之间的加减运算仍为平行向量。
2. 长度与方向：向量的长度和方向确定了向量的性质。
长度为1的向量称为单位向量。
3. 内积和外积：向量的内积和外积是向量运算中常见的概念。
内积表示两个向量之间的夹角关系，而外积则表示两个向量所构成的平行四边形的面积。
五、向量的应用1. 几何应用：向量常用于描述平面几何中的线段、直线、多边形等的位置关系。
2. 物理应用：向量在物理学中广泛应用，例如力的叠加、速度和加速度的表示等。
3. 计算机图形学：计算机图形学中的三维图形处理和计算机游戏开发中，向量是不可或缺的工具。
向量的全部知识点高一
向量的全部知识点高一向量是高等数学中的一个重要概念，它在解决几何、物理和工程问题中起着重要的作用。
本文将系统地介绍高中一年级学生需要了解的向量的全部知识点。
一、向量的定义和表示在数学中，向量是由大小和方向组成的量，它可以用有向线段来表示。
向量通常用小写字母加上箭头来表示，比如a→代表一个向量a。
向量的大小被称为向量的模，用|a→|来表示。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
具体而言，设a→和b→是两个向量，则它们的和记作a→+b→，其中，新向量的起点是a→的起点，终点是b→的终点。
三、向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个数相乘得到一个新的向量。
具体来说，设a→是一个向量，k是一个实数，则k乘以a→的结果记作ka→。
当k>0时，放大向量的长度，当k<0时，翻转向量的方向。
四、向量的数量积向量的数量积是另一种向量的运算，也被称为点积或内积。
设a→和b→是两个向量，它们的数量积定义为：a→·b→=|a→||b→|cosθ，其中，θ是a→和b→之间的夹角，|a→|和|b→|分别是它们的模。
数量积的结果是一个实数。
五、向量的性质向量有许多重要的性质，包括零向量、单位向量、平行向量和共线向量。
其中，零向量是长度为0的向量，任何向量与零向量的数量积都为0。
单位向量是模为1的向量，它的方向与原向量相同。
平行向量是指方向相同或相反的向量，共线向量是指在同一直线上的向量。
六、向量的投影向量的投影是指将一个向量在另一个向量上的投影长度，用于研究向量之间的夹角和相互垂直的关系。
向量b的投影在向量a 上的长度等于向量b与向量a的数量积除以向量a的模。
七、向量的共面与共点三个向量共面是指它们所在的直线或平面上的点满足共面的条件。
三个向量共点是指它们的起点或终点重合。
判断向量共面可以利用向量叉乘的结果，如果向量叉乘为零向量，则三个向量共面；判断向量共点可以通过解线性方程组来实现。
高一向量的所有知识点总结
高一向量的所有知识点总结高一是学习数学的重要阶段，其中向量是一个重要的概念。
向量是几何学中的一个基本概念，也是其他学科中常用的数学工具。
下面将总结高一向量的所有知识点。
一、向量的定义向量是由大小和方向确定的量。
通常用有向线段表示，有两个重要的要素：大小和方向。
大小指向量的长度或模，用符号||a||表示；方向指向量的朝向，可以用角度或在坐标系中表示。
二、向量的表示与运算向量有多种表示方式，其中最常用的是分量表示法和坐标表示法。
1. 分量表示法：将向量表示为其在坐标轴上的投影，常用三维坐标表示向量。
例如，向量a的分量表示为a=(a1, a2, a3)，其中a1、a2和a3分别表示向量a在x、y和z轴上的分量。
2. 坐标表示法：将向量表示为从原点到指定点的有向线段。
例如，向量a的坐标表示为a=(x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量a在x、y 和z轴上的坐标。
向量的运算包括加法、减法和数乘。
1. 向量的加法：向量的加法满足向量共线三要素：大小相等、方向相同、共面。
向量a+b的计算规则是将向量a的起点与向量b的终点相接，得到一个新的向量，起点与向量a的起点相同，终点与向量b的终点相同。
2. 向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算。
向量a-b的计算规则是将向量b取反，然后与向量a相加。
3. 数乘：数乘是指将向量与一个实数相乘。
数乘后的向量与原向量同向或反向，其长度为原向量长度的绝对值与实数绝对值的乘积。
三、向量的线性运算向量的线性运算包括数乘运算和向量的线性组合。
1. 向量的数乘运算：向量的数乘是指将向量与一个实数相乘，其结果是一个新的向量。
数乘的规则是保持方向不变，改变大小。
2. 向量的线性组合：向量的线性组合是指将若干个向量按照一定的比例进行加法运算。
例如，给定向量a1、a2、a3和实数c1、c2、c3，它们的线性组合表示为c1a1 + c2a2 + c3a3。
四、向量的数量积与夹角向量的数量积是两个向量的乘积，结果为一个实数。
高一数学向量知识点总结
高一数学向量知识点总结一、向量的基本概念1. 向量的定义- 既有大小又有方向的量叫做向量。
例如力、位移等都是向量。
2. 向量的表示- 几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
以A为起点、B为终点的向量记作→AB。
- 字母表示：用小写字母→a,→b,→c·s表示向量。
3. 向量的模- 向量→AB或→a的大小称为向量的模，记作|→AB|或|→a|。
模是一个非负实数。
4. 零向量- 长度为0的向量叫做零向量，记作→0，零向量的方向是任意的。
5. 单位向量- 长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
与非零向量→a同向的单位向量为(→a)/(|→a|)。
二、向量的运算（一）向量的加法1. 定义- 已知向量→a、→b，在平面内任取一点A，作→AB=→a，→BC=→b，则向量→AC叫做→a与→b的和，记作→a+→b，即→a+→b=→AB+→BC=→AC。
这种求向量和的方法叫做三角形法则。
- 平行四边形法则：已知向量→a、→b，作→AB=→a，→AD=→b，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则→AC=→a+→b。
2. 运算律- 交换律：→a+→b=→b+→a。
- 结合律：(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
（二）向量的减法1. 定义- 向量→a与→b的差→a-→b=→a+(-→b)，其中-→b是→b的相反向量，→b 与-→b大小相等，方向相反。
求两个向量差的运算叫做向量的减法。
- 几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。
（三）向量的数乘1. 定义- 实数λ与向量→a的积是一个向量，记作λ→a，它的长度|λ→a|=|λ||→a|，当λ> 0时，λ→a的方向与→a的方向相同；当λ < 0时，λ→a的方向与→a的方向相反；当λ = 0时，λ→a=→0。
2. 运算律- 结合律：λ(μ→a)=(λμ)→a。
高一数学讲义 第七章 平面向量
高一数学讲义 第七章 平面向量7.1 向量的基本概念及表示现实生活中，有些量在有了测定单位之后只需用一个实数就可以表示，例如温度，时间，面积，这些只需用一个实数就可以表示的量叫作标量．还有些量不能只用一个实数表示，例如位移，力，速度等既有大小又有方向的量，这些既有大小又有方向的量叫作向量．向量既有大小又有方向，因此向量不能比较大小．数学中常用平面内带有箭头的线段来表示平面向量．以线段的长来表示向量的大小：以箭头所指的方向（即从始点到终点的方向）来表示向量的方向．一般地，以点P 为始点，点Q 为终点的向量记作PQ ．为书写简便，在不强调向量的起点与终点时，向量也可以用一个小写的字母并在上面画一个小箭头来表示，如a ．PQ 的大小叫作PQ 的模，记作PQ ，类似地，a 的模记作a ． 1．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0；0的方向是任意的． 2．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．3．平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量（也叫共线向量）． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．5．负向量：与a 的模相等，方向相反的向量叫作a 的负向量，记作a -．我们规定：0的相反向量仍是零向量．易知对任意向量a 有()a a --=．向量共线与表示它们的有向线段共线不同：向量共线时表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在一条直线上；而有向线段共线则线段必须在同一条直线上．规定。
与任一向量平行．图7-1图7-1三个向量a 、b 、c 所在的直线平行，易知这三个向量平行，记作a b c ∥∥，我们也可以称这三个向量共线．例l ．如图7-2所示，128A A A 、是O 上的八个等分点，则在以128A A A 、及圆O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少??A 8A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1图7-2解：（1）模等于半径的向量只有两类，一类是()128i OA i =、共8个；另一类是()128iAO i =、也有8个．两类合计16个． （2）以128A A A 、为顶点的O 的内接正方形有两个，一个是正方形1257A A A A ；另一个是正方形2468A A A A ．在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边（看成有向线段，每一边对应两个向量）的√2倍的向量共有42216⨯⨯＝个． 注意：（1）在模等于半径的向量个数的计算中，要计算i OA 与()128i AO i =、两类．一般地我们易想到()128i OA i =、这8个，而易遗漏()128iAO i =、这8个．（2的两个向量，例如边13A A 对应向量13A A 与31A A ，因此与（1）一样，在解题过程中主要要防止漏算．认为满足条件的向量个数为8是错误的．例2．在平面中下列各种情形中，将各向量的终点的集会分别构成什么图形? （1）把所有单位向量的起点平移到同一点O ．（2）把平行于直线l 的所有单位向量的起点平移到直线l 上的p 点． （3）把平行于直线l 的所有向量的起点平移到直线l 的点p ． 解：（1）以点O 为圆心，l 为半径的圆．（2）直线l 上与点p 的距离为1个长度单位的两个点． （3）直线l ．例3．判断下列命题的真假：①直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量； ②两个向量平行是两个向量相等的必要条件；③向量AP 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上； ④向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ⑤四边形ABCD 是平行四边形的宽要条件是AB DC =．解：①直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的．②由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确； ③不正确．AB 与CD 共线，可以有AB 与CD 平行；④不正确．如果其中有一个是零向量，则其方向就不确定；⑤正确．此命题相当于平面几何中的命题：四边形ABCD是平行四边形的充要条件是有一组对边平行且相等．1．下列各量中是向量的有__________．（A）动能（B）重量（C）质量（D）长度（F）作用力与反作用力（F）温度2．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．3．回答下列问题，并说明理由．（1）平行向量的方向一定相同吗?（2）共线向量一定相等吗?（3）相等向量一定共线吗?不相等的向量一定不共线吗?4．命题“a b∥，b c∥（）∥，则a bA．总成立B．当0a ≠时成立C．当0b ≠时成立D．当0c ≠时成立5．已知正六边形ABCDEF（见图7-3），在下列表达式中：①BC CD EC+；③FE ED++；②2BC DC+；④2ED FA-；与AC相等的有__________．CF图737.2向量的加减法两个向量可以求和．一般地，对于两个互不平行的向量a、b，以A为共同起点平移向量，有AB a=，=叫作a和b这两个向量的和，即AD b=，则以AB、AD为邻边的平行四边形ABCD的对角线AC c+=．求两个向量和的运算叫做向量的加法．上述求两个向量的和的方法称为向量加法的平行四a b c边形法则，见图7-4．平行四边形法则B图74又AD BC = AB BC AC ∴+=由此发现，当第二个向量的始点与第一个向量的终点重合时．这两个向量的和向量即为第一个向量的始点指向第二个向量终点的向量．此法则称为向量加法的三角形法则，地图7-5．三角形法则图75特殊地．求两个平行向量的和，也可以用三角形法则进行（如图7-6）：（b ）（a ）a BA图76显然，对于任何a ，有0a a +=；()0a a +-=． 对于零向量与任一向量a ，有00a a a +=+=．向量的加法具有与实数加法类似的运算性质，向量加法满足交换律与结合律： 交换律：a b b a +=+结合律：()()a b c a b c ++=++与实数的减法相类似，我们把向量的减法定义为向量加法的逆运算．若向量a 与b 的和为向量c ，则向量b 叫做向量c 与a 的差，记作b c a =-．求向量差的运算叫做向量的减法．由向量加法的三角形法则以及向量减法的定义．我们可得向量减法的三角形法则，其作法：在平面内取一点O，作OA a=-，即a b-声可以表示为从向量b的终点指向向=，则BA a b=，OB b量a的终点的向量．注意差向量的“箭头”指向被减向量，见图7-7．CB图77此外，我们可以先做向量b的负向量OB b′，可根据向量加法的平行四边形法则得()=-OC a b=+-．易知向量OC BA=，因此，()+-=-．a b a b例1．如图7-8所示，已知向量a，b，c，试求作和向量a b c++．图78分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任意两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个新向量与另一个向量的和．即可先作a b+，再作()++．a b c解：如图7-9所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA a=+，=，再作向量AB b=，则得向量OB a b然后作向量BC c=++即为所求．=，则向量OC a b cO图79例2．化简下列各式（1）AB CA BC ++； （2）OE OF OD DO -+--．解：（1）原式()0AB BC CA AB BC CA AC CA AC AC =++=++=+=-= （2）原式()()0OE OF OD DO EO OF EF =+-+=+-=例3．用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等．由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量．已知：如图7-10，ABCD 是四边形，对角线AC 与BD 交于0，且AO OC =，DO OB =．ODCBA图710求证：四边形ABCD 足平行四边形． 证明：由已知得AO OC =，BO OD =，AD AO OD OC BO BO OC BC =+=+=+=，且A D B C ，，，不在同一直线上，故四边形ABCD 是平行四边形．例4．已知平面上有不共线的四点O A B C ，，，．若320OA OB OC -+=，试求AB BC的值．解：因为23OA OC OB +=，所以()2OB OA OC OB -=-．于是有2AB BC =-．因此2AB BC=．基础练习1．若对n 个向量12n a a a ，，，存在n 个不全为零的实数12n k k k ，，，，使得11220n n k a k a k a +++=成立，则称向量12n a a a ，，，为“线性相关”，依此规定，能说明()110a =，，()211a =-，，()322a =，“线性相关”的实数123k k k ，，依次可以取____________________（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．2．已知矩形ABCD 中，宽为2，长为AB a =，BC b =，AC c =，试作出向量a b c ++，并求出其模的大小．3．设a ，b 为两个相互垂直的单位向量．已知OP a =，OR ra kb =+．若PQR △为等边三角形，则k ，r 的取值为（ ）A．k r == B．k r =C．k r ==D．k r = 4．若A B C D 、、、是平面内任意四点，则下列四式中正确的是（ ）①AC BD BC AD +=+ ②AC BD DC AB -=+ ③AB AC DB DC --=④AB BC AD DC +-=A ．1B ．2C ．3D ．45．设a 表示“向东走10km ”，b 表示“5km ”，c 表示“向北走10km ”，d 表示“向南走5km ”．说明下列向量的意义．（1）a b +；（2）b d +；（3）d a d ++．6．在图7-11的正六边形ABCDEF 中，AB a =，AF b =，求AC ，AD ，AE ．FC图7117.3 实数与向量的乘法如图7-12，已知非零向量a ，可以作出a a a ++和()()()a a a -+-+-．P Q M N aaa-a图712aOC OA AB BC a a a =++=++，简记3OC a =；同理有()()()3PN PQ QM MN a a a a =++=-+-+-=-．观察得：3a 与a 方向相反相反且33a a -=．一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：a λ．a λ的模与方向规定如下：（1）a a λλ=；（2）a λ的方向定义为：0λ>时a λ与a i 方向相同；0λ<时a λ与a i 方向相反；0λ=或0a =时规定：0a λ=．以上规定的实数与向量求积的运算叫作实数与向量的乘法（简称向量的数乘）．向量数乘的几何意义就是：把向量a 沿向量a 的方向或反方向放大或缩小，a λ与a 是互相平行的向量．对于任意的非零向量a ，与它同方向的单位向量叫做向量a 的单位向量，记作0a ．易知01a a a =．向量共线定理：如果有一个实数λ，使()0b a a λ=≠，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与()0a b ≠是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b a λ=．通过作图，可以验证向量数乘满足以下运算定律：当m 、n ∈R 时，有 1．第一分配律()m n a ma na +=+． 2．第二分配律()m a b ma mb +=+． 3．结合律()()m na mn a =． 例1．计算：（1）()()63292a b a b -+-+；（2）原式12711332236227a a b b a a b ⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()()64222a b c a b c a c -+--+--+． 解：（1）原式18121893a b a b b =---+=-． （2）原式12711332236227a a b b a a b ⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17732367a b a b ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 77106262b a a b =+--=． （3）原式66648442a bc a b c a c =-+-+-+-()()()64468642a a a b b c c c =-++-++-- 62a b =+．例2．已知O 为原点，A ，B ，C 为平面内三点，求证A ，B ，C 三点在一条直线上的充要条件是OC OA OB αβ=+，且αβ∈R ，，1αβ+=．分析：证明三点共线可从三点构成的其中两个向量存在数乘关系．证明必要条件也是从向量共线时向量的数乘关系入手．证明：必要性．设A B C ，，三点共线，则AC 与AB 共线．于是存在实数λ，使AC AB λ=． 而AC OC OA =-，AB OB OA =-，()OC OA OB OA λ∴-=-．()1OC OB OA λλ∴=+-． 令λβ=，1λα-=，有()11αβλλ+=-+=， OC OA OB αβ∴=+，且1αβ+=．充分性．若OC OA OB αβ=+，且1αβ+=，则()1OC OA OB ββ=-+，()OC OA OB OA β=+-，()OC OA OB OC β-=-，AC AB β∴=，β∈R ． AC ∴与AB 共线，而A 为AC 与AB 的公共端点，A B C ∴，，三点在一条直线上．在证明必要性时，A B C ，，三点共线还可用AB kBC =，AC kBC =表示．本题的结论还可有更一般的形式：A B C 、、三点在一条直线上的充要条件是存在实数h ，k ，l ，使0hOA kOB lOC ++=，且1h k l ++=，l k h ，，中至少有一个不为0．例3．如图7-13，设O 为ABC △内一点，PQ BC ∥，且PQt BC=，，OB b =，OC c =，试求OP ，OQ ． 解：由平面几何知，APQ ABC ⨯△∽△，且对应边之比为t ，图713故AP AQ PQt AB AC BC===， 又A P B 、、与A Q C 、、分别共线，即知 AP t AB =，AQ t AC =．()()OP OA AP OA t AB OA t OB OA a t b a ∴=+=+=+-=+-，即()1OP t a tb =-+，()()OQ OA AQ OA t AC OA t OC OA a t c a =+=+=+-=+-， 即()1OQ t a c =-+．例4．设两非零向量1e 和2e 不共线，（1）如果12AB e e =+，1228BC e e =+，()123CD e e =-，求证A B D ，，三点共线． （2）试确定实数k ，使12ke ke +共线． （1）证明12AB e e =+，()121212283355BD BC CD e e e e e e AB =+=++-=+=，AB BD ∴，共线，又有公共点B A B D ∴，，三点共线．（2）解12ke e +与12e ke +共线，∴存在λ使()1212ke e e ke λ+=+， 则()()121k e k e λλ-=-，由于1e 与2e 不共线， 只能有010k k λλ-=⎧⎨-=⎩则1k =±．例5．在ABC △中，F 是BC 中点，直线l 分别交AB AF AC ，，于点D ，G ，E （见图7-14）．如果AD AB λ=，AE AC μ=，λ，μ∈R ．证明：G 为ABC △重心的充分必要条件是113λμ+=．l GF E DCB A图714解：若G 为ABC △重心，则()221332AG AF AB AC ==⋅+=13AD AE λμ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭． 又因点D G E ，，共线，所以，()113AD AE AG t AD t AE λμ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 因AD ，AE 不共线，所以，13t λ=且113t μ=-，两式相加即得113λμ+=． 反之，若113λμ+=，则()2xAG xAF AB AC ==+()12x AD AE t AD t AE λμ⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以，2x t λ=且12x t μ=-，相加即得23x =，即G 为ABC △重心． 基础练习1．已知向量a 、b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是（ ） ①234a b e -=且23a b e +=-；②存在相异实数λ、u ，使0a ub λ+=； ③0xa yb +=（其中实数x y 、满足0x y +=）； ④已知梯形ABCD 中，其中AB a =、CD b =． A ．①② B ．①③C ．②④D ．③④2．判断下列命题的真假：（1）若AB 与CD 是共线向量，则A B C D ，，，四点共线． （2）若AB BC CA ++=0，则A B C ，，三点共线． （3）λ∈R ，则a a λ>．（4）平面内任意三个向量中的每一个向量都可以用另外两个向量的线性组合表示． 3．已知在ABC △中，D 是BC 上的一点，且BDDCλ=，试求证：1AB AC AD λλ+=+． 4．已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线．5．已知在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，求证：四边形ABCD 是梯形．6．已知()2cos A αα，()2cos B ββ，()10C -，是平面上三个不同的点，且满足关系式CA BC λ=，求实数λ的取值范围．7．已知梯形ABCD 中，2AB DC =，M N ，分别是DC AB 、的中点，若1AB e =，2AD e =，用1e ，2e 表示DC BC MN 、、．8．四边形ABCD 是一个梯形，AB CD ∥且2AB CD =，M N 、分别是DC 和AB 的中点，已知AB a =，AD b =，试用a ，b 表示BC 和MN ．9．已知a b 、是不共线的非零向量，11c a b λμ=+，22d a b λμ=+，其中1122λμλμ、、、为常数，若c d ma nb +=+，求m n 、的值．10．设a 、b 是不共线的两个非零向量，OM ma =，ON nb =，OP a b αβ=+，其中m n αβ、、、均为实数，0m ≠，0n ≠，若M P N 、、三点共线，求证：1mnαβ+=．11．在ABC △中，BE 是CD 交点为P ．设AB a =，AC b =，AP c =，AD a λ=，（01λ<<），()01AE b μμ=<<，试用向量a ，b 表示c ．12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量()12OA =，，()21OB =-，若OP xOA yOB =+且12x y ≤≤≤，则求出点P 所有可能的位置所构成的区域面积．7.4 向量的数量积数量积定义：一般地．如果两个非零向量a 与b 的夹角为α．我们把数量cos a b α⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作：a b ⋅，即：cos a b a b α⋅=⋅，其中记法“a b ⋅”中间的“⋅”不可以省略，也不可以用“×”代替．特别地，a b ⋅可记作2a ．规定：0与任何向量的数量积为0．非零向量夹角的范围：0≤口≤Ⅱ．投影的定义：如果两个非零向量a 与b 的夹角为α，则数量cos b θ称为向量b 在a 方向上的投影．注意：投影是一个数量．数量积的几何意义：如图7-15，我们把cos b α<叫做向量b 在a 方向上的投影，即有向线段1OB 的数量．图715当π02α<≤时，1OB 的数量等于向量1OB 的模1OB ； 当ππ2α<≤时，1OB 的数量等于向量1OB 的模－1OB ； 当π2α=时，1OB 的数量等于零． 当然，cos a α即为a 在b 方向上的投影．综上，数量积的几何意义：a b ⋅等于其中一个向量a 的模a 与另一个向量b 在a 的方向上的投影cos b α的乘积．向量的数量积的运算律： ①a b b a ⋅=⋅②()()()a b b a b λλλ⋅⋅=⋅（λ为实数）③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ 鉴于篇幅这里仅证明性质②：证明：（1）若0λ>，()cos a b a b λλθ⋅=，()cos a b a b λλθ⋅=，()cos a b a b λλθ⋅=，（2）若0λ<，()()()cos πcos cos a b a b a b a b λλθλθλθ⋅=-=--=，()cos a b a b a b λλλθ⋅=⋅=，()()()cos πcos a b a b a b λλθλθ⋅=-=--=cos a b λθ． （3）若0λ=，则()()()0a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅=． 综合（1）、（2）、（3），即有()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．例1．已知4a =，5b =，当（1）a b ∥，（2）a b ⊥，（3）a 与b 的夹角为30︒时，分别求a 与b 的数量积．解：（1）a b ∥，若a 与b 同向，则0θ=︒，cos04520a b a b ∴⋅=⋅︒=⨯=； 若a 与b 反向，则180θ=︒，()cos18045120a b a b ∴⋅=⋅︒⨯⨯⨯-=-． （2）当a b ⊥时，90θ=︒，cos900a b a b ∴⋅=⋅︒=．（3）当a 与b 的夹角为30︒时，cos3045a b a b ⋅=⋅︒=⨯= 例2．空间四点A B C D 、、、满足3AB =，7BC =，11CD =，9DA =，则AC BD ⋅的取值有多少个？解：注意到2222311113079+==+，由于0AB BC CD DA +++=， 则()()2222222DA DA AB BC CDAB BC CD AB BC BC CD CD AB ==++=+++⋅+⋅+⋅()()2222AB BC CD AB BC BC CD =-+++⋅+，即222220AC BD AD BC AB CD ⋅=+--=，AC BD ∴⋅只有一个值0．例3．已知a b 、都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a b 、的夹角． 解：由()()223750716150a b a b a a b b +⋅-=⇒+⋅-= ①()()22472073080a b a b a a b b -⋅-=⇒-⋅+=②两式相减：22a b b ⋅=代入①或②得：22a b =． 不妨设a b 、的夹角为θ，则221cos 22a b ba bbθ⋅===，又因为0πθ≤≤，60θ∴=︒．例4．在凸四边形ABCD 中，P 和Q 分别为对角线BD 和AC 的中点，求证：2222224AB BC CD DA AC BD PQ +++=++．证明：联结BQ ，QD ，因为BP PQ BQ +=，DP PQ DQ +=， 所以()()2222BQ DQ BP PQ DP PQ +=+++ 222222BP DP PQ BP PQ DP PQ =+++⋅+⋅()22222BP DP PQ BP DP PQ =++++⋅ 2222BP DP PQ =++①又因为BQ QC BC +=，BQ QA BA +=，0QA QC +=， 同理222222BA BC QA QC BQ +=++② 222222CD DA QA QC QD +=++③由①、②、③可得()()2222222224222BA BC CD QA BQ QD AC BP PQ ++=++=++= 2224AC BD PQ ++．得证．例5．平面四边形ABCD 中，AB a =，BC b =，CD c =，DA d =，且a b b c c d d a ⋅=⋅=⋅=⋅，判断四边形ABCD 的形状．证明：由四边形ABCD 可知，0a b c d +++=（首尾相接）()a b c d ∴+=-+，即()()22a bc d +=+展开得222222aa b b c c d d +⋅+=+⋅+a b c d ⋅=⋅，222a b c d ∴+=+①同理可得2222a dbc +=+② ①-②得2222b a ac =⇒=，b d ∴=，ac =，即AB CD =，BC DA =， 故四边形ABCD 是平行四边形．由此a c =-，bd =-．又a b b c ⋅=⋅，即()0b a c -=()20b a ∴⋅=即a b AB BC ⊥⇒⊥， 故四边形ABCD 是矩形．例6．已知非零向量a 和b 夹角为60︒，且()()375a b a b +⊥-，求证：()()472a b a b -⊥-．证明：因为a 和b 夹角为60︒，所以1cos602a b a b a b ⋅=⋅⋅︒=⋅；又因为()()375a b a b +⊥-，所以，即()()3750a b a b +⋅-=．22222217161571615781502a ab b a a b b a a b b +⋅-=+⨯⋅-=+⋅-=． ()()7150a b a b ∴+⋅-=，0a b ∴-=，即a b =．因为()()22222214727308730871582a b a b a a b b a a b b a a b b -⋅-=-⋅+=-⨯+=-+，把a b =代入上式消去b 得()()2247271580a b a b a a a a -⋅-=-+=．所以()()472a b a b -⊥-．基础练习1．已知a b c 、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（ ） ①a b a b a b ⋅=⋅⇔∥； ②a b 、反向a b a b ⇔⋅=-⋅； ③a b a b a b ⊥⇔+=-； ④a b a c b c =⇔⋅=⋅． A ．1B ．2C ．3D ．42．已知向量i j ，为相互垂直的单位向量，28a b i j +=-，816a b i j -=-+，求a b ⋅．3．如图7-16所示，已知平行四边形ABCD ，AB a =，AD b =，4a=，2b =，求：OA OB ⋅．C图7164．设6a =，10b =，46a b -=，求a 和b 的夹角θ的余弦值． 5．已知a b ⊥，2a =，3b =，当()()32a b a b λ-⊥+时，求实数λ的值．6．已知不共线向量a ，b ，3a =，2b =，且向量a b +与2a b -垂直．求：a 与b 的夹角θ的余弦值． 7．已知3a =，4b =，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a kb +与a kb -互相垂直？ 8．在ABC △中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，求AB ．9．在ABC △中，AB a =，BC b =，且0a b ⋅>，则ABC △的形状是__________． 10．已知向量()24a =，，()11b =，．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是__________．11．如图7-17，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=，0AB BD BD DC ⋅=⋅=，4AB BD BD DC ⋅+⋅=，求()AB DC AC +⋅的值．图717DCBA能力提高12．如图7-18，在Rt ABC △中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点．问PQ 与BC 的夹角θ为何值时，BP CQ ⋅的值最大?并求出这个最大值．PQ图71813．已知ABC △中满足()2ABAB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，a b c 、、分别是ABC △的三边．试判断ABC △的形状并求sin sin A B +的取值范围．14．设边长为1的正ABC △的边BC 上有n 等分点，沿点B 到点C 的方向，依次为121n P P P -，，，，若1121n n S AB AP AP AP AP AC -=⋅+⋅++⋅，求证：21126n n S n-=．15．在ABC △中，AB a =，BC c =，CA b =，又()()()123c b b a a c ⋅⋅⋅=∶∶∶∶，则ABC △三边长之比a b c =∶∶__________．16．在向量a b c ，，之间，该等式()()())132a b c a b b c c a ⎧++=⎪⎨⋅⋅⋅=-⎪⎩∶∶∶成立，当1a =时，求b 和c 的值．17．若a b c ，，中每两个向量的夹角均为60︒，且4a =，6b =，2c =，求a b c ++的值． 7.5 向量的坐标表示及其运算向量的坐标表示在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数()x y ，来表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示?前面的平面向量分解告诉我们，只要选定一组基底，就有唯一确定的有序实数对与之一一对应． 我们分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i ，j 作为基底，由平面向量的基本定理．对于任一向量a ，存在唯一确定的实数对()x y ，使得()a xi y j x y =+∈R ，，我们称实数对()x y ，叫向量a 的坐标，记作()a x y =，．其中x 叫向量a 在x 轴上的坐标,y 叫向量a 在y 轴上的坐标，见图7-19．图719注意：（1）与a 相等的向量的坐标也是()x y ，．（2）所有相等的向量坐标相同；坐标相同的向量是相等的向量． 平面向量的坐标运算（1）设()11a x y =，，()22b x y =，，则()1212a b x x y y +=++，． （2）设()11a x y =，，()22b x y =，，则()1212a b x x y y -=--，． （3）设()11A x y ，，()22B x y ，，则()2121AB OB OA x x y y =-=--，． （4）设()11a x y =，，λ∈R ，则()a x y λλλ=，．（5）设()11a x y =，，()22b x y =，，则()1212a b x x y y ⋅=+． 向量平行的坐标表示设()11a x y =，，()22b x y =，，且0b ≠，则()1212a b x x y y =+∥． 向量的平行与垂直的充要条件设()11a x y =，，()22b x y =，，且0b ≠，0a ≠则 12210a b b a x y x y λ⇔=⇔-=∥． 121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=．重要的公式（1）长度公式：2221a a a x y ===+()()11a x y =，（2）夹角公式：()())1122cos a x y b x y θ===，，，．（3）平面两点间的距离公式： (()())1122A B d AB AB AB x A x y B xy ==⋅=，，，，．（4）不等式：cos a b a b a b θ⋅=≥．例1．已知()12a a a =，，()12b b b =，，且12210a b a b -≠，求证：（1）对平面内任一向量()12c c c ，，都可以表示为()xa yb x y +∈R ，的形式； （2）若0xa yb +=，则0x y ==．证明：（1）设c xa yb =+，即()()()()1212121122c c x a a y b b a x b y a x b y =+=++，，，，， 111222.a xb yc a x b y c +=⎧∴⎨+=⎩，12210a b a b -≠，∴上述关于x y ，的方程组有唯一解．1221122112211221.c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，1221122112211221c b c b a c a c c a b a b a b a b a b --∴=+--． （2）由（1）的结论，0c =，即120c c ==，则 122112210c b c b x a b a b -==-，122112210a c a c y a b a b -==-，0x y ∴==． 小结：证明（1）的过程就是求实数x ，y 的过程，而12210a b a b -≠是上面二元一次方程组有唯一解的不可缺少的条件．另外，本题实际上是用向量的坐标形式表述平面向量基本定理．其中1x λ=，2y λ=，这里给出了一个具体的求12λλ，的计算方法．例2．向量()10OA =，，()11OB =，，O 为坐标原点，动点()P x y ，满足0102OP OA OP OB ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩≤≤≤≤，求点()Q x y y +，构成图形的面积．解：由题意得点()P x y ，满足0102x x y ⎧⎨+⎩≤≤≤≤，令x y uy v +=⎧⎨=⎩，则点()Q u v ，满足0102u v u -⎧⎨⎩≤≤≤≤，在uOv 平面内画出点()Q u v ，构成图形如图7-20所示，∴其面积等于122⨯=．图720例3．在直角坐标系中，已知两点()11A x y ，，()22B x y ，；1x ，2x 是一元二次方程222240x ax a -+-=两个不等实根，且A B 、两点都在直线y x a =-+上． （1）求OA OB ⋅；（2）a 为何值时OA 与OB 夹角为π3． 解：（1）12x x 、是方程222240x ax a -+-=两个不等实根，()224840a a ∴∆=-->解之a -<()212142x x a =-，12x x a +=又A B 、两点都在直线y x a =-+上，()()()()2212121212142y y x a x a x x a x x a a ∴=-+-+=-++=- 121224OA OB x x y y a ∴⋅=+=-（2）由题意设1x =，2x =112y x a x ∴=-+==，同理21y x =(()22212121224OA OB xx x x x x x ∴==+=+-=当OA 与OB夹角为π3时，π1cos 4232OA OBOA OB ⋅==⨯= 242a ∴-=解之(a =- a ∴=即为所求． 例4．已知()10a =，，()21b =，． ①求3a b +；②当k 为何实数时，ka b -与3a b +平行，平行时它们是同向还是反向？解：①()()()31032173a b +=+=，，，，2373a b ∴+=+ ②()()()102121ka b k k -=-=--，，，． 设()3ka b a b λ-=+，即()()2173k λ--=，，， 12731313k k λλλ⎧=-⎪-=⎧⎪∴⇒⎨⎨-=⎩⎪=-⎪⎩．故13k =-时，它们反向平行．例5．对于向量的集合(){}221A v x y x y ==+，≤中的任意两个向量12v v 、与两个非负实数αβ、；求证：向量12v v αβ+的大小不超过αβ+．证明：设()111v x y =，，()222v x y =，，根据已知条件有：22111x y +≤，22221x y +≤， 又因为(12v v αβα+==其中12121x x y y +所以12v v αβααβαβ+=+=+≤． 基础练习1．已知()21a =，，()34b =-，，求a b +，a b -，34a b +的坐标． 2．设O 点在ABC △内部，且有230OA OB OC ++=，求ABC △的面积与AOC △的面积的比． 3．已知平行四边形ABCD 的三个顶点A B C ，，的坐标分别为（-2，1），（-1，3），（3，4），求顶点D 的坐标．4．已知向量i ，j 为相互垂直的单位向量，设()12a m i j =+-，()1b i m j =+-，()()a b a b +⊥-，求m 的值．5．已知等腰梯形ABCD ，其中AB CD ∥，且2DC AB =，三个顶点()12A ，，()21B ，，()42C ，，求D 点的坐标．6．如图7-21所示，已知()20OA =，，(1OB =，将BA 绕着B 点逆时针方向旋转60︒，且模伸长到BA 模的2倍，得到向量BC ．求四边形AOBC 的面积S ．图7217．如图7-22所示，已知四边形ABCD 是梯形，AD BC ∥，2BC AD =，其中()12A ，，()31B ，，()24D ，，求C 点坐标及AC 的坐标．图7228．已知向量()2334a x x x =+--，与AB 相等，其中()12A ，，()32B ，，求x ． 9．平面内有三个已知点()12A -，，()70B ，，()56C -，，求 （1）AB ，AC ；（2）AB AC +，AB AC -；（3）122AB AC +，3AB AC -． 10．已知向量()12a =，，()1b x =，，2u a b =+，2v a b =-，且u v ∥，求x ． 11．已知()23a =，，()14b =-，，()56c =，，求()a b c ⋅，和()a b c ⋅⋅．12．已知两个非零向量a 和b 满足()28a b +=-，，()64a b -=--，，求a 与b 的夹角的余弦值． 能力提高13．已知平面上三个向量a ，b ，c 均为单位向量，且两两的夹角均为120︒，若()1ka b c k ++>∈R ，求k 的取值范围．14．已知OA ，OB 不共线，点C 分AB 所成的比为2，OC OA OB λμ=+，求λμ-． 7.6 线段的定比分点公式与向量的应用线段的定比分点公式设点P 是直线12P P 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数()1λλ≠-，使12PP PP λ=，则λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比，P 点叫做有向线段12P P 的以定比为λ的定比分点．当P 点在线段12P P 上时0λ⇔≥；当P 点在线段12P P 的延长线上时1λ⇔<-； 当P 点在线段21P P 的延长线上时10λ⇔-<<；设()111P x y ，，()222P x y ，，()P x y ，是线段12P P 的分点，λ是实数且12P P PP λ=，则121211x x x OP y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⇔=⎨+⎪=⎪+⎩()12121111OP OP OP tOP t OP t λλλ+⎛⎫⇔=+-= ⎪++⎝⎭．()1λ≠-由线段的定比分点公式得：中点坐标公式设()111P x y ，，()222P x y ，，()P x y ，为12P P 的中点，（当1λ=时） 得121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩三角形的重心坐标公式ABC △三个顶点的坐标分别为()11A x y ，、()22B x y ，、()33C x y ，，则ABC △的重心的坐标是12312233x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 利用向量可以解决许多与长度、距离及夹角有关的问题．向量兼具几何特性和代数特性，成为沟通代数、三角与几何的重要工具，同时在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用． 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC △所在平面上一点，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c 则（1）O 为ABC △的外心222OA OB OC ⇔==． （2）O 为ABC △的重心0OA OB OC ⇔++=．（3）O 为ABC △的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅． （4）O 为ABC △的内心0aOA bOB cOC ⇔++=． （5）O 为ABC △的A ∠的旁心()aOA b OB cOC ⇔=+．例1．如图7-23所示，已知矩形ABCD 中，()21A ，，()54B ，，()36C ，，E 点是CD 边的中点，联结BE 与矩形的对角线AC 交于F 点，求F 点坐标．图723解：四边形ABCD 是矩形，E 是CD 边的中点，ABF CEF ∴△∽△，且2AB CE =2AF CF ∴=即点F 分AC 所成的比2λ=．设()F x y ，．由(21)A ，，(36)C ，，根据定比分点坐标公式得2238123x +⨯==+，12613123y +⨯==+ F ∴点坐标是81333⎛⎫⎪⎝⎭，． 例2．证明：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．证明：在单位圆O 上任取两点A ，B ，以Ox 为始边，以OA ，OB 为终边的角分别为β，α，见图7-24．β，sin β）B （cos α图724则A 点坐标为()cos sin ββ，，B 点坐标为()cos sin αα，；则向量()cos sin OA ββ=，，()cos sin OB αα=，，它们的夹角为αβ-，1OA OB ==，cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=+， 由向量夹角公式得：()cos cos cos sin sin OA OB OA OBαβαβαβ⋅-==+，从而得证．注意：用同样的方法可证明()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-．例3．证明柯西不等式()()()2222211221212x y x y x x y y +⋅++≥．证明：令()11a x y =，，()22b x y =，（1）当0a =或0b =时，12120a b x x y y ⋅=+=，结论显然成立； （2）当当0a ≠且0b ≠时，令θ为a ，b 的夹角，则[]0πθ∈，1212cos a b x x y y a b θ⋅=+=．又cos 1θ≤，a b a b ∴⋅≤（当且仅当ab ∥时等号成立）． 1212x x y y ∴+()()()2222211221212x y x y x x y y ∴+⋅++≥（当且仅当1212x x y y =时等号成立）． 例4．给定ABC △，求证：G 是ABC △重心的充要条件是0GA GB GC ++=．证明：必要性 设各边中点分别为D E ，，F ，延长AD 至P ，使DP GD =，则2AG GD =GP =． 又因为BC 与GP 互相平分，所以BPCG 为平行四边形，所以BG PC ∥，所以GB CP =． 所以0GA GB GC GC CP PG ++=++=．充分性 若0GA GB GC ++=，延长AG 交BC 于D ，使GP AG =，联结CP ，则GA PG =． 因为0GC PG PC ++=，则GB PC =，所以GB CP ∥，所以AG 平分BC ．同理BG 平分CA ．所以G 为重心． 例5 ABC △外心为O ，垂心为H ，重心为G ．求证：O G H ，，为共线，且12OG GH =∶∶． 证明：首先()()2112333OG OA AG OA AM OA AB AC OA AO OB OC =+=+=++=+++= ()13OA OB OC ++． 其次设BO 交外接圆于另一点E ，则联结CE 后得CE BC ⊥． 又AH BC ⊥，所以AH CE ∥．又EA AB ⊥，CH AB ⊥，所以AHCE 为平行四边形．所以AH EC =． 所以OH OA AH OA EC OA EO OC OA OB OC =+=+=++=++， 即3OH OG =，所以OG 与OH 共线，所以O G H ，，共线． 即12OG GH =∶∶． 注意：O G H ，，所在的直线称为欧拉线．例6．已知ABC △，AD 为中线，求证()2222122BC AD AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（中线长公式）． 证明：以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴建立如图7-25所示的直角坐标系，图725设()A a b ，，()0C c ，，02c D ⎛⎫⎪⎝⎭，，则()22222024c c AD a b ac a b ⎛⎫=-+-=-++ ⎪⎝⎭，()()22222222221122244BC c c AB AC a b c a b a b ac ⎛⎫⎡⎤⎪+-=++-+-=+-+⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 从而()2222122BC AD AB AC ⎛⎫ ⎪=+- ⎪⎝⎭，()2222122BC AD AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 例7．是否存在4个两两不共线的平面向量，其中任两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？解：如图7-26所示，在正ABC △中，O 为其内心，P 为圆周上一点，满足PA ，PB ，PC ，PO 两两不共线，有POCBA图726()()PA PB PC PO +⋅+=()()PO OA PO OB PO OC PO +++⋅++()()22PO OA OB PO OC =++⋅+ ()()22PO OC PO OC =-⋅+ 2240PO OC =-=有()PA PB +与()PC PO +垂直． 同理可证其他情况．从而PA ，PB ，PC ，PO 满足题意、故存在这样四个平面向量．例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1230OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，求证：123PP P △是正三角形．解：令O 为坐标原点，可设()111cos sin P θθ，，()222cos sin P θθ，，()333cos sin P θθ， 由123OP OP OP +=-，即()()()112233cos sin cos sin cos sin θθθθθθ+=--，，， 123123cos cos cos sin sin sin θθθθθθ+=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩①② 两式平方和()1212cos 11θθ+-+=，()121cos 2θθ-=-，由此可知12θθ-的最小正角为120︒，即1OP 与2OP 的夹角为120︒， 同理可得1OP 与3OP 的夹角为120︒，2OP 与3OP 的夹角为120︒， 这说明123P P P ，，三点均匀分布在一个单位圆上， 所以123PP P △为等腰三角形． 基础练习1．在ABC △中，若321AB BC BC CA AB CA⋅⋅⋅==，则tan A =__________． 2．已知P 为ABC △内一点，且满足3450PA PB PC ++=，那么PAB PBC PCA S S S =△△△∶∶__________． 3．如图7-27，设P 为ABC △内一点，且2155AP AB AC =+，求ABP △的面积与ABC △的面积之比． PCA图7274．已知ABC △的三顶点坐标分别为()11A ，,()53B ，，()45C ，，直线l AB ∥，交AC 于D ，且直线l 平分ABC △的面积，求D 点坐标． 5．已知()23A ，，()15B -，，且13AC AB =，3AD AB =，求点C D 、的坐标． 6．点O 是平面上一定点，A B C ，，是此平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，[)0λ∈+∞，．则点P 的轨迹一定通过ABC △的__________心．能力提高7．设x y ∈R ，，i j 、为直角坐标系内x y 、轴正方向上的单位向量，若()2a xi y j =++，()62b xi y j =+-且2216a b +=．（1）求点()M x y ，的轨迹C 的方程；（2）过定点()03，作直线l 与曲线C 交于A B 、两点，设OP OA OB =+，是否存在直线l 使四边形OAPB 为正方形？若存在，求出l 的方程，或不存在说明理由．8．（1）已知4a =，3b =，()()23261a b a b -⋅+=，求a 与b 的夹角θ；（2）设()25OA =，，()31OB =，，()63OC =，，在OC 上是否存在点M ，使MA MB ⊥，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由． 9．设a b 、是两个不共线的非零向量()t ∈R （1）记OA a =，OB tb =，()13OC a b =+，那么当实数t 为何值时，A B C 、、三点共线？ （2）若1a b ==且a 与b 夹角为120︒，那么实数x 为何值时a xb -的值最小？10．设平面内的向量()17OA =，，()51OB =，，()21OM =，，点P 是直线OM 上的一个动点，求当PA PB ⋅取最小值时，OP 的坐标及APB ∠的余弦值．11．已知向量()11m =，，向量n 与向量m 夹角为3π4，且1m n ⋅=-． （1）求向量n ；（2）若向量n 与向量()10q =，的夹角为π2，向量22sin 4cos 2A p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，求2n p +的值．12．已知定点()01A ，，()01B -，，()10C ，．动点P 满足：2AP BP k PC ⋅=． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）当0k =时，求2AP BP +的最大值和最小值．13．在平行四边形ABCD 中，()11A ，，()60AB =，，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．（1）若()35AD =，，求点C 的坐标； （2）当AB AD =时，求点P 的轨迹．14．已知向量()22a =，，向量b 与向量a 的夹角为3π4，且2a b ⋅=-， （1）求向量b ；（2）若()10t =，且b t ⊥，2cos 2cos 2C c A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，其中A C 、是ABC △的内角，若三角形的三内角A B C 、、依次成等差数列，试求b c +的取值范围．。
高一向量知识点与公式总结
高一向量知识点与公式总结高一数学中的向量知识点与公式总结在高中阶段的数学学习中，向量是一个重要且常见的概念。
向量的引入不仅能够帮助我们更好地理解和描述空间中的运动和变化，还能够将数学与实际生活中的问题相结合。
本文将总结高一阶段的向量知识点与公式，帮助大家更好地掌握和应用向量。
一、向量的基本概念向量可以看作是有大小和方向的量。
在平面直角坐标系中，可以用一个有序数对表示一个向量。
例如，向量a可以表示为(a₁,a₂)，其中a₁表示向量在x轴上的分量，a₂表示向量在y轴上的分量。
向量以带箭头的线段表示，箭头方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
二、向量的表示与运算1. 向量的表示方法在数学中，向量可以用不同的表示方法来表达。
除了上述的坐标表示法外，还有向量的模长表示法、向量的单位向量表示法等。
具体表示方法的选择取决于具体的问题和需求。
2. 向量的加法与减法向量的加法和减法遵循平行四边形法则和三角形法则。
平行四边形法则指出，要想求两个向量的和，可以将两个向量首尾相接，并连接首位点，构成一个完整的平行四边形，新向量的起点是原两个向量的起点，终点是该平行四边形的对角线的终点。
减法运算可以通过向量加法和标量乘法来计算。
三、向量的数量积与向量积1. 数量积数量积，也称为点积或内积，在向量的运算中起着重要的作用。
两个向量a和b的数量积定义为：a·b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量的模长，θ表示夹角。
数量积的结果是一个数，可以用来求解向量的夹角、判断向量的相互垂直与平行关系等。
2. 向量积向量积，也称为叉积或外积，是向量运算中的另一种形式。
两个向量a和b的向量积定义为：a × b = |a| |b| sinθ n，其中|a|和|b|分别表示向量的模长，θ表示夹角，n是垂直于平面的单位向量。
向量积的结果是一个向量，垂直于a和b所在的平面，大小等于由|a|、|b|和夹角θ所构成的平行四边形的面积。
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向量的起点、大小
1．哪些向量与起点有关？哪些向量与起点无关？
在实际问题中，像力这样的向量，既有大小、方向，又有作用点，因此它是与起点有关的.但像位移这样的向量，就只有大小与方向，它与起点无关.由于一切向量的共性是它们都有大小与方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（简称向量），即只考虑向量的大小与方向，而不管它的起点在何处.当遇到与起点有关的向量时（例如谈到某一质点的运动速度时，这一速度就是与所考虑的质点的位置有关的向量），可以在一般原则下作特别处理.
2．向量的大小指的是什么？
有向线段通常包含起点、方向、长度三个要素.向量就是有向线段.如上所述，我们在数学上只研究与起点无关的向量，那么向量的大小实质上是指向量的长度（即模）的大小.向量只能从长度上比较它们的大小，有的书上也把向量的长度称为向量的绝对值.
——摘自《中学数学教学参考》2001年5期（蔡上鹤写）。