2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第三章数系的扩充和复数的引入3.2 3.2.2
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( × ) (2)若 z1，z2∈C，且 z12＋z22＝0，则 z1＝z2＝0.( × ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( √ )
2．做一做 (1)复数i＋3 1＝________. (2)复平面内，复数 z＝12＋i i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第 ________象限． (3)复数 2－1i 的共轭复数是________． 答案 (1)23－23i (2)四 (3)2－i
【跟踪训练 1】 计算：(1)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 解 (1)原式＝－1＋2＋23i i＝－12＋＋23ii11－－22ii ＝－2＋162＋＋223＋4i＝54＋57i. (2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
答案
课后课时精练
点击进入PPT课件
答案
解析
4．(1－2i)(3＋4i)(－1＋i)＝________. 答案 －9＋13i 解析 (1－2i)(3＋4i)(－1＋i)＝(11－2i)(－1＋i)＝－9＋13i.
答案
解析
5．把复数 z 的共轭复数记作－z ，已知 i·－z ＝4＋3i，求－z . z
解 由 i·－z ＝4＋3i 得－z ＝4＋i 3i＝3－4i，所以 z＝3＋4i. 所以－zz ＝33＋ －44ii＝3－34＋i43i＋2 4i＝－72＋5 24i.
2－3i2＋3i ＝6＋13i－64－ ＋69＋13i＋6＝2163i＝2i. 解法二：32＋ －23ii－32－ ＋23ii＝i22－－33ii－－2i＋2＋3i3i ＝i＋i＝2i. (2)(z1－z2)·i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]·i＝(－2＋20i)·i＝－20－2i， ∴(z1－z2)·i 的实部为－20.
[答案] (1)D (2)－20
解析
答案
拓展提升 (1)复数的乘法可以把 i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把 i2 化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母 实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只 需同时乘以 i)． (2)实数集中的乘法公式、幂的运算律，因式分解方法等在复数集中仍成 立．
答案
课堂互动探究
探究1 复数的乘除运算
例 1 (1)复数32＋ －23ii－32－ ＋23ii＝(
)
A．0 B．2 C．－2i D．2i
(2)若复数 z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中 i 是虚数单位，则复数(z1－z2)·i
的实部为________．
[解析] (1)解法一：32＋－23ii－32－ ＋23ii＝ 3＋2i2＋3i－3－2i2－3i
答案
探究3 复数 in 的周期性运算 例 3 计算：(1)21＋－2ii2＋1＋2i2020； (2)1＋i＋i2＋i3＋…＋i2019.
[解] (1)21＋－2ii2＋1＋2i2020 ＝2－＋22ii＋22i1010＝i(1＋i)＋1i 1010 ＝－1＋i＋(－i)1010＝－1＋i－1＝－2＋i.
答案
探究2 共轭复数
例 2 －z 是 z 的共轭复数，若 z＋－z ＝2，(z－－z )i＝2(i 为虚数单位)，则
z＝( )
A．1＋i
B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
[解析] 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则－z ＝a－bi，又 z＋－z ＝2，即(a＋bi) ＋(a－bi)＝2，所以 2a＝2，解得 a＝1.又(z－－z )i＝2，即[(a＋bi)－(a－bi)]·i ＝2，所以 bi2＝1，解得 b＝－1.所以 z＝1－i.
3．2.2 复数代数形式的乘除运算
课前自主预习
1．复数的乘法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di 是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝
□01 (ac－bd)＋(ad＋bc)I
.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果
中把 i2 换成 □02 －1 ，并且把实部和虚部分别合并．
解析 i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.选 A.
答案
解析
2．复数1－2 i等于(
)
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
答案 A
解析 1－2 i＝1－21i＋1＋i i＝212＋i＝1＋i，∴选 A.
答案
解析
3．(1＋i)2－22－ ＋ii＝________.
答案 －35＋154i 解析 (1＋i)2－22－ ＋ii＝2i－2－5 i2＝－35＋154i.
(2)原式＝1＋2 i26＋
2＋
3i 3＋ 3＋2
2i
＝i6＋
6＋2i＋3i－ 5
6＝－1＋i.
解析
1.复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换 律、结合律以及乘法对加法的分配律. (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式， 再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分 母有理化.
[答案] D
解析
答案
拓展提升 (1)复数的代数形式为 z＝a＋bi(a，b∈R)，其中 a 为实部、b 为虚部．两 个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数，即 z＝a＋bi(a，b∈R)的 共轭复数就是－z ＝a－bi(a，b∈R)． (2)对于复数的四则运算：加、减、乘运算按多项式运算法则计算，除法 运算需把分母实数化来进行．
2.共轭复数性质可以用来解决一些复数问题. 3.复数问题实数化思想 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数 z＝a ＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
随堂达标自测
1．复数 i(2－i)＝( ) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i
答案 AΒιβλιοθήκη 答案拓展提升 in(n∈N*)的性质
根据复数乘法法则，容易得到 i 的 n 次幂的计算法则， 即 n∈N*时，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中 i0＝1，i－n＝i1n (n∈N*)． 另外，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.
【跟踪训练 3】 (1)当 z＝－1－2i时，z100＋z50＋1 的值等于(
【跟踪训练 2】 已知复数 z＝1＋i，求实数 a，b，使 az＋2b－z ＝(a＋ 2z)2.
解 因为 z＝1＋i， 所以 az＋2b－z ＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2 ＋4a)＋4(a＋2)i. 因为 a，b 都是实数，所以由 az＋2b－z ＝(a＋2z)2， 得aa＋ －22bb＝ ＝a42＋a＋4a2，， 解得ba11＝＝－－12， 或ab22＝ ＝－ 2. 4， 所以所求实数为 a1＝－2，b1＝－1 或 a2＝－4，b2＝2.
)
A．1 B．－1 C．i D．－i
(2)计算11＋ －ii6＋
2＋ 3－
32ii的值为________．
答案 (1)D (2)－1＋i
答案
解析 (1)∵z2＝－1－2i2＝－22i＝－i， ∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1
＝[(－i)2]25＋(－i)＋1＝－1－i＋1＝－i.
答案
(2)解法一：∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，n∈N*， ∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2019＝1＋i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10) ＋…＋(i2015＋i2016＋i2017＋i2018)＋i2019＝1＋i＋i2＋i3＝0. 解法二：1＋i＋i2＋…＋i2019＝1－1－i20i20＝1－1－i50i5×4＝11－－1i ＝0.
2．复数的乘法运算律 设 z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，有 交换律：z1·z2＝z2·z1； 结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)； 分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
3．共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做
互为□03 共轭复数 ．虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫 □04 共轭虚数 ．
4．复数除法的法则
□ (a＋bi)÷(c＋di)＝ 05 acc2＋＋dbd2 ＋bcc2＋－da2d i (c＋di≠0)．
由此可见，两个复数相除(除数不为 0)，所得的商是一个确定的复数．
共轭复数的性质 (1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称． (2)实数的共轭复数是它本身，即 z＝－z ⇔z∈R. 利用这个性质，可以证明一个复数是实数． (3)z·－z ＝|z|2＝|－z |2∈R.z 与－z 互为实数化因式．
合集下载
2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.2.1
• 2．对任意z1，z2，z3∈C，有zz12＋＋z1z2＝_______，z1(＋z(1z2＋＋zz3) 2)＋ z3＝____________．
要点二 复数加减法的几何意义
如图，设复数 z1，z2 对应的向量分别为O→Z1，O→Z2，四边形 OZ1ZZ2 为平行四边形，
→
→
则与 z1＋z2 对应的向量是__O_Z__，与 z1－z2 对应的向量是__Z_2_Z_1__.
考点二 复数加减法运算的几何意义
复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)分别对应复平面上的向量O→Z1，O→Z2， 则有O→Z1＝(a，b)，O→Z2＝(c，d)．
由平面向量的坐标运算，知O→Z1＋O→Z2＝(a＋c，b＋d)． 这说明两个向量O→Z1与O→Z2的和就是复数 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i 对应的向量．因 此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．这是复数加法的几何意义．
思考： 若复数 z1，z2 满足 z1－z2>0，能否认为 z1>z2? 提示 不能．如 2＋i－i＞0，但 2＋i 与 i 不能比较大小．
课堂深度拓展
考点一 复数的加减法运算
(1)设a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数． ①当b＝0，d＝0时，复数的加减法法则与实数的加减法法 则一致． ②加减运算的交换律、结合律在复数集中仍成立． ③符合向量加法的平行四边形法则．
个顶点 D 对应的复数为 x＋yi(x，y∈R)，于是A→D＝O→D－O→A对应的复数为
(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i；
B→C＝O→C－O→B对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝ห้องสมุดไป่ตู้－3i.
∵A→D＝B→C， ∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i， ∴yx－－21＝＝－1，3， 解得yx＝＝－2，1. 故点 D 对应的复数为 2－i.
要点二 复数加减法的几何意义
如图，设复数 z1，z2 对应的向量分别为O→Z1，O→Z2，四边形 OZ1ZZ2 为平行四边形，
→
→
则与 z1＋z2 对应的向量是__O_Z__，与 z1－z2 对应的向量是__Z_2_Z_1__.
考点二 复数加减法运算的几何意义
复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)分别对应复平面上的向量O→Z1，O→Z2， 则有O→Z1＝(a，b)，O→Z2＝(c，d)．
由平面向量的坐标运算，知O→Z1＋O→Z2＝(a＋c，b＋d)． 这说明两个向量O→Z1与O→Z2的和就是复数 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i 对应的向量．因 此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．这是复数加法的几何意义．
思考： 若复数 z1，z2 满足 z1－z2>0，能否认为 z1>z2? 提示 不能．如 2＋i－i＞0，但 2＋i 与 i 不能比较大小．
课堂深度拓展
考点一 复数的加减法运算
(1)设a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数． ①当b＝0，d＝0时，复数的加减法法则与实数的加减法法 则一致． ②加减运算的交换律、结合律在复数集中仍成立． ③符合向量加法的平行四边形法则．
个顶点 D 对应的复数为 x＋yi(x，y∈R)，于是A→D＝O→D－O→A对应的复数为
(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i；
B→C＝O→C－O→B对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝ห้องสมุดไป่ตู้－3i.
∵A→D＝B→C， ∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i， ∴yx－－21＝＝－1，3， 解得yx＝＝－2，1. 故点 D 对应的复数为 2－i.
2019-2020学年高中数学选修2-2人教A版课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 3.2.1
向量B→A对应的复数为 1＋2i，向量B→C对应的复数为 3－i，求点 C 对应的复数．
【思路探索】 由复数、点及向量的对应关系可知，所求 复数即为向量O→C对应的复数．由加、减法运算的几何意义得O→C ＝O→A＋A→C.
【解】 ∵B→A对应的复数为 1＋2i，B→C 对应的复数为 3－i， ∴A→C＝B→C－B→A对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又∵O→C＝O→A＋A→C， ∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
[名 师 点 拨] 两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加 减.
若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，z1＋z2
的和所对应的点在实轴上，则 a 为( )
A．－1
B．1
C．2
D.3
解析：z1＋z2＝5＋(a＋1)i，由题意知，a＋1＝0，a＝－1. 答案：A
题型二 复数加减法的几何意义 复平面内三点 A，B，C，A 点对应的复数为 2＋i，
第三章 数系的扩充 与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算
及其几何意义
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．掌握复数代数形式的加、减运算法则． 2．了解复数代数形式的加、减法的几何意义．
‖知识梳理‖ 1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝ __a＋__c_＋_(_b_＋_d_)i____，z1－z2＝__a_－__c_＋__(_b_－__d_)i__，即两个复数的和 (或差)仍然是一个__复__数_____． 2．复数的加法满足：(1)交换律___z_1_＋__z2_＝__z_2＋__z_1_____；(2) 结合律_(_z_1＋__z_2_)＋__z_3_＝__z_1＋__(_z_2＋__z_3_)_.
【思路探索】 由复数、点及向量的对应关系可知，所求 复数即为向量O→C对应的复数．由加、减法运算的几何意义得O→C ＝O→A＋A→C.
【解】 ∵B→A对应的复数为 1＋2i，B→C 对应的复数为 3－i， ∴A→C＝B→C－B→A对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又∵O→C＝O→A＋A→C， ∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
[名 师 点 拨] 两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加 减.
若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，z1＋z2
的和所对应的点在实轴上，则 a 为( )
A．－1
B．1
C．2
D.3
解析：z1＋z2＝5＋(a＋1)i，由题意知，a＋1＝0，a＝－1. 答案：A
题型二 复数加减法的几何意义 复平面内三点 A，B，C，A 点对应的复数为 2＋i，
第三章 数系的扩充 与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算
及其几何意义
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．掌握复数代数形式的加、减运算法则． 2．了解复数代数形式的加、减法的几何意义．
‖知识梳理‖ 1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝ __a＋__c_＋_(_b_＋_d_)i____，z1－z2＝__a_－__c_＋__(_b_－__d_)i__，即两个复数的和 (或差)仍然是一个__复__数_____． 2．复数的加法满足：(1)交换律___z_1_＋__z2_＝__z_2＋__z_1_____；(2) 结合律_(_z_1＋__z_2_)＋__z_3_＝__z_1＋__(_z_2＋__z_3_)_.
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第三章数系的扩充和复数的引入3.2 3.2.1
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
解析
4．复数 z 满足 z－(1－i)＝2i，则 z 等于( )
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
所以点 C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为A→D＝B→C， 所以向量A→D对应的复数为 3－i，即A→D＝(3，－1)， 设 D(x，y)，则A→D＝(x－2，y－1)＝(3，－1)， 所以xy－－21＝＝－3，1， 解得xy＝＝50，. 所以点 D 对应的复数为 5.
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
解析
2．已知|z|＝3，且 z＋3i 是纯虚数，则 z 等于( ) A．－3i B．3i C．±3i D．4i
答案 B
解析 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，由 z＋3i＝x＋(y＋3)i 为纯虚数，得 x＝0， 且 y≠－3，又|z|＝ x2＋y2＝|y|＝3，∴y＝3.故选 B.
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
解法二：设 O 为坐标原点， z1，z2，z1＋z2 对应的点分别为 A，B，C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴△OAB 是边长为 1 的正三角形， ∴四边形 OACB 是一个内角为 60°，边长为 1 的菱形，且|z1＋z2|是菱形的 较长的对角线 OC 的长， ∴|z1＋z2|＝|OC| ＝ |OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课几何意义 若复数 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2不共线，则复数 z1＋z2 是以O→Z1，O→Z2为 邻边的平行四边形的对角线O→Z所对应的复数．
2019-2020学年高中数学选修2-2人教A版课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 3.2.2
第三章 数系的扩充 与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算 3．2. 2 复数代数形式的乘除运算
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．掌握复数代数形式的乘除运算． 2．理解复数乘法的运算律及对加法的分配律，理解共轭复 数的概念．
‖知识梳理‖ 1．(1)复数的乘法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1·z2＝(a＋bi)(c ＋di)＝_(_a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i ___. (2)复数的乘法满足的运算律 复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律， 即：z1·z2＝_z_2_·z_1______，z1·(z2·z3)＝_(_z_1·_z_2)_·_z3__，z1·(z2＋z3) ＝__z_1_·z_2_＋__z_1·_z_3 ________.
(3)11＋ －ii＋31＋＋4ii ＝1＋2 i2＋3＋4i21－i ＝2i＋27＋i＝7＋2 3i.
[名 师 点 拨] 两个复数相乘与多项式相乘相类似，注意最后结果中把 i2 换成－1.两个复数相除，一般先写成分式的形式，再分母实数化， 即分子、分母同时乘以分母的共轭复数.
位)，则|z|＝( ) A．3 3 C．2 3
课堂互动探究
归纳透析 触类旁通
题型一 复数代数形式的乘除运算
计算：(1)(1＋i)2； (2)－12＋ 23i2－12－ 23i； (3)11＋－ii＋31＋＋4ii. 【思路探索】 利用复数代数形式的运算法则计算．
【解】 (1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. (2)－12＋ 23i2－12－ 23i ＝14－ 23i＋34i2－12－ 23i ＝－12－ 23i2＝14＋ 23i＋34i2 ＝－12＋ 23i.
3.2 复数代数形式的四则运算 3．2. 2 复数代数形式的乘除运算
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．掌握复数代数形式的乘除运算． 2．理解复数乘法的运算律及对加法的分配律，理解共轭复 数的概念．
‖知识梳理‖ 1．(1)复数的乘法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1·z2＝(a＋bi)(c ＋di)＝_(_a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i ___. (2)复数的乘法满足的运算律 复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律， 即：z1·z2＝_z_2_·z_1______，z1·(z2·z3)＝_(_z_1·_z_2)_·_z3__，z1·(z2＋z3) ＝__z_1_·z_2_＋__z_1·_z_3 ________.
(3)11＋ －ii＋31＋＋4ii ＝1＋2 i2＋3＋4i21－i ＝2i＋27＋i＝7＋2 3i.
[名 师 点 拨] 两个复数相乘与多项式相乘相类似，注意最后结果中把 i2 换成－1.两个复数相除，一般先写成分式的形式，再分母实数化， 即分子、分母同时乘以分母的共轭复数.
位)，则|z|＝( ) A．3 3 C．2 3
课堂互动探究
归纳透析 触类旁通
题型一 复数代数形式的乘除运算
计算：(1)(1＋i)2； (2)－12＋ 23i2－12－ 23i； (3)11＋－ii＋31＋＋4ii. 【思路探索】 利用复数代数形式的运算法则计算．
【解】 (1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. (2)－12＋ 23i2－12－ 23i ＝14－ 23i＋34i2－12－ 23i ＝－12－ 23i2＝14＋ 23i＋34i2 ＝－12＋ 23i.
2019-2020学年数学选修2-2人教A版课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2
第二十九页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
共轭复数
典例 5
设 z∈C， z 为 z 的共轭复数，若 z ·z＋iz＝31＋0 i，求 z.
[错解] 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi，
因为 z ·z＋iz＝31＋0 i，
所以(a－bi)(a＋bi)＋i(a＋bi)＝3－i. 即 a2＋b2＋b＋ai＝3－i，
1．复数代数形式的乘法法则 设 z1 ＝ a ＋ bi ， z2 ＝ c ＋ di(a ， b ， c ， d∈R) ， 则 z1·z2 ＝ (a ＋ bi)(c ＋ di) ＝ ___(_a_c－__b_d_)_＋__(_ad_＋__b_c_)_i _____. 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有
第二十六页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
典例 4 已知关于 x 的方程ax＋bx＝1，其中 a、b 为实数．
(1)若 x＝1－ 3i 是该方程的根，求 a、b 的值；
(2)当 a>0 且ba>14时，证明该方程没有实数根． [解析] (1)将 x＝1－ 3i 代入ax＋bx＝1，
化简得(1a＋b4)＋( 43b－ a3)i＝1，
第四页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
自主预习学案
第五页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
在研究复数的乘法时，我们注意到复数的形式就像一个二项式，类比二项式 乘二项式的法则，我们可以得到复数乘法的法则让第一项与第二项的各项分别相 乘，再合并“同类项”，即得到乘法的结果．
第六页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
交换律 结合律 分配律
z1·z2＝__z_2·_z_1 ___
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝___z1_z_2＋__z_1_z3______
共轭复数
典例 5
设 z∈C， z 为 z 的共轭复数，若 z ·z＋iz＝31＋0 i，求 z.
[错解] 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi，
因为 z ·z＋iz＝31＋0 i，
所以(a－bi)(a＋bi)＋i(a＋bi)＝3－i. 即 a2＋b2＋b＋ai＝3－i，
1．复数代数形式的乘法法则 设 z1 ＝ a ＋ bi ， z2 ＝ c ＋ di(a ， b ， c ， d∈R) ， 则 z1·z2 ＝ (a ＋ bi)(c ＋ di) ＝ ___(_a_c－__b_d_)_＋__(_ad_＋__b_c_)_i _____. 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有
第二十六页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
典例 4 已知关于 x 的方程ax＋bx＝1，其中 a、b 为实数．
(1)若 x＝1－ 3i 是该方程的根，求 a、b 的值；
(2)当 a>0 且ba>14时，证明该方程没有实数根． [解析] (1)将 x＝1－ 3i 代入ax＋bx＝1，
化简得(1a＋b4)＋( 43b－ a3)i＝1，
第四页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
自主预习学案
第五页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
在研究复数的乘法时，我们注意到复数的形式就像一个二项式，类比二项式 乘二项式的法则，我们可以得到复数乘法的法则让第一项与第二项的各项分别相 乘，再合并“同类项”，即得到乘法的结果．
第六页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
交换律 结合律 分配律
z1·z2＝__z_2·_z_1 ___
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝___z1_z_2＋__z_1_z3______
2019-2020学年数学选修2-2人教A版课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2
第二十四页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
(2)∵B(0，－1)，C(2,1)，
∴BC 的直线方程为 x－y－1＝0，
点 A 到 BC 的直线距离 d＝|1－32－1|＝322，
故
BC
边上的高为3
2
2 .
第二十五页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
命题方向3 ⇨复数模的计算
典例 3 已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z. [思路分析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条 件求出a，b. [解析] 解法一：设 z＝a＋bi(a、b∈R)，
第三十二页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
『规律总结』 解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题 实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思 想：利用复数的特征整体处理．
第三十三页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
〔跟踪练习4〕 已知复数z1＝2－2i， (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，试求复数z和z1所对应的两点间的距离的最大值．
(2)由已知得点 A，B，C 的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则 AC 的中点为
3 (2
，2)，由平行四
边形的性质知
BD
的中点也是(32，2)，若设
D(x0，y0)，则有
0＋2 x0＝32， －32＋y0＝2，
解得xy00＝ ＝37， ， 故 D(3,7)．
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
第十一页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
2．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( C )
A．第一象限
(2)∵B(0，－1)，C(2,1)，
∴BC 的直线方程为 x－y－1＝0，
点 A 到 BC 的直线距离 d＝|1－32－1|＝322，
故
BC
边上的高为3
2
2 .
第二十五页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
命题方向3 ⇨复数模的计算
典例 3 已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z. [思路分析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条 件求出a，b. [解析] 解法一：设 z＝a＋bi(a、b∈R)，
第三十二页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
『规律总结』 解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题 实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思 想：利用复数的特征整体处理．
第三十三页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
〔跟踪练习4〕 已知复数z1＝2－2i， (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，试求复数z和z1所对应的两点间的距离的最大值．
(2)由已知得点 A，B，C 的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则 AC 的中点为
3 (2
，2)，由平行四
边形的性质知
BD
的中点也是(32，2)，若设
D(x0，y0)，则有
0＋2 x0＝32， －32＋y0＝2，
解得xy00＝ ＝37， ， 故 D(3,7)．
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
第十一页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
2．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( C )
A．第一象限
2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.2
• 思维导引：利用复数与点的一一对应关系及点对应位置时坐 标解满析足∵的k 为条实件数求，∴解k2．－3k－4，k2－5k－6 都是实数，
∴复数 z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i 对应的点的坐标为(k2－3k－4，k2－5k－6)．
(1)由题意得kk22－ －35kk－ －46＞ ＝00， ， 解得kk＝＜－－11或或kk＝＞64，，
故满足条件的实数 a 的取值范围为(－2,1)． (2)由点 Z 位于直线 y＝x 上，得 a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得 a＝1.
故满足条件的实数 a 的值为 1.
考点二 复数的模
向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义知|z| ＝|a＋bi|＝ a2＋b2.
∴mm－ ＋21＝ ≠00， ， 解得 m＝2，∴z＝3i，∴|z|＝3.
课末随堂演练
课后限时作业
3 2i
对应的向量分别为O→A，O→B，O→C.
各复数的模：|1|＝1，
－12＋ 23i
＝ －122＋ 232＝1，
－12－ 23i＝ －122＋－ 232＝1.
• 【变式2】 若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数，求z 的模．
解析 ∵z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数，
• 【变式1】 求实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a －2＋(a2－3a＋2)i的点：
• (1)位于第二象限； • (2)位于直线y＝x上．
解析 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数 z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i 的点就是点 Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由点 Z 位于第二象限，得aa22－＋3aa－＋22<>00，， 解得－2＜a＜1.
∴复数 z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i 对应的点的坐标为(k2－3k－4，k2－5k－6)．
(1)由题意得kk22－ －35kk－ －46＞ ＝00， ， 解得kk＝＜－－11或或kk＝＞64，，
故满足条件的实数 a 的取值范围为(－2,1)． (2)由点 Z 位于直线 y＝x 上，得 a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得 a＝1.
故满足条件的实数 a 的值为 1.
考点二 复数的模
向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义知|z| ＝|a＋bi|＝ a2＋b2.
∴mm－ ＋21＝ ≠00， ， 解得 m＝2，∴z＝3i，∴|z|＝3.
课末随堂演练
课后限时作业
3 2i
对应的向量分别为O→A，O→B，O→C.
各复数的模：|1|＝1，
－12＋ 23i
＝ －122＋ 232＝1，
－12－ 23i＝ －122＋－ 232＝1.
• 【变式2】 若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数，求z 的模．
解析 ∵z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数，
• 【变式1】 求实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a －2＋(a2－3a＋2)i的点：
• (1)位于第二象限； • (2)位于直线y＝x上．
解析 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数 z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i 的点就是点 Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由点 Z 位于第二象限，得aa22－＋3aa－＋22<>00，， 解得－2＜a＜1.
2019-2020学年数学选修2-2人教A版课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
[思路分析] 要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点， 或者用向量的相等直接给出所求的结论．
[解析] (1)A→O＝－O→A，∴A→O所表示的复数为－3－2i. ∵B→C＝A→O，∴B→C所表示的复数为－3－2i. (2)C→A＝O→A－O→C. ∴C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)对角线O→B＝O→A＋O→C，它所对应的复数 z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，|O→B| ＝ 12＋62＝ 37.
根据复数减法的几何意义：复数 z1－z2 是连接向量O→Z1， O→Z2的终点，并指向被减数的向量Z→2Z1所对应的复数．
第二十八页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
综合应用 典例 3 设 x∈[0,2π)，复数 z1＝cosx＋isinx 对应的点在第一象限中直线 y ＝x 的左上方，z2＝1－i，则|z1＋z2|的取值范围是_(1_，____3_) _. [思路分析] 由 x∈[0,2π)，复数 z1 的对应点位于第一象限且在直线 y＝x 的左上 方可求得 x 的取值范围；由 z1 与 z2 的代数形式及复数加法运算法则可求出 z1＋z2.
第二十三页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
『规律总结』 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论 (1)技巧： ①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处 理．②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运 用于几何之中． (2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为 C，O为坐标原点，则四边形OACB：
第十八页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
[思路分析] 要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点， 或者用向量的相等直接给出所求的结论．
[解析] (1)A→O＝－O→A，∴A→O所表示的复数为－3－2i. ∵B→C＝A→O，∴B→C所表示的复数为－3－2i. (2)C→A＝O→A－O→C. ∴C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)对角线O→B＝O→A＋O→C，它所对应的复数 z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，|O→B| ＝ 12＋62＝ 37.
根据复数减法的几何意义：复数 z1－z2 是连接向量O→Z1， O→Z2的终点，并指向被减数的向量Z→2Z1所对应的复数．
第二十八页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
综合应用 典例 3 设 x∈[0,2π)，复数 z1＝cosx＋isinx 对应的点在第一象限中直线 y ＝x 的左上方，z2＝1－i，则|z1＋z2|的取值范围是_(1_，____3_) _. [思路分析] 由 x∈[0,2π)，复数 z1 的对应点位于第一象限且在直线 y＝x 的左上 方可求得 x 的取值范围；由 z1 与 z2 的代数形式及复数加法运算法则可求出 z1＋z2.
第二十三页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
『规律总结』 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论 (1)技巧： ①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处 理．②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运 用于几何之中． (2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为 C，O为坐标原点，则四边形OACB：
第十八页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
2019-2020学年人教A版选修2-2 数系的扩充与复数的引入 本章整合3 课件(24张)
本章整合
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
专题一 复数的实部与虚部的区分 对于复数z=a+bi(a,b∈R),其中a和b分别叫做复数z的实部和虚部, 一定要记清楚bi并不是虚部.如2+i的实部为2,虚部为1,而不是i.
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
应用 1
复数
1 -2+i
+
1 1-2i
所以复数i3(1+i)2的虚部为0.
答案:0
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
专题二 纯虚数概念的理解 对于复数z=a+bi(a,b∈R),当a=0,且b≠0时,叫做纯虚数,特别要注 意记清“a=0”这一必备的前提条件.
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
应用1 若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为( )
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
应用 2 已知复数 z1,z2 满足|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|= 10, 求|������1 + ������2|的值.
提示:根据复数加、减法的几何意义,作出适合题意的图形,利用 平行四边形的性质联系余弦定理解题.
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
A.-1 B.0
C.1
D.2
解析:∵(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,
∴
4������ = 0, ������2-4 = -4,
解之得a=0.
答案:B
12345678
2.(2014·课标全国Ⅰ高考)
(1+i)3 (1-i)2
=
(
)
A.1+i
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
专题一 复数的实部与虚部的区分 对于复数z=a+bi(a,b∈R),其中a和b分别叫做复数z的实部和虚部, 一定要记清楚bi并不是虚部.如2+i的实部为2,虚部为1,而不是i.
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
应用 1
复数
1 -2+i
+
1 1-2i
所以复数i3(1+i)2的虚部为0.
答案:0
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
专题二 纯虚数概念的理解 对于复数z=a+bi(a,b∈R),当a=0,且b≠0时,叫做纯虚数,特别要注 意记清“a=0”这一必备的前提条件.
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
应用1 若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为( )
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
应用 2 已知复数 z1,z2 满足|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|= 10, 求|������1 + ������2|的值.
提示:根据复数加、减法的几何意义,作出适合题意的图形,利用 平行四边形的性质联系余弦定理解题.
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
A.-1 B.0
C.1
D.2
解析:∵(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,
∴
4������ = 0, ������2-4 = -4,
解之得a=0.
答案:B
12345678
2.(2014·课标全国Ⅰ高考)
(1+i)3 (1-i)2
=
(
)
A.1+i
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第三章数系的扩充和复数的引入3.2 3.2.1
[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
第十页，编辑于星期日：点 二十分。
拓展提升 复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进 行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算 类似于初中的合并同类项．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
第二十二页，编辑于星期日：点 二十分。
拓展提升 掌握以下常用结论： 在复平面内，z1，z2 对应的点为 A，B，z1＋z2 对应的点为 C，O 为坐标原 点，则四边形 OACB： ①为平行四边形； ②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为矩形； ③若|z1|＝|z2|，则四边形 OACB 为菱形； ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为正方形．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
第十六页，编辑于星期日：点 二十分。
拓展提升 (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标 运算或向量运算． (2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法 则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了 可能．
3.2.1 复数代数形式 的加、
减运算及其几何意义
第一页，编辑于星期日：点 二十分。
课前自主预习
第二页，编辑于星期日：点 二十分。
1．复数的加法与减法
(1)复数的加减法运算法则
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
第十页，编辑于星期日：点 二十分。
拓展提升 复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进 行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算 类似于初中的合并同类项．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
第二十二页，编辑于星期日：点 二十分。
拓展提升 掌握以下常用结论： 在复平面内，z1，z2 对应的点为 A，B，z1＋z2 对应的点为 C，O 为坐标原 点，则四边形 OACB： ①为平行四边形； ②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为矩形； ③若|z1|＝|z2|，则四边形 OACB 为菱形； ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为正方形．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
第十六页，编辑于星期日：点 二十分。
拓展提升 (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标 运算或向量运算． (2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法 则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了 可能．
3.2.1 复数代数形式 的加、
减运算及其几何意义
第一页，编辑于星期日：点 二十分。
课前自主预习
第二页，编辑于星期日：点 二十分。
1．复数的加法与减法
(1)复数的加减法运算法则