函数的概念限时作业
函数的概念练习题
函数的概念练习题一、选择题1. 下列哪个选项不是函数的三要素？A. 定义域B. 值域C. 对应法则D. 自变量2. 设f(x) = x²，那么f(2)的值为：A. 2B. 4C. 0D. 83. 下列哪个函数是增函数？A. y = xB. y = x²C. y = 1/xD. y = x²4. 若函数f(x) = 2x + 3的定义域为[1, 3]，则f(x)的值域为：A. [5, 9]B. [3, 7]C. [2, 8]D. [4, 6]二、填空题1. 设f(x) = 3x 1，则f(1) = _______。
2. 若函数g(x) = x² 2x + 1的定义域为[0, 2]，则g(x)的值域为 _______。
3. 已知函数h(x) = |x|，那么h(3) = _______。
4. 若函数f(x) = 2x² 4x + 3，求f(x)在x = 2时的函数值_______。
三、判断题1. 函数的定义域和值域都可以是全体实数。
_______2. 两个函数的定义域和对应法则相同，则这两个函数一定相等。
_______3. 函数y = x³是奇函数。
_______4. 函数y = |x|是偶函数。
_______四、解答题1. 设f(x) = (x 1) / (x + 2)，求f(x)的定义域。
2. 已知函数g(x) = √(4 x²)，求g(x)的定义域和值域。
3. 判断函数h(x) = x² 2x是否为单调函数，并说明理由。
4. 已知函数f(x) = 2x² 4x + 3，求f(x)在x = 1时的函数值。
5. 设函数g(x) = (1/2)²x，求g(x)的值域。
五、应用题2. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，其油耗量（升/小时）与行驶时间（小时）的关系可以用函数g(t) = 0.05t + 1表示。
函数概念练习题训练
函数概念练习题训练一、选择题1.函数的定义是（）。
A.一一对应的关系B.随机的关系C.多对多的关系D.一对多的关系2.下列哪个不是函数？A. y = 2x + 3B. y² = xC. y = √(x + 2)D. y = |x|3.设函数 f(x) = x² + 3x，则 f(2) 的值为（）。
A. -1B. 5C. 4D. 74.已知函数 f(x) = 2x + 1，则 f(-3) 的值为（）。
A. -5B. 2C. -4D. -75.设函数 f(x) = 3x - 2，则 f(0) 的值为（）。
A. -2B. 3C. -5D. 0二、计算题1. 设函数 f(x) = 2x - 1，计算 f(3) 的值。
解：将 x 代入函数 f(x) 的表达式中得 f(3) = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5。
2. 设函数 f(x) = x² + 2x，计算 f(-1) 的值。
解：将 x 代入函数 f(x) 的表达式中得 f(-1) = (-1)² + 2(-1) = 1 - 2 = -1。
3. 已知函数 f(x) = x³ - 2x，计算 f(2) 的值。
解：将 x 代入函数 f(x) 的表达式中得 f(2) = 2³ - 2(2) = 8 - 4 = 4。
4. 设函数f(x) = √x - 1，计算 f(4) 的值。
解：将 x 代入函数 f(x) 的表达式中得f(4) = √4 - 1 = 2 - 1 = 1。
5. 设函数 f(x) = |x - 3|，计算 f(-2) 的值。
解：将 x 代入函数 f(x) 的表达式中得 f(-2) = |-2 - 3| = |-5| = 5。
三、应用题1. 一辆汽车在行驶时，已知速度和时间的关系可以用函数表示。
若该汽车以每小时80公里的速度行驶，求3小时后汽车行驶的距离。
解：设函数 f(t) 表示汽车行驶的距离，其中 t 表示时间（小时）。
函数的概念练习题及答案解析
函数的概念练习题及答案解析Updated by Jack on December 25,2020 at 10:00 am1．下列说法中正确的为( )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数解析：选 A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同．2．下列函数完全相同的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3 解析：选、C 、D 的定义域均不同．3．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤1. 4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a ＞1或a ＜－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)1．函数y ＝1x的定义域是( ) A ．R B ．{0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．{x |x ≠1}解析：选 C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．2．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( )A ．x ＝y 2＋1B ．y ＝2x 2＋1C．x－2y＝6 D．x＝y解析：选A.一个x对应的y值不唯一．3．下列说法正确的是()A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B．函数的定义域和值域可以是空集C．函数的定义域和值域一定是数集D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了解析：选C.根据从集合A到集合B函数的定义可知，强调A中元素的任意性和B中对应元素的唯一性，所以A中的多个元素可以对应B中的同一个元素，从而选项A错误；同样由函数定义可知，A、B集合都是非空数集，故选项B错误；选项C正确；对于选项D，可以举例说明，如定义域、值域均为A＝{0,1}的函数，对应关系可以是x→x，x∈A，可以是x→x，x∈A，还可以是x→x2，x∈A.4．下列集合A到集合B的对应f是函数的是()A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值解析：选A.按照函数定义，选项B中集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义，只有选项A符合函数定义．5．下列各组函数表示相等函数的是()A．y＝x2－3x－3与y＝x＋3(x≠3)B．y＝x2－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z解析：选、B与D对应法则都不同．6．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是()A． B．或{1}C．{1} D．或{2}解析：选B.由f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1,2}，则A＝{－1,1，－2，2}或A ＝{－1,1，－2}或A ＝{－1,1，2}或A ＝{－1，2，－2}或A ＝{1，－2，2}或A ＝{－1，－2}或A ＝{－1，2}或A ＝{1，2}或A ＝{1，－2}．所以A ∩B ＝或{1}．7．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析：由题意3a －1＞a ，则a ＞12. 答案：(12，＋∞) 8．函数y ＝x ＋103－2x的定义域是________． 解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠03－2x ＞0，即x ＜32且x ≠－1. 答案：(－∞，－1)∪(－1，32) 9．函数y ＝x 2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________．解析：当x 取－1,0,1,2时，y ＝－1，－2，－1,2，故函数值域为{－1，－2,2}．答案：{－1，－2,2}10．求下列函数的定义域：(1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋83x －2. 解：(1)要使y ＝－x 2x 2－3x －2有意义，则必须 ⎩⎪⎨⎪⎧ －x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12， 故所求函数的定义域为{x |x ≤0，且x ≠－12}． (2)要使y ＝34x ＋83x －2有意义，则必须3x －2＞0，即x ＞23， 故所求函数的定义域为{x |x ＞23}．11．已知f(x)＝11＋x(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(2))的值．解：(1)∵f(x)＝11＋x，∴f(2)＝11＋2＝1 3，又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.(2)由(1)知g(2)＝6，∴f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝1 7.12．已知函数y＝ax＋1(a＜0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．解：函数y＝ax＋1(a＜0且a为常数)．∵ax＋1≥0，a＜0，∴x≤－1a，即函数的定义域为(－∞，－1a]．∵函数在区间(－∞，1]上有意义，∴(－∞，1](－∞，－1a]，∴－1a≥1，而a＜0，∴－1≤a＜0.即a的取值范围是[－1,0)．第一课件网系列资料。
函数的概念及练习题和答案
第二章 2.1.1 第1课时A 级 基础巩固一、选择题1．函数f (x )＝x ＋1－5，则f (3)＝导学号 ( A ) A ．－3 B ．4 C ．－1D ．6[解析] f (3)＝3＋1－5＝2－5＝－3.2．设集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是导学号 ( B )[解析] 选项A 中，函数的定义域不是集合M ；选项C 不是函数关系；选项D 中，函数的值域不是集合N ，故选B ．3．已知f (x )＝x 2＋1，则f [f (－1)]＝导学号 ( D ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[解析] f (－1)＝(－1)2＋1＝2， ∴f [f (－1)]＝f (2)＝22＋1＝5. 4．函数f (x )＝x ＋3＋2x ＋303－2x的定义域是导学号 ( B )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－32∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，32 [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥03－2x >02x ＋3≠0，解得－3≤x <32且x ≠－32，故选B ．二、填空题5．若[m,2m －2]为一确定的区间，则m 的取值范围是__(2，＋∞)) [解析] 由题意，得2m －2>m ，∴m >2.6．设函数f (x )＝41－x ，若f (a )＝2，则实数a ＝__－)[解析] ∵f (a )＝41－a ＝2，∴a ＝－1.三、解答题 7．已知函数f (x )＝x 21＋x2.导学号(1)求f (2)与f (12)，f (3)与f (13)；(2)由(1)中求得的结果，你能发现f (x )与f (1x)有什么关系证明你的发现．[解析] (1)∵f (x )＝x 21＋x2，∴f (2)＝221＋22＝45，f (12)＝1221＋122＝15， f (3)＝321＋32＝910，f(13)＝1321＋132＝110.(2)由(1)发现f(x)＋f(1x)＝1.证明如下：f(x)＋f(1x)＝x21＋x2＋1x21＋1x2＝x21＋x2＋11＋x2＝1.8．已知函数f(x)＝3－x＋1x＋2的定义域为集合A，B＝{x|x<a}.导学号(1)求集合A；(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．[解析](1)要使函数f(x)有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧3－x≥0x＋2>0，∴－2<x≤3，故A＝{x|－2<x≤3}．(2)∵A⊆B，∴把集合A、B分别表示在数轴上，如图所示，由如图可得，a>3.故实数a的取值范围为a>3.B级素养提升一、选择题1．已知函数f(x＋1)的定义域为(－2，－1)，则函数f(x)的定义域为导学号( B )A．⎝⎛⎭⎪⎫－32，－1B．(－1,0)C．(－3，－2) D．⎝⎛⎭⎪⎫－2，－32[解析]∵函数f(x＋1)的定义域为(－2，－1)，∴－1<x＋1<0，∴函数f (x )的定义域为(－1,0)．2．已知函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2且f (－2)＝－163，则f (2)＝导学号( D )A ．－163B ．－203C ．163D ．203[解析] ∵2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2，∴2f (2)＋f (－2)＝8，又f (－2)＝－163，∴f (2)＝203.二、填空题3．设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x ＋2，则g [f (2)]＝ 112.导学号 [解析] f (2)＝2×22＋2＝10， ∴g [f (2)]＝g (10)＝112.4．函数y ＝4－x2x －1的定义域为__[－2,1)∪(1,2])[解析] 要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0x －1≠0，解得－2≤x <1或1<x ≤2.∴函数y ＝4－x2x －1的定义域为[－2,1)∪(1,2]．三、解答题5．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域；(2)求f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值； (3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值； (4)求f (x 2).导学号[解析] (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≠－2}．故这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}． (2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)∵a ＞0，a －1＞－1，∴f (a )，f (a －1)有意义． ∴f (a )＝a ＋3＋1a ＋2， f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.(4)∵x 2≥0， ∴f (x 2)有意义． ∴f (x 2)＝x 2＋3＋1x 2＋2. C 级 能力拔高1．已知函数f (x )＝2kx －8kx 2＋2kx ＋1的定义域为R ，求实数k 的取值范围.导学号[解析] ①当k ＝0时，分母kx 2＋2kx ＋1＝1≠0，y ＝－8，即x 为任意实数时，y 都有意义，即定义域为R .②当k ≠0时，要使分母kx 2＋2kx ＋1恒不等于零，必须有Δ＝(2k )2－4k ＜0，即0＜k ＜1.综上所述，当0≤k ＜1时，函数y ＝2kx －8kx 2＋2kx ＋1的定义域为R .2．(1)已知函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[1,4]，求函数y ＝f (x )的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x )的定义域为[0,1]，求函数y ＝f (x ＋1)的定义域；(3)已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,1]，求g (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )的定义域.导学号[解析] (1)∵y ＝f (x ＋2)中，1≤x ≤4，∴3≤x ＋2≤6，∴函数y ＝f (x )中，3≤x ≤6，故函数y ＝f (x )的定义域为[3,6]．(2)∵y ＝f (2x )中，0≤x ≤1， ∴0≤2x ≤2，∴函数y ＝f (x ＋1)中，0≤x ＋1≤2， ∴－1≤x ≤1，∴函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[－1,1]．(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋a ≤10≤x －a ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤x ≤1－aa ≤x ≤1＋a，以下按a 的取值情况讨论：①当a ＝0时，函数的定义域为[0,1]．②a >0时，须1－a ≥a .才能符合函数定义(定义域不能为空集)．∴0<a ≤12.此时函数的定义域为{x |a ≤x ≤1－a }．③a <0时，须1＋a ≥－a ，即－12≤a <0，此时函数的定义域为{x |－a ≤x ≤1＋a }．综上可得：－12≤a <0时，定义域为{x |－a ≤x ≤1＋a },0≤a ≤12时，定义域为{x |a ≤x ≤1－a }．。
高考综合复习 专题7 函数的概念与性质专题练习
高考综合复习专题七函数的概念与性质专题练习一.选择题1.下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是()A.f(x)=sinxB.f(x)=－C.f(x)=D.f(x)=2.函数，若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.－C.1, －D.1,3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(－∞,0)上是减函数,且f(2)=0,则使f(x)<0的x的取值范围是()A.(－∞,2)B.(2,＋∞)C.(－∞,2)∪(2,＋∞)D.(－2,2)4.已知函数y=f(x)的图象关于直线x=－1对称,且当x>0时f(x)= ,则当x<－2时,f(x)=()A.－B.C.－D.－5.已知y=f(x)是R上的减函数,且y=f(x)的图象经过点A(0,1)和点B(3,－1),则不等式<1的解集为()A.(－1,2)B.(0,3)C.(－∞,－2)D.(－∞,3)6.已知f(x)是定义在R上的单调函数,实数≠,≠－1, =,.若,则()A.<0B.=0C.0<<1D.≥17.若函数f(x)=(a>0,a≠1)在区间(－,0)内单调递增,则a的取值范围是()A.[－,1)B.[,1)C.(,+∞)D.(1, )8.已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x)+f(x－1)=1,当x∈[0,1]时,f(x)=现有4个命题:①f(x)是周期函数,且周期为2;②当x∈[1,2]时,f(x)=2x－;③f(x)为偶函数;④f(－2005.5)= .其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4二.填空题.1.若函数f(x)= (a≠0)的图象关于直线x=2对称,则a=.2.已知函数y=f(x)的反函数为y=g(x),若f(3)=－1,则函数y=g(x－1)的图象必经过点.3.定义在R上的函数f(x)对一切实数x都有f[f(x)]=x,则函数f(x)图象的自身关于对称.4.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+3)=1－f(x),又当x∈(0,1]时,f(x)=2x,则f(17.5)=.三.解答题.1.设函数f(x)=,求使f(x)≥2的x的取值范围.2.已知函数f(x)= (a,b为常数),且方程f(x)－x+12=0有两个实根为=3,=4.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设k>1,解关于x的不等式f(x)< .3.设f(x)是定义在R上的增函数,若不等式f(1－ax－)<f(2－a)对任意x∈[0,1]都成立,求实数a的取值范围.4.已知定义在R上的函数f(x)对任意实数,满足关系f(+)=f()+f()+2.(1)证明:f(x)的图象关于点(0,－2)对称.(2)若x>0,则有f(x)>－2,求证:f(x)在R上为增函数.(3)若数列满足=－,且对任意n∈N﹡有=f(n),试求数列的前n项和.答案与解析:一.选择题.1.选D.分析:这里f(x)为奇函数,由此否定B.C;又f(x)在[-1,1]上单调递减,由此否定A.故应选D.2.选C.分析:注意到这里a的可能取值至多有3个,故运用代值验证的方法.当a=1时,由f(1)+f(a)=2得f(1)=1;由f(x)的表达式得f(1)==1,故a=1是所求的一个解,由此否定B.当a=－时,由f(x)的表达式得f(－)=sin=1,又f(1)=1,故f(1)+f(－)=2,a=－是所求的一个解,由此否定A.D.本题应选C.3.选D.分析:由f(x)在(－∞,0)上是减函数,且f(x)为偶函数得f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)在(－∞,-2]上递减,在[2,+∞)上递增.又∵f(2)=0, ∴f(-2)=0∴f(x)在(－∞,-2]上总有f(x)≥f(-2)=0,①f(x)在[2,+∞)上总有f(x)≥f(2)=0②∴由①②知使f(x)<0的x的取值范围是(-2,2),应选D.4.选C.分析:由f(x)的图象关于直线x=-1对称得f(x)=f(－2－x)①∴当x<－2时, －2－x>0∴再由已知得f(－2－x)= ②于是由①②得当x<－2时f(x)= ,即f(x)= －.应选C.5.选A.分析:由已知条件得f(0)=1,f(3)=－1,∴(※)又f(x)在R上为减函数.∴由(※)得0<x+1<3－1<x<2故应选A.6.选A.分析:注意到直接推理的困难,考虑运用特取——筛选法.在选项中寻觅特殊值.当=0时, =,=,则,由此否定B,当=1时,= ,f()=f(),则,由此否定D;当0<<1时, 是数轴上以分划定点,所成线段的定比分点(内分点),是数轴上以>1分划上述线段的定比分点(内分点),∴此时又f(x)在R上递减,∴由此否定C.因而应选A.7.选B.分析:令u=g(x)= ,y=f(x)则y=由题意知当x∈(－,0)时,u>0注意到g(0),故u=g(x)在(－,0)上为减函数.①又y=f(x)在(－,0)上为增函数,∴y=在u的相应区间上为减函数.∴0<a<1再由①得u＇＝ｇ＇(x)= 在(－,0)上满足u＇≤0②而u＇=在(－,0)上为减函数,且是R上的连续函数.③∴由②③得u＇(－)≤0∴－a≤0,即a≥④于是由①,④得≤a<1应选B.点评:从复合函数的“分解”切入.利用复合函数的单调性与所“分解”出的内层函数与外层函数的单调性之间的联系(同增异减)初步确定a的取值范围0<a<1.但是,由于u=为x的三次函数, u＇为x的二次函数.故还要从u＇在(－,0)上的符号入手进一步确认a的正确的范围.”粗” 、“细”结合,双方确定所求参数的范围,乃是解决这类问题的基本方略.8.选B.分析:从认知f(x)的性质入手,由f(x)+f(x－1)=1得f(x－1)=1－f(x)(※)∴f(x－2)=1－f(x－1)(※※)∴由(※),(※※)得f(x)=f(x－2)∴f(x)为周期函数,且2是f(x)的一个周期.(1)由上述推理可知①正确.(2)当x∈[1,2]时,有x－1∈[0,1].∴由题设得f(x)=1－f(x－1)=1－(x－1)=2x－x,由此可知②正确(3)由已知条件以及结果①、②得,又f()=,∴f()≠f(－)∴f(x)不是偶函数即③不正确;(4)由已知条件与f(x)的周期性得f(－2005.5)=f(－2005.5+2×1003)= f()=故④不正确.于是由(1)(2)(3)(4)知,本题应选B.二.填空题.1.答案: .分析:由题设知f(0)=f(4)(a≠0),∴(a≠0)0<=1(a≠0)4a－1=1或4a－1=－1(a≠0)a=即所求a=.2.答案: (0,3)分析:f(3)=－1y=f(x)的图象经过点(3,－1)y=g(x)的图象经过点(－1,3)g(－1)=3g(0－1)=3y=g(x)的图象经过点(0,3).3.答案:直线y=x分析:根据函数的定义,设x为f(x)定义域内的任意一个值,则f(x)为其相应的函数值,即为y,即y= f(x),则有x=( y)①又由已知得f[f(x)]=f(y)= x②∴由①②知f(x)与其反函数(x)为同一函数,∴函数f(x)的图象自身关于直线y=x对称.4.答案:1分析: 从认知f(x)的性质切入已知f(x+3)=1－f(x)①以－x代替①中的x得f(－x+3)=1－f(－x)②又f(x)为偶函数∴f(－x)=f(x)③∴由②③得f(－x+3)=1－f(x)④∴由①④得f(3+x)=f(3－x)f(x)图象关于直线x=3对称f(－x)=f(6+x)∴由③得f(x)=f(6+x)即f(x)是周期函数,且6是f(x)的一个周期.⑤于是由③⑤及另一已知条件得f(17.5)=f(17.5－3×6)=f(－0.5)=f(0.5)=2×0.5=1三.解答题.1.分析:注意到f(x)为复合的指数函数,故考虑令u=,而后利用指数函数的性质将所给不等式转化为关于u的不等式解.解:令u=, y=f(x),则y=2为u的指数函数.∴f(x)≥2≥2≥u≥①∴f(x) ≥≥②(1)当x≥1时,不等式②(x+1)－(x－1) ≥2≥成立.(2)当－1≤x<1时,由②得,(x+1)－(1－x) ≥x≥即≤x<1;(3)当x<－1时,由②得－(x+1)－(1－x) ≥即－2≥不成立.于是综合(1)(2)(3)得所求的x的取值范围为[,1]∪[1,+∞),也就是[,+∞)点评:对于复合函数y=f[p(x)],令u=p(x),将其分解为y=f(u),u=p(x).于是所给问题转化为内层函数u=p(x)的问题或转化为外层函数y=f(u)的问题.这种分解----转化的手法,是解决复合指数函数或复合对数函数的基本策略.2.分析:注意到f(x)为分式函数,故相关方程为分式方程,相关不等式为分式不等式,因此,求解此类问题要坚定地立足于求解分式问题的基本程序:移项,通分,分解因式;化“分”为“整”以及验根等等.解:(1)将=3, =4分别代入方程得由此解得∴f(x)= (x≠2).(2)原不等式<－<0<0<0(x－2)(x－1)(x－k)>0注意到这里k>1,(ⅰ)当1<k<2时,原不等式的解集为(1,k)∪(2,+∞);(ⅱ)当k=2时,原不等式(x－2)2(x－1)>0x>1且x≠2.∴原不等式的解集为(1,2)∪(2,+∞);(ⅲ)当k>2时,原不等式的解集为(1,2) ∪(k,+∞);于是综合(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)得当1<k≤2时,原不等式解集为(1,k)∪(2,+∞);当k>2时,原不等式解集为(1,2) ∪(k,+∞);点评:在这里,运用根轴法求解不等式(x－2)(x－1)(x－k)>0快捷准确.此外,在分式不等式转化为高次不等式后,分类讨论时不可忽略对特殊情形:k=2的讨论;综合结论时需要注意相关情况的合并,以最少情形的结论给出最佳答案.3.分析:所给不等式含有抽象的函数符号f,故首先需要“反用”函数的单调性定义脱去“f”,转化为普通的含参不等式的问题.进而,再根据个人的熟重和爱好选择不同解法.解:∵f(x)是R上的增函数.∴不等式f(1－ax－)<f(2－a) 对任意x∈[0,1]都成立.不等式1－ax－<2－a对任意x∈[0,1]都成立+ax－a+1>0对任意x∈[0,1]都成立①解法一: (向最值问题转化,以对称轴的位置为主线展开讨论.)令g(x)= +ax－a+1,则①式g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立.g(x)在区间[0,1]上的最小值大于0.②注意到g(x)图象的对称轴为x=－(1)当－≤0即a≥0时,由②得g(0)>0－a+1>0a<1,即0≤a<1;(2)当0<－≤1时,即－2≤a<0时,由②得g(－)>01－a－>0+4a－4<0<8当－2≤a<0时,这一不等式也能成立.(3)当－>1即a<－2时.由②得g(1)>02>0即当a<－2时,不等式成立.于是综合(1)(2)(3)得所求实数a的取值范围为[0,1）∪[－2,0]∪(－∞,－2), 即(－∞,1).解法二: (以△的取值为主线展开讨论)对于二次三项式g(x)= +ax－a+1,其判别式△=+4(a－1)=+4a－4△<0<8－－2<a<－2(1)当△<0时,g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立,此时－－2<a<－2;(2)当△≥0时,由g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立得－2≤a<1或a≤－－2.于是由(1)(2)得所求a的取值范围为（－－2,－2）∪[－2,1）∪(－∞, －－2]即(－∞,1).点评:解法一归统为最值问题,以g(x)图象的对称轴的位置为主线展开讨论;解法二直面g(x)>0在x∈[0,1]上成立,以g(x)的判别式△的取值为主线展开讨论,两种解法各有千秋,都解决这类问题的主要策略.以××为主线展开讨论,这是讨论有理有序,不杂不漏的保障.4.分析:为了认知和利用已知条件,从”特取”切入:在已知恒等式中令==0得f(0)=－2.为利用f(0)=－2,寻觅f(x)的关系式,又在已知恒等式中令=x, =－x得f(0)=f(x)+f(－x)+2故得f(x)+f(－x)=－4证明(1),由此式展开.对于(2)面对抽象的函数f(x),则只能运用定义;对于(3),这里a n=f(n),a n+1=f(n+1),因此,从已知恒等式入手寻觅{a n}的递推式或通项公式,便称为问题突破的关键.解:(1)证明:在已知恒等式中令==0得f(0)=－2①又已知恒等式中令=x, =－x得f(0)=f(x)+f(－x)+2∴f(x)+f(－x)=－4②设M(x,f(x))为y=f(x)的图象上任意一点则由②得③∴由③知点M(x,f(x))与N(－x,f(－x))所成线段MN的中点坐标为(0,－2),∴点M与点N关于定点(0,－2)对称.④注意到点M在y=f(x)图象上的任意性,又点N亦在y=f(x)的图象上,故由④知y=f(x)的图象关于点(0,－2)对称.(2)证明:设,为任意实数,且<,则－>0∴由已知得f(－)>－2⑤注意到=(－)+由本题大前提中的恒等式得f()=f[(－)+] =f(－)+ f()+2∴f()－f()=f (－)+2⑥又由⑤知f (－)+2>0,∴由⑥得f()－f()>0,即f()>f().于是由函数的单调性定义知,f(x)在R上为增函数.(3)解:∵a n=f(n),∴a1=f(1)=－,a n+1=f(n+1)又由已知恒等式中令=n, =1得f(n+1)=f(n)+f(1)+2∴a n+1= a n+∴a n+1－a n=(n∈N﹡)由此可知,数列{ a n }是首项为=－,公差为的等差数列.∴=－n+×即=(n2－11n).点评:充分认识与利用已知条件中的恒等式,是本题解题的关键环节. 对于(1)由此导出f(x)+f(－x)=－4;对于(2)由此导出f()=f()+f(－)+2;对于(3)由此导出f(n+1)=f(n)+f(1)+2即a n+1－a n=.。
函数的概念及相关典型例题
函数的概念及相关典型例题一、知识点1、函数的定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数)(xf和它对应，那么就把对应关系f叫做定义在集合A上的函数，记作BAf→:，或)(xfy=，x∈A。
习惯上我们称y是x的函数。
2、函数的三要素：①、定义域：x取值的集合A叫做函数的定义域，也就是自变量x的取值范围；②、对应关系（对应法则）：对应关系f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”，是连接x与y的纽带。
③、值域：就是函数值的集合，{}Axxf∈|)(。
A BBAf→:对应关系值域Axxf∈|)(3、常见函数的定义域和值域①．一次函数baxxf+=)()0(≠a:定义域R,值域R;②．反比例函xkxf=)()0(≠k:定义域{}0|≠xx,值域{}0|≠yy;③．二次函数cbxaxxf++=2)()0(≠a:定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|24、 相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么我们就称这两个函数相等或称这两个函数为同一函数。
（与表示自变量的字母无关，例如：12)(+=t t f 与12)(+=x x f 表示同一函数。
）5、复合函数：如果函数y =)(t f 的定义域为A ，函数t=g (x )的定义域为D ，值域为C ，则当C=A 时，称函数y =))((x g f 为f 与g 在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，t=g (x )叫内函数，y =)(t f 叫外函数。
（内函数的值域等于外函数的定义域）6、区间。
大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x<b ，R 的实数x 的集合分别表示为[a ，+∞)，（a ，+∞）,(- ∞,b ],(- ∞,b),(-∞，+∞）。
函数概念练习题(含解析)
2
， y
2x 1 的值域为 , 2
x3
2,
.
（4）令
x 1 t ，则 t 0 且 x t2 1， y 2
t2 1
t 2t 2 t 2 2 t
1 4
2
15 ， 8
则当 t
1 4
时，
ymin
15 8
，
y
2x
x
1
的值域为
15 8
,
.
18．(1) R
(2){x∣1 x 4}
A． f (x) x0 与 g(x) 1
B． f (x) x 与 g(x) x2 x
C．
f
x
1，x 0， 1，x 0 与
g
x
x x
，x
1，x
0
0， D．
f
(x)
(x 1)2 与 g(x) x 1
6．若函数
f
2x 1 的定义域为1,1 ，则函数 y
f
x 1
的定义域为（
）
x 1
A． 1, 2
x 不是同一函数. 故选：C. 9．A 【分析】根据题意，由换元法，结合二次函数的最值，即可得到结果.
【详解】设 t 3 x ，则 t 0 ，即 x 3 t2 ，所以 y f t 2 3 t2 4t 2 t 12 8，
因为 t 0 ，所以当 t 1时，函数取得最大值为 8 . 故选：A 10．C 【分析】把自变量直接代入解析式即可求解.
x 1
故选：D
7．C
【分析】逐个求解函数的定义域判断即可
【详解】对于 A，由 x 0 ，得函数的定义域为[0, ) ，所以 A 错误，
答案第 2页，共 6页
对于 B，由 x 1 0 ，得 x 1 ，所以函数的定义域为 (,1) (1,) ，所以 B 错误，
(完整版)函数的概念练习题(含答案)
1.2.1 函数的概念及练习题答案一、选择题1．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( ) A ．f (x )→y ＝12x B ．f (x )→y ＝13x C ．f (x )→y ＝23x D ．f (x )→y ＝x2．某物体一天中的温度是时间t 的函数：T (t )＝t 3－3t ＋60，时间单位是小时，温度单位为℃，t ＝0表示12：00，其后t 的取值为正，则上午8时的温度为( )A ．8℃B ．112℃C ．58℃D ．18℃3．函数y ＝1－x 2＋x 2－1的定义域是( ) A ．[－1，1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．[0，1] D ．{－1，1}4．已知f (x )的定义域为[－2，2]，则f (x 2－1)的定义域为( )A ．[－1，3]B ．[0，3]C ．[－3，3]D ．[－4,4]5．若函数y ＝f (3x －1)的定义域是[1，3]，则y ＝f (x )的定义域是( ) A ．[1，3] B ．[2，4] C ．[2，8] D ．[3，9]6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上7．函数f (x )＝1ax 2＋4ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ∈R }B ．{a |0≤a ≤34}C ．{a |a ＞34}D ．{a |0≤a ＜34}8．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y 与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过( )年．A ．4B ．5C ．6D ．79．(安徽铜陵县一中高一期中)已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f ⎝⎛⎭⎫12等于( )A ．15B ．1C ．3D ．3010．函数f (x )＝2x －1，x ∈{1,2,3}，则f (x )的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．{1，3，5}D ．R二、填空题11．某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y (元)表示为茶杯个数x (个)的函数，则y ＝________，其定义域为________．12．函数y ＝x ＋1＋12－x的定义域是(用区间表示)________．三、解答题13．求一次函数f (x )，使f [f (x )]＝9x ＋1.14．将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量就减少10个，为了获得最大利润，销售单价应定为多少元？15．求下列函数的定义域．(1)y ＝x ＋1x 2－4； (2)y ＝1|x |－2；(3)y ＝x 2＋x ＋1＋(x －1)0.16．(1)已知f (x )＝2x －3，x ∈{0，1，2，3}，求f (x )的值域．(2)已知f (x )＝3x ＋4的值域为{y |－2≤y ≤4}，求此函数的定义域．17．（1）已知f (x )的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x -1)的定义域； （2）已知f (2x -1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f (x )的定义域；（3）已知f (x )的定义域为[0，1]，求函数y =f (x ＋a )+f (x －a )(其中0＜a ＜12)的定义域．18．用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩 形底边长为2x ，求此框架的面积y 与x 的函数关系式及其定义域．1.2.1 函数的概念答案一、选择题 1．[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意．故选C.2．[答案] A[解析] 12：00时，t ＝0，12：00以后的t 为正，则12：00以前的时间负，上午8时对应的t ＝－4，故T (－4)＝(－4)3－3(－4)＋60＝8.3．[答案] D[解析] 使函数y ＝1－x 2＋x 2－1有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0x 2－1≥0，∴x 2＝1，∴x ＝±1.4．[答案] C[解析] ∵－2≤x 2－1≤2，∴－1≤x 2≤3，即x 2≤3，∴－3≤x ≤ 3. 5．[答案] C[解析] 由于y ＝f (3x －1)的定义域为[1,3]，∴3x －1∈[2,8]，∴y ＝f (x )的定义域为[2,8]。
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A． p q
B． 3 p 2q
C． 2 p 3q
答案：B 二．填空题
9． 若 a, 3a 1 ]为一确定区间，则 a 的取值范围是________．
D． p3 q2
答案：
1 2
,
10．已知函数 y＝
1
的定义域为 R，则实数 k 的取值范围是________．
kx2＋2kx＋3
答案：[0,3)
gx 3 2 1
则 f g 3 的值为（ ）
A． 2
B． 1
C． 3
D． 1或 2
7．若函数 f(x)＝ mx2＋mx＋1的定义域为一切实数，则实数 m 的取值范围是( )
A．[0,4)
B．(0,4)
C．[4，＋∞)
D．[0,4]
8．已知 f 满足 f(ab)=f(a)+ f(b)，且 f(2)= p ， f (3) q 那么 f (72) 等于（ ）
x 1
答案：A
5．设
f
x
x2 x2
1 ，则 1
f 2
f
1 2
等于(
)
A．1
B． f(x)＝ x2，g(x)＝( x)2 D． f(x)＝ x＋1· x－1，g(x)＝ x2－1
B． 1
-4-
3
C．
5
答案：B
6．已知函数 f x, g x 分别由下表给出：
D． 3 5
x
1
2
3
f x
2
1
1
D． f : x y x
答案：D
3．函数 f x x 3 2x 30 的定义域是( )
3 2x
－3，3
A．
2
－3，－3 －3，3
B．
2∪ 2 2
－3，3
C．
2
－3，－3
D．
2
答案：B
4．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A． f(x)＝|x|，g(x)＝ x2
C． f x x2 1 ，g x x 1
第一章 集合与常用逻辑用语
三．解答题
11．设 f x 2x2 2 ， g x 1 ，
x2
(1)求 f 2 ， f a 3 ， g a g 0a 2 ， g f 2 ． (2)求 g f x ．
答案：(1)因为 f(x)＝2x2＋2，所以 f(2)＝2×22＋2＝10，
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20．
C． f x x2 1 ，g x x 1
x 1
5．设
f
x
x2 x2
1
，则
1
f 2
f
1 2
等于(
)
D． f(x)＝ x＋1· x－1，g(x)＝ x2－1
A．1
B． 1
3
C．
5
D． 3 5
6．已知函数 f x, g x 分别由下表给出：
第一章 集合与常用逻辑用语
x
x
1
2
3
g x
3
2
1
则 f g 3 的值为（ ）
A． 2
B． 1
C． 3
D． 1或 2
答案：A
7．若函数 f(x)＝ mx2＋mx＋1的定义域为一切实数，则实数 m 的取值范围是( )
A．[0,4)
B．(0,4)
C．[4，＋∞)
D．[0,4]
答案：D
8．已知 f 满足 f(ab)=f(a)+ f(b)，且 f(2)= p ， f (3) q 那么 f (72) 等于（ ）
D． f : x y x
3．函数 f x x 3 2x 30 的定义域是( )
3 2x
－3，3
A．
2
－3，－3 －3，3
B．
2∪ 2 2
－3，3
C．
2
－3，－3
D．
2
4．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A． f(x)＝|x|，g(x)＝ x2
B． f(x)＝ x2，g(x)＝( x)2
A． p q
B． 3 p 2q
C． 2 p 3q
D． p3 q2
二．填空题
9． 若 a, 3a 1 ]为一确定区间，则 a 的取值范围是________．
10．已知函数 y＝
1
的定义域为 R，则实数 k 的取值范围是________．
kx2＋2kx＋3
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三．解答题
11．设 f x 2x2 2 ， g x 1 ，
因为 g(x)＝ 1 ，所以 g(a)＋g(0)＝ 1 ＋ 1 ＝ 1 ＋1(a≠－2)．
x＋2
a＋2 0＋2 a＋2 2
g(f(2))＝g(10)＝ 1 ＝ 1 ． 10＋2 12
(2)
g f x
f
1
x
2
2x2
1 2
2
1 2x2
4
．
12．(1)已知函数 f(x)的定义域为[－1,5]，求函数 f(x－5)的定义域； (2)已知函数 f(x－1)的定义域是[0,3]，求函数 f(x)的定义域．
x2
(1)求 f 2 ， f a 3 ， g a g 0a 2 ， g f 2 ． (2)求 g f x ．
12．(1)已知函数 f(x)的定义域为[－1,5]，求函数 f(x－5)的定义域； (2)已知函数 f(x－1)的定义域是[0,3]，求函数 f(x)的定义域．
【参考答案】
第一章 集合与常用逻辑用语
§3．1．1 函数的定义限时作业
一．选择题
1．下列各个图形中，不可能是函数 y f x 的图象的是( )
2． 已知集合 A 0,8 ，集合 A 0, 4 ，则下列对应关系中，不能看作从 A 到 B 的映
射的是( )
A． f : x y 1 x 8
B． f : x y 1 x 4
C． f : x y 1 x 2
一．选择题
1．下列各个图形中，不可能是函数 y f x 的图象的是( )
答案：A
2． 已知集合 A 0,8 ，集合 A 0, 4 ，则下列对应关系中，不能看作从 A 到 B 的映
射的是( )
A． f : x y 1 x 8
B． f : x y 1 x 4
C． f : x y 1 x 2
答案：(1)由－1≤x－5≤5，得 4≤x≤10，所以函数 f(x－5)的定义域是[4,10]． (2)由 0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数 f(x)的定义域是[－1,2]．
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