第四章图形变换——投影变换

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画法几何及机械制图 05投影变换

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练习3 已知AB∥MN，在MN上找一点C，
使∠ABC为60°，求点C的两面投影。
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本题高于考核难度
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本章学习结束
要熟悉：辅助投影面选择原则点的投影变换规律及标记规范
a’
a1’
X
V H
a
返回
点在V/H1体系中的投影
a1 H1
a1
返回
3.点的两次变换
a1
a1 X1
返回
三、点的投影变换规
4、规定：
（1）新投影轴标记
▲进行第一次投影变换时：
新设立的投影面与原投影面的交线记作“X1”
▲进行第二次投影变换时：
第二个新投影面与第一个新投影面的交线记作“X2”
（2）新投影面标记
要掌握：投影变换的基本规则及其应用
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▲在H面上设立的新投影面（⊥H）记作：V1 在V面上设立的新投影面（⊥V）记作：H1
▲在H1面上设立的新投影面（⊥H1）亦记作：V1 在V1面上设立的新投影面（⊥V1）亦记作：H1
（3）点的影像的标记
▲点A（或B）在H1面上的影像，记作：a1 （b1） ▲点A（或B）在V1面上的影像，记作：a1′（b1′）
a1’
返回
把一般位置直线变为H1投影面平行线
a’
b’ XV
H
a
b
a1
b1
返回
四、线的投影变换

《画法几何-投影变换》课件

H1
b
V
a1(b1)
B
a
b
X
A
b
H
a
a
X
换H面
正平线
“铅垂线”
a
b
换V面
水平线
“正垂线”
a1(b1)
将一般位置面变为投影面垂直面
a
X
取水平线
一般位置面
“正垂面”（α）
换V面
a
取正平线
一般位置面
“铅垂面”（β）
换H面
b d c
b d c
b1 a1(d1)
c1
X1
将投影面垂直面变为投影面平行面
c
a
X
换H面
换V面
一般位置线
“水平线”（实长，β）
“铅垂线” “正垂线”
把一般位置面变为投影面平行面
b
a
b1
c
a1
X
b c1
X1
X2
a
c
取水平线
一般位置面
“正垂面”（α）
换V面
换H面
b2
a2
c2
实形
“水平面”（实形）
把一般位置面变为投影面平行面
取水平线
一般位置面
“正垂面”（α）
换V面
换H面
“水平面”（实形）
例已知平行二直线AB、CD之间的距离为15，完成CD的水平投影。
a1
b1 c1
a
c
d1
b d
c a
d
b
a 2(b 2) c 2(d 2)
例：等腰三角形ABC，底边AB，平面的α角为30°，高的实长为L，补全其投影。有几解？
c
a

9-10讲第4章变换-几何变换及投影

Yv = c ⋅ Yw + d
当a≠c时，即x 方向的变化与y方向的变化不同时， ≠ 时方向的变化与方向的变化不同时，方向的变化不同时视图中的图形会有伸缩变化，图形变形。视图中的图形会有伸缩变化，图形变形。当 a=c=1， b=d=0则 Xv=Xw,Yv=Yw, 图形完全相同。，则 = , = , 图形完全相同。
14
4.2.3 窗口区和视图区的坐标变换
2. 变换过程窗口-视图二维变换窗口视图二维变换
从应用程序得到图形的用户坐标对窗口区域进行裁剪窗口至视区的变换显示或绘图
窗口-视图三维变换窗口视图三维变换
从应用程序得到图形的三维用户坐标投影对窗口区域裁剪窗口至视区的变换显示或绘图
16
4.3.1 齐次坐标
齐次坐标表示法: 维向量表示一个n维向量齐次坐标表示法用n+1维向量表示一个维向量维向量表示一个 (x,y)点对应的齐次坐标为其中x 问题1:点对应的齐次坐标为(x 空间中的一点, 非齐次坐标表示方式唯一吗? 问题点对应的齐次坐标为 h,yh,h), 其中 h=hx, yh=hy, 空间中的一点非齐次坐标表示方式唯一吗 h≠0. 因此，普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” ？因此，，(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直问题2: 空间中的一点其齐次坐标表示方式唯一吗问题普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” 这样，这样空间中的一点, 其齐次坐标表示方式唯一吗？点对应的齐次坐标为三维空间的一条直
y2 z2
5
4.1 变换的数学基础
4.1.2 矩阵基础知识
矩阵的加法运算数乘矩阵矩阵的乘法运算零矩阵运算单位矩阵矩阵逆运算转置运算矩阵的基本性质

计算机图形学第4章图形变换(2)

4.1.6 二维仿射变换
上面讨论的五种变换给出的都是点变换的公式，图形的变换实际上都可以通过点变换完成。例如直线段的变换可通过变换两个端点，并重画新端点间的线而得到。多边形的变换可通过变换每个顶点，并用新的顶点来生成多边形而实现。曲线的变换可通过变换控制点并重画线来完成。符合下面形式：
4.2 二维观察变换在实际应用中，用户要求图形系统具有能从已有的图形显示数据（对应一个完整的图形）中方便地选出数据（对应某一区域的图形）进行显示的能力，我们把在用户坐标系中预先选定的将产生图形显示的区域称为窗口。同样，在使用中用户也要求能控制显示图形在显示屏上的位置和大小，我们把在显示器坐标系中规定的显示图形区域称为视口。观察变换就是把这种用户坐标系中窗口的图形变换到显示器的视口中以产生显示。
上图给出了将坐标系从右手系转换到左手系的对称变换例子，该变换改变z坐标符号，保持x坐标和y坐标值不变，关于x-y平面的点对称变换矩阵为：
类似的关于y-z平面和x-z平面的对称变换矩阵分别将x和y的值取反。关于其它平面的对称变换可以由平移、旋转及坐标平面对称变换复合而得。
4.3.6 三维错切变换
4.1.7 二维复合变换
二维复合变换：前面所讨论的图形变换是相对于坐标原点或坐标轴来进行的。在实际中，常常需要相对于任意点或任意轴来进行变换。为了做到这一点，可通过计算多个基本变换矩阵的乘积来得到总的变换矩阵或称为复合变换矩阵，从而实现任意顺序的组合变换。常见的组合变换有： 1、绕任意点的旋转绕任意点（或称基准点）（xr,yr）的旋转：该变换可分成如图所示的三个步骤来实现
作业在实际应用中用户要求图形系统具有能从已有的图形显示数据对应一个完整的图形中方便地选出数据对应某一区域的图形进行显示的能力我们把在用户坐标系中预先选定的将产生图形显示的区域称为窗口生图形显示的区域称为窗口

4、投影变换(换面法)

b' a'
X
• i' a c i • b
H X1 V1
c'
•c ' 1
V O H O2 O1
•
c2
• a1' (i1')
•i 2
• a2
实形
• b1'
V1 H2
• b2
是以其中一直线为依据来选择，即将其中一条直线（一般线）更换成平行线，投射线，其它元素跟着过来。另一种是以其中一个平面为依据来选择新轴。即将一般面改换成投射面、平行面。其它元素跟变换过来。
不动，设立新的投影面代替原有的投影面中的一个，使新
投影面与几何元素处于有利于解题的位置。
一、换面法的投影规律：
如图4-2中，先只看A点的投影。如图4-3 （a)所示。
a' V
A
a'1 x1
o
x ax a
V1
ax1 H a'1 V1
o1
图4-3 （a)
新的投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面。如 V1H ，这样 V1 与H才能构成一个新的两投影面体系。 a' a x Aa a1' a x1 展开时V不动， V1 摊平到与H在由图可知同一面上，然后H面连同 V1 一齐绕OX轴旋转到与V在同一平面上。画投影图时，为表示清楚，在OX以上标V，OX下标H，在的一方标H，另一方标
工程上要解决的问题：（一）定位问题：包括线面交点、两面交线、截交线、相贯线
(二）度量问题：包括求直线实长、平面实形、点线距、点面距离、平行线间距、两交叉线距离、平行面距离、直线及平面对投影面倾角、两面夹角、线面夹角等。一、投影变换的目的：将原来处于一般位置的空间几何元素，变换为有利于解题的位置。

投影变换(计算机图形学)资料

2009-2010-2:CG:SCUEC
10
正投影之三视图
当投影面与某个坐标轴垂直时，得到的空间物体的投影为正投影（三视图）
1. 三视图分为正视图、侧视图
和俯视图.
2. 对应的投影平面分别与x轴， y 轴，z轴垂直。
三视图
三视图常用于工程制图，因为在其上可以测量距离和
角度。但一个方向上的视图只反映物体的一个侧面，只有将三个方向上的视图结合起来，才能综合出物体的空间结构和形状。
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4
投影变换的概念
近平面
远平面 Z
X
投影平面 V′ U′
窗口 X′ Y′
Y 投影线
视点
透视投影
视点：三维空间中任意选择的一个点，亦称为投影中心投影平面：不经过视点的任意一个平面投影线：从视点向投影平面的引出的任意一条射线
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x
xq zc
yq
0
0 zc
xc yc
0 0
y z
xp
xq q
,
yp
yq q
q 0
0
1
zc
1
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8
平行投影
平行投影可以看成投影中心移向无穷远时的极限情况。
设给定的投影方向为（ xd , yd , zd ）。在要投影的对象附近任取一点
（xs , ys , zs），以此点为起点作一射线，其指向是投影方向的反方向，
oz 和轴的单位方向向量为 (a11, a12 , a13 ) 、 (a21, a22 , a23 ) 和
(a31, a32 , a33 ) ，那么从坐标系oxyz到 o xyz 的变换是

初中数学知识归纳正交投影与投影变换的概念与计算

初中数学知识归纳正交投影与投影变换的概念与计算正交投影与投影变换是初中数学中的重要理论知识。

本文将对这两个概念进行归纳，并介绍它们的计算方法。

一、正交投影的概念与计算正交投影是指将一个立体图形在某个平面上的投影。

具体而言，对于一个三维空间中的点P(x, y, z)，当它沿着某个法向量为n(a, b, c)的平面进行投影时，投影点P'的坐标可以通过以下计算方法得出：1. 计算投影向量的长度首先，需要计算投影向量的长度，即将平面法向量标准化。

设向量n的长度为d，即d = √(a^2 + b^2 + c^2)。

然后将a、b、c分别除以d，得到标准化后的法向量n'，即n' = (a/d, b/d, c/d)。

2. 计算投影点的坐标接下来，需要计算点P在平面上的投影点P'的坐标。

根据向量投影的原理，可以得到以下计算公式：P' = P - Proj_n(P) = P - (P·n')n'其中，Proj_n(P)表示点P在向量n'上的投影，P·n'表示点P与向量n'的数量积。

二、投影变换的概念与计算投影变换是指将一个二维图形通过某种变换映射到另一个平面上的过程。

在数学中，通常使用矩阵的乘法运算来表示投影变换。

设原平面上的点为P(x, y)，经过投影变换后的点为P'(x', y')，则有以下计算公式：x' = a*x + b*y + cy' = d*x + e*y + f其中，a、b、c、d、e、f为投影变换的参数，可以根据具体的变换要求进行确定。

这些参数可以表示平移、缩放、旋转等操作，从而实现对图形的不同变形效果。

三、实际应用举例正交投影和投影变换在几何学中应用广泛，下面以一些具体的应用举例说明：1. 工程制图在工程制图中，正交投影被广泛用于展示三维物体的平面图。

通过将三维物体沿着不同的方向进行投影，可以得到其俯视图、正视图、侧视图等平面图，便于工程师进行设计和分析。

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(4) 由变换后的所有二维点绘出三维物体投影后的三视图。
1、主视图(V)面
•将三维物体向xoz面（又称 V面）作垂直投影（即正平行投影），得到主视图。
• 设三维点为(x, y, z),则正向投影点为(x’,y’,z’ )
( x' y ' z ' 1) ( x 1 0 z 1) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
2
取 3516' 45 3516' 代入 TISO 得到正等轴测投将影变换矩阵为：
3516'
TISO
0.707 0.707 0 0
Байду номын сангаас
0 0.408 0 0.408 0 0.816 0 0
0 0 0 1
轴间变形系数：
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
• 设三维点为（x, y, z），则正向投影点为(x’, y’, z’ )
1 0 TH 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 cos( ) sin( ) 2 2 Tr 0 sin( ) cos( ) 2 2 0 0 0
4.2.1.1 三视图
• 三视图包括主视图、侧视图和俯视图三种，观察平面分别与Y轴、X轴和Z轴垂直。 • 把三维空间的图形在三个方向上所看到的棱线分别投影到三个坐标面上。再经过适当变换放置到同一平面上。
三视图
计算步骤：
(1) 确定三维物体上各点的位置坐标
(2) 引入齐次坐标表示位置坐标
(3) 将所作变换用矩阵表示，通过矩阵运算求得三维物体上各点(x,y,z)经变换后的相应点 (x’,y’)（xoy平面）或(y’,z’ ) (yoz平面）
由
(cos2 sin 2 ) (cos2 sin 2 ) sin 2 0 得：
2 2 2 2 2 2
cos sin sin sin cos sin cos2 cos2 0（∵cos2 sin 2 cos2 ）即：
x y z cos3516' 0.8165
因此正等轴测投影变换就是用图形点集 [X Y Z 1]×TISO即可。
例：若有一个边长为100的正六面体，其各顶点坐标为: O(0, 0, 0)，A(0, 0, 100)， B(100, 0, 100),C(100, 100,100), D(0, 100, 100),E(100, 0, 0), F(100, 100, 0),G(0, 100, 0)。
TISO
0 0 0 1
，得正二轴测投影变
T正二
轴向变形系数：
x z cos19 28' 0.94
1 y x 0.47 2
因此正二轴测投影变换就是用图形点集[X Y Z 1]×T正二即
1 0
0 0 1TISO cos 0 sin sin 1
1 0 1TISO sin 0 cos sin 1
0
0 1 1TISO 0 0 cos 1
X,y,z三个轴向的变形系数为：
( cos sin ) / 1 sin cos sin
• 指定一个投影面，再取景物面片上的一条线段AB，把线段投影到投影面上,如图: • 投影中心、观察平面、投影线：
•透视投影:物体位置沿收敛于一点的直线变换到观察平面,投影中心到观察平面之间的距离是有限的。 •平行投影:物体位置沿平行线变换到观察平面上,投影中心到观察平面之间的距离是无限的。
原坐标轴经轴测投影变换后,其在V面上的投影长度发生变化 , 我们把 O'X'/OX=ηx, O'Y'/OY =ηy ,O'Z'/OZ =ηz 分别称为OX轴, OY 轴和OZ轴的轴向变形系数。为了便于讨论,沿X,Y,Z方向各取一单位长度,可得三点的齐次坐标分别为：A[1 0 0 1], B[0 1 0 1],C[0 0 1 1 ]。对其进行正轴测投影变换，变换得：
0 0 0 1
1 0 Tt 0 0
0 0 1 0 0 1 0 n
0 0 0 1
1 0 T 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 cos( ) sin( ) 2 2 0 0 0 sin( ) cos( ) 2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 n 1
的角度，然后再向XOY平面（H 面）作正投影
二、先将三维实体绕X 轴和Z 轴分别旋转一定的角度,然后再向XOZ平面(V 面)作正投影；三、先将三维实体绕Y 轴和Z 轴分别旋转一定的角度,然后再向YOZ平面 (W 面)作正投影。最常用的是第二种方式
1、正轴测投影变换矩阵
第二种方式的正轴测投影过程为：
2 sin 2 sin 2 4 sin cos2 1 2 (1 sin ) (1 sin 2 ) 4 sin 2 (1 sin 2 ) 4 cos2 sin 2 1 sin 2 sin 2 4 sin 2 4 sin 4 4 sin 2 (1 sin 2 ) 1 1 si n 8
①将三维实体绕Z轴逆时针转α角；
②将三维实体绕X轴顺时针转β角；
③向XOZ平面（V面）作正投影。
TISO
cos sin 0 0
sin cos 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 cos 0 sin 0 0
0 sin cos 0
平面几何投影分为透视投影和平行投影
平行投影
• 根据投影线方向与投影平面的夹角，平行投影分为两类：正投影和斜投影。
4.3.1 正投影
•正投影又可分为：三视图和正轴测。
•当观察平面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图；否则，得到的投影为正轴测图。
4.2.1.1 三视图
•三视图：正视图、侧视图和俯视图
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
cos 2 sin Tr 2 0 0
sin

2
cos 2 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
0 0 TW 0 0
1 0 Tt 0 k
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
cos sin 0 0
0 sin sin 0 cos sin 0 cos 0 0
0 0 0 1
2．轴向变形系数
cos2 sin 2 sin 2 1 sin 2 sin 2 (1 sin 2 ) 1 cos2 s in 2 sin 2 (1 sin 2 )
代入 4(sin
2
cos sin ) cos ，解得：
2 2 2
2
1 sin , 8
则：γ
1 取 sin 8
20 42'

2
sin sin , 2 1 sin
取正值
19 28'

将 20 42' , 19 28' 代入换矩阵：
0.935 0.354 0 0 0 0.118 0 0.312 0 0.943 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 1 n
0 0 0 1
点在H面上投影的坐标变换为：
3、侧视图(W面)
侧视图是将三维物体往yoz面(侧面W） 0 作垂直投影。 0 (1) 侧视图的投影变换 TW 0 (2)使W面绕z轴逆时针旋转90° 0 (3)使W面沿负x方向平移一段距离-k
2 2 2 2
( sin )
y
2
(cos ) / 1 cos
2 z
3．正等轴测投影变换
所谓正等轴测投影就是当ηx=ηy=ηz 时所得到的正等轴测图。由ηx=ηy=ηz 得：
cos2 sin 2 sin 2 sin 2 cos2 sin 2 cos2
y
x' x y' 0 z' 0
2、俯视图(H)面
• 三维物体向xoy面（又称H面)作垂直投影得到俯视图， (1) 投影变换 (2)使H面绕x轴顺时针旋转90° (3)使H面沿z方向平移一段距离-n
三维型体及其三视图
1 0 TH 0 0
相等时为等轴测； •当观察平面与两个坐标轴之间的夹角相等时为正二测；
•当观察平面与三个坐标轴之间的夹角都不相等时为正三测。
正轴测投影方式：先将三维实体分别绕两个坐标轴旋转一定的角度，然后再向由这两个坐标轴所决定的坐标平面作正投影。正轴测投影有三种方式：
一、先将三维实体绕X 轴和Y 轴分别旋转一定
y
z 1 TW y k
0 z 1
注意：由上述我们可以看出,三个视图中y’均为0,这是由于变换后三个视图均落在X’O’Z’ 平面上的缘故。因此，可用x'，z'坐标直接画出三个视图。
4.2.1.2 正轴测图
★正轴测有等轴测、正二测和正三测三种。 •当观察平面与三个坐标轴之间的夹角都
cos 2 sin 2 0 0

第四章 图形变换——投影变换