第四章-图形变换——投影变换
计算机图形学第4章图形变换
反射变换
总结词
反射变换是将图形关于某一平面进行镜像反射的变换。
详细描述
反射变换可以通过指定一个法向量和反射平面来实现。法向量垂直于反射平面，指向反射方向。在二 维空间中，反射变换可以将图形关于x轴或y轴进行镜像反射；在三维空间中，反射变换可以将图形关 于某一平面进行镜像反射。
03
复合图形变换
组合变换
01
02
03
04
组合变换是指将多个基本图形 变换组合在一起，形成一个复
杂的变换过程。
组合变换可以通过将多个变换 矩阵相乘来实现，最终得到一
个复合变换矩阵。
组合变换可以应用于各种图形 变换场景，如旋转、缩放、平
移、倾斜等。
组合变换需要注意变换的顺序 和矩阵的乘法顺序，不同的顺 序可能导致不同的变换结果。
矩阵变换
矩阵变换是指通过矩阵运算对图形进 行变换的方法。
常见的矩阵变换包括平移矩阵、旋转 矩阵、缩放矩阵和倾斜矩阵等。
矩阵变换可以通过将变换矩阵与图形 顶点坐标相乘来实现，得到变换后的 新坐标。
矩阵变换具有数学表达式的简洁性和 可操作性，是计算机图形学中常用的 图形变换方法之一。
仿射变换
仿射变换是指保持图形中点与 点之间的线性关系不变的变换。
05
应用实例
游戏中的图形变换
角色动画
通过图形变换技术，游戏中的角 色可以完成各种复杂的动作，如
跑、跳、攻击等。
场景变换
游戏中的场景可以通过图形变换 技术实现动态的缩放、旋转和平 移，为玩家提供更加丰富的视觉
体验。
特效制作
图形变换技术还可以用于制作游 戏中的特效，如爆炸、火焰、水
流等，提升游戏的视觉效果。
THANKS
空间几何中的投影变换
在空间几何中，投影变换是一种常见的变换，它具有广泛的应用。
投影变换可以用来描述物体在特定的空间中的位置和形状。
通过投影变换，我们可以将三维物体映射到二维平面上，从而方便地进行分析和计算。
投影变换的基本概念是将三维空间中的一个点映射到二维平面上的一个点。
在这个过程中，因为从三维到二维的映射是一种减维的过程，所以必然会有信息的丢失。
这种丢失可以从几何和图形的角度进行理解。
在几何上，投影变换可以分为正交投影和透视投影。
正交投影是指从一个点到另一个平面的投影，这个投影是垂直于平面的。
透视投影则不同，它是通过将一个点投影到另一个平面来实现的，但是这个投影并不垂直于平面。
在图形学中，投影变换是非常重要的。
它可以用来创建逼真的三维图像，同时也是计算机图形学的基础。
通过投影变换，我们可以实现三维场景的渲染和显示，从而创造出令人惊叹的视觉效果。
在实际应用中，投影变换有许多实际的应用。
例如，在建筑设计中，设计师可以使用投影变换来可视化建筑物的外观和结构。
在工程和制造领域，投影变换可以用来帮助工程师和设计师更好地理解产品的几何形状和物理属性。
此外，在计算机科学领域，投影变换也是一项重要的技术。
在图像处理和计算机视觉中，我们经常需要将三维图像或场景转换为二维图像进行分析和处理。
投影变换提供了一种有效的方法来实现这个转换，从而使得计算机能够理解和处理图像。
投影变换也被广泛应用于虚拟现实和增强现实技术中。
通过投影变换，我们可以将虚拟对象或信息叠加在真实世界的图像上，从而创造出逼真的虚拟体验。
这种技术已经应用于游戏、娱乐和教育等多个领域。
总之，空间几何中的投影变换是一种重要的几何转换方法。
通过投影变换，我们可以将三维空间中的物体和场景映射到二维平面上，从而方便地进行分析和计算。
它在建筑设计、工程和制造、计算机图形学以及虚拟现实等领域有着广泛的应用。
投影变换的理论和实践为我们理解和处理三维世界提供了重要的工具和技术。
图形的投影与变换
图形的投影与变换在我们的日常生活中，图形无处不在。
无论是建筑物的外观，还是艺术作品的构图，图形都扮演着重要的角色。
而对于图形的投影与变换，我们或许并不陌生。
在本文中，我们将探讨图形的投影与变换的概念、应用以及相关的数学原理。
一、图形的投影图形的投影是指将三维物体在二维平面上的映射。
在现实生活中，我们经常会观察到物体在光线照射下产生的投影。
例如，太阳光照射在建筑物上，形成了建筑物在地面上的投影。
在数学中，我们可以通过投影矩阵来描述图形的投影过程。
图形的投影可以分为平行投影和透视投影两种形式。
平行投影是指在投影过程中，光线是平行于投影平面的。
透视投影则是指在投影过程中，光线是从一个点出发的，即观察者的位置。
图形的投影不仅在建筑设计中有着重要的应用，还在计算机图形学中扮演着关键的角色。
在计算机图形学中，我们可以通过投影矩阵将三维物体投影到二维屏幕上，从而实现虚拟现实、游戏等领域的应用。
二、图形的变换除了投影之外，图形的变换也是图形学中的重要概念。
图形的变换包括平移、旋转、缩放等操作，可以改变图形的位置、方向和大小。
平移是指将图形沿着平移向量的方向移动一定的距离。
旋转是指将图形绕着旋转中心旋转一定的角度。
缩放则是指改变图形的大小，可以放大或缩小图形。
图形的变换在计算机图形学中也有着广泛的应用。
例如，在三维建模中，我们可以通过平移、旋转和缩放来改变模型的位置和形状。
在计算机动画中，图形的变换可以实现物体的运动和变形。
三、图形的投影与变换的数学原理图形的投影与变换涉及到一些数学原理。
投影矩阵是描述图形投影的数学工具，可以将三维物体投影到二维平面上。
在计算机图形学中，投影矩阵可以通过矩阵乘法来实现。
图形的变换也可以通过矩阵来描述。
平移、旋转和缩放操作可以分别表示为平移矩阵、旋转矩阵和缩放矩阵。
通过矩阵乘法，我们可以将图形的变换表示为一个矩阵乘法的组合。
除了矩阵乘法之外，还有一些其他的数学原理与图形的投影与变换密切相关。
4、投影变换(换面法)
b' a'
X
• i' a c i • b
H X1 V1
c'
•c ' 1
V O H O2 O1
•
c2
• a1' (i1')
•i 2
• a2
实形
• b1'
V1 H2
• b2
是以其中一直线为依据来选择，即将其中一条直线（一般 线）更换成平行线，投射线，其它元素跟着过来。另一种 是以其中一个平面为依据来选择新轴。即将一般面改换成 投射面、平行面。其它元素跟变换过来。
不动，设立新的投影面代替原有的投影面中的一个，使新
投影面与几何元素处于有利于解题的位置。
一、换面法的投影规律：
如图4-2中，先只看A点的投影。如图4-3 （a)所示。
a' V
A
a'1 x1
o
x ax a
V1
ax1 H a'1 V1
o1
图4-3 （a)
新的投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面。 如 V1H ，这样 V1 与H才能构成一个新的两投影面体系。 a' a x Aa a1' a x1 展开时V不动， V1 摊平到与H在 由图可知 同一面上，然后H面连同 V1 一齐绕OX轴旋转到与V在同一 平面上。 画投影图时，为表示清楚，在OX以上标V，OX下标H，在 的一方标H，另一方标
工程上要解决的问题： （一） 定位问题：包括线面交点、两面交线、截交线、相 贯线
(二） 度量问题：包括求直线实长、平面实形、点线距、 点面距离、平行线间距、两交叉线距离、平行面距离、直 线及平面对投影面倾角、两面夹角、线面夹角等。 一、投影变换的目的：将原来处于一般位置的空间几何元 素，变换为有利于解题的位置。
投影变换(计算机图形学)资料
2009-2010-2:CG:SCUEC
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正投影之三视图
当投影面与某个坐标轴垂直 时，得到的空间物体的投影 为正投影（三视图）
1. 三视图分为正视图、侧视图
和俯视图.
2. 对应的投影平面分别与x轴， y 轴，z轴垂直。
三视图
三视图常用于工程制图，因为在其上可以测量距离和
角度。但一个方向上的视图只反映物体的一个侧面，只有 将三个方向上的视图结合起来，才能综合出物体的空间结 构和形状。
2009-2010-2:CG:SCUEC
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投影变换的概念
近平面
远平面 Z
X
投影平面 V′ U′
窗口 X′ Y′
Y 投影线
视点
透视投影
视点：三维空间中任意选择的一个点，亦称为投影中心 投影平面：不经过视点的任意一个平面 投影线：从视点向投影平面的引出的任意一条射线
2009-2010-2:CG:SCUEC
x
xq zc
yq
0
0 zc
xc yc
0 0
y z
xp
xq q
,
yp
yq q
q 0
0
1
zc
1
2009-2010-2:CG:SCUEC
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平行投影
平行投影可以看成投影中心移向无穷远时的极限情况。
设给定的投影方向为（ xd , yd , zd ）。在要投影的对象附近任取一点
（xs , ys , zs），以此点为起点作一射线，其指向是投影方向的反方向，
oz 和 轴的单位方向向量为 (a11, a12 , a13 ) 、 (a21, a22 , a23 ) 和
(a31, a32 , a33 ) ，那么从坐标系oxyz到 o xyz 的变换是
投影变换的使用方法
投影变换的使用方法
投影变换是一种图形变换方法，用于将一个三维空间中的物体投影到二维平面上。
在将三维物体表示为二维图形时，可以使用不同的投影方法，例如平行投影和透视投影。
以下是使用投影变换的一般步骤：
1. 确定投影类型：平行投影或透视投影。
平行投影是指从无穷远处的光源发射平行光线，透视投影是指根据观察者的位置和视线方向来进行投影。
2. 确定观察者的位置和视线方向：观察者的位置和视线方向将决定投影的结果。
3. 确定投影平面：投影平面是二维平面，物体将被投影到该平面上。
4. 确定投影方式和参数：根据投影类型和投影平面，确定投影方式和参数。
例如，对于平行投影，可以选择正交投影或斜投影，对于透视投影，可以设置透视中心和透视系数等参数。
5. 计算投影矩阵：根据投影方式和参数，计算投影矩阵。
投影矩阵是一个变换矩阵，用于将物体的三维坐标变换到二维平面上。
6. 对物体进行投影变换：将物体的三维坐标通过投影矩阵进行变换，得到二维平面上的投影结果。
7. 可选：对投影结果进行后处理，如裁剪、平移、缩放等。
需要注意的是，投影变换只是将三维物体投影到二维平面上，不会改变物体在三维空间中的形状和大小。
不同的投影方式和
参数会产生不同的投影效果，可以根据具体需求选择适合的投影方法。
投影变换的三种方法
投影变换的三种方法投影变换是图形学中常用的一种技术，它可以将一个物体或图像投影到一个新的坐标系中，从而改变其形状、位置和大小。
在计算机图形学、计算机视觉以及计算机辅助设计等领域都有广泛的应用。
本文将介绍投影变换的三种常用方法：平行投影、透视投影和仿射投影。
一、平行投影平行投影是一种简单而常用的投影变换方法，它将物体或图像的每个点沿着平行于观察方向的直线投影到投影平面上。
由于平行投影不考虑观察点与投影平面的距离，因此投影结果不会产生透视效果，物体的形状和大小在投影过程中保持不变。
平行投影可以简化计算过程，适用于一些不需要透视效果的场景，如平面图的绘制和建筑物的俯视图等。
二、透视投影透视投影是一种模拟真实世界中的投影效果的方法，它考虑了观察点与投影平面的距离，使得物体在投影过程中产生透视效果。
透视投影根据物体与观察点的距离和角度的不同，可以产生近大远小的效果，使得投影图像更加真实。
透视投影广泛应用于计算机游戏、虚拟现实和电影等领域，使得场景更加逼真，增强了用户的沉浸感。
三、仿射投影仿射投影是一种综合了平行投影和透视投影的投影变换方法，它可以保持物体的平行性和直线性，同时又能产生透视效果。
仿射投影通过对物体的位置、大小、形状和角度进行变换，将物体投影到一个新的坐标系中。
仿射投影在计算机图形学中具有广泛的应用，如图像矫正、图像处理和计算机辅助设计等领域。
总结：本文介绍了投影变换的三种常用方法：平行投影、透视投影和仿射投影。
平行投影适用于不需要透视效果的场景，透视投影模拟了真实世界中的投影效果，而仿射投影综合了平行投影和透视投影的优点。
这三种方法在计算机图形学、计算机视觉以及计算机辅助设计等领域都有广泛的应用。
通过合理选择和使用这些方法，可以实现对物体或图像的形状、位置和大小的变换，从而满足不同应用需求。
投影变换对称变换旋转变换正交变换
投影变换对称变换旋转变换正交变换投影变换、对称变换、旋转变换和正交变换是线性代数中的重要概念，它们在数学、物理、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
本文将分别介绍这四种变换的概念、特点和应用，并对它们进行比较和联系。
一、投影变换投影变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间的操作。
具体而言，对于一个n维向量空间V和一个m维向量空间W，投影变换可以将V中的向量映射到W中的向量。
投影变换通常用一个矩阵表示，称为投影矩阵。
投影变换具有保持向量在某个方向上的长度和角度不变的特点，常用于计算机图形学中的三维投影和几何变换。
二、对称变换对称变换是指将一个向量空间中的向量映射到其自身的操作。
具体而言，对于一个n维向量空间V，对称变换可以将V中的向量映射到V中的向量。
对称变换通常用一个矩阵表示，称为对称矩阵。
对称变换具有保持向量长度和角度不变的特点，常用于计算机图形学中的镜像和仿射变换。
三、旋转变换旋转变换是指将一个向量绕某个中心点进行旋转的操作。
具体而言，对于一个n维向量空间V，旋转变换可以将V中的向量绕某个中心点旋转一定角度。
旋转变换通常用一个矩阵表示，称为旋转矩阵。
旋转变换具有保持向量长度不变但改变角度的特点，常用于计算机图形学中的三维旋转和空间定位。
四、正交变换正交变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间，并且保持向量之间的内积不变的操作。
具体而言，对于一个n维向量空间V和一个m维向量空间W，正交变换可以将V中的向量映射到W中的向量，并且满足向量之间的内积等于原始向量之间的内积。
正交变换通常用一个矩阵表示，称为正交矩阵。
正交变换具有保持向量长度和角度不变的特点，常用于计算机图形学中的坐标变换和旋转。
投影变换、对称变换、旋转变换和正交变换之间存在一定的联系和区别。
首先，它们都是线性变换，即满足线性组合和封闭性的特点。
其次，它们都可以用矩阵进行表示，通过矩阵相乘的方式进行计算。
然而，它们的作用对象和特点各不相同。
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4.2.1.2 正轴测图
★正轴测有等轴测、正二测和正三测三种。 •当观察平面与三个坐标轴之间的夹角都 相等时为等轴测； •当观察平面与两个坐标轴之间的夹角相 等时为正二测； •当观察平面与三个坐标轴之间的夹角都不
相等时为正三测。
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4.2.1.1 三视图
• 三视图：正视图、侧视图和俯视图
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4.2.1.1 三视图
• 三视图包括主视图、侧视图和俯视图三种， 观察平面分别与Y轴、X轴和Z轴垂直。
• 把三维空间的图形在三个方向上所看到的棱 线分别投影到三个坐标面上。再经过适当变 换放置到同一平面上。
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4.2 三维图形投影变换
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1
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2
• 通常图形输出设备（显示器，绘图仪等） 都是二维的，所以要将三维坐标系下图形 上各点的坐标转化为某一平面坐标系下的 二维坐标。
• 投影变换:把三维物体变为二维图形表示的 过程称为投影变换。
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3
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• 设三维点为（x, y, z），则正向投影点为(x’, y’, z’ )
1 0 0 0
TH
0
0 0
1 0 0
0 0 0
0
0 1
1 0
0 0
Tr
0 0
0
cos( 2) sin(2)
0
sin(2)
cos(
2
)
0
0 0 1
1 0 0 0
Tt
0
0
1 0
0 1
0
0
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0
0
n
1
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平面几何投影分为透视投影和平行投影
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平行投影
• 根据投影线方向与投影平面的夹角，平行 投影分为两类：正投影和斜投影。
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4.3.1 正投影
•正投影又可分为：三视图和正轴测。
•当观察平面与某一坐标轴垂直时，得到的投 影为三视图；否则，得到的投影为正轴测图。
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1、主视图(V)面
•将三维物体向xoz面（又称V 面）作垂直投影（即正平行 投影），得到主视图。
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• 设三维点为(x, y, z),则正向投影点为(x’,y’,z’ )
1 0 0 0
(x'
y'
z'
1)(x
x' x
y
z
1)000
0 0 0
0 1 0
0 10
最常用的是第二种方式
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1、正轴测投影变换矩阵
第二种方式的正轴测投影过程为： ①将三维实体绕Z轴逆时针转α角； ②将三维实体绕X轴顺时针转β角； ③向XOZ平面（V面）作正投影。
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co ssin00 1 0 0 0 1000
2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1 0
0 1
k
0 1 0 0
0 0 1 0
0
0
0
1
0 0 0 0
1
0
0
0
0 0 1 0
k
0
0
1
点的侧面(W)投影变换为：
x 'y 'z '1 x y z 1 T W y k 0 z 1
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注意：由上述我们可以看出,三个视图中y’均 为0,这是由于变换后三个视图均落在X’O’Z’平 面上的缘故。
cos
2
0 0
0
0
0
0 1 0
0
0 0 1
0 0 0 0
TW
0
0
1 0
0 1
0
0
0
0
0
1
1 0 0 0
Tt
0 0
1
0
0
0 1 0
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k
0
0
1
20
0
T
0
0
0
0 1 0 0
0 0 1 0
0
0
cos sin
2
0
1
2 0
0
sin 2
cos
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3、侧视图(W面)
侧视图是将三维物体往yoz面(侧面W）
作垂直投影。
0 0 0 0
(1) 侧视图的投影变换
TW
(2)使W面绕z轴逆时针旋转90°
(3)使W面沿负x方向平移一段距离-k
0
0 0
1 0 0
0 1 0
0
0 1
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Tr
csoisn2 2
sin 2
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正轴测投影方式： 先将三维实体分别绕两个坐标轴旋转一定的 角度，然后再向由这两个坐标轴所决定的坐 标平面作正投影。 正轴测投影有三种方式：
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一、先将三维实体绕X 轴和Y 轴分别旋转一定 的角度，然后再向XOY平面（H 面）作正投影 二、先将三维实体绕X 轴和Z 轴分别旋转一定 的角度,然后再向XOZ平面(V 面)作正投影； 三、先将三维实体绕Y 轴和Z 轴分别旋转一定 的角度,然后再向YOZ平面 (W 面)作正投影。
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1 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0
T
0Leabharlann 1000
cos(
2
)
sin(
2
)
0
0
1
0
0
0
0
0 0
0 0
0 0
1
0
sin(
2
)
0
c
os(
2
)
0
0 0
1
0
0 0
1 n
0
1
1 0 0 0
0
0
1
0
0 0 0 0
0
0
n
1
点在H面上投影的坐标变换为：
x 'y 'z '1 x y z 1 T x 0 y n 1
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三视图
计算步骤：
(1) 确定三维物体上各点的位置坐标
(2) 引入齐次坐标表示位置坐标
(3) 将所作变换用矩阵表示，通过矩阵运算求 得三维物体上各点(x,y,z)经变换后的相应点 (x’,y’)（xoy平面）或(y’,z’ ) (yoz平面）
(4) 由变换后的所有二维点绘出三维物体投影
后的三视图。
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投影平面
三维场景生成步骤类似于照相机拍摄一张照 片的过程，s1、s2、s3可为任意指定平面
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• 指定一个投影面，再取景物面片上的一条 线段AB，把线段投影到投影面上,如图:
• 投影中心、观察平面、投影线：
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•透视投影:物体位置沿收敛于一点的直线变 换到观察平面,投影中心到观察平面之间的 距离是有限的。 •平行投影:物体位置沿平行线变换到观察平 面上,投影中心到观察平面之间的距离是无 限的。
y '
0
z ' 0
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2、 俯视图(H)面
• 三维物体向xoy面（又称H面)作
垂直投影得到俯视图， (1) 投影变换 (2)使H面绕x轴顺时针旋转90°
1 0 0 0
TH
0
0 0
1 0 0
0 0 0
0
0 1
(3)使H面沿z方向平移一段距离-n
三
维
型
体
及
其
三
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