理论力学习题1

船在对岸靠拢点：
(d y d) 2
yd
x 2c d c d 2 cd cd u ud 2u 2u
1.19 将质量为m 的质点竖直上抛于有阻力的媒质中，设阻力与速
度平方成正比，即 R mk 2 gv2 ，如上掷时的速度为 v0，试证此质点
又落至投掷点时的速度为：
v1
dt dt
2d 2 sec 2 tg i tg x
2 2 x x 2 d 2 i

d
小环的加速度的量值为：
a
d
2
2
2
x
x2
d d2
2
1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数，试证明其 速度矢量v与加速度矢量a 正交。
证： 方法1：
v v v2 常数 （已知）
2 c os
2
r 4sin cos sin( ) cos2 2 cos
1.4 细杆OL绕O点以匀角速 转动，并推动小环C在固定的
钢丝AB上滑动，如图所示，d为一已知常数，试求小环的速度及
加速度的量值。
y L
解：如图建立直角坐标系O—xy， A 小环在任意时刻的位矢为：
答：在正午后45分钟两船相距最近，其最近距离为15.9千米。
1.3 曲柄 OA r ，以匀角速 绕定点O转动，此曲柄借连 杆AB使滑块B沿直线ox运动，求连杆上C点的轨迹方程及速度。 设。 AC CB a AOB ABO
解：如图所示建立坐标系o—xy，C点的坐标为：
F e(E v B) eE j e x y z eyB i (eE exB) j
00B 设电子的质量为m，则运动微分方程为：
mx eBy
(1)
my eE eBx
(2)
mz 0
(3)
利用初始条件：t 0 z 0 z 0，对（3）式积分两次得：
S
x
2 A

y
2 B
v t 2 t 1.52
ds v 2t 2t 1.5 0 dt 2 t 2 t 1.52
则:
2t 2t 1.5 0 t 0.75小时 （即午后45分钟）
将值代入表达式得： Smin 15 0.752 0.75 1.52 15.9（千米）
x

1 2k 2g
ln(1
k
2v02
)
2）下落：受力分析如图所示，运动微分方程为：
mx mg mk 2 gx2
xdx g(1 k 2x2 ) dx
利用初始条件： x 0
x

1 2k 2g
ln(1
k 2v02 )
积分得：
ln[(1 k 2x2 )(1 k 2v02 )] 2k 2gx
解：如图所示，取船离岸处为坐标原点，
x 轴平行于河流方向，y 轴和它垂直。
d
d
0 y 2
v0 ky
y 2
2c
2c
k d
v0 d y
dy tg u ud
dx
v0 2cy
y ydy
x ud dx
0
0 2c
船的轨迹为： x c y2
ud
v0 c
d
d
v
2 u v0

e
k
t


y
1 k
v0 ksin

g edt

g
根据题意有：
1
y k x
v0ksin gek t g
v0cos ek t
tg
整理得：
ekt 2v0ksin g
g
所需时间为：
t

1 k
ln1

2v0ksin
g

y
acos
(7)
对（3）式取微商得： rcos 2acos
rcos 2a cos
(8)
将（8）代入（6）（7）得： C点的速度为
x
rsin


rsin cos 2 cos


y
1 2
rcos

v x2 y2 (rsin rsin cos )2 (1 rcos)2
x m (V E )sin eB t E t
(10)
eB B m B
（4）（8）（10）为电子的运动方程。
1.26 一弹性绳上端固定，下端悬有m及 m两质点。设a为绳的固有长 度,b为加 m 后的伸长，c为加 m后的伸长。今将 m 任其脱离而下坠，试
证质点 m 在任一瞬时离上端o的距离为： a b ccos g t
解：
tg dy p
dx y
（由 y2 2 px 得）
u
始点：
（p , p ） 2
tg0 1

0


4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

5
4
终点： ( p , p)
2
tg 1 2 7
v
44
根据题意： 所以：
a andv
2k a
2kv d
dv dt
解：按题意画图，如图所示。
a i沿切向与 v 同向，a 与a i 间夹 角 ，即 a 与v 间夹角为 ，为
常数。则 :
a ctg
an
a

dv dt
dv v2 ctg
dt r
an

v2 r
a i
a
O
an j
v dv ctg
t
dt

1 1 ctg t
证：研究对象为质点 m ，其受力分析如图所
b
示。设坐标原点 o1在 a b处，向下为正，
建立坐标轴 o1x。 质点平衡时 : kb mg k mg
质点运动微分方程为
mx
mg

kb

x

b
kx
x k x 0
m
初始条件：
t 0 x c x 0
其解为：
x Acost 0 Acos
x r cos a cos
(1)

y

a
sin
(2)
在三角形AOB中 r sin 2asin
(3)
由（1）（2）两式消去 得： a 2 y 2 (x r cos )2
即：
x r cos a2 y2
由（2）（3）两式消去 得： 2y r sin
前A
v
v
4
3
2
B
C
v0
后
v
船对地的速度（牵连速度）为 v0
方向如图所示。由相对运动速度公式有： v v0 v
由图形知： ABC 与速度三角形相似，则：
v 8m / s
v AB 32 42 1 v0 BC 3 2

v0 v 8m / s
1.16 宽度为d 的河流，其流速与到河岸的距离成正比，在 河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为c ，一小船以 相对速度u 沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对 岸靠拢的地点。
(6)
m2
m
（6）式齐次方程的通解为：
y1

C1
cos eB m
t

C2
sin
eB m
t
（6）式非齐次方程的特解为： 所以方程（6）的通解为：
y2

mE eB 2

mV eB
eB
eB mE mV
y
y1
y2
C1 cos
m
t C2 sin
m
t eB 2

eB
(7)
（7）式取微商得：
y eBC1 sin eB t eBC2 cos eB t

g b
t


0

1.2 某船向东航行，速率为每小时15千米，在正午经过某一灯塔，另 一船以同样速度向北航行，在下午1时30分经过此灯塔，问在什么时候两 船的距离最近？最近的距离是多少？
解：以正午为计时零点，设东向船为A， 北向船为B，以灯塔为坐标原点，建立坐标系 o-xy，如图所示。在t时刻，两船位置分别为：
xA vt yB vt 1.5
1.22 如向互相垂直的匀强电磁场E、H中发射一电子，并设电 子的初速度V与E及H垂直，试求电子的运动规律。已知此电子 所受的力为e(E v B) ，B为磁感应强度，e为电子所带的电荷， v为任一瞬时电子运动的速度。
解：取电子初速V沿x轴，电场强度E沿y轴，磁感应强度B沿z轴。
电子受力：
i jk
z0
(4)
利用初始条件：t 0 y 0 x，V 对（1）式积分得：
x eB y V
(5)
m 将（5）代入（2）式得：
my eE eB(eB y V )
m
整理得： 特征方程为：
y
e2B2 m2
y

eE m

eBV m
r2 e2B2 0
r i eB
落至投掷点：
x 0 x v1
(1 k 2 x2 )(1 k 2v02 ) 1
落至投掷点的速度为：
v1
v0 1 k 2v02
证毕。
1.21将一质点以初速 v0抛出，v0与水平线所成之角为 ，此质点所受到
的空气阻力为其速度 mk 的倍， m 为质点的质量， k 为比例常数。试求当
此质点的速度与水平线所成之角又为 时所需的时间。