、简单逻辑连接词或、且、非
考点03 逻辑联结词及数学归纳法(解析版)
考点48 逻辑联结词及数学归纳法一．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断二．量词2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定三．数学归纳法1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法． 2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下： (1)归纳奠基：证明取第一个自然数n 0时命题成立；(2)归纳递推：假设n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立； (3)由(1)(2)得出结论．知识理解考向一 命题的否定【例1】（2021·四川成都市·高三二模（理））命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定为（ ）A ．00x ∃≤，20010x x ++≤ B ．0x ∀≤，210x x ++≤ C ．00x ∃>，20010x x ++≤D ．0x ∀>，210x x ++≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定是：00x ∃>，20010x x ++≤．故选：C ．【举一反三】1．（2021·全国高三月考（理））命题“0x R ∃∈，002ln 0x x +≤”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，2ln 0x x+≥ B ．x R ∀∈，2ln 0x x+> C ．0x R ∃∈，002ln 0x x +≥ D ．0002,0x R lnx x ∃∈+> 【答案】B【解析】命题“0x R ∃∈，002ln 0x x +≤”为特称命题，该命题的否定为“x R ∀∈，2ln 0x x+>”. 故选：B.2．（2021·湖南岳阳市）命题“()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+”的否定是（ ） A ．()1,x ∃∈+∞，21x e x ≥+ B ．()1,x ∀∈+∞，21x e x <+ C ．()1,x ∃∈+∞，21x e x <+ D ．()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+【答案】C【解析】命题“()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+”为全称命题，该命题的否定为“()1,x ∃∈+∞，21x e x <+”. 故选：C.考向分析3．（2021·泰州市第二中学）巳知命题p ：0x ∃>，10x e x --≤，则命题p 的否定为（ ） A ．0x ∀≤，10x e x --＞ B ．0x ∀>，10x e x --> C ．0x ∃>，10x e x --≥ D ．0x ∃≤，10x e x --＞【答案】B【解析】命题p ：0x ∃>，10x e x --≤，则命题p 的否定为0x ∀>，10x e x -->. 故选：B考向二 逻辑连接词求参数【例2】（2021·全国高三专题练习）若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题，则实数a 的范围是（ ） A ．2a > B ．2a C ．2a >- D ．2a -【答案】A【解析】若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题，则命题“2[1,2],2x x a ∀∈--+<”是真命题， 当0x =时，()2max22x -+=，所以2a >.故选：A. 【举一反三】1．（2021·天水市第一中学高三月考（理））已知命题():1,3p x ∃∈-，220x a --≤.若p 为假命题，则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞- B ．(),1-∞-C ．(),7-∞D ．(),0-∞【答案】A 【解析】p 为假命题，∴():1,3p x ⌝∀∈-，220x a -->为真命题，故22a x <-恒成立，22y x =-在()1,3x ∈-的最小值为2-，∴2a <-. 故选：A.2．（2020·北京人大附中高三月考）若命题“x R ∃∈，使得2210ax x ++＜成立”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞) B ．[0，+∞)C ．(-∞，1)D ．(-∞，0]【答案】A 【解析】命题“x R ∃∈，使得2210ax x ++＜成立”为假命题, 则它的否定命题: “x R ∀∈，2210ax x ++≥”为真命题所以0440a a >⎧⎨∆=-≤⎩ 解得1a ≥，所以实数a 的取值范围是[1,)+∞ 故选：A.3．（2020·江西高三期中（文））存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则m 的最大值为（ ） A ．1 B ．14C ．12D ．-1【答案】C【解析】由不等式230x mx m +-≥，可化为23x m x≤-，设()[]2,1,13x f x x x=∈--，则()()()2226(6)33x x x x f x x x ---'==--，当[1,0)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(0,1]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，又由()11(1),142f f -==，所以函数()f x 的最大值为()112f =， 要使得存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则12m ≤，则m 的最大值为12. 故选：C.考向三 数学归纳法【例3-1】（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋121n -＜n (n ∴N *，n ≥2)”时，由n ＝k (k ≥2)时不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是（ ） A ．2k －1 B ．2k －1 C ．2k D ．2k ＋1【答案】C【解析】n k =时，左边=1111 (2321)k ++++-，而n ＝k ＋1时，左边＝11111111 (232122121)k k k k +++++++++-+-，增加了1111 (22121)k k k +++++-，共(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k 项， 故选：C.【例3-2】．（2020·全国高三专题练习）设等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-. （1）计算23,a a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明； （2）求数列{}2nn a 的前n 项和n S .【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-+. 【解析】（1）由题意，等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-， 可得21345a a =-= ，323427a a =-⨯=，，猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+，证明如下：（数学归纳法）当1,2,3n =时，显然成立； ∴ 假设n k =时，即21k a k =+成立；其中*(N )k ∈， 由134k k a a k +=-3(21)4k k =+-2(1)1k =++ ∴故假设成立，综上（1）（2），数列{}n a 的通项公式21n a n =+*()n N ∈.（2）令2(21)2n nn n b a n ==+，则前项和1212...3252...(21)2n n n S b b b n =+++=⨯+⨯+++ ∴由∴两边同乘以2得：23123252...(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯++-++ ∴由∴-∴的322112(12)3222...2(21)26(21)212n n n n n S n n -++--=⨯+⨯++-+=+-+-， 化简得1(21)22n n S n +=-+. 【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)n n n +++++=++时，从n k=到1n k =+等式左边需增添的项是（ ） A ．22k + B ．[]2(1)1k ++ C ．[(22)(23)]k k +++ D ．[][](1)12(1)1k k ++++ 【答案】C【解析】当n k =时，左边123(21)k =+++++，共21k +个连续自然数相加，当1n k =+时，左边123(21)(22)(23)k k k =+++++++++，所以从n k =到1n k =+，等式左边需增添的项是[(22)(23)]k k +++. 故选：C.2．（2021·全国高三专题练习）设集合T n ＝{1，2，3，…，n }（其中n ≥3，n ∴N *），将T n 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为S n ． （1）求S 3，S 4，S 5的值； （2）试求S n 的表达式．【答案】（1）S 3＝1，S 4＝5，S 5＝15；（2）41n C + .【解析】（1）当n ＝3时，T 3＝{1，2，3}，3元子集有：{1，2，3}，∴S 3＝1；当n ＝4时，T 4＝{1，2，3，4}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，∴S 4＝1×3+2＝5；当n ＝5时，T 5＝{1，2，3，4，5}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，222543212315S C C C ∴=⨯+⨯+⨯=．（2）由S 3＝1，S 4＝5，S 5＝15，S 6＝35…归纳猜想出41n n S C +=（n ≥3）．下面用数学归纳法证明猜想：∴当n ＝3时，S 3＝1＝44C ，结论成立；∴假设n ＝k （k ≥3，k ∴N *）时，结论成立，即S k ＝41k C +，则当n ＝k +1时，T k +1＝{1，2，3，4，…，k ，k +1}，()()1111111232123...21k k k k k S S C C C k C k C +---⎡⎤=+++++-+-⎣⎦()()()(){}411111122112...21k k k C k C k C k k C k k C +--=+-+-++--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()(){}4111111111211231...23...1k k k C k C C C C C C k C +--⎡⎤=++++-++++-⎣⎦ ()422311k k k k C kC kC C ++⎡⎤=+--⎣⎦ ()4341111k k k C C C ++++=+=∴当n ＝k +1时，结论成立． 综上：由∴∴可得()413n n S C n +=≥．1．（2021·涡阳县育萃高级中学）已知命题:p x R ∀∈，2104x x -+，则p ⌝（ ） A ．21,04x x x ∃∈-+R B ．21,04x x x ∃∈-+>R C ．21,04x x x ∀∈-+>R D ．21,04x x x ∀∈-+<R 【答案】B【解析】命题p 为全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得：p ⌝： 21,04x x x ∃∈-+>R 故选：B2．（2021·漠河市高级中学高三月考（文））下列说法正确的是（ ） A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．命题“若cos cos x y ≠，则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =，则x y ≠”C ．“0x <”是“20x x ->”的充要条件强化练习D ．若p ：x ∀∈R ，2320x x --<，则p ⌝：0x ∃∈R ，200320x x --.【答案】D【解析】对于A 选项，若p q ∨为真命题，可能p 真q 假，则p q ∧为假，故A 选项错误.对于B 选项，命题“若cos cos x y ≠，则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =，则x y =”，故B 选项错误. 对于C 选项，当2x =时，20x x ->，所以“0x <”不是“20x x ->”的充要条件，C 选项错误. 根据全称量词命题的否定的知识可知，D 选项正确. 故选：D3．（2021·全国高三专题练习）下列关于命题的说法中正确的是（ ）∴对于命题P ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥ ∴“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件∴命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠” ∴若p q ∧为假命题，则p ､q 均为假命题 A ．∴∴∴ B ．∴∴∴ C ．∴∴∴∴ D ．∴∴【答案】A【解析】∴对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈均有210x x ++，故∴正确；∴由“1x =”可推得“2320x x -+=”，反之由“2320x x -+=”可能推出2x =，则“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故∴正确；∴命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠”，故∴正确； ∴若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，故∴错误． 则正确的命题的有∴∴∴． 故选：A4．（2021·河南高三其他模拟（文））命题:p “0,2sin 0x x x ∀≥-≥”的否定为（ ）A ．0,2sin 0x x x ∀≥-<B ．0,2sin 0x x x ∀<-<C ．0000,2sin 0xx x ∃≥-< D ．0000,2sin 0xx x ∃<-<【答案】C【解析】命题:p “0,2sin 0xx x ∀≥-≥”是全称命题，又全称命题的否定是特称命题，故“0x ∀≥，2sin 0x x -≥”的否定是“0000,2sin 0xx x ∃≥-<”.故选：C.5．（2021·山东菏泽市·高三一模）命题“2,0∈≥∀x R x ”的否定是（ ）A ．2,0x R x ∃∈≥B ．2,0x R x ∀∈<C ．2,0x R x ∃∈<D ．2,0x R x ∃∈≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是：x R ∃∈，20x <.故选：C6．（2021·四川成都市·石室中学高三月考（理））设命题:0p x ∀≤x =-，则p ⌝为（ ） A ．0x ∀≤x ≠- B ．00x ∃≤0x =- C ．0x ∀>x =- D ．00x ∃≤0x ≠-【答案】D【解析】命题p 为全称命题，该命题的否定为0:0p x ⌝∃≤0x ≠-. 故选：D.7．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三期中）“0m >”是“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，命题“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题” 可得命题“x R ∀∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+>是真命题” 当10m -=时，即1m =时，不等式30>恒成立；当10m -≠时，即1m ≠时，则满足()()210214130m m m ->⎧⎪⎨⎡⎤---⨯<⎪⎣⎦⎩，解得14m <<，综上可得，实数14m ≤<，即命题“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”时，实数m 的取值范围是[1,4)，又由“0m >”是“14m ≤<”的必要不充分条件，所以“0m >”是“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的必要不充分条件， 故选：B.8．（2021·全国高三专题练习）若命题“∀[]1,4x ∈时，240x x m --≠”是假命题，则m 的取值范围（ ） A ．[4,3]-- B ．()-∞,-4 C ．[4,)-+∞ D ．[4,0]-【答案】D【解析】若命题“[1x ∀∈，4]时，240x x m --≠”是假命题， 则命题“[1x ∃∈，4]时，240x x m --=”是真命题, 则24m x x =-，设22()4(2)4f x x x x =-=--， 当14x 时，4()0f x -,则40m -. 故选：D ．9．（2020·江苏海门市·高三月考）命题“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．4a ≤D ．4a ≥【答案】D【解析】“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题，可得2a ≥，因为[)[)4,2,+∞⊂+∞ ， 故选:D .10．（2021·全国高三专题练习）已知命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，则a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．(],2-∞D ．(),2-∞【答案】A【解析】因为命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，所以240ax ax --≥对2x >恒成立， 所以()242a x x x≥>-恒成立．因为2x >， 所以22x x ->，则242x x<-， 故2a ≥． 故选：A11．（2020·全国高三专题练习）用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)nn n n n n ++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-”，从“k到1k +”左端需增乘的代数式为（ ） A ．21k + B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 【答案】B【解析】当n k =时，等式的左边(1)(2)()k k k k =++⋅⋅⋅⋅⋅+，当1n k =+时，等式的左边(11)(12)()(1)(2)k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅⋅⋅+++++， 所以当从“k 到1k +”左端增乘的代数式为(1)(2)2(21)1k k k k k k ++++=++.故选：B.12．（多选）（2021·恩施市第一中学）下列命题正确的有（ ） A ．命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是“x R ∃∈，20x <”． B ．函数()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数解析式为()sin g x x =． C ．函数()21f x x =-的零点为()1,0-，()1,0．D ．1弧度角表示：在任意圆中，等于半径长的弦所对的圆心角． 【答案】AB【解析】对A ，根据全称命题的否定性质，A 为正确的； 对B ，()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数()cos()sin 2g x x x π=-=；对C ，函数零点是数而不是点，故C 错误；对D ，1弧度角表示为在任意圆中，等于半径长的弧所对的圆心角，故D 错误； 故选：AB.13．（多选）（2021·全国高三专题练习）下列命题中正确的是（ ） A ．(0,)x ∃∈+∞，23x x >B ．(0,1)x ∃∈，23log log x x <C ．(0,)x ∀∈+∞，121()log 2xx >D ．1(0,)3x ∀∈，131()log 2xx < 【答案】BD【解析】对于选项A ：当0x >时，22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以23x x <恒成立，故选项A 不正确；对于选项B ：当(0,1)x ∈时，23log lg lg 3lg 31log lg 2lg lg 2x x x x =⨯=>，且3log 0x <，所以23log log x x <，故选项B 正确；对于选项C ：当12x =时，1211()()222x ==，11221log log 12x ==，则121log ()2x x >，故选项C 不正确； 对于选项D ：当13x =时，131log 13=，由对数函数和指数函数的性质可知，当1(0,)3x ∈时，131()1log 2x x <<，故选项D 正确； 故选：BD14．（多选）（2021·全国高三专题练习）若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ可能取值是（ ） A ．32B．C ．3 D ．92【答案】AB【解析】由条件可知1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥是真命题， 即22112x x x xλ+≤=+，即min 112,,22x x x λ⎛⎫⎡⎤≤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，设()112,22f x x x x ⎡⎤=+≥=∈⎢⎥⎣⎦等号成立的条件是112,222x x x ⎡⎤=⇒=∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x的最小值是即λ≤AB. 故选：AB15．（2021·江西高三其他模拟（文））已知命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】18a >【解析】因为命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题， 所以命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是真命题，当0a =时，得2x <，故命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是假命题，不合题意；当0a ≠时，得0180a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得18a >.故答案为：18a >16．（2021·全国高三专题练习）若“存在x ∴[﹣1，1]，3210x x a ⋅++>成立”为真命题，则a 的取值范围是___．【答案】9(,)2-+∞【解析】存在x ∴[﹣1，1]，3210xxa ⋅++>成立，即213x xa +-<在[1,1]x ∈-上有解， 设2121()333x xx xf x +⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[1,1]x ∈-， 易得y ＝f (x )在[﹣1，1]为减函数， 所以()[(1),(1)]f x f f ∈-，即213()3332f x +≤≤+，即91()2f x ≤≤， 即92a -<，所以92a >-， 故答案为：9(,)2-+∞．17．（2020·江西高三其他模拟（文））若命题:p x R ∃∈，210x mx -+<为假命题，则m 的取值范围是______． 【答案】[]22-,【解析】命题:p x R ∃∈，210x mx -+<为假命题，p ∴⌝：x R ∀∈，210x mx -+≥为真命题，则240m ∆=-≤，解得22m -≤≤，即m 的取值范围是[]22-,. 故答案为：[]22-,. 18．（2020·北京密云区·高三期中）若“01x ∃>，使得11x a x +<-.”为假命题，则实数a 的最大值为___________. 【答案】3【解析】由“∴x 0>1，使得11x a x +<-.”为假命题，可知，“11,1x x a x ∀>+≥-”为真命题， 11a x x ∴≤+-恒成立，由11111311x x x x +=-++≥=--，当且仅当2x =时取等号， 即a 的最大值为3. 故答案为：3.19．（2021·湖南永州市·高三二模）若对[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】解：因为[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，所以[]1,2x ∀∈，都有1a x≤，令()1g x x =，[]1,2x ∈，因为()1g x x=，在[]1,2x ∈上单调递减，所以()()min 122g x g ==，所以12a ≤，即实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦20．（2020·全国高三月考（文））已知命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>，命题:q m a <；若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______.【答案】()+∞【解析】设命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>成立对应的m 的范围为集合A ，{}|B m m a =<若()0,x ∀∈+∞，223x mx +>，则32x m x +>，所以min 32m x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭而32x x +≥32x x =，即x =时等号成立，所以min32x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭m <{|A m m =<，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B，所以a > 即实数a的取值范围为()+∞.故选答案为：()+∞21．（2020·凌海市第二高级中学高三月考）命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题，则实数t 的取值范围是__________. 【答案】(),1-∞- 【解析】命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题，且20x ≥，10t ∴+<，则1t <-，故实数t 的取值范围是(),1-∞-.故答案为：(),1-∞-.22．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明()2511222n n N -*++++∈能被31整除时，从k 到1k +添加的项数共有__________________项（填多少项即可）． 【答案】5【解析】当n k =时，原式为：251122...2k -++++，当1n k =+时，原式为251551525354122...222222k k k k k k -+++++++++++++， 比较后可知多了55152535422222k k k k k ++++++++，共5项. 故答案为：523．（2020·浙江高三其他模拟）用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++，第一步应验证的等式是__________；从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的等式是_________.【答案】11122-=()()1121121k k -+-+ 【解析】当1n =时，应当验证的第一个式子是11122-=，从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的式子是()()1121121k k -+-+24．（2021·全国高三专题练习）设数列{}n a 满足11a =，12(23)n n a a n +=--. （1）计算2a ，3a .猜想{}n a 的通项公式并利用数学归纳法加以证明； （2）记2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）23a =，35a =，21n a n =-；证明见解析；（2）1(23)26n n S n +=-⨯+.【解析】（1）由题意可得2121213a a =+=+=，3221615a a =-=-=， 由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， 即21n a n =-， 证明如下：当1n =时，12111a =⨯-=成立； 假设n k =时，21k a k =-成立.那么1n k =+时，12(23)2(21)(23)212(1)1k k a a k k k k k +=--=---=+=+-也成立. 则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =-成立；（2）因为(21)2n n b n =-.∴23123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯，∴ 23412123252(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，∴∴-∴得：2341222222222(21)2n n n S n +-=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()211122122(21)26(23)212n n n n n -++⨯-=+--⨯=---⨯-.∴1(23)26n n S n +=-⨯+.25．（2020·全国高三专题练习）已知数列{}n a 满足：11a =，点()()*1,n n a a n +∈N 在直线21y x =+上.（1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.【答案】（1）2343,7,15a a a ===，21n n a =-；（2）证明见解析.【解析】（1）因为点()()*1,n n a a n N +∈在直线21y x =+上所以121n n a a +=+， 因为11a =，故22113a =⨯+=，32317a =⨯+=， 427115a =⨯+=，由上述结果，猜想：21nn a =-.（2）1︒，当1n =时，1211a =-=成立，2︒，假设当()1,n k k k N =≥∈时，21kk a =-成立，那么，当1n k =+时，()1121221121kk k k a a ++=+=-+=-成立，由1︒，2︒可得21nn a =-.26．（2020·黑龙江哈尔滨市·高三月考（理））已知数列{}n a 满足1a m =，2n a ≠，11210n n n a a a ++-⋅-=. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 【答案】（1）212a m =-，3232m a m -=-，43243ma m-=-；（2）()()()121n n n m a n n m ---=--；证明见解析.【解析】1）因为11210n n n a a a ++-⋅-=，2n a ≠，所以112n na a +=-，又因为1a m = 211122a a m ==--，3212232m a a m -==--，43132243ma a m-==-- （2）()()()121n n n ma n n m---=--证明：1n =时，()1011ma m --==，结论成立 假设n k =时，结论成立，即()()()121k k k ma k k m---=--当1n k =+时：()()()()()()()()()11111122211221211k kk k m a k k m k k m k k m a k km k k m k k m+--====-------+--+------ 结论成立.综上，数列通项为()()()121n n n m a n n m---=-- 27（2020·云南师大附中高三月考（理））设数列{}n a 满足11a =，23a =，当()11112n n n n n a a a n a a -+-+=+++.（1）计算3a ，4a ，猜想{}n a 的通项公式，并加以证明. （2）求证：()()()2221244474111n a a a +++<+++. 【答案】（1）35a =，47a =，21n a n =-，证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）解：由11a =，23a =， 所以()123121225a a a a a +=++=+，()234231327a a a a a +=++=+. 猜想：21n a n =-，证明：当2n =时，由11a =，23a =，故成立；假设n k =（2k ≥）时成立，即21k a k =-， 所以()()1111221211k k k k k a a a k k k a a -+-+=++=+=+-+，即当1n k =+时成立，综上所述，21n a n =-. （2）证明：由（1）知，()22411n n a =+， 所以()()()22212444111n a a a ++++++22222211111111221311n n =+++<++++--- ()()1111132411n n =++++⨯⨯-+111111111111232435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭11117112214n n ⎛⎫=++--< ⎪+⎝⎭，证毕.。
逻辑连接词
逻辑连接词逻辑连接词，也被称为连词、连接词或连接词汇，是用来连接两个句子、短语或单词的词语。
它们在句子中起到连接和衔接关系的作用，使得文章更加连贯和通顺。
在写作中，正确使用逻辑连接词非常重要，可以使句子之间的关系更加明确，使文章结构更加清晰。
下面我将介绍一些常用的逻辑连接词，并给出使用示例。
1. 并列连接词：并列连接词用来连接并列的句子、短语或单词，表示相同、相似或并列的关系。
例如：- 而且（用来连接两个或多个陈述意见或事实的句子）：我喜欢旅行，而且我认为旅行可以增长见识。
- 或者（用来表示选择）：你可以选择去看电影或者去逛商场。
- 并且（用来连接两个相似的陈述或动作）：她努力工作，并且她总是取得好成绩。
2. 递进连接词：递进连接词用来表示递进或增加的关系，表明后面的内容与前面的内容相比更进一步或更加详细。
例如：- 而且（用来表示进一步补充）：他不仅会弹钢琴，而且还会演奏吉他。
- 此外（用来表示另外增加的信息）：我喜欢旅行。
此外，我也喜欢尝试不同的美食。
- 而且还（用来进一步增加信息）：这座城市不仅风景优美，而且还有许多历史名胜古迹。
3. 转折连接词：转折连接词用来表示转折或对比的关系，表明后面的内容与前面的内容相比有所不同。
例如：- 但是（用来表示转折）：我很喜欢运动，但是我不太擅长游泳。
- 然而（用来表示转折或对比）：他刚开始很有信心，然而最后还是失败了。
- 尽管（用来表示让步）：尽管下雨了，但是我们还是决定去露营。
4. 因果连接词：因果连接词用来表示因果关系，表明前面的内容是后面内容的原因或结果。
例如：- 因为（用来表示原因）：我昨天没有上课，因为我生病了。
- 所以（用来表示结果）：她努力学习，所以她考试取得了好成绩。
- 由于（用来表示原因）：由于天气不好，比赛被取消了。
5. 条件连接词：条件连接词用来表示条件关系，表明后面的内容是前面内容的条件。
例如：- 如果（用来表示假设或条件）：如果你明天有时间，我们可以一起去看电影。
1.3简单的逻辑连接词,全称量词与存在量词
解析:命题 p:存在 x∈R,使 tan x=1 是真命题,命题 q:x -3x+2<0 的解集 是{x|1<x<2}也是真命题,∴ ①命题“p 且 q”是真命题;②命题“p 且(������ q)”是假 命题;③命题“(������ p)或 q”是真命题;④命题“(������ p)或(������ q)”是假命题,故应选 D.
1 2 2
5 2
2
解析:由 sin x= >1,可得命题 p 为假;由 x +x+1= ������ +
2
5
2
+ ≥ ,可得
4 4
3
3
命题 q 为真,则命题“p 且 q”是假命题;命题“p 且(������ q)”是假命题;命题“(������ p)且 q”是真命题;命题“(������ p)或(������ q)”是真命题.
1.命题 p:x2+y2<0;q:x2+y2≥0.下列命题为假命题的是( B ). A.p 或 q C.q B.p 且 q D.������ p
一轮复习简单逻辑连接词全称命题特称命题(含答案)
一轮复习简单逻辑连接词全称命题特称命题(含答案)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断p q p且q p或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定x∈M，p(x)x0∈M，p(x0)x0∈M，p(x0)x∈M，p(x)1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(×)(2)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)(3)已知命题p：n0∈N,2n0＞1 000，则p：n0∈N，2n0≤1 000.(×)(4)命题“x∈R，x2≥0”的否定是“x∈R，x2＜0”．(×)2．(2014·重庆卷)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0； q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧q C ．p ∧qD ．p ∧q 解析 由题意知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，故q 为真命题，所以p ∧q 为真命题．答案 A3．(2014·湖南卷)设命题p ：x ∈R ，x 2＋1＞0，则p 为( ) A ．x 0∈R ，x 20＋1＞0 B ．x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．x 0∈R ，x 20＋1＜0D ．x ∈R ，x 2＋1≤0解析 “x ∈R ，x 2＋1＞0”的否定为“x 0∈ R ，x 20＋1≤0”，故选B. 答案 B4．若命题“x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a ＜0.综上，－8≤a ≤0. 答案 [－8,0]5．(人教A 选修1－1P26A3改编)给出下列命题： ①x ∈N ，x 3＞x 2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ③x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直． 则以上命题的否定中，真命题的序号为________． 答案 ①②③考点一含有逻辑联结词的命题及其真假判断【例1】(1)(2014·辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()A．p∨q B．p∧qC．(p)∧(q) D．p∨(q)(2)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(p)∨(q) B．p∨(q)C．(p)∧(q) D．p∨q解析(1)由于a，b，c都是非零向量，∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴p是真命题．命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反．故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，(p)∧(q)，p∨(q)都是假命题．(2)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选 A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．选A.答案(1)A(2)A规律方法若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可．【训练1】 (1)若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．p是真命题D．q是真命题(2)“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件．解析(1)因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；因为函数y＝x－1x的单调递增区间(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p为假命题，q为真命题，故选D.(2)若命题“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题．若命题“p∧q”为真命题，则p，q都为真命题，因此“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的必要不充分条件．答案(1)D(2)必要不充分考点二全(特)称命题的否定及其真假判定【例2】 (1)(2014·安徽卷)命题“x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．x∈R，|x|＋x2＜0 B．x∈R，|x|＋x2≤0C．x0∈R，|x0|＋x20＜0 D．x0∈R，|x0|＋x20≥0(2)(2014·沈阳质量监测)下列命题中，真命题的是()A．x∈R，x2＞0 B．x∈R，－1＜sin x＜1C．x0∈R,2x0＜0 D．x0∈R，tan x0＝2解析 (1)全称命题的否定是特称命题，即命题“x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定为“x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0”．故选C.(2)x ∈R ，x 2≥0，故A 错；x ∈R ，－1≤sin x ≤1，故B 错；x ∈R,2x ＞0，故C 错，故选D.答案 (1)C (2)D规律方法 (1)对全(特)称命题进行否定的方法有：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定．(2)判定全称命题“x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．【训练2】 命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是( ) A ．对任意实数x ，都有x ＞1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x ，都有x ≤1 D ．存在实数x ，使x ≤1解析 “存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C. 答案 C考点三 与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题【例3】 已知p ：x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]解析 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.答案 A规律方法 以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q ”“p ∧q ”“p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．【训练3】已知命题p：“x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“x∈R，使得x2＋4x＋a ＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由x∈[0,1]，a≥e x，得a≥e；由x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.答案[e,4]微型专题利用逻辑关系判断命题真假2014年高考试题新课标全国Ⅰ卷中考查了一道实际问题的逻辑推理题，这也是今后高考命题的新趋向，大家应加以重视，解决问题的关键是弄清实际问题的含义，结合数学的逻辑关系进行转化．【例4 (1)(2014·新课标全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．点拨找出符合命题的形式，根据逻辑分析去判断真假．解析(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.(2)由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．答案(1)A(2)一点评在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题.[思想方法]1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”、“非”字眼，要结合语句的含义理解．2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与?p→真假相反．3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．[易错防范]1．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p 的结论．2．命题的否定包括：(1)对“若p，则q”形式命题的否定；(2)对含有逻辑联结词命题的否定；(3)对全称命题和特称命题的否定，要特别注意下表中常见词语的否定.词语词语的否定等于不等于大于不大于(或小于等于)小于不小于(或大于等于)是不是一定是不一定是都是不都是(至少有一个不是)必有一个一个也没有任意的某一个且或或且至多有一个至少有两个基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2014·湖北卷)命题“?x∈R，x2≠x”的否定是()A．?x?R，x2≠x B．?x∈R，x2＝x C．?x?R，x2≠x D．?x∈R，x2＝x 解析原命题的否定为“?x∈R，x2＝x”．答案D2．(2014·天津卷)已知命题p：?x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则?p为()A．?x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．?x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1C．?x＞0，总有(x＋1)e x≤1D．?x≤0，总有(x＋1)e x≤1解析命题p为全称命题，所以?p：?x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1.答案B3．(2015·海淀区模拟)已知命题p：?x∈R，x2＋x－1＜0，则?p为()A．?x∈R，x2＋x－1＞0 B．?x∈R，x2＋x －1≥0C．?x?R，x2＋x－1≥0D．?x?R，x2＋x －1＞0解析含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即?p：?x∈R，x2＋x－1≥0.答案B4．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．?p∨q B．p∧qC．?p∧?q D．?p∨?q解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上面叙述中只有?p∨?q为真命题．答案D5．(2014·湖北七市(州)联考)已知命题p：?x∈R，cos x＝54；命题q：?x∈R，x2－x＋1＞0，则下列结论正确的是()A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题(?p)∧(?q)是真命题D．命题(?p)∨(?q)是真命题解析易判断p为假命题，q为真命题，从而只有选项D正确．答案D6．下列命题中的假命题是()A．?x0∈R，lg x0＝0 B．?x0∈R，tan x0＝3C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R,2x＞0解析当x＝1时，lg x＝0，故命题“?x0∈R，lg x0＝0”是真命题；当x＝π3时，tan x＝3，故命题“?x0∈R，tan x0＝3”是真命题；由于x＝－1时，x3＜0，故命题“?x∈R，x3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对?x∈R,2x＞0，故命题“?x∈R,2x＞0”是真命题．答案C7．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是()A．p为真B．?q为假C．p∧q为假D．p∨q为真解析p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．答案C8．(2015·武汉调研测试)已知命题p ：?φ∈R ，使f (x )＝sin(x ＋φ)为偶函数；命题q ：?x ∈R ，cos 2x ＋4sin x －3＜0，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(?p )∨qC ．p ∨(?q )D ．(?p )∧(?q )解析 利用排除法求解．?φ＝π2，使f (x )＝sin(x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x 是偶函数，所以p 是真命题，?p 是假命题；?x ＝π2，使cos 2x ＋4sin x －3＝－1＋4－3＝0，所以q 是假命题，?q 是真命题．所以p ∧q ，(?p )∨q ，(?p )∧(?q )都是假命题，排除A ，B ，D ，p ∨(?q )是真命题，故选C.答案 C二、填空题9．(2014·合肥质量检测)命题p ：?x ≥0，都有x 3－1≥0，则?p 是________． 答案 ?x 0≥0，有x 30－1＜0.10．命题“?x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x 0＞sin x 0”的否定是________． 答案 ?x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ≤sin x 11．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集是{x |x ＞－b a }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )＜0的解集是{x |a ＜x ＜b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“?p ”、“?q ”中，是真命题的有________．解析 依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“?p ”为真、“?q ”为真．答案 ?p 、?q12．下列结论：①若命题p ：?x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：?x ∈R ，x 2－x ＋1＞0.则命题“p ∧?q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：若“x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧?q 为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.答案 ①③能力提升题组(建议用时：15分钟)13．(2014·衡水中学调研)给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1e x ＋1为偶函数．下列说法正确的是( ) A ．p ∨q 是假命题B ．(?p )∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．(?p )∨q 是真命题解析 对于命题p ：令y ＝f (x )＝ln[(1－x )(1＋x )]，由(1－x )(1＋x )＞0，得－1＜x ＜1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，又∵f (－x )＝ln[(1＋x )(1－x )]＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，∴命题p 为真命题；对于命题q ：令y ＝f (x )＝e x －1e x ＋1，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1e x －11e x ＋1＝1－e x1＋e x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，∴命题q 为假命题，∴(?p )∧q 是假命题，故选B. 答案 B14．(2014·湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是( )A ．?α ，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．?φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．?m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．?a ＞0，函数f (x )＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点解析 对于A ，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B ，当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数；对于C ，当m ＝2时，f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3＝x －1＝1x ，满足条件；对于D ，令ln x ＝t ，?a ＞0，对于方程t 2＋t －a＝0，Δ＝1－4(－a )＞0，方程恒有解，故满足条件．综上可知，选B.答案 B15．(2014·北京海淀区测试)若命题“?x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析 由已知得“?x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，则Δ＝m 2－4×1×(2m －3)＝m 2－8m ＋12≤0，解得2≤m ≤6，即实数m 的取值范围是2≤m ≤6.答案 [2,6]16．已知命题p ：“?x ∈R ，?m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题?p 是假命题，则实数m 的取值范围是__________．解析 若?p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.答案 (－∞，1]17．已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c的取值范围是________．解析 由命题p 为真知，0＜c ＜1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c ＜2，即c ＞12，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0＜c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)。
§1.2 简单的逻辑联结词(一)或且非
（3）平行线不相交
解：（1）中的命题是p且q的形式，其中p：24是8的倍数；q：24是6的倍数.
（2）的命题是p或q的形式，其中p：李强是篮球运动员；q：李强是跳高运动员.
（3）命题是非p的形式，其中p：平行线相交。
例2:判断下列命题的真假：
（1）４≥３（2）４≥４（3）４≥５
（2）．用“或”“且”“非”填空，使命题成为真命题：
①x∈A∪B，则x∈A__________x∈B；
②x∈A∩B，则x∈A__________x∈B；
③a、b∈R，a＞0__________b＞0，则ab＞0．
（3）．把下列写法改写成复合命题“p或q”“p且q”或“非p”的形式：
①（a－2）（a+2）=0；②a＞b≥0．
命题S：两次都击中飞机；
命题r：两次都没击中飞机；
命题t：恰有一次击中了飞机；
命题u：至少有一次击中了飞机.
２．课外作业
教材第10页练习1,2,3第10页习题3
]பைடு நூலகம்
解：（1）“４≥３”的含义是“4＞3或4＝3”,其中“4＞3”是真命题，所以“４≥３”是真命题
（2）“４≥４”的含义是“4＞４或4＝４”,其中“４＝４”是真命题，所以“４≥３”是真命题
（3）“４≥５”的含义是“4＞５或4＝５”,其中“４＞5”与“４＝5”都是假命题，所以“４≥５”是假命题
例3:分别指出下列复合命题的形式
江苏省华冲中学
高二数学备课组教学设计共同方案
课题
§1.2简单的逻辑联结词（一）或且非
主备课人
殷棣康
备课时间
2007.10.27
审核人
教学目标
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能正确利用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容，理解复合命题的结构，区分命题的否定与否命题.
1.3.2 简单的逻辑连接词：非(not)
1.3.2简单的逻辑连接词：非(not)学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“¬p”命题.2.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别.知识点一命题的否定思考1观察下列两个命题：①p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根；②p：y＝cos x是偶函数；q：y＝cos x不是偶函数，它们之间有什么关系？逻辑联结词中“非”的含义是什么？答案命题q是对命题p的否定，非表示“否定”“不是”“问题的反面”等.思考2你能判断思考1中问题所描述的两个命题的真假吗？p的真假与¬p的真假有关系吗？答案①p为真命题，q为假命题；②p为真命题，q为假命题.若p为真命题，则¬p为假命题.(1)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”.“¬p”形式命题：若p是真命题，则¬p必是假命题；若p是假命题，则¬p必是真命题. (2)逻辑联结词中“非”与生活中的“非”含义一致，表示“否定”“问题的反面”等，若把p看作集合A，则¬p就是集合A的补集.知识点二命题的否定与否命题的区别思考已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定. 答案命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；命题p 的否定：平行四边形的对角线不相等.(1)命题的否定只否定结论，否命题既否定结论也否定条件，这是区分两者的关键，解答此类问题，首先要找出命题的条件与结论，再作出准确的否定.(2)注意常见词语的否定形式：类型一命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：实数的绝对值都大于0；(3)p：菱形的对角线垂直平分；(4)p: 若xy＝0，则x＝0或y＝0.解(1)¬p：y＝sin x不是周期函数，假命题.(2)¬p：实数的绝对值不都大于零，真命题.(3)¬p：菱形的对角线不垂直或不平分，假命题.(4)¬p：若xy＝0，则x≠0且y≠0. 假命题.反思与感悟¬p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反.对一些词语的正确否定是写¬p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”等.跟踪训练1写出下列命题的否定形式，并判断真假.(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；(3)实数a、b、c，满足abc＝0，则a、b、c中至少有一个为0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形.真命题.(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零.假命题.(3)实数a、b、c，满足abc＝0，则a、b、c中至多有两个为0.假命题.类型二命题的否定与否命题例2写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；(2)若x2－3x－10＝0，则x＝－2或x＝5.解(1)命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题；命题的否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题.(2)命题的否定：若x2－3x－10＝0，则x≠－2且x≠5，为假命题；命题的否命题：若x 2－3x －10≠0，则x ≠－2且x ≠5，为真命题.反思与感悟 命题的否定是对命题的全盘否定，否定的是命题的结论，其真假性和原命题相反；而否命题对条件、结论均进行否定，其真假性和原命题的真假性没有关系. 跟踪训练2 写出下列各命题的非(否定). (1)p ：“a ≥5，且b ≥3”； (2)q ：三条直线两两相交； (3)r ：一元二次方程至多有两个解； (4)s ：2<x ≤3.解 (1)非p ：a ＜5，或b ＜3. (2)非q ：三条直线不都两两相交. (3)非r ：一元二次方程至少有三个解. (4)非s ：x ≤2或x >3.类型三 p ∧q ，p ∨q 与¬p 的应用例3 已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式x 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立，若p ∨q 为真命题，(¬p )∨(¬q )也为真命题，求实数a 的取值范围.解 ∵y ＝a x 在R 上为增函数， ∴命题p ：a >1.∵不等式x 2－ax ＋1>0在R 上恒成立， ∴应满足Δ＝a 2－4<0，即0<a <2， ∴命题q ：0<a <2.由p ∨q 为真命题，则p 、q 中至少有一个为真. 由(¬p )∨(¬q )也为真，则¬p 、¬q 中至少有一个为真， 可得p 、q 至少有一个为假， ∴p 、q 中有一真、一假.①当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥2，∴a ≥2；②当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，0<a <2，∴0<a ≤1.综上知，a 的取值范围为{a |a ≥2或0<a ≤1}.反思与感悟 由真值表可判断p ∨q 、p ∧q 、¬p 命题的真假，反之，由p ∨q ，p ∧q ，¬p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况.一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集.跟踪训练3 已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根.若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围.解 p ：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2.q ：Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0， 解得1<m <3.∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3， ∴m 的取值范围为{m |m ≥3或1<m ≤2}.1.若p 是真命题，q 是假命题，则( ) A.p 且q 是真命题 B.p 或q 是假命题 C.非p 是真命题 D.非q 是真命题答案 D解析 “p 且q ”一假即假，A 错；“p 或q ”一真即真，B 错；“非p ”与“p ”，“非q ”与“q ”真假相反，故C 错，D 对.2.已知命题“p 或q ”为真，“非p ”为假，则必有( ) A.p 真q 假 B.q 真p 假 C.q 真p 真 D.p 真，q 可真可假 答案 D解析 ∵非p 为假，∴p 为真.∵p 或q 为真，∴q 可真可假.3.p ：100既能被4整除，又能被5整除，¬p 为________________________. 答案 100不能被4整除，或不能被5整除4.已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非q . 其中真命题是________(只填序号). 答案 ②④解析 由于命题p 是真命题；命题q 是假命题，由真值表可知：p 且q 为假；p 或q 为真；非p 为假；非q 为真，所以真命题是②④.5.分别判断由下列命题构成的“p 且q ” “p 或q ”“非p ”形式的命题的真假.(1)p：函数y＝x2和函数y＝2x的图象有两个交点；q：函数y＝2x是增函数.(2)p：∅{0}，q：0∈∅.解(1)∵命题p是真命题，命题q是真命题，∴p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题.(2)∵p是真命题，q是假命题，∴p且q为假命题，p或q为真命题，非p为假命题.1.若命题p为真，则“¬p”为假；若p为假，则“¬p”为真，类比集合知识，“¬p”就相当于集合P在全集U中的补集∁U P.因此(¬p)∧p为假，(¬p)∨p为真.2.命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别.一、选择题1.如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么()A.命题p不一定是假命题B.命题q一定是真命题C.命题q不一定是真命题D.命题p与命题q的真值相同答案 B解析“非p”为真命题，则命题p为假，又p或q为真，则q为真，故选B.2.命题“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”是()A.“p∨q”形式的命题B.“p∧q”形式的命题C.“¬p”形式的命题D.以上都不对答案 B3.已知命题p：x∈A∪B，则p的否定是()A.x∉A且x∉BB.x∉A或x∉BC.x∉A∩BD.x∈A∩B答案 A解析x∈A∪B即x∈A或x∈B，∴¬p：x∉A且x∉B.4.如果命题“¬(p∨q)”为假命题，则()A.p、q均为真命题B.p、q均为假命题C.p、q至少有一个为真命题D.p、q中至多有一个为假命题答案 C解析“¬(p∨q)”为假命题，则“p∨q”为真命题，即p、q中至少有一个为真命题.5.已知命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∨qC.¬pD.(¬p)∧(¬q)答案 B解析∵p为真，q为假，¬q为真.∴p∧q为假，p∨q为真，¬p为假，(¬p)∧(¬q)为假，故选B.6.已知条件p：a≤1，条件q：|a|≤1，则¬p是¬q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析由|a|≤1得－1≤a≤1，∴¬p：a>1，¬q：a<－1或a>1，∴¬p⇒¬q，但¬q⇒/ ¬p，故选A.7.已知命题p：若x2－3x＋2＝0，则x＝1；命题q：互斥事件一定是对立事件，则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧(¬q)C.p∨qD.(¬p)∨q答案 D解析由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，故p为假命题，又q为假命题，∴p∨q、p∧q都是假命题，又¬p为真命题，∴(¬p)∨q为真命题，故选D.二、填空题8.已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面. 命题p ：若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ； 命题q ：若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β；下面的命题中：①p ∨q ；②p ∧q ；③p ∨(¬q )；④(¬p )∧q .真命题的序号是________(写出所有真命题的序号). 答案 ①④解析 易知p 是假命题，q 是真命题. ∴¬p 为真，¬q 为假，∴p ∨q 为真，p ∧q 为假，p ∨(¬q )为假，(¬p )∧q 为真.9.已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z .若“p ∧q ”，“¬q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为________________. 答案 {－1,0,1,2}解析 因为“p ∧q ”为假，“¬q ”为假，所以q 为真，p 为假.故⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x <6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3，x ∈Z ，因此x 的值可以是－1,0,1,2.10.已知命题p ：x 2＋2x －3>0，命题q ：13－x>1，若“¬q 且p ”为真，则x 的取值范围是______________________.答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞) 解析 由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1， ∴p ：x <－3或x >1. 由13－x >1，得x －2x －3<0， ∴2<x <3.∴q ：2<x <3，¬q ：x ≤2或x ≥3.若“¬q 且p ”为真，则有⎩⎪⎨⎪⎧x <－3或x >1，x ≤2或x ≥3，∴x <－3或1<x ≤2或x ≥3. 三、解答题11.分别指出由下列各组命题构成的新命题“p ∨q ”“p ∧q ”“¬p ”的真假. (1)p ：梯形有一组对边平行， q ：梯形有一组对边相等；(2)p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ， q ：不等式x 2－3x －4<0的解集为∅.解 (1)p 真、q 假，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“¬p ”为假.(2)不等式x 2－2x ＋1>0的解集为{x |x ≠1}，∴p 假； 不等式x 2－3x －4<0的解集为{x |－1<x <4}，∴q 假. 故“p ∨q ”为假，“p ∧q ”为假，“¬p ”为真.12.设命题p ：实数x 满足(x －a )(x －3a )<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足x －3x －2≤0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 解 (1)∵a ＝1，∴不等式化为(x －1)(x －3)<0， ∴1<x <3；由x －3x －2≤0得，2<x ≤3. ∵p ∧q 为真，∴2<x <3.(2)∵¬p 是¬q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件， 又q ：2<x ≤3，p ：a <x <3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a >3，∴1<a ≤2. 13.已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p ∨q ”与“¬q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围. 解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0x 1＋x 2>－2(x 1＋1)(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎨⎧a >0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4，∴0≤a <4.因为“p ∨q ”与“¬q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1].。
[整理版]逻辑连接词与量词
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逻辑连接词与量词【考点导读】1.了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．2.理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础知识】1、简单的逻辑联结词逻辑联结词有，不含的命题是简单命题．由的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种：，(其中p，q都是简单命题)．2、量词（1）短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。
（2）短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词。
含有存在量词的命题，叫做特称命题。
全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题。
3、真值表p q p 且q p 或q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真4、全称命题及存在性命题的真假判定【基础题回顾】1.判断下列命题是全称命题：存在性命题:1)任何实数的平方都是非负数; 2)任何数与0相乘,都等于0; 3)任何一个实数都有相反数;4)△ABC的内角中有锐角.2.判断下列命题是真命题的是：:1)中国的所有的江河都流入太平洋2)有的四边形既是矩形,又是菱形;3)实系数方程都有实数解; 4)有的数比它的倒数小;3.写出命题“中学生的年龄都在15以上”的否定: ;4.写出命题” x∈R,x2>x”的否定:5. 写出命题” 6是2的倍数也是4的倍数”的否命题：【典型例题】例1．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断其真假．（1）相似三角形周长相等或对应角相等；（2）9的算术平方根不是3；（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．变式训练1.写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的命题，并判断真假.（1）p ：2是4的约数，q ：2是6的约数； （2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；（3）p ：方程210x x -+=的两实根的符号相同，q ：方程210x x -+=的两实根的绝对值相等.例2. 写出下列命题的否定：(1)所有人都晨练;(2) ∀ x ∈R,x 2+x+1>0; (3)平行四边形的对边相等;(4) ∃x ∈R,x 2-x+1=0变式训练2.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p ：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p ：每一个非负数的平方都是正数；（3）p ：存在一个三角形，它的内角和大于180°；（4）p ：有的四边形没有外接圆；（5）p ：某些梯形的对角线互相平分.例 3. p:关于x 的不等式{},0|1<>x x a x的解集是q ：函数2l g ()y a x x a =-+的定义域为R ,P Q a 如果和有且只有一个正确，求的取值范围。
1.3.1逻辑联结词“且”或“‘非’
分析：
因为p 和 q都是假命题， 所以p ∨ q一定是假命题， 而 A 的表述明显是真命题， 因此正确答案是 B .
课堂小结
“或”的概念 ： 逻辑联结词 “或” : p ∨ q 读作：p或 q
“或”的判断方法 ：
当p，q 两个命题中有一个 命题是真命题时 p ∨ q 是真命题;
•当p，q 两个命题中都是 命题是假命题时， p ∨ q是假命题.
1．分别用“p或q”、“p且q”、“非p”填空： 命题“非空集A∪B中的元素是A中的 元素或B中的元素” 是__p_或__q___的形式．
2. p：菱形的对角线互相垂直， q：菱形的对角线互相平分 p或q形式的复合命题是
菱__形__的__对__角__线__互__相__垂__直__或__互__相__平__分__.
例1
判断下列命题的真假： (1) 2≤2; (2) 集合A是 A∩B的子集或A∪B
的子集; (3) 周长相等的两个三角形全等或
面积相等的两个三角形全等.
(1) 2≤2;
解：
（1）命题“2≤2”是由命题：
p：2=2；q：2 < 2
用“或”联结后构成的新命题，即 p∨q. 因为p是真命题，所以p ∨ q 是真
这句话中p为真，q为真， 就说明这句话是对的.
下列三个命题间有什么关系?
(1) 12能被3整除; (2) 12能被4整除; (3) 12能被3整除且能被4整除.
可以看出… 命题（3）是由 命题（1）和（2）用 联结词“且”连接起来的.
一般地,用逻辑联结词 “且” 把命题 p 和命题 q 联结起来.就得到 一个新命题,记作：
命题，所以原命题为真命题.
(2) 集合A是 A∩B的子集或A∪B的子
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简单逻辑连接词——或、且、非
基本题型
4、若命题“ p q ”为假，且“ p ”为假，则 B （ ） A．p或q为假 B.q假 C ． p真 D．不能判断q的真假
简单逻辑连接词——或、且、非
基本题型
2 5、已知命题 p :x x 6 , q :x Z 且“ p且q ”与“ 非q ”同时为假命 题， 求x的值。 2
x x ＜6且x∈Z
-1、0、1、2
简单逻辑连接词——或、且、非
基本题型
6、已知p：方程x2 + mx +1=0有两个不等负根 q：方程4x2 + 4（m -2）x +1=0无实根 若p或q为真，p且q为假。求m的取值范围 答案 1< m≤2或m≥3
END
简单逻பைடு நூலகம்连接词——或、且、非
基本概念
定义、符号 1、或 2、且 3、非
简单逻辑连接词——或、且、非
基本题型
1、有下列命题： ① 年10月1日是国庆节，又是中秋节； ②10的倍数一定是5的倍数； 无 ③梯形不是矩形； ④方程x2=1的解x=±1。 其中使用逻辑联结词的命题有几个? 答案： 3个
简单逻辑连接词——或、且、非
基本题型
2、将下列命题分别用“且”与“或” 联结成 新命题“p∧q” 与“p∨q”的形式， （1）p：菱形的对角线互相垂直， q：菱形的对角线互相平分； （2）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.
简单逻辑连接词——或、且、非
基本题型
3、写出下列命题的“ p ”命题： （1）正方形的四边相等 （2）平方和为0的两个实数都为0 （3）若 ( x 1 ) ( x 2 )0 , 则 x 1 且 x 2 结论： 命题的否定否定结论 否命题否定条件和结论