高考一模理科数学试题含答案试卷分析解析
门头沟区高三综合练习（一）数学（理） .4一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 设全集U = {}0,1,2,3,4,5，集合{1,3},{3,5}A B ==，则U ()C A B =A ．｛0，4｝B ．｛1，5｝C ．｛2，0，4｝D ．｛2，0，5｝2. 复数z 满足23zi i=-，复数z 对应的点在复平面的 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D. 第四象限3.对于函数()sin (,,)f x a x bx c a b R c Z =++∈∈,计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和24. 抛物线28y x =焦点F 到双曲线22:13y C x -=的一条渐近线的距离是 A ．1 B ．2 C ．3 D 35. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为 A. 48里 B. 24里 C. 12里 D. 6里//,90AB CD DAB ∠=，且6.在直角梯形ABCD 中，222,AB CD AD P ===是BC 的中点，则PD PA ⋅为A ．94 B ．3 C ．2 D ．52DCP7. 已知函数)sin()(ϕω+=x A x f )||,0,0(πϕω<>>A 的部分图像如图所示，则“2m ≥”是“函数()f x m ≤对[0,8]x ∈恒成立”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8.某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标。
分值权重表如下： 总分 技术 商务 报价 100%50%10%40%技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的。
报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0.8分，最高得分为80分。
若报价低于基准价15%以上(不含15%)每再低1%，在80分在基础上扣0.8分。
在某次招标中，若基准价为1000（万元）。
甲、乙两公司综合得分如下表： 公司 技术 商务 报价甲 80分 90分 A 甲分 乙70分100分A 乙分甲公司报价为1100（万元），乙公司的报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别是 A ．73，75.4 B ．73,80 C ．74.6,76 D ．74.6 ,75.4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分. ） 9. 261()x x-的展开式中6x 的系数是 。
10．某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300,300,400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，现在从答卷中随机抽取一张，恰好是高三学生的答卷的概率是 。
11．直线cos 3(sin3x t t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）截圆:4cos C ρθ=所得的弦长为 。
12．某程序框图如图所示，则输出的结果S 是 。
13.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点P 若满足12PF PF ⊥，12,F F 为椭圆的两个焦点，称这样的点P 为椭圆的“焦垂点”。
椭圆22142x y +=有 个“焦垂点”；请你写出椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上有4个“焦垂点”时所满足的条件 。
14．已知函数22ln ()(31)(21)x x a f x x a a a x a ⎧≥=⎨--++-+<⎩，若存在正实数b 使得 ()()g x f x b =-有四个不同的零点，则正实数a 的取值范围 。
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分.） 15. （本小题满分13分） 在ABC ∆中，B =120o ，2,AB =，A ∠的角平分线3AD =,（1）求ADB ∠的大小； （2）求AC 的长。
16．（本小题满分13分）第24届冬奥会将在北京举行。
为了推动我国冰雪运动的发展,京西某D区兴建了“腾越”冰雪运动基地。
在来“腾越”参加冰雪运动的人员中随机抽查100员运动员，他们的身份分布如下：注:将上表中的频率视为概率(1)求来“腾越”参加冰雪运动的人员中，小学生的概率；(2) 若将上表中的频率视为概率，X 表示来“腾越”参加运动的3人中是大学生的人数，求X 的分布列及期EX 。
17.（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，0//,2224,60,AB CD AB CD BC AD DAB AE BE====∠==PAD ∆为正三角形，且PAD ABCD ⊥平面平面，平面PEC PAD l =平面。
（1）求证：//l EC ；（2）求二面角P EC D --的余弦值；（3）是否存在线段PC （端点,P C 除外）上一点M ，使得DE AM ⊥， 若存在，指出点M 的位置，若不存在，请明理由。
18. （本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，三点123313(1,),(,(1,)2222P P P ---中恰有二点在椭圆C 上，且离心率为12e =。
（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一点，12,A A 为椭圆C 的左右顶点，M 为2PA 中点，求证：直线2PA 与直线OM 它们的斜率之积为定值；（3）若椭圆C 的右焦点为F ，过(4,0)B 的直线l 与椭圆C 交于,D E ， 求证：直线FD 与直线FE 关于直线1x =对称。
19.（本题满分14分）已知()2x be a f x x +=+在(1,(1))f --处的切线方程为11y x e=++。
（1）求()y f x =的解析式； （2）设1()(2)2)2x h x x e x x =+->-+（，求()h x 零点的个数； （3）求证：()y f x =在(2,)-+∞上单调递增。
20.（本题满分14分）已知数列{}n a 满足*111,,nn n a a a p n N +=-=∈。
（1）若1p =，写出4a 的所有值；（2）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值； （3）若12p =，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式。
门头沟区高三综合练习（一） 数学（理）评分标准.4一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分. ）三、解答题：（本大题共6小题，满分80分.） 15. （本小题满分13分） 在ABC ∆中，B =120o，AB =，A ∠的角平分线AD =（1）求ADB ∠的大小； （2）求AC 的长。
解：（1）在ABD ∆中，由正弦定理得：0sin 452sin 2sin 3AB AD ADB ADB ADB=⇒∠=⇒∠=∠ (5)分 （2）由（1）得：001530BAD BAC ∠=⇒∠=，030,BCA AB BC ∠=⇒==10分由余弦定理得：AC ==13分C16．（本小题满分13分））第24届冬奥会将在北京举行。
为了推动我国冰雪运动的发展,京西某区兴建了“腾越”冰雪运动基地。
在来“腾越”参加冰雪运动的人员中随机抽查100员运动员，他们的身份分布如下：注:将上表中的频率视为概率(1)求来“腾越”参加冰雪运动的人员中，小学生的概率；(2) 若将上表中的频率视为概率，X 表示来“腾越”参加运动的3人中是大学生的人数，求X 的分布列及期EX 。
解：(1)设来“腾越”参加冰雪运动的人员中小学生为事件B ， 则2()5P B =………………………………………………………………………………5在分 (2)X 可取0，1，2，3，………………………………………………6分，0132332323334641448(0)(),(1)()(),512555125141211(2)()(),(3)()551255125P X P X P X P X C C C C ============…………………10分35EX =…………………………………………………………………………13分注：求期望求对，就给满分。
17.（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，//,2224,60,AB CD AB CD BC AD DAB AE BE====∠==PAD ∆为正三角形，且PAD ABCD ⊥平面平面，平面PECPAD l =平面。
（1）求证：//l EC ；（2）求二面角P EC D --的余弦值；（3）是否存在线段PC （端点,P C 除外）上一点M ，使得DE AM ⊥， 若存在，指出点M 的位置，若不存在，请明理由。
解：（1）由题意可知，//CDAE CDAE =⎧⎨⎩，四边形AECD 为平行四边形，…2分////EC AD EC PAD EC PAD AD PAD ⎧⎪⊄⇒⎨⎪⊂⎩平面平面平面，又PAD PEC l =平面平面， 可得：//l EC ，……………………………………………………6分 （2）方法一：设O 是AD 中点，PAD ∆为正三角形，则PO AD ⊥，PAD ABCD ⊥平面平面，PO ABCD ⊥，………………………………………………………………8分又2AD AE ==，060DAB ∠=，所以，ADE ∆为正三角形，OE AD ⊥建立如图所示坐标系，则(P E C -，设平面PEC 法向量 为1(,,)n x y z =，(2,3,3),(0,3,PC PE =--=由120,0PC n PE n ⋅=⋅=得：1(0,1,1)n =， 平面EDC 的法向量2(0,0,1)n =，12cos ,2n n <>==， 所以，二面角P EC D --的余弦值为2……10分 方法二：设O 是AD 中点，PAD ∆为正三角形，则PO AD ⊥，PAD ABCD ⊥平面平面，PO ABCD ⊥，又2AD AE ==，所以，ADE ∆为正三角形，OE AD ⊥ OE EC ⊥，则OEP ∠为二面角P EC D --的平面角，………………8分而PO OE =，得，4OEP π∠=，二面角P EC D --的余弦值为2…10分 （3）不存在，若,DE AM DE AC ⊥⊥又，则DE PA ⊥，又DE PO ⊥， 则DE PAO DE AD ⊥⇒⊥，与3ADE π∠=矛盾，故线段PC （端点,P C 除外）上不存在点M ，使得DE AM ⊥………………………13分18. （本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，三点123313(1,),(,(1,)2222P P P ---中恰有二点在椭圆C 上，且离心率为12e =。
高考数学一模试卷(理科)含解析答案
山东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2015•山东一模）复数z=|（﹣i）i|+i5（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数模的公式求复数的模，再利用虚数单位i的运算性质化简后得z，则复数z的共轭复数可求．【解析】：解：由z=|（﹣i）i|+i5=，得：．故选：A．【点评】：本题考查复数模的求法，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．2．（5分）（2015•山东一模）若[﹣1，1]⊆{x||x2﹣tx+t|≤1}，则实数t的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[2﹣2，0] C．（﹣∞，﹣2] D．[2﹣2，2+2]【考点】：集合的包含关系判断及应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用；集合．【分析】：令y=x2﹣tx+t，由题意，将集合的包含关系可化为求函数的最值的范围．【解析】：解：令y=x2﹣tx+t，①若t=0，则{x||x2≤1}=[﹣1，1]，成立，②若t＞0，则y max=（﹣1）2﹣t（﹣1）+t=2t+1≤1，即t≤0，不成立；③若t＜0，则y max=（1）2﹣t+t=1≤1，成立，y min=（）2﹣t•+t≥﹣1，即t2﹣4t﹣4≤0，解得，2﹣2≤t≤2+2，则2﹣2≤t＜0，综上所述，2﹣2≤t≤0．故选B．【点评】：本题考查了集合的包含关系的应用，属于基础题．3．（5分）（2015•山东一模）已知M（2，m）是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，则“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据抛物线的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解析】：解：抛物线的交点坐标为F（，0），准线方程为x=﹣，则点M到抛物线焦点的距离PF=2﹣（﹣）=2+，若p≥1，则PF=2+≥，此时点M到抛物线焦点的距离不少于3不成立，即充分性不成立，若点M到抛物线焦点的距离不少于3，即PF=2+≥3，即p≥2，则p≥1，成立，即必要性成立，故“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的必要不充分条件，故选：B【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用抛物线的定义和性质是解决本题的关键．4．（5分）（2015•山东一模）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或【考点】：圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．【解析】：解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D【点评】：本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度．5．（5分）（2015•山东一模）在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）A．B．2 C．2D． 4【考点】：正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．【解析】：解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc•sinA=c•，∴c=2=b，故B=（180°﹣A）=30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，故选：B．【点评】：本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．6．（5分）（2015•山东一模）某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此几何体的外接球的表面积为（）A．3π B．4π C．2π D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线，利用球的表面积计算公式即可得出．【解析】：解：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线，其表面积S=4πR2=3π．故选：A．【点评】：本题考查了正方体的内接正四棱锥、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）（2015•山东一模）定义max{a，b}=，设实数x，y满足约束条件，则z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是（）A．[﹣8，10] B．[﹣7，10] C．[﹣6，8] D．[﹣7，8]【考点】：简单线性规划．【专题】：分类讨论；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】：由约束条件作出可行域，结合新定义得到目标函数的分段函数，然后化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解析】：解：由约束条件作出可行域如图，由定义max{a，b}=，得z=max{4x+y，3x﹣y}=，当x+2y≥0时，化z=4x+y为y=﹣4x+z，当直线y=﹣4x+z过B（﹣2，1）时z有最小值为4×（﹣2）+1=﹣7；当直线y=﹣4x+z过A（2，2）时z有最大值为4×2+1×2=10；当x+2y＜0时，化z=3x﹣y为y=3x﹣z，当直线y=3x﹣z过B（﹣2，1）时z有最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7；当直线y=﹣4x+z过A（2，﹣2）时z有最大值为4×2﹣1×（﹣2）=10．综上，z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是[﹣7，10]．故选：B．【点评】：本题是新定义题，考查了简单的线性规划，考查了数形结合及数学转化思想方法，是中档题．8．（5分）（2015•山东一模）函数y=log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则的最小值为（）A．2 B． 4 C．8 D．16【考点】：基本不等式；对数函数的图像与性质．【专题】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：现根据对数函数图象和性质求出点A的坐标，再根据点在直线上，代入化简得到2m+n=1，再根据基本不等式，即可求出结果【解析】：解：∵y=log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，当x+3=1时，即x=﹣2时，y=﹣1，∴A点的坐标为（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵m，n均大于0，∴=+=2+++2≥4+2=8，当且仅当m=，n=时取等号，故的最小值为8，故选：C【点评】：本题考查了对数函数图象和性质以及基本不等式，属于中档题9．（5分）（2015•山东一模）已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，且acosC+c=b，若a=1，c﹣2b=1，则角B为（）A．B．C．D．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：已知等式利用正弦定理化简，整理求出cosA的值，求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把a与sinA的值代入得到关于b与c的方程，与已知等式联立求出b与c 的值，再利用正弦定理求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解析】：解：已知等式利用正弦定理化简得：sinAcosC+sinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，由sinC≠0，整理得：cosA=，即A=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+c2﹣bc①，与c﹣2b=1联立，解得：c=，b=1，由正弦定理=，得：sinB===，∵b＜c，∴B＜C，则B=．故选：B．【点评】：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．10．（5分）（2015•山东一模）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=x2﹣6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（）A．1 B．C．e D．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：计算题；新定义；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】：当a=4时，函数y=H（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程为y=g （x）=（2x0+﹣6）（x﹣x0）++x02﹣6x0+4lnx0．由此能推导出y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．【解析】：解：当a=4时，函数y=h（x）在其图象上一点P（x0，h（x0））处的切线方程为：y=g（x）=（2x0+﹣6）（x﹣x0）+x02﹣6x0+4lnx0，设m（x）=h（x）﹣g（x）=x2﹣6x+4lnx﹣（2x0+﹣6）（x﹣x0）﹣x02+6x0﹣4lnx0，则m（x0）=0．m′（x）=2x+﹣6﹣（2x0+﹣6）=2（x﹣x0）（1﹣）=（x﹣x0）（x﹣）若x0＜，φ（x）在（x0，）上单调递减，∴当x∈（x0，）时，m（x）＜m（x0）=0，此时＜0；若x0，φ（x）在（，x0）上单调递减，∴当x∈（，x0）时，m（x）＞m（x0）=0，此时＜0；∴y=h（x）在（0，）∪（，+∞）上不存在“类对称点”．若x0=，（x﹣）2＞0，∴m（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，m（x）＞m（x0）=0，当x＜x0时，m（x）＜m（x0）=0，故＞0．即此时点P是y=f（x）的“类对称点”综上，y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．故选B．【点评】：本题考查函数的单调增区间的求法，探索满足函数在一定零点下的参数的求法，探索函数是否存在“类对称点”．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，此题是难题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，则实数a的值为a=1．【考点】：其他不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：不等式即|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再由已知不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，由此求得实数a的值．【解析】：解：由题意可得，不等式即|2x﹣a|≤6﹣a，∴a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再由不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，故a=1，故答案为a=1．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．12．（5分）（2015•山东一模）已知点A（2，0）抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=1：．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解析】：解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0），∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|因此可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：．故答案为：1：．【点评】：本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．13．（5分）（2015•山东一模）已知函数则=．【考点】：定积分．【专题】：导数的综合应用．【分析】：=，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（y≥0）的面积，即可得出．利用微积分基本定理即可得出dx=．【解析】：解：=，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（y≥0）的面积，∴=．又dx==e2﹣e．∴==好．故答案为：．【点评】：本题考查了定积分的几何意义、微积分基本定理，属于中档题．14．（5分）（2015•山东一模）把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为96．（用数字作答）【考点】：排列、组合及简单计数问题．【专题】：概率与统计．【分析】：根据题意，先将票分为符合题意要求的4份，可以转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号的问题，用插空法易得其情况数目，再将分好的4份对应到4个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．【解析】：解：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人一张，1人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C43=4种情况，再对应到4个人，有A44=24种情况，则共有4×24=96种情况．故答案为96．【点评】：本题考查排列、组合的应用，注意将分票的问题转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分的问题，用插空法进行解决．15．（5分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=xe x，记f0（x）=f′（x），f1（x）=f′（x0），…，f n（x）=f′n﹣1（x）且x2＞x1，对于下列命题：①函数f（x）存在平行于x轴的切线；②＞0；③f′2012（x）=xe x+2014e x；④f（x1）+x2＜f（x2）+x1．其中正确的命题序号是①③（写出所有满足题目条件的序号）．【考点】：导数的运算．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：根据导数的几何意义判断①正确，根据导数和函数的单调性判断②错；根据导数的运算，得到③正确，根据导数与函数的单调性的关系判断④错【解析】：解：对于①，因为f′（x）=（x+1）e x，易知f′（﹣1）=0，函数f（x）存在平行于x轴的切线，故①正确；对于②，因为f′（x）=（x+1）e x，所以x∈（﹣∞，﹣1）时，函数f（x）单调递减，x∈（﹣1，+∞）时，函数f（x）单调递增，故＞0的正负不能定，故②错；对于③，因为f1（x）=f′（x0）=xe x+2e x，f2（x）=f′（x1）=xe x+3e x，…，f n（x）=f′n﹣1（x）=xe x+（n+1）e x，所以f′2012（x）=f2013（x）=xe x+2014e x；故③正确；对于④，f（x1）+x2＜f（x2）+x1等价于f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2，构建函数h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1=（x+1）e x﹣1，易知函数h（x）在R上不单调，故④错；故答案为：①③【点评】：本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性的关系，以及导数的运算法则，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=2sinx+2sin（x﹣）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知f（A）=，a=b，证明：C=3B．【考点】：两角和与差的正弦函数；正弦定理．【专题】：计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】：（1）运用两角差的正弦公式，即可化简，再由正弦函数的单调增区间，即可得到；（2）由f（A）=，及0＜A＜π，即可得到A=，再由正弦定理，及边角关系，即可得证．【解析】：（1）解：函数f（x）=2sinx+2sin（x﹣）=2（sinx+sinx﹣cosx）=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣），令2kπ﹣≤x﹣≤2k，k∈Z，则2kπ﹣≤x≤2kπ，则f（x）的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ]，k∈Z．（2）证明：由f（A）=，则sin（A﹣）=，由0＜A＜π，则﹣＜A﹣＜，则A=，由=，a=b，则sinB=，由a＞b，A=，B=，C=，故C=3B．【点评】：本题考查三角函数的化简，正弦函数的单调区间，考查正弦定理及边角关系，注意角的范围，属于中档题．17．（12分）（2015•山东一模）2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：福娃名称贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮数量1 1 1 2 3从中随机地选取5只．（Ⅰ）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；（Ⅱ）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）根据排列组合知识得出P=运算求解即可．（Ⅱ）确定ξ的取值为：10，8，6，4．分别求解P（ξ=10），P（ξ=8），P（ξ=6），P（ξ=4），列出分布列即可．【解析】：解：（Ⅰ）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率P===，（Ⅱ）ξ的取值为：10，8，6，4．P（ξ=10）==，P（ξ=8）=，P（ξ=6）==，P（ξ=4）==ξ的分布列为：ξ 10 8 6 4P﹣Eξ==7.5．【点评】：本题综合考查了运用排列组合知识，解决古典概率分布的求解问题，关键是确定随机变量的数值，概率的求解，难度较大，仔细分类确定个数求解概率，属于难题．18．（12分）（2015•山东一模）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（1）求证：A1E⊥平面BEP（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（3）求二面角B﹣A1P﹣F的余弦值．【考点】：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】：空间角．【分析】：（1）设正三角形ABC的边长为3．在图1中，取BE的中点D，连结DF．由已知条件推导出△ADF是正三角形，从而得到EF⊥AD．在图2中，推导出∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角，且A1E⊥BE．由此能证明A1E⊥平面BEP．（2）建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1E与平面A1BP所成的角的大小．（3）分别求出平面A1FP的法向量和平面BA1F的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣A1P﹣F的余弦值．【解析】：（1）证明：不妨设正三角形ABC 的边长为3．在图1中，取BE的中点D，连结DF．∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2，而∠A=60度，∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，∴EF⊥AD．在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE．又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．（2）建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（0，0，1），B（2，0，0），F（0，，0），P （1，，0），则，．设平面ABP的法向量为，由平面ABP知，，即令，得，．，，∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60度．（3），设平面A1FP的法向量为．由平面A1FP知，令y 2=1，得，．，所以二面角B﹣A1P﹣F的余弦值是．【点评】：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成的角的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2015•山东一模）数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为S n，满足S n2=a n （S n﹣）．（1）求S n的表达式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，不等式T n≥（m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，代入利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“裂项求和”、一元二次不等式的解法即可得出．【解析】：解：（1）∵S n2=a n（S n﹣）=．化为，∴数列是首项为==1，公差为2的等差数列．故=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=．（2）b n===，故T n=+…+=．又∵不等式T n≥（m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，∴≥（m2﹣5m），化简得：m2﹣5m﹣6≤0，解得：﹣1≤m≤6．∴正整数m的最大值为6．【点评】：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、等差数列的通项公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）（2015•山东一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF1O=45°．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．（ⅰ）证明：m1+m2=0；（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】：综合题．【分析】：（Ⅰ）根据F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，可得b=c=1，从而a2=b2+c2=2，故可得椭圆G的标准方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）直线l1：y=kx+m1与椭圆G联立，利用韦达定理，可求AB，CD的长，利用|AB|=|CD|，可得结论；（ⅱ）求出两平行线AB，CD间的距离为d，则，表示出四边形ABCD的面积S，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积S取得最大值．【解析】：（Ⅰ）解：设椭圆G的标准方程为．因为F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，所以b=c=1．所以，a2=b2+c2=2．…（2分）所以，椭圆G的标准方程为．…（3分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）证明：由消去y得：．则，…（5分）所以===．同理．…（7分）因为|AB|=|CD|，所以．因为m1≠m2，所以m1+m2=0．…（9分）（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则．因为m1+m2=0，所以．…（10分）所以=．（或）所以当时，四边形ABCD的面积S取得最大值为．…（12分）【点评】：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查三角形的面积，同时考查利用基本不等式求最值，正确求弦长，表示出四边形的面积是解题的关键．21．（14分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2．（Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（I）由，f′（1）=0，知，由此能求出a．（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞），讨论两个根及﹣1的大小关系，即可判定函数的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，由此能够证明ln（n+1）＜2+．【解析】：解：（1）因为，令f'（1）=0，即，解得a=﹣4，经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．（2），令f'（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）①当，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；②当，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，，则f'（x）＜0，f（x）递减；若，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；③当，即a=﹣2时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞）内递减，④当，即a＜﹣2时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，，则f'（x）＞0，f（x）递增；若，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；（3）由（2）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，∵，∴，i=1，2，3，…，n，∴，∴．【点评】：本题考查函数极值的意义及利用导数研究函数的单调性，证明：对任意的正整数n．解题时要认真审题，注意导数的合理运用，恰当地利用裂项求和法进行解题．。
2019-2020年高三数学第一次统一考试试题 理(含解析)
2019-2020年高三数学第一次统一考试试题 理（含解析）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面以全新的面貌来诠释新课改的理念.【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】 l.集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为A.3 B ．4 C ．11 D ．12【知识点】集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性. A1 【答案】【解析】C 解析：{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}C =，故选C. 【思路点拨】利用已知求得集合C 即可.【题文】 2．已知i 为虚数单位，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z 复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为 A. {}|6a a <- B ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C ．3|2a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D ． 3|62a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 【知识点】复数的运算；复数的几何意义. L4 【答案】【解析】B 解析：12z z ()()()()312332612121255ai i ai a a i i i i ----+===-++-，因为12zz 复平面内对应的点在第四象限，所以32036602a a a ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故选 B.【思路点拨】先把复数z 化为最简形式，在利用复数的几何意义求解.【题文】3．已知θ为第二象限角， sin ,cos θθ是关于x 的方程22x R)∈的两根，则 sin -cos θθ的等于 A ．12+ B ．12C ．．【知识点】已知三角函数式的值，求另一个三角函数式的值. C7 【答案】【解析】A解析：由已知得1sin cos 2θθ+=2sin cos 2θθ⇒=-又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+，故选 A.【思路点拨】由已知得1sin cos 2θθ-+=2sin cos 2θθ⇒=-，又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+. 【题文】4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π丌是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π是无限不循环小数；结论： π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： π是无理数D.大前提： π是无限不循环小数；小前提： π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 【知识点】演绎推理的定义及特点. M1【答案】【解析】B 解析：A ：小前提不正确；C 、D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以A 、C 、D 都不正确，只有B 正确，故选 B.【思路点拨】演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理，及其推理的一般模式---“三段论”，由三段论的含义得出正确选项.【题文】5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为 A ．38 B ． 82π- C ． 43π D ． 283π-【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G1 G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知此几何体是：棱长为2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何体，其体积为3212212833ππ-⨯⨯⨯=-，故选 D.【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.【题文】6．已知 ()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设333(sin )(cos ),(tan )555a fb fc f πππ===，则a,b,c 的大小关系是，A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<a<bD ．a<c<b【知识点】函数奇偶性，单调性的应用. B3 B4【答案】【解析】C 解析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增， ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减，且22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22tantan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又∵2sin 5a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且2220cos sin tan 555πππ<<<，∴ c<a<b ，故选 C.【思路点拨】由已知得函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，而2sin5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22tan tan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需比较 222cos,sin ,tan555πππ的大小关系即可. 【题文】7.执行如图的程序，则输出的结果等于 A ．9950 B ．200101 C ．14950 D ． 15050【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1【答案】【解析】A 解析：根据框图中的循环结构知，此程序是求下式的值：1111136104950T =+++++222222612209900=+++++1111212233499100⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1111111212233499100⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭1992110050⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故选A. 【思路点拨】由程序框图得其描述的算法意义.【题文】 8．在△ABC 中，D 为AC 的中点，3BC BE =，BD 与 AE 交于点F ，若 AF AE λ=，则实数λ的值为 A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 45【知识点】平面向量的线性运算. F1 【答案】【解析】C 解析：作EFAC 交BD 于G ，因为13BE BC =,所以13EG DC =，因为 D 为AC 的中点，所以13EG AD =，所以1334EF AF AE FA =⇒=，故选C.【思路点拨】画出几何图形，利用平行线分线段成比例定理求得结论.【题文】9．设 12,F F 分别为双曲线 221x y -=的左，右焦点，P 是双曲线上在x 轴上方的点， 1F PF ∠为直角，则 12sin PF F ∠的所有可能取值之和为A ．83B ．2C ．D ．2【知识点】双曲线的性质. H6【答案】【解析】D 解析：设P 是第一象限点，且12,PF m PF n ==，则222181m n m m n n ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，所以所求= 2m n c +==，故选 D. 【思路点拨】根据双曲线的定义及勾股定理，求得P 到两焦点的距离，这两距离和与焦距的比值为所求. 【题文】10.曲线 1(0)y x x=>在点 00(,)P x y 处的切线为 l ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的 周长的最小值为A. 4+5+ 【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6 【答案】【解析】A 解析：∵21y x '=-，∴00201:()l y y x x x -=--即20020x x y x +-=， 可得A(02x ,0)，B(0,02x )，∴△OAB的周长00224l x x =+≥+当01x =时等号成立.故选 A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线l 的方程，从而求得A 、B 的坐标，进而用0x 表示△OAB 的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.【题文】11．若直线(31)(1)660x y λλλ++-+-= 与不等式组 70,310,350.x y x y x y +-<⎧⎪-+<⎨⎪-->⎩，表示的平 面区域有公共点，则实数λ的取值范围是 A ． 13(,)(9,)7-∞-+∞ B ． 13(,1)(9,)7-+∞ C ．(1，9) D ． 13(,)7-∞-【知识点】简单的线性规划. E5【答案】【解析】A 解析：画出可行域，求得可行域的三个顶点A(2,1)，B(5,2)，C(3,4) 而直线(31)(1)660x y λλλ++-+-=恒过定点P(0,-6),且斜率为311λλ+-，因为 7810,,253PA PB PC k k k ===,所以由8317512λλ+<<-得λ∈13(,)(9,)7-∞-+∞，故选A.【思路点拨】：画出可行域，求得可行域的三个顶点, 确定直线过定点P(0,-6)，求得直线PA 、PB 、PC 的斜率，其中最小值85，最大值72，则由8317512λλ+<<-得λ的取值范围. 【题文】12．在平面直角坐标系中，点P 是直线 1:2l x =-上一动点，点 1(,0)2F ，点Q 为PF 的 中点，点M 满MQ ⊥PF ，且 ()MP OF R λλ=∈.过点M 作圆 22(3)2x y -+= 的切线，切点分别为S ，T ，则 ST 的最小值为A ．． C ． 72 D. 52【知识点】曲线与方程；距离最值问题. H9 【答案】【解析】A 解析：设M(x,y)，1(,2)2P b -，则Q(0,b),由QM ⊥FP 得 (,)(1,2)02()0x y b b x b y b -⋅-=⇒-+-=.由()MP OF R λλ=∈得y=2b,所以点M 的轨迹方程为22y x =，M 到圆心距离=，易知当d 去最小ST 取最小值，此时MT ==，由三角形面积公式得：11222ST ST ==故选A. 【思路点拨】先求得点M 的轨迹方程22y x =，分析可知当M 到圆心距离最小时ST 最小，所以求M 到圆心距离d 得最小值，再用三角形面积公式求得ST 的最小值. 【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 【题文】13.设随机变量 2(,)N ξμσ，且 (1)(1),(2)0.3P P P ξξξ<-=>>=，则(20)P ξ-<<= _____________．【知识点】正态分布的意义. I3【答案】【解析】0.2 解析：因为(1)(1)P P ξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y 轴对称， 又因为(2)0.3P ξ>=，所以(20)P ξ-<<=120.30.22-⨯=【思路点拨】根据正态分布的性质求解.【题文】14.若正四梭锥P- ABCD 的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______．【知识点】组合体的意义；几何体的结构. G1【答案】【解析】2(3π- 解析：根据题意得正四梭锥的底面面积为4，一个侧面面积为R ，则由等体积法得，()111442332R R =⨯⨯⇒=,所以球的表面积为2(3π.【思路点拨】由等体积法求得此四棱锥内切球的半径，再由球的表面积公式求得结论. 【题文】15．将函数 ()sin()223y sin x x ωωπ=+的图象向右平移3π个单位，所得图象关于y轴对称，则正数 ω的最小值为________．【知识点】sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. C4 【答案】【解析】 1 解析：函数()sin()223y sin x x ωωπ=+=1sin()sin()cos()2222x x x ωωω⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=21sin ()sin()cos()2222x x x ωωω+=11sin()264x πω-+，向右平移3π个单位后为： 1111sin[()]sin 23642364y x x πππωπωω⎡⎤⎛⎫=--+=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，这时图像关于y 轴对称，所以31362k k πωπππω+=+⇒=+，k Z ∈,所以正数 ω的最小值为1.【思路点拨】先利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，把已知函数化为： y=11sin()264x πω-+,再由其平移后关于y 轴对称得31k ω=+，k Z ∈，所以正数 ω的最小值为1.【题文】 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b=l ，a= 2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为________．【知识点】余弦定理；三角形的面积公式. C8【答案】解析：当C 取最大值时，cosC 最小，由22223111cos 3244a b c c C c ab c c +-+⎛⎫===+≥⎪⎝⎭得，当且仅当c= 3时C 最大，且此时sinC=12，所以△ABC的面积为111sin 21222ab C c =⨯⨯⨯=【思路点拨】由余弦定理求得C 最大的条件，再由三角形面积公式求解.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】17．（本小题满分10分） 已知 {}{},n n a b 均为等差数列，前n 项和分别为 ,n n S T ．(1)若平面内三个不共线向量 ,,OA OB OC 满足 315OC a OA a OB =+，且A ，B ，C 三点共线．是否存在正整数n ，使 n S 为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由。
高考数学一模试卷(理科)含解析试卷分析
天津市部分区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩（∁R B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．（0，1）2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值为（）A．﹣1B．0C．1D．23．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．4B．6C．8D．104．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=，b=6，sinA﹣2sinC=0，则a=（）A．3B．2C．4D．125．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：f（x）=存在最大值和最小值，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．已知抛物线y2=20x的焦点F恰好为双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为（）A．=1B．=1C．=1D．=17．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣3）D．（0，﹣3）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若复数=ai，则a+b=．10．（﹣）7的展开式中，x﹣1的系数是．（用数字填写答案）11．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为．13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点，当弦长|AB|最短时，直线l的普通方程为．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数x满足f（log|x+1|）＜f（﹣1），则x的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知函数f（x）=sin（x﹣）cosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅰ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．某校高三年级准备举行一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如表所示：班级高三（1）高三（2）高三（3）人数334（Ⅰ）若从这10名学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生不属于同一班级的概率；（Ⅰ）若从这10名学生中随机选出3名学生发言，设X为来自高三（1）班的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，∠BCD=，PD=BC=CD=AD，AP⊥CD．（Ⅰ）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅰ）若点Q在线段PA上，且BQ与平面ABCD所成角为，求CQ的长．18．已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅰ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n 项和T n．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅰ）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅰ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．天津市部分区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩（∁R B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．（0，1）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先分别求出集合A和B，从而得到C R A，由此能求出集合A∩（∁R B）．【解答】解：∵集合A={x|0＜x≤3，x∈N}={1，2，3}，B={x|y=}={x|x≤﹣3或x≥3}，∴C R A={x|﹣3＜x＜3}，集合A∩（∁R B）={1，2}．故选：A．2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，3），化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z．由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为0．故选：B．3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．4B．6C．8D．10【考点】程序框图．【分析】利用循环结构可知道需要循环4次，根据条件求出i的值即可．【解答】解：第一次循环，s=﹣2＜5，s=﹣1，i=2，第二次循环，s=﹣1＜7，s=1，i=4，第三次循环，s=1＜9，s=5，i=6，第四次循环，s=5＜11，s=13，i=8，第五次循环，s=13≥13，此时输出i=8，故选：C．4．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=，b=6，sinA﹣2sinC=0，则a=（）A．3B．2C．4D．12【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得：c=，进而利用余弦定理即可求得a的值．【解答】解：∵sinA﹣2sinC=0，∴由正弦定理可得：c=，∵B=，b=6，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：62=a2+（a）2﹣2a，整理可得：a=4，或﹣4（舍去）．故选：C．5．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：f（x）=存在最大值和最小值，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式，求出关于p的x的范围，根据函数的性质求出关于q的x的范围，根据集合的包含关系判断充分必要条件即可．【解答】解：由x2﹣4x+3≤0，解得：1≤x≤3，故命题p：1≤x≤3；f（x）==x+，x＞0时，f（x）有最小值2，x＜0时，f（x）有最大值﹣2，故命题q：x≠0，故命题p是命题q的充分不必要条件，故选：A．6．已知抛物线y2=20x的焦点F恰好为双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为（）A．=1B．=1C．=1D．=1【考点】圆锥曲线的综合．【分析】确定抛物线y2=20x的焦点坐标、双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程，利用抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，求出b，a，即可求出双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为bx+ay=0，∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，∴=4，即b=4，∵c=5，∴a=3，∴双曲线方程为：=1．故选：D．7．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则A（0，0），B（1，0），C（﹣1，），O（0，），M（0，），=（1，﹣），=（﹣1，）=﹣1﹣=﹣．故选：D．8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣3）D．（0，﹣3）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x轴有两个交点，判断x≤0，与x＞0交点的情况，列出关于a的不等式，解之可得答案．【解答】解：g（x）=f（x）+2x﹣a=，函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣a﹣1，最多两个零点，如上图，要满足题意，函数y=2x+2x是增函数，x≤0一定与x相交，过（0，1），g（x）=2x+2x﹣a，与x轴相交，1﹣a≥0，可得a≤1．还需保证x＞0时，抛物线与x轴由两个交点，可得：﹣a﹣1＞0，△=4（a+1）2﹣4（1﹣a）＞0，解得a＜﹣3，综合可得a＜﹣3，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若复数=ai，则a+b=4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，再根据两个复数相等的充要条件求得a、b的值，可得a+b的值．【解答】解：=ai，则===ai，∴2﹣b=0，2+b=2a，∴b=2，a=2，∴a+b=4，故答案为：410．（﹣）7的展开式中，x﹣1的系数是﹣280．（用数字填写答案）【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于﹣1，求出r的值，即可求得x﹣1的系数．=•（﹣2）r•，令【解答】解：∵（﹣）7的展开式的通项公式为T r+1=﹣1，求得r=3，可得x﹣1的系数为•（﹣8）=﹣280，故答案为：﹣280．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三棱锥的三视图知，该三棱锥是底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥，结合图中数据，求出它的体积．【解答】解：根据三棱锥的三视图知，该三棱锥是底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥，结合图中数据，计算三棱锥的体积为V=××2×2×3=2．故答案为：2．12．直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为1．【考点】定积分．【分析】先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为1，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】1解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0，曲线y=4x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫01（4x﹣4x3）dx，而∫01（4x﹣4x3）dx=（2x2﹣x4）|01=2×1﹣1=1∴曲边梯形的面积是1，故答案为：1．13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点，当弦长|AB|最短时，直线l的普通方程为x+y﹣4=0．【考点】直线的参数方程．【分析】普通方程为y﹣1=a（x﹣3），过定点P（3，1），当弦长|AB|最短时，CP⊥AB，求出CP的斜率，可得AB的斜率，即可得出结论．【解答】解：直线l的参数方程为，普通方程为y﹣1=a（x﹣3），过定点P（3，1）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为（x﹣2）2+y2=4，当弦长|AB|最短时，CP⊥AB，∵k CP==1，k AB=﹣1∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0，故答案为：x+y﹣4=0．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数x满足f（log|x+1|）＜f（﹣1），则x的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用函数是偶函数得到不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等价为f （|log2|x+1||）＜f（1），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．∴不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等价为f（|log2|x+1||）＜f（1），即|log2|x+1||＜1∴﹣1＜log2|x+1|＜1，解得x的取值范围是．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知函数f（x）=sin（x﹣）cosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅰ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）利用和与差公式打开，根据二倍角公式和辅助角公式化解为y=Asin （ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，（Ⅰ）当x∈[，]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可求出f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）==，∴函数f（x）的最小正周期．（Ⅰ）由（Ⅰ）知，∵，∴，∴，故当时，函数f（x）的最大值为．当时，函数f（x）的最小值为．16．某校高三年级准备举行一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如表所示：班级高三（1）高三（2）高三（3）人数334（Ⅰ）若从这10名学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生不属于同一班级的概率；（Ⅰ）若从这10名学生中随机选出3名学生发言，设X为来自高三（1）班的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）从10名学生随机选出2名的方法数为，选出2人中不属于同一班级的方法数为，由此能求出这2名学生不属于同一班级的概率．（Ⅰ）X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从10名学生随机选出2名的方法数为，选出2人中不属于同一班级的方法数为…设2名学生不属于同一班级的事件为A所以．…（Ⅰ）X可能的取值为0，1，2，3，，，，．…所以X的分布列为X0123P所以．…17．如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，∠BCD=，PD=BC=CD=AD，AP⊥CD．（Ⅰ）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅰ）若点Q在线段PA上，且BQ与平面ABCD所成角为，求CQ的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PD的中点F，连接EF，CF，证明BE∥CF即可；（Ⅰ）（方法一）以P为坐标原点，PD，PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可；（方法二）以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可；（Ⅰ）建系同（II）利用向量求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：取PD的中点F，连接EF，CF∵E，F分别是PA，PD的中点，∴EF∥AD且；…∵，BC∥AD，∴EF∥BC且EF=BC；∴BE∥CF．…又BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，∴BE∥平面PCD．…（Ⅰ）（方法一）以P为坐标原点，PD，PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC=1，则，，．…设平面PAB的一个法向量为n=（x，y，z），则从而令x=2，得n=（2，0，﹣1）．…同理可求平面ABD的一个法向量为．…．平面ABD和平面ABC为同一个平面，所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．…（方法二）以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC=1，则，C（0，0，1），B （1，0，1），，…设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），则，，令，得x=z=1，即．…易求平面ABC的一个法向量为．…．所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．…（Ⅰ）（方法一）建系同（II）（方法一），设Q（0，x，0），由（II）知平面ABCD的一个法向量为，；…若BQ与平面ABCD所成的角为，则==sin解得，所以Q（0，，0），，．…（方法二）建系同（II）（方法二），设，则，，由（II）知平面ABCD的一个法向量为．…若BQ与平面ABCD所成的角为，则．解得，则，从而…18．已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅰ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），得，整理得a n+1+a n﹣1=2a n，可得{a n}为等差数列．再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（II）当n=1时，lgb1=lg3，即b1=3．当n≥2时，lgb1+lgb2+…+lgb n=lg（2n+1），lgb1+lgb2+…+lgb n﹣1=lg（2n﹣1），作差可得b n=，（n≥2）．c n==，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），得，整理得a n+1+a n﹣1=2a n，所以{a n}为等差数列．由a6=11，前9项和为81，得a1+5d=11，d=81，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）当n=1时，lgb1=lg3，即b1=3．当n≥2时，lgb1+lgb2+…+lgb n=lg（2n+1）…①，lgb1+lgb2+…+lgb n﹣1=lg（2n﹣1）…②①﹣②，得，∴b n=，（n≥2）．b1=3满足上式，因此b n=，（n≥2）．c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=+…++，又2T n=+…+，以上两式作差，得T n=+2﹣，，因此，T n=﹣．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅰ）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意，得，然后求解离心率即可．（Ⅰ）由（Ⅰ）得a=2c，则b2=3c2．将代入椭圆方程，解得c=1．求出椭圆方程，直线OM的方程为．当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），与联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理求出AB的中点，推出﹣，且m≠0，利用弦长公式以及三角形的面积，推出结果即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，得，…则，结合b2=a2﹣c2，得，即2c2﹣3ac+a2=0，…亦即2e2﹣3e+1=0，结合0＜e＜1，解得．所以椭圆C的离心率为．…（Ⅰ）由（Ⅰ）得a=2c，则b2=3c2．将代入椭圆方程，解得c=1．所以椭圆方程为．…易得直线OM的方程为．当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），与联立消y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，所以△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（3+4k2﹣m2）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…由，得AB的中点，因为N在直线上，所以，解得k=﹣．…所以△=48（12﹣m2）＞0，得﹣，且m≠0，|AB|=|x2﹣x1|= = =．又原点O到直线l的距离d=，…所以．当且仅当12﹣m2=m2，m=时等号成立，符合﹣，且m≠0．所以△OAB面积的最大值为：．…20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅰ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围判断函数的单调性即可；（Ⅰ）根据函数的极值的个数求出a的范围，求出4f（x1）﹣2f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣x2+x﹣lnx，f′（x）=﹣x+1﹣，则f（1）=，f'（1）=﹣1，所以所求切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即2x+2y﹣3=0．（Ⅰ）由f（x）=﹣x2+ax﹣lnx，得f′（x）=﹣x+a﹣=﹣．令g（x）=x2﹣ax+1，则f′（x）=﹣，①当△=a2﹣4＜0，即﹣2＜a＜2时，g（x）＞0恒成立，则f′（x）＜0，所以f）x）在（0，+∞）上是减函数．②当△=0，即a=±2时，g（x）=x2±2x+1=（x±1）2≥0，则f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．③当△=a2﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2．（i）当a＜﹣2时，g（x）=x2﹣ax+1是开口向上且过点（0，1）的抛物线，对称轴方程为x=（＜﹣1），则g（x）＞0恒成立，从而f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．（ii）当a＞2时，g（x）是开口向上且过点（0，1）的抛物线，对称轴方程为x=（＞1），则函数g（x）有两个零点：，列表如下：x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）减函数极小值增函数极大值减函数综上，当a≤2时，f（x）的减区间是（0，+∞）；当a＞2时，f（x）的增区间是，减区间是，．（Ⅰ）证明：根据（Ⅰ），当a＞2时，f（x）有两个极值点x1，x2，（x1＜x2），则x1，x2是方程g（x）=0的两个根，从而．由韦达定理，得x1x2=1，x1+x2=a．又a﹣2＞0，所以0＜x1＜1＜x2====．令，h（t）=﹣t+3lnt+2，（t＞1），则．当1＜t＜2时，h'（t）＞0；当t＞2时，h′（t）＜0，则h（t）在（1，2）上是增函数，在（2，+∞）上是减函数，从而h（t）max=h（2）=3ln2+1，于是4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．4月10日。
高考第一次模拟考试数学(理)试题含答案试卷分析详解
德州市高三第一次模拟考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3A =，集合{}3,4,5B =，则集合()U A C B ⋂=（ ）A ．{}1,2,3,6B ．{}1C ．{}1,2D ．{}1,3,4,52.设i 为虚数单位，a R ∈，若()()11i ai --为纯虚数，则复数1ai -的模是（ ） A 2 B ．2 C ．1 D ．03.已知命题():0,,sin p x x x ∀∈+∞>，命题121:,log 2xq x R x ⎛⎫∃∈= ⎪⎝⎭，则下列命题中的真命题为（ ）A ．q ⌝B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∨⌝4.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一个焦点在抛物线216y x =的准线上，且双曲线的—条渐近线过点)3,3，则双曲线的方程为（ ）A ．221420x y -= B ．221124x y -= C ．221412x y -= D ．221204x y -= 5.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，设向量()()sin sin ,3,sin ,m B A a c n C a b =-+=+，且//m n ，则B 的大小是（ ）A ．6πB ．56π C ．3π D ．23π6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A．162π+ B．164π++ C．164π+ D．162π++ 7.设()1,1XN ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷100000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） 注：若()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，()220.9544P X μσμσ-<<+≈A. 60380B.65870C.70280D.753908.已知不等式组210y x y kx y ≤-+⎧⎪≤+⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于94的三角形，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．2-C ．1或2-D ．29-9.函数()ln cos f x x x =+（22x ππ-≤≤且0x ≠）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足258,2,3a a a 成等差数列，则363S S =（ ） A ．134 B ．1312 C ．94 D ．111211.已知函数()(](]111,1,012,0,1x x x f x x -⎧-∈-⎪+=⎨⎪∈⎩，且()()2g x f x mx m =-+在(]1,1-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,4⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．(]1,1,4⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭C ．11,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．()1,1,4⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭12．若关于x 的方程10x x x x e m e x e +++=+有三个不等的实数解123,,x x x ，且1230x x x <<<，其中, 2.71828m R e ∈=为自然对数的底数，则1232312111x x x xx x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．2eB ．eC ．1m -D ．1m +第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.5名同学去参加2个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社团组织，则共有 种可能（结果用数字表示）.14.在《九章算术》中记载着一道关于“持金出关”的题目，大意是：“在古代出关要交税.一天，某人拿钱若干出关，第1关交所拿钱数的12，第2关交所剩钱数的13，第3关交所剩钱数的14， ”.现以这则故事中蕴含的数学思想，设计如图所示程序框图，则运行此程序，输出n 的值为 ．15.若圆22440x y x y +--=上至少有三个不同的点到直线:l y kx =，则直线l 的斜率的取值范围是 ．16.如图所示，坐标纸上的每个单位格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{}()*n a n N ∈的前12项，其中横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项，按如此规律，则2016201720182019a a a a +++= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数()22sin cos f x x x x =-（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若11,324x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且锐角ABC ∆的两边长分别是函数()f x 的最大值和最小值，ABC∆，求ABC ∆的面积.18.某数学小组从医院和气象局获得今年1月至6月份每月20日的昼夜温差（,3x C x ︒≥）和患感冒人数（y 人）的数据，画出折线图.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于x 的回归方程（精确到0.01)，预测昼夜温差为4C ︒时患感冒的人数(精确到整数).参考数据：6154.9i i x ==∑，()()6194i i i x x y y =--=∑6= 2.646≈.参考公式:相关系数:nxx y yr --=，回归直线方程是y a bx =+，()()()121,nii i nii xx y yb a y b x xx==--==-⋅-∑∑19. 如图1，在高为2的梯形ABCD 中，//,25AB CD AB CD ==，，过A B 、分别作,AE CD BF CD ⊥⊥，垂足分别为E F 、.已知1DE =，将D C 、沿AE BF 、折向同侧，得空间几何体ADE BCF -，如图2.（1）若AF BD⊥ ，求证:DE BE ⊥；（2）若//,DE CF CD =，线段AB 的中点是P ，求CP 与平面ACD 所成角的正弦值.20.已知椭圆()2222:10xy C a b a b +=>>，点⎛ ⎝在椭圆上，,A B 分别为椭圆的右顶点与上顶点，过点,A B 引椭圆C 的两条弦AE BF 、交椭圆于点,E F .（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线,AE BF 的斜率互为相反数， ①求出直线EF 的斜率；②若O 为直角坐标原点，求OEF ∆面积的最大值.21.已知函数()()ln 0f x ax x a =>在点()(),e f e 处的切线和直线210x y ++=垂直. （1）求a 的值；（2）对于任意的0x >，证明：()32f x x e -≥--；（3）若()f x b =有两个实根()1212,x x x x ≠，求证：12331122x x b e-<++.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同.直线l cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数），设直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程，并求线段AB 的长； （2）已知点P 在曲线C 上运动，求点P 到直线l 距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x a x =++-.（1）若()f x 的最小值为5，求实数a 的值；（2）当10x -≤≤时，不等式()4f x x ≤-恒成立，求实数a 的取值范围.。
高考一模考试数学试题(理)含解析试卷分析
延庆区—一模统一考试高三数学（理科） 3月本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，则AB = （ ）A.{|01}x x ≤≤B.{|0x x >或1}x <-C. {|12}x x <≤D.{|02}x x <≤2.复数21ii =+（ ） A.1i + B ．1i - C. 1i -+ D ．1i --3.已知两条直线,a b 和平面α，若,a b b α⊥⊄，则“a α⊥”是“//b α”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为 （ ） A ．2B.3C.2D.55.执行如图所示的程序框图,若输出的a 的值为15，则判断框应填写 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．51 1112 正（主）视图 侧（左）视图俯 视 图（4题图）否 是 开始2013201420151季度2季度3季度4季度1季度2季度3季度4季度1季度2013年2014年2015年年份增长率/%6.已知等比数列{}n a的公比1q≠，则下面说法中不正确．．．的是（）A.2{}n na a++是等比数列 B.对于k*∈N，1k>，112k k ka a a-++≠C．对于n*∈N，都有2n na a+> D．若21a a>，则对于任意n*∈N，都有1n na a+>7.如图是近三年某市生产总值增速（累计，%）的折线统计图，据该市统计局初步核算，一季度全市生产总值为1552.38亿元，与去年同一时期相比增长12.9%（如图，折线图中其它数据类同）．根据统计图得出正确判断是（）A．近三年该市生产总值为负增长B. 近三年该市生产总值为正增长C．该市生产总值到为负增长，到为正增长D.以上A、B、C的判断都不正确8.已知偶函数()f x，奇函数()g x的图像分别如图（1）、图（2）所示，方程(())0f g x=，(())0g f x=的实根的个数分别为,a b，则a b+=（）A．3B．7C．10D．14第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某校高一学雷锋志愿小组共有8人，其中一班、二班、三班、四班各2人，现在从中任选3人，要求每班至多选1人，不同的选取方法的种数为.10. 冬奥会高山滑雪项目将在延庆小海坨山举行。
高考第一次模拟考试数学(理)试题含答案试卷分析详解
普通高等学校招生全国统一考试（包头市第一次模拟考试）理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意复数满足，则，所以，故选A．2. 已知全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，则，故选D．3. 《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则该竹子最上面一节的容积为（）A. 升 B. 升 C. 升 D. 升【答案】C【解析】设竹子自上而下各节的容积分别为，且为等差数列，根据题意得，即，解得，即最上面一节的容积为升，故选C．4. 若，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为，由图可知，当直线过点时，得到目标函数的最小值，由，解得，则目标函数的最小值为，故选D．5. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，二项式的展开式为，所以，令，则所以，故选B．6. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，根据给定的三视图可知，该几何体的左侧是一个底面为等腰直角三角形，且腰长为，侧棱长为的直三棱柱，右侧为一个底面为等腰直角三角形，且腰长为，高为的三棱锥，所以该几何体的体积为，故选C．7. 若双曲线：的离心率为，一条渐近线的倾斜角为，则的值（）A. 大于B. 等于C. 小于D. 不能确定，与，的具体值有关【答案】B【解析】由双曲线的方程，得其一条渐近线的方程为，所以，且，所以，所以，故选B．8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（）A. B. C. D.【答案】B【解析】模拟执行程序，可得，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；此时不满足条件，退出循环，输出的值，故选B．点睛：算法时新课程的新增加的内容，也必然是新高考的一个热点，应高度重视，程序填空与选择是重要的考查和命题方式，这种试题考查的重点有：①条件分支结构；②循环结构的添加循环条件；③变量的赋值；④变量的输出等，其中前两点是考试的重点，此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．9. 现有张牌（1）、（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。
2022年山西省高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年山西省高考数学一模试卷（理科）1.已知集合，，则( )A.B. C.D.2.设复数z 满足，则( )A. B.C. 0或D. 0或3.设，，则的最大值是( )A. 1B. C.D. 24.如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体各个表面中面积的最大值是( )A.B.C.D.5.已知命题p ：，；命题q ：，在定义域上是增函数．则下列命题中的真命题是( )A. B.C.D.6.展开式中的常数项是( )A. B. C.D.7.设，，，则a 、b 、c 的大小关系是( )A.B.C.D.8.“三分损益法”是古代中国制定音律时所用的生律法．三分损益包含“三分损一”“三分益一”．取一段弦，“三分损一”即均分弦为三段，舍一留二，便得到弦．“三分益一”即弦均分三段后再加一段，便得到弦．以宫为第一个音，依次按照损益的顺序，得到四个音，这五个音的音高从低到高依次是宫、商、角、徵、羽，合称“五音”．已知声音的音高与弦长是成反比的，那么所得四音生成的顺序是( )A. 徵、商、羽、角 B. 徵、羽、商、角C. 商、角、徵、羽D. 角、羽、商、徵9.已知数列的前n 项和，将该数列排成一个数阵如右图，其中第n 行有个数，则该数阵第9行从左向右第8个数是( )A. 263B. 1052C. 528D. 105110.过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为点A，交y轴于点B，若，则C的离心率是( )A. B. C. D.11.如图①，在中，，，D，E分别为AC，AB的中点，将沿DE 折起到的位置，使，如图②．若F是的中点，则四面体FCDE的外接球体积是( )A. B. C. D.12.已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.13.曲线在处的切线方程是______.14.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，向上的点数分别记为a，b，则关于x的方程有实根的概率是______.15.已知数列中，，，，数列的前n项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是______.16.已知椭圆的焦点为，，点P为椭圆上任意一点，过作的外角平分线所在直线的垂线，垂足为点抛物线上有一点M，它在x轴上的射影为点H，则的最小值是______.17.如图，圆内接四边形ABCD中，，，求AC；求面积的最大值．18.在如图所示的几何体中，平面平面ABCD，四边形ADNM是矩形，四边形ABCD为梯形，，，证明：平面MBC；设，求二面角的余弦值．19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率，且过点，A、B分别是C的左、右顶点．求C的方程；已知过点的直线交C于M，N两点异于点试证直线MA与直线NB交点在定直线上．20.已知函数当时，证明：在定义域上是增函数；记是的导函数，，若在内没有极值点，求a的取值范围．参考数据：，21.甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军．比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军．根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为，，且每局比赛的结果相互独立．求甲夺得冠军的概率；比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个．新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中．记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望．22.在极坐标系中，O为极点，直线与以点为圆心，且过点的圆相交于A，B两点．求圆C的极坐标方程；若，求23.已知函数当时，求不等式的解集；若恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：，，故选：可求出集合M，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：设，，，即，即，解得或，故或故选：根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为，，所以，，当时，取得最大值为，所以的最大值是故选：根据平面向量的坐标运算和三角函数求值运算，即可求出答案．本题考查了平面向量的坐标运算和三角函数求值运算问题，是基础题．4.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体；如图所示：所以，，，；故选：首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的各个面的面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的各个面的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：构造函数，则，所以函数在上单调递增，所以，所以，所以命题p为真命题；因为，所以在定义域上是增函数．所以命题q为真命题．所以为真命题，为假命题，为假命题，为假命题．故选：构造函数，运用函数单调性可证明成立；根据对数函数单调性可判断命题本题考查命题真假判断及导数应用，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式的常数项为，故选：求出展开式的通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：构造函数，则，当时，，函数在上单调递增，因为，所以，，可得，所以因为，所以，即，所以故选：利用函数在上的单调性可得b、c的大小关系，利用对数函数的单调性可得出a、b的大小关系，以此可得结论．本题考查导数应用及函数单调性应用，考查数学运算能力及抽象能力，所以中档题．8.【答案】A【解析】解：由题设，若宫的弦长为a，则其它四音对应弦长依次为，，，，因为音高与弦长是成反比，所以四音的音高关系为，又音高从低到高依次是宫、商、角、徵、羽，所以五音生成顺序为宫、徵、商、羽、角．故选：设宫的弦长为a，根据生律法按顺序写出后续四音的弦长，再由题设音高与弦长的反比关系判断五音生成顺序，即可得到答案．本题考查简单的合情推理，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：数列的前n项和为，，时，，时，上式成立，将该数列按第n行有个数排成一个数阵，如图，由该数阵前7行有：…项，该数阵第9行从左向右第8个数字为故选：求出，将该数列按第n行有个数排成一个数阵，由该数阵前7行有：…项，得到该数阵第9行从左向右第8个数字为，由此能求出结果．本题考查数阵第9行从左向右第8个数字的求法，考查等差数列和等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由题意可知，渐近线方程，，直线BF的方程为，令得，点，联立方程，解得，，，，，，故选：根据题意求出直线BF的方程，进而求出点A，B的坐标，根据可求出的值，从而用表示出离心率．本题主要考查了双曲线的性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设球的坐标为，由，，可得：，解得：，从而球的半径，球的体积故选：由题意首先求得球的半径，然后利用体积公式计算其体积即可．本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．12.【答案】C【解析】解：函数在上恰有3个零点，由，且，可得，所以，且，或，且，解得，或，故选：由x的范围求得的范围，结合正弦函数的图象和零点，可得，且，或，且，解不等式可得所求取值范围．本题考查三角函数的零点个数，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由，得，又，曲线在处的切线方程为，即故答案为：求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．14.【答案】【解析】解：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，向上的点数分别记为a，b，基本事件总数，关于x的方程有实根，，时，不成立，时，成立，时，b可以取1，2，3，时，b可以取1，2，3，4，时，b可以取1，2，3，4，5，6，时，b可以取1，2，3，4，5，6，满足条件的基本事件个数，关于x的方程有实根的概率是故答案为：根据已知条件，结合古典概型的概率公式，以及列举法，即可求解．本题主要考查古典概型的概率公式，考查列举法，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由得，则有，化简得，即，所以，所以，所以不等式恒成立，则有故答案为：先根据累积法求得，再用裂项相消法求得，最后根据不等式恒成立可求解．本题考查了累积法求通项和裂项相消求和，属于中档题．16.【答案】【解析】解：如图所示，延长交于点N，连接因为的外角平分线是PQ，且，所以，因为，所以，因为，，，所以点Q的轨迹为以点O为圆心2为半径的圆，所以点Q的轨迹方程为由题得抛物线的焦点坐标为，准线方程为所以，所以，因为所以所以的最小值是故答案为：延长交于点N，连接OQ，求出点Q的轨迹方程为，证明，即得解．本题考查了椭圆、抛物线的定义及性质，也考查了转化思想和数形结合思想，难点在于确定Q点的轨迹，属于中档题．17.【答案】解：在中，由正弦定理得，即，所以因为四边形ABCD内接于圆，故，设，，在中，由余弦定理得：，因为，所以，即，当且仅当时等号成立，所以，所以面积的最大值是【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由题意在中由正弦定理即可求解AC的值．设，，在中，由余弦定理，基本不等式可求，进而根据三角形的面积公式即可求解．18.【答案】证明：取CD中点E，连接AE，NE，则，，四边形ABCE为平行四边形，所以又平面MBC，平面MBC，所以平面由，，则四边形ABED为平行四边形，所以，又，，所以，所以四边形MBEN为平行四边形．所以又平面MBC，平面MBC，所以平面因为，平面ANE，平面所以平面平面因为平面ANE，所以平面MBC因为平面平面ABCD，，所以平面因为，，，所以以D为原点，分别以DB，DC，DN所在真线为x，y，z轴．建立如图所示的空间直角坐标系则，，，所以，平面BCD的一个法向量为，设平面MBC的法向量为则，令，得，所以二面角的余弦值为【解析】取CD中点E，连接AE，NE，推出得到平面推出，，然后证明推出平面得到平面平面证明平面以D为原点，分别以DB，DC，DN所在真线为x，y，z轴．建立如图所示的空间直角坐标系求出平面MBC的法向量，平面BCD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，是中档题．19.【答案】解：且，；证明：设过点G的直线为：，，，联立，消元整理得，，，，，因为，，所以直线AM的斜率为，故直线AM的方程为，①同理可得直线NB的方程为，②整理得，，即，由，即，所以，即，解得，所以直线MA与直线NB交点在定直线上．【解析】根据条件列出关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，从而求得椭圆的方程；设过点G的直线为：，，，联立直线与椭圆可得韦达定理，分别表示出直线AM，NB的方程，由两个方程可得，结合M，N在直线上以及韦达定理可得两直线交点所在直线．本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的综合，属于中档题．20.【答案】解：证明：由题设，且定义域为，因为，则，当且仅当时等号成立，而，所以时有，故在上是增函数．由题设，，则且定义域为，因为在内没有极值点，即或，所以或在上恒成立，令，则，当时；当时，令，则，，所以在上递增，而，所以在上，故在上递增，而，综上，在上，即，所以，在上，即单调递增，则，故或，即a的取值范围为【解析】对函数求导得且，再应用基本不等式求，结合，可确定的符号，即证结论．对求导得且，将问题转化为或在上恒成立，构造，利用导数研究的单调性，进而求区间值域，即可求a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了函数思想和转化思想，属中档题．21.【答案】解：记事件“甲在第i局比赛中获胜”，，事件“甲在第i局比赛中未胜”．显然，，记事件“甲夺得冠军”，则设甲乙决出冠军共进行了Y局比赛，易知或则，故记“第i局比赛后抽到新球”，“第i局比赛后抽到旧球”．由题意知、比赛前盒内有6颗新球，比赛1局后，盒内必为5颗新球1颗旧球，此时，，若发生，则比赛2局后，盒内有4 颗新球，2颗旧球，此时若，发生，则比赛2局后，盒内有5颗新球，故下次必取得新球．即于是，故X的分布列为：X 3 4 5P故X的数学期望【解析】记事件：“甲在第i局比赛中获胜”，，事件：“甲在第i局比赛中末胜”．，记事件A：“甲夺得冠军“，分析事件A包含的情况，直接求概率；的可能取值：3，4，分析比赛过程，分别求概率，写出分布列，计算数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．22.【答案】解：在极坐标系中，O为极点，直线与以点为圆心，且过点的圆相交于A，B两点，的直角坐标为，的直角坐标为，圆的半径为，圆的直角方程为，将，代入，得：，圆C的极坐标方程为将代入中，得，设，分别为A，B对应的极径，则，，，则，即，结合，解得，【解析】写出点C，M的直角坐标，求出圆的直角坐标方程，化为极坐标方程，可求出答案．将代入圆的极坐标方程，利用根与系数的关系求出，，再结合，求出，的值，由此能求出结果．本题考查圆的极坐标方程、正弦函数值、余弦函数值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：当时，，所以不等式等价于或，解得：或所以不等式的解集为或因为，由恒成立，得所以或，解得或所以a的取值范围为【解析】当时，去绝对值符号，化为分段函数，再分段解不等式可得其解集；依题意，得恒成立，解之即可．本题考查函数恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．。
河北省石家庄市高考一模考试数学（理）试题（A）含解析
石家庄市高中毕业班模拟考试（一）理科数学（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.2. 已知为虚数单位，，其中，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】，其中，解得，，故选3. 函数，其值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的值域为，即，则在区间上随机取一个数的概率．故选B．4. 点是以线段为直径的圆上的一点，其中，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】故选5. ，满足约束条件：，则的最大值为（）A. -3B.C. 3D. 4【答案】C【解析】依题意可画出可行域如下：联立，可得交点(2,-1)，如图所示，当经过点(2,-1)时，z最大为3.故选C.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.6. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为，则判断框中可填写的关于的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，第五次运行，此时，输出25，故选C7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：，），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（）A. 82平方里B. 83平方里C. 84平方里D. 85平方里【答案】C【解析】由题意可得：代入：则该三角形田面积为平方里故选8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由图可知，几何体为半圆柱挖去半球体几何体的表面积为故选9. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是定义在上的偶函数，，即，则函数的定义域为函数在上为增函数，故两边同时平方解得，故选10. 在中，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】有正弦定理可得，故当时，的最大值为.故选D.11. 过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，点在直线上，若为正三角形，则其边长为（）A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】B【解析】如图：设，则：，取中点，分别作垂直于直线，连接则有，相减可得：即故设则，解得故，解得故选12. 设，为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，正方向到正方向的角度为，那么对于任意的点，在下的坐标为，那么它在坐标系下的坐标可以表示为：，.根据以上知识求得椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】则故可化为方程表示为椭圆化简得：代入方程得：，，，故故选点睛：本题主要考查了三角函数的计算问题，以平面直角坐标系为载体，新定义坐标系，建立两坐标之间的关系，代入化简，由题意中的椭圆求出的值，再次代入求出结果，计算量比较大，有一定的难度。
高考一模理科数学试题含答案试卷分析解析
高考一模理科数学试题含答案试卷分析解析门头沟区高三综合练习（一）数学（理） .4一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 设全集U = {}0,1,2,3,4,5，集合{1,3},{3,5}A B ==，则U ()C AB =A ．｛0，4｝B ．｛1，5｝C ．｛2，0，4｝D ．｛2，0，5｝2. 复数z 满足23zi i=-，复数z 对应的点在复平面的A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D. 第四象限3.对于函数()sin (,,)f x a x bx c a b R c Z =++∈∈,计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和24. 抛物线28y x =焦点F 到双曲线22:13y C x -=的一条渐近线的距离是 A ．1 B ．2 C ．3 D 35. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为 A. 48里 B. 24里 C. 12里 D. 6里//,90AB CD DAB ∠=，且6.在直角梯形ABCD 中，222,AB CD AD P ===是BC 的中点，则PD PA ?为A ．94 B ．3 C ．2 D ．52DCP7. 已知函数)sin()(?ω+=x A x f )||,0,0(π?ω<>>A 的部分图像如图所示，则“2m ≥”是“函数()f x m ≤对[0,8]x ∈恒成立”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8.某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标。
高考一模数学试卷(理)含答案试卷分析解析
太原五中-第二学期阶段性检测高 三 数 学（理）出题人、校对人：刘晓瑜、郭舒平、董亚萍、刘锦屏、凌河、闫晓婷（.4.2） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知{}{}2ln(1),2,xP x y x Q y y x P ==-==∈,则=PQ （ ）.A (0,1) .B 1(,1)2 .C 1(0,)2.D (1,2)2、已知复数(2a iz i i+=-为虚数单位)在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1(2,)2- .B 1(,2)2- .C (,2)-∞- .D 1(+)2∞， 3、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若直线cos cos 0bx y A B ++=与cos cos 0ax y B A ++=平行，则ABC ∆一定是（ ）.A 锐角三角形 .B 等腰三角形 .C 直角三角形 .D 等腰或直角三角形4、在区间[1,5]随机地取一个数m ，则方程22241x m y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（ ）.A 15 .B 14 .C 35 .D 345、若2012(21)n n n x a a x a x a x +=++++的展开式中的二项式系数和为32，则12+n a a a ++=（ ）.A 241 .B 242 .C 243 .D 2446、《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m 的值为0，则输入的a 的值为（ ）.A 218 .B 4516 .C 9332.D 189647、已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法一定成立的是（ ）.A 若30a >，则20150a < .B 若40a >，则20140a < .C 若30a >，则20150S > .D 若40a >，则20140S >8、已知k R ∈，点(,)P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（ ）.A 15 .B 9 .C 1 .D 53-9、若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使00+20x ay +≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1a ≤- .B 1a <- .C 1a > .D 1a ≥10、平行四边形ABCD 中，1,1,2-=⋅==AD AB AD AB ，点M 在边CD 上，则MB MA ⋅的最大值为（ ）.A 5 .B 2 .C 1- .D 111、已知12,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若a AF 21=，3221π=∠AF F ，则=∆∆221ABF F AF S S （ ）.A 1 .B 21 .C 31 .D 3212、不等式2ln (2)2x x x m x m ++-≤有且只有一个整数解，则m 的取值范围为（ ）.A [1,)-+∞ .B (,44ln 2][1,)-∞---+∞ .C (,33ln3][1,)-∞---+∞ .D (44ln 2,33ln3][1,)-----+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13、121(1sin 2)x x dx --+=⎰.14、已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈，当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，则b 的取值范围是 .15、如图是某四面体的三视图，则该四面体的体积为 .16、已知数列{}n a 满足22(2)(2)n n na n a n n λ+-+=+，其中121,2a a ==，若1n n a a +<对n N *∀∈恒成立，则实数λ的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本小题满分12分） 已知23BAC P π∠=，为BAC ∠内部一点，过点P 的直线与BAC ∠的两边交于点,B C ，且,3PA AC AP ⊥=.（1）若3AB =，求PC ；（2）求11PB PC+的取值范围. 18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 的交点为O ,2,6,60PD PB AB PA BCD ====∠=.（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）在棱CD 上是否存在点M ，使平面ABP 与平面MBP 所成锐二面角的余弦值为55?若存在，请指出M 点的位置；若不存在，请说明理由. 19、（本小题满分12分）正视图侧视图俯视图12 212 APBCD OA CPB在2月K12联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布2(95,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望．（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？ ①若X ~2(,)N μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=②22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++③20()P K K ≥0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001 0K0.455 0.708…6.6357.87910.82820、（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C ，F 为左焦点，A 为上顶点，)0,2(B 为右顶点，若AB AF 27=，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F . （1）求1C 的标准方程；数学成绩50 70 150 130110 90 0.00120.008 0.0088 0.024频率/组距（2）是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 交点分别是P ，Q 和M ，N ，使得OMN OPQ S S ∆∆=21？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.21、（本小题满分12分） 已知函数()(2)()xf x x e ax =--.（1）当0a >时，讨论)(x f 的极值情况； （2）若(1)[()]0x f x a e --+≥，求a 的值.请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22、（本小题满分10分）【选修4——4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2+2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为=(0)6πθρ>.（1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程； （2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积. 23、（本小题满分10分）【选修4——5：不等式选讲】 已知函数()||21f x x m x =++-. （1）当=1m 时，解不等式()3f x ≥； （2）若14m <，且当[,2]x m m ∈时，不等式1()12f x x ≤+恒成立，求实数m 的取值范围．理科数学 参考答案1.B2.C3.C 【解析】由两直线平行可得cos cos 0b B a A -=，由正弦定理可得sin cos sin cos 0B B A A -=，即11sin 2sin 222A B =，又,(0,)+(0,)A B A B ππ∈∈，，所以22A B =或2+2=A B π，即A B =或+=2A B π，当A B =时，cos cos a b A B ==，，此时两直线重合，不符合题意，舍去.则ABC ∆是直角三角形. 4. B 5. B 6.C7.C 【解析】等比数列的公比0q ≠，若30a >，则2201411201510,0,0a q a a a q>∴>∴=>，所以A 错误；若40a >，则3201311201410,0,0a q a q a a q>∴>∴=>，所以B 错误；若30a >，则312=0,1a a q q>∴=时，20150S >，1q ≠时，201512015(1)=0(11a q S q q ->--与20151q -同号），所以C 一定成立；易知D 不成立. 8.B 【解析】由题意得：d =≤，且2230k k -+>，解得31k -≤≤ .2222222=()()4(23)323ab a b a b k k k k k +-+=--+=+-，所以：当=3k -时，ab 取到最大值9.9. A 【解析】由线性区域可得00y >，由题意得0max 02()x a y +≤-，002yx +表示(2,0)-与00(,)x y 031y ，所以002713x y +-≤-≤-，1a ≤-.10.B 11.B12.D 【解析】由2ln (2)2x x x m x m ++-≤得2ln 2(2)x x x x x m +-≤-，所以当2x >时，满足2ln 2(2)x x x xm x +-≥-只有一个整数解或当02x <<时，满足2ln 2(2)x x x xm x +-≤-只有一个整数解.令2ln 2()(2)x x x x f x x +-=-，所以222ln 32()(2)x x x f x x -+-'=-，令2()2ln 32g x x x x =-+-，得(21)(2)()x x g x x--'=-，所以()g x 在(0,2)单调递增，(2)+∞，单调递减，所以max ()(2)2ln 24622ln 20g x g ==-+-=>，又(1)0g =， (3)2ln 320,(4)4ln 260g g =->=-<，所以存在0(3,4)x ∈，使0()=0g x ，所以()f x 在(0,1)，0(,)x +∞单调递减，在(1,2)，0(2,)x 单调递增，所以当(0,2)x ∈时，min ()(1)1f x f ==-，当(2,)x ∈+∞时，max 0()()f x f x =，又(3)33ln3(1),(4)44ln 2(1)f f f f =--<=--<，且16(3)(4)ln027ef f -=>，所以2ln 2(2)x x x x x m +-≤-有且只有一个整数解的解为1x =或3x =，所以(1)m f >或(4)(3)f m f <≤，即1m ≥-或44ln 233ln3m --<≤--13.2π 14. 1 15. 2 16. [0,)+∞17. 【解析】（1）2=326BAC PAC BAP πππ∠=∠∴∠=，，，在PAB ∆中，由余弦定理知2222cos36PB AP AB AP AB π=+-=，得PB AP ，则233BPA APC ππ∠=∠=，.在直角APC ∆中，=23cos3AP PC π=.（2）设APC θ∠=，则6ABP πθ∠=-，在直角APC ∆中，=cos APPC θ，在PAB ∆中，由正弦定理知,sin()sin2sin()666AP PB AP PB πππθθ=∴=-- .所以2sin()11cos 3sin 6=sin PB PC AP AP APπθθθθ-++==，由题意知1,sin 1622ππθθ<<∴<<，所以11PB PC +的取值范围是1(,1)2. 18.【解析】（Ⅰ）证明：∵ PD ＝PB ，且O 为BD 中点，∴ PO ⊥BD. 在菱形ABCD 中，∵ ∠BCD ＝600，AB ＝2，∴ OA ＝3，OB ＝1. 又PB ＝2， ∴ PO ＝ 3.∵ PA ＝6，∴ PA 2＝PO 2＋OA 2，PO ⊥OA. ∵ BD ∩AO ＝O ，∴ PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）建立如图所示坐标系，则A(3，0，0)，B(0，1，0)，C(－3，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，3).∴ → AB ＝(－3，1，0)，→ BP ＝(0，－1，3)，→ BC ＝(－3，－10)，→ CD ＝(3，-1，0)，设平面ABP 的一个法向量为n 1，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·→ AB ＝0n 1·→ BP ＝0 得n 1＝(1，3，1)设→ CM ＝λ→ CD ，则→ BM ＝→ BC ＋→ CM ＝→ BC ＋λ→CD ＝(3(λ-1)，－(λ+1)，0).设平面BPM 的一个法向量为n 2，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·→ BM ＝0n 2·→BP ＝0 得n 2＝(λ+1，3(λ－1)，λ－1) 由 |cos < n 1，n 2>|＝|5λ－3|5(λ+1)2+4(λ－1)2＝55 得 5λ2－6λ＋1＝0，∴ λ＝1或λ＝15 . 即，当点M 与点D 重合或|→ CM|＝15 |→ CD|时，锐二面角的余弦值为55.19.【解析】解：（1）∵语文成绩服从正态分布2(95,17.5)N ， ∴语文成绩特别优秀的概率为11(130)(10.96)0.022p P X =≥=-⨯=， zA PB CDOx y M数学成绩特别优秀的概率为20.0012200.024p =⨯=， ∴语文特别优秀的同学有5000.02=10⨯人， 数学特别优秀的同学有5000.024=12⨯人．（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3，321101063316161231066331616327(0),(1),1456151(2),(3),5628C C C P X P X C C C C C P X P X C C ============∴X 的分布列为：X0 1 2 3P314 2756 1556 1283271519()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）2×2列联表：语文特别优秀 语文不特别优秀 合计数学特别优秀 6 6 12 数学不特别优秀4 484 488 合计10490500∴22500(648446)=144.5 6.6351049012488K ⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯ ∴有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．20. 【解析】（Ⅰ）依题意可知=，即2227b a a +=，由右顶点为)0,2(B ，得2=a ，解得32=b ，所以1C 的标准方程为13422=+y x . （Ⅱ）依题意可知2C 的方程为x y 42-=，假设存在符合题意的直线，设直线方程为1-=ky x ，),(11y x P ，),(22y x Q ，),(33y x M ，),(44y x N ,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x ky x ，得096)43(22=--+ky y k ， 由韦达定理得436221+=+k k y y ，439221+-=k y y ，则431122221++=-k k y y ，联立方程组⎩⎨⎧-=-=xy ky x 412，得0442=-+ky y ，由韦达定理得k y y 443-=+，443-=y y ，所以14243+=-k y y ，若OMN OPQ S S ∆∆=21，则432121y y y y -=-，即1243112222+=++k k k ，解得36±=k ，所以存在符合题意的直线方程为0136=++y x 或0136=+-y x . 21.【解析】（1）已知()()(2)()(1)2(1)(1)(2)x x x xf x e ax x e a x e a x x e a '=-+--=---=--因为0a >，由()0f x '=得1x =或ln 2x a =.① 当=2e a 时，()(1)()0xf x x e e '=--≥，()f x 单调递增，故()f x 无极值； ② 当02ea <<时，ln21a <，则所以：()f x 有极大值2(ln 2)=(ln 22)f a a a --，极小值(1)=f a e - ③2ea >时，ln21a >，则所以：()f x 有极大值(1)=f a e -，极小值2(ln 2)=(ln 22)f a a a -- 综上所述：02e a <<时，()f x 有极大值2(ln 22)a a --，极小值a e -； =2ea 时，()f x 无极值；2e a >时，()f x 有极大值a e -，极小值2(ln 22)a a --； （2）令()()g x f x a e =-+，则(1)()0x g x -≥， 且()()(1)(2)xg x f x x e a ''==--①0a ≤时，20xe a ->，所以当1x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(1)0g x g >=，此时(1)()0x g x -<，不满足题意；③ 由于()g x 与()f x 由相同的单调性，由（1）知a.当=2ea 时，()g x 在R 上单增，且(1)=0g ，所以1x ≥时，()0g x ≥，1x <时，()0g x <， 所以当=2ea 时，恒有(1)()0x g x -≥，满足题意； b.当02ea <<时，()g x 在(ln 2,1)a 上单减，所以(ln 2,1)x a ∈时，()(1)=0g x g >，此时 (1)()0x g x -<，不满足题意；c.当2ea >时，()g x 在(1,ln 2)a 递减，所以当(1,ln 2)x a ∈时，()(1)=0g x g <，此时 (1)()0x g x -<，不满足题意；综上：=2e a .22.【解析】（1）曲线1C 的普通方程：22(2)4x y -+=，即22-40x y x +=.所以1C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即=4cos ρθ. 曲线3C的直角坐标方程：(0)y x x =>，...........5分 （2）依题意，设点P 、Q 的极坐标分别为12(,),(,)66ππρρ. 将=6πθ代入=4cos ρθ，得1ρ，将=6πθ代入=2sin ρθ，得2=1ρ，所以121PQ ρρ=-=，依题意得，点1C 到曲线=6πθ的距离为1sin16d OC π==.所以1111(231)222C PQ S PQ d ∆===. ......10分 23. 【解析】（1）当=1m 时，()|1|21f x x x =++-，则-3(1)1()2-(1)213()2x x f x xx x x ⎧⎪<-⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，由()3f x ≥解得1x ≤-或1x ≥，即原不等式的解集为(,1][1,)-∞-⋃+∞........5分（2）1()12f x x ≤+，即11+2-1122x m x x +≤+，又[,2]x m m ∈且14m <， 所以10,4m <<且0x > 所以11+121222m x x x ≤+--.即221m x x ≤+--.令()221t x x x =+--，则131(0)2()13()2x x t x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，所以[,2]x m m ∈时，min ()()=31t x t m m =+， 所以31m m ≤+，解得12m ≥-， 所以实数m 的取值范围是1(0,)4. ......10分。