1)一元一次方程根的讨论
《一元一次方程》的优秀教案(9篇)精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版《一元一次方程》的优秀教案《一元一次方程》的优秀教案（精选9篇）《一元一次方程》的优秀教案篇1知识技能会通过“移项”变形求解“ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程。
数学思考1.经历探索具体问题中的数量关系过程，体会一元一次方程是刻画实际问题的有效数学模型。
进一步发展符号意识。
2.通过一元一次方程的学习，体会方程模型思想和化归思想。
解决问题能在具体情境中从数学角度和方法解决问题，发展应用意识。
经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性。
情感态度经历观察、实验计算、交流等活动，激发求知欲，体验探究发现的快乐。
教学重点建立方程解决实际问题，会通过移项解“ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程。
教学难点分析实际问题中的相等关系，列出方程。
教学过程活动一知识回顾解下列方程：1.3x+1=42.x-2=33.2x+0.5x=-104.3x-7x=2提问：解这些方程时，方程的解一般化成什么形式？这些题你采用了那些变形或运算？教师：前面我们学习了简单的一元一次方程的解法，下面请大家解下列方程。
出示问题（幻灯片）。
学生：独立完成，板演2、4题，板演同学讲解所用到的变形或运算，共同讲评。
教师提问：（略）教师追问：变形的依据是什么？学生独立思考、回答交流。
本次活动中教师关注：（1）学生能否准确理解运用等式性质和合并同列项求解方程。
（2）学生对解一元一次方程的变形方向（化成x=a的形式）的理解。
通过这个环节，引导学生回顾利用等式性质和合并同类项对方程进行变形，再现等式两边同时加上(或减去)同一个数、两边同时乘以（除以，不为0）同一个数、合并同类项等运算，为继续学习做好铺垫。
活动二问题探究问题2：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少学生？教师：出示问题（投影片）提问：在这个问题中，你知道了什么？根据现有经验你打算怎么做？（学生尝试提问）学生：读题，审题，独立思考，讨论交流。
一元一次方程的概念及解法
同步课程˙一元一次方程一、等式（1）用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．（2）在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．（3）等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．一、方程方程：含有未知数的等式叫方程，如21x +=，它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数二、方程的解方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。
三、一元一次方程 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．一元一次方程的形式：最简形式：方程ax b =（0a ≠，a ，b 为已知数）叫一元一次方程的最简形式． 标准形式：方程0ax b +=（其中0a ≠，a ，b 是已知数）叫一元一次方程的标准形式． 注意：⑴任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x ++=-是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．⑵方程ax b =与方程()0ax b a =≠是不同的，方程ax b =的解需要分类讨论完成四、一元一次方程的解法（一）等式的性质 等式的性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b =，则a m b m ±=±；等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．一元一次方程的概念及解法知识回顾知识讲解同步课程˙一元一次方程若a b =，则am bm =，a bm m=(0)m ≠注意：⑴在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边⑵等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同． ⑶在等式变形中，以下两个性质也经常用到： 对称性，即：如果a b =，那么b a =．传递性，即：如果a b =，b c =，那么a c =．又称为等量代换 易错点：等号左右互换的时候忘记变符号 （二）解一元一次方程的步骤 解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程的两边都乘以各分母的 最小公倍数 ．温馨提示：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号． 2．去括号：一般地，先去 小括号，再去 中括号，最后去 大括号． 温馨提示：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．3．移项：把含有 未知数 的项都移到方程的一边， 不含未知数的项 移到方程的另一边． 温馨提示：⑴移项要变号；⑵不要丢项． 4．合并同类项：把方程化成ax b =的形式． 温馨提示：字母和其指数不变．5．系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a （0a ≠ ），得到方程的解 bx a=． 温馨提示：不要把分子、分母搞颠倒．同步课程˙一元一次方程【例1】 下列各式中哪些是方程⑴7887⨯=⨯ ⑵2345x x ++ ⑶312y y -= ⑷60x = ⑸31x > ⑹111x =+ ⑺26x y -= ⑻2430y y -+=【变式练习】判断下列各式是不是方程⑴373x x -=-+ ⑵223y -= ⑶2351x x -+ ⑷112--=- ⑸42x x -=- ⑹152x y-=【例2】 检验下列各数是不是方程315x x -=+的解⑴3x =； ⑵1x =-【变式练习】检验下列各数是不是方程213x y x y ++=--的解⑴23x y =⎧⎨=-⎩ ⑵10x y =⎧⎨=⎩ ⑶02x y =⎧⎨=-⎩【例3】 若2-为关于x 的一元一次方程，713mx +=的解，则m 的值是 【变式练习】关于x 的方程320x a +=的根是2，则a 等于 【例4】 x=3是方程（ ）的解（ ）A ．3x=6B ．（x －3）（x －2）=0C ．x （x －2）=4D ．x+3=0同步练习同步课程˙一元一次方程【例5】 若⎩⎨⎧==21y x 是方程3=-y ax 的解，则a 的取值是（ )A.5B.-5C.2D.1【例6】 已知关于x 的方程4x-3m=2的解是x=m ，则m 的值是【例7】 已知关于x 的方程（a ＋1）x ＋（4a －1）＝0的解为－2，则a 的值等于（ ）． A.－2B.0C.32D.23 【例8】 若2-为关于x 的一元一次方程，713mx +=的解，则m 的值是 【变式练习】关于x 的方程320x a +=的根是2，则a 等于 【例9】 根据等式的性质填空：（1）4a b =-，则______a b =+； （2）359x -=，则39x =+ ； （3）683x y =+，则x =_________； （4）122x y =+，则x =__________．【例10】下列各式中，变形正确的是（ ）．A ．若a b =，则a c b c +=+B ．若(1)2a x -=，则21x a =- C ．若2a b =，则4a b =D ．若1a b =+，则221a b =+【例11】根据等式性质5＝3x －2可变形为（ ）．A.－3x ＝2－5B.－3x ＝－2＋5C.5－2＝3xD.5＋2＝3x【变式练习】下列变形中，不正确的是（ ）A ．若25x x =，则5x =B ．若77,x -=则1x =-C ．若10.2x x -=，则1012x x -= D ．若x ya a =，则ax ay = 【变式练习】用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的．⑴如果23x =+，那么x =____________；根据 ⑵如果6x y -=，那么6x =+_________；根据 ⑶如果324x y -=，那么34x y -=______；根据⑷如果34x =，那么x =_____________；根据【例12】下列各式中：⑴3x +；⑵2534+=+；⑶44x x +=+；⑷12x=；⑸213x x ++=；⑹44x x -=-；⑺23x =；⑻2(2)3x x x x +=++．哪些是一元一次方程？【变式练习】下列方程是一元一次方程的是（ ）．A ．2237x x x +=+ B ．3435322x x -+=+ C ． 22(2)3y y y y +=-- D ．3813x y -=同步课程˙一元一次方程【变式练习】在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈⑴中，属于一次方程的序号填入圆圈⑵中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分．①359x +=：②2440x x ++=；③235x y +=：④20x y +=；⑤8x y z -+=：⑥1xy =-．【例13】关于x 的方程（k ＋2）x 2＋4kx －5k ＝0是一元一次方程，则k ＝________． 【例14】已知等式0352=++m x 是关于x 的一元一次方程，则m =____________． 【例15】已知方程()7421=+--m x m 是关于x 的一元一次方程，则m=_________ ． 【例16】若131m x -=是一元一次方程，那么m =【变式练习】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k =【变式练习】若关于x 的方程2223x x ax a x a -=-+是一元一次方程，则a = ，方程的解是 【变式练习】已知关于x 的方程(21)50n m x --=是一元一次方程，则m 、n 需要满足的条件为 【例17】下列等式中变形正确的是（ ）A.若31422x x -+=，则3144x x -=- B. 若31422x x -+=，则3182x x -+= C.若31422x x -+=，则3180x -+= D. 若31422x x -+=，则3184x x -+= 【例18】122233x x x -+-=- 【例19】方程3x+6=2x －8移项后，正确的是（ ）A ．3x+2x=6－8B ．3x －2x=－8+6C ．3x －2x=－6－8D ．3x －2x=8－6【例20】将3（x －1）－2（x －3）＝5（1－x ）去括号得（ ）A.3x －1－2x －3＝5－xB.3x －1－2x ＋3＝5－xC.3x －3－2x －6＝5－5xD.3x －3－2x ＋6＝5－5x【例21】在解方程21-x −1332=+x 时，去分母正确的是（ ） A.()()132213=+--x x B. ()()632213=+--x xC.13413=+--x xD. 63413=+--x x【例22】方程２－342-x ＝－67-x 去分母得（ ） A.2－2 （2x －4）= －（x －7) B ．12－2 （2x －4）= －x －7 C.12－2 （2x －4）= －（x －7) D ．12－（2x －4）= －（x －7）（2）（1）⑤③①②（2）（1）同步课程˙一元一次方程【变式练习】解方程：⑴6(1)5(2)2(23)x x x ---=+ ⑵12225y y y -+-=-【变式练习】解方程：（1）3(3)52(25)x x -=--；（2）()()()243563221x x x --=--+； （3）135(3)3(2)36524x x ---=【例23】解方程：（1）5y －9＝7y －13； （2）3（x －1）－2（2x ＋1）=12 ； （3）757875xx -=- ； （4）1213123x x x --+=-.先变形、再解方程本类型题：需要先利用等式的基本性质，将小数化为整数，然后再进行解方程计算 【例24】解方程：7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-． 解：原方程可化为7110.251432x x x --+=- 去分母，得 ．根据等式的性质（ ）去括号，得 ．移项，得 ．根据等式的性质（ ） 合并同类项，得 ．系数化为1，得 ．根据等式的性质（ ）同步课程˙一元一次方程【例25】0.130.4120 0.20.5x x+--=【变式练习】解下列方程：⑴2 1.21 0.70.3x x--=；⑵0.40.90.10.50.030.020.50.20.03x x x+-+-=；⑶1(0.170.2)1 0.70.03xx--=⑷0.10.020.10.10.3 0.0020.05x x-+-=⑸422 30%50%x x-+-=⑹1(4)33519 0.50.125xxx+++=+⑺0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x xx++-=-⑻0.10.90.21 0.030.7x x--=逐层去括号含有多重括号时，去括号的顺序可以从内向外，也可以从外向内。
数学《一元一次方程》教学设计(优秀3篇)
数学《一元一次方程》教学设计（优秀3篇）随着时光的流逝，新的一个学期又开始了，为了更好的完成新学期的教育教学工作，使以后的工作有目的、有计划、有组织的顺利的进行，这次帅气的小编为您整理了数学《一元一次方程》教学设计（优秀3篇），希望大家可以喜欢并分享出去。
教学目标：篇一知识与技能：理解有关概念：方程，一元一次方程，方程的解，体会用方程来表示数量关系的优越性。
过程与方法：能将实际问题抽象为数学问题，并会找相等关系来列方程。
情感与态度：增强应用数学的意识，激发学习数学的热情。
教学重点：从实际问题中寻找相等关系。
教学难点：从实际问题中寻找相等关系。
学习路线：篇二1、阅读课本。
2、完成以下学习任务：(1)章前图中的汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地，时间如表所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米。
求王家庄到翠湖的路程？①列算式用算术方法解决这个实际问题：____________________②用方程来解决这个实际问题：先画示意图：再找相等关系来列方程：(小组交流，讨论多种方法)(2)方程的概念：___________________________判断以下式子哪些是方程？是的画3+1=4; ;(3)根据下列问题列方程：①用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，设正方形的边长是x cm，则可列方程：________②一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过x 月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时，则可列方程：____________________③某校女生占全体学生数的52℅，比男生多80人，设这个学校有x 名学生，则可列方程：___________________④课本的三道练习题：(完成后小组批改)(4)一元一次方程的概念：___________________________注意：是整式方程。
(5)什么叫做解方程：____________________________(6)什么叫做方程的解？__________________________(7)括号里的数( =3，=4，=-4)是方程的解有____________归纳：设未知数列方程实际问题一元一次方程分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。
一元一次方程根的判别式的应用
一元一次方程根的判别式的应用绥阳县郑场中学 刘汝超一元二次方程的判别式的应用非常广泛,为了使同学能熟练地运用判别式解题,列举几种典型的题目的解法,供学生参考:例1 m 为何值时,二次三项式x 2+2x +m (x 2-2x +1)-2是完全平方式。
解:原式可变为:(1+m )x 2+2(1-m )x +(m -2),其判别式为:△=4(1-m )2-4(1+m )(m -2)=4(3-m )要使原式为完全平方式,必须△=0即4(3-m )=0 故:m =3例2 若m 是有理数,k 为何值时,方程:x 2-4mx +4x +3m 2-2m +4k =0的根是有理根。
解:原方程可变形为x 2+4(1-m )x +(3m 2-2m +4k )=0△=16(1-m )2-4(3m 2-2m +4k )要使原方程为有理根,△应是完全平方式,而这时△是关于m 的二次三项式,要使△是完全平方式,又必须使它的判别式△’=0由△‘=36-4(4-4k )=20+16k =0解为k =-54例3 求方程组x +y =2 ①xy -z 2=1 ②的实数解。
解:由①得y =2-x 代入②得x 2-2x +z 2=0.③△=4-4(z 2+1)=-4z 2要使方程③有实数的解必须-4z 2≥0∴z 2≤0 即z =0代入③式得x =1代入①得y =1.・92・■数学∴方程组的解x =1y =1z =0也可以利用根与系数之间的关系构造新的一元二次方程去解。
例4 若a ,b ,c 是实数,求证方程:(x -a )(x -b )+(x -b )(x -c )+(x -c )(x -a )=0,解有实数根,并求出有等根的条件:证明:原方程可化为:3x 2-2(a -b +c )s +ab +bc +ca =0△=4(a +b +c )2-12(ab +bc +ca )=4(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca )=2[(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2〗≥0二方程根有实数根。
解方程的根的判别与求解
解方程的根的判别与求解解方程的根的判别与求解是数学中重要的内容之一。
当我们遇到一个方程时，我们需要通过判别方程的根的性质来确定解的存在与数量，并通过求解方程来得到具体的根。
本文将介绍解方程的根的判别方法及求解方法，以帮助读者更好地理解和应用这个知识点。
1. 一元二次方程的根的判别与求解一元二次方程通常可以表示为ax^2 + bx + c = 0的形式，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
我们可以通过求方程的判别式Δ=b^2 - 4ac的值来判断方程的根的性质。
1.1 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
我们可以使用求根公式x1,2 = (-b ± √Δ) / (2a)来求得根的具体数值。
1.2 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
我们可以使用求根公式x = -b / (2a)来求得根的具体数值。
1.3 当Δ < 0时，方程没有实根。
此时方程的解为复数根，具体形式为x1,2 = (-b ± i√|Δ|) / (2a)，其中i为虚数单位。
2. 一元一次方程的求解一元一次方程通常可以表示为ax + b = 0的形式，其中a和b为已知常数，且a≠0。
求解一元一次方程的过程相对简单，我们只需要将方程改写为x = -b / a的形式，即可直接得到方程的解。
3. 高次方程的求解对于高次方程，例如三次方程、四次方程等，通常没有一般的求根公式。
因此，在判别高次方程的根的性质时，我们需要通过观察方程的特点，应用代数学中的定理和方法进行求解。
3.1 三次方程的求解可借助韦达定理和根与系数的关系。
韦达定理指出，对于三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其根x1+x2+x3 = -b / a，x1x2+x1x3+x2x3 = c / a，x1x2x3 = -d / a。
利用这些关系可以将三次方程转化为二次方程进行求解。
3.2 四次方程的求解可借助费拉里定理和根与系数的关系。
人教版数学七年级上册一元一次方程背景与意义分析
人教版数学七年级上册一元一次方程背景与意义分析本课安排在第1章“有理数”之后，属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中的“数与代数”领域。
方程有悠久的历史，它随着实践需要而产生，被广泛应用。
从数学科学本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展。
从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础。
本课中引出了方程、一元一次方程等基本概念，并且对“根据实际问题中的数量关系，设未知数，列出一元一次方程”的分析问题过程进行了归纳。
以方程为工具分析问题、解决问题，即建立方程模型是全章的重点，同时也是难点。
分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章主线，而对一元一次方程的有关概念和解法的讨论，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的。
列方程中蕴涵的“数学建模思想”是本课始终渗透的主要数学思想。
在小学阶段，已学习了用算术方法解应用题，还学习了最简单的方程。
本小节先通过一个具体行程问题，引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再一步一步引导学生列出含有未知数的式子表示有关的量，并进一步依据相等关系列出含有未知数的等式——方程。
这样安排目的在于突出方程的根本特征，引出方程的定义，并使学生认识到方程是最方便、更有力的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步。
算术表示用算术方法进行计算的程序，列算式是依据问题中的数量关系，算术中只能含已知数而不能含未知数。
列方程也是依据问题中的数量关系（特别是相等关系），它打破了列算式时只能用已知数的限制，方程中可以根据需要含有相关的已知数和未知数，未知数进入式子是新的突破。
正因如此，一般地说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然，因而有更多优越性。
淡谈方程根的分布问题
浅谈方程根的分布问题瑞丽一中 杨世泽一元二次不等式是高中数学中极其重要的内容，这段内容与一元二次方程、二次函数等内容有着直接而密切的联系，老师讲解一元二次不等式时，不能不涉及一元二次方程根的分布。
尽管这段内容现被列为了选学内容，但它是老师进行数形结合教学，培养学生分类讨论思想的良好素材 。
因此老师不仅要讲解这段内容，而且还要达到一定的深度，使学生对这段内容有一个较为全面透彻的理解。
学生要学好一元二次方程根的分布，首先应掌握好一元一次方程根的分布。
一、一元一次方程根的分布问题研究一元一次方程在指定区间上的根的问题有以下二种常见解法。
1、 求根→列出相关的不等式组→解不等式组2、 利用数形结合列出不等式例1、关于x 的方程01=+kx 的根在（１，２）内，求k 的取值范围。
解：法一：原方程的根为kx 1-=得，211<-<k⇒211->>-k ⇒211-<<-k∴实数k 的取值范围是{}211-<<-k k法二：设1)(+=kx x f ，利用数形结合，因方程01=+kx 的根在（１，２）内，则1)1(+=k f 、12)2(+=k f 的值必一正一负，得0)12)(1(<++k k ⇒211-<<-k∴实数k 的取值范围是{}211-<<-k k二、一元二次方程根的分布问题一元二次方程在指定区间上的实根分布问题有以下三类常见解法。
第一类：求根→列出相关的不等式组→解不等式组。
此方法一般用于方程的根可用十字相乘法求出的题。
例2、 方程()001222>=-+-m ，m x x 的两根在（-2，3）内，求m 的取值范围。
解：原方程可化为()()110,(0)x m x m m --⋅-+=>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦x∴原方程的两根为：m x -=11，21x m =+，得0213213m m m >⎧⎪-<-<⎨⎪-<+<⎩解得20<<m ∴实数m 的取值范围是{}02m m <<第二类：利用根与系数的关系及符号法则列出不等式组。
方程的根与系数之间的关系
方程的根与系数之间的关系方程的根与系数之间的关系是数学中一个重要的概念，它揭示了方程中各个元素之间的内在联系。
当我们研究一个多项式方程时，通常会关注它的根，也就是方程等号两边相等的情况。
根据代数基本定理，一个n次多项式方程一定有n个复数根，包括重根。
这些根与方程的系数之间存在着一定的关系，可以通过系数来推断根的性质。
我们来看一元一次方程的情况。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为实数系数。
根据一元一次方程的解法，可以得出方程的根为-x/b。
可以看出，根与系数之间的关系很简单，即根是系数的函数。
当系数变化时，根也会相应变化。
接着，我们来看一元二次方程的情况。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数系数。
根据韦达定理，可以得出方程的两个根分别为(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
从这个式子可以看出，根与系数之间的关系更为复杂。
首先，根的符号取决于b的正负号，其次根的大小取决于b^2-4ac的大小。
系数a的变化会影响根的正负性质，系数b的变化会影响根的大小，系数c的变化会影响根的具体数值。
因此，通过观察系数的变化，我们可以推断方程的根的性质。
除了一元二次方程外，更高次的多项式方程也存在类似的关系。
例如，一元三次方程和一元四次方程的根与系数之间的关系也可以通过公式来表达。
在实际应用中，通过研究方程的根与系数之间的关系，可以帮助我们更好地理解方程的性质，从而更有效地解决问题。
总的来说，方程的根与系数之间存在着密切的联系，通过研究这种关系，我们可以深入理解方程的本质。
系数的变化会直接影响根的性质，从而影响方程的解的情况。
因此，在解决数学问题时，我们可以通过观察方程的系数来推断方程的根的情况，从而更好地解决问题。
这种关系不仅存在于数学中，也可以应用到物理、工程等领域，帮助我们更深入地理解自然界的规律。
通过研究方程的根与系数之间的关系，我们可以更好地认识数学的魅力，拓展我们的思维，提高解决问题的能力。
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一元一次方程解的讨论
甲内容提要
1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解 分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。
2， 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x=
a
b ；
当a=0且b ≠0时，无解；
当a=0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3, 求方程ax=b(a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a ｜b 时，方程有整数解；
当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 乙例题
例1 a 取什么值时，方程a(a －2)x=4(a －2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？ 解：①当a ≠0且a ≠2 时，方程有唯一的解，x=
a
4
②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解； ③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解 ④由①可知当a ≠0且a ≠2时，方程的解是x=a 4,∴只要a 与4同号，
即当a>0且a ≠2时，方程的解是正数。
例2 k 取什么整数值时，方程
①k(x+1)=k －2（x －2）的解是整数？ ②（1－x ）k=6的解是负整数？ 解：①化为最简方程（k ＋2）x=4
当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数 ∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。
②化为最简方程kx=k －6， 当k ≠0时x=
k
k 6 =1－k
6，
只要k 能整除6, 即 k=±1，±2，±3，±6时，x 就是整数 当 k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。
例3 己知方程a(x －2)=b(x+1)－2a 无解。
问a 和b 应满足什么关系？ 解：原方程化为最简方程： (a －b)x=b
∵方程无解，∴a －b=0且b ≠0 ∴a 和b 应满足的关系是a=b ≠0。
例4 a 、b 取什么值时，方程（3x －2）a+（2x －3）b=8x －7有无数多解？ 解：原方程化为最简方程：（3a+2b －8）x=2a+3b －7， 根据 0x ＝0时，方程有无数多解，可知 当 ⎩⎨
⎧=-+=-+0
7320823b a b a 时，原方程有无数多解。
解这个方程组得⎩⎨
⎧==1
2b a
答当a=2且b=1时，原方程有无数多解。
丙练习（9）
1, 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：
① (x+1)=0, ②x 2=9, ③|x|=9， ④|x|=－3, ⑤3x+1=3x －1, ⑥x+2=2+x
2,关于x 的方程ax=x+2无解，那么a__________
3,在方程a(a －3)x=a 中，
当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解； 当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
4， k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？
① x=
k
4 ②x=1
6-k ③x=k
k 32+ ④x=1
23+-k k
5， k 取什么值时，方程x －k=6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？
6， m 取什么值时，方程3（m+x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？ 7， 己知方程
2214
63+=
+-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？
8， m 取什么整数值时，方程m m x 3
21)13
(-
=-的解是整数?
9， 己知方程
ax x b 2
31)1(2
=
++有无数多解，求a 、b 的值。