抛物线ppt课件
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抛物线的性质ppt课件
x
p
2
P1
l
p
p
端点为
(
, p )
特别地, 当x1 x2 时, AB 2 p, 此时 AB 为抛物线的通径.
2
2
y
y
设P ( x0 , y0 )，
l
P
P1
F
P
O
l
则由抛物线的定义，
|PF| | P1 P | x0
p
2
设P ( x0 , y0 )，
P1
x
O
则由抛物线的定义，
p
y k ( x 1)
联立 2
得k 2 x 2 (2k 2 4) x k 2 0(k 0).
y 4x
4
4
x1 x2 2 2 . PQ PF QF x1 x2 2 4 2 8.
k
k 2 1. k tan [1,0) (0,1].
(1)若直线l的倾斜角为60, 求 AB 的值.
(2)若 AB 9, 求线段AB的中点M到准线的距离.
3
3
解 : (1) F ( ,0), l : y 3 ( x )
2
2
3
9
y 3( x ) 2
联立
2 得x 5 x 0. 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).
F
B
p
AF AA' p AF cos AF (1 cos ) p AF
1 cos
p
BF p BF cos BF
1 cos
上－下+
为直线的倾斜角.
4.3.1抛物线的标准方程 课件(共14张PPT)
程为 x 3 .
2
2
活动 3 巩固练习，提升素养
例1 （2）已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2)，求它 的标准方程.
解（2）因它的标准方程为为焦点在 y 轴的负半轴上， 并且 p 2，p 4 ，所以所求方程是
2
x2 8 y
课堂小结
y2 2 px p＞0或y2 2 px p＞0 x2 2 py p＞0或x2 2 py p＞0
试一试 第一步：在画板上画一条直线 l，使 l 与画板左侧的边
线平行； 第二步：再在直线 l 外画一个定点 F．取一个丁字尺靠
紧画板左侧外沿，丁字尺和直线垂直且相交于点 P，在丁 字尺的另一端取一点 Q， 将一条长度等于 PQ 的细绳，一 端固定在点 Q ，另一端固定在点 F；
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
F p ，0 ，准线为 x p ．
2
2
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
设 M(x,y) 是抛物线上一点，则 M 到 F 的距离为
MF
x
p 2
2
y2
，M
到直线
l
的距离为
x
p 2
，所以
x p 2 y2 x p .
2
2
将上式两边平方，并化简得
y2 2 px p＞0．
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
抛物线的标准方程还有其他几种形 ：y2 2 px， x2 2 py x2 2 py ，它们的焦点、准线方程以及图形如表中所示：
第七节 抛物线 课件(共48张PPT)
(4)|A1F|＋|B1F|＝2p. (5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
题组一 小题自测 1．(人A选修2－1·习题改编)过点P(－2，3)的抛物线 的标准方程是( ) A．y2＝－92x或x2＝43y B．y2＝92x或x2＝43y C．y2＝92x或x2＝－43y D．y2＝－92x或x2＝－43y
考点2 抛物线的标准方程与几何性质
角度 求抛物线方程
[例2] (1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标
原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面
积为4 3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝6x
B．y2＝8x
C．y2＝16x
D．y2＝152π
(2)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C 上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方 程为( )
1．(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)
上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，
则p＝( )
A．2
B．3
C．6 D．9
解析：法一 因为点A到y轴的距离为9，所以可设
点A(9，yA)，
所以y2A＝18p.又点A到焦点p2，0的距离为12，
所以 9－p22＋y2A＝12，所以9－p22＋18p＝122，
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 解析：(1)设M(x，y)，因为|OF|＝p2，|MF|＝4|OF|， 所以|MF|＝2p， 由抛物线定义知x＋p2＝2p，所以x＝32p， 所以y＝± 3p.
又△MFO的面积为4 3，
3.3.2抛物线简单几何性质 课件(共21张PPT)
2
y2
2
2
3 ，∴ 2 0 y 0 3 ∴y =2
1
2
的距离 d=1-（-
或 y =-6（舍去）
，∴x=
2
3
1
=
.
）
2
2
∵点 M 到抛物线焦点的距离等于点 M 到抛物线 y2=2x 的准线的距离，
3
∴点 M 到该抛物线焦点的距离为 2 .
y2
2
=1
7.设 P 是抛物线 y 2 4 x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点.
(x2, y2)
即时巩固
过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于两点A、B，求焦点，求|AB|．
解：设A(1 ,1 ), B(2 ,2 ),
直线l为 = − 2，代入抛物线方程，得x2-8x+4=0，
∴ 1 +2 =8, 1 2 =4
∴ =
1 + 2 ∙
线准线的距离等于（
A.2
B.1
C ）
C.4
D.8
3.已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 的准线与圆 ( x 3) 2 y 2 16 相切，则 p 的值为（ C ）
A.
1
2
B.1
C.2
D.4
4.抛物线 x 2 8 y 焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， PA l ，A 为垂足，如果直线 AF 的倾
第一章
3.3
抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质.
2.能运用抛物线的几何性Байду номын сангаас解决相关问题.
【2024版】】抛物线的定义及标准方程PPT课件
y
ox
﹒y o x
焦点
准线
标准方程
想一想:
1.椭圆，双曲线，抛物线各有几条准线？ 2.根据上表中抛物线的标准方程的不同 形式与图形、焦点坐标、准线方程对应 关系，如何判断抛物线的焦点位置，开
口方向？
3.第一：一次项的变量如为X（或Y） 则X轴 （或Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称 轴上。！ 第二：一次的系数决定了开口方向
解（直接法）：设 M(x，y)，则由已知，得
|MF|+1=|x+5|
l
y .M
即 (x 4)2 y2 1 x 5 化简得 y2 16x 即为点 M的轨迹方程 .
.
o
Fx
另解(定义法)：
由已知，得点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离.
点M的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线. 由抛物线定义知：
课题： 抛物线及 其标准方程（一）
复习：
椭圆、双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹.
(1)当0<e<1时,是椭圆;
(2) 当e＞1时，是双曲线;
(3)当e=1时，它的轨迹是什么？
M
N
··F
0＜e ＜1
e＞1
e=1
一、定义
定点F与定直线l的位置关系是 怎样的？
(3) (4)
（0, 021，4 -2）
准线方程
x=-5
y= -
1
—8
y 1 24
y=2
例2、求过点A（-3，2）的抛物线的
标准方程。
． 解：当抛物线的焦点在y轴
y
的正半轴上时，把A（-3，2） A
ox
﹒y o x
焦点
准线
标准方程
想一想:
1.椭圆，双曲线，抛物线各有几条准线？ 2.根据上表中抛物线的标准方程的不同 形式与图形、焦点坐标、准线方程对应 关系，如何判断抛物线的焦点位置，开
口方向？
3.第一：一次项的变量如为X（或Y） 则X轴 （或Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称 轴上。！ 第二：一次的系数决定了开口方向
解（直接法）：设 M(x，y)，则由已知，得
|MF|+1=|x+5|
l
y .M
即 (x 4)2 y2 1 x 5 化简得 y2 16x 即为点 M的轨迹方程 .
.
o
Fx
另解(定义法)：
由已知，得点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离.
点M的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线. 由抛物线定义知：
课题： 抛物线及 其标准方程（一）
复习：
椭圆、双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹.
(1)当0<e<1时,是椭圆;
(2) 当e＞1时，是双曲线;
(3)当e=1时，它的轨迹是什么？
M
N
··F
0＜e ＜1
e＞1
e=1
一、定义
定点F与定直线l的位置关系是 怎样的？
(3) (4)
（0, 021，4 -2）
准线方程
x=-5
y= -
1
—8
y 1 24
y=2
例2、求过点A（-3，2）的抛物线的
标准方程。
． 解：当抛物线的焦点在y轴
y
的正半轴上时，把A（-3，2） A
3.3.2抛物线的简单几何性质PPT课件(人教版)
p PF PH x0 2 .
OF
x
B
6、通径 通径的长度：2p
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交 于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
思考?：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？
是
归纳特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线;
2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1;
1.解：设两交点为A(x1 , y1) , B(x2 , y2) ，抛物线
方程为
y2=2px
(p>0),
则焦点
F
p 2
,
0
,
AB
:
y
k(
x
p 2
)
y2 2 px y k( x
p) 2
k2x2
p(k 2
2) x
k2 p2 4
0
p(k 2 2)
p2
x1 x2
k2
, x1 x2 4
2
点M在抛物线上，所以 -2 2 2 p 2
即p=2
因此，所求抛物线标准方程是 y2 4 x
说明：当焦点在 x(y)轴上,开口方向不定时, 设为 y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)), 可避免讨论.
思考
顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴 ,并且经过点
M(2 , 2 2) 的抛物线有几条?求它的标准方程
在方程①中，当 y=0时，x=0， O F
x
因此抛物线①的顶点就是坐标原点。
4、离心率 e=1.
抛物线上的点p到焦点 的距离和它到准线的距
离之比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物
OF
x
B
6、通径 通径的长度：2p
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交 于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
思考?：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？
是
归纳特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线;
2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1;
1.解：设两交点为A(x1 , y1) , B(x2 , y2) ，抛物线
方程为
y2=2px
(p>0),
则焦点
F
p 2
,
0
,
AB
:
y
k(
x
p 2
)
y2 2 px y k( x
p) 2
k2x2
p(k 2
2) x
k2 p2 4
0
p(k 2 2)
p2
x1 x2
k2
, x1 x2 4
2
点M在抛物线上，所以 -2 2 2 p 2
即p=2
因此，所求抛物线标准方程是 y2 4 x
说明：当焦点在 x(y)轴上,开口方向不定时, 设为 y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)), 可避免讨论.
思考
顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴 ,并且经过点
M(2 , 2 2) 的抛物线有几条?求它的标准方程
在方程①中，当 y=0时，x=0， O F
x
因此抛物线①的顶点就是坐标原点。
4、离心率 e=1.
抛物线上的点p到焦点 的距离和它到准线的距
离之比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物
抛物线及其标准方程ppt课件
l
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（l 不经
H
过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F
叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线.
准线
M
F
焦点
根据抛物线的几何特征，如图，取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴，垂
足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合，建立平面直角坐标系 Oxy.设| KF | p( p 0) ，
的值是( C)
A. 4
B.2
C.4
D.8
解析：抛物线的准线方程为：
x
p 2
，因为
M
到焦点距离为
5，所以
M
到准线
的距离1 p 5 ，即 p 8 ，则抛物线方程为 y2 16x .将1, m 代入得：m2 16 ，
2
因为 m 0，所以 m 4 .故选：C.
5.抛物线 y2 mx( m 0) 的准线方程为 x 2 ， 那么抛物线 y mx2 的焦点坐标为
焦点坐标
p 2
,
0
p 2
,
0
0,
p 2
0,
p 2
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
四种标注方程对应抛物线的比较 相同点：
（1）顶点都是原点
（2）焦点都在坐标轴上
·
（3）焦点到准线的距离都是 p
（4）准线与焦点所在的坐标轴垂直，准线与坐标轴的交点与焦点关于原点对称，
它们与原点的距离都等于
p 2
1，得到
p
2
.
A 2.抛物线 y x 2 的焦点到双曲线 x2 y2 1 的渐近线的距离为( ) 24
3.3.1抛物线及其标准方程-课件(共26张PPT)
(2)抛物线实质上就是双曲线的一支.( × )
(3)若抛物线的方程为2 = −4,则其中的焦参数 = −2.( × )
(4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴.( × )
1
上
2.抛物线x2= 2 y的开口向____,焦点坐标为
1
(0, )
8
,准线方程是
=−
1
8
.
典例剖析
例1
(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
D. y 2 2ax
4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线 3x 4 y 12 0 上的抛物线的标准方程为（ C ）
A. x 2 16 y 或 y 2 12x
B. y 2 16 x 或 x 2 12 y
C. y 2 16 x 或 x2 12 y
D. x 2 16 y 或 y 2 12 x
y2=8x
.
【解析】由圆(x-2)2+y2=1可得,圆心F(2,0),半径r=1.
设所求动圆圆心为P(x,y),过点P作PM⊥直线l:x+1=0,M为垂足.
则|PF|-r=|PM|,可得|PF|=|PM|+1.
因此可得,点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线l:x=-2的距离相等的点的集合.
由抛物线的定义可知,点P的轨迹是抛物线,定点F(2,0)为焦点,定直线l:x=-2是准线.
【解】如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为 2 = −2( > 0)，
由题意可知， 4, −5 在抛物线上，所以 = 1.6，得 2 = −3.2，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA’，则 2, ，
(3)若抛物线的方程为2 = −4,则其中的焦参数 = −2.( × )
(4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴.( × )
1
上
2.抛物线x2= 2 y的开口向____,焦点坐标为
1
(0, )
8
,准线方程是
=−
1
8
.
典例剖析
例1
(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
D. y 2 2ax
4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线 3x 4 y 12 0 上的抛物线的标准方程为（ C ）
A. x 2 16 y 或 y 2 12x
B. y 2 16 x 或 x 2 12 y
C. y 2 16 x 或 x2 12 y
D. x 2 16 y 或 y 2 12 x
y2=8x
.
【解析】由圆(x-2)2+y2=1可得,圆心F(2,0),半径r=1.
设所求动圆圆心为P(x,y),过点P作PM⊥直线l:x+1=0,M为垂足.
则|PF|-r=|PM|,可得|PF|=|PM|+1.
因此可得,点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线l:x=-2的距离相等的点的集合.
由抛物线的定义可知,点P的轨迹是抛物线,定点F(2,0)为焦点,定直线l:x=-2是准线.
【解】如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为 2 = −2( > 0)，
由题意可知， 4, −5 在抛物线上，所以 = 1.6，得 2 = −3.2，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA’，则 2, ，
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2.4.1 抛物线的标准方程
投篮运动
喷泉
太阳灶
太阳灶轴截面示意图
A
2
M
0.2
已知太阳灶的 灶口直径为2米， 灶深为0.2米，太 阳灶的聚光点应 该在什么位置？
B
抛物线的标准方程
把方程 y2 = 2px（p＞0） 叫做抛物线的标准方程其中焦点 F （p Nhomakorabea2,
0
），准线方程l：x
=
-
p 2
而p 的几何意义是: 焦点到准线的距离
=－
1 4
；
(2) 抛物线的焦点到准线的距离为3；
(3) 抛物线经过点A（5，-2）.
思考1： 已知太阳灶的灶口直径 为2米，灶深为0.2米，太阳灶的 聚光点应该在什么位置？
y
(0.2,1)
A
2 F (1.25,0)
M
o 0.2
x
B
思考2：我们今天所学的抛物线 与初中学习的抛物线（二次函数 的图像）有什么联系和区别？
（1）y 2 = -20 x （2） y = 6 x 2
（3） x2 2ay ( a0) （4） y mx2 ( m0)
题型二、求抛物线的标准方程
1. 抛物线的焦点为（0，-3）； 2.求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
课堂练习：
根据下列条件写出抛物线的标准方程
(1)
抛物线的准线方程是x
思考：
抛物线的标准方程还有其它形式 吗？
四种抛物线的标准方程对比
图形 标准方程 焦点坐标
y2 2px
p0
p 2
, 0
准线方程
x p 2
y2 2px
p0
p ,0 2
x p 2
x2 2py 0 , p
p0 2
y p 2
x2 2py 0 , p
p0 2
y p 2
题型一、确定抛物线的焦点坐标和准线方程
Y
Y y x2
O
X
O
X
P(-2,-1)
谢谢各位老师！
请留下您的宝贵意见！
投篮运动
喷泉
太阳灶
太阳灶轴截面示意图
A
2
M
0.2
已知太阳灶的 灶口直径为2米， 灶深为0.2米，太 阳灶的聚光点应 该在什么位置？
B
抛物线的标准方程
把方程 y2 = 2px（p＞0） 叫做抛物线的标准方程其中焦点 F （p Nhomakorabea2,
0
），准线方程l：x
=
-
p 2
而p 的几何意义是: 焦点到准线的距离
=－
1 4
；
(2) 抛物线的焦点到准线的距离为3；
(3) 抛物线经过点A（5，-2）.
思考1： 已知太阳灶的灶口直径 为2米，灶深为0.2米，太阳灶的 聚光点应该在什么位置？
y
(0.2,1)
A
2 F (1.25,0)
M
o 0.2
x
B
思考2：我们今天所学的抛物线 与初中学习的抛物线（二次函数 的图像）有什么联系和区别？
（1）y 2 = -20 x （2） y = 6 x 2
（3） x2 2ay ( a0) （4） y mx2 ( m0)
题型二、求抛物线的标准方程
1. 抛物线的焦点为（0，-3）； 2.求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
课堂练习：
根据下列条件写出抛物线的标准方程
(1)
抛物线的准线方程是x
思考：
抛物线的标准方程还有其它形式 吗？
四种抛物线的标准方程对比
图形 标准方程 焦点坐标
y2 2px
p0
p 2
, 0
准线方程
x p 2
y2 2px
p0
p ,0 2
x p 2
x2 2py 0 , p
p0 2
y p 2
x2 2py 0 , p
p0 2
y p 2
题型一、确定抛物线的焦点坐标和准线方程
Y
Y y x2
O
X
O
X
P(-2,-1)
谢谢各位老师！
请留下您的宝贵意见！