数列专题讲义二

第2讲 数列求和及数列的简单应用

典型真题：

1.[2019·浙江卷] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)记c n =√

a n 2

b n

,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *.

2.[2019·天津卷] 设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,已知

a 1=4,

b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4.

(1)求{a n }和{b n }的通项公式.

(2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k

b k ,n =2k

,其中k ∈N *. (i)求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; (ii)求∑i=12n

a i c i (n ∈N *).

3.[2018·浙江卷] 已知等比数列{a n }的公比q>1,且

a 3+a 4+a 5=28,a 4+2是a 3,a 5的等差中项.数列{

b n }满足b 1=1,数列

{(b n+1-b n )a n }的前n 项和为2n 2+n. (1)求q 的值;

(2)求数列{b n }的通项公式. 策略 解决数列解答题

1.解决已知某几个基本量求等差、等比数列的通项公式和前n 项和的问题:

关键一:通过列方程(组)求关键量a1和d(或q).

关键二:利用通项公式和前n项和公式求解.

2.解决数列的递推问题:

关键一:利用a n={S1,n=1,

得出关于a n与a n+1(或a n-1)的递推式.

S n-S n-1,n≥2,

关键二:观察递推式的形式,采用不同方法求a n.

3.解决数列求和问题

关键一:利用等差数列、等比数列的前n项和公式.

关键二:利用分组求和法、错位相减法、裂项相消法.

4.(1)等差数列的判断方法:定义法、等差中项法、利用通项公式判断、利用前n项和公式判断.

(2)等比数列的判断方法:

=q(q是常数且q≠0),则数列{a n}是等比数列. (a)定义法:若a n+1

a n

(b)等比中项法:若a n+1

2=a n a n+2(n∈N*),则数列{a n}是等比数列. (c)通项公式法:若a n=pq n(p,q为常数且p,q≠0),则数列{a n}是等比数列.

5.解决关于数列的不等式证明问题常用放缩法,解决数列的最值问题常用基本不等式法.

解答1等差、等比数列基本量的计算

1 已知{a n}是递增的等比数列,a5=48,4a2,3a3,2a4成等差数列.

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)设数列{b n}满足b1=a2,b n+1=b n+a n,求数列{b n}的前n项和S n.

【考场点拨】由等差数列、等比数列组成的综合问题,首先要根据两数列的概念,设出相应的基本量,充分使用通项公式、求和公式、数列的性质,确定基本量.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,揭示问题的内在联系和隐含条件,形成解题策略. 【自我检测】

设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S n =2a n -1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =

a n+1

(a n+1-1)(a n+2-1)

,求数列{b n }的前n 项和T n .

解答2数列的求和问题

2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且1,a n ,S n 成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;

(2)数列{b n }满足b n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n ,T n =1

b 2

+1

b 3+…+

1b n+1

,

求T n . 【考场点拨】

当数列{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,求数列{a n ·b n }的前n 项和时,可采用错位相减法.用错位相减法求数列的前n 项和时,应注意:①等比数列的公比为负数的情形;②在写出“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便准确写出“S n -qS n ”的表达式. 【自我检测】

已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2,b 1=1,a n+1=2a n (n ∈N *),b 1+1

2

b 2+1

3

b 3+…+1

n

b n =b n+1-1(n ∈N *).

(1)求a n 与b n ;

(2)记数列{c n }的前n 项和为T n ,且c n ={

1

b n b n+2,n 为奇数,

-1a n

,n 为偶数,

若对任意n ∈

N *,T 2n ≥T 2k 恒成立,求正整数k 的值. 解答3数列中的证明问题 热点1 数学归纳法

3 在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=ca n +c n+1(2n+1)(n ∈N *),其中实数c ≠0,猜想{a n }的通项公式,并用数学归纳法进行证明. 热点2 通项放缩法

4 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a n =a n -12+a n -1

(n ≥2).

(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证:32-1

2

n ≤S n <11

6

.

【考场点拨】

数列与不等式的综合问题是数列综合应用的一个难点,解题时常用的方法有放缩法、数学归纳法、构造法等.用放缩法证明与数列有关的不等式,常见的情况有:(1)先将通项公式放缩成常见数列的通项公式,再用裂项相消、错位相减、分组求和等方法进行求和;(2)若数列比较容易求和,也常常先求和,再放缩至要证明的不等式的一边;(3) 若要证明的不等式的一边是一个常数,数列的通项公式又可以放缩为等比数列的通项公式,则常用S n =a 1(1-q n )1-q

11-q

(0

1.已知数列{a n }满足a 1=-1,a n+1=(3n+3)a n +4n+6

n

(n ∈N *).

(1)证明:数列{a n +2n

}是等比数列;

(2)令b n =3n -1

a n +2

,用数学归纳法证明:b n+1+b n+2+…+b 2n <4

5-12n+1

(n ≥2,n

∈N *)

2.设数列{a n }的前n 项和为S n ,对于任意n ∈N *,有a n >0,且a n 是4S n

和3-a n 2

的等差中项.

(1)求a 1的值:

(2)求数列{a n }的通项公式;

(3)证明:对一切正整数n ,都有1

a 1

2+1

a 2

2+…+1

a n

2<1

4

.