再谈荡秋千——兼谈自激振动
一个新的秋千参激振动的数学模型
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θ θ> 0 ・ θ θ= 0 ・ θ θ< 0 ・
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1 秋千作参变振动的数学模型
凡是荡过秋千的人都知道 ,人在荡秋千时 ,身体 在最大摆角处要快速下蹲 , 而在摆的平衡位置处则 要快速起立 ,这样才能较快地把秋千荡起来 . 与一个 摆动周期相比 ,下蹲 ( 或起立) 的持续时间是非常短 暂的 ,可见人体重心的变化并不是连续而缓慢的 ,而 是快速的突变 . 如将人体重心突然下降 ( 或上升) 的 持续时间忽略不计 , 则人体重心的变化过程就可视 为一个突变的过程 . 注意到在秋千的一个摆动周期 中 ,人体重心只在最大摆角处突然下降和在摆的平 衡位置处突然上升 ,而在其他位置则保持不变 ,因而 秋千的摆长可以用符号函数来描写. 考虑到人体质 量占整个秋千振动系统质量的绝大部分 , 故可将人 体重心视为系统的重心 . 设过平衡位置时系统的重
18 432 将式 ( 7) 代入式 ( 8) 并分离变量有 2 2μ t 4 4μ t 6 6μ t A0e A0e A0e ω0 d t d<= 1 + 16 384 18 432 设 t = 0 时 , < = 0 ,积分上式得
384
-
A
6
< = ω0 t -
A 0 ω0
2
32μ
e
2μ t
+
A 0ω 0
由秋千系统振动的近似表达式 , 可求得系统的 振动能量 ,并可利用计算机作出其能量函数θ Π 2随 时间的变化关系曲线如图 4 所示 . 由图 4 可知 ,秋千
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图2 秋千摆幅 - 时间曲线
图4 秋千能量 - 时间曲线
第7期
付茂林等 : 一个新的秋千参激振动的数学模型
荡秋千中的科学原理是什么
荡秋千中的科学原理是什么荡秋千是很多人喜欢玩的运动，但是有很多的人都不知道荡秋千有什么科学原理。
下面是店铺为你精心推荐的荡秋千科学原理，希望对您有所帮助。
荡秋千中的科学原理是什么篇1荡秋千的科学原理会荡秋千的人，荡到高处时会突然下蹲使身体的重心下降加速秋千的下落;在摆到最低点时，你的身体又开始慢慢站立，同时两手用力地向外推荡绳，使荡绳弯曲，向下摆时荡绳变直。
这些动作都会消耗人体的能量。
荡到最低处时，人站起来重心升高，提高了重力势能(在秋千上站要比地面上多费一些力气，也就是说多付出一些能量)，荡秋千的人在最高处突然下蹲，使一部分重力势能变为动能加快秋千的摆动。
正是这些能量使秋千越荡越高。
下面的小实验可以帮助你从摆动的角度分析荡秋千:用一根线绳拴住一个大螺母，做成一个摆。
摆长应超过一米，越长越好做。
摆线的一端不要固定，而是穿过一个固定在椅背上的圆环。
线端抓在你的手中，让这个摆像一个秋千一样摆动起来。
如果抓住绳端不动，过一会儿摆就会停下来。
但是适当有规律地拉动绳端，可以让摆越摆越高。
经过几次失败以后，你会总结出一个规律：螺母摆到最低点的时候，要突然把手中的线头向下拉使摆线由长变短，摆到高处的时候，手中的线头要突然放松使摆线长度变大。
只要配合得好，摆就会越摆越高。
从摆动的规律看，秋千是一个摆，摆长长，周期大，摆得慢; 摆长短，摆动周期变小，摆动加快。
秋千的摆长可以近似地从悬点到人体的重心计算，人在秋千板上站立时，重心高，摆长短;蹲下，重心低，摆长变长。
在最低点，人突然站立使摆长突然减小，摆动加快。
在从低处向高处荡过去时，人用手向外用力推荡绳，使它们向外弯曲，这个动作的效果也是使摆长变短，使秋千越荡越高。
荡秋千的力学原理1 力学模型如果把人和秋千组成的系统看作一个摆,摆线在O点处是固定的,摆线自身的伸缩和摆线的质量忽略不计。
设想人在最大偏转角处迅速下蹲,在最低点处迅速站立,下蹲和站立的过程都在瞬间完成。
人体的下蹲和站立导致了系统质心的升降,相当于有效摆长改变。
荡秋千的力学分析.doc
荡秋千的⼒学分析.doc荡秋千的⼒学分析摘要：荡秋千实际上就是参数振动的⼀种，为了测定其振动参数，本⽂通过对参数振动的研究，在荡秋千的过程中，⼈缓缓站⽴，当秋千荡到前后两侧最⾼位置时，⼈直⽴。
由⼈、板和悬索组成的系统重⼼在作周期性的升降，模拟于单摆中摆长的周期性变化，从⽽⽤参数振动的⽅法求得相应的参数。
关键词：荡秋千;参数振动;单摆引⾔秋千是中国古代北⽅少数民族创造的⼀种运动。
春秋时期（公元前770～前476年）传⼊中原地区，因其设备简单，容易学习，故⽽深受⼈们的喜爱，很快在各地流⾏起来。
汉代（公元前206年～220年）以后，秋千逐渐成为清明、端午等节⽇进⾏的民间体育活动并流传⾄今。
新中国成⽴后，随着各种现代体育项⽬的兴起，秋千运动除在少数地区仍⼴为流⾏外，在中国⼤部分地区已成为⼉童的专项活动。
1986年2⽉，国家体委制订了《秋千竞赛规则》（草案），同年，秋千被列为全国少数民族体育运动会正式⽐赛项⽬。
到1999年第六届全国少数民族运动会，秋千已发展为包括6个单项的较⼤项⽬。
秋千⽐赛规定，只限⼥⼦参加，分设单⼈、双⼈和团体赛，项⽬分⾼度⽐赛和触铃⽐赛。
⾼度⽐赛以在规定的试荡次数内荡达的最⾼点来计算成绩，触铃⽐赛是以在规定的⾼度上和时间内运动员触铃的次数来计算成绩。
⽐赛场地为20x8⽶的长⽅形平坦地⾯，秋千架⾼12⽶，起荡台⾼1.3⽶。
在⾼度⽐赛中，选⼿均有6次试荡机会，⽽在触铃⽐赛中则只限1次。
秋千运动不仅是⼀项精彩的竞赛运动，更能够锻炼⼈的意志，培养勇敢精神。
同时，它对⼈体⽣理机能的健康发展也是⼗分有益的。
那么，我们⽤⼒学知识来分析⼀下它吧。
1.荡秋千的⼒学分析1.1参数振动参数振动是除⾃由振动、受迫振动和⾃激振动以外的⼜⼀种振动形式，产⽣参数振动的系统称为参变系统。
参数振动由外界的激励产⽣，但激励不是以外⼒形式施加于系统，⽽是通过系统内参数的周期性改变间接地实现。
由于参数的时变性，参数振动系统为⾮⾃治系统。
振动理论11(1)-自激振动
自激振动●迄今讨论的问题都是自由振动或者受迫振动●存在另一类的扰动，称为自激振动⏹通过例子中二者区别的实质●普通单缸蒸汽发动机⏹活塞完成一个往复运动，可以看成是一个振动⏹维持这一振动的力来自蒸汽，在活塞的两侧交替推动●带失衡圆盘的弹性轴⏹弹性轴承在两个支撑上旋转⏹不平衡质量导致的离心力交替推动圆盘上下运动2●蒸汽发动机是自激振动⏹通过约束飞轮限制活塞运动，阀门将停止，不会有交替的蒸汽力作用在活塞上●盘的运动是普通的受迫振动⏹限制盘的振动，例如轴上靠近盘的两侧装两个球轴承，并把球轴承的外圈附在牢固的基础上，这样就限制了盘的振动，但是转动并未受影响.⏹因为失衡旋转继续，交替力一直保留不会消失3●于是总结出以下区别：⏹在自激振动中，维持运动的交替外力由运动自身产生或者控制；如果运动停止，交替外力将消失⏹在受迫振动中，交替外力与运动相互独立，即使运动停止，交替外力仍然存在4另一种看待此问题的方法是把自激振动定义成带有负阻尼的自由振动5●如下的含负阻尼的单自由度运动微分方程:其解可以写为是一个振幅呈指数增加的振动●普通的正阻尼力正比于振动速度并与其方向相反●负阻尼力也与速度成比例，但是与振动方向相同⏹负阻尼不仅没有减少自由振动的振幅，反而使其增加●不管是正阻尼还是负阻尼，都会随着运动停止而消失6●系统的动态稳定性质⏹具有正阻尼：动态稳定⏹具有负阻尼：动态不稳定●系统的静稳定性质⏹静态稳定:从平衡位置开始的位移所形成的力或力偶倾向于驱动系统回到平衡位置⏹静不稳定:这样形成的力倾向于增加位移⏹静不稳定性意味着负的弹性常数，或者更一般地说，其中一个固有频率的值为负●动态稳定和静态稳定的区别⏹动稳定性总是以静稳定性为前提的⏹反过来是不成立的：静态稳定的系统也可以是动不稳定的7系统的三个不同的稳定性阶段的行为(a) 静不稳定; (b) 静稳定，动不稳定; (c) 静稳定且动稳定8自激振动的频率●在大多数的实际例子中，负阻尼相对于运动的弹性力和惯性力很小⏹如果阻尼力为零，振动频率就是固有频率⏹不管是正的阻尼力还是负的阻尼力, 阻尼力将或多或少降低系统的固有频率⏹在机械工程的实践中，这一频率上的区别可以忽略不计，所以自激振动的频率就是系统的固有频率●只有当负阻尼力大于弹性力或者惯性力的时候，自激振动的频率才会与固有频率显著不同9●从能量角度考虑⏹对于正阻尼情况阻尼力做负功，总是与速度反向机械能转变成热能（通常耗散在阻尼器的油里面）这些能量来源于振动系统接下来每次振动振幅减小，动能减小，损失的动能被阻尼力吸收⏹负阻尼的情况阻尼力作为驱动力做正功，在一个循环里面，该功转化成动能，使振动增加●如果没有外来能源(如蒸汽锅炉), 自激振动就不能存在⏹能源自身是没有运动的交替频率的10●对于一个线性自激振动系统，由于每个循环都有能量进入系统里来，其振幅会随时间发展为无限大⏹实际观测不到无限大振幅●在大多数的系统里面，自激振动机制与阻尼同时、独立存在11●线性系统中阻尼每周的耗散能为，一个抛物线●如果负阻尼力也是线性的，每周输入能量将是另一个抛物线●是自激系统还是阻尼系统，取决于哪个抛物线高一些12●在实际的例子中，输入和阻尼力其中之一或者同时，都是非线性的，输入和耗散曲线是相交的⏹假定振幅为，那么输入的能量就会多于耗散的能量，振幅会增加⏹假如振幅为，阻尼力会大于自激振动，振动会消减⏹这两种情况下，振幅都会倾向于向发展, 此时能量平衡，系统所做的运动为无阻尼的稳态自由振动1311.2稳定的数学判据●对于单自由度系统，采用简单的物理推理即可显示阻尼常数是否为负，因而可以不通过数学方法，而直接以物理方法推导动态稳定准则。
现代力学基础报告-荡秋千
现代力学基础报告荡秋千中的力学问题分析学院名称学号学生姓名2016年12月1 建立力学模型首先我们简单介绍一下单摆问题。
单摆在生活中十分常见，如钟摆，其力学模型如图1所示.系统由质量不计、不可伸长的细线和固定在摆线一端直径远小于摆线长度的小球组成。
摆线与竖直方向夹角记为a ，其运动微分方程为：当最大摆角a 小于5°时，a sina ，其运动微分方程为对于荡秋千问题，如果把人和秋千组成的系统看作一个摆, 摆线在O 点处是固定的, 摆线自身的伸缩和摆线的质量忽略不计.设想人在最大偏转角处迅速下蹲, 在最低点处迅速站立,下蹲和站立的过程都在瞬间完成.人体的下蹲和站立导致了系统质心的升降, 相当于有效摆长改变.这样, 我们就把人和秋千组成的系统抽象为一个摆长可变的原摆, 称之为可变摆长原摆模型，如图2所示。
在完成一次摆动的过程中，人质心经历的变化为：，其中人站立时的有效摆长，人下蹲时的有效摆长。
2 运动过程分析现在我们把人、秋千和地球所组成的系统作为研究对象, 这样在荡秋千的全过程中, 系统所受到的外力只有悬点的约束反力, 其值与摆线张力T 相同,为图1 单摆的力学模型图2 荡秋千的力学模型一变力。
但是, 因为悬点固定,此外力并不做功。
重力为保守力, 使人下蹲和站起的力为非保守内力。
根据功能原理:“一切外力与非保守内力所作功之和等于质点系机械能的增量。
”因为外力并不做功, 所以有非保守力做的功A= E.现在我们来研究图1 所示的可变摆长单摆模型的第一次摆动。
首先，:然后，:该过程机械能守恒，然后最低点站立，, 因此过程中重力和张力对悬点O 的力矩为0 , 所以动量矩守恒。
所以在此过程中人体内力所作的功一部分转化为系统的重力势能, 而另一部分转化为动能。
然后，，人体无变形, 系统机械能守恒，所以第一次过程非保守力做的功系统机械能增量由上可知，经过一次摆动，系统质心升高，由功能原理知图 3 秋千第二次摆动示意图显然, 图3所示的第二次摆动完全与第一次摆动类似。
关于荡秋千力学原理的一个注记
关于荡秋千力学原理的一个注记
荡秋千力学原理荡秋千是一种古老的游乐设施，也叫做秋千，它由木制或金属制的座位悬挂在一根高耸的支架上，支架上还有一根绳子或链条，通过摇摆活动使座位上的乘客上下摆动，以达到娱乐的效果。
荡秋千的力学原理其实非常简单，它是基于牛顿第二定律，牛顿第二定律认为，一个物体受到外力时，它会产生平衡力，这个力是指一个物体在受到外力作用时，它会产生一个反作用力，使物体保持平衡。
荡秋千的工作原理是，乘客坐在秋千的座位上，通过摇摆，使座位的位置发生变化，从而产生外力，牛顿第二定律认为，这时座位会产生一个反作用力，使座位返回原来的位置，这种反作用力就是平衡力，乘客在摇摆时，会受到平衡力的影响，导致座位上下摆动，从而实现娱乐的效果。
荡秋千的力学原理其实非常简单，它使用的是牛顿第二定律，也就是说，当受到外力时，物体会产生反作用力，使物体保持平衡。
乘客在摇摆时，会受到反作用力的影响，导致座位上下摆动，从而实现娱乐的效果。
荡秋千的力学原理是一种简单而有趣的原理，它用简单的物理学原理来解释荡秋千的运动原理，它可以让我们更深入地了解荡秋千的运动原理，从而更好地使用它。
从荡秋千谈—非线性共振重点
從盪鞦韆談—非線性共振壹、研究動機有一次回家，看到路邊的天真園的小朋友在盪鞦韆競賽時，發現小腿擺動後，沒有人推，卻能够越盪越高，又由牛頓第三定律，作使劲與反作使劲在同一系統上互相均衡，為什麼盪鞦韆能够越盪越高呢？於是激起了我們的研究興趣⋯⋯貳、研究主題一、從盪鞦韆來探討越盪越高的原由。
二、探討物體擺動與振動的交替現象。
三、由擺動與振動之交替現象來探討能量的轉換。
四、由振動—擺動來探討相位,對能量傳遞的影響。
參、應用背景原理與名詞解釋一、位能 Ep=m＊g＊h,動能 KE=1/2＊m＊ v2。
二、單擺之頻率 f=(1/2π)＊√ L/g L: 擺長 g:重力加快度。
三、彈簧振動頻率 f=(1/2π)＊√ K/m m: 擺錘質量 ,K: 彈簧常數。
四、彈簧常數 k:使彈簧生變形 1公分所需以外力。
五、相位 :振動或擺動循環之相對地点六、物體重心 :物體重量的集中點。
肆?研究過程一.盪鞦韆現象的觀察我們將實地現場盪鞦韆時的擺動現象加以整理結果以下取自：物理園1-1用外力推動協助擺動（見實作錄影檔盪鞦韆1.avi）(一)結果：組別施力作用方式擺動情况操作一由高點向下擺動時推力擺動振幅越來越大操作二由低點向上擺動時推力擺動振幅越來越小(二)討論：由以上操作，我們從能量的觀點來看（1）操作一推力方向與擺動方向同样，故施力的能力對原有擺動系統是加成作用，而擺動振幅越來越大。
（2）操作二因施力方向與擺動方向相反，故能量對原有擺動系統是抵消作用，而擺動振幅越來越小。
（3）若在操作一中由擺動兩端高點向下推動時更可加大擺動角度。
1-2沒有外力作用，用身體的姿勢改變來改變擺動。
如圖一及（見實作錄影檔盪鞦韆 2.avi）(一)組別身體姿勢之變換擺動情况操作一擺動幅度越來越小操作二擺動幅度越來越小操作三擺動幅度越來越大操作四擺動幅度圖一越來越小擺動地点AB C B A1(二)討論：1.擺動過程中發現，操作一小腿彎曲不變，操作二小腿挺直不變，擺動時幅度越來越小，最後停止擺動。
（1）自激振动、自由振动、受迫振动和共振[转]
![（1）自激振动、自由振动、受迫振动和共振[转]](https://img.taocdn.com/s3/m/72bd40e7fbb069dc5022aaea998fcc22bcd143a1.png)
（1）自激振动、自由振动、受迫振动和共振[转]自激振动：结构系统受到自身控制的激励作用时所引起的振动。
自由振动：定义1：激励或约束去除后出现的振动。
定义2：引起振动的激励除去后，结构系统所保持的振动。
自激振动系统为能把固定方向的运动变为往复运动（振动）的装置，它由三部分组成：①能源，用以供给自激振动中的能量消耗；②振动系统；③具有反馈特性的控制和调节系统。
在振幅小的期间，振动能量可平均地得到补充；在振幅增大期间，耗散能量的组成，被包含在振动系统中，此时补充的能量与耗散的能量达到平衡而接近一定振幅的振动。
心脏的搏动、颤抖、性周期等一些在生物中所看到的周期现象，有许多是自激振动。
自由振动：在外力使弹簧振子的小球和单摆的摆球偏离平衡位置后，它们就在系统内部的弹力或重力作用下振动起来，不再需要外力的推动，这种振动叫做自由振动。
简单说自激振动初始状态为不动或只有些微的振动，由于外界驱动下可以自发的激励起来某个模式或多个模式，随着耗散和驱动而其中一个或几个模式增长，其他消亡。
自激振动的频率一般就是自由振动频率，但是由于要维持振动就必须有能量的输入，一般说来自激振动是非线性过程。
常见的自激振动如机械表、风吹过某腔体而发声等；自由振动指无外加驱动，当系统偏离平衡状态而引起的振动，这个例子很多，如钟摆拉离平衡点引起的摆动，扔块石子在水面后引起的水波自由振动等。
区别：一个有持续或多次能量馈入，有耗散，振动可维持，一般为非线性过程。
一个可以称之为只有一次能量馈入，当有耗散时最终振动会停止，自由振动只是与系统自身相关，可能线性也可能非线性。
自由振动和自激振动的本质区别在于，自由振动的激励来自外界，并且只在初始受激励；而自激振动的激励来自自身，并一直存在。
受迫振动:线性阻尼系统对简谐性激励的长期响应。
为了弥补阻尼造成的机械能损失，使振动持续下去，也可以采用其它方式的激励。
自激振动就是一种在单方向（即非振动型）的激励作用下，振动系统的响应。
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万方数据
万方数据
再谈荡秋千——兼谈自激振动
作者：刘延柱， LIU Yanzhu
作者单位：上海交通大学工程力学系,上海,200030
刊名：
力学与实践
英文刊名：MECHANICS IN ENGINEERING
年，卷(期)：2007,29(3)
被引用次数：4次
1.武际可从荡秋千说开去--漫话共振[期刊论文]-力学与实践 2003(02)
2.潘百齐全唐诗精华分类鉴赏集成 1989
3.刘延柱;忻鼎亮人体的自激摆动 1985(04)
4.刘延柱;陈文良;陈立群振动力学 1998
5.Barkov B;Steindl A;Troger H A targeting strategy for the deployment of a tethered satellite system 2005
6.Magnus K Schwingungen 1969
1.陈建平.陶秋帆.袁健荡秋千动力学过程的数值模拟[期刊论文]-力学与实践2008,30(2)
2.武际可从荡秋千说开去--漫话共振[期刊论文]-力学与实践2003,25(2)
3.李纯荡秋千能量转换分析[期刊论文]-陕西师范大学学报(自然科学版)2003,31(z1)
4.林毅贞关于荡秋千的功能问题讨论[期刊论文]-青年与社会·中外教育研究2009(2)
5.刘世清秋千非线性参变共振解的简单推导[期刊论文]-大学物理2004,23(2)
6.贺承绪.张可.谈应朝.杨国华.He Chengxu.Zhang Ke.Tan Yingchao.Yang Guohua关于荡秋千的能量分析[期刊论文]-物理与工程2005,15(1)
7.刘延柱漫话踢毽子、羽毛球和射箭[期刊论文]-力学与实践2008,30(3)
8.李烨然.何国敬再谈秋千越摆越高的力学原理[期刊论文]-物理教师2009,30(6)
9.佘守宪.SHE Shou-xian秋千--力学模型,初等分析与参数共振微扰解析解[期刊论文]-大学物理2005,24(5)
10.刘延柱.LIU Yanzhu曾逐东风拂舞筵——再谈自激振动[期刊论文]-力学与实践2007,29(6)
1.刘延柱太空中的单摆[期刊论文]-力学与实践 2013(4)
2.尤明庆关于荡秋千力学原理的一个注记[期刊论文]-力学与实践 2010(3)
3.陈建平.陶秋帆.袁健荡秋千动力学过程的数值模拟[期刊论文]-力学与实践 2008(2)
4.刘延柱曾逐东风拂舞筵——再谈自激振动[期刊论文]-力学与实践 2007(6)
本文链接：/Periodical_lxysj200703024.aspx。