重庆一中高一入学选拔考试题

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重庆一中2014级高一选拔考试(数学)

考试时间：120分钟满分：150分

一：选择题（每个8分，共40分）

1. 如图1，把△ABC 纸片沿着DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变. 请试着找一找这个规律，你发现的规律是 （ ）

A ．∠A=∠1+∠2

B ．2∠A=∠1+∠2

C ．3∠A=2∠1+∠2

D ．3∠A=2(∠1+∠2) 2. 已知a 、b 为实数，且1=b a ，设1

11

1,1

1

++

+=

++

+=

b a N b b a a M

，则M 、N 的大小关系是（ ）

A ．M ＞N

B ．M=N

C ．M ＜N D. 不确定 3. 如图，长方形ABC

D 恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，如

果小长方形的面积是3，则长方形ABCD 的周长是（） （A ）17 （B ）18 （C ）19 （D ）317 4.

设32

x

-=

，则代数式(1)(2)(3)

x x x x ++

+的值为（）

A 、0

B 、1

C 、﹣1

D 、2

5. 用标有1克，2克，6克，26克的法码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置法码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）的种数共有（） （A ）15种（B ）23种（C ）28种（D ）33种 二：填空题（每个8分，共40分）

6. 已知集合A ，B 构成的集合组合（A ，B ）（当A

B

≠时，（A ，B ）与（B ，A ）视为相同的

集合组合）满足{1,2,3,4}A B = ，满足条件的集合组合有多少个。

7. 参加会议的成员都互相握过手，其中某人与他的一些老朋友握过第二次手。若这次会议握手的总次数是159，那么参加会议的成员中这个人的老朋友有人。 8. 已知函数f(x)=|x-k|+|x-2k|，若对任意的x ∈R ，f(x)≥f(3)=f(4)都成立，则k 的取值范围为。

9. 一个棋盘有13行17列，每个小方格里都写了一个数，从左上角开始，第一行依次为1, 2,

???, 17；第二行依次为

18, 19, ???, 34;???，一直写到最后一行，现将此棋盘里的数重写，

从左上角开始，第一列从上到下依次为1, 2, ??? , 13；第二列从上到下依次为14, 15, ???, 26；???，一直写到最后一列，这样有一些小方格在两种写法里有相同的数，求所有这些小方

A B

C

D E 1 2 A

/

A D

B C

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O A

B

C

D E

M

第11题图

H 格里（有相同数的）的数之和是

10. 在密码学中，称直接可以看懂的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，对于英文，人们将26个字母按顺序分别对应整数0到25，如12，4表示“me ”。现在4个字母构成的密码单词，记4个字母对应的数字分别为1x ，2x ，3x ，4x 。已知整数1

22x x +，

23x ，

34

2x x +，43x 除以26的余数分别为9，16，23，12，问这个密码单词是

三：解答题（11、12 各15分，13、14各20分，共70分） 11.

如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，H 为边AC 、AB 上高BD 、CE 的交点，在BD

上取点M ，使BM=CH 。 （1）求证：∠BOC=∠BHC ； （2）求证：60

o

O B H A C B ∠=∠-；

（3）求M H O H

的值.

12.

已知n 是正整数，且12+n

与13+n 都是完全平方数. 是否存在n

，使得35+n 是质数？如

果存在，请求出所有n 的值；如果不存在，请说明理由. 13.

已知0122011i

a i >= ，，　，　，　，且122011a a a <<< ，证明：122011a a a ，，，中一定存

在相邻的两个数1i i a a +，，使得11(1)(1)

2010

i i i i a a a a ++++-<

．

14. 桌上放有n （大于2）根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至少一

根，至多1n -根火柴，此后每人每次取走至少1根火柴.至多对方刚才取走火柴数目的2倍.

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取得最后一根火柴者获胜.

例如n=3时，甲无论先取走一根还是两根，乙都可以一次取完。像这种情况，我们称乙有必胜策略。再如当n=5时，甲若先取走一根，乙可取一根，则回到n=3时的情况，甲若取2根，乙可一次取完剩下3根，从而乙也有必胜的策略。

问：当89n 时，乙是否有必胜策略？请详细说明理由.

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重庆一中2014级高一选拔考(数学)参考答案

一：选择题（每个8分，共40分）

1. 如图1，把△ABC 纸片沿着DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种

数量关系始终保持不变. 请试着找一找这个规律，你发现的规律是 A ．∠A=∠1+∠2 B ．2∠A=∠1+∠2 C ．3∠A=2∠1+∠2 D ．3∠A=2(∠1+∠2) 答案 B

2. 已知a 、b 为实数，且1=b

a ，设1

11

1,1

1

++

+=

++

+=

b a N b b a a M ，则M 、N 的大小关系是 A ．M ＞N B ．M=N C ．M ＜N D. 不确定

答案：∵1=ab

, ∴M

a a

b b a b ab b a ab ab

b ab ab

a a

b N =++

+=

++

+=

++

+=

1

1

)

1()

1(. 故选B.

3. 如图，长方形ABCD 恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，如果小

长方形的面积是3，则长方形ABCD 的周长是（） （A ）17 （B ）18 （C ）19 （D ）317

答案：C 解：设小长方形的长、宽分别为x ，y ，则3 x = 4 y ，y x 34=．

∴

33

4=?y y ．2

3=

y ，x =2．∴长方形ABCD 的周长为19．

4.

设32

x -=

，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为（）

、2

5. 用标有1克，2克，6克，26克的法码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可

放置法码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）的种数共有（） （A ）15种（B ）23种（C ）28种（D ）33种 答案：C 解：（1）当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1克，2克，6克，26克；

A B

C

D E 1 2 A

/

A

D

B

C

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（2）当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有3克，7克，8克，27克，28克，32克；

（3）当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有9克，29克，33克，34克； （4）当天平的一端放4个砝码时，可以称量重物的克数有35克．

（5）当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以称量重物的克数有1克，4克，5克，20克，24克，25克；

（6）当天平的一端放1个砝码，另一端放2个砝码时，可以称量重物的克数有3克，5克，7克，18克，19克，21克，22克，23克，25克，27克，30克，31克；

（7）当天平的一端放1个砝码，另一端放3个砝码时，可以称量重物的克数有17 克，23克，31克，33克；

（8）当天平的一端放2个砝码，另一端也放2个砝码时，可以称量重物的克数有19克，21克，29克． 去掉重复的克数后，共有28种．

另解：1-9均可，然后26加减1-9，共27种，再加上26单独一个，所以28 二：填空题（每个8分，共40分）

6. 已知集合A ，B 构成的集合组合（A ，B ）（当A B

≠时，（A ，B ）与（B ，A ）视为相

同的集合组合）满足{1,2,3,4}A B =

，满足条件的集合组合有多少个。

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7. 参加会议的成员都互相握过手，其中某人与他的一些老朋友握过第二次手。若这次会议握手的总次数

是159，那么参加会议的成员中这个人的老朋友有人。 6 8. 已知函数f(x)=|x-k|+|x-2k|，若对任意的x ∈R ，f(x)≥f(3)=f(4)都成立，则k 的取值范围为。 [2，3]

9. 一个棋盘有13行17列，每个小方格里都写了一个数，从左上角开始，第一行依次为1, 2, ???, 17；

第二行依次为18, 19, ???, 34;???，一直写到最后一行，现将此棋盘里的数重写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1, 2, ??? , 13；第二列从上到下依次为14, 15, ???, 26；???，一直写到最后一列，这样有一些小方格在两种写法里有相同的数，求所有这些小方格里（有相同数的）的数之和是

答案：555。位于从上往下数第m 行，从左往右数第n 列小方格中的数用（m , n ）表示. 在原来状态下，数（m ,

n ）是17（m －1）+n . 在后来的状态中，数（m , n ）是13（n －1）+m ，由17（m －1）+n =13（n －1）+m 得

4m －3n =1；这里1≤m ≤13，1≤n ≤17，解得（m , n ）=（1, 1），（4，5），（7, 9），（10, 13），（13, 17）. 这些方格中的数分别为1, 56, 111, 166, 221，它们的和为555.（14分）

10. 在密码学中，称直接可以看懂的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，对于英文，

人们将26个字母按顺序分别对应整数0到25，如12，4表示“me ”，即“我”。现在4个字母构成的密码单词，记4个字母对应的数字分别为1x ，2x ，3x ，4x 。已知整数122x x +，23x ，342x x +，

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O A B

C

D

E

M

第11题图

H 43x 除以26的余数分别为9，16，23，12，问这个密码单词是 hope

三：解答题（11、12 各15分，13、14各20分，共70分）

11. 如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，H 为边AC 、AB 上高BD 、

CE 的交点，

在BD 上取点M ，使BM=CH 。

（1）求证：∠BOC=∠BHC ；

（2）求证：60o

O B H A C B ∠=∠-；

（3）求

M H O H

的值.

解：（1）由∠BAC=60°知∠BOC=2∠BAC=120°. 因∠BHC=∠DHE=360°－（90°+90°+∠BAC ）=120°，所以，

∠BOC=∠BHC.（3分）

（2）由OB=OC ，得∠OBC=∠OCB. 又∠BOC=120°，则∠OBC=12

（180°－120°）=30°，而∠HBC=90°－

∠BCA ，知∠OBM=∠OBC －∠HBC=∠BCA －60°.

（3）∠OCH=∠HCB －∠BCO=∠HCB －

12

（180°－120°）=∠HCB －30°，但∠HCA=90°－∠BAC=90°－

60°=30°，所以，∠OCH=∠HCB+∠HCA －30°－30°=∠BCA －60°.由（2）得∠OBM=∠OCH. 又因为BM=CH ，OB=OC ，故△BOM ≌△COH.得OH=OM ，且∠COH=∠BOM ，从而，∠OHM=∠OMH ，∠MOH=∠BOC=120°，∠OHM=12

（180°－120°）=30°. 在△OMH 中，作OP ⊥MH ，P 为垂足，则OP=

12

OH. 由勾股定理，得

2

2

2

2

2

1122M H O H O P

O H

O H ??

??

=-=- ? ???

??

.

所以，M H O H =（5分）

12. 已知n 是正整数，且12+n 与13+n 都是完全平方数. 是否存在n ，使得35+n 是质数？如果存在，

请求出所有n 的值；如果不存在，请说明理由. 解：不存在正整数n ，使得35+n 是质数。理由如下： 设212k n =+，213m n =+，其中k ，m 都是正整数，则

)2)(2(4)13()12(4352

2

m k m k m

k

n n n -+=-=+-+=+.

若12≠-m k ，则35+n 不是质数；若12=-m k ，则12235+=+=+m m k n

于是2)35()13(2)12(12)1(2

2

2

++-+=++-=+-=-n n m m m m m 02<-=n ，矛盾. 综上所述，不存在正整数n ，使得35+n 是质数.

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13. 已知0122011i

a i >= ，，　，　，　，且122011a a a <<< ，证明：122011a a a ，，，中一定存在

相邻的两个数1i i a a +，，使得11(1)(1)

2010

i i i i

a a a a ++++-<

．

证明：令2010 1 2 20111i i

x i a =

=+ ，，，，， 则20112010102010x x x <<<<< .

故一定存在1≤k ≤2010，使得11k k x x +-<，从而

1

20102010111k

k a a +-

<++．

即 11(1)(1)

2010

k k k k a a a a ++++-<

．

14.桌上放有n （大于2）根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至少一根，至多1n -根火柴，此后每人每次取走至少1根火柴.至多对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜. 例如n=3时，甲无论先取走一根还是两根，乙都可以一次取完。像这种情况，我们称乙有必胜策略。

再如当n=5时，甲若先取走一根，乙可取一根，则回到n=3时的情况，甲若取2根，乙可一次取完剩下3根，从而乙也有必胜的策略。

问：当89n =时，乙是否有必胜策略？请详细说明理由.

解：把所有使得甲没有获胜策略的初始火柴数目n 从小到大排序为：1

n ，

2

n ，

3

n ，…，不难发现其前4项分

别为2，3，5，8.

下面我们用数学归纳法证明：

（1）{}i n 满足11i i i n n n +-=+；

（2）当i n n =时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时所取的火柴数目1i n -≤； （3）当1i i n n n +<<时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目i n ≤. 设i k n n =-（4i ≥），注意到212

i i i n n n --<<.

当12

i n k ≤<时，甲第一次时可取k 根火柴，剩余2i n k >根火柴，乙无法获胜.

当

12

i i n k n -≤<时，21i i n k n --<<，根据归纳假设，甲可以取到第k 根火柴，并且甲此时所取的火柴数目

2i n -≤，剩余22i i n n ->根火柴，乙无法获胜.

当1i k n -=时，设甲第一次时取走m 根火柴，若m k ≥，则乙可取走所有剩小的火柴；若m k <，则根据归纳假设，乙总可以取到第k 根火柴，并且乙此时所取的火柴数目2i n -≤，剩余22i i n n ->根火柴，甲无法获

胜.

综上可知，11i i i n n n +-=+.

因为89在数列{}i n ，所以当89n =时，乙有获胜策略.

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