4.1(随机变量的数学期望)

因而E(X)不存在．
4.1.1
数学期望的概念
【例 4.5】某种化合物的 pH 值 X 是一个随机变量， 它的概率密度是
25( x 3.8 )， 3.8 x 4， f ( x ) 25( x 4.2)， 4 x 4.2， 0， 其 它.
求pH值X的数学期望E(X). 解：

一个样品的价值（以元计）为Y = 5–0.5X，求E(Y). 解： E (Y ) E (5 0.5 X ) (5 0.5 x ) f ( x )dx
3 ( 5 0.5 x )( x 2 x )dx 0 2
1 b a , a x b f ( x) 0, 其它
x b2 a 2 a b E ( X ) xf ( x )dx dx a ba 2(b a ) 2

b
补充知识: Γ -函数
定义Leabharlann ( ) t 1 e t dt 0
若积分 xf ( x ) dx 不收敛,则称X的数学期望不存在.

4.1.1
数学期望的概念
著名的柯西分布是数学期望不存在的经典例子： 设随机变量X服从柯西分布，其概率密度为
1 f ( x) (1 x 2 )
由于积分



| x | dx xdx 发散， xf ( x ) dx 2 2 2 (1 x ) 0 (1 x )
1 E( X ) xf ( x)dx 2
标准正 态概率 密度性 质


2
t
x
xe
( x )2 2 2

dx

1 2


( t )e


t 2
dt

奇函数在对称区间 上的积分为零
t2 2
1 2
e
t2 2
X pi 10000 1/105 5000 2/105 1000 10/105 100 100/105 10 0 1000/105 p0
其中 p0 = 1 – (1/105 + 2/105 + 10/105 + 100/105 + 1000/105)
0.98887
4.1.1
数学期望的概念
每张彩票平均能得到的奖金为:
4.1 随机变量的数学期望
4.1.1 数学期望的概念
1. 离散型随机变量的数学期望 【引例】某年级有 100名学生，17岁的有20人，18 岁的有 30 人， 19 岁的有 50 人，则该年级学生的平 均年龄为
17 20 18 30 19 50 20 30 50 17 18 19 18.3 100 100 100 100
1 2 E ( X ) 10000 5 5000 5 0 p0 0.5( 元) 10 10
每张彩票平均可赚：2 – 0.5 – 0.3 = 1.2(元)， 彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为: 100000 1.2 = 120000(元)．
4.1.1
数学期望的概念



0

xde x /
0
xe
x /
e
0

x /
dx e
x / 0

三、正态分布 设X服从参数为 μ ,σ 2的正态分布 N(μ ,σ 2), 则 其概率密度为 ( x )2 1 2 2 f ( x) e ( x ) 2 换元 其中 R, 0. 数学期望为：

k 1 k 1


E (Y ) E[ g ( X )] g ( x ) f ( x )dx


可见，求Ｅ[g(X)]时，不必知道Y = g(X)的概率分布， 只需知道X的概率分布就可以了．
2013数学一
设随机变量 X服从标准正态分布 N (0,1),则E( Xe2 X )
k 1 k 1 ( n 1) ( k 1) np Cn p (1 p ) 1 k 1
k k ( n1 ) k np Cn p ( 1 p ) 1 k 0 n1
k 0
n
k 0
n
np( p 1 p)n1 np
4.1.1
数学期望的概念
【例4.4】设随机变量X服从参数为（ > 0）的泊 松分布，求它的数学期望．
事实上,平均年龄是以频率为权重的加权平均值．
4.1.1
数学期望的概念
【例4.1】（掷骰子游戏）规定掷出1点得1分；掷 出2点或3点得2分；掷出4点、或5点、或6点得4分, 共掷n次.投掷一次所得的分数X是一个随机变量.
则X的分布律为
X pi 1 1/6 2 2/6 4 3/6
试问：预期平均投掷一次能得多少分？
随机变量X的 以概率为权重 的加权平均值
解：若在n次投掷中，得1分的共n1次，得2分的 共n2次，得4分的共n3次,则平均投掷一次得分为：
3 3 ni 1 2 3 17 n1 x1 n2 x 2 n3 x 3 x x p 2 4 i i i 1 n i 1 6 6 6 6 i 1 n
E ( X ) xf ( x )dx

4

x 25( x 3.8)dx
3.8
4.2
4
x (25)( x 4.2)dx
4
4.1.1
数学期望的概念
几个常用连续型随机变量的数学期望都是存在 的，下面来计算它们的数学期望．
【例4.6】设随机变量X服从(a，b)上的均匀分布， 求E(X)． 解：由于均匀分布的概率密度为
解：由于 P{ X k } 因而

k
k!
e ，k = 0，1，2，…，

E ( X ) kP{ X k } k
k 0
k
k!
e
k 0

k 1

k
(k 1)!

e
e
k 1
k 1
( k 1)!
e e
(1)
n 1

n 1
1 1 1 1 1 1 1 n 2 3 4 5 6
A (1)
上式两端同乘以1/2
1 1 1 1 2 4 6 8
将（1）+（2）
1 1 1 1 1 1 3 2 5 7 4
A 2
(2)
3A 2
4.1.1
2e
2
4.1.2
随机变量函数的数学期望
【例4.8】设随机变量X的分布律为
X pi –1 0.1 0 0.2 1 0.4 2 0.3
求E(2X – 1)，E(X 2)． 解：
E(2X – 1) = [2(–1) –1] 0.1 + [2 0 – 1] 0.2
+ [21 – 1] 0.4 + [2 2 – 1] 0.3
1 dt 2

te
dt
4.1.2
随机变量函数的数学期望
在实际中,我们常需求随机变量函数的数学期望.
如果我们知道X的概率分布，如何计算X的某个函 数Y=g(X)的数学期望？
当然,可以通过X的概率分布求出Y=g(X)的概率分布, 然后再用数学期望的定义计算E(Y)即Ｅ[g(X)]. 是否可以不通过求Y=g(X)的概率分布，而根据X的 概率分布直接求得Y=g(X)的数学期望呢？ 答案是肯定的，我们不加证明地给出以下定理：
若级数 E ( X ) xi pi 发散，则称随机变量X的数学期 i 1 望不存在．
4.1.1
数学期望的概念
说明：
(1) 随机变量 X 的数学期望 E(X) 是一个常量， 它是从概率的角度来计算随机变量X所有可能取值 的平均值，具有重要的统计意义．
（2）绝对收敛是为了保证级数改变项的 位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相 同的和.
由上面例子看到，与 r.v. 有关的 某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但 能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要 特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义.
随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写
本 章 内 容
r.v.的平均取值 —— 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差 描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数
4.1.1
数学期望的概念
对于一般的离散型随机变量，有如下定义： 定义4.1 设离散型随机变量X的分布律为 P{X = xi} = pi，i = 1，2，…． 若级数
x p
i i 1

i
绝对收敛，则其称为随机变量X的

数学期望或均值．
记为E(X)或EX，即

E ( X ) xi pi
i 1
4.1.1
数学期望的概念
【例4.7】设随机变量X服从参数为（ > 0）的指 数分布，求E(X)．
解：由于指数分布的概率密度为
1 x / , x0 e f ( x) 0, 其它
因而 E ( X ) xf ( x )dx x 1 e x / dx 0
( 0)
( 0);
1 (n 1) n!; (2) (1) 1; ( ) 2 重要积分

性质
( 1) ( )
1 1 e t dt 2 2 0
t 2 t 2
( 1);
1 1 e dt . 2 2 2 0