化工问题的建模与数学分析方法第四章习题
化工热力学习题解答第二～四章
例题
0.42748 R 2Tc2.5 0.42748 8.3142 304.22.5 a pc 7.376 106 6.4657 Pa m 6 K 0.5 / mol 2
习 题 解 答
13
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0.08664RTc 0.08664 8.314 304.2 b pc 7.376 106 2.971 105 m3 / mol
习
题
解
答
第 二 章
1. 用R-K方程和普遍化三参数压缩因子法计算1公 斤甲烷在273K及400×105Pa下的体积。
解： 查教材295页 附录二 ，得甲烷
例题
Tc 190.6 K
（1）根据R-K方程
pc 4.600MPa
Vc 99cm3 / mol
0.008
1 A h Z 1 h B 1 h
0
0.172 0.172 B 0.139 4.2 0.139 0.0427 4.2 Tr 1.148
1
例题
Bpc B0 B1 0.2554 0.344 0.0427 RTc 0.2407
Bpc Z 1 RTc
上一内容
pr 0.4535 1 0.2407 0.9049 习 题 1.148 Tr
习 题 解 答
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16
（2）R-K方程
查表得水的临界参数为：
Tc 647.3K
pc 22.05MPa
Vc 56.0cm3 / mol
0.344
2 2.5
0.42748 R T a pc
山东理工大学化工热力学第4章 习题与解答
17.对于二元混合体系，当在某浓度范围内组分2符合Henry规则， 则在相同浓度范围内组分1符合Lewis-Randall规则。
20.符合Lewis-Randall规则或Henry规则的溶液一定是理想溶液。 如非理想稀溶液。 21.等温、等压下的N元混合物的Gibbs-Duhem方程的形式之一是
T ( x1 1) H E dT P 常数 2 x1 1 1 T ( x1 0 ) RT ln dx1 P ( x 1) 1 2 VE x1 0 RT dP T 常数 P ( x1 0 )
25.下列方程式是成立的：
G1 G1 G1l G1l ˆ (a). ln f1 ln f1 ; (b). RT RT ˆ f 1 (d). f1 lim ; (e). H1, Solvent lim x1 1 x x1 0 1 G1l G1v ˆ l ln f ˆ v; ln x1 ln 1 ; (c). ln f 1 1 RT ˆ f 1 x1
3/ 2 2 Vt 1001 .3816.625nB 1.773nB 0.119nB (cm3 )
求nB=0.5 mol时，水和NaCl的偏摩尔体积 VA和VB 解：
Vt VB n B dVt 3 0.5 16 . 625 1 . 773 n B 0.119 2n B dn 2 B T , P, n A
12.因为GE (或活度系数)模型是温度和组成的函数，故理论上 理论上是T，P，组成的函数。只有对低压下的液体，才近似 为T和组成的函数
i 与压力无关。
13.在常温、常压下，将10cm3的液体水与20 cm3的液体甲醇混
南工大化工原理第四章习题解答
第四章习题1）用平板法测定材料的导热系数，其主要部件为被测材料构成的平板，其一侧用电热器加热，另一侧用冷水将热量移走，同时板的两侧用热电偶测量其表面温度。
设平板的导热面积为0.03m2，厚度为0.01m。
测量数据如下：电热器材料的表面温度℃安培数 A 伏特数V 高温面低温面2.8 2.3 14011530020010050试求：①该材料的平均导热系数。
②如该材料导热系数与温度的关系为线性：，则λ和a值为多少？2）通过三层平壁热传导中，若测得各面的温度t1、t2、t3和t4分别为500℃、400℃、200℃和100℃，试求合平壁层热阻之比，假定各层壁面间接触良好。
3）某燃烧炉的平壁由耐火砖、绝热砖和普通砖三种砌成，它们的导热系数分别为1.2W/(m·℃)，0.16 W/(m·℃)和0。
92 W/(m·℃)，耐火砖和绝热转厚度都是0.5m，普通砖厚度为0.25m。
已知炉内壁温为1000℃，外壁温度为55℃，设各层砖间接触良好，求每平方米炉壁散热速率。
4）在外径100mm的蒸汽管道外包绝热层。
绝热层的导热系数为0.08W/(m·℃)，已知蒸汽管外壁150℃，要求绝热层外壁温度在50℃以下，且每米管长的热损失不应超过150W/m，试求绝热层厚度。
5）Φ38×2.5mm的钢管用作蒸汽管。
为了减少热损失，在管外保温。
50第一层是mm厚的氧化锌粉，其平均导热系数为0.07 W/(m·℃)；第二层是10mm厚的石棉层，其平均导热系数为0.15 W/(m·℃)。
若管内壁温度为180℃，石棉层外表面温度为35℃，试求每米管长的热损失及两保温层界面处的温度？解：①r0 = 16.5mm = 0.0165m ，r1 =19mm = 0.019 mr2 = r1＋δ1 = 0.019＋0.05 = 0.069 mr3 = r2＋δ2 = 0.069＋0.01 = 0.079 mλ0 = 45 W/(m·℃)W/m②即∴ t2 = 41.8 ℃6）通过空心球壁导热的热流量Q的计算式为：，其中，A1、A2分别为球壁的内、外表面积，试推导此式。
化学化工中常用数学方法——评《化工数学（第三版）》
化学化工中常用数学方法——评《化工数学（第三版）》化学工业出版社出版，周爱月、李士雨主编的《化工数学》（第三版）是一部深入剖析化学化工领域中常用数学方法的教材，涵盖了从数学模型建立到数值解法、概率论与统计、数据校正技术、图论以及人工智能与专家系统等多个方面的内容。
本书第一章着重介绍了数学模型的基本概念，为后续章节的学习奠定了基础。
作者从模型的定义入手，强调了在化学化工领域中使用数学模型的必要性。
随后，通过深入讨论模型的建立方法，包括模型的基本要素和建模的一般步骤，使读者能够理解模型是如何从实际问题中提取出来。
此外，对建立数学模型的一般方法进行了详细探讨，使读者能够灵活应用数学工具解决实际问题。
通过丰富的习题，读者可以在实践中逐步提高建模和解决问题的能力。
第二章主要介绍了数据处理的关键技术，包括插值法、数值微分、数值积分以及曲线拟合。
在插值法部分，作者详细介绍了拉格朗日插值、差商与牛顿插值公式、分段插值法等，使读者能够理解和掌握在实际数据处理中选择合适插值方法的技能。
曲线拟合部分重点介绍了小二乘曲线拟合，对关联函数的选择和线性化进行了详细讨论，使读者能够更好地利用数学工具对实验数据进行处理。
第三章深入研究了线性方程组和非线性方程的数值解法。
在线性方程组的直接解法中，作者介绍了高斯消去法、高斯主元素消去法、LU分解等方法，通过实例演绎，使读者能够灵活运用这些方法解决实际问题。
非线性方程求解部分涵盖了二分法、迭代法、牛顿法等多种方法，对每种方法进行了详细的讨论和比较，为读者选择合适的方法提供了参考。
第四章主要探讨了常微分方程（ODE）的数值解法。
本章节开始引入了ODE的初值问题，然后深入研究了尤拉法和龙格-库塔法等数值解法。
作者通过详细的推导和实例演示，帮助读者理解这些方法的原理和适用范围。
通过对方法的比较，读者能够更好地理解各种数值解法的优劣，为实际应用提供了指导。
在第五章中，作者深入介绍了拉普拉斯变换的概念、性质和逆变换的求解方法。
化工热力学课后习题第4章解答
第4章 非均相封锁体系热力学一、是不是题1. 偏摩尔体积的概念可表示为{}{}ii x P T i n P T ii x V nnV V ≠≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂=,,,,∂。
(错。
因关于一个均相放开系统，n 是一个变数，即(){}0,,≠∂∂≠in P T i n n )2. 在必然温度和压力下的理想溶液的组分逸度与其摩尔分数成正比。
（对。
即常数===),(,ˆP T f f x f f i ii is i ）3. 理想气体混合物确实是一种理想溶液。
（对）4. 关于理想溶液，所有的混合进程性质转变均为零。
（错。
V ，H ，U ，C P ，C V 的混合进程性质转变等于零，对S ，G ，A 那么不等于零） 5. 关于理想溶液所有的逾额性质均为零。
（对。
因is EM M M-=）6. 理想溶液中所有组分的活度系数为零。
（错。
理想溶液的活度系数为1）7. 体系混合进程的性质转变与该体系相应的逾额性质是相同的。
（错。
同于4）8. 关于理想溶液的某一容量性质M ，那么__i i M M =。
（错，同于4）9.理想气体有f=P ，而理想溶液有i i ϕϕ=ˆ。
（对。
因i i i i i i is i isiPfPx x f Px f ϕϕ====ˆˆ） 10. 温度和压力相同的两种理想气体混合后，那么温度和压力不变，整体积为原先两气体体积之和，总热力学能为原两气体热力学能之和，总熵为原先两气体熵之和。
（错。
总熵不等于原先两气体的熵之和）11. 温度和压力相同的两种纯物质混合成理想溶液，那么混合进程的温度、压力、焓、热力学能、吉氏函数的值不变。
（错。
吉氏函数的值要发生转变）12. 因为G E (或活度系数)模型是温度和组成的函数，故理论上i γ与压力无关．（错。
理论上是T ，P ，组成的函数。
只有对低压下的液体，才近似为T 和组成的函数）13. 在常温、常压下，将10cm 3的液体水与20 cm 3的液体甲醇混合后，其整体积为 30 cm 3。
化工反应工程答案 第四章
4 管式反应器4.1在常压及800℃等温下在活塞流反应器中进行下列气相均相反应： 6532664+→+C H C H H C H C H在反应条件下该反应的速率方程为：0.51.5,/.=T H r C C m ol l s式中C T 及C H 分别为甲苯及氢的浓度，mol/l ，原料处理量为2kmol/h ，其中甲苯与氢的摩尔比等于1。
若反应器的直径为50mm ，试计算甲苯最终转化率为95%时的反应器长度。
解：根据题意可知甲苯加氢反应为恒容过程，原料甲苯与氢的摩尔比等于1，即：00=T H C C ，则有：0(1)==-T H T T C C C X示中下标T 和H 分别代表甲苯与氢，其中：53300330000.5 1.013105.6810/8.3141010732/21/0.27810/--⨯⨯===⨯⨯⨯====⨯T T T T p C km ol mR TF Q C km ol h km ol s所以，所需反应器体积为：00000.51.52.50.95333 1.51.51.5 1.5(10.95)10.278100.4329 3.0061.5(5.6810)(1)1.51---==--=⨯=⨯=⨯--⎰⎰⎰T T X X T T r T T T HTTT dX dX V Q C Q C C C C dX mX 所以，反应器的长度为：23.0061531.10.05 3.14/4=⨯m4.2根据习题3.2所规定的条件和给定数据，改用活塞流反应器生产乙二醇，试计算所需的反应体积，并与间歇釜式反应器进行比较。
解：题给条件说明该反应为液相反应，可视为恒容过程，在习题3.2中已算出：0275.8/=Q l h 01.231/=A C mo l l 所以，所需反应器体积：00000000(1)()275.80.95818.61 5.2 1.23110.95=--===-⨯-⎰AX Ar A A A B A A AA A dX V Q C kC X C C X Q X lkC X由计算结果可知，活塞流反应器的反应体积小，间歇釜式反应器的反应体积大，这是由于间歇式反应器有辅助时间造成的。
全套课件 化工问题的建模与数学分析方法
kAcA
B c pB
T t
g
c
pg
v
T z
kz
2T z2
(H )k AcA
2h R
(Tw
T)
Danckwerts边界条件：
c x
x 1 0
第一章数学模型——典型问题
§7 色谱过程的数学模型
色谱：非均相的流动吸附分离过程
1. 平衡色谱
t
ci
1
ni
v
ci x
Dz
2 ci x2
第一章数学模型——模型有什么用？
化学工程发展史上的几个重要阶段
1901～1920’s：工业化学→化学工程 1923～1930‘s：单元操作，化工数学 1940～1950‘s：传递现象，数学模拟 1957～1960‘s：化学反应工程 1970‘s～ ：过程系统工程 趋势——模型化，数学化
第一章数学模型——模型有什么用？
1
p x
v
2u x2
2u y2
u
x
y
1
p y
v
2
x2
2
y2
第一章数学模l, y~
u
u x
O
u2 l
;
2u x2
O
u l2
;
u y
O
u2 l
2u y 2
O
u2
2 0
主要结果
2u x2
2u y2
p 0 y
第一章数学模型——典型问题
第一章数学模型——建模方法
§3 化工问题的数学表述
1. 守恒方程（balance equations) 质量守恒、动量守恒、能量守恒、粒数守恒
通用公式：
化工过程模拟与分析第四章非线性方程组的求解.ppt
实践证明 k→ ∞ 时有
rxk
r x k 1
相邻2轮之 间解之差.
趋于稳定，其中 rxk xk xk
且可以近似地认为 r xk r xk1 因此有：rxk p p rxk
再由 xk1 xk xk r xk 可知：
min
Fx
1 2
m i 1
fi ( x)2
1 2
f
T
f
而此最小化问题，可通过牛顿法来求解：
x k 1
xk
H 1 xxk
F x
xxk
m≥ n m=n为方程组求解
其中： F x x xk
Jf
xk
Tf
数值稳定性 某算法在运算过程中，误差不增长或增长很少，则称 该算法数值稳定性较好。
收敛检验
x(k1) x(k )
x(k)
4.2 f (x) = 0的求解
一、牛顿-拉弗逊法（Newton-Raphson method） 原理 第k步迭代时，将非线性方程组展开为线性方程组 L (x)=0，并将线性方程组的解作为下一个迭代点。
xk 1 x* q xk x*
k k0
三、算法选择标准
1、迭代算法适应性 收敛域越大越好，即压缩映射D0应尽量大 2、迭代算法收敛性 除需要在解附近，对初始点的其他要求越少越好 3、迭代算法收敛速度 越快越好 4、计算量
四、非线性方程组的线性展开
对于一个n维多元函数组 f (x)，在某一点附近，有：
0 t0 t1 t2... tN 1
顺序求解非线性方程组：H x,tk 0, k 1,2,..., N
化工问题的建模与数学分析方法习题答案
各章习题选解（仅供参考）第一章习题1.（√）在一个有效容积为V 的半连续式搅拌反应器中，由原料Ａ生产物质Ｂ，若浓度为c 0流量为Q 的Ａ溶液加入空反应器，反应遵循以下连串-可逆步骤C B A k kk −→−−−←−→−321且所有的反应均为一级，证明在反应器中Ｂ的克分子数N B 是以下微分方程的解CRN dt dN P dt N d B B B =++22式中1031321k Qc C k k R k k k P ==++=证明：对A 、B 分别作质量衡算，有A ：)1(210dt dN N k N k Q c AB A =+-B ：)2(321dtdN N k N k N k BB B A =--由（2）得到：102(3)AA B dN k N c Q k N dt=+-（3）代入（2），得：210131232()(4)B BB dN d N k c Q k k N k k k dt dt -=+++令123130,,P k k k R k k C c Q =++==得22(5)B BB d N dN P RNC dt dt++=证毕。
2.冬天的池塘水面上结了一层厚度为l 的冰层，冰层上方与温度为T w 的空气接触，下方与温度为0℃的池水接触。
当T w ＜0℃时，水的热量将通过冰层向空气中散发，散发的热量转化为冰层增加的厚度。
已知水结冰的相变潜热为L f ，冰的密度为ρ，导热系数为k ，导温系数为α，求：1)当气温T w 不随时间变化时，给出冰层厚度随时间变化的关系，若L f ＝3.35×105J/kg ，ρ＝913kg/m 3，k ＝2.22W/m °K ，T w ＝－10℃，问冰冻三尺，需几日之寒？2）当气温随时间变化时，设T w ＝T w (t)已知，导出冰层厚度变化的完整数学模型。
解：(1)冰层的温度为0℃，水通过冰层向空气散发热量，记为Q ，该热量用于水结成冰。
化工问题的建模与数学分析方法 第二章习题及答案
第二章习题1. 求以下微分方程的解2222212tan 4sin 222cos 322ln xdyy x x dx d y dy y e x dx dxd y dy x x y x x dx dx解： (1)22tan 2tan 2ln|cos |222222tan 4sin [4sin ]cos [4sin ]sin cos [4]cos 4cos [cos ]cos 4cos cos xdx xdxx dyy x x dx y e xe dx c x xedx c x x dx c x x d x c xx C x C --+=⎰⎰=+=+=+-=+=+⎰⎰⎰⎰解：为任意常数（2）212*(1)*(1)22cos 211(cos sin )112111(cos sin )(cos sin )22212xx i x i x x x dy y e x dx dx i iy e C x C x i y Axe A iy ixe ixe x i x xe i x x xe α---+-+---++=+=-+=--=+=-+==-=-=-+=--=2212*d y 解：先求通解：特征方程为： λλ+2=0λλ故方程通解为：由于为方程一根设特解为：代入方程得：取其实部：y 12sin 1(cos sin )sin 2x x x xy e C x C x xe x--=++方程的解为：（3）222222121212*1*2*1*21212222201212(cossin )221411241(cos sin )224tt t t tt d y dy x x y x lnx dx dx x e d y dyy e tdt dte C C t y Ae y At By e y t e C t C λλλλ--++=+=++=+++=-+=-==+==+==-++解：设原式可化为：特征方程为：通解为：Y 设特解为：代入方程得：所以，方程的解为：y=12121124111(cos ln sin ln )ln 22424t e t y x C x C x x x -+-=+++-即2. 求解第一章给出的连续结晶器的稳态数学模型GB n n n F ln G in =-=∂∂)0()(式中，成核速率B ，生长速率G ，流量F 均可考虑为常数，加入流体的粒数分布 为l 的任意函数n in =n in (l )。
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exp(
n a
y)
从而由方程（1）得到，
（7）
（n=1,2,3,…）（8）
Un
(
x,
y)
An
exp(
n a
y
)
Bn
exp(
n a
y)
cos
n a
x
（9）
式（9）中 An=A1nCn，Bn= B1nCn，均为任意常数。 根据叠加原理构造以下级数形式的解
U (x, y)
n1
An
exp(
n a
y
否则是椭圆型方程
2. （√）证明：
（1）圆形区域上 Laplace 方程 2u=0 在圆对称情况下的通解为 u(r, ) Aln r B
式中 r 为径向极坐标，A、B 为任意常数
（2）球形区域上 Laplace 方程 2u=0 在球对称情况下的通解为 u(r,,) A B / r
式中 r 为径向球坐标，A、B 为任意常数
)
Bn
exp(
n a
y
)
cos
n a
x
（10）
令上式满足 y 的边界条件，得到确定系数 An， Bn 的方程
n1
An
exp( n a
b)
Bn
exp( n a
b)cosຫໍສະໝຸດ n ax0
An
n1
Bn
cos
n a
x
10 (a a
x)
n 将以上两式的右端展开为 cos x 的傅立叶级数，然后逐项比较系数，得到
n1
An
exp(( 2n 1 2
)2
t
)
sin
2n 1 2
x
;
n 1, 2,3
(20)
An
2
1 0
(1)
sin
2n 2
1
x
dx
(21)
因此，问题的解为
u( x, t )
x3
x
1
n1
An
exp(( 2n 1 2
)2
t)
sin
2n 1 2
x
;
n 1, 2,3
(22)
4. 解下列矩形域的拉普拉斯方程定解问题
u(x,0)
n1
An
cos(
2n 2
1
x)
f (x)
An
2
1 0
f
(x) cos( 2n 1 x)dx 2
(9)
(2)
ìïïïïíïïïïîuuut((x0=,,t0)u)=x=x
1 x
6x ;
3-
x
(0 < x < 1) ux (1,t) = 2
解：首先将方程化齐，为此，令
u(x,t) w(x,t) v(x) (10)
u u
xx x (0,
u yy y)
0 ux
(a,
y
)
0
(0 x a,
u(
x,
b)
0;
u(
x,0)
10
(a
x)
a
0 y b)
解： 首先假设问题的解具有以下变量分离的形式
u( x, y) X ( x)Y ( y)
代入原方程，得到关于 X(x)的特征值问题和 Y(y)的方程
（1）
X '' X 0，X '(0) X '(a) 0
证明：（1）在极坐标下，圆型区域内，laplace 方程的表达式为
在圆对称情况下
1 (r r r
u ) r
1 r2
2u 2
0
原方程可化为
u （0 0 2）， (r u ) 0 ， r r
解得
u(r, ) Aln r B
（2）同理可证
3. （√） 用分离变量法求解以下一维热传导方程的定解问题
T ' T 0 (15)
X '' X 0
X
(0)
0
(16)
X (1) 0
得特征值 特征函数
( 2n 1 )2; n 1, 2,3 (17) 2
Xn
Cn
sin
2n 1 2
x ;
n 1, 2,3
(18)
及
Tn
Bn
exp(( 2n 1 2
)2 t);
n 1, 2,3
(19)
w( x, t )
a
An
exp( n a
b)
Bn
exp(
n a
b)
0
An
Bn
20
n 2
(1
cos n
)
由此解得
20(1 cos n )[exp( n b)]
An
n
2
[exp(
n
b)
a exp( n
b)]
a
a
exp( n b)
20(1 cos n )[exp( n b)]
Bn
exp(
a n
b)
An
n
2 [exp( n
(1)
uutx
uxx (0, t )
0
;
u(x, 0) f (x)
(0 x 1) u(1,t) 0
解：设
由（4） （5）代入（2）
u(x,t) X (x)T (t) (1)
T ' X '' (2) TX
T ' T 0 (3)
X '' X 0
X
'(0)
0
(4)
X (1) 0
必须 sin a ＝0，由此λ应取以下值
n a
2
（n=1,2,3,…）
（5）
由此得到
X n ( x)
Cn
cos n a
x
（n=1,2,3,…）
（6）
由方程（3）可得Y ( y) A1 exp( y) A2 exp( y)
将λ值代入方程（7），得
Yn (
y)
A1n
exp( n a
y)
A2n
（2）
Y '' Y 0
（3）
类似与书 P199 中对于方程（4.2.5）、（4.2.6）的讨论，这里的参数λ只能取正值，否则只
能得到零解。因此方程（2）的通解是
X (x) c1 cos x c2 sin x
（4）
由边界条件 X'(0)=0 知 c2=0，再由 X '(a) c1 sin a 0 知，若要有非零解, c1≠0，
第四章习题
1.（√）判别以下方程的类型，并指出变系数中自变量取值范围
（1） uxx 4uxy 3uyy 4ux 3u xy
（2） uxy ux x sin y
（3） x2uxx y2uyy 0
（4） uxx xyuyy 0
解：（1）a＝1，b＝2，c＝3，b2－ac>0，是双曲型方程 （2）b＝0.5，b2－ac>0，是双曲型方程 （3）b2－ac＝x2y2，当 x＝0 或 y＝0 时，是抛物线型方程，否则是双曲型方程 （4）b2－ac＝xy，当 x＝0 或 y＝0 时，是抛物线型方程，当 x 和 y 同号时是双曲型方程，
( 2n 1 )2; n 1, 2,3 (5) 2
X
n
(
x)
Cn
cos(
2n 2
1
x
);
n 1, 2,3
(6)
Tn
(t)
Bn
exp
2n 2
1
2
t
(7)
u( x, t )
n1
An
exp
2n 1 2
2
t
cos( 2n 1 2
x)
(8)
其中 An 由下式确定：
t 0,
代入方程，得 解得
d 2v dx2
6x
0
v(0)
1,
dv
2
(11)
dx x1
v(x) x3 x 1
于是
wwt(0,
wxx t)
0,
wx (1,t) 0
(12)
w(x, 0) 1
用分离变量法解问题（12）
w(x,t) X (x)T (t) (13)
T ' X '' (14) TX