第7讲(7-1)：求函数的值域(均值不等式)(学)
第7讲 不等式(教师与学生版)
第7讲 不等式【知识梳理】1. 比较大小的方法：(1) 作差比较法：0;0;0a b a b a b a b a b a b ->⇔>-=⇔=-<⇔<.步骤：作差——变形——定号——结论. (2) 作商比较法：若0b >，则1;1;1a a aa b a b a b b b b>⇔>=⇔=<⇔<. (3) 性质法；(4) 单调性法； (5) 图象法； (6) 特值法 (选填题) .2.不等式的性质：(1)对称性：a b b a >⇔<.(2)传递性：,a b b c a c >>⇒>.(3)可加性：a b a c b c >⇔+>+.(4)可乘性：,0a b c ac bc >>⇒>；,0a b c ac bc ><⇒<. (5)加法法则：,a b c d a c b d >>⇒+>+. (6)乘法法则：0,0a b c d ac bd >>>>⇒>.(7)乘方、开方法则：00rra b a b >>⇒>>(r 为正有理数) . (8)倒数法则：11,0a b ab a b>>⇔<，同号取倒反向. 3. 一元二次不等式的解法：数形结合：开口方向、根的情况⇔解集. 4.基本不等式：(1) 若,a b R ∈，则222a b ab +≥(和转积).当且仅当a b =时等号成立.变形：若,a b R ∈，则：①222a b ab +≥ (和转积)；②222a b ab +≤(积转和)；③22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭(和转和)，记忆：平方均不小于均平方.(2) 均值不等式：若0,0a b >>，则2a b+≥和转积)，当且仅当a b =时等号成立.变形：若0,0a b >>，则：①a b +≥和转积)2a b+≤(积转和)；③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(积转和) .(3) 不等式链：若0,0a b >>，则22ab a b a b +≤≤≤+5．求最值:如果,x y 都是正数，那么:(1) 若积xy 是定值P ,则当x y =时，和x y +有最小值(2) 若和x y +是定值S ，则当x y =时，积xy 有最大值22S ⎛⎫⎪⎝⎭.点拨：(1) 正、定、等三个条件缺一不可；(2) 关键是获得定值条件，常需拆项、添项、配凑、“1” 代换等; (3) 多次放缩必需同时取等号才可取得最值.【典例精析】例1. (1)设0,0>>y x ，1x y A x y +=++，11x yB x y=+++，则A B 、的大小关系为 ．(2)已知三个不等式：①0>ab ，②bda c >，③ad bc >。
第7讲 均值不等式三大难点突破
当前形势不等式在近五年北京卷（理）考查5～10分高考要求内容要求层次具体要求A B C均值不等式√理解并运用基本不等式解决简单的最大（小）值问题均值不等式构造和应用√理解并会构造基本不等式的形式，利用均值不等式证明一些结论，解决与实际生活相关的问题北京高考解读2009年2010年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第13题5分第1题5分第7题5分第14题5分第8题5分新课标剖析满分晋级第7讲均值不等式三大难点突破不等式2级常见不等式通用解法不等式4级不等式证明不等式3级均值不等式三大难点突破<教师备案>在寒假预习课中，对于均值不等式我们只是介绍了2a bab +≤（0,0a b >>），已知和为定值，求积的最大值；已知积为定值，求和的最小值的简单题型．在这里简单回顾一下．1、已知x ，y +∈R ，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ． 【解析】 3 2、已知0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则22a b +的最小值为 ．【解析】 2 3、已知112x <<，则112x x++的最小值为_________． 【解析】 21+考点1：均值不等式的直接运用1．均值定理：如果a ，b +∈R （+R 表示正实数），那么2a bab +≥，当且仅当a b =时，有等号成立．知识切片寒假知识回顾知识点睛7.1利用均值定理求最值此结论又称均值不等式或基本不等式．2．均值不等式推广：2222a b a b ab ++≤≤，其中2a bab +≤需要前提条件,a b +∈R ． 2a b+叫做a ，b 的算术平均值，ab 叫做a ，b 的几何平均值，222a b +叫做平方平均值．3．可以认为基本元素为ab ，a b +，22a b +；其中任意一个为定值，都可以求其它两个的最值． <教师备案>关于上述三个基本元素的引入，ab ，a b +可由等周问题引入：周长一定的矩形什么时候面积最大，面积一定的矩形什么时候周长最小．22a b +可由一下情形引入：斜边长度固定为22a b +的直角三角形，什么时候周长最大，什么时候面积最大．<教师备案>在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几个条件：①一正：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；实际过程中，两项全是负的其实也可以用均值，提出一个负号即可．所以说“一正”这个条件可以扩展为“同号”②二定：函数式中含变量的各项的和或积或平方和必须是定值；特殊情况下，至少要求各项的和、积、平方和是一个可化简的定式③三相等：只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．需要注意，只要满足条件①，即使等号不成立，不等号也是一定成立的．这种均值的应用常用于不等式放缩．【例1】 ⑴已知010x <<，则()10x x -的最大值为_________． ⑵已知1x >，则411y x x=-+-的最大值是__________． ⑶下列函数中，最小值为4的函数是________．①4y x x=+；②e 4e x x y -=+；③334log log y x x =+；④4πsin 0sin 2y x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭；⑤4πtan 0tan 2y x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭． ⑷（目标班专用）（2012年上海春）已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令2012n n n b a a -=+（n *∈N ，2012n <），当k b 是数列{}n b 的最大项时，k = ．【解析】 ⑴ 25；⑵ 4-⑶ ②⑤ ⑷ 1006．经典精讲【备选】（2013山东12）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=．则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．94D ．3 【解析】 B考点2：求两个正数和的最小值1．利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数．通常要通过添加常数、凑分母等方式进行构造． 2．对于分子分母的最高次数为平方关系的分式函数()f x ，可以经过适当的变形，把含有x 的部分最终化为()()ag x b g x ++的形式，进而利用均值不等式处理函数的最值． <教师备案>事实上，处理此类问题的实质是去寻找定值，把给定的式子整理为可以找出其乘积为定值的形式，进而处理原式子的最值．求分式函数的最值在以后的解析几何中会比较常出现．【铺垫】求函数2241y x x =++的最小值，并求出取得最小值时的x 值． 【解析】1x =±时取到等号．y 的最小值为3．【例2】 ⑴已知1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值．⑵求函数()()2402x f x x x =≠+的最大值．⑶（目标班专用）求22614x y x +=+的最大值． 【解析】 ⑴ 9；⑵ 最大值为24． ⑶ y 的最大值为3．【备选】已知()3a a b c bc +++=，0a b c >，，，求2a b c ++的最小值． 【解析】23；考点3：求两个正数积的最大值知识点睛经典精讲利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，调整系数，使其和为常数．通常要通过乘以或除以常数、平方等方式进行构造．<教师备案>此类题型中一般用到不等式22a b ab +⎛⎫⎪⎝⎭≤的形式，其中a b +为定值．若a b λμ+为定值，通过调整系数，可以得到()()2112a b ab a b λμλμλμλμ+⎛⎫= ⎪⎝⎭≤（λμ+∈R ，）的形式．【例3】 ⑴若2735x <<，则代数式()()3275x x --的最大值为________． ⑵设00x y ≥，≥，2212y x +=，则21x y +的最大值为_________．⑶已知22325a b +=，则22(21)(2)y a b =+⋅+的最大值为_________．【解析】 ⑴12160⑵324 ⑶14716考点4：由已知条件求最值（以下a b c d e ，，，，为正常数，0x y >，） 已知ax by c +=，求d e x y +的最小值；或者已知d ec x y+=，求ax by +的最小值． 对于上面两类问题，我们都可以采用求()d e ax by x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值即可．<教师备案>比如：设0a >，0b >．若1a b +=，则11a b+的最小值为________．答案：2 误解：0x y >，，125x y+=，求x y +的最小值． ∵()()12122242x y xy x y x y ⎛⎫⎛⎫++⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，∴x y +的最小值为425． <教师备案>此种类型的题是均值不等式的简单应用，思想是将代数式化齐次．此类题型我们可以通过调整定值式子的次数之后，使得正的次数与负的次数之和为0，之后把待求式乘以调整之知识点睛知识点睛经典精讲后的已知式子，进而转化为齐次的式子，转为齐次的式子一般剩下的都是形如x y 和yx的式子，之后直接利用均值不等式求最值．比如：已知()23200x y x y+=>>，，则xy 的最小值是 ．因为xy 为二次的式子，已知的定值为负一次的式子， 从而我们需要把已知的定值转化为负二次的，平方即可∴22223491249122361264444y xxy x y x y xy x y xy xy ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭=⋅===≥， 当且仅当49y xx y=时，等号成立，此时2x =，3y =．【例4】 ⑴（目标班专用）已知00x y >>，，且191x y+=，则x y +的最小值是_______． ⑵（2010宣武一模理13）若A B C ，，为ABC △的三个内角，则41A B C++的最小值为 ． 【解析】 ⑴ 16；⑵9π；【备选】已知,a b 为正常数，a b ≠，(),0,x y ∈+∞，求证：()222a b a b x y x y+++≥；利用此结论求函数()291,0,122f x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪-⎝⎭的最小值． 【解析】 由于a ，b ，x ，y 均为正实数，而()()222222222222a b a y b x a y b x x y a b a b a b xy x y x y ⎛⎫++=+++++⋅=+ ⎪⎝⎭≥， 所以()222a b a b x y x y +++≥．当且仅当22a y b xx y =，即a b x y=时等号成立．()()2222329232512212212f x x x x x x x+=+=+=--+-≥，当且仅当23212x x =-，即15x =时等号成立．即当15x =时，函数()f x 取最小值25．考点5：转化定值的形式<教师备案>题目中给出的条件不是两个数的和或者积为定值，而是别的形式，需要用均值不等式将已知条件转化为求解关于目标式的不等式，由不等式的解来确定要求的最值．主要思想是将经典精讲a b +和ab 通过均值不等式统一为a b +或ab 的不等式．【例5】 ⑴（目标班专用）（2010重庆）已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．92D ．112⑵（2010浙江文15）若正实数,x y 满足26x y xy ++=，则xy 的最小值是________．⑶（2011浙江理16）设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是________．【解析】 ⑴ B ⑵ 18⑶2105【备选】已知单位向量OA 与OB 的夹角为2π3，单位向量OP xOA yOB =+（0x >，0y >），则x y +的最大值为________．【解析】 2以下例题涉及到多次使用均值不等式，北京目前不考，作为选讲内容，老师可以针对不同班次选择部分讲解． 1、设0a b >>，则()21a b a b +-的最小值是________．【解析】 4 2、设0a b >>，则()211a ab a a b ++-的最小值是________． 【解析】 43、（2010四川理12）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．25 D ．5【解析】 B<教师备案>北京对于利用均值证明不等式的题型考察比较浅，经常需要分组，分类考虑．比较常见利经典精讲7.2利用均值定理证明不等式用2a bb a+≥，和222a b ab +≥这两种情形，本版块仅安排一道例题．【例6】 ⑴已知a b c 、、是互不相等的正数，求证：222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>．⑵已知：a b c +∈R ，，，求证：bc ac aba b c a b c++++≥． 【解析】 ⑴ ∵a b c 、、是互不相等的正数，∴222b c bc +>．∴22()2a b c abc +>．同理可得：2222()2()2b a c abc c a b abc +>+>，．三个同向不等式相加，得222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>． ⑵ ∵a b c +∈R ，，，∴222bc ac abc c a b ab +=≥，即2bc acc a b+≥， 同理：2,2bc ab ac abb a ac b c++≥≥， 三个同向不等式相加得22()bc ac ab a b c ab c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥，∴bc ac ab a b c a b c ++++≥．【备选】若a b c +∈R 、、，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥．【解析】 不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“2”连乘而来，而1121a b c bca a a a-+-==≥． ∵111a b c a a a-+-==，又0a >，0b >，0c >， ∴2b c bc a a+≥，即12a bc a a -≥．同理121ca b b -≥，121abc c -≥， ∴1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立．（注：证明不等式可以不说明等号取到的条件）<教师备案>此类题型北京高考不会考，但学校学习必修5的时候，学校的模块测试中基本上都会出现，重点在于如何建立函数关系式，确定自变量取值范围，剩下的工作才是均值不等式的，整理函数之后利用均值不等式求最值即可．本版块安排了一道例题，老师讲解的时候可以重点强调一下如何通过实际情况去建立数学模型，进而得到函数关系式进行求解．7.3均值不等式应用题经典精讲【例7】 如图，某小区准备在一直角围墙ABC 内的空地上植造一块“绿地ABD △”，其中AB 长为定值a ，BD 长可根据需要进行调节（BC 足够长）．现规划在ABD △的内接正方形BEFG 内种花，其余地方种草，且把种草的面积1S 与种花的面积2S 的比值12S S 称为“草花比y ”． ⑴ 设DAB θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ⑵ 当BE 为多长时，y 有最小值？最小值是多少？【解析】 ⑴ ()2121tan 12tan Sy S θθ+==-． ⑵ 当2aBE =时，y 有最小值为1．【备选】 如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为24，将矩形ABCD 沿对角线AC 对折，AB 折过后交DC 于点P ，若AB 的长在变化，求三角形ADP 的面积的最大值，以及取得最大值时相应的AB 的值．【解析】 ADP S △()618122108722-=-≤当且仅当62a =时取等号．已知直角三角形的周长l （定值）．问：直角三角形满足什么条件时，可使其面积最大？【解析】 设直角三角形的三边分别为,,a b c ，其中c 为斜边，则法1：222a b c +=，a b c l ++=，面积为()()()()222222111122444ab a b a b l c c l cl ⎡⎤⎡⎤=+-+=--=-⎣⎦⎣⎦而22222a b a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭≥，∴2222c l c -⎛⎫ ⎪⎝⎭≥，()222c l l +≥，于是()21c l -≥．因此面积的最大值为()222132222144l l l -⎡⎤--=⎣⎦，当且仅当a b =，也即直角三角形为等腰直角三角形时，取得最大值． 法2：∵2ab a b +≤，222ab a b +≤ ∴2222ab ab a b a b l ++++=≤经典精讲B'PDCBADC GFE BA因此()22222l l ab -=+≤，即23222ab l -≤．【演练1】⑴ 若x 、y +∈R 且41x y +=，则xy 的最大值是________．⑵ 比较大小：已知a b c >>，则()()a b b c --_______2a c-． 【解析】 ⑴116 ⑵ ≤【演练2】已知00x y >>，，且112x y+=，则x y +的最小值是_______． 【解析】 2；【演练3】⑴ 若0x >，则423x x++的最小值是_________． ⑵ 422331x x y x ++=+的最小值是_________． 【解析】 ⑴ 243+；⑵ 3；【演练4】⑴ 若a ，b +∈R ，且2213b a +=，求21a b +的最大值及此时a ，b 的值．⑵ 设12x >，1y >，且221xy x y --=，那么2x y +的最小值为________．【解析】 ⑴，631a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，21a b +有最大值233． ⑵ 222+【演练5】已知a b c >>，求证：114a b b c a c+---≥． 【解析】 法一（换元法）∵a b c >>，∴000a b b c a c ->->->，，， 设a b x b c y -=-=，，实战演练80 第7讲·目标班·教师版 则a c x y -=+，原不等式转化为：114x y x y ++≥，即证：11()4x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥， ∵1111()224x y xy x y x y ⎛⎫++⋅⋅= ⎪⎝⎭≥，故原不等式成立． 法二：∵a b c >>，∴000a b b c a c ->->->，，，∴1111()()a c a b b c a b b c a b b c ⎛⎫⎛⎫+-=+-+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭122()()4()()a b b c a b b c ⋅--=--≥， ∴114a b b c a c+---≥． 注：求最值时，一般都尽量避免用两次均值，以防等号不能同时取到，对本题的情况一般都会先展开再用一次均值．但在证明不等式时，对等号是否取到没有要求，故可以直接用两次均值不等式得到结论．【演练6】某村计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大．最大种植面积是多少？【解析】 当且仅当2a b =，即40(m)a =，20(m)b =时，取到等号，此时种植面积最大，为2648m ．（第二十一届希望杯全国数学邀请赛高二第2试16）已知a b +∈R ，，且2ab =，则2222b a a b+++的最小值是_______． 【解析】 22；由于2ab =，则()222222122b a b a b a a b a b ab a ab b a b a b ab a b +⎛⎫+=+=+= ⎪++++++⎝⎭ 由由均值不等式知()2222a b a b ++≥，则()()()2222222222222a b b a a b a b ab a b ab a b ab a b ab ab ++++===++++≥≥ 且仅当2a b ==，同时取到等号．所以2222b a a b +++的最小值是22． 大千世界。
求函数的值域课件
（3）y = x2+4x+3 （4）y =3-2x-x2
(-3≤x≤1) x∈[-3,1]
练习：1.求下列函数的值域
（ 1） y =
1 x 3
2
1 4x （ 2） y = 2x 3
（ 3） y
2 =x -4x+3
x∈[-1,4]
（2）y = 2x －3 + 4 x 13
y
t 13 则x 且t 0 4 2
（2）y = | x | －1 x∈{－2, －1, 0, 1, 2 }
（ 3） y =
2 x2
(－∞, 0 )∪(0, + ∞ ) 值域为 ________________________ [0, + ∞ ) 值域为 ____________
（ 4） y =
x3
例2、求下列函数的值域: (1) y =
解：设 t =
1 x
y 1
1 x
则x=1－t2且 t≥0 y = 1 － t2 + t
1 2 5 ( t ) 2 4
o x
5 由图知： y 4
故函数的值域为 ( , 5 ]
4
1、求下列函数的值域：
（1）y = 1 －2x R 值域为 ________________ －1, 0, 1 } 值域为 { _________
定义域为R
k 反比例函数: y (k 0) x
值域为R
定义域为{x|x ≠0}
值域为{y|y ≠0}
定义域为R
2
二次函数 : f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
4ac b } 当a>0时，值域为: { y | y 4a 4ac b } 当a<0时，值域为: { y | y 4a
第7讲 函数的值域与最值
第10讲 函数的值域与最值【考点解读】1. 理解函数的单调性、值域和最值的概念；2. 掌握求函数的值域和最值的常用方法与变形手段.【知识扫描】1.函数的值域与最值(1)函数的值域是函数值的集合,它是由定义域和对应法则共同确定的，所以求值域时应注意函数的定义域. (2)函数的最值.设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(ⅰ)对于任意的x ∈I ,都有f (x )≤M ;(ⅱ)存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M ,则称M 是函数y =f (x )的最大值.类似地可定义f (x )的最小值. 2.基本初等函数的值域(1)一次函数y =kx +b (k ≠0)的值域为R. (2)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的值域：当a>0时，值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭; 当a<0时，值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦(3)反比例函数y = (k ≠0)的值域为不为0的实数；(4)指数函数y =ax (a >0且a ≠１)的值域为()0,+∞. (5)对数函数y =log ax (a >0且a ≠１)的值域为R.(6)正、余弦函数y =sin x (x ∈R )、y =cos x (x ∈R )的值域为[]1,1-;正切函数y =tan x (x ≠k π+ ,k ∈Z )的值域为 R.3.求函数的值域（最值）常用的方法 (1)配方法. 适合一元二次函数 (2)单调性法. 注意函数xkx y +=的单调性。
(3)导数法.(4) 换元法；通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围。
注意三角换元的应用。
如求21x x y -+=的值域。
⑸均值不等式法. 要注意“一正、二定、三相等”，⑹数形结合法，要注意代数式的几何意义。
如xxy cos 1sin 2+-=的值域。
（几何意义――斜率）⑺判别式法：适合于可转化为关于x 的一元二次方程的函数求值域。
高三数学高考求函数值域的方法(整理)知识点分析人教版
求函数的值域的常见方法求函数的值域是高中数学的重点学习内容，其方法灵活多样，针对不同的问题情景，要求解题者，选择合适的方法，切忌思维刻板。
本文就已知解析式求函数的值域，这类问题介绍几种常用的方法。
一、 直接法函数值的集合叫做函数的值域，根据定义，由函数的映射法则和定义域，直接求出函数的值域。
例1． 已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。
解：因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y ，注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该例的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。
请体会两者的区别。
二、 反函数法反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。
例2．求函数1251+-=xy 的值域。
分析与解：注意到02>x，由原函数求出用y 表示x2的关系式，进而求出值域。
由1251+-=xy 得：=x2， 因为02>x，所以14014<<-⇒>-+y yy ， 值域为：{}14|<<-y y三、 函数的单调性例3．求函数xx y 1+=在区间()+∞∈,0x 上的值域。
分析与解答：任取()+∞∈,0,21x x ，且21x x <，则()()()()212121211x x x x x x x f x f --=-，因为210x x <<，所以：0,02121><-x x x x ，当211x x <≤时，0121>-x x ，则()()21x f x f >；当1021<<<x x 时，0121<-x x ，则()()21x f x f <；而当1=x 时，2min =y 于是：函数xx y 1+=在区间()+∞∈,0x 上的值域为),2[+∞。
高中数学--函数值域求法十一种(详解).docx
函数值域求法十一种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
1y1. 求函数x 的值域。
解：∵x01∴x显然函数的值域是：(,0)(0,)2. 求函数y3x的值域。
解：∵x 0x 0,3x 3故函数的值域是：[,3]2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
3.求函数yx 22x5, x[ 1,2] 的值域。
解：将函数配方得：y(x1) 24∵ x [1,2]由二次函数的性质可知：当 x=1时，ymin4，当 x1时， y max 8故函数的值域是：[4，8]3.判别式法y1 x x 24.1x 2求函数的值域。
解：原函数化为关于 x 的一元二次方程( y 1)x2( y 1) x 0 （1）当 y 1时，x R( 1) 2 4( y 1)( y1)解得：1y3 22（2）当 y=1时， x 0 ，而11 , 3 故函数的值域为 1,3222 25. 求函数 y xx( 2 x )的值域。
解：两边平方整理得：2x22(y 1) x y2（1）∵ x R∴4(y 1) 28y解得：12 y 1 2但此时的函数的定义域由x( 2x)0 ，得0x 2由0 ，仅保证关于 x 的方程：2x22(y 1) x y 2在实数集 R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 1 ,3。
《求函数值域的方法》教学课件
y)x
y
0
y 1
又
y 1
故值域为 [
0
1
,1)
1 3
y 1
3
6、均值不等式法
例 6求下列函数的值域:
(1)y=
2x x2+1
;
[-1, 1]
(2)y=
x2-2x+5 x-1
(x>1)
.
[4, +∞)
利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的 值域. 要注意满足条件“一正、二定、三等”.
点(cos x,sin x)与点(2,0)的斜率
如图所示：
2
sin x 0
3
(cosx 2)max 3
求例m1与1若n函的数值f.(x)=log3mxx2+2+81x+n 的定义域为 R, 值域为[0, 2],
解: ∵f(x) 的定义域为 R, ∴mx2+8x+n>0 恒成立.
∴△=64-4mn<0 且 m>0.
令 y=
mx2+8x+n x2+1
,
则 1≤y≤9.
问题转化为 x∈R 时,
y=
mx2+8x+n x2+1
的值域为[1, 9].
变形得 (m-y)x2+8x+(n-y)=0,
当 m≠y 时, ∵x∈R, ∴△=64-4(m-y)(n-y)≥0.
整理得 y2-(m+n)y+mn-16≤0.
依题意
m+n＝1+9, mn-16=1×9,
求函数y sin x 的最大值 2+cosx
均值不等式
x y x y xy 1 ≥2 , 3 4 3 4 3 x y xy≤3.当且仅当 , 3 4 3 即x , y 2时取等号, 故xy的最大值为3. 2
答案:3
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3.(2009 天津卷)设x, y R, a 1, b 1, 若a x b y 3, a b 1 1 2 3, 则 的最大值为( ) x y 3 A.2 B. 2 1 C.1 D. 2 解析 : a x b y 3, x log a 3, y logb 3,
第13页 共 52 页
1 9 解法三 :由 1, 得y 9x xy. x y ( x 1)( y 9) 9. x y 10 ( x 1) ( y 9)≥10 2 ( x 1)( y 9) 16. 当且仅当x 1 y 9时取等号. 1 9 又 1, x 4, y 12. x y 当x 4, y 12时, x y取得最小值16.
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题型三 【例3】
均值不等式的实际应用 (2010·镇江模拟)某单位用2160万元购得一块空
地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的 楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的
平均建筑费用为560+48x(单位:元).
(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式; (2)该楼房建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用 最少?最少值是多少? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费 购地总费用 ) 用= 建筑总面积
2
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1 1 2 当x 0时,由基本不等式, 得y x ≥2 x 2, x x 当且仅当x 1时, 等号成立. 1 1 当x 0时, y x ( x) . x ( x) 1 1 x 0, ( x) ≥2, 当且仅当 x , ( x) x 即x 1时, 等号成立. 1 y x ≤ 2. x 1 综上可知 : 函数y x 的值域为 , 2 2, . x
求函数的值域课件.ppt
1 2 7 t t 2 2 1 ( t 1) 2 3 2
解：设 t = 2
4 x 13
7
2
o
x
7 7 由图知：y [ , ) 故函数的值域为： 2 2
四、判别式法
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零).
1 , x 2 x x6
的值域
(2)求函数 y
[3,5] 的值域
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
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[自读教材· 填要点] 一、铁路，更多的铁路 1．地位
铁路是
交通运输 建设的重点，便于国计民生，成为国民经济
发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。 至胥各庄铁 开平
解：设 t =
1 x
y 1
1 x
则x=1－t2且 t≥0 y = 1 － t2 + t
1 2 5 ( t ) 2 4
o x
5 由图知： y 4
故函数的值域为 ( , 5 ]
4
1、求下列函数的值域：
（1）y = 1 －2x R 值域为 ________________ －1, 0, 1 } 值域为 { _________
（2）y = | x | －1 x∈{－2, －1, 0, 1, 2 }
（ 3） y =
2 x2
(－∞, 0 )∪(0, + ∞ ) 值域为 ________________________ [0, + ∞ ) 值域为 ____________
大虾数学暑假网络课程第七讲：求函数的值域的方法三
大虾数学暑假网络课程第七讲：求函数的值域的方法三
前面三讲，我们学习了基本初等函数、分段函数、复合函数等三种函数类型求值域，也涉及到一些简单的求值域的方法，如观察法、图象法、配方法、复合函数法。
随着学习的深入和经验积累，我们还会接触到不少求值域的方法，本讲大虾老师对常见的求函数值域方法做一个梳理。
五、判别式法
六、构造法
构造法求函数的值域就是将函数解析式看成某个几何量，通过分析这个几何量的变化情况得到其范围，从而求得函数的值域。
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1．若实数a，b满足1
a＋
2
b＝ab，则ab的最小值为()
A. 2 B．2 C．2 2 D．4 2．设a，b>0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．
3．若直线x
a＋
y
b＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于()
A．2 B．3 C．4 D．5
4．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(单位：元)．
5．若直线l ：x a ＋y b ＝1(a >0，
b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．
6．设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则
1c ＋1＋9a ＋9的最大值为________．
7．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，
n >0，则2m ＋1n 的最小值为( ) A.2 2 B ．4 C.52
D.92
8．已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2，0)的距离相等，则2x ＋4y 的最小值为________．。