高三概率频率分布直方图画法
高三二轮概率补充
1.（2010辽宁理）（18）（本小题满分12分）
为了比较注射A, B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。
（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；
（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
2.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短
期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。
（1）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；
（2）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.
表1
生产能力分组[)
100,110[)
110,120[)
120,130[)
130,140[)
140,150
人数 4 8 x 5 3
表2
生产能力分组[)
110,120[)
120,130[)
130,140[)
140,150人数 6 y 36 18
（1）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。
就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
（2）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
4.（2010安徽文）18、（本小题满分13分）
某市2010年4月1日—4月30日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）:
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,
77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45,
(Ⅰ) 完成频率分布表；
（Ⅱ）作出频率分布直方图；
（Ⅲ）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优：在51~100之间时，为良；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染。
请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.
【2012高考真题福建理16】（本小题满分13分）
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；(II)若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由.
2012年北京高考模拟系列试卷（一）数学试题（理）【新课标版】某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习
惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；
（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X，求X的分布列和期望EX。
(2007湖南文)（本小题满分12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：
，；
(1)在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图[1.341.38)
，中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？
(2)估计纤度落在[1.381.50)
，的中点值（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.301.34)
是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．
解（Ⅰ）
样本数据
（Ⅱ）纤度落在[)1.381.50，中的概率约为0.300.290.100.69++=，纤度小于1.40的概率约为1
0.040.250.300.442
++
⨯=． （Ⅲ）总体数据的期望约为
1.320.04 1.360.25 1.400.30 1.440.29 1.480.10 1.520.02 1.4088⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
【2012高考广东文17】（本小题满分13分）
某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].
（1）求图中a 的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.
【答案】
【解析】（1）依题意得，10(20.020.030.04)1a +++=，解得0.005a =。
分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90)
:x y 11: 21: 34: 4:5
（2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）。
（3）数学成绩在[50,60)的人数为：1000.055
⨯=，
数学成绩在[60,70)的人数为：
1 1000.420
2
⨯⨯=，
数学成绩在[70,80)的人数为：
4 1000.340
3
⨯⨯=，
数学成绩在[80,90)的人数为：
5 1000.225
4
⨯⨯=
所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100520402510
----=。
频率分布直方图与概率密度曲线
123456 第一枚骰子
③高度就是对应的频率值.
1.同时掷两枚骰子,共掷7200次,点数和的分布频数如下表所示, 计算各个结果的频率,作出频率分布条形图：
点数和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
频 数 203 407 591 805 994 1218 989 813 602 381 197
25.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39 据的频率分布表和频率分布
25.42 25.47 25.38 25.39
直方图.
①计算极差R:最大值25.56与最小值25.24的差为0.32;
②决定组距与组数:组距为0.03与组数为11;
③决定分点:起点为25.235,终点为25.565.
频率与组距的比值，其相应组距上的频率
等于该组距上的面积
离散型总体
每一个小矩
频率
形的面积恰
组距
好就是其对
应的频率，
这些小矩形
的面积和为
2.频率分布直方图
从规定尺寸为25.40 mm的一堆产品中任取 100件,测得它们的
实际尺寸如下:
25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37
如果把这堆产品中产品 尺寸的全体看作一个总体, 那么左边数据就是从总体 中抽取的一个容量为100的 样本．
2.2.1频率分布直方图
O
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
频率 组距
总体密度曲线
总体在区间 （a，b）内取 值的百分比.
O
a b 月均用水量/t
探究：在上述背景下，相应的频率分布折线 图越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这 条光滑曲线为总体密度曲线.那么图中阴影部 分的面积有何实际意义？
6、（2016•海口模拟）某中学举行了一次“环保知识竞赛”， 全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况， 从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100 分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部 污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决 下列问题： 组别 分组 频数 频率 频率分布表
0.15
0.22 0.25 0.15 0.05 0.04 0.02 1
0.44 0.5
0.3 0.1 0.08 0.04 2.00
第一步，画平面直角坐标系. 第二步，在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度. 第三步，以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分别画出 第 各组对应的小长方形. 五 频率 步: 组距 画 出 小长方形的面 小长方形的面 月均用水量最 频 积=? =? 积总和 多的在那个区 率 0.5 0.50 0.44 间? 分 0.40 布 0.3 0.3 直 0.30 方 0.16 0.20 0.1 图. 0.08 月均用水量 0.08 0.10 0.04 /t 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
A
）
A．19、13
B．13、19
C．20、18
D．18、20
3． （2016•漳平市校级模拟） 某市重点中学奥数培训班共 有 14 人， 分为两个小组， 在一次阶段考试中两个小组成 绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是 88， 乙组学生成绩的中位数是 89， 则 m+n 的值是 （
简要说明绘制频率分布直方图的步骤
简要说明绘制频率分布直方图的步骤
绘制频率分布直方图是统计学中比较重要的一种数据可视化分析方法，它可以帮助我们进行数据的分析和可视化。
绘制频率分布直方图的步骤是：
首先，收集相应的数据，这需要我们确定要分析的相应的变量，分类或者定量的变量，对定性变量可以从提供的各种状态的列表中进行选择，而对定量变量可以变分组，例如男性和女性，或者按照星级分类等。
其次，确定x轴和y轴，x轴表示变量的值，当变量是定量变量时，x轴为某类因数的值，如果是定性变量，则x轴为定性变量的状态值，而y轴表示实际的频率数据。
第三，当画图时，我们根据以上两个轴的数据以及频率数据，使用计算机绘制频率分布直方图，其中可以自由控制图表的形态，字体，颜色等特征，以更好地反映出数据的趋势及其重要性。
最后，绘制完成后，可以根据图表给出对数据的准确解读。
综上所述，绘制频率分布直方图是一个非常重要的统计学可视化分析方法，熟练掌握这个方法可以帮助我们更好地分析数据。
教你绘制频数分布图
教你绘制频数分布图频数分布直方图和频数分布折线统计图是描述数据的两种重要统计图，用这两种统计图把数据描述出来，就以直观地了解数据的分布情况及变化规律.下面谈谈这两种统计图的画法：一、频数分布直方图画频数分布直方图一般按下列步骤：1．计算极差（最大值与最小值的差）.2．决定组数.3．列出频数分布表.4．画出频数分布直方图.例小明调查了他们班54名学生的身高，结果(单位:cm)如下:141 154 149 154 162 165 168 150 155 163 144 168 150 156 155 168 155 160 145 163 145 155 152 160 148 145 169 152 160 163 158 157 159 169 168 155 158 152 157 150 157 159 157 162 145 172 150 158 144 155 160 161 159 163 请将数据适当分组,并绘制相应的频数分布直方图.分析：要绘制频数分布直方图，需要把数据适当分组，数出每一组的频数，得出频数分布表，在此基础上绘制频数分布直方图.解：通过观察得到上面数据的最大值是172cm,最小值是141cm,它们的差是(172-141)=31cm.将该组数据按身高的范围分为141≤x<145,145≤x<149, ≤分成7组.整理可得下列统计表:身高/cm 频数统计学生数（频数）141≤x<145 3145≤x<149 正 5149≤x<153 正8153≤x<157 正9157≤x<161 正正14161≤x<165 正7165≤x<169正 5169≤x<173 3用横轴表示身高,用纵轴表示频数,并在纵轴上等距离标出5,10,15,以各组学生人数为高画出与此组对应的长方形,得到频数分布直方图(如图1).图1二、频数折线图频数折线图画法如下：1.在频数分布直方图的基础上画频数折线图.（1）取频数分布直方图中每个长方形上边的中点；（2）在横轴上取两个频数为0的点，在直方图横轴的左边取点（139，0），在直方图横轴的右边取点（175，0）；（3）将这些点用线段依次连接起来就得到了频数折线图（如图2）.图22．根据已有的数据直接画频数折线图.（1）把数据分组，求出每个小组两端点的平均数，这些平均数称为组中值，如图141≤x<145这个小组的组中值为(141+145)÷2=143.（2）用横轴表示身高,用纵轴表示频数,以各小组的组中值为横坐标,各小组对应的频数为纵坐标描点,另取两个点(139,0)和(175,0).(3)依次连接这些点就得到了频数折线图(如图3).图3。
概率专题：频率分布直方图
例 8．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的 2000 名学生中随机抽取 50 名学生的
考试成绩，被测学生成绩全部介于 65 分到 145 分之间（满分 150 分）
，将统计结果按如下方式分成八组：
第一组[65，75）
，第二组[75，85），……第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方
区住户的满意度等级为不满意的概率大？若是要选择一个物业公司来管理老旧小区的物业，从满意度角
度考虑，应该选择哪一个物业公司？说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）作出如图所示的频率分布直方图，
B 区住户满意度评分的频率分布直方图如图所示
A 区住户满意度评分的平均值为 45×0.1+55×0.2+65×0.3+75×0.2+85×0.15+95×0.05＝67.5；
）内，
设中位数为 m，则 0.20+0.24+（m﹣70）×0.036＝0.5，
解得 m≈71.67，
所以中位数约为 71.67．
例 11．某高中数学建模兴趣小组的同学为了研究所在地区男高中生的身高与体重的关系，从若干个高中男
在[120，140）之间的学生人数为：100×（10×0.030+0.020）＝50 人，
1
又用分层抽样的方法在[120，140）之间的学生 50 人中抽取 5 人，即抽取比例为： ，
10
1
所以成绩在[120，130）之间的学生中抽取的人数应，30× 10 =3，即 b＝3，
故选：D．
例 2．从某企业生产的某种产品中随机抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数
频数分布直方图的画法举例
频数分布直方图的画法举例山东于秀坤频数分布直方图是描述数据的一种常用的方法.将收集到的数据转化为直方图需要以下几个步骤：1．计算最大值与最小值的差，找出数据的转化范围.2．决定组距与组数，找出分点.3．列频数分布表.4．画频数分布直方图.下面给出具体的例子，说说频数分布正方图的画法.例1 某班一次数学竞赛成绩(单位:分)如下:77, 74, 65,53,95,87,75,82,71,67,85,88,90,86,81,87,70,70, 89,69,61,94,79,81,76,67,80,63,84,91,53,69,81,61,69,91, 78,75,81,87(1)将数据适当分组,并绘制相应的频数分布直方图.(2)从统计图中你能得到什么信息?分析：制作频数分布直方图首先将数据进行分组,统计每个分数段的人数,列出统计表,再根据统计表绘制频数分布直方图.解：先将成绩按10分的距离分段,统计出每个分数段学生出现的频数,如下表:成绩x(分) 学生数(频数)50≤x<60 260≤x<70 正 970≤x<80 正正 1080≤x<90 正正 1490≤x<100 正 5根据上表绘制直方图,如图1.从图中可以清楚地看出80分到90分这个分数段的学生数最多,90分以上的同学较少,60分以下的学生最少.图1例2 小明家开了一个报亭，为了使每天进的某种报纸适量，小明对这种报纸40天的销售情况作了调查，这40天卖出这种报纸的份数如下：136，175，153，135，161，140，155，180，179，166，188，142，144，154，155，157，160，162，135，156，148，173，154，145，158，150，154，168，168，155，169，157，157，149，134，167，151，144，155，131将上面数据适当分组，作出适当的统计图，说明小明家每天进多少这种报纸比较合适？分析：根据数据特点：数据分布比较集中，要求分析这些数据的主要集中在哪一段，所以应作出频数分布直方图，因为数据的最大值是188，最小值为131，最大与最小的差为57，所以取组距为10，分六组比较合适.解：通过观察可知这组数据的最大值为188，最小数据为131，它们相差57，所以取组距为10，分六组.作频数分布表：份数（x）划记频数130≤x<140 正 5140≤x<150 正7150≤x<160 正正正15160≤x<170 正8170≤x<180 3180≤x<190 2画出直方图如图2所示.图2由图更能直观地观察到，每天进150～160份比较合适.例3 已知某班50名同学的身高（单位：cm）数据如下：158，162，169，165，151，160，161，158，172，149，168，158，165，166，158，163，159，168，170，168，155，162，171，153，159，163，165，162，164，156，170，166，159，164，171，168，168，164，166，168，160，154，154，157，155，164，163，156，159，164(1)根据上述的数据画频数分布直方图.(2)根据统计图描述该班数学身高情况.分析：根据画频数分布直方图的步骤，先计算最大和最小值的差，最大值为171，最小值为149，其差为172-149=23，取组距为4，分6组.数出每一组的频数，得到频数分布表，在此基础上画出频数分布直方图.解: (1)制作统计表:身高x(cm) 划记频数(学生人数)149≤x<153 2153≤x<157 正7157≤x<161 正正11161≤x<165 正正12165≤x<169 正正12169≤x<173 正 6画直方图如图3所示.图3(2)从统计图上可以看出身高在161cm～165cm和165cm～169cm间的人数较多.【总结】1.频数直方图的横轴是由数据组成,纵轴是由频数组成,每个小长方形的宽度一样,高表示相应各组数据的频数.2.长方形越高,频数越大,长方形等高,频数相同.3.所有频数的和等于数据的总个数.。
直方图(201909)
例题
抽查某地区55名12岁男生的身高（单位：cm）的测 量值如下：
128.1 144.4 150.3 146.2 140.6 126.0 125.6 127.7 154.4 142.7 141.2 142.7 137.6 136.9 132.3 131.8 147.7 138.4 136.6 136.2 141.6 141.1 133.1 142.8 136.8 133.1 144.5 142.4 140.8 127.7 150.7 160.3 138.8 154.3 147.9 141.3 143.8 138.1 139.7 142.9 144.7 148.5 138.3 135.3 134.5 140.6 138.4 137.3 149.5 142.5 139.3 156.1 152.2 129.8 133.2
总体分布的估计
直方图
复习
总体分布
总体取值的概率分布规律通常称为总体分布。 频率分布与总体分布的关系:
(1)通过样本的频数分布、频率分布可以估计 总体的概率分布.
抽样分布频率精确地反映了总体 取值的概率分布规律。
(2)研究总体概率分布往往可以研究其样本的 频数分布、频率分布.
试从以上数据中，对该地区12岁男生的身高情况进行大 致的推测。
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尚书令王俭造太庙二室及郊配辞 宣阳底定 事非一揆 思所以敬守成规 七年正月甲寅 有何不可 明堂夕牲之夜 升配庙廷 郊丁社甲 东莞太守臧灵智为交州刺史 方乎隆周之册 而不列于乐官也 在右执法西北一尺四寸 己亥 光临亿兆 为犯 沈攸之苞祸 文明焕 非怠非荒 则裁以庙略 然舞曲总名 起此矣 放斥昏凶 郊奉礼毕 斩草日建旒与不 五月己巳 黄门十人 明旦乃设祭 除广兴郡公沈昙亮等百二十二人 总鉴尽人灵
频率分布直方图课件
由于频率分布直方图是基于数据的近似离 散化，因此无法准确地反映数据的分布情 况，特别是对于具有复杂分布的数据。
无法表示数据间的相关性
无法进行参数估计和假设检验
频率分布直方图只能展示单个变量的分布 情况，无法表示两个或多个变量之间的相 关性。
频率分布直方图主要用于数据的描述性分 析，无法进行参数估计和假设检验等推断 性分析。
于反映数据的中心趋势。频率பைடு நூலகம்布直方图可以直观地展示数据在不同区
间的分布情况，从而更好地理解数据的分布特征。
03
众数
众数是数据中出现次数最多的数值。频率分布直方图可以清晰地展示众
数所在区间的数据分布情况，帮助我们更好地理解众数的含义和作用。
与箱线图、折线图等其他图形的比较
要点一
箱线图
要点二
折线图
箱线图是一种用于展示一组数据分散情况的统计图，它包 括数据的最大值、最小值、中位数和异常值等统计量。频 率分布直方图和箱线图各有优缺点，箱线图可以展示数据 的分散情况和异常值，但无法展示数据的具体分布情况； 频率分布直方图可以清晰地展示数据的分布情况，但无法 很好地展示数据的分散情况和异常值。
数据中心位置与离散程度判断
确定数据的中位数和众数
频率分布直方图可以显示数据的频数分布，从而确定数据的 中位数和众数，了解数据的中心位置。
评估数据的离散程度
通过观察频率分布直方图中数据的分散程度，可以评估数据 的离散程度，进一步了解数据的稳定性。
数据异常值检测
识别异常值
频率分布直方图可以显示数据的频数分布，通过观察直方图的形状和异常的数据点，可 以识别出异常值。
纵轴
表示频数或频率，即落在每个数 据范围内的数据点的个数。
2023年高考数学复习----《统计图表》规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学复习----《统计图表》规律方法与典型例题讲解【规律方法】1、制作频率分布直方图的步骤．第一步：求极差，决定组数和组距，组距=极差组数第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表；第四步：画频率分布直方图．2、解决频率分布直方图问题时要抓住3个要点．（1）直方图中各小矩形的面积之和为1；（2）直方图中纵轴表示频率组距，故每组样本的频率为组距⨯频率组距（3）直方图中每组样本的频数为频率⨯总体个数．3、用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法．（1）众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标；（2）中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；（3）平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和．【典型例题】例1．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1．（1）根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数（2）若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为X ，求X 的分布列与数学期望．【解析】（1）由直方图可知，数学成绩落在区间[70,110)内的频率为(0.0040.0120.0190.030)10+++⨯=0.65，所以数学成绩落在区间[110,140]内的频率为10.650.35−=，因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1，所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为40.35421⨯++0.2=， 数学成绩落在区间[70，100）的频率为(0.0040.0120.019)100.35++⨯=， 所以中位数落在区间[100,110)内，设中位数为x ，则(100)0.0300.50.35x −⨯=−，解得105x =， 所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为105．（2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为0.0310⨯+0.2+20.35421⨯++0.6=，由题意可知，3~(3,)5X B ，X 的所有可能取值为0,1,2,3，033338(0)C ()(1)55125P X ==⋅−=，12333(1)C (1)55P X ==⋅⋅−36125=， 22333(2)C ()(1)55P X ==⋅⋅−54125=，330333(3)C ()(1)55P X ==⋅−27125=，所以X 的分布列为：所以数学期望8365427()0123125125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯95=．例2．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）某校组织1000名学生进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．若图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在区间[)60,70内的人数为400．（1）求出直方图中a ，b ，c 的值；（2）估计中位数（精确到0．1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （3）若用频率估计概率，设从这1000人中抽取的6人，得分在区间[]90,100内的学生人数为X ，求X 的数学期望．【解析】（1）依题意可得：4001000100.04a =÷÷=，又a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+且(0.0050.005)101a b c ++++⨯=，解得：0.02,0.03c b == 所以0.04,0.03,0.02a b c ===．（2）因为(0.0050.04)100.450.5+⨯=<，设中位数为x ， 则[70,80)x ∈，所以()()0.0050.0410700.030.5x +⨯+−⨯=，解得：71.7x ≈，即中位数约为71.7，平均数为(550.005650.04750.03850.02950.005)1073⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=． （3）由题意可知：得分在区间[]90,100内概率为10.0051020⨯=， 根据条件可知：X 的所有可能值为0,1,2,3,4,5,6，且1(6,)20X ，所以1()60.320E X np ==⨯=．例3．（2022·全国·高三专题练习）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在[75,100)内，再以5为组距画分数的频率分布直方图（设“Y=频率组距”）时，发现Y 满足：7,15,15019,16,30011,16,1520n Y n k n n ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪⎪−⋅>⎪−⎩,55(1)n N n X n *∈≤<+． （1）试确定n 的所有取值，并求k ；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的同学无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[95,100)内的同学评为一等奖；分数在[90,95)内的同学评为二等奖，但通过附加赛有111的概率提升为一等奖；分数在[85,90)内的同学评为三等奖，但通过附加赛有17的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级基础上，最多升高一级）．已知学生A 和B 均参加了本次比赛，且学生A 在第一阶段获得二等奖．①求学生B 最终获奖等级不低于学生A 最终获奖等级的概率；②已知学生A 和B 都获奖，记A ，B 两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解析】（1）根据题意，X 在[75,100)内，按5为组距可分成5个小区间， 分别是[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100)，因为75100X ≤<，由55(1)n X n ≤<+，n N *∈，所以15,16,17,18,19n =．每个小区间的频率值分别是7,15,30195,1660115,17,18,19320n P Y n k n n ⎧=⎪⎪⎪===⎨⎪⎪−⋅=⎪−⎩由719111511306032k ⎛⎫++−++= ⎪⎝⎭，解得350k =． （2）①由于参赛学生很多，可以把频率视为概率．由（1）知，学生B 的分数属于区间[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100)的概率分别是：730，1960，1460，1160，260．我们用符号ijA （或ijB ）表示学生A （或B ）在第一轮获奖等级为i ，通过附加赛最终获奖等级为j ，其中(,1,2,3)j i i j ≤=记“学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级”为事件W ， 则()12122223222()P W P B B B A B A =+++()()()()()()12122223222P B P B P B P A P B P A =+++2111111010141105160601160111160711220=+⋅+⋅⋅+⋅⋅=．②学生A 最终获得一等奖的概率是111A P =，学生B 最终获得一等奖的概率是21112116060272711272796060B P =+⋅=+=，1180(0)1111999P ξ⎛⎫⎛⎫==−−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，111118(1)1111911999P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅−+−⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111(2)11999P ξ==⋅=．所以ξ的分布列为：801812001299999999E ξ=⋅+⋅+⋅=．。
第八章第一讲频率分布直方图
第一讲 频率分布直方图一：考纲解读、有的放矢统计部分要求不太高，主要是考抽样方法与频率分布直方图和茎叶图有关的问题，最多一个小题（选择或填空）属容易题，但应充分注意以统计为载体、问题实质涉及期望与方差计算的综合解答题.二:核心梳理、茅塞顿开3． 作频率分布直方图的方法为：（1）把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；（2）以此线段为底作矩形，它的高等于该组的组距频率，这样得出一系列的矩形；（3）每个矩形的面积恰好是该组上的频率.4． 频率折线图：如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起，就得到一条折线，称这条折线为本组数据的频率折线图.5． 作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出.三：例题诠释，举一反三知识点1：利用频率分布直方图分析总体分布例题1：（2011中山期末A ）2000辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，时速在[50,60)的汽车大约有 （ ） A ．30辆 B ．60辆 C ．300辆D ．600辆变式：(2009山东卷理B)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品 净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于 100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且 小于104克的产品的个数是 ( ). A.90 B.75 C. 60 D.45变式：（2011杭州质检B ）某初一年级有500名同学，将他们的身高（单位：cm ）数据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在[)120,130，[)130,140，[]140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在[)130,140内的学生中选取的人数为 ．知识点2：用样本分估计总体例题2（2010安徽卷B ）某市2010年4月1日—4月30日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）:61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91, 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45, (Ⅰ) 完成频率分布表；（Ⅱ）作出频率分布直方图；（Ⅲ）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优：在51~100之间时，为良；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染。