停留时间分布及反应器的流动模型

E( )d E(t)dt d dt E tEt t
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F(t)本身是一累积概率，而θ是t的确定函数
随机变量的确定性函数的概率与随机变量的概率相等
F Ft
停留时间分布密度函数积分
E（ )d F ( ) 0
t E（t)dt F(t) 0
停留时间分布函数求导数
E d 1
0
E t dt 1
4
5.1 停留时间分布
•形成停留时间分布可能的原因有：
Short circuiting
u
Dead
zone
沟
回
流
流
存在速度分布
存在死区和短路现象
存在沟流和回流
偏离理想流动模式，反应结果与理想反应器的计算值具有 较大的差异。
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5.1 停留时间分布
• 3.流动状况对反应的影响 • 釜式和管式反应器中流体的流动状况明显不同，通
如果假定红色粒子和主流体之间除了颜色的差别以外，其余 所有性质都完全相同，那么就可以认为这100个粒子的停留 时间分布就是主流体的停留时间分布。
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N N
t
停留时间为 t t t的物料量 0时瞬间进入反应器的物 料量
以时间t为横坐标，出口流中红色粒子数为纵坐标，将上表作图。
N 表示停留时间为t→t+△t的物料占总进料的分率。 N
QCA(t)dt，由E(t)的定义可知：
Qc(t)dt mE(t)dt
E(t) Qc(t) m
c(t)
c(t)dt
0
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注意：
1、物理量与浓度呈线性关系，可直接将物理
量代入求E(t).
Qc(t) c(t)
E(t)
m
c(t)dt
0
2、若测得的响应曲线托尾甚长，应尽量使输 入的示踪计量已知，避免积分
➢ 反应物料在反应器内停留时间越长，反应的进行得越完 全。对于间歇反应器，在任何时刻下反应器内所有物料在其 中的停留时间都是一样，不存在停留时间分布问题。 ➢对于流动系统，由于流体是连续的，而流体分子的运动又 是无序的，所有分子都遵循同一途径向前移动是不可能的， 完全是一个随机过程。但是并不排除流体粒子会存在大体相 等的情况，第4章对管式反应器所作的活塞流假定就是基于 这一情况。
CA0
cA
cA
cA0
t 0
t
t
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示踪剂的选择
选择示踪剂时，应该注意保证以下几点原则：
• 不与研究的流体发生化学反应； • 易溶于流体中； • 其浓度低时容易检测； • 其浓度与待检测的物理量成线性关系； • 对于多相系统，示踪剂不发生从一个相到另
一 个相的转移（即不挥发到另一相或不被另 一相吸等）。
2
本章要解决的问题： 1. 阐明流动系统的停留时间分布的定量描述及其实验测定 方法； 2. 建立非理想流动模型； 3. 在所建立模型的基础上，说明该类反应器的性能和设计 计算；
• 4. 介绍有关流动反应器内流体混合问题，阐明几个基本 概念。
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5.1 停留时间分布
停留时间：
流体从进入反应器系统到离开系统总共经历的时间， 即流体从系统的进口到出口所耗费的时间。
示踪剂脉冲注入 A
主流体 Q
CA(t)
δ(t)
系统 VR
示踪剂检测 CA(t)
Q
CA(t)
t=0
t
0
t
图4.1-2 脉冲法测定停留时间分布示意图
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设加入示踪剂A的量为m，在无限长的时间，加入的
示踪剂一定会完全离开系统。
即： m Qc(t)dt 0
出口物料中在系统内停留了t～t+dt 时间的示踪剂量为
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２）停留时间分布函数的无因次化
Ⅰ）平均停留时间 t
对于封闭系统中的流体，当流体密度维持不变时，其平均停
留时间等于
t Vr Q0
令：无因次时间: t
t
如果一个流体粒子的停留时间介于（t，t+dt）;则无因次停留 时间介于（θ， θ+dθ）内。因为所指是同一事件，所以t和 θ介于这一区间的概率相等。
停留时间分布函数
定义：在稳定连续流动系统中，同时进入反应器的N个 流体粒子中，其停留时间小于t的那部分粒子占总粒子数N
的分率，记作： F (t) t dN
0N
F (t) t E（t)dt ——停留时间分布函数。 0
F (t) 具有如下特性：
F 1 Ft 0 t 0
总之，F(t)永远为正值
过前面对釜式和管式反应器的学习，可以发现： • 对于单一反应，反应器出口的转化率与器内的流动
状况有关； • 对于复合反应，反应器出口目的产物的分布与流动
状况有关。
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全混流反应器：机械混合最大 逆向混合最大
平推流反应器：机械混合为零 逆向混合为零
间歇反应器：机械混全最大 逆向混合为零
返混程度无穷大 返混程度等于零 返混程度等于零
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示踪剂改用红色流体，连续检测,得到一条连续的停留时间分布曲线。
在稳定连续流动系统中，同时进入反应器的N个流体粒子 中，其停留时间为t～t+dt的那部分粒子占总粒子数N的分 率记作：
E t
E t dt
t t dt
t
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停留时间分布密度函数
E(t)dt 定义为在t=0时刻进入反应器的流体微元，在t至 (t+dt)时间段内离开反应器的概率（分率），即
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E(t)与F(t)的关系
t
F (t) 0 E(t)dt
E(t)
或 E(t) dF(t) dt
1
F() 1
E (t1 ) F (t1)
F(t)
t dF(t) E(t) dt
t1
t
t1
t
若E(t)线已知，将其积分得到相应的F(t)值；当F(t)曲线已知，
在线上的一点作切线，该直线的斜率等于相应的E(t)值
E(t) 被称为停留时间分布密度函数。
此定义函数具有归一化的性质：
E(t)dt 1
0
因为当时间无限长时，t = 0时刻加入的流体质点都会流出反应器，即
0 ndt N
和
0 E(t)dt 0 ndt N 1
停留时间分布密度具有如下的特性：
E t 0 t<0 E t 0 t 0
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在所围的面积的重心在t坐标上的投影
在数学上称t为Et 曲线对于坐标原点的一次矩，又称 Et
的数学期望。
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② 方差：
2 t
(t t )2 E(t)dt
0
E(t)dt
(t t )2 E(t)dt
0
t2E(t)dt t 2
0
0
方差是停留时间分布离散程度的量度 方差越小，越接近平推流 对平推流，各物料质点的停留时间相等，故 方差为零。
应器中的物料质点而言的。 寿命
反应物料质点从进入反应器到离开反应器的时间；是对已经离开反 应器的物料质点而言的。
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相互联系： 寿命指反应器出口流出流体的年龄 实际测得的一般是寿命分布，应用价值大。停 留时间分布一般指的是寿命分布。
返混： 又称逆向返混，不同年龄的质点之间的混合。
———是时间概念上的混合
若X是连续型随机变量，且其密度函数为f(x). 则
D( X )
[x
E(X
)]2
f
( x)dx
E(X)数学期望
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5.3 停留时间分布函数的统计特征值
① 数学期望（平均停留时间）：
t
tE(t)dt
0
E(t)dt
tE(t)dt
0
0
平均停留时间 t 应是 Et 曲线的分布中心，即 Et 法
阶跃法（升阶法）
示踪剂 瞬间加入，较困难 将原有流股换成流
注入方
量与其相同的示踪
法
剂流股，易于实现
可直接测得
E(t)
E(t)
c(t)
E（t) dF (t) dC(t) dt C0dt
0 c(t)dt
F(t)
t
t
F (t) E(t)dt 0
C(t)dt
0
C(t)dt
0
可直接测得
F (t) CA (t) CA0
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32
5.3 停留时间分布函数的统计特征值
采用两个统计特征值： A、数学期望。代表均值（统计量的平均值），这里是：
平均停留时间。 B、方差。代表统计量的分散程度，这里是停留时间对
均值的偏离程度。 ① 数学期望（平均停留时间）：
设连续型随机变量X的概率密度为f(x),如果积分
反应器内的返混程度不同—停留时间不同—浓度分布 不同—反应速率不同—反应结果不同—生产能力不同
非理想流动反应器：介于两种理想情况之间,停留时间是 随机变量，因此停留时间分布是一种概率分布。
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几个概念：
停留时间： 流体从进入反应器系统到离开系统总共经历的时间，即流体从系
统的进口到出口所耗费的时间。
年龄 反应物料质点从进入反应器算起已经停留的时间；是对仍留在反
试求t=35s时的停留时间分布密度和停留时间分布函数。 解流：量，以气E体(t) 的 Q摩cm(t尔) 式流即量可不求变E，(t)出。口题流给量的仍流为量0Q.8为4k进mo口l/的s。空气
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F
35
35
0
E
t
dt
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2.阶跃示踪法
阶跃法是在某一瞬间t=0，将系统中作定常 流动的流体切换成流量相同的含有示踪剂的流 体，并在切换成第二流体的同时,在系统出口处 检测流出物料中示踪剂浓度变化。或者相反。
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例5-1 流化床催化裂化装置中的再生器，其作用系用空气燃 烧硅铝催化剂上的积炭使之再生。进入再生器的空气流量为 0.84kmol/s。现用氦气作示踪剂，采用脉冲法测定气体在再生 器中的停留时间分布，氦的注入量为8.8410-3kmol 。测得再生 器出口气体中氦的浓度c（用氦与其他气体的摩尔比表示）和 时间的关系如下：