第3讲(1)整式A (1)
整式的概念(A级)讲义1
m2 n , x 2 y 2 ，都只含有数字与字母（或它们的正整数指数幂）的积，这样的代数工叫做单 5
项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项.多项式中次数 最高的项的次数，就是这个多项式的次数. 单项式和多项式统称整式.
考点 2 代数式的值 例 2 下列各式：2、 a 、 x 1 、 3 、9>2、
1 x y 、 s ab .其中，代数式的个数是 2 x y
1
.
例 3 已知当 x=2 时，代数式 x mx 7 的值等于 5，求当 x=1 时这个代数式的值. 解：
2
[补例练习] 2、如果 x 4 y (2x 4)2 0 时，求代数式
. .
⑶把多项式 xy 2 x4 3x2 y 5 y3 2 按 x 的降幂排列为
三、巩固练习 整式的概念（课外练）
一、填空题 1.用代数式表示 a 的倒数与 b 的倒数的平方和 . ，多项式
2 2 ab 1 2 m 4 x xy y , xy , mn , (a b) , 2.在 中，单项式是 c 2 n 7
1 2 x y 的值. 4
3、若 ( 2 x)3 a0 a1x a2 x2 a3 x3 ，则 (a0 a2 )2 (a1 a3 )2 的值为 考点 3 整式的概念 例 3 ⑴单项式
.
2ab 2 的系数是 3
，次数是
.
⑵如果 2 x3 y 2n1 是六次单项式，则 n ＝
是
2 3 2
. 3.把多项式 5a b 4a 3ab 按字母 b 的升幂排列 4.代数式 . . .
第3讲 代数式与整式(含因式分解)复习课件
B.x（x＋4）（x－4）
C.x（x＋2）（x－2）
D.x（x2－4）
11.[2023省卷11题]因式分解：ax2－2ax＋a＝ a（x－1）2 .
12.[2023兰州13题]因式分解：x2－25y2＝ （x＋5y）（x－5y）
13.[2021省卷11题]分解因式：4m－2m2＝ 2m（2－m） .
A.－2
B.－1
C.2
D.3
答题模板
示范题：计算：（a－3b）（a＋3b）＋（a－3b）2.
第一步：展开完全平方式与平方差公式
解：原式＝_____________________________
a2－（3b）2＋（a2－6ab＋9b2
）
第二步：乘方计算与去括号
＝_______________________
1
例：若x＝ 2 ，则代数
5
式－x2－1＝－ 4
例：若6y2－3y＋5＝14
，则代数式2y2－y＋1
＝4
考点 2
整式的相关概念
由数与字母的① 乘积 组成的代数式叫做单项式（单独的一个数
单 概念
或一个字母也是单项式）
项
系数 单项式中的② 数字 因数
式
次数 单项式中所有字母的指数的③_____
和
概念 几个单项式的④ 和 叫做多项式
第3讲
代数式与整式
（含因式分解）
考点 1
概念
代数式
用基本运算符号连接数和字母组成的式子叫做代数式，单独的一个数
或字母也是代数式.
直接
代数
式求
值
代入法
把已知字母的值直接代入
利用提公因式法、平方差公式、完全
第3讲 整 式
答案：D
1 10．若 x＝1，y＝ ，则 x2＋4xy＋4y2 的值是( 2 A．2 B．4 3 1 C. D. 2 2
2 2 2
)
1 【解析】x ＋4xy＋4y ＝(x＋2y) ，当 x＝1，y＝ 时，原 2 12 式＝(1＋2× ) ＝(1＋1)2＝22＝4. 2
答案：B
11．(2012· 苏州)若3×9m×27m＝321，则m的值是(
【解答】(1)D
(2)A (3)B (4)C
例 3(2012· 山西)先化简，再求值． (2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中 x＝－ 3.
【点拨】本题考查利用平方差公式和完全平方公式进行 整式的化简求值．
【解答】原式＝4x2－9－4x2＋4x＋x2－4x＋4＝x2－5. 当 x＝－ 3时，原式＝(－ 3)2－5＝3－5＝－2.
A．3 B．4 C．5 D．6
)
【解析】3×9m×27m＝3×32m×33m＝35m＋1＝321，得m ＝4. 答案：B
12．(2012· 南通)已知x2 ＋16x＋k是完全平方式，则常 数k等于( ) A．64 B．48 C．32 D．16
【解析】∵16x＝2×x×8，∴这两个数是x、8，
∴k＝82＝64. 答案：A
3．因式分解的一般步骤 (1)一提： 如果多项式的各项有公因式， 那么先提公因式； (2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式 法来分解； (3)三查： 因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能 再分解为止．
例 1(1)(2012· 广州)下面的计算正确的是( ) A．6a－5a＝1 B．a＋2a2＝3a3 C．－(a－b)＝－a＋b D．2(a＋b)＝2a＋b (2)(2012· 吉林)下列计算正确的是( ) A．3a－a＝2 B．a2＋2a2＝3a2 C．a2·3＝a6 D．(a＋b)2＝a2＋b2 a (3)(2012· 杭州)下列计算正确的是( ) A．(－p2q)3＝－p5q3 B．(12a2b3c)÷ (6ab2)＝2ab C．3m2÷ (3m－1)＝m－3m2 D．(x2－4x)x－1＝x－4 (4)(2012· 南京)计算(a2)3÷ 2)2 的结果是( (a ) A．a B．a2 C．a3 D．a4
中考数学复习讲义课件 中考考点解读 第一单元 数与式 第3讲 代数式与整式(含因式分解)
的次数是()
A．25
B．33
真题自测明确考向
体验达州中考真 题
命题点1列代数式及求值(10年6考，其中2014年2考)
1．(2020·达州)如图，正方体的每条棱上放置相同
数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数
式表示正A方体上小球总数，则表达错误的是()
A．12(m－1)
B．4m＋8(m
－2)
C．12(m－2)＋8
D．12m－16
(ab)n＝______(n是整数)
b＋c b－c
同底数幂相 am·an＝a_m_＋__n__(m，n都
乘
am是－整n数)
同底数幂相 am÷an＝a_m_n____(m，n都
除
是a整nb数n )
(am)n＝______(m，n都
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝_________
完单全项平式方把公系式数：、(a同±底b)2数＝幂__分__别__相__乘__，__对_于只在一 乘 个单项式里含有的字母，则连同它的指数
2
5．(2016·达州)如图，将一张等边三角形纸片沿中
位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，
将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角
形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将
其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，
共得到10个小三B角形，称为第三次操作；….根据
以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作
乘法 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝_________
先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所
得的单商项相加．如(am＋bm)÷m＝_______.
式 把系数与同底数幂分别相除作为商的
初中培优竞赛含详细解析 第3讲 整 式
初中数学竞赛专题3——整式（1）1.（4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、绝对值、选择题）【标准答案】1#0#1#4#B已知a，b，c都是整数，m=|a+b|+|b−c|+|a−c|，那么（）A. m一定是奇数 B. m一定是偶数C. 仅当a，b，c同奇或同偶时，m是偶数D. m的奇偶性不能确定【分析】|a|与a的奇偶性相同，所以m与(a+b)+(b−c)+(a−c)=2(a+b−c)同为偶数.【答案】B【技巧】把握奇偶性与绝对值的关系，从本质入手进行判断. 本题也可以按各数的奇偶性来分类讨论最后整合.【易错点】分类讨论时容易遗漏可能出现的情况而导致出错.2. （1、2）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、选择题）【标准答案】2#0#1#4#C若x3+x2+x+1=0，则 x−27+x−26+⋯+x−1+1+x+⋯+x26+x27的值是（）A. 1 B. 0 C. -1 D. 2【分析】由x3+x2+x+1=0得x2+1x+1=0，由于x2+1>0，故x=−1，所以x−27+x−26+⋯+x−1+1+x+⋯+x26+x27=−1 .【答案】C【技巧】根据题目所给等式求出x的值，再代值计算.【易错点】将x=-1代入时，一定注意-1的奇数次方和偶数次方的个数，否则易错.3. (3、4)（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、选择题）【标准答案】3#0#1#4#D已知m2=n+2,n2=m+2，m≠n，则m3−2mn+n3的值为（）A. 1B. 0C. -1D. -2【分析】两式相减得m2−n2=n−m=m+n m−n，因为m≠n，所以m+n=−1.m3−2mn+n3=n+2m−2mn+m+2n=2m+n=−2.【答案】D【技巧】利用条件等式进行降次处理，逐步求值.4. （1、2）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）【标准答案】4#0#4#1998设m2+m−1=0，则m3+2m2+1997=_______.【分析】因为m2+m−1=0，所以m2+m=1 .则m3+2m2+1997=m m2+m+m+1997=m1+m+1997=m2+m+1997=1998.【答案】1998【技巧】运用整体代换进行降次求值.5. (3、4)（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）【标准答案】5#0#4#5当m=2n 时，多项式am3+bm+1的值是0，则多项式4an3+bn+512= _________.【分析】依题意得 a(2n)3+b2n+1=8an3+2bn+1=0 ，故4an3+bn=−12. 则4an3+bn+512=−12+512=5 .【答案】5【技巧】整体代换求解是整式求值常用的技巧和方法.6. (3、4)（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）【标准答案】6#0#4#26#-28已知m，n互为相反数，a，b互为负倒数，x的绝对值等于3，则x3−(1+m+n+ab)x2+(m+ n)x2004+(ab)2005= ________.【分析】由条件可得m+n=0, ab=-1 , x=±3 , 代入就可以求解.【详解】由题意知m+n=0, ab=-1 , x=±3 ,∴ x3−1+m+n+ab x2+m+n x2004+ab2005= x3−1 = 26或-28 .【技巧】根据相反数、倒数、绝对值等相关知识列式代值计算.7.(3、4) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、高次方程、解答题）【标准答案】7#0#0已知a2+4a+1=0，且a4−ma2+I2a3+ma2+2a= 3，求m的值.【分析】因为a2+4a+1=0 ,所以a4+1=(a2+1)2−2a2=14a2. 代入求解. 【详解】由a2+4a+1=0得a2+1=−4a ,则a4+1=(a2+1)2−2a2=14a2.由a4−m22+12a3+mx2+2a= 3得(14−m)a2=3[2a(a2+1)+ma2]，即14−m=3m−8，m=192⋅【技巧】在于将题目中的条件进行灵活变形，然后代入求解.【易错点】代数式变形时不要出错.8. (3、4) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、方程、解答题）【标准答案】8#0#0已知m，n为自然数，且满足12+92+92+22+m2=n2，求m, n的值.【分析】依题意得(n+m)(n−m)=167=1×167，而m，n为自然数，故n+m=167, n−m=1，最后求解.【详解】(n+m)(n−m)=167=1×167，而m，n为自然数，故n+m=167,n−m=1，解得：m=83, n=84. 答：m、n的值分别为83、84.【技巧】利用平方差公式展开，很方便解决.【易错点】将167拆分的时候容易出错.9. (3、4) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、方程、解答题）【标准答案】9#0#0已知a=19992−199919982+1998,b=20002−200019992+1999,c=20012−200120002+2000，求(a-b-c) - (a+b-c)-（-a-b+c）的值.【分析】因为a=19992−19991998+1998.=19991999−119981998+1=1，同理可求b=1，c=1，代入求解.【详解】因为a=19992−19991998+1998.=19991999−119981998+1=1，同理可求b=1，c=1，所以a−b−c−a+b−c—a−b+c=1−1−1−1+1−1—1−1+1=−1−1+1=−1【技巧】将a、b、c进行化简，然后代入求解. 【易错点】化简、代入求值时，都要谨防出错.。
第三讲 整式
第三讲整式【基础知识回顾】一、整式的有关概念：：由数与字母的积组成的代数式1、整式：多项式：。
单项式中的叫做单项式的系数，所有字母的叫做单项式的次数。
组成多项式的每一个单项式叫做多项式的，多项式的每一项都要带着前面的符号。
2、同类项：①定义：所含相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。
②合并同类项法则：把同类项的相加，所得的和作为合并后的，不变。
【名师提醒：1、单独的一个数字或字母都是式。
2、判断同类项要抓住两个相同：一是相同，二是相同，与系数的大小和字母的顺序无关。
】二、整式的运算：1、整式的加减：①去括号法则：a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a- .②添括号法则：a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( )③整式加减的步骤是先，再。
【名师提醒：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要。
】2、整式的乘法：①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式。
②单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积，即m(a+b+c)= 。
③多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积，即（m+n）(a+b)= 。
④乘法公式：Ⅰ、平方差公式：（a＋b）（a—b）＝，Ⅱ、完全平方公式：（a±b）2 = 。
【名师提醒：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要。
2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。
】3、整式的除法：①单项式除以单项式，把、分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项这个单项式，再把所得的商。
即（am+bm）÷m= 。
整式ppt课件
将方程中未知数的同类项合并，常数项合并，使方程简化，然后求解未知数。
二元一次整式方程求解方法
代入法
将一个未知数用另一个未知数表示，代入原方程 中求解。
消元法
通过两个方程的相加或相减，消去其中一个未知 数，得到一个一元一次方程，然后求解。
矩阵法
将二元一次方程组写成矩阵形式，通过矩阵运算 求解未知数。
整式ppt课件Leabharlann 目录CONTENTS
• 整式基本概念 • 整式运算规则 • 整式化简技巧 • 整式方程求解方法 • 整式在数学中的应用 • 整式计算注意事项及易错点分析
01
整式基本概念
定义与性质
定义
整式是由常数、变量和代数运算 符号（加、减、乘、除、乘方） 组成的代数式，其中变量的指数 均为非负整数。
计算顺序与符号问题
遵循先乘除后加减的原则
在计算整式时，首先要遵循先乘除后加减的原则，确保计算顺序 正确。
注意括号的使用
括号可以改变运算顺序，因此在计算整式时要注意括号的使用，确 保计算过程准确无误。
注意符号问题
整式中涉及正负数运算时，要特别注意符号问题，避免出现符号错 误导致计算结果错误。
合并同类项时易错点分析
7x^2 - x + 3。
提取公因式法
定义
从整式中提取出公共因子，从而将整式分解为几个因式的乘积， 达到简化的目的。
方法
观察整式中的各项，找出它们的最大公因式，并将其提取出来。
示例
对于整式 2x^3 - 6x^2 + 4x，可以提取公因式 2x，得到 2x(x^2 - 3x + 2)。
公式化简法
性质
整式具有加法、减法、乘法等运 算性质，满足交换律、结合律和 分配律等基本数学定律。
整式的概念+课件
$(a^m)^{-n} = frac{1}{(a^m)^n} = frac{1}{a^{mn}}$，幂的减法可转化为乘法 运算的倒数。^{mn}$，幂的乘法满足幂 的加法法则。
$frac{(a^m)^n}{(a^p)^n} = a^{mn pn}$，幂的除法可转化为乘法和减法运算 。
总结词
多项式是由有限个单项式通过加法运算组成的代数式。
详细描述
多项式是数学中基本的代数概念之一，它由有限个单项式通过加法运算组合而成。每个单项式由系数 、变量和幂次组成，表示为$ax^n$的形式，其中$a$是系数，$x$是变量，$n$是幂次。
多项式与整式的联系
总结词
多项式一定是整式，但并非所有整式都 是多项式。
整式的简化
整式的简化
通过合并同类项、提取公 因式等方法，将整式化简 为最简形式。
方法
合并同类项、提取公因式 、利用公式化简等。
例子
$3x - 2x = x$，$a^{2} a^{2} = 0$，$(x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$。
04
整式与多项式的关系
多项式的定义
整式的表示方法
总结词
整式通常用加号（+）连接各个代数项，表示代数式的和。
详细描述
整式通常用加号（+）连接各个代数项，表示代数式的和。 每个代数项可以是一个常数、一个变量或一个变量的幂。例 如，$2x + 3$是一个整式，其中$2x$和$3$是代数项，加号 （+）表示它们的和。
整式的分类
总结词
整式可以分为单项式和多项式两类，其中单项式是由一个代数项组成的整式，多 项式是由多个代数项组成的整式。
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考点梳理
单项式 单项式的系数次数 整式 一.有理式 多项式 多项式的项数次数 分式
去括号 括号前是“—”号要注意“变
号”。 同类项：（1）字母相同 合并同类项 （2）相同字母的指数相同。
二.整式的加减
三.整式的乘除： 1.乘方及其性质 2.幂的运算性质 (1)am·an=am+n(a≠0，m、n为有理数) (2)am÷an=am-n(a≠0，m、n为有理数)
6.（2012•广东）先化简，再求值： （x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣2），其中x各式符合代数式书写规范的是（ A ） 1 2 A、 ba B、a×3 C、3x-1个 x D、 n 2 1 y 9、下列各式：-x+1，π+3，9＞2， x y ，s= 12ab， 其中代数式的个数是（ C ）A、5 B、4 C、3 D、2 10、代数式2（a-3）2的意义是（ A ） A、a与3的差的平方的2倍 B、2乘以a减去3的平方 C、a与3的平方差的2倍 D、a减去3的平方的2倍 11、下列说法正确的是（ B ） A、-a是负数 1 B、|a|一定是非负数 a a 1 C、不论a为什么数， a D、7 一定是分数 12.“x与3的差的2倍”用代数式表示为（B ） A、2x-3 B、2（x-3） C、3（x-2） D、3x-2 13. 任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出 C ） 的结果（ A.m B.m2 C.m+1 D.m-1
（3）积的乘方：(ab)m=ambm （4）幂的乘方：(am)n=amn 3.单项式乘以多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc 4.多项式除以单项式： (am+bm+cm)÷m=am÷m+bm÷m+cm÷m
5.常用公式： (1)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (2)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 (3)完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 (4)(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
三、学生自学（4分钟）
四、自学检测1（ 8分钟）
3 5
3
2.(2012江西）下列运算正确的是( D ) ． 6 3 3 3 3 6 a a a A. a a 2a B. 6 2 3 3 3 3 C. a a 2a D. (2a ) = 8a y x 3.（2012山东东营）若 3 4, 9 7 ，则 ） 3 x 2 y 的值为（ A
2
了解公式的几何背景，并能进行简单的计算。 3、能正确书写代数式，并会代数式的化简、 求值。
二、学习指导1：（1分钟）
1. 阅读整理P9的《知识梳理》的一二三点，理解 并掌握： （1）整式的相关概念（单项式、多项式、整式） （2）整式的加减（合并同类项、去括号法则） （3）整式的乘除（幂的运算性质） （4）乘法公式（完全平方公式、平方差公式）
2015中考数学第一轮复习
第一章
数与式
一、复习目标：（1分钟）
1、了解整式的概念，会进行简单的整式加 减运算，会进行简单的整式乘法运算（其中 的多项式相乘仅指一次式相乘） 2、会推导乘法公式：
(a b)(a b) a b ; (a b) a 2ab b
2 2 2 2
、
(1)(a 2b)(a 2b) ab (ab),其中a 2, b 1.
3
原式=a2-5b2， 原式=x2-7， -3
-3
(2) x（x+1）2-x(x2+x)-x-7，其中X2-4=0
点拨：（4分钟）
1.判断一个式子是否是代数式，主要看它是否含有等号或不等号。 2.代数式的书写要五注意： ①乘号省略；（如6×x×y=6xy） ②数字写在字母前；如：3a，4ab，-5xy等 ③字母前、根号前是带分数要化为假分数；如 3 2 11 2 2 a应写为 a 1.5 2 , 1 1 2 应写成 2 3 2 2 a ④除式要写为分数形式。如：a÷b应写为 b ⑤括号（2x+3y）米 3. 求代数式的值的步骤：代数、计算（一般要把代 数式先化简）（“整体思想”）
学习指导2：（1分钟）
思考： • （1）什么是代数式？ • （2）代数式的书写要注意什么问题？ • （3）求代数式的值的步骤有哪些？
学生自学（2分钟）
自学检测2：（6分钟）
1.下列表达式：2a、x+y、7、x2、x2=3、5＞3，其中 是代数式的有 2a、x+y、7、x .2 2.设苹果每斤x元,香蕉每斤y元,则买5斤香蕉3斤苹果 (3x+5y) 元. 共需________ 3.化简计算:
六、当堂训练：（ 15分钟）
1.（2012四川）下列运算正确的是（ A ） • A.3 8 2 B. 9 3 C. (ab) 2 ab2 D. (a 2 ) 3 a 6
2．下列运算正确的是( D )
A．－2(a－b)＝－2a－b B．－2(a－b)＝－2a＋b C．－2(a－b)＝－2a－2b D．－2(a－b)＝－2a＋2b
B
7.（2012贵州遵义）如图，从边长为（a+1）cm的正方 形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1）， 剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则 该矩形的面积是（ ） C
A．2cm2 B．2acm2 C．4acm2 D.（a2﹣1）cm2
五、点拨：（ 5分钟）
知识框架
4a－b 2
1 3 a＋b 4.如果单项式－3x y 与- x y 的差也是单项 3 式，那么这两个单项式的积是( A ) 8 3 2 6 4 3 2 A．x y B．－x y C．－ x y D．－x6y4 3
5.（2012黔东）二次三项式 x 2 ±6 . 式，则k的值是 6.
kx 9 是一个完全平方
1 2 010 3.计算(－3) · ( ) 等于( D ) 3 1 1 A．－3 B. C．3 D．－ 3 3 4.现规定一种运算：x*y＝xy＋x－y，其中 x、y 为实数，则 x*y＋(y－x)*y 等于( B ) 2 2 2 2 A．x －y B．y －y C．y D．y －x
2 009
5．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根 据 两 个 图 形 的 面 积 关 系 得 到 的 数 学 公 式 是 2-b2 (a+b)(a-b)=a． ______________