高中数学 2.3.3-2.3.4 平面向量的坐标运算以及共线的坐标表示课件 新人教A版必修4
练习2.已知平行四边形ABCD的顶点A(-1，-2)、 B(3，-1)、C(5，6)，求顶点D的坐标．
顶点D的坐标为（1，5）． 练习3. x为何值时，a=(2，3)与b=(x，-6)共线？ 解：由向量a，b共线得 (2，3) =λ(x，-6)， 所以 解得 2= 3 x -6 x=-4．
已知a=(3，1)，b=(2，2)，c=(-1，5)，p=(2，3)， 试问是否存在实数x、y、z满足下列两式： （1）p=xa+yb+zc； （2）x+y+z=1． 如果存在，求出x、y、z的值；如果不存在，说明 理由．
第二章 平面向量
第三节 平面向量的基本定理及坐标表示
第三课时 平面向量的坐标运算 以及共线的性质
1．以原点O为起点作OA=a，点A的位置由谁确定? y 由a 唯一确定 a A(x, y) 2．点A的坐标与向量a 的坐标有 a 什么关系？ j 两者相同 O i
一 一 对 应 坐标（x ，y） 向量a
例5 已知A(-1，-1)、 B(1，3)、C(2，5)，试判 断A、 B、C三点之间的位置关系． 解：在平面直角坐标系中作出A、 B、C三点（如 下图），观察图形，猜想A、 B、C三点共线．
y
∵ C B
AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，
AC=(2-(-1)，5-(-1))=(3，6)， 又
如何用坐标表示两个共线向量？
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0．则由a=λb， 有 (x1，y1)=λ(x2，y2) 即 消去λ后得： x1=λx2， y1=λy2． x1y2-x2y1=0．
这就是说，当且仅当 x1y2-x2y1=0 时，向量a、b（b≠0）共线．
例4 已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y. 解：∵ ∴ ∴ a∥b ， 4y-2×6=0. y=3.
∴
2×6-3×4=0.
AB∥AC，
∵ 直线AB、直线AC有公共点A，AFra bibliotekO 1 x
∴ A、 B、C三点共线．
例6 设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标 分别是(x1，y1)、(x2，y2)． （1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
y P2
P
P1
解：如图，由向量的线性运 算可知 1 OP= (OP1+OP2)=( x1+x2 ，y1+y2 ) 2 2 2
解：由p=xa+yb+zc，得 (2，3)=x(3，1)+y(2，2)+z(-1，5)=(3x+2y-z，x+2y+5z)． 则 3x+2y-z=2 消z得 4x+3y=3 x+2y+5z=3 4x+3y=2 x+y+z=1 方程组显然无解，所以不存在这样的实数x、y、z．
B(x2，y2) O x =(x2，y2)-(x1- y1) =(x2-x1，y2 -y1)
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终 点的坐标减去始点的坐标．
例2 已知a=(2，1)，b=(-3，4) ，求a+b，a-b， 3a+4b的坐标.
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）．
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相 应坐标的和（差）．
λa =λ（x1i+y1j） =λx1i+λy1j 即 λa=（λx1，λy1）．
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向 量的相应坐标．
例1 如图，已知A（x1，y1），B（x2，y2），求 AB的坐标． y A(x1，y1) 解： AB=OB-OA
x
3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？
a=b x1=x2且y1=y2
已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你 能得出a +b， a -b，λa的坐标吗？ 解： a + b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j ） =（x1+x2）i+（y1+y2）j 即 同理可得 a + b =（x1+x2，y1+y2） a - b =（x1-x2，y1-y2）
如图，当P1P=λPP2时，点P的坐 标是什么？
y P P2
点P的坐标是： y1+λy2 x1+λx2 ( ， )． 1+λ 1+λ
P1 O
x
练习1.已知向量a、b的坐标，求a+b，a-b的坐标： （1）a=（-2，4），b=（5，2）； a+b=（3，6） a-b=（-7，2） （2）a=（4，3），b=（-3，8）； a+b=（1，11） a-b=（7，-5） （3）a=（2，3），b=（-2，-3）； a+b=（0，0） a-b=（4，6） （4）a=（3，0），b=（0，4）. a+b=（3，4） a-b=（3，-4）
O
x
x1+x2 y1+y2 ， )． 所以，点P的坐标是( 2 2
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P 的坐标．
如图，当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两 1 种情况，即P1P= 2 PP2或P1P=2PP2 ．
y P2 y P P1 O x O x P2
P
P1
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P 的坐标． 如果P1P= 1 PP2 (如图)，那么 2 1 OP=OP1+P1P=OP1+ 3 P1P2 y 1 P2 2 1 =OP1+ 3 (OP2-OP1)= 3 OP1+ 3 OP2 2x1+x2 2y1+y2 P =( ， )． P1 3 3 2x1+x2 2y1+y2 x O ， )． 即点P的坐标是 ( 3 3 x +2x2 y1+2y2 同理，如果P1P=2PP2，那么点P的坐标是( 1 ， )． 3 3
解法2：如图，由向量加法的平行四边形法则可知 BD=BA+AD=BA+BC =(-2-(-1)，1-3)+(3-(-1)，4-3)
y
=(3，-1)，
C
B D
A O
而
1 1
x
OD=OB+BD =(-1，3)+(3，-1) =(2，2)．
∴顶点D的坐标为（2，2）．
向量a与非零向量b平行(共线)的充要条件是有且 只有一个实数λ，使得 a=λb．
例3 如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点A、 B、C的坐标分别是(-2，1)、(-1，3) 、(3，4)，试求顶 点D的坐标. 解法1：设顶点D的坐标为（x，y）． ∵ AB=(-1-(-2)，3-1)=(1，2)， y
C B D A 1
O
1
DC=(3-x，4-y)， 由AB=DC，得 (1，2)=(3-x，4-y) ． x=2 1=3-x ∴ x ∴ 2=4-y y=2 ∴顶点D的坐标为（2，2）．
2019年高中数学第二章平面向量2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示课件新人教A版必修4
.
答案:-1
5.平面上有 A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点 C 在直线 AB 上,且 AC = 1 BC , 2
连接 DC 延长至 E,使︱ CE ︱= 1 ︱ ED ︱,则点 E 的坐标为
.
4
答案:( 3 ,-7) 8
题型一 向量的坐标表示
课堂探究
【例 1】 (1) 如图所示,正方形 ABCD 的中心为坐标原点 O,已知 A(-1,-1),分别 用基底 i,j 表示 OA , OB , OC , CD , BC ,并求出它们的坐标.
解: (2)由已知 M(3,-2)和 N(-5,-1),可得 1 MN = 1 (-5-3,-1+2),即 1 MN =
2
2
2
（-4, 1 ）.设点 P 的坐标是(x,y),则 MP =(x-3,y+2).由已知 MP = 1 MN ,可得
2
2
(x-3,y+2)=（-4,
1 2
）,所以
x
解:(1)由题意得 B(1,-1),C(1,1),D(-1,1),所以 OA =-i-j=(-1,-1), OB =ij=(1,-1), OC =i+j=(1,1),︱ CD ︱=︱ CB ︱=2 且 CD,CB 分别与 x 轴,y 轴平行, 所以 CD =-2i=(-2,0), BC =2j=(0,2).
y
3 4,
2
1
解得 ，
2
x
y
1, 3
2
.
所以点
P
的坐标是
（-1,- 3 ）. 2
方法技巧 平面向量的坐标运算方法 在进行平面向量的坐标运算时,应先将平面向量用坐标的形式表示出来,再 根据向量的坐标运算法则进行计算(坐标运算法则即两个向量的和与差的 坐标分别等于两个向量相应坐标的和与差,数乘向量的积的坐标等于数乘 以向量相应坐标的积).
高中数学 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示课件 新人教A版必修4
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量(1，2)与向量(4，8)共线．( ) (2)已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若 a∥b，则必有 x1y2＝x2y1.( ) 答案：(1)√ (2)√
2．下列各组的两个向量共线的是( ) A．a1＝(－2，3)，b1＝(4，6) B．a2＝(1，－2)，b2＝(7，14) C．a3＝(2，3)，b3＝(3，2) D．a4＝(－3，2)，b4＝(6，－4) 答案：D
所以 3(1－m)－(2－m)≠0，解得 m≠12. 答案：m≠12
探究点三 向量共线的应用(规范解答) (本题满分 12 分)在△ABC 中，已知点 O(0，0)，A(0， 5)，B(4，3)，O→C＝14O→A，O→D＝12O→B，AD 与 BC 交于点 M，求 点 M 的坐标． [解] 设点 C 坐标为(xC，yC)，因为点 O(0，0)，A(0，5)，B(4， 3)，所以O→A＝(0，5)，O→B＝(4，3)．因为O→C＝(xC，yC)＝14O→A＝ 0，54，
第二章 平面向量
2．3.4 平面向量共线的坐标表示
第二章 平面向量
1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 2.能根 据平面向量的坐标，判断向量是否共线． 3．掌握三点共线的判断方法．
平面向量共线的坐标表示
前提条件
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0
结论 当且仅当_x_1y_2_－__x_2_y_1＝__0_时，向量 a、b(b≠0)共线
(2)法一：因为 A，B，C 三点共线，即A→B，A→C共线， 所以存在实数 λ，使得A→B＝λA→C. 因为A→B＝O→B－O→A＝(4－k，－7)，A→C＝O→C－O→A＝(10－k，k －12)， 所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)， 即4－－7k＝＝λ（λ（k1－0－12k）），，解得 k＝－2 或 k＝11.
高中数学 第二章 平面向量 2-3-4平面向量共线的坐标表示课件 新人教A版必修4
规律技巧 平面向量共线的两种形式可根据条件灵活选 用.
变式训练2
已知向量
→ OA
＝(k,12)，
→ OB
＝(4,5)，
→ OC
＝(－
k,10)，且A，B，C三点共线，求k.
解 解法1：∵O→A＝(k,12)，O→B＝(4,5)， O→C＝(－k,10)， ∴A(k,12)，B(4,5)，C(－k,10)． ∵A，B，C三点共线， ∴kAB＝kBC. ∴1k2－－45＝－10k－－54，k＝－23.
自 我 校 x1y2－x2y1＝0 对
思考探究 当两个非零向量共线时，通过坐标如何判断它 们是同向还是反向？
提示 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当 两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．
例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向.
名师点拨 1.对向量共线条件的理解 (1)已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由 x1y2－x2y1＝0 成立， 可判断 a 与 b 共线；反之，若 a 与 b 共线，则它们的坐标满足 x1y2－x2y1＝0. (2)在讨论向量共线时，规定零向量与任一向量平行．故对 任意向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，有 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；当 x2y2≠0 时，a∥b⇔xx12＝yy12，即两向量共线的条件为相应坐标成 比例．
证明 A→B＝O→B－O→A＝(2，－2)， A→C＝O→C－O→A＝(6，－6)， ∵26＝－ －26，∴A→B∥A→C. 又∵A→B，A→C有公共点 A， ∴A，B，C 三点共线.
二 由向量共线求参数
【例 2】 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka ＋b 与 a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
2.3.3 平面向量的坐标运算(必修四 数学 优秀课件)
解：由题设 F1 + F2 + F3 = 0
得：(3, 4) + (2, 5) + (x, y) = (0, 0)
3 2 x 0 即： 4 5 y 0
∴ F3 = (5,1)
x 5 ∴ y 1
例：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别是(- 2，1)、(- 1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标. y 解：设顶点 D 的坐标为（ 分析：由于 ABCD 为平 x, y) C B 行四边形，那么有 AB (1 (2),3 1) (1,2) D AB=DC A DC (3 x,4 y ) x O 有 AB DC得：（ 1，）（ 2 3-x, 4 y )
b x2 i y 2 j
则 a b ( x1 x2 , y1 y 2 )
( x1 i x2 i ) ( y1 j y2 j ) ( x1 x2 ) i ( y1 y 2 ) j
两个向量和的坐标等于这两向量相应坐标的和 .
2.3.3 平面向量的坐标运算
在平面直角坐标中，向量如何用坐标 来表示？
a x i y j
a ( x, y )
1.已知a ( x1 , y1 ) , b ( x2 , y2 ) , 求a+b的坐标．
a x1 i y1 j
a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y 2 j )
-1 其中A（ 1， 2） , B(3,2), 则x _______
2.3.3 平面向量的坐标运算 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示 ●温故知新1.（1）式子12（2）如果基底的两个向量1e 、2e ________，则这个基底为正交基底.2.在直角坐标系中建立一个________{},i j ，对于平面内任一向量a 可分解为x y =+a i j ，则有序 实数对______叫做向量a 的坐标，记作_________.3.设OA x y =+i j ，则向量OA 的坐标______就是_________的坐标；反过来，_________的坐标______也就是向量OA 的坐标.4.向量的加法法则：两向量首尾相接，则和向量为首向量的______指向末向量的______. ●课题引入在直角坐标平面中，（1）画出()2,4OA =，如何画()2,4=a ？（2）若()2,4=a ，()3,1=b ，画出+a b ，如何求+a b 的坐标？●教材新知1.2.（1）若向量的起点是坐标原点，则向量的坐标等于___________； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB =_________.即一个向量的坐标等于表示此有向线段的___________减去___________.3.将一个向量的始点平移到坐标原点，则向量的坐标和平移后向量的______是相同的.4.设()11,x y =a ，()22,x y =b ，其中≠0b ，则a ‖b ⇔________1212,x x y y λλ=⎧⇔⇔⎨=⎩___________. 5.设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，只要证明________，便可证得A、B 、C 三点共线. 6.设()111,P x y ，()222,P x y ，(),P x y ，()121PP PP λλ=≠-时，x =_______，y =_______. （1）当1λ=，即点P 为12P P 的______，此时x =_______，y =_______.（2）ABC ∆中，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，重心(),G x y ，则x =_______，y =_______.●题组集训（1）若点P 的坐标为()11,x y ，向量PQ 的坐标为()22,x y ，则点Q 的坐标为（ ）A.()1212,x x y y --B.()2121,x x y y --C.()1212,x x y y ++D.()1212,x x y y -+ （2）()3,2=a ，()0,1=-b ，则向量2-b a 的坐标是（ ）A.()3,4-B.()3,4-C.()3,4D.()3,4-- （3）设()2,3AB =，(),BC m n =，()1,4CD =-，则DA =（ ）A.()1,7m n ++B.()1,7m n ----C.()1,7m n --D.()1,7m n -+-+ （4）若()0,0O ，()1,1A 且'2OA OA =，则点'A 的坐标为_______.（5）已知点()3,2M -，()5,1N --，若12MP MN =，则点P 的坐标是_______.●课堂精讲【例1】已知点A 、B 、C 的坐标分别为()2,4A -、()0,6B 、()8,10C -.求向量122AB BC AC +-的坐标.【例2】已知()1,2=a ，()3,2=-b ，当k 为何值时，k +a b 与3-a b 平行？平行时它们是同向还是反向？【变式训练】已知点()4,0A ，()5,5B ，()2,6C ，O 为坐标原点，求直线AC 与OB 的交点P 的坐 标.【例3】已知点()6,3A ，O 为坐标原点，点P 在直线OA 上，且12OP PA =，若P 是线段OB 的中点，求点B 的坐标.【变式训练1】在ABC ∆中，已知点()3,7A 、()2,5B -.若线段AC 、BC 的中点都在坐标轴上，求点C 的坐标.【变式训练2】如图，已知三点()0,8A ，()4,0B -，()5,3C -，D 点在线段AB 上，且13AD DB=， E 点在线段BC 上，若BDE ∆的面积是ABC ∆面积的一半，求向量AE 的坐标.●课后反馈（1）若三点()1,1P ，()2,4A -，(),9B x -共线，则（ ）A.1x =-B.3x =C.92x =D.51x = （2）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若()2,4AB =，()1,3AC =，则BD =（ ）A.()2,4--B.()3,5--C.()3,5D.()2,4 （3）已知两点()2,1A -，()3,1B ，与AB 平行且方向相反的向量a 是（ ）A.()1,2=-aB.()9,3=aC.()1,2=-aD.()4,8=--a （4）已知()5,2=-a ，()4,3=--b ，(),x y =c ，若23-+=0a b c ，则c 等于（ ） A.81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.138,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.134,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.134,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭（5）设1,tan 3α⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，3cos ,2α⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，且a 与b 共线，则锐角α的值为（ ）A.12πB.6πC.4πD.3π（6）若ABC ∆的三条边得中点分别为()2,1和()3,4-，()1,1--，则ABC ∆的重心坐标为______.（7）设向量()1,2=a ，()2,3=b ，若向量λ+a b 与向量()4,7=--c 共线，则λ=______. （8）若()3,4=a ，b ‖a 且b 的起点为()1,2，终点为(),3x x ，则=b ________. （9）若()4,3=-a ，(),5x =b ，()1,y =-c ，若+=a b c ，则(),x y =_______.（10）已知()5,1A ，()1,3B ，113OA OA =，113OB OB =，求11A B .（11）设向量()1,3=-a ，()2,4=-b ，()1,2=--c .若表示向量4a 、42-b c 、()2-a c 、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d .（12）已知O 是坐标原点，()2,1A -，()4,8B -，且3AB BC +=0，求OC 的坐标.（13）平面内给定三个向量()3,2=a ，()1,2=-b ，()4,1=c ，回答下列问题： ①求32+-a b c ；②求满足m n =+a b c 的实数m ，n ； ③若()k +a c ‖()2-b a ，求实数k .（14）如图所示，已知()4,5A ，()1,2B ，()12,1C ，()11,6D ，AC 与BD 相交于点P ，求BP 的坐 标及点P 的坐标.（15）已知平行四边形ABCD 的一个顶点坐标为()2,1A -，一组对边AB 、 CD 的中点分别为()3,0M 、()1,2N --，求平行四边形的各个顶点的坐标.。
§2.3.2-2.3.4平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算、共线的坐标表示
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算 2.3.4平面向量共线的坐标表示一、教学目标1．知识与技能（1）理解平面向量的坐标表示的概念，会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；（2）掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的和、差及实数与向量的积的坐标表示方法；（3）理解一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标； （4）掌握平面向量共线的坐标表示． 2．过程与方法在平面向量的坐标表示的推导过程中，让学生掌握平面向量基本定理中基底的特殊化．3．态度情感与价值观让学生感受向量的坐标运算的简洁美与和谐美．二、教学重难点1．教学重点：平面向量的坐标运算． 2．教学难点：理解向量坐标化的意义．三、教学过程㈠ 课前1分钟（书P65 习题1.8 A 组 2）根据下列条件，求(0,2)π内的角A1213041()sin ()sin ()cos ()tan A A A A ==-==㈡ 复习回顾平面向量基本定理如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ, 2λ，使得1122a e e λλ=+．不共线的平面向量1e ，2e 叫做这一平面内所有向量的一组基底． ㈢ 新课探究引例：光滑斜面上的木块所受重力G 可以分解为平行斜面使木块下滑的力1F 和木块产生的垂直于斜面的压力2F （如图）．正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.★在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单，引例就是一个正交分解的例子．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.则对于该平面内的任一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi y j =+我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =…………①其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x ．探究一：以O 为起点，(,)P x y 为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？ 解：如图 (,)OP xi y j x y =+=以O 为起点的向量OP 的坐标也就是终点P 的坐标向量(,)OP P x y −−−−→一一对应探究二：在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O 的向量如何用坐标来表示？可通过向量的平移，将向量的起点移到坐标的原点O 处．+OA xi y j =， +a xi y j =点评：1．把a xi y j =+称为向量基底形式； 2．(,)a x y =，称其为向量的坐标形式； 3．(,)a xi y j x y =+=；4．单位向量(1,0)i =，(0,1)j =；5．两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？1212x x a b y y =⎧=⇔⎨=⎩例1．如图，已知(1,3)A -，(1,3)B -，(4,1)C ，(3,4)D ，求向量OA ，OB ，OD ，OC 的坐标．例2．如图，用基底i ，j 分别表示向量a ，b ，并求出它们的坐标．解：由图可知：1223a AA AA i j =+=+，∴(2,3)a = 同理，23(2,3)b i j =-+=-探究：你能发现向量a 的坐标与它起点坐标和终点坐标间有什么联系吗？平面向量的坐标运算 向量的加法思考：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，能得出a b +的坐标吗？ 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和．结论：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++ 向量的减法思考：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，能得出a b -的坐标吗？ 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差． 结论：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y -=--向量的数乘同理可得，已知11(,)a x y =，则11(,)a x y λλλ=即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标．例5．已知平面上三点的坐标分别为(2,1)A -，(1,3)B -，(3,4)C ，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形四个顶点．分析：引导学生发现可以,AB BC 为邻边构造平行四边形，则AD BC =即可求出点D 的坐标；还可以以,AB AC 为邻边，或以,BC AC 为邻边． 平面向量共线的坐标表示探究：向量b与向量(0)a a ≠共线当且仅当存在实数λ使b a λ=，若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则上述结果如何用坐标表示？1211222212(,)(,)(,)x x x y x y x y y y λλλλλ=⎧==⇔⎨=⎩思考：（1）如何消去λ？ 当20x ≠时，12x x λ=，∴1122xy y x =即12210x y x y -= （问：左式当20x =时成立吗？）（2）向量共线的两种等价形式：1221//(0)0a b a b a x y x y λ≠⇔=-=或． 探究：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是11(,)x y ，22(,)x y ，当12PP PP λ=时，点P 的坐标是多少？解：∵12PP PP λ=，∴1121PPPP λλ=+（如何确定？）11112121()11OP OP PP OP PP OP OP OP λλλλ=+=+=+-++121211(,)1111x x y y OP λλλλλλλ++=+=++++ ∴点P 的坐标是1212(,)11x x y y λλλλ++++——定比分点坐标公式注意：（1）中点坐标公式是定比分点坐标公式的特殊情况1λ=；（2）套用公式时要分清向量的起点、终点以及λ是多少． ㈣ 课堂练习 课后练习书P100-101（6与7要求用探究得到的定比分点坐标公式重新计算）． 练习巩固1．已知O 是坐标原点,点A 在第一象限，43OA =60xOA ∠=︒，求向量OA 的坐标． 2．已知(11,12)A 、(4,5)B 、(10,11)C ，求证：A 、B 、C 三点共线． 3．已知(,12)A k 、(4,5)B 、(10,)C k ，且A 、B 、C 三点共线，求k 的值． 能力提升1．已知(1,0)a =，(2,1)b =，当实数k 为何值时，向量ka b -与3a b +平行？并确定此时它们是同向还是反向．2．已知(1,3)A -和(8,1)B -，如果点(21,2)C a a -+在直线AB 上，求a 的值． 3．已知ABC ∆中,(0,0)O ,(0,5)A ,(4,3)B ,14OC OA =，12OD OB =,AD 与BC 交于M ，求点M 的坐标．4．已知点,,,O A B C 的坐标分别为(0,0), (3,4)，(1,2)- (1,1)是否存在常数t ，使OA tOB OC +=成立?解释你所得结论的几何意义．㈤ 课堂小结 1．向量坐标定义；2．向量的坐标运算法则：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，11(,)a x y λλλ=3．若),(11y x A ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--； 4．平面向量共线的坐标表示若11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么1221//(0)0a b a x y x y ≠⇔-=． ㈥ 课后作业1．书P101 习题2.3 A 组 1，3，7 B 组 2； 2．课时训练． ㈦ 教后反思。
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
类型二 利用向量共线求参数 【例2】 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ [思路探索] 先求ka＋b，a－3b的坐标，再由向量共线的充要条件 列方程组求k. 解 法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)， 即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.② 解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3， ∴点P的坐标为(3,3)． [规律方法] 求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线 或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助 共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快．
【活学活用3】 平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，
新知导学 平面向量共线的坐标表示
前提条件
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论 当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量a，b(b≠0)共线
温馨提示：平面向量共线的坐标表示的记忆策略
互动探究 探究点1 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们 同向还是反向吗？ 提示 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向 量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1， －2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向 量(－1,0)与(3,0)反向等． 探究点2 若a∥b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则必有yx11＝xy22吗？ 提示 不一定，两个向量中，若有与坐标轴(x轴)平行的向量或 零向量，则不能写成比例式.
人教A版高中数学必修4第三节.4平面向量线的坐标表示精品PPT课件
中点坐标公式：
( x1 x2 , y1 y2 )
2
2
M
y
P
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
O
x
人教A版高中数学必修4第三节.4平面 向量共 线的坐 标表示 课件-精 品课件 ppt(实 用版)
(1)
人教A版高中数学必修4第三节.4平面 向量共 线的坐 标表示 课件-精 品课件 ppt(实 用版)
人教A版高中数学必修4第三节.4平面 向量共 线的坐 标表示 课件-精 品课件 ppt(实 用版)
例4、已知 A(1，1)，B(1， 3)，C(2， 5)， 试判断 A，B，C三点之间的位置关系
解：在直角坐标系中作 出 A , B , C 三点，
观察图形，猜想 A 、 B 、 C 三点共线。
证明如下
人教A版高中数学必修4第三节.4平面 向量共 线的坐 标表示 课件-精 品课件 ppt(实 用版)
向量共线的判定方法：
（1）利用向量共线定理， 由a b(b 0)推出 a // b;
(2)利用向量共 达线 x式 1y2 的 x2坐 y1直 标 接 表
人教A版高中数学必修4第三节.4平面 向量共 线的坐 标表示 课件-精 品课件 ppt(实 用版)
23
解得 sin21
又因（0， ），所2以（0，）
2
则2，所以 .
2
4
例2、已知a向 (1,量 2),b(3,2),当实k为 数何值时 （kab） //a(3b)?这两个向量的同方还向是是相相
解： a (1,2),b (3,2)
k a b (k - 3,2k 2), a 3b (10,4)
( 2 )a ( 2 ,3 ), b (4 ,6 ) ( 3 )a ( 1,4 ), b ( 2 , 8 )
《2.3.4平面向量的基本定理及坐标表示》课件2
(x2－x1，y2－y1)
，
即一个向量的坐标等于该向量 终点 的坐标减去 标．
起点 的坐
想一想：相等向量的坐标有什么特点？ 提示 (1)相等向量 a＝(x1，y1)与 b＝(x2，y2)的坐标是相同的， 即 x1＝x2 且 y1＝y2. (2)相等向量的起点与终点可以不同，向量的坐标与表示该向量 的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有 关．
10 10 解得 m＝4，n＝ ，即 D 点的坐标为4， 3 . 3 10 11 → 故CD＝4， 3 －(－7,7)＝11，－ 3 .
题型三 向量坐标运算的综合应用 【例 3】 如图，正方形 ABCD 中， P 为对角线 BD 上的一点，四边形 PECF 是矩形，用向量法证明 PA＝EF. 审题指导 本题所给图形为正方形， 故可考虑建立平面直角坐标 → → 系，用向量坐标法来解决，为此只要写出PA和EF的坐标，证明 其模相等即可．
3．平面向量的坐标运算 (1)已知向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数 λ， 那么 a＋b＝ a－b＝ λa＝
(x1＋x2，y1＋y2)
， ，
(x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1)
．
(2)已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)则 → → → AB＝OB－OA＝(x2，y2)－(x1，y1)＝
.
因为点 P
5λ＋5<0 在第三象限，所以 7λ＋4<0
，解得 λ<－1.
故所求实数 λ 的取值范围是(－∞，－1)．
规律方法
向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵
或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改 变．解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条 件的含参数的方程，解这个方程，就能达到解题的目的．
高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示课件 新人教A版必修4
解：（1）
1 OP 2 (OP1 OP2 )
( x1 x2 , y1 y2 )
2
2
y P2
P P1
所以，点P的坐标为 (x1 x2 , y1 y2 ) 22
O
x
(1)
例4.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
解：（2）
另 若 x P、 x 1P1,y 12yP1 P2,1 2 那 x2么 x,y2y
P1
y P2
P
有
x y
x1 y1
1 2 1 2
x2 y2
x y
O
解P 有 点坐 2x1标 x2,2y1y2
x
3
3
例4.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1),(x2, y2)
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
复习 平面向量的坐标表示
在平面坐标系内，我分们别取与x轴、
y轴方向相等的两个单向位量i 、j作为基底，
任作一个向量a，由平面 y 向量基本定理可知，有
且只有一对实数x、y，
使得a xi y j.
a
j
Oi
x
复习 平面向量的坐标表示
我 们(把 x, y)叫 做 向a的量 (直 角 )坐 标 , 记 作 a(x，y).其 中 x叫 做 a在x轴 上 的 坐 标 ， y叫 做 a在y轴 上 的.坐y 标
特 别 , i地 (1, 0),
j(0,1), 0(0, 0).
a
j
Oi
x
复习 平面向量的坐标运算