2020年浙江省金华市高二(下)期中数学试卷解析版
A.
B.
C.
D.
5. △ABC 中，（a-b）（sinA+sinB）=（c-b）sinC．其中 a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，则 A=（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 设 a∈R，若（x2+ ）9 与（x
A. 4
B. -4
）9 的二项展开式中的常数项相等，则 a=（ ）
C. 2
D. -2
9. 已知函数 f（x）=|x-1|+|x-a|，a＞1，若 f（x）＞4 的解集为（-∞，0）∪（4，+∞），
则 a 的值（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10. 已知不等式 ex-4x+2≥ax+b（a，b∈R，a≠-4）对任意的实数 x 恒成立，则 的最大
值为（ ）
A. -ln2
B. 0
x,y 构成的平面区域的面积是______．
13. 当 x＞0 时， 的最小值为______；当 x＞-1 时，
实数 t 的值为______．
的最小值为 3，则
14. 已知函数 f（x）=
．
（i）f（2）=______．
（ii）若方程 f（x）= x+a 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是______．
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22. 已知 a∈R，函数 f（x）= +alnx，x∈（0，6）．
（Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）若 x=2 是 f（x）的极值点，且曲线 y=f（x）在两点 P（x1，f（x1），Q（x2， f（x2））（x1＜x2）处的切线互相平行，这两条切线在 y 轴上的截距分别为 b1，b ， 求 b1-b2 的取值范围．
17. 已知函数
恰有三个零点 x1，x2，x3，且 0＜
x1＜x2＜x3，记 Mi=xilnxi+a（i=1，2，3），则 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分）
=______．
18. 已知函数 f（x）=cos（2x- ）-2sin2x+a（a∈R），且 f（ ）=0．
（Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）若 f（x）在区间[0，m]上是单调函数，求 m 的最大值．
（1）求函数 f（x）的定义域； （2）若函数 f（x）在区间[2，+∞）上是减函数，求实数 k 的取值范围．
21. 已知椭圆 C： + =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别是 F1、F2，C 过点 M（1，- ）
，离心率 e= ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 PQ 为椭圆 C 过 F1 的弦，R 为 PF2 的中点，O 为坐标原点，求△RF1F2、 △OF1Q 面积之和的最大值．
期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）
1. 已知集合 A={x|y=lgx}，B={x|y=
A. [0，2]
B. [-2，0]
}，则 A∩B=（ ）
C. （0，2]
D. [-2，0）
2. 设 m，n∈R，则“m＜n”是“（ ）m-n＞1”的（ ）
A. 充分而不必要条件
2.【答案】C
【解析】解：由（ ）m-n＞1 得 m-n＜0，得 m＜n，
则“m＜n”是“（ ）m-n＞1”充要条件，
故选：C． 根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，函数 f（x）的单调增区间为[0，+∞），且 f（1）=0， 则在区间[0，1]上，f（x）＜0，在区间[1，+∞）上，f（x）＞0， 又由函数 f（x）为偶函数，在区间[-1，0]上，f（x）＜0，在区间（-∞，-1]上，f（x）＞ 0， 综合可得：在区间[-1，1]上，f（x）＜0，在区间（-∞，-1]和[1，+∞）上，f（x）＞0，
15. 若定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式 f（x）＞
+1 的解集为______．
16. 工人在安装一个正五边形的零件时，需要固定如图所示的五个位置的
螺栓．若按一定的顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的 2
个螺栓．则不同的固定螺栓方式的种数是______．
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数 f（x）是偶函数，定义域为 R，单调增区间为[0，+∞），且 f（1）=0，则
（x-1）f（x-1）≤0 的解集为（）
A.
B.
C.
D.
4. 已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为
，且
三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（ ）
C. -2ln2
D. 1
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二、填空题（本大题共 7 小题，共 36.0 分）
11. 已知多项式（x+2）5=（x+1）5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则 a0=______，a1=______．
12. 设 x,y 满足约束条件
,则
的最大值为______；满足条件的
7. 已知
，随机变变量 ξ 的分布列如下：
ξ
-1
0
1
P
a
当 a 增大时，
A. E（ξ）增大，D（ξ）增大 C. E（ξ）增大，D（ξ）减小
B. E（ξ）减小，D（ξ）增大 D. E（ξ）减小，D（ξ）减小
8. 关于 x 的不等式
解集为[a，b]，则 a-b=（ ）
A. -1
B. -2
C. -3
D. -4
第 4 页，共 16 页
1.【答案】C
答案和解析
【解析】解：由 A 中的函数 y=lgx，得到 x＞0，即 A=（0，+∞）； 由 B 中的不等式变形得：4-x2≥0，即 B=[-2，2] 则 A∩B=（0，2] 故选：C． 求出 A 中函数的定义域确定出 A，求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集 即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
19. 已知平面多边形 PABCD 中，PA=PD，AD=2DC=2BC=4，AD∥BC，AP⊥PD，AD⊥DC
，E 为 PD 的中点，现将△APD 沿 AD 折起，使 PC=2 ． （1）证明：CE∥平面 ABP； （2）求直线 AE 与平面 ABP 所成角的20. 已知函数 f（x）=ln （k＞0）．
2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高二(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高二（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合2，3，，4，，则中的元素个数是A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.直线的斜率是A. B. C. D. 23.“且”是“直线过点”的A. 充分条件不必要B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数的最小正周期为A. B. C. D.5.已知向量，且，则实数x的值是A. B. 2 C. 8 D.6.已知等比数列中，，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和的值为A. B. C. D.7.在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，则A. B. C. D.8.设椭圆的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为A. B. C. D.9.设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值是12，则的最小值为A. B. C. 1 D. 210.定义域为R的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则a 的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知，则______，______．12.若函数是偶函数，则______，值域为______．13.在等差数列中，若，则______，______．14.一个几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的表面积为______，该该几何体的体积为______．15.过点的直线与抛物线交于A、B两点，且则此直线的方程为______．16.函数在区间内是增函数，则实数a的取值范围是______．17.若对任意且，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知向量，且A，B，C分别是锐角三角形ABC三边a，b，c所对的角．Ⅰ求的大小；Ⅱ若a，c，b成等比数列，且，求c的值．19.设是公差大于零的等差数列，已知，．Ⅰ求的通项公式；Ⅱ设是以1为首项，以3为公比的等比数列，求数列的前n项和．20.在四棱锥中，平面ABCD，，，．Ⅰ证明：平面PAC；Ⅱ若二面角的大小为，求AP的值．21.已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4．求椭圆的方程；设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为，，求直线l的倾斜角．22.设函数．求函数的最小值；设，讨论函数的单调性；斜率为k的直线与曲线交于、两点，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：2，3，，4，，，则的元素个数是2个．故选：C．求出A与B的交集，找出交集元素的个数即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：解：直线变形得：，则直线斜率为．故选A将直线方程变形后，即可求出直线的斜率．此题考查了直线的一般式方程，是一道基本题型．3.答案：A解析：解：由直线过点得：，即：，得不出且，直线过点不是且的必要条件；而且能得出，直线过点是且的充分条件．故选：A．直线过点，所以得到，下面只要验证能否得出且，且能否得出就可以了．本题考查了直线的方程、简易逻辑的判定方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：B解析：解：函数的最小正周期为，故选：B．根据了函数的周期为，计算求得结果．本题主要考查函数的周期性，利用了函数的周期为，属于基础题．5.答案：D解析：解：向量，且，，解得故选：D．由题意可得，解之即可．本题考查向量的垂直，转化为向量的数量积为0是解决问题的关键，属基础题．6.答案：D解析：解：等比数列中，，即有，，则新数列的公比为9，即有．故选：D．求出等比数列中的第二项和第四项，求得新数列的公比，由等比数列的求和公式，即可得到所求．本题考查等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：已知等式，利用正弦定理化简得：，整理得：，，，故选：C．已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，由sin B不为0求出cos A的值即可．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．8.答案：A解析：解：在椭圆中，由，得椭圆的焦点为，，曲线是以、为焦点，实轴长为8的双曲线，故C的标准方程为：，故选：A．在椭圆中，由题设条件能够得到，曲线是以，，为焦点，实轴长为8的双曲线，由此可求出曲线的标准方程．本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．9.答案：B解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，确定a，b的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质求最值，属于一般题．作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的最大值是12，确定a，b之间的关系，二次函数的图象和性质确定函数的最小值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图：由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时确定最大值12，由，解得，即，代入目标函数得，即，则，，．，，当时，取得最小值．故选B．10.答案：A解析：解：，令，则，是定义在R上的偶函数，．，则函数是定义在R上的，周期为2的偶函数，又当时，，令，则与在的部分图象如下图在上至少有三个零点可化为与的图象在上至少有三个交点，在上单调递减，则，解得：，故选：A．由题意可判断函数是定义在R上的，周期为2的偶函数，令，画出与在的部分图象如下图，将在上至少有三个零点可化为与的图象在上至少有三个交点，从而解出a的取值范围．本题考查了数形结合的思想，同时考查了学生的作图能力与转化能力，属于基础题．11.答案：解析：解：，，．故答案为：，．由已知利用二倍角的余弦函数公式，诱导公式即可化简求解．本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．12.答案：2解析：解：根据题意，函数，是对称轴为的二次函数，若函数是偶函数，必有，即；则，即函数的值域为；故答案为：2，．根据题意，将函数的解析式变形可得，分析可得是对称轴为的二次函数，结合偶函数的性质可得a的值，即可得函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的值域计算，注意结合二次函数的性质分析．13.答案：解析：解：等差数列中，由等差数列的性质可得，，则，．故答案为：，．由已知结合等差数列的性质可求，然后结合特殊角的三角函数值即可求解．本题主要考查了等差数列的性质及特殊角的三角函数值的求解．14.答案：解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为正棱锥体．如图所示：故：，．故答案为：，首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积和表面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.答案：解析：解：设，由，得P为AB的中点．把A，B的坐标代入抛物线方程得，得：．所以．则过AB两点的直线方程为．即．故答案为．设出A，B两点的坐标并代入抛物线方程，由知P为AB的中点，利用点差法求出直线AB的斜率，由点斜式得方程．本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了利用点差法求涉及弦中点的直线的斜率，是中档题．16.答案：解析：解：，令即，当，；当时，解得，或；因为函数在区间内是增函数，所以，解得，所以实数a的取值范围是故答案为：求出，因为要求函数的增区间，所以令大于等于0，然后讨论a的正负分别求出x的范围，根据函数在区间上是增函数列出关于a的不等式，求出a的范围即可．本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．会利用不等式解集的端点大小列出不等式求字母的取值范围，是一道综合题．17.答案：解析：解：由不等式对于且恒成立，可得，对于且恒成立，令，由表示两点与的斜率，根据右图可知，点代入可得t的最小值为1，点代入可得t的最大值3，则，则在上恒成立，由，，可得函数y在递减，则，即时，，可得，故答案为：．将a分离出来得，然后根据，，求出的范围，令，可得在上恒成立，利用二次函数的性质求出的最大值，即可求出a的范围．本题考查不等式恒成立问题解法，在解答的过程当中充分体现了分离参数的方法、恒成立的思想以及整体代换的技巧．值得同学们体会与反思．属于中档题．18.答案：解：Ⅰ向量，可得即，所以，又因为是锐角三角形内角，所以．Ⅱ因为a，c，b成等比数列，所以，又，所以．所以，即，所以．解析：Ⅰ通过向量的数量积，结合两角和与差的三角函数，转化求解C的大小．Ⅱ，c，b成等比数列，得到，结合向量的数量积转化求解即可．本题考查向量的数量积的应用，等比数列的性质，三角形的解法，考查计算能力．19.答案：解：Ⅰ是公差大于零的等差数列，，．，解得，或舍，．Ⅱ是以1为首项，以3为公比的等比数列，，，．解析：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题．解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．Ⅰ由已知条件利用等差数列通项公式求出差，由此能求出．Ⅱ由已知条件得，，由此能求出数列的前n项和．20.答案：Ⅰ证明：设O为AC与BD的交点，作于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得，，所以，从而得，所以，即．由平面ABCD得，因为，所以平面分Ⅱ解：方法一：作于点H，连接DH．由Ⅰ知平面PAC，故D．所以平面DOH，从而得，．故是二面角的平面角，所以．在中，由，得．在中，．设，可得．解得，即分方法二：Ⅱ由Ⅰ知以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由题意知各点坐标如下：，0，，，0，．由平面ABCD，得轴，故设点．设y，为平面PDC的法向量，由，知取，得1，又平面PAC的法向量为0，，于是，．解得，即分解析：Ⅰ设O为AC与BD的交点，作于点E，证明，可得由平面ABCD得，利用线面垂直的判定定理，可得平面PAC；Ⅱ方法一：作于点H，连接DH，可得是二面角的平面角，在中，，可求AP的值；方法二：以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，求出平面PDC、平面PAC的法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角的大小为，可求AP的值．本题主要考查空间线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力．21.答案：解：由椭圆的离心率，则，，由，即，由解得：，，椭圆的方程；由题知，，直线l斜率存在，故设l：，则，整理得：，，由，得，，，，．故直线的倾斜角为或．解析：由题意可知：根据椭圆的离心率及菱形的面积公式，即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；设直线l方程，代入椭圆方程，求得B点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得丨AB丨，即可求得k的值，求得直线l的倾斜角．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．22.答案：解：，令，得．当时，；当时，，当时，分，．当时，恒有，在上是增函数；当时，令，得，解得；令，得，解得．综上，当时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减．证：．要证，即证，等价于证，令，则只要证，由知，故等价于证．设，则，故在上是增函数，当时，，即．设，则，故在上是增函数，当时，，即．由知成立，得证．解析：根据极值与最值的求解方法，连续函数在区间内只有一个极值，那么极小值就是最小值；先确定函数的定义域然后求导数，讨论a在函数的定义域内解不等式和即可求得；要证，即证，等价于证，令，则只要证，由知，故等价于证即可．本题中对函数单调性的分类讨论、构造函数利用导数方法证明不等式都是难点，对综合能力的考查达到了相当的高度．。
浙江省金华市数学高二下学期文数期中考试试卷
设 为参数，若 ，求直线 的参数方程；
（2） 已知直线 与曲线 交于 ， 设 ，且 ，求实数 的值.
23. （5分） (2015高一上·雅安期末) 已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．
（1） 判断f（x）的单调性，并加以证明；
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、 解答题 (共7题；共70分)
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
19-3、
20-1、
20-2、
21-1、
21-2、
21-3、
22-1、
22-2、
23-1、
23-2、
23-3、
（2） 用分层抽样的方法在 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
（3） 用随机抽样的方法从 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下： . 把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对 值不超过 的概率．
B .
C .
D .
2. （2分） (2017·天水模拟) 已知复数z= （i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
3. （2分） (2019高二上·惠州期末) 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
A .
B .
浙江省2020学年高二数学下学期期中试题(含解析)
高二数学下学期期中试题（含解析）一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}{}2,1,0,1,2,,U A y y x x U =--==∈，则U A =ð （ ） A. {}0,1,2 B. {}2,1,0--C. {}1,2--D. {}1,2【答案】C 【解析】 【分析】可求出集合A ，然后进行补集的运算即可．【详解】由题意，集合{}{}2,1,0,1,2,,U A y y x x U =--==∈，则{}0,1,2A =， 所以根据集合的补集的运算，可得{}2,1U A =--ð． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的补集的运算，其中解答中正确求解集合A ，再根据集合的补集的运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.若向量b r 与向量()2,1a =-r是共线向量，且b =r b =v （ ）A. ()6,3-B. ()6,3-C. ()6,3-或()6,3-D. ()3,6-或()3,6-【答案】C 【解析】 【分析】根据b r 与a r 共线，可设()2,1b λ=-r ，再根据b =r λ的值，即可得出向量b v 的坐标．【详解】由题意，根据b r 与a r共线，所以存在实数λ，使()2,1b λ=-r ；又b =r=，解得3λ=±；∴()6,3b =-r或()6,3-．故选：C ．【点睛】本题主要考查了共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，以及向量坐标求向量长度的方法，其中解答中熟记向量的基本运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.若4sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ） A.45B. 45-C.35D. 35-【答案】A 【解析】 【分析】πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin （ππ23α--）结合诱导公式求解即可【详解】π4sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin （ππ23α--）π4sin 65α⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故选A ．【点睛】本题考查诱导公式及角的变换，是基础题4.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()21f x x =+ ，则()7f = （ ）A. 2B. 2-C. 1D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】由()()4f x f x +=-，可得()()()84f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为8的周期函数，据此可得()()71f f =-，结合函数的周期性与奇偶性，即可求解．【详解】根据题意，函数()f x 满足()()4f x f x +=-，则有()()()84f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为8的周期函数，则()()71f f =-， 又由函数为奇函数，则()()()211112f f -=-=-+=， 则()12f -=-，即()72f =-； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.函数()·ln xf x e x =的大致图象为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数()·ln xf x e x =，()--?ln -xf x e x =，()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，则函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当(),x f x →+∞→+∞，排除B ， 故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键6.可导函数()f x 在区间(), a b 上的图象连续不断，则“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”是“函数()f x 在区间(), a b 上有最小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据0()0f x '=和函数()f x 在区间(), a b 上有极值点的关系，结合具体函数，即可判断出结论．【详解】根据函数极值点的概念，可知()0, x a b ∈满足0()0f x '=，则0x 不一定是函数的极值点，例如()3,(2,2)f x x x =∈-，其中()00f '=，但0x =不是函数的极值点，此时函数()3f x x =在(2,2)x ∈-上没有最小值.又由函数(),(2,2)f x x x =∈-，其中当0x =时，函数()f x 取得最小值()00f =. 但0x =时，()f x '不存在，()2,0x ∈-时，()1f x '=-， ()0,2x ∈时，()1f x '=，所以“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”不成立.所以“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”是“函数()f x 在区间(), a b 上有最小值”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．【点睛】本题考查了函数有极值点的概念及应用，以及充要条件判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.从数字1到9中任取3个数字，要求既有奇数也有偶数，组成一个没有重复数字的三位数，则满足条件的三位数的个数共有（ ） A. 420 B. 840C. 140D. 70【答案】A【分析】根据奇数和偶数的个数分1个奇数，2个偶数和2奇数，1偶数，然后进行全排列，即可求解，得到答案．【详解】由题意，9个数字中奇数为1，3，5，7，9，偶数为2，4，6，8， 三位数要求既有奇数也有偶数，则若1个奇数，2个偶数，有123543180C C A =个，若2奇数，1偶数，有213543240C A A =个， 由分类计数原理可得，共有180240420+=个， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中结合条件分1个奇数，2个偶数和2奇数，1偶数，分类求解是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.设向量,,a b c r r r 满足||1,||2a b ==r r ，0,()0a b c b a c ⋅=⋅+-=r r r r r r ，则||c r的最大值等于（ ）A. 1B. 2C. 1【答案】D 【解析】 【分析】设()()()1,0,0,2,,a b c x y ===v v v，运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及圆的性质，可得所求最大值．【详解】由题意，向量,,a b c v v v 满足1,2a b ==v v ，0a b ⋅=v v ，可设()()()1,0,0,2,,a b c x y ===v v v，由()0c b a c ⋅+-=v v v v，可得()()()(),1,2120x y x y x x y y ⋅--=-+-=，整理得2220x y x y +--=，即()2215124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即圆心(1,12)，半径则c v的最大值为2r =，【点睛】本题主要考查了向量的加减运算和数量积的坐标表示，考查圆的方程的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题，着重考查了推理与运算能力.9.设F 为抛物线2:8C y x =的焦点，过点()2, 0P -的直线l 交抛物线C 于, A B 两点，点Q为线段AB 的中点，若FQ =，则AB = （ ）B.C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线l 的方程为()2y k x =+，联立方程组得2222240k x k x k +-+=（），由此利用韦达定理、点到直线距离公式能求出直线的斜率，然后利用弦长公式，即可求解．【详解】由题意，设直线l 的方程为()2y k x =+，112200, ,()()() , A x y B x y Q x y 、、，联立方程组28(2)y x y k x ⎧=⎨=+⎩，化简得2222(48)40k x k x k +-+=，∴212284k x x k -+=，124x x =，则1212()84y y k x x k +=++=， 由中点公式，可得20242k x k -=，04y k =，又由=3k =±，所以21AB x =-== 故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解题时要认真审题，注意韦达定理、点到直线距离公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10.已知函数)2()log 3f x x x =--，当2019x y +=时，恒有()()()2019f x f f y +>成立，则x 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1(,1)2C. (,0)-∞D. (1,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式，得出()f x 在R 上是奇函数且为减函数，据此对x 进行分情况讨论，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数)2()log 3f x x x =--，定义域为R ，且满足()))()22log 3log 3f x x x x x f x -=-+=+=-，所以函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，则有()00f =，又由()f x 在[0, )+∞单调递减，则()f x 在(,?0]-∞上也为减函数， 则()f x 在R 上为减函数，则()20190f <，当0x <时，20192019y x =->，即()()()2019f x f f y >>， 则恒有()()()2019f x f f y +>成立，当0x =时，2019y =，此时()()()()20192019f x f f f y +==，()()()2019f x f f y +>不成立，当0x >时，20192019y x =-<，此时不能满足()()()2019f x f f y +>恒成立， 所以x 的取值范围是(,0)-∞． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，其中根据函数的解析式判定出函数的奇偶性和单调性，分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11.已知复数z 满足1iz i-=（i 是虚数单位），则2z =_____；z =_____．【答案】 (1). 2i 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，进一步求得2z ，再由复数模的计算公式求z ． 【详解】由题意，根据复数的运算，化简得21(1)()1i i i z i i i---===---，所以()2212, z i i z =--==故答案为：2i ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及模的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.计算：4log =_____；满足log 1x >的实数x 的取值范围是_____．【答案】 (1). 14(2). 1x <． 【解析】 【分析】利用对数的换底公式及对数的运算性质求4log ；把log 1x >化为同底数，然后分类利用对数的运算性质求解．【详解】由题意，根据对数的运算法则，可得1242lg 21log lg 4lg 24===，由log 1log xx x >=，当01x <<时，得x >1x >时，得1x <<，∴实数x 的取值范围是1x <．故答案为：14；1x <．【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数的运算公式和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．.13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，12, A A 分别是双曲线的左、右顶点，00,() M x y 是双曲线上除两顶点外的一点，直线1MA 与直线2MA 的斜率之积是169，则双曲线的离心率为_____；若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，则双曲线的方程为_____．【答案】 (1). 53 (2). 221916x y -=【解析】 【分析】根据000()), (M x y x a ≠±是双曲线上一点，代入双曲线的方程，由直线1MA 与直线2MA 的斜率之积是169，求出直线1MA 与直线2MA 的斜率，然后整体代换，进而求得双曲线的离心率，再根据双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，即可求出双曲线的方程．【详解】由题意，设000()), (M x y x a ≠±是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，则2200221x y a b -=，得到2220022y x a b a-=，故2202220y b x a a =-， 又()()12,0, ,0A a A a -， ∴1222000222000169MA MA y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅===+--，得43b a =∴53c e a ====， 其渐近线的方程为b y x a =±，即43y x =±，即430x y ±=， 设双曲线的一个焦点坐标为(),0c ，则双曲线的焦点到其渐近线的距离445c=，解得5c =， 又因为222c a b =+，所以229, 16a b ==，故双曲线的方程为221916x y -=，故答案为：53，221916x y -=.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，主要是离心率的求法，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理、准确运算是解答的关键，着重考查化简整理的运算能力，属于中档题．14.二项式()512x -的展开式中系数最大的项为_____；已知52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a -+-+=_____．【答案】 (1). 480x (2). 810-． 【解析】 【分析】由二项式()512x -的展开式中通项()152rr rr T C x +=-，列出不等式组，求得r 的值，即可得出最大的项．对于二项式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，两边求导，再令1x =-，即可求解．【详解】由题意，二项式()512x -的展开式中通项公式()()15522rrrr r r T C x C x +=-=-．由()()()()115511552222r r r r r r r r C C C C --++⎧-≥-⎪⎨-≥-⎪⎩，解得4r =，即展开式的最大的项为()444455280T C x x =-⨯=． 由二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，两边求导可得：()42341234525122345x a a x a x a x a x -⨯⨯-=++++， 令1x =-，可得()4123452345251210[1]8a a a a a -+-+=-⨯⨯-⨯-=-．故答案为：480x ，810-．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式、导数运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.15.已知向量()2,4a =v ，向量a v在向量b v 上的投影为3，且a b -=v v b =v _____． 【答案】7．【解析】 【分析】根据条件即可得出220,cos ,3a a a b =〈〉=v v v v ，然后对a b -=vv 两边平方，可得出2||670b b --=v v ，即可求解b v，得到答案．【详解】根据条件：220,cos ,3a a a b =〈〉=v v v v ，且a b -=vv则()22222cos ,||62027a ba ab a b b b b -=-〈〉+=-+=vv v v v v v v v v ；整理得2||670b b --=v v ，解得7b =v或1-（舍去）．故答案为：7．【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量投影的计算公式，向量坐标的数量积运算等知识的综合应用，其中熟记向量的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.3名男生和3名女生共6人站成一排，若男生甲不站两端，且不与男生乙相邻，3名女生有且只有2名女生相邻，则不同排法的种数是_____．（用数字作答） 【答案】168． 【解析】 【分析】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置；若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5的位置；据此分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置， 若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5位置， 可分4种情况讨论：①当甲在2号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在4、5、6号位置，若乙在4号或5号位置，只有2个位置是相邻的，有2232224A A ⨯⨯=种排法， 若乙在6号位置，有23212A ⨯=种排法， 由分类计数原理可得，共有241236+=种排法； ②当甲在5号位置，同理①，有36种排法；③当甲在3号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在1、5、6号位置， 若乙在1号位置，有23212A ⨯=种排法， 若乙在5号位置，有223212A A ⨯=种排法， 若乙在6号位置，有2232224A A ⨯⨯=种排法， 由分类计数原理可得，共有12122448++=种排法；④当甲在4号位置，同理③，有48种排法，则有36364848168+++=种不同的排法； 故答案为：168．【点睛】本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理综合应用，本题解题的关键是在计算时，合理分类做到不重不漏，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17.已知不等式()10x e a e x b -+++≤恒成立，其中e 为自然常数，则1b a+的最大值为_____． 【答案】1e【解析】 【分析】先利用导数确定不等式恒成立条件，再利用导数确定1b a+的最大值. 【详解】令()()1()()1xxf x e a e x b f x e a e '=-+++∴=-+ 当0e a -≥时，()0,,()f x x f x '>→+∞→+∞，不满足条件； 当0e a -<时，()0ln()f x x a e '=⇒=--，当ln()x a e >--时()0,f x '<当ln()x a e <--时()0,f x '> 因此()(ln())1ln()10f x f a e a e b ≤--=---++≤， 从而1ln()1,()b a e a e a a+-+≤>令2ln()ln()1(),()()ea e a e a e g x a e g x a a---+-'=>∴=再令21ln()0()e e y a e y a e a e a e-'=--∴=-<--- 所以当a e e ->时1ln 0()0,()(2)e y e g x g x g e e e'<-=∴<<=； 当0a e e <-<时1ln 0()0,()(2)e y e g x g x g e e e'>-=∴><=； 即max 1()(2)g x g e e ==，从而1b a+的最大值为1e .【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立以及利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属较难题.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.设函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=-+的图象关于直线x π=对称，其中常数1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．【答案】（1）65π（2）[]1,2- 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后求解ω，即可求解函数的周期．（2）通过角的范围，求解相位的范围，利用正弦函数性质求得函数的最值，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=-+2cos 2x x ωω=-2sin 26x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由函数()2sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象关于直线x π=对称， 所以()2sin 226f ππωπ⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭，所以2,62k k Z πππωπ-=+∈， 解得1,23k k Z ω=+∈，又因为1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以56ω=，即5()2sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以最小正周期为265T w ππ==. （2）因为305x π≤≤，所以556366x πππ-≤-≤，则52sin [1,2]36x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()12f x -≤≤，即函数()f x 在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围[]1,2-. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查转化思想以及计算能力，属于基础题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是平行四边形，60ABC ∠=︒，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90,2BAP AB AC PA ∠=︒===．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）若点M 为PD 中点，求直线MC 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2【解析】 【分析】（1）证明PA AB ⊥，推出PA ⊥面ABCD ，得到PA BD ⊥，证明BD AC ⊥，说明BD ⊥面PAC ，即可证明面PBD ⊥平面PAC ．（2）取BC 中点E ，以点A 为原点，分别以, , AE AD AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标系，求出面PBC 的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求解直线MC 与平面PBC 所成角的正弦值．【详解】（1）由题意，因为90BAP ∠=︒，则PA AB ⊥，又侧面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，PA ⊂面PAB ， 所以PA ⊥面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，则PA BD ⊥ 又因为四边形ABCD 为平行四边形，且60, ABC AB AC ∠=︒= 则ABC ∆为等边三角形，则ABCD 为菱形，则BD AC ⊥又PA AC A =I ，则BD ⊥面PAC ，BD ⊂面PBD ，则面PBD ⊥平面PAC ．（2） 取BC 中点E ，以点A 为原点，分别以, , AE AD AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A，,1,0)B -，0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ， 由点M 为PD 中点，()0, 1, 1M ，则0,1),1,2),2)MC PB PC =-=--=-u u u u r u u u r u u u r，设面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r ，则00PB n PC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v，则1,0,2n ⎛= ⎝⎭r 设直线MC 与面PBC 所成角为θ，则||sin |cos ,|14||||MC n MC n MC n θ⋅=〈〉==u u u u r ru u u u r r u u u u r r 所以直线MC 与平面PBC所成角的正弦值为14．【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知函数24,02()(2)2,2x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围． 【答案】（1）2a ≤（2）03a ≤< 【解析】 【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x=-为减函数， 当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=，此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件； 若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件． 综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==， 当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-，不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件； 综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+过点()0, 1A（1）求椭圆C 的方程；（2）过A 作斜率分别为12, k k 的两条直线，分别交椭圆于点, M N ，且122k k +=，证明：直线MN 过定点．【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）利用椭圆C 过点()0, 1A 3, a b ，即可得到椭圆方程． （2）设直线方程为x t =，则()(),, ,M t s N t s -，求得1t =-，当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：y kx b =+，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理以及122k k +=，得到k 与b 的关系，代入直线的方程，即可求解．【详解】（1）由题意，椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+过点()0, 1A ，即211b=，解得1b =，由离心率3c a =222a c b -=，解得2a =，所求椭圆方程为：2214x y +=. （2）当直线MN 斜率不存在时，设直线方程为x t =，则()(),, ,M t s N t s -，则1211,s s k k t t-+==--，所以121122s s k k t t t -++=+==---，解得1t =-， 当直线MN 斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，联立方程组2244x y y kx b⎧+=⎨=+⎩，得222(41)8440k x kbx b +++-=，设1122, , ,()() M x y N x y ，则2121222844,4141kb b x x x x k k -+=-⋅=++ （*）， 则()()121212121212121212122(1)11y x x y x x kx x b x x y y k k x x x x x x +-++-+--+=+==，将*式代入化简可得：288244kb kb -=-，即()()110k b b ---=，整理得1k b =+，代入直线MN 方程，得()()11y b x b b x x =++=++， 即()10b x x y ++-=，联立方程组10x y x +=⎧⎨=⎩，解得1,1x y =-=-，恒过定点()1,1--.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.22.设函数()2ln 1,) (f x ax x x a a R =-+-∈．（1）当0a =时，求证：()f x x ≤；（2）当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）1a ≥ 【解析】 【分析】（1）当0a =时，()ln 1f x x x =--，不等式()f x x ≤化为ln 10x x x ++≥，构造函数()ln 1s x x x x =++，利用导数求函数()s x 的最小值，从而证明不等式成立；（2）方法1：不等式化为2ln 1()ln 1a x x x x +≥+，令()2ln 1g x x x =+，利用导数判断()0g x >，不等式化为2ln 1ln 1x x a x x +≥+，记()2ln 1ln 1x x h x x x +=+，求出()h x 的最大值，即可得出a 的取值范围．方法2：讨论1x =时，()10f ≥，求得a 的取值范围，再证明1a ≥时，()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上()0f x ≥恒成立．【详解】（1）当0a =时，()()ln 1ln 1f x x x x x =--=-+， 要证明()f x x ≤，即证明ln 10x x x ++≥； 记()ln 1s x x x x =++，则1'()ln 1ln 2s x x x x x=+⋅+=+； 当20,()x e -∈时，()'0s x < ，函数()f x 在20,()x e -∈上单调递减；当2,()x e-∈+∞时，()'0s x >，函数()f x 在2,()x e -∈+∞上单调递增；所以()()()222212110s x s ee ee---≥=-++=-≥，即()f x x ≤； （2）方法1：2ln ln 10ax x x x a -+-≥ 即2ln 1()ln 1a x x x x +≥+， 令()2ln 1g x x x =+，令()()'2ln 2ln 10g x x x x x x =+=+=，得12x e -=；所以()g x 在120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调减，在12,x e -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭单调增，则()211221111022g x g e e e --⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=⋅-+=-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2ln 1()ln 1a x x x x +≥+，可化为2ln 1ln 1x x a x x +≥+，记()2ln 1ln 1x x h x x x +=+，则()()2222ln ln 2ln 1'ln 1x x x x x x h x x x -+-+-=+，且()'10h =； 再令()22ln ln 2ln 1F x x x x x x x =-+-+-，当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()2222ln ln 2ln 1ln 12ln 1F x x x x x x x x x x x x =-+-+-=-+-+-， ()22ln 1F x x x x ≥-+-，由（1）可知1ln 1x x ≥-，0x >时成立，1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，221ln 1x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由此22221()ln 111(1)0F x x x x x x x x x ⎛⎫≥-+-≥--+-=-≥ ⎪⎝⎭，()h x 在1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调最新Word增；当,()1x ∈+∞时，()()()22ln 12ln 10F x x x x x x =-+-+-≤，()h x 在,()1x ∈+∞上单调减；因此()()11h x h ≥=，故1a ≥；方法2：当1x =时，()110f a =-≥，由此1a ≥证明如下：当1a ≥时，()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上，()0f x ≥恒成立， ()()2ln 1(ln 1)f x a x x x x =+-+，同法1证明，()2ln 10g x x x =+>，()()()222ln 1ln 1l ()()()n 1ln 1ln 0f x a x x x x x x x x x x x =+-+≥+-+=-≥； 所以()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上，()0f x ≥恒成立，故1a ≥．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明和恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
浙江省金华市2020年高二下学期期中数学试卷(理科)C卷
浙江省金华市2020年高二下学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知复数z=，则对应的点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）用反证法证明“如果，那么”时，假设的内容应是（）A .B .C . 且D . 或3. （2分） (2018高三上·重庆月考) 已知函数设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数的最大值是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二下·中山期末) 已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程为必过点（）A .B .C .D .5. （2分）用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N* ， n＞1）时，第一步应验证不等式（）A . 1+B . 1++C . 1++D . 1+++6. （2分） (2018高二下·牡丹江月考) 有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个.其中，第一个盒子中7个球标有字母A、3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三号盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为（）A . 0.59B . 0.54C . 0.8D . 0.157. （2分）已知集合，，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二下·咸阳期末) 一批种子的发芽率为80%，现播下100粒该种种子，则发芽的种子数X 的均值为（）A . 60B . 70C . 80D . 909. （2分） (2016高二下·信阳期末) 小张、小王、小李三名大学生到三个城市去实习，每人只去一个城市，设事件A为“三个人去的城市都不同”事件B为“小张单独去了一个城市”，则P（A|B）=（）A .B .C .D .10. （2分）由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（）A . 归纳推理B . 类比推理C . 演绎推理D . 以上都不是11. （2分）已知函数，函数若存在，使得成立，则实数的取值范围（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·蚌埠模拟) 已知函数f（x）=cos2 + sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A . （0， ]B . （0，]∪[ ，）C . （0， ]D . （0，]∪[ ， ]二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分）(2013·江苏理) 设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为________．14. （1分）(2017·江西模拟) 已知a= （﹣cosx）dx，则（ax+ ）9展开式中，x3项的系数为________．15. （1分） (2016高二下·郑州期末) 若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）=________．16. （1分） (2016高一上·海安期中) 已知偶函数f（x）在[1，4]上是单调增函数，则f（﹣π）________ ．（填“＞”或“＜”或“=”）三、解答题 (共6题；共35分)17. （5分）(2017·扬州模拟) 设x，y，z均为正实数，且xyz=1，求证： + + ≥xy+yz+zx．18. （5分）已知函数f（x）=的图象过坐标原点O，且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率是﹣5．（Ⅰ）求实数b，c的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值；（Ⅲ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．19. （10分） (2018高二下·济宁期中) 传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏.将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.（1）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否有的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？优秀合格合计大学组中学组合计注：，其中 .（2）若参赛选手共万人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；20. （5分） (2017高二下·荔湾期末) 已知函数f（x）=ax+ （a，b∈R）的图象过点P（1，f（1）），且在点P处的切线方程为y=3x﹣8．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．21. （5分） (2017高二上·清城期末) 现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．22. （5分）(2017·宿州模拟) 设函数f（x）=|x﹣2|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣1时，不等式lnf（x）＞1成立；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题． (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共35分) 17-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、。
浙江省金华市2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试卷(含解析)
浙江省金华市2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若集合,,则( )A.或 B.C. D.2．已知复数( )A.-2B.2C.D.3．若a ,,则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．下列说法错误的个数为( )①已知,若,则②已知,则A.0B.1C.2D.35．科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高,以1开头的数出现的频数约为总数的三成,并提出定律：在大量进制随机数据中,以开头的数出现的概率为.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若,则k 的值为( )A.14B.15C.24D.256．袋中装有5个大小相同的球,其中有2个白球,2个黑球,1个红球,现从袋中每次取出1球,取出后不放回,取得白球得1分,取得黑球得2分,取得红球得3分,直到取到的球的总分大于{ln 0}M x x =>01xN xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭M N = {1x x <-0}x >{1x x -<1}>{}01x x <<{}1x x >z =z z -=4i -4i0b >a b >3ln 3ln a b b a ->-()210X N σ~,()809P X ≥=．()81208P X ≤≤=．153X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()()5093E X D X ==,．b n ()log b bP n =()()*165ln6ln2ln2ln8kn p n k =-=∈+∑N ()*4k k ∈>N ,或等于4分时终止,用X 表示终止取球时所需的取球次数,则( )7．体积为1的正三棱雉的外接球的半径与底面正三角形的边长比的最小值为( )8．已知函数,当大值为M ,有,则实数k 的最大值为( )二、多项选择题9．下列选项中正确的有( )A.已知在,则C.若非零向量,D.已知,,且与夹角为锐角,则的取值范围是10．下列命题错误的是( )A.线性相关模型中,决定系数越大相关性越强,相关系数r 越大相关性也越强B.回归直线至少会经过其中一个样本点C.已知一系列样本点的经验回归方程为,若样本点与的残差相等,则D.以模型去拟合某组数据时,为了求出回归方程,设,将其变换后得到线性方程,则a,b 的值分别为3,411．如图,已知圆台的下底面直径,母线,且,P 是下底面圆周上一动点,则( )()3P X ==()()322111432f x x x a x b a b ⎛⎫=-+-+≥∈ ⎪⎝⎭R ,0x ∈［，(M k ≥ab 5252a b ⋅=)b c a b c⋅≤ a b b = 2b += ()12a = ，()23b = ，a a b λ+ λ58⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2R ()i i x y ,()()i 123i i x y =⋯,，，ˆ2ˆy x a =+()2m ，()3n ,28m n +=e bx y a =ln z y =4ln3z x =+OO '4AB =2BC =AC BC ⊥A.圆台的侧面积为B.圆台C.当点P 是弧中点时,三棱雉的内切球半径D.的最大值为三、填空题12．的展开式中的常数项为____________.13．在锐角三角形中,边长为1,且,则边的长度取值范围是___________.14．某学校举办校庆,安排3名男老师和2名女老师进行3天值班,值班分为上午和下午,每班次一人,其中女老师不在下午值班,且每个人至少要值班一次,则不同的安排方法共有____________种（用数字作答）.四、解答题15．设函数,其中,已知.（1）求的解析式;（2）已知,求的单调递增区间及值域.16．在如图所示的直三棱柱中,,,D ,E 分别是线段,上的动点.（1）若平面,,求的值;OO '6πOO πAB A BCP -23r >2PA PC +922x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ABC BC 2B A =AC ()cos f x x x ωω=-()0,3ω∈π26f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 111ABC A B C -2AB BC ==12AA =BC 11A B //DE 11ACC A 1132B E EA =::CD BD :（2）若三棱柱是正三棱柱,D 是的中点,求二面角余弦值的最小值.17．已知函数,.（1）求曲线在点处的切线方程;（2）讨论的单调性;（3）证明：当时,.18．某超市为促进消费推出优惠活动,为预估活动期间客户投入的消费金额,采用随机抽样统计了200名客户的消费金额,分组如下：,,,,（单位：元）,得到如图所示频率分布直方图：表示）（2）若把消费金额不低于800元的客户,称为“活跃客户”,经数据处理,现在列联表中得到一定的相关数据,求列联表中x,y 的值,并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？（3）为感谢客户,该超市推出免单福利,方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人,从中抽取2人进行免单,试写出总单金额YBC D BE A --()()212ln 22f x x x a x =+++a ∈R ()y f x =()()11f --,()f x 2a <-()234a f x a a ae ++>-[)0200，[)200400，[)400600， []10001200，95%的分布列及其期望.（每一组消费金额按该组中点值估计,期望结果保留至整数.）附：19．已知①设函数的值域是C ,对于C 中的每个y ,若函数在每一处都等于它对应的,这样的函数叫做函数的反函数,记作,我们习惯记自变量为x ,因此可改成即为原函数的反函数.易知与互为反函数,且.如的反函数是可改写成即为的反函数,与互为反函数.②是定义在D 且取值于D 的一个函数,定义,,,,则称是函数在D 上的n 次迭代.例如,则.对于一些相对复杂的函数,为求出其n 次迭代函数,我们引入如下一种关系：对于给定的函数和,若函数的反函数存在,且有,称与关于相似,记作,其中称为桥函数,桥函数满足以下性质：（1）若,则（2）若为的一个不动点,即,则为的一个不动点.（i ）若函数,求（写出结果即可）（ii ）证明：若,则.（iii ）若函数,求（桥函数可选取）,若,试选取恰当桥函数,计算.()()()()()2n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()()y f x x A =∈()g y ()g y x ()()x g y y C =∈()()y f x x A =∈()()1x f y y C -=∈()()1x f y y C -=∈()()1y f x x C -=∈()()1y f x x C -=∈()()y f x x A =∈()()1f f x x -=2x y =2log x y =2log y x =2x y =2log y x =2x y =()f x ()()0f x x =()()()1f x f x =()()()()2f x f f f f x =- ⋯()()()n f x f f f ff f x == ()()n f x ()f x ()f x x a =+()()n f x x na =+()f x ()g x ()x ϕ()1x ϕ-()()1f xg x ϕϕ-= ()f x ()g x ()x ϕf g ϕ~()x ϕf g ϕ~1g fϕ-~0x ()f x ()00f x x =()0x ϕ()g x ()22f x x =()()n f x f g ϕ~()()n n fg ϕ~()22f x x x =+()()n f x ()1x x ϕ=+()2612c x x x =-+()()n c x参考答案1．答案：D解析：,,所以,所以或,所以 或, 所以.故选：D.2．答案：C 解析：,所以.故选：C.3．答案：C解析：由可得,令,,所以 在上单调递增,所以由,即,当时,因为 在 上单调递增, 所以 ,当 ,因为 在 上单调递增,所以 ,所以 “”是“ ”的充要条件.故选:C.4．答案：B 解析：5．答案：A解析：即,{ln 0}{1}M x x x x =>=>∣∣0>(1)0x x +>0x >1x <-{1N x x =<-∣0}x >{1}M N x x => ∣2i12i iz -==--12i =-+4i z z -=-3ln 3ln a b b a ->-3ln 3ln a b a b +>+()3ln (0)x F x x x =+>1()3ln 30x F x x'=+>()F x (0,)+∞3ln 3ln a b a b +>+()()F a F b >a b >()F x (0,)+∞()()F a F b >()()F a F b >()F x (0,)+∞a b >a b >3ln 3ln b a b a ->-161616161656781()log log log log 567kn k p n k=+=++++∑ ()*ln 6ln 2,4ln 2ln 8k k -=∈>+N 16161log log 35k +=,解得.故选: A.6．答案：B解析：由题意,时, 取球的情况为：白白红,白白黑, 白黑白, 白黑黑, 白黑红, 黑白白,黑白黑, 黑白红,所以故选：B.7．答案：D解析：如图, 设正三棱锥的底面边长为,高为,外接球半径为.因为体积为1 ,所以,所以不论外接球的球心在正三棱锥的内部（图1）,外部（图2)还是与G 重合（图3）,其外接球半径均满足,将当且仅当即故选：D.8．答案：C 解析：3=14k =3X =21122211122111(3)54335433354333P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯++⨯⨯+++⨯⨯++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB BC AC a ===GS h =OA OS R ==211132V h =⨯=2a h =2222()3h R R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭2a h ===≥==312a =a =9．答案：BC 解析：10．答案：AB 解析：11．答案：ABD 解析：12．答案：5376解析：的展开式的通项为:,,令,解得: ,所以 的展开式中的常数项为:.故答案为:5376 .13．答案：解析：因为 , 所以 ,由正弦定理得, ,因为,所以 ,因为是锐角三角形,所以,解得,所以,即边的长度取值范围是.故答案为：.14．答案：252解析：若上午值班均为女教师, 则不同的安排方法共有 种,可知下午值班均为男教师,则不同的安排方法共有 种,则不同的安排方法共有 种;922x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()921831992C C (2)rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭0,19r =⋯1830r -=6r =922x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭669C (2)5376-=2B A =sin sin 22sin cos B A A A ==2cos b a A =1a =2cos b A =ABC △π0,2π20,2ππ30,2A B A C A ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-∈⎪ ⎪⎝⎭⎩ππ,64A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2cos b A =∈AC3226-=33A 6=6636⨯=若上午值班有男教师, 则不同的安排方法共有种,①当上午值班的男教师不下午值班时,则不同的安排方法共有 种;②当上午值班的男教师也下午值班时, 则不同的安排方法共有 种;则不同的安排方法共有种;综上所述：不同的安排方法共有种.15．答案：（1）（2）解析：（1）可化为,所以所以,又所以,所以（2）令解得又所以故的单调递增区间为所以所以1333C A 18=3226-=33A 6=18(66)216⨯+=36216252+=()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()[]12f x ∈-，()f x ()π2sin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭2ππsin 2666πf ω⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ2k π662ω--=-+212k ω=-k ∈Z ()03ω∈，0k =2ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()111πππ2π22π262k x k k -≤-≤+∈Z ()111ππππ63k x k k -≤≤+∈Z π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10k =()f x π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ5π2666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，()[]12f x ∈-，解析：方法1.（1）过点E 作,交于M ,连接,如图,由平面,平面,则平面又平面,,且,平面,故平面平面又平面平面,平面平面,所以方法2过点D 作,可得,所以四点共面四边形是平行四边形1//EM A A AB DM 1AA ⊂11AA C C ME ⊄11AA C C //EM 1ACC A 32BM AM ==//DE 11ACC A DE EM E = DE EM ⊂DEM //DEM 11ACC A DEM ABC DM =11A ACC ABC AC =//DM ACBD CD ==23=//MD AB //MD AE 1MDEA 11111111////A ED AA C C AA C C EA MD A M ED A M ED E MD⎧⎪=∴⎨⎪⊂⎩平面平面平面，平面∴1EA MD 1A E MD ∴=25DM CD AB CB ===23=（2）过D 作,垂足为G ,正三棱雉可得平面,再过作,垂足为N ,连接,则即为二面角的平面角.当E 位于时故二面角方法2：取的中点O 由正三棱锥得平面如图建立空间直角坐标系,,,设平面的法向量令平面法向量DG AB⊥DG ⊥11A ABB GGN BE ⊥DN ,EB NG EB DG EB DGN EB ND NG DG G ⊥⊥⎧⇒⊥⇒⊥⎨=⎩平面 DNG ∠B AE D --cos GN DNG DN ∠===1A min DG =min DNG ∠==B AE --BA OC ⊥11AA B B()2,,0E t ()0,1,0B -[]10112D t ⎛-∈- ⎝，，()21,0BE t =+ ,102BD ⎛= ⎝ ，DEB ()n x y z =,, ()102210BD n y z BE n x t y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=++=⎩y =)11t ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11AA B B ()001m =，，当时取到17．答案：（1）（2）时增区间为,当时单调递增区间为,单调递减区间为（3）见解析解析：（1）令又过点直线方程为可化为（2）当,在上恒成立,故在上单调递增;当时,令得令得故在上单调递增,在上单调递减综上所述：时增区间为当时单调递增区间为,单调递减区间为（3）证明：不等式可化为恒成立由（2）知,当时,,令,cos cos ,m n θ== 1t =min cos θ=()112ya x a =++-0a ≥()2,-+∞0a <()2-++∞(22--，()()()222222x a a f x x x x x '++=++=>-++()111x k f a='=--=+,31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭-()()3112y a x +=++()112y a x a =++-()()()2222x af x x x ++=+'>- 0a ≥()0f x '>()2,x ∈-+∞()f x ()2,-+∞0a <()0f x '>2x >-+()0f x '<22x -<<-()f x ()2-++∞(2,2--+0a ≥()2,-+∞0a <()2-++∞(22--，()2340a f x a a ae ++-+>2a <-()(()min 112ln 222f x f a a a =-+=-+--()()()222min 154343ln 222a a a f x a ae a f x a ae a a a a ae a ++-+≥++-+=-+-++()()215ln 222a g a a a a ae a =-+-++则.令则.因为,所以所以在上单调递增.所以,所以,所以在上单调递减.因为,所以,所以,即当时,.18．答案：（1）620（2）有的把握与性别有关（2）列联表如下因此有的把握与性别有关.（3）可视作抽出消费900元8人,消费1100元4人()()12ln 32a a g a a a e ae =+---+'()()12ln 32a a h a a a e ae =+---+()()1222a h a e a a=+-+'2a <-()0h a '>()h a ()2∞--，()()2121ln202h a h e -<-=-++<()0g a '<()g a ()2-∞-，()22ln2210g e --=-++>()()20g a g >->()()()22min 43430a a f x a ae a f x a ae a g a ++-+≥++-+=>2a <-()234a f x a a ae ++>-95%100013000155000270002590002110001620=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．()2220012003200952410010060140χ⨯-==⨯⨯⨯．23841χ>．95%19．答案：（1）（2）成立（3）见解析解析：（1）（2）因为,有,即所以有,即由数学归纳法或递推法可知成立.（3）根据相似函数不动点也相似,桥函数选取时可令不动点为一解,当,可选取桥函数（不唯一）,易得由（2）可知,即有.当,选取桥函数,.易得由（2）可知,,即有.()141611800200022001933333311E Y =⨯+⨯+⨯≈2122n n x -⋅()()n n f g ϕ~()()2122n n n f x x -=⋅f g ϕ~1f g ϕϕ-= f g ϕϕ= 1f f g f g g g g ϕϕϕϕϕϕ-=== ()()22fg ϕ~()()n n f g ϕ~()22f x x x =+()1x x ϕ=+()()()211121,11211x x g f f x x x ϕϕϕϕ---=-==+=-+-+= ()2n n g x =()()n n fg ϕ~()()()()2n 1111nn n f g g x ϕϕϕ-==-=+- ()2612c x x x =-+()3x x ϕ=-()1123x x g f x ϕϕϕ--=+==, ()2n n g x =()()n n f g ϕ~()()()2133n n n f g x ϕϕ-==-+。
2020浙江高二下学期期中联考数学试题含答案
2020浙江⾼⼆下学期期中联考数学试题含答案数学试题注意事项：1. 本科⽬考试分试题卷和答题卷，考⽣须在答题卷上作答。
2. 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共40分）⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。
）1．若全集{}2,1,0,1-=U ，{}3|2<∈=x Z x A ，则=A C U （▲）A.{}2B.{}2,0C.{}2,1-D.{}2,0,1-2．已知复数z 满⾜i z i 31)1(-=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平⾯内对应的点在（▲） A. 第⼀象限 B. 第⼆象限 C. 第三象限 D. 第四象限3．已知 2log ,0()3,0x x x f x x >?=?≤?，则=)]21([f f （▲）A. 13-B. 13C. 3D. 3-4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平⾯，则下列命题正确的是（▲） A. 若//,//m n αα，则//m n B. 若//,mααβ⊥，则m β⊥C. 若//,//m m αβ，则//αβD. 若//,,m n m n αβ⊥?，则αβ⊥5．等⽐数列{}n a 中，01>a ，则“31a a <”是“41a a <”的（▲）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分⼜不必要条件 6．若某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积是（▲）2cmA. 5B. 325+C. 225+D. 77．已知21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a b ya x 的左、右焦点，若双曲线右⽀上存在点A ，使1230F AF ∠=o ，且线段1AF 的中点在y 轴上，则双曲线的离⼼率是（▲）42251055俯视图左视图正视图A. 32+B. 3C.332 D. 32 8．把函数()cos()(0)6f x x π23π个单位长度后与原图像重合，则当ω取最⼩值时，()f x 的单调递减区间是（▲） A.5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ B.7[,]()1212k k k Z ππππ--∈ C.225[,]()318318k k k Z ππππ-+∈ D.272[,]()318318k k k Z ππππ--∈ 9．在ABC ?中，⾓C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则)32sin(π+B 的最⼩值是（▲）A. 0B. 1-C.23 D. 23- 10．设函数)(x f 的定义域为D ，若存在闭区间D b a ?],[，使得函数)(x f 满⾜：①)(x f 在],[b a 上是单调函数；②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，则称区间],[b a 是函数)(x f 的“和谐区间”．下列结论错．误．的是（▲） A. 函数)0()(2≥=x x x f 存在“和谐区间” B. 函数)(3)(R x x x f ∈+=不存在“和谐区间” C. 函数)0(14)(2≥+=x x xx f 存在“和谐区间” D. 函数)81(log )(-=x c c x f （0>c 且1≠c ）不存在“和谐区间”第Ⅱ卷（⾮选择题部分，共110分）⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．椭圆22143x y +=的长轴长是▲，离⼼率是▲． 12．设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ．则=n a ▲；数列{}n a 的前n 项和n S 取得最⼤值时，=n ▲．≤-≥-+≥+-020101x y x y x ，则y x z +=2的最⼤值为▲；22)1()1(++-y x 的最⼩值为▲．14. 若函数221,0(),0(2),0x x x f x a x g x x ?+->?==??为奇函数，则=a ▲，=-)]2([g f ▲．15. 已知)cos()(m x x x f ++=为奇函数，且m 满⾜不等式01582<+-m m ，则实数m 的值为▲．16.正⽅体1111D C B A ABCD -中，点P 在线段C A 1上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成⾓的取值范围是▲．17．设M 是ABC ?内⼀点，32=?，?=∠60BAC ，定义),,()(p n m M f = 其中p n m ,,分别是MAB MAC MBC ,,的⾯积，若),,2()(y x M f =，a yx =+41，则a a 22+的取值范围是▲．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共74分。
浙江省2020-2021学年高二数学下学期期中试题(含解析)
高二数学下学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，集合{}1,3,4,6B =，则集合U A B ⋂=（）ð（ ）A. {}3B. {}2,5C. {}1,4,6D. {}2,3,5【答案】B【解析】 {}2,3,5A =,{}2,5U B =ð,则{}2,5U A B⋂=（）ð,故选B. 考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.2.已知函数2,0(){,0x x f x x x ≥=-<，则((2))f f -=（ ） A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求得(2)2f -=，进而可求得[(2)]f f -的值，得到答案． 【详解】由题意，函数2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，可得(2)2f -=，所以()2[(2)]224f f f -===，故答案为4． 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中合理应用分段函数的解析式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.函数2()2f x x x =-的单调增区间是（ ）A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. RD. 不存在 【答案】B【解析】【分析】求出二次函数的对称轴即得函数的增区间.【详解】由题得2()1)1f x x =--（，所以函数的增区间为1+∞（，）， 故选：B【点睛】本题主要考查二次函数的单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若函数()(31)5f x k x =-+在R 上是增函数，则k 的范围是( ) A. 1(,)3-∞- B. 1(,)3-+∞ C. 1(,)3+∞ D. 1(,)3-∞ 【答案】C【解析】【分析】直接利用一次函数的单调性求解.【详解】因为函数()(31)5f x k x =-+在R 上是增函数， 所以1310,3k k ->∴>. 故选：C【点睛】本题主要考查一次函数单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.下列函数求导运算正确的个数为( )①3(3)3log x x e '=；②21(log )ln 2x x '=③()x x e e '=；④1()ln x x '=；⑤()31x x x e '⋅=+A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】 根据()x x a a lna '=，1(log )x a xlna '=，1()lnx x'=即可作出判断． 【详解】①(3)33x x ln '=，故错误； ②21(log )2x x ln '=g ，故正确； ③()x x e e '=，故正确； ④211()lnx x ln x'=-g ，故错误； ⑤()x x x x e e x e '=+g g，故错误． 故选：B ．【点睛】此题考查了求导的运算．要求学生掌握求导法则，锻炼了学生的计算能力，是一道基础题．6.下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是( )A. ()3f x x =-B. 2()3f x x x =- C. ()1f x x =-+ D.()f x x=【答案】D【解析】【分析】 利用函数的图像判断每一个选项得解.【详解】A. ()3f x x =-,在(0,)+∞上为减函数；B. 2()3f x x x =-，在(0,)+∞上不是单调函数；C. ()1f x x =-+，在(0,)+∞上为减函数；D. ()f x x =，在(0,)+∞上为增函数.故选：D【点睛】本题主要考查函数的图像和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A. 2 B. 12 C. 12- D. 2- 【答案】D【解析】 【详解】32221(1)221,|(1)(1)(31)2x x x y y x x =--+==-=-=----'',直线10ax y ++=的斜率为-a.所以a=-2, 故选D8.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A. 3y x =B. 2y x =C. x y xe -=D. 2y x x=+ 【答案】D【解析】【分析】根据函数的图像和奇函数的判定方法，极值的判定方法分析每一个选项得解.【详解】A. 3y x =，由函数的图像得函数是奇函数，但是不存在极值，故该选项错误；B. 2y x =，由函数的图像得函数是偶函数，故该选项错误；C. x y xe -=，()()()x f x x e f x -=-≠-，所以该函数不是奇函数，故该选项错误；D. 2y x x=+,22()()()f x x x f x x x -=--=-+=-，所以该函数是奇函数，由函数图像得函数在)∞+∞（-上是增函数，在（上是减函数，所以函数存在极值.故该选项是正确的.故选：D【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断和极值的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知函数32()(6)1f x x x a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A. (1,2)-B. (,3)(6,)-∞-+∞UC. (3,6)-D. (,1)(2,)-∞-+∞U【答案】B【解析】2()326f 'x a x ax =+++根据题意可得： 2412(6)(3)(6)0a a a a ∆=-+=+->，解得6a >或3a <-，故选C. 点睛：由函数的极值点的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为0，其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号，我们称之为导函数的“变号零点”，则为函数的极值点，所以研究函数的极值点只需研究导函数的图像能“穿过”x 轴即可.10.已知()ln f x x =，217()(0)22g x x mx m =++<，直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ，则m 的值为( )A. 2-B. 3-C. 4-D. 1-【答案】A【解析】【分析】先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果. 【详解】1()f x x '=Q ， 直线l 是函数()f x lnx =的图象在点(1,0)处的切线，∴其斜率为k f ='（1）1=，∴直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图象相切， ∴211722y x y x mx =-⎧⎪⎨=++⎪⎩，消去y ，可得219(1)022x m x +-+=， 得△2(1)902(4m m m =--=⇒=-=不合题意，舍去），故选：A【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.设集合{1,}A m =，{2,3}B =，若{3}A B ⋂=，则m =________；A B =U _________.【答案】 (1). 3 (2). {1,2,3}【解析】【分析】由{3}A B ⋂=求出m 的值，再求A B U .【详解】因为{3}A B ⋂=，所以m=3.所以={12,3}A B U ，. 故答案为：3，{1,2,3}【点睛】本题主要考查集合交集并集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.曲线ln y x =在点(,1)M e 处的切线的斜率是__________ ；切线方程为_________．【答案】 (1).1e (2). 0x ey -=【解析】【分析】利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切线的方程. 【详解】由题得11(),f x k x e '=∴=， 所以切线的斜率为1e， 所以切线的方程为11(),0y x e x ey e -=-∴-= 故答案为：10x ey e -=；【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.若函数321()3f x x x =-在[1,1]-，则函数的最小值是 _______ ；最大值是_________. 【答案】 (1). 43-(2). 0 【解析】【分析】 先求出函数的导数2()=2f x x x '-，再令2()=2=0f x x x '-得x=2（舍去）或0，再比较端点和极值点的函数值的大小，即得函数的最值.【详解】由题得2()=2f x x x '-， 令2()=2=0f x x x '-得x=2（舍去）或0， 因为42(1),(0)0,f(1)33f f -=-==-， 所以函数的最小值是43-，最大值为0. 故答案为：4;0.3-【点睛】本题主要考查利用导数求函数在闭区间上的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知函数321()(1)253f x x f x x '=-++，则(1)f '=______ ；(2)f '=_________.【答案】 (1). 1 (2). 2【解析】【分析】由题得2()2(1)2f x x f x ''=-+，再依次求出(1),(2)f f ''.【详解】由题得2()2(1)2f x x f x ''=-+， 所以(1)12(1)2(1)=1f f f '''=-+∴，所以2()22f x x x '=-+，所以(2)442=2f '=-+.故答案为：1；2【点睛】本题主要考查求导，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知21()ln(2)2f x x b x =-++在(1,)-+∞单调递减，则b 的取值是________. 【答案】(-∞，1]-.【解析】【分析】由函数在(1,)-+∞上是减函数，得()0f x '…，求导后分离参数b 得答案. 【详解】由题意可知()02b f x x x '=-++…在(1,)x ∈-+∞上恒成立， 即(2)b x x +…在(1,)x ∈-+∞上恒成立，令2()(2)2f x x x x x =+=+，(1,)x ∈-+∞，()1f x ∴>-，∴要使(2)b x x +…，需1b -…，故b 的取值范围为(-∞，1]-.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知函数32()1(0,0)32x b f x x ax a b =-++>>，则函数'()()ln f x g x a x a =+在点(,())b g b 处切线的斜率的最小值是________．【答案】2【解析】【分析】 根据已知条件得到()()f x g x alnx a'=+的导函数，根据限制性条件0a >，0b >和基本不等式 进行解答． 【详解】因为()()f x g x alnx a '=+， 所以2()a x b g x x a -'=+． 又因为0a >，0b >，所以g '（b ）22a b b a a b a b b-=+=+…， 所以斜率的最小值是2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．17.若函数()f x 同时满足：(1)对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；(2)对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有，1212()()0f x f x x x -<-则称函数()f x 为“理想函数”．给出下列四个函数中：①1()f x x =； ②2()f x x =； ③21()21x f x x -=+；④22,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩，则被称为“理想数”的有________(填相应的序号)．【答案】（4）【解析】分析】由“理想函数”的定义可知：若()f x 是“理想函数”，则()f x 为定义域上的单调递减的奇函数，将四个函数一一判断即可．【详解】若()f x 是“理想函数”，则满足以下两条：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，则函数()f x 是奇函数；②对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有1212()()0f x f x x x -<-，1212()[()()]0x x f x f x --<，12x x ∴<时，12()()f x f x >，即函数()f x 是单调递减函数． 故()f x 为定义域上的单调递减的奇函数．（1）1()f x x=在定义域R 上既是奇函数，但不是减函数，所以不是“理想函数”； （2）2()f x x =在定义域上是偶函数，所以不是“理想函数”；（3）21()21x f x x -=+不是奇函数，所以不是“理想函数”； （4）220()0x x f x xx ⎧-=⎨<⎩…，在定义域R 上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”． 故答案为：（4） 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，主要考查函数的奇偶性和单调性，注意运用定义法是解题的关键，属于中档题三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.设全集U =R ，集合{}26A x x =-<<，{}12B x x =<<.(1)求集合U C B ；(2)求集合U A C B ⋂．【答案】(1){|12}x x x ≤≥或;(2){-2<x 12x<6}≤≤或.【解析】分析】(1)利用补集定义求解；（2）利用交集的定义求解.【详解】（1）由题得={|12}U C B x x x ≤≥或.（2）由题得={x|-2<x 12x<6}U A C B ≤≤I 或.【点睛】本题主要考查补集交集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知函数32()f x x ax b =++满足(1)0f =且在2x =时函数取得极值．（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 单调递减区间.【答案】(1)a=-3,b=2;（2）(0,2)【解析】【分析】（1）通过f '（2）0=及f （1）0=，计算即得结论；（2）通过对函数32()32f x x x =-+求 导，进而可判断单调递减区间.【详解】（1）32()f x x ax b =++Q ，2()32f x x ax ∴'=+，Q 函数()f x 在2x =时函数取得极值，f ∴'（2）0=，即1240a +=，3a ∴=-，又f Q （1）130b =-+=，2b ∴=，综上3a =-、2b =；（2）由（1）可知32()32f x x x =-+，2()363(2)f x x x x x ∴'=-=-，02x <<Q 时，()0f x '<，∴函数()f x 在(0,2)上单调递减；∴函数()f x 的单调递减区间为：(0,2).【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知函数()ln 2f x x x =+.（1）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）若函数()y f x ax =+在区间 (),e +∞上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 10x y -+=;（2）2a -….【解析】【分析】（1）求得()f x 的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）设函数()()2F x f x ax xlnx ax =+=++，求得导数，由题意可得在区间(,)e +∞上，()0F x '…恒成 立，结合指数函数的值域，及恒成立思想可得a 的范围；【详解】（1）求导得()1f x lnx '=+，又因为f （1）2=，f '（1）1=，所以曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为10x y -+=；（2）设函数()()2F x f x ax xlnx ax =+=++，求导，得()1F x lnx a '=++，因为函数()()F x f x ax =+在区间(,)e +∞上单调递增，所以()10F x lnx a '=++…在区间(,)e +∞上恒成立， 即1a lnx --…恒成立，又因为函数()1h x lnx =--在区间(,)e +∞上单调递减，所以()h x h <（e ）2=-，所以2a -….【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查构造函数法，以及转化思想，考查化简整理的运算能力，属于综合题．21.已知函数()ln x a f x x x-=-，其中a 为常数． （1）若曲数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线y=-x+1平行，求函数()f x 极小值；（2）若函数()f x 在区间[1,3]上的最小值为13，求a 的值． 【答案】(1)ln2；（2）13e .【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数，由已知可得f '（1）11a =-=-，即2a =，再利用导数求函数 的极小值；（2）由（1）知，分类讨论求出函数的单调性，再求出函数最小值即得解.【详解】（1）由()x a f x lnx x -=-，得221()x x a x a f x x x x -+-'=-=， Q 函数()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与直线y=-x+1平行，f ∴'（1）11a =-=-，即2a =.此时函数的增区间为（2，+∞），减区间为（0，2），所以函数的极小值为(2)ln 2f =.（2）由（1）知，当1a …时，()0f x '…在[1，3]上恒成立，()f x 在[1，3]上为增函数， ∴1()(1)13min f x f a ==-=，得413a =>（舍)；当13a <<时，由()0f x '=，解得(1,3)x a =∈，当(1,)x a ∈时，()0f x '<，当(,3)x a ∈时，()0f x '>， ()f x ∴在(1,)a 上为减函数，()f x 在(,3)a 上为增函数， ∴1()()3min f x f a lna ===，解得13a e =； 当3a …时，()0f x '<在(1,3)上恒成立，()f x 在(1,3)上为减函数， ∴1()(3)3133min a f x f ln ==+-=，解得4332a ln =-<（舍)． 综上，13a e =．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．22.已知函数()22f x x a x x =-+，a R ∈.(1)若0a =，判断函数()y f x =的奇偶性，并加以证明；(2)若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）-1≤a ≤1.【解析】【分析】（1）若0a =，根据函数奇偶性的定义即可判断函数()y f x =的奇偶性；（2）根据函数单调 性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a 的取值范围；【详解】（1）函数()y f x =为奇函数．当0a =时，()||2f x x x x =+，()||2()f x x x x f x ∴-=--=-，∴函数()y f x =为奇函数；（2）22(22),2()(22),2x a x x a f x x a x x a ⎧+-=⎨-++<⎩…， 当2x a …时，()f x 的对称轴为：1x a =-； 当2x a <时，()y f x =的对称轴为：1x a =+；∴当121a a a -+剟时，()f x 在R 上是增函数，即11a -剟时，函数()f x 在R 上是增函数. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，掌握分段函数的性质是解决本题的关键．综合性较强．。
2020年浙江省高二(下)期中数学试卷解析版
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集U={-2，-1，0，1，2}，A={y|y=|x|，x∈U}，则∁U A=（ ）A. {0，1，2}B. {-2，-1，0}C. {-1，-2}D. {1，2}2.若向量与向量是共线向量，且，则=（ ）A. （6，-3）B. （-6，3）C. （6，-3）或（-6，3）D. （3，-6）或（-3，6）3.若，则等于（ ）A. B. C. D.4.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）=-f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=x2+1，则f（7）=（ ）A. 2B. -2C. 1D. -15.函数f（x）=e-x ln|x|的大致图象为（ ）A. B.C. D.6.可导函数f（x）在区间（a，b）上的图象连续不断，则“存在x0∈（a，b）满足f'（x0）=0”是“函数f（x）在区间（a，b）上有最小值”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.从数字1到9中任取3个数字，要求既有奇数也有偶数，组成一个没有重复数字的三位数，则满足条件的三位数的个数共有（ ）A. 420B. 840C. 140D. 708.设向量满足，，，，则的最大值等于（ ）A.1 B.2 C. D.9.设F为抛物线C：y2=8x的焦点，过点P（-2，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若，则|AB|=（ ）A. B. C. D.10.已知函数，当x+y=2019时，恒有f（x）+f（2019）＞f（y）成立，则x的取值范围是（ ）A. B. C. （-∞，0） D. （1，+∞）二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知复数z满足（i是虚数单位），则z2=______；|z|=______．12.计算：=______；满足的实数x的取值范围是______．13.已知双曲线，A1，A2分别是双曲线的左、右顶点，M（x0，y0）是双曲线上除两顶点外的一点，直线MA1与直线MA2的斜率之积是，则双曲线的离心率为______；若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，则双曲线的方程为______．14.二项式（1-2x）5的展开式中系数最大的项为______；已知，则a1-2a2+3a3-4a4+5a5=______．15.已知向量，向量在向量上的投影为3，且，则=______．16.3名男生和3名女生共6人站成一排，若男生甲不站两端，且不与男生乙相邻，3名女生有且只有2名女生相邻，则不同排法的种数是_____．（用数字作答）17.已知不等式（e-a）e x+x+b+1≤0恒成立，其中e为自然常数，则的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.设函数的图象关于直线x=π对称，其中常数．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间上的取值范围．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=60°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2．（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）若点M为PD中点，求直线MC与平面PBC所成角的正弦值．20.已知函数，其中a为实数．（1）若函数f（x）为定义域上的单调函数，求a的取值范围．（2）若a＜7，满足不等式f（x）-a＞0成立的正整数解有且仅有一个，求a的取值范围．21.已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（0，1），且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过A作斜率分别为k1，k2的两条直线，分别交椭圆于点M，N，且k1+k2=2，证明：直线MN过定点．22.设函数f（x）=（ax2-x）ln x+a-1，a∈R．（1）当a=0时，求证：f（x）≤x；（2）当时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A={0，1，2}；∴∁U A={-2，-1}．故选：C．可求出集合A，然后进行补集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及补集的运算．2.【答案】C【解析】解：∵与共线；∴存在实数λ，使；又；∴；∴λ=±3；∴或（-6，3）．故选：C．根据与共线可设，再根据即可求出λ，从而得出向量的坐标．考查共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，根据向量坐标求向量长度的方法．3.【答案】A【解析】解：，则=sin（-）=，故选：A．直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+4）=-f（x），则有f（x+8）=-f（x+4）=f （x），则函数f（x）是周期为8的周期函数，则f（7）=f（-1），又由函数为奇函数，则f（-1）=-f（1）=（-1）2+1=2，则f（-1）=-2，即f（7）=-2；故选：B．根据题意，由f（x+4）=-f（x）分析可得f（x+8）=-f（x+4）=f（x），则函数f（x）是周期为8的周期函数，据此可得f（7）=f（-1），结合函数的周期性与奇偶性分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，关键分析函数的周期，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，由f（x）=0得ln|x|=0，得x=1或x=-1，f（x）=e-x ln|x|=，当x＞0时，e-x的变化速度大于ln|x|的变化速度，此时f（x）为增函数，但增长速度越来越慢，排除A，C，当x→-∞，f（x）→+∞，排除D，故选：B．结合指数函数和对数函数的变化速度，结合结合极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合指数函数和对数函数变化率的关系以及极限思想以及利用排除法是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：“存在x0∈（a，b）满足f'（x0）=0”是函数f（x）在区间（a，b）上有极值点的必要非充分条件．∴“存在x0∈（a，b）满足f'（x0）=0”是“函数f（x）在区间（a，b）上有最小值”的必要非充分条件．故选：B．“存在x0∈（a，b）满足f'（x0）=0”是函数f（x）在区间（a，b）上有极值点的必要非充分条件．即可判断出结论．本题考查了函数有极值点的充要条件、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查排列组合的应用，结合条件分1个奇数，2个偶数和2个奇数，1偶数是解决本题的关键．根据奇数和偶数的个数分1个奇数，2个偶数和2个奇数，1偶数，然后进行全排列即可．【解答】解：9个数字中奇数为1，3，5，7，9，偶数为2，4，6，8，三位数要求既有奇数也有偶数，则若1个奇数，2个偶数，有C C A=180，若2个奇数，1个偶数，有C C A=240，共有180+240=420，故选：A．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量的加减运算和数量积的坐标表示，考查圆的方程的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题．由题意可设=（1，0），=（0，2），=（x，y），运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及圆的性质，可得所求最大值．【解答】解：向量满足，，，可设=（1，0），=（0，2），=（x，y），，可得（x，y）•（1-x，2-y）=x（1-x）+y（2-y）=0，即为x2+y2-x-2y=0，可得圆（x-）2+（y-1）2=，即圆心（，1），半径为，经过原点（0，0），则的最大值为2r=，故选：D．9.【答案】D【解析】解：设直线l的方程为y=k（x+2），A（x1，y1）、B（x2，y2）、Q（x0，y0）．解方程组，化简得：k2x2+（4k2-8）x+4k2=0，∴x1+x2=，x1x2=4，y1+y2=k（x1+x2+4）=，∴x0=，y0=，由=4，∴k=±．|AB|=|x2-x1|=•=16．故选：D．设直线l的方程为y=k（x+2），A（x1，y1）、B（x2，y2）、Q（x0，y0）．解方程组，得：k2x2+（2k2-4）x+k2=0，由此利用韦达定理、点到直线距离公式能求出直线的斜率．然后利用弦长公式求解即可．本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、点到直线距离公式的合理运用．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，也考查了分类讨论思想，属于中档题．判断f（x）在R上是奇函数且为减函数，据此对x进行分情况讨论，分析f（x）+f（2019）＞f（y）是否成立，从而求得答案．【解答】解：函数f（x）=-log2（+x）-3x，定义域为R，且满足f（-x）=-log2（-x）+3x=log2（+x）+3x=-f（x），∴函数y=f（x）为定义在R上的奇函数，则有f（0）=0，又由f（x）在[0，+∞）单调递减，则f（x）在（-∞，0]上也为减函数，则f（x）在R上为减函数，则f（2019）＜0，当x＜0时，y=2019-x＞2019，即f（x）＞f（2019）＞f（y），则恒有f（x）+f（2019）＞f（y）成立，当x=0时，y=2019，此时f（x）+f（2019）=f（2019）=f（y），f（x）+f（2019）＞f（y）不成立，当x＞0时，y=2019-x＜2019，此时不能满足f（x）+f（2019）＞f（y）恒成立，所以x的取值范围是（-∞，0）．故选C．11.【答案】2i；【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简z，进一步求得z2，再由复数模的计算公式求|z|．【解答】解：∵=，∴z2=（-1-i）2=2i，|z|=．故答案为2i；．12.【答案】【解析】解：=；由=log x x，当0＜x＜1时，得x，不合题意；当x＞1时，得1＜x＜．∴实数x的取值范围是．故答案为：；．利用对数的换底公式及对数的运算性质求；把化为同底数，然后分类利用对数的运算性质求解．本题考查对数的运算性质，考查对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．13.【答案】；【解析】解；设M（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线+=1（a＞0，b＞0）上一点，则-=1，得到=，故=，又A1（-a，0），A2（a，0），∴•=•===，则=∴e===，其渐近线的方程为y=±x，即y=±x，设双曲线的一个焦点坐标为（c，0），则双曲线的焦点到其渐近线的距离=4，∴c=5，∵c2=a2+b2，∴a2=9，b2=16，故双曲线的方程为-=1，故答案为：；-=1根据M（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线上一点，代入双曲线的方程，A1、A2是双曲线的左右顶点，直线MA1与直线MA2的斜率之积是，求出直线MA1与直线MA2的斜率，然后整体代换，消去x0，y0，再由c2=a2+b2，即可求得双曲线的离心率，再根据双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，即可求出双曲线的方程．本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，主要是离心率的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．14.【答案】80x4 -810【解析】解：二项式（1-2x）5的展开式中通项公式：T r+1=（-2x）r=（-2）r x r．由，解得：r=4．最大的项为T5=（-2）4×x4=80x4．，两边求导可得：-2×5×（1-2x）4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4．令x=-1，可得：a1-2a2+3a3-4a4+5a5=-2×5×[1-2×（-1）]4=-810．故答案为：80x4，-810．二项式（1-2x）5的展开式中通项公式：T r+1=（-2x）r=（-2）r x r．由，解得：r．即可得出最大的项．，两边求导可得：-2×5×（1-2x）4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4．令x=-1，即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式、导数运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】7【解析】解：根据条件：，且；∴；∴；解得或-1（舍去）．故答案为：7．根据条件即可得出，然后对两边平方即可得出，解出即可．考查向量数量积的运算及计算公式，向量投影的计算公式，向量坐标的数量积运算．16.【答案】168【解析】【分析】本题考查排列组合及简单的计数原理，本题解题的关键是在计算时要做到不重不漏，属于基础题．根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置；若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5的位置，据此分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置；若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5的位置；分4种情况讨论：①，甲在2号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在4、5、6号位置，若乙在4号或5号位置，只有2个位置是相邻的，有种排法，若乙在6号位置，有种排法，此时有24+12=36种排法；②，甲在5号位置，同理①，有36种排法；③，甲在3号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在1、5、6号位置，若乙在1号位置，有种排法，若乙在5号位置，有种排法，若乙在6号位置，有种排法，则此时有12+12+24=48种排法；④，甲在4号位置，同理③，有48种排法；则有36+36+48+48=168种不同的排法；故答案为：168．17.【答案】【解析】解：令f（x）=（e-a）e x+x+b+1，f′（x）=（e-a）e x+1，当a≤e时，f′（x）＞0，不合题意，舍去；当a＞e时，由f′（x）=0，得x=-ln（a-e），当x∈（-∞，-ln（a-e））时，f′（x）＞0，当x∈（-ln（a-e），+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）的最大值为f（-ln（a-e）），即f（-ln（a-e））≤0，则（e-a）•e-ln（a-e）-ln（a-e）+b+1≤0，整理得：ln（a-e）-b≥0，即b+1≤ln（a-e）+1，，问题转化成求g（x）=（x＞e）的最大值．g′（x）=，令h（x）=e-（x-e）ln（x-e）（x＞e），则h′（x）=-ln（x-e）-1，由h′（x）=0，得x=e+．∴当x∈（e，e+）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（e+，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．当x=e+时，h（e+）=e+．且当x→e时，h（x）＞0，h（2e）=0，据此可知，g（x）在区间（e，2e）上单调递增，在（2e，+∞）上单调递减．即g（x）的最大值为g（2e）=．∴的最大值为．故答案为：．令f（x）=（e-a）e x+x+b+1，求其导函数，可得当a≤e时，f′（x）＞0，不合题意，舍去；当a＞e时，求得f（x）的最大值为f（-ln（a-e）），得（e-a）•e-ln（a-e）-ln（a-e）+b+1≤0，整理得：ln（a-e）-b≥0，可得b+1≤ln（a-e）+1，，问题转化成求g（x）=（x＞e）的最大值，利用导数求其最大值为g（2e）=，则的最大值为．本题考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题．18.【答案】解：（1）函数=sin2ωx-cos2ωx=，，…………………………………（3分）函数的图象关于直线x=π对称，∵f（π）=±2，，，，∴，…………………………………（6分）最小正周期为…………………………………（7分）（2）∵，∴…………………………………（10分）∴∈[-1，2]，∴-1≤f（x）≤2…………………………………（14分）【解析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后求解ω，即可求解函数的周期．（2）通过角的范围，求解相位的范围，利用正弦函数的最值求解即可．本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】（1）证明：因为∠BAP=90°，则PA⊥AB，又侧面PAB⊥底面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，PA⊂面PAB，则PA⊥面ABCD…………………………………………………………（2分）BD⊂面ABCD，则PA⊥BD又因为四边形ABCD为平行四边形，且∠ABC=60°，AB=AC则△ABC为等边三角形，则ABCD为菱形，则BD⊥AC…………………………………………………………（5分）又PA∩AC=A，则BD⊥面PAC，BD⊂面PBD，则面PBD⊥面PAC．…………………（7分）（2）取BC中点E，以点A为原点，分别以AE，AD，AP为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，0，0），由点M为PD中点，M（0，1，1）则，……………………………（9分）设面PBC的法向量为，则，则……………………（12分）设直线MC与面PBC所成角为θ，则所以直线MC与平面PBC所成角的正弦值为．……………………………（15分）（其它方法酌情给分）【解析】（1）证明PA⊥AB，推出PA⊥面ABCD，得到PA⊥BD，证明BD⊥AC，说明BD⊥面PAC，即可证明面PBD⊥面PAC．（2）取BC中点E，以点A为原点，分别以AE，AD，AP为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，求出面PBC的法向量，直线MC与面PBC所成角为θ，利用空间向量的数量积求解直线MC与平面PBC所成角的正弦值．本题考查直线与平面所成角的求法直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20.【答案】解：（1）当0＜x≤2时，为减函数，当x＞2时，f（x）=-x2+（a+2）x-2a，若a≤2时，f（x）=-x2+（a+2）x-2a也为减函数，且f（x）＜f（2）=0，此时函数f（x）为定义域上的减函数，满足条件；若a＞2时，f（x）=-x2+（a+2）x-2a在上单调递增，则不满足条件．综上所述，a≤2．（2）f（1）=3，f（2）=0，当a＜0时，f（2）=0＞a，f（1）=3＞a，不满足条件；当0≤a≤2时，f（x）为定义域上的减函数，仅有f（1）=3＞a成立，满足条件；当2＜a＜3时，在0＜x≤2上，仅有f（1）=3＞a，对于x＞2上，f（x）的最大值为，不存在x满足f（x）-a＞0，满足条件；当3≤a＜7时，在0＜x≤2上，不存在整数x满足f（x）-a＞0，对于x＞2上，-a=＜-，不存在x满足f（x）-a＞0，不满足条件；综上所述，0≤a＜3．【解析】（1）分析当0＜x≤2时的单调性，可得x＞2的单调性，由二次函数的单调性，可得a的范围；（2）分别讨论当a＜0，当0≤a≤2时，当2＜a＜3时，当3≤a＜7，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．本题考查分段函数的运用，考查函数的单调性的判断以及不等式有解的条件，考查分类讨论思想方法，化简整理的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）椭圆C：（a＞b＞0）过点A（0，1），可得b=1，且离心率为=．a2-1=c2，解得a=2，所求椭圆方程为：…………………（5分）（2）当直线MN斜率不存在时，设直线方程为x=t，则M（t，s），N（t，-s），，则，∴t=-1…………（7分）当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=kx+b，与椭圆方程联立：，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2-4=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），有（*）………………（10分）则将*式代入化简可得：，即（k-b-1）（b-1）=0，∴k=b+1…………（13分）直线MN：y=（b+1）x+b=b（x+1）+x，恒过定点（-1，-1）…………（15分）【解析】（1）利用椭圆C：（a＞b＞0）过点A（0，1），以及离心率为．求出a，b，即可得到椭圆方程．（2）当直线MN斜率不存在时，设直线方程为x=t，则M（t，s），N（t，-s），然后求解t=-1．当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=kx+b，与椭圆方程联立：，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2-4=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理以及k1+k2=2，得到k与b的关系，然后求解直线MN：y=（b+1）x+b=b（x+1）+x ，恒过定点（-1，-1）．本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线系方程的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．22.【答案】解：（1）当a=0时，f（x）=-x lnx-1=-（x lnx+1），要证明f（x）≤x，即证明x lnx+x+1≥0；…………（2分）记s（x）=x lnx+x+1，则；当x∈（0，e-2）时，s′（x）＜0，函数f（x）在x∈（0，e-2）上单调递减；当x∈（e-2，+∞）时，s′（x）＞0，函数f（x）在x∈（e-2，+∞）上单调递增；…………（5分），也即f（x）≤x；…………（7分）（2）方法1：ax2ln x-x lnx+a-1≥0即a（x2ln x+1）≥x lnx+1，令g（x）=x2ln x+1，令g′（x）=2x lnx+x=x（2ln x+1）=0，得x=；所以g（x）在x∈（0，）上单调减，在x∈（，+∞）单调增，g（x）≥g（）=•（-）+1=1-＞0；…………（9分）即a（x2ln x+1）≥x lnx+1，可化为a≥，记h（x）=，下求h（x）的最大值；h′（x）=，且h′（1）=0；…………（11分）再令F（x）=-x2ln2x+ln x-2x lnx+1-x，当时，F（x）=-x2ln2x+ln x-2x lnx+1-x=-x2ln2x+（1-2x）ln x+1-x，F（x）≥-x2ln2x+1-x，由（1）可知ln x≥1-，x＞0时成立，，，由此，h（x）在x∈[，1）上单调增；…………（13分）当x∈（1，+∞）时，F（x）=-x2ln2x+（1-2x）ln x+（1-x）≤0，h（x）在x∈（1，+∞）上单调减；…………（14分）因此h（x）≥h（1）=1，故a≥1；…………（15分）方法2：当x=1时，f（1）=a-1≥0，由此a≥1…………（9分）下证：当a≥1时，f（x）在上，f（x）≥0恒成立，f（x）=a（x2ln x+1）-（x lnx+1），同法1证明，g（x）=x2ln x+1＞0，…………（11分）f（x）=a（x2ln x+1）-（x lnx+1）≥（x2ln x+1）-（x lnx+1）=（x2-x）ln x≥0；…………（14分）所以f（x）在上，f（x）≥0恒成立，故a≥1．…………（15分）（若用其余方法求解的，也可酌情给分）【解析】（1）a=0时f（x）=-x lnx-1，不等式f（x）≤x化为x lnx+x+1≥0，构造函数s（x）=x lnx+x+1，利用导数求函数s（x）的最小值，从而证明不等式成立；（2）方法1：不等式化为a（x2ln x+1）≥x lnx+1，令g（x）=x2ln x+1，利用导数判断g（x）＞0，不等式化为a≥，记h（x）=，求出h（x）的最大值，即可得出a的取值范围．方法2：讨论x=1时f（1）≥0，由此求得a的取值范围；再证明a≥1时，f（x）在x∈[，+∞）上f（x）≥0恒成立．本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是难题．。
浙江省金华一中2020至2021学年高二下学期期中考试 数学
浙江省金华一中2020-2021学年高二下学期期中考试高二 数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数1iz i=-在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.""p q ∨为真是“p ⌝为假”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知集合{}{}22|2,|2M y y x N x y x ==-==+，则M N =（ ）A.[)2,+∞B. []2,2-C.φD. [)2,-+∞ 4.已知直线,l m αβ⊥⊂平面直线平面，有下面四个命题：（1）//l m αβ⇒⊥；（2）//l m αβ⊥⇒；（3）//l m αβ⇒⊥；（4）//l m αβ⊥⇒ 其中正确的命题（ ） A.（1）（2） B.（3）（4） C.（1）（3） D.（2）（4）5.函数lg(21)32y x x =+--的定义域是（ ）)21213., ., ., .,32322A B C D ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫+∞+∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎣⎝⎭⎝⎭⎝⎭6.一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形， 其尺寸如图， 则该多面体的体积为（ ）A.348cmB.324cmC.332cmD.328cm7.右图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，给出下列命题：①3-是函数()y f x =的极值点； ②1-是函数()y f x =的极小值点； ③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；④()y f x =在区间(3,1)-上单调递增.则正确命题的序号是（ ）A.①②B.①④C.②③D.②④xyO1-2-3-18.在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB =2BB 1，则CA 1与C 1B 所成的角的大小是（ ）A. 45︒B. 60︒C. 75︒D. 90︒9.已知()y f x =是R 上的可导函数，对任意的正实数t ，都有()()()g x f x t f x =+-在其定义域内为增函数，则函数'()y f x =的图像可能是（ ）10.设实数,a b 是方程ln x c =的两个不同的实根，若2a b e <<，则abc 的取值范围是（ ） A. (0,2) B. (1，e ) C.（2,e e ） D.（1,2e ） 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.已知函数221(1)()2(1)x x f x x x x ⎧+<=⎨+≥⎩，则[(0)]f f = .12. 220121i i i+++⋅⋅⋅+= .13.已知函数ln y x x =在点x e =处的切线的斜率是 . 14.若R a ∈，复数i a a z )1(12++-=是纯虚数，则a = .15.已知OA 是球O 的半径，过点A 作与直线OA 成030的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为12π，则球O 的表面积是 .16.若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间，实数a 的取值范围是 .17.已知5nn a =,将数列{}n a 的各项依次从上到下、从左到右排成如图三角形数表，其中第i 行有21i -),3,2,1( =i 个数，则第10行第8个数是 .三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本题满分14分)已知二次函数2()f x ax bx c =++ (Ⅰ) 若(1)()4f x f x x +-=且1(0)2f =，求()f x 的解析式；(Ⅱ) 若(1)0f -=，讨论函数()f x 的零点个数.19.(本题满分14分)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()232xxf x -=-⋅. (Ⅰ) 当0x <时，求()f x 的解析式； (Ⅱ) 若()f x =12，求x 的值.20.(本题满分14分) 已知函数.ln )(2x a x x f +=(Ⅰ) 当2a =-时，求函数()f x 的单调区间和极值； (Ⅱ) 若函数()()16g x f x x=+在[1，4]上是减函数，求实数a 的取值范围.21.(本题满分15分)如图，边长为2的正方形ABCD ，E 是BC 的中点，沿AE ，DE 将,ABE DCE ∆∆折起，使得B 与C 重合于O ．(Ⅰ) 设Q 为AE 的中点，求证：OE ⊥平面OAD ； (Ⅱ) 求直线QD 与平面OAD 所成的角的正弦值．22.（本题满分15分） 已知函数R x t x t tx x x f ∈-+-+=，213232)(223，其中t ∈R ． (Ⅰ) 当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ) 当0t ≠时，求()f x 的单调区间；(Ⅲ) 证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．高二数学期中考试试题（文科）参考答案：一、选择题（每题5分，共50分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 BBDCCABDBA二、填空题(每题4分，共28分)11. 8 12. 1 13. 2 14. 1 15.64π 16. ()1,-+∞ 17. 895三、解答题（18-20题每题14分，21-22题每题15分，共72分）18.（1）21222f (x )x x =-+（2）当0a c =≠时，f (x )有1个零点，当a c ≠时，f (x )有2个零点.19. (1) 0x <时,232x xf (x )-=-+;(2) 232 00 0232 0x x x x ,x f (x )x ,x --⎧-+<⎪==⎨⎪-<⎩,若0x <,则12322xx --+=,得213x log =-; 若0x >,则12322x x --=,得1x =.20. (1)函数f (x )的定义域为()0,+∞, 当2a =-时, 22f (x )x ln x =-,()22122x f '(x )x x x-=-=, 所以f (x )的单调递减区间为()01,, 递增区间为()1,+∞当1x =时,f (x )取得极小值()11f =,函数f (x )无极大值.(2) ()()21616g x f x x aln x x x =+=++, 由题意得()21620a g'x x x x=+-≤在()14x ,∈上恒成立.即2162a x x ≤-在()14x ,∈上恒成立, 令()2162h x x x=-,由于()h x 在[]14,上单调递减,所以()()428min h x h ==-,因此28a ≤-.也即实数a 的取值范围是28(,]-∞-.21.略22.(1) 切线方程为: 3y x =-(2) ()()()2263332f 'x x tx t x t x t =+-=+-,令()0f 'x =,得122tx t,x =-=,因为0t ≠,所以12x x ≠. (ⅰ)当t>0时, 12x x <,f (x )的单调增区间为()2t ,t ,,⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭,单调减区间为2t t,⎛⎫- ⎪⎝⎭;(ⅱ)当t<0时, 12x x >,f (x )的单调增区间为()2t ,,t,⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭,单调减区间为2t ,t ⎛⎫- ⎪⎝⎭;(3) ()102t f -=,()2231111323236f t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭当()02t ,∈,()f x 在02t ,⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在12t ,⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,(ⅰ)当](01t ,∈时, ()371100282t t t f f -⎛⎫>=-+< ⎪⎝⎭且,所以()f x 在区间(0,1)内存在零点;(ⅱ)当()12t ,∈时,()371000282t t t f f -⎛⎫>=-+< ⎪⎝⎭且,所以()f x 在区间(0,1)内存在零点;当)2t ,∈+∞⎡⎣时, ()()0010f f ><且,所以函数()f x 在区间(0,1)内存在零点. 综上, 对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．。