最短距离之将军饮马
将军饮马模型
将军饮马问题将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。
所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。
而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。
比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。
一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。
1.将军饮马故事“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”原题：如图，一位将军，从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？•A•B模型一：一条定直线，同侧两定点在直线l的同侧有两点A,B,在L上求一点P，使得PA+PB值最小。
一般做法：作点 A（B）关于直线的对称点，连接 A’B，A’B 与直线交点即为所求点。
A’B即为最短距离。
理由：A’为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=A’P。
所以 PA+PB=PA’+PB。
这样问题就化成了求 A’到 B 的最短距离，直接相连就可以了。
例一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。
已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。
（1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？（2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？模型二：一条定直线，一定点，一动点如图，已知直线L 和定点A ，在直线K 上找一点M，在直线L 上找一点P ，使得AP+PB 值最小。
模型三：一定点，两条定直线如图，在∠OAB 内有一点 P ，在 OA 和 OB 各找一个点 M 、N ，使得△PMN 周长最短（题 眼）。
一般做法：作点 P 关于 OA 和 OB 的对称点 P1、P2。
(完整)初三复习将军饮马(终稿)
初三复习专题 最短路径问题——将军饮马班级: 姓名：将军饮马问题=最短距离问题=轴对称问题一、基本模型（2条线段和最小）：1、如图，在定直线l 的同侧有两定点A,B,在直线l 上求作点P ，使PA+PB 最小。
二、模型变型（3条线段和最小） 2、如图，点P 是∠MON 内的一定点，分别在OM 、ON 上作点A 、B ，使△PAB 的周长最小。
【例1】如图，∠M O N =45°，P 是∠M O N 内一点，PO=10，A ,B 分别是O M 、O N 上的动点，则△ABP 周长的最小值为 。
【方法归纳：】1、作图的一般步骤是：①② ③ 2、计算最短线段长度的方法： 【例2】、已知抛物线2(1)4y x =--+交x 轴于A(-1,0)、B （3,0）两点，交y 轴于点D （0，3），又已知点E （2,3），点F （0，1）。
点G 为对称轴PQ 上一动点，试问在x 轴上是否存在一点H ，使D,G,H,F 四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G ，H 的坐标；若不存在，请说明理由。
ON三、模型再变型（线段+点到线距离之和最小）3、如图，点P 是∠MON 内的一定点，在射线OM 、ON 上 分别找两个点A 、B ，使PA+AB 最小。
【例3】、如图2，菱形ABCD 中，AB=10，∠B=135°，E 是AB 上一动点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 ．【变式】、已知直线1l 和2l 交于M 点，夹角为30°，点A 在1l 上且AM=10，P 是2l 上一动点，则P 点到A 点的距离与1l 的距离之和的最小值为 。
四、将军饮马+平移模型4、如图，已知有两个定点A 、B ，在定直线l 有两个动点P 、Q ，且PQ 长度不变，求作点P 、Q 使得AP+PQ+BQ 最小。
（A 、B 异侧） （A 、B 同侧）【例4】、如图，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两边A 处和B 处，现准备合作修建一座桥，桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？请做出示意图。
将军饮马问题总结
最短路径——“将军饮马”问题基本类型总结【问题1】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小．连AB ，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为AB ．【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为A B ＇．【问题3】作法图形原理在直线l 1、l 2上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．PM +MN +PN 的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．在直线1l 、2l 上分别求点N ，使四边形PQMN 的周长最小．【问题5】“造桥选址”图形直线m ∥n ，在m 、上分别求点M 、N ，使m ，且AM +MN +BN 的值最小．【问题6】图形在直线l 上求两点M 、在左），使a MN ，并使MN +NB 的值最小．【问题7】图形1上求点A ，在2l ，使PA +AB 值最小．m n BA【问题8】作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短．AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【问题9】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最小．连AB ，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P ．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．PB PA -＝0．【问题10】作法图形原理在直线l上求一点P，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇．PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点”作法图形原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P即为所求．两点之间线段最短．PA +PB +PC 最小值＝CD ．。
最短路径问题1--将军饮马型2-一点两轴型
13.4最短路径问题1--将军饮马型2-一点两轴型一．【知识要点】题方法是关键。
二．【经典例题】1．如图，已知∠AOB，点P在∠AOB内部，请在射线OA上确定点M，在射线OB上确定点N，使△PMN的周长最小。
【问题 1】作法作图原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小。
连 AB，与 l 交点即为 P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为 AB．【问题 2】作法作图原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小．作 B 关于 l 的对称点 B＇连 A B＇，与 l 交点即为 P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【问题 3】“将军饮马”作法作图原理在直线 l1 、 l2 上分别求点M、N，使△PMN 的周长最小．分别作点 P 关于两直线的对称点 P＇和 P＇，连 P＇P＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．PM+MN+PN 的最小值为线段 P＇P＇＇的长。
【问题 5】作法作图原理在 l1上求点 A，在 l2上求点 B，使 PA+AB 值最小．作点P 关于l1的对称点P＇，作P＇B⊥ l2于B，交l1于 A．点到直线，垂线段最短PA+AB 的值最小为P＇B三．【题库】 【A 】1．有一个养鱼专业户，在如图所示地形的两个池塘内养鱼，他住的地方在P 点，每天早上必须去池塘边投放鱼食，试问他怎么走才能走最少的路程完成放食回到住地？说明理由.2.如图：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为 ．【B 】1.如图，四边形ABCD 中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△A MN 周长最小时，则∠MAN 的度数为____________。
P 2P 1N MO PB A2.如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接1P 2P 交OA 于M ，交OB 于N ，若1P 2P ＝6，则△PMN 的周长为（ ）． A.4 B.5 C.6 D.7【C 】1.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）。
第11讲最短路径探究之将军饮马(原卷版)
第11讲最短路径探究之将军饮马【知识点睛】❖将军饮马模型总结：，❖其他“两动一定”型最值问题模型：、，❖ “造桥选址”类将军饮马模型：村庄A 和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应该如何选择，才能使A 与B 之间的距离最短❖ 特别地：的两邻边中，一边是间距d 、另一边是定动线段AM 或BN 【类题训练】1．如图，在锐角三角形ABC 中，AB ＝4，∠BAC ＝60°，∠BAC AD和AB 上的动点，当BM +MN 取得最小值时，AN ＝（ ） A ．2B ．4C ．6D ．82．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，动点P 满足S △P AB ＝S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．10D ．23．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的高，点E 是高AD 上任意一点，点F 是边AB 上任意一点，AB ＝5，BD ＝3，AD ＝4，则BE +EF 的最小值是（ ） A ．3B ．5C ．D ．4．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是边AB 的中点，点P 是对角线BD 上的动点，则AP +PE 的最小值是（ ） A ．B ．C ．D ．5．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，点E 、F 分别是AD 、AB 上的动点，若∠BAC ＝50°，当BE +EF 的值最小时，∠AEB 的度数为（ ） A ．105°B ．115°C ．120°D ．130°6．如图，钝角三角形△ABC 的面积是20，最长边BC ＝10，CD 平分∠ACB ，点P ，Q 分别是CD ，AC 上的动点，则AP +PQ 的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5A`7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，CE＝5，AD＝7，P是AD上一个动点，则BP+EP的最小值是（）A．7B．C．5D．8．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O 的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．3B．C．D．69．如图，牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处到河岸的距离分别是AC＝300m，BD＝500m，且C，D两地之间的距离为600m．牧童从A处将马牵到河边去饮水，再牵回家，他至少要走的路程是（）A．1400m B．（500+300）mC．1000m D．（300+100）m10．如图，∠AOB＝30°，点P在OB上且OP＝2，点M、N分别是OA、OB上的动点，则PM+MN的最小值是（）A．2B．4C．D．11．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（）A．B．C．a+b D．a12．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（）A．13B．15C．16D．1713．如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，点M在边BC上，且BM＝1，点N是直线AC上一动点，点P是边AB上一动点，则PM+PN的最小值为（）A．B．C．D．414．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，点P是边BC上一动点，点D在边AB上，且BD＝AB，则P A+PD的最小值为．15．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，△ABD是等边三角形，P是∠BAC的平分线上一动点，连接PC，PD，则PC+PD的最小值为．16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，AB＝2，AD＝4，P、Q分别是边BC、CD上的动点，连接AP，AQ，PQ，则△APQ周长的最小值为．17．如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，△ABC的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图：（1）作出△ABC关于直线MN的对称图形；（2）求△ABC的面积；（3）在直线MN上取一点P，使得AP+CP最小（保留作图痕迹）．18．古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B'，连结AB'与直线/交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答：（1）证明：如图3，在直线l上另取任一点C'，连结AC'，BC'，B'C'，∵直线l是点B，B'的对称轴，点C，C'在l上，∴CB＝，C'B＝，∴AC+CB＝AC+CB'＝．在△AC'B'中，∵AB'＜AC'+C'B'，∴AC+CB＜AC'+C'B'．∴AC+CB＜AC'+C'B'，即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，B'两点的线中，线段AB'最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型．（2）问题解决如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得走过的路程，即△PEF的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）19．（1）如图，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．请在图中作出点P，保留作图痕迹，并求出PC+PD的最小值．（2）借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式+的最小值＝．20．如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．（1）求证：∠ACB＝∠ACD；（2）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．。
初三复习将军饮马(终稿)
ON初三复习专题最短路径问题——将军饮马班级:姓名：将军饮马问题=最短距离问题=轴对称问题一、基本模型（2条线段和最小）：1、如图，在定直线l 的同侧有两定点A,B,在直线l 上求作点P ，使PA+PB 最小。
二、模型变型（3条线段和最小） 2、如图，点P 是∠MON 内的一定点，分别在OM 、ON 上作点A 、B ，使△PAB 的周长最小。
【例1】如图，∠M O N =45°，P 是∠M O N 内一点，PO=10，A ,B 分别是O M 、O N 上的动点，则△ABP 周长的最小值为。
【方法归纳：】1、作图的一般步骤是：① ② ③2、计算最短线段长度的方法：【例2】、已知抛物线2(1)4y x =--+交x 轴于A(-1,0)、B （3,0）两点，交y 轴于点D （0，3），又已知点E （2,3），点F （0，1）。
点G 为对称轴PQ 上一动点，试问在x 轴上是否存在一点H ，使D,G,H,F 四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G ，H 的坐标；若不存在，请说明理由。
ON三、模型再变型（线段+点到线距离之和最小）3、如图，点P 是∠MON 内的一定点，在射线OM 、ON 上 分别找两个点A 、B ，使PA+AB 最小。
【例3】、如图2，菱形ABCD 中，AB=10，∠B=135°，E 是AB 上一动点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 ．【变式】、已知直线1l 和2l 交于M 点，夹角为30°，点A 在1l 上且AM=10，P 是2l 上一动点，则P 点到A 点的距离与1l 的距离之和的最小值为。
四、将军饮马+平移模型4、如图，已知有两个定点A 、B ，在定直线l 有两个动点P 、Q ，且PQ 长度不变，求作点P 、Q 使得AP+PQ+BQ 最小。
（A 、B 异侧）（A 、B 同侧）【例4】、如图，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两边A 处和B 处，现准备合作修建一座桥，桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？请做出示意图。
2020中考数学专题8——最值问题之将军饮马 -含答案
【模型解析】2020 中考专题 8——最值问题之将军饮马班级姓名.总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决。
特点：①动点在直线上；②起点，终点固定；方法：作定点关于动点所在直线的对称点。
【例题分析】例1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，3 )，点C 的坐标为(1，0)，点2P 为斜边OB 上的一动点，则PA＋PC 的最小值为．例 2.如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE 上分别找一点M、N．(1)当△AMN 的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝；(2)求△AMN 的周长最小值．例3.如图，正方形ABCD 的边长为 4，点E 在边BC 上且CE＝1，长为 2 的线段MN 在AC 上运动．(1)求四边形BMNE 周长最小值；(2)当四边形BMNE 的周长最小时，则tan∠MBC 的值为．例4.在平面直角坐标系中，已知点A(一 2，0)，点B(0，4)，点E 在OB 上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标．例5.如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P 为y 轴上的一个动点，M、N 为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN 的最小值为．【巩固训练】1.如图1 所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD＋PE 的和最小，则这个最小值为．图1 图2 图3 图42.如图2，在菱形ABCD 中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F、P 分别是边AB、BC、AC 上的动点，PE＋PF 的最小值是．3.如图3，在边长为2 的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE＋DE 的最小值为．4.如图 4，钝角三角形ABC 的面积为 9，最长边AB＝6，BD 平分∠ABC，点M、N 分别是BD、BC 上的动点，则CM＋MN 的最小值为．5.如图5，在△ABC 中，AM 平分∠BAC，点D、E 分别为AM、AB 上的动点，＝6，则BD＋DE的最小值为(1)若AC＝4，S△ABC(2)若∠BAC＝30°，AB＝8，则BD＋DE 的最小值为．(3)若AB＝17，BC＝10，CA＝21，则BD＋DE 的最小值为．6.如图6，在△ABC中，AB＝BC＝4，S△ABC＝4一点，则PK＋QK 的最小值为．，点P、Q、K 分别为线段AB、BC、AC 上任意图6 图7 图8 图97.如图7，AB 是⊙O 的直径，AB＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点，则PM＋PN 的最小值为．8.如图 8，在锐角△ABC 中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D，M、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM＋MN 的最小值是．9.如图 9，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．10.如图 10，菱形OABC 中，点A 在x 轴上，顶点C 的坐标为(1，OC、OB 上，则CE＋DE＋DB 的最小值是．)，动点D、E 分别在射线图10 图11 图12 图1311.如图 11，点A(a，1)、B(－1，b)都在双曲线y＝－3(x＜0)上，点P、Q 分别是x 轴、y 轴上x的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是．12.如图12，点P 是∠AOB 内任意一点，OP＝5cm，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB 的度数是．13.如图13，∠AOB＝30°，点M、N 分别在边OA、OB 上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q 分别在边OB、OA 上，则MP＋PQ＋QN 的最小值是．14.如图 14，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点D 是AB 边的中点，过D 作DE⊥BC 于点E． (1)点P 是边BC 上的一个动点，在线段BC 上找一点P，使得AP＋PD 最小，在下图中画出点P； (2)在(1)的条件下，连接CD 交AP 于点Q，求AQ 与PQ 的数量关系；图 143315. 在矩形 ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边 AD 的中点．(1) 如图 1，若 E 为 AB 上的一个动点，当△CGE 的周长最小时，求 AE 的长．(2) 如图 2，若 E 、F 为边 AB 上的两个动点，且 EF ＝4，当四边形 CGEF 的周长最小时，求 AF的长．16. 如图，抛物线 y = - 1x 2+ 2x + 4 交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA =2，过点A 作直线MN ⊥ AB2 交抛物线与 M 、N 两点. （1） 求直线 AB 的解析式；（2） 将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 t 个单位长度，得到线段 A 1B 1 ，求 MA 1 + MB 1 取最小值时实数 t 的值.33172020 中考专题 8——最值问题之将军饮马参考答案例1.解：作A 关于OB 的对称点D，连接CD 交OB 于P，连接AP，过D 作DN⊥OA 于N，则此时PA＋PC 的值最小，∵DP＝PA，∴PA＋PC＝PD＋PC＝CD，∵B(3，)，∴AB＝，OA＝3，∵tan∠AOB＝AB＝3，∴∠AOB＝30°，∴OB＝2AB＝2 ，OA 31 1 3 3由三角形面积公式得：×OA×AB＝2×OB×AM，∴AM＝2，∴AD＝2×2＝3，2∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝1AD＝23，由勾股定理得：2DN＝33 ，2∵C(1，0)，∴CN＝3﹣1﹣2 23＝1，在Rt△DNC 中，由勾股定理得：DC＝，2 2即PA＋PC 的最小值是31．2例2.解：作A 关于BC 和ED 的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC 于M，交ED 于N，则A′A″即为△AMN 的周长最小值．⑴作EA 延长线的垂线，垂足为H，∠BAE＝120°，∴∠AA′A″＋∠AA″A′＝60°，∠AA′A″＝∠A′AM，∠AA″A′＝∠EAN，∴∠CAN＝120°－∠AA′A″－∠AA″A′＝60°，也就是说∠AMN＋∠ANM＝180°－60°＝120°.⑵过点A′作EA 延长线的垂线，垂足为H，∵AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，∴AA′＝2BA＝2，AA″＝2AE＝4，则Rt△A′HA 中，∵∠EAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，∵A′H⊥HA，∴∠AA″H＝30°，∴AH＝1AA′＝1，∴A′H＝2，A″H＝1＋4＝5，∴A′A″＝2 ，例3.解：作EF∥AC 且EF＝于P，，连结DF 交AC 于M，在AC 上截取MN＝，延长DF 交BC 作FQ⊥BC 于Q，作出点E 关于AC 的对称点E′，则CE′＝CE＝1，将MN 平移至E′F′处，3332242 - 22 3 3 则四边形 MNE ′F ′为平行四边形，当 BM ＋EN ＝BM ＋FM ＝BF ′时，四边形 BMNE 的周长最小， 由∠FEQ ＝∠ACB ＝45°，可求得 FQ ＝EQ ＝1，∵∠DPC ＝∠FPQ ，∠DCP ＝∠FQP ，∴△PFQ ∽△PDC ， ∴PQ PQ + QE + EC ＝ PQ ，∴ CD PQ PQ + 2 1 ＝ ，解得：PQ ＝ 4 2 ，∴PC ＝ 8 ，3 3由对称性可求得 tan ∠MBC ＝tan ∠PDC ＝ 2 ．3例 4.【提示】将△AEO 向右平移转化为△AEO 不动，点 B 向左平移，则点 B 移动的轨迹为一平行于 x 轴的直线，所以作点 E 关于该直线的对称点 E 1，连接 AE 1，与该直线交点 F 即为最小时点 B 的位置，求出 BF 长度即可求出点 E 向右平移的距离．例 5.解：如图所示，直线 OC 、y 轴关于直线 y ＝kx 对称，直线 OD 、直线 y ＝kx 关于 y 轴对称，点A ′是点 A 关于直线 y ＝kx 的对称点．作 A ′E ⊥OD 垂足为 E ，交 y 轴于点 P ，交直线 y ＝kx 于 M ，作 PN ⊥直线 y ＝kx 垂足为 N ， ∵PN ＝PE ，AM ＝A ′M ，∴AM ＋PM ＋PN ＝A ′M ＋PM ＋PE ＝A ′E 最小(垂线段最短)， 在 RT △A ′EO 中，∵∠A ′EO ＝90°，OA ′＝4，∠A ′OE ＝3∠AOM ＝60°， ∴OE ＝1OA ′＝2，A ′E ＝ ＝2 ．2 ∴AM ＋MP ＋PN 的最小值为 2 ．333337【巩固训练】答案1.解：连接BD，∵点B 与D 关于AC 对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE 最小．∵正方形ABCD 的面积为 12，∴AB＝2又∵△ABE 是等边三角形，∴BE＝AB＝2，，故所求最小值为2 ．2.解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，作E 关于AC 的对称点E′，作E′F⊥BC 于F 交AC 于P，连接PE，则E′F 即为PE＋PF 的最小值，∵1⋅AC⋅BD＝AD⋅E′F，∴E′F＝24，∴PE＋PF 的最小值为24.2 5 53.解：作B 关于AC 的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC 于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D 就是BE＋ED 的最小值，∵B、B′关于AC 的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC 是边长为2，D 为BC 的中点，∴AD⊥BC，AD＝，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2 ，作B′G⊥BC 的延长线于G，∴B′G＝AD＝，在Rt△B′BG 中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG 中，B′D＝．故BE＋ED 的最小值为7 ．4.解：过点C 作CE⊥AB 于点E，交BD 于点M，过点M 作MN⊥BC 于N，∵BD 平分∠ABC，ME⊥AB 于点E，MN⊥BC 于N，∴MN＝ME，∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN 是最小值．∵三角形ABC 的面积为 9，AB即CM＋MN 的最小值为 3．＝6，∴12×6⋅CE＝9，∴CE＝3．333335.提示：作点E 关于AM 的对称点E′，BH⊥AC 于H，易知BD＋DE 的最小值即为BH 的长. 答案：(1)3；(2)4；(3)8．6.解：如图，过A 作AH⊥BC 交CB 的延长线于H，∵AB＝CB＝4，S△ABC＝4，∴AH＝2，∴cos∠HAB＝AH＝2 3＝3，∴∠HAB＝30°，∴∠ABH＝60°，∴∠ABC＝120°，AB 4 2∵∠BAC＝∠C＝30°，作点P 关于直线AC 的对称点P′，过P′作P′Q⊥BC 于Q 交AC 于K，则P′Q 的长度＝PK＋QK 的最小值，∴∠P′AK＝∠BAC＝30°，∴∠HAP′＝90°，∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°，∴四边形AP′QH 是矩形，∴P′Q＝AH＝2 ，即PK＋QK 的最小值为2 ．7.解：作点N 关于AB 的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，则MN′与AB 的交点即为PM＋PN 的最小时的点，PM＋PN 的最小值＝MN′，∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，∵N 是弧MB 的中点，∴∠BON＝12∠MOB＝1×40°＝20°，2由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°，∴△MON′是等边三角形，∴MN′＝OM＝OB＝1AB＝18 ＝4，2 2∴PM＋PN 的最小值为 4，22338.解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD 于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH 是点 B 到直线AC 的最短距离，∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB sin45°＝4×2＝2 ．2∵BM＋MN 的最小值是BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝2 ．9.解：沿过A 的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C 作CQ⊥EF 于Q，作A 关于EH 的对称点A′，连接A′C 交EH 于P，连接AP，则AP＋PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，∵CQ＝1×182cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm＋4cm＝12cm，在Rt△A′QC 中，由勾股定理得：A′C＝15cm，故答案为：15．10.解：连接AC，作B 关于直线OC 的对称点E′，连接AE′，交OC 于D，交OB 于E，此时CE＋DE＋BD 的值最小，∵四边形OCBA 是菱形，∴AC⊥OB，AO＝OC，即A 和C 关于OB 对称，∴CE＝AE，∴DE＋CE＝DE＋AE＝AD，∵B 和E′关于OC 对称，∴DE′＝DB，∴CE＋DE＋DB＝AD＋DE′＝AE′，过C 作CN⊥OA 于N，∵C(1，)，∴ON＝1，CN＝，由勾股定理得：O C＝2，即AB＝BC＝OA＝OC＝2，∴∠CON＝60°，∴∠CBA＝∠COA＝60°，∵四边形COAB 是菱形，∴BC∥OA，∴∠DCB＝∠COA＝60°，∵B 和E′关于OC 对称，∴∠BFC＝90°，∴∠E′BC＝90°﹣60°＝30°，∴∠E′BA＝60°＋30°＝90°，CF＝1BC＝1，由勾股定理得：BF＝2＝E′F，在Rt△EBA 中，由勾股定理得：AE′＝4，即CE＋DE＋DB 的最小值是 4．310 ⎩⎩11.解：把点 A (a ，1)、B (﹣1，b )代入 y ＝﹣ 3(x ＜0)得 a ＝﹣3，b ＝3，则 A (﹣3，1)、B (﹣1，x3)，作 A 点关于 x 轴的对称点 C ，B 点关于 y 轴的对称点 D ，所以 C 点为(﹣3，﹣1)，D 点为(1， 3)，连结 CD 分别交 x 轴、y 轴于 P 点、Q 点，此时四边形 PABQ 的周长最小，设直线 CD 的解析式为 y ＝kx ＋b ，则⎧-3k + b = -1 ，解得⎧k = 1，所以直线 CD 的解析式为 y ＝x ＋2．⎨k + b = 3 ⎨b = 212.解：分别作点 P 关于 OA 、OB 的对称点 C 、D ，连接 CD ，分别交 OA 、OB 于点 M 、N ，连接 OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：∵点 P 关于 OA 的对称点为 D ，关于 OB 的对称点为 C ，∴PM ＝DM ，OP ＝OD ，∠DOA ＝∠ POA ；∵点 P 关于 OB 的对称点为 C ，∴PN ＝CN ，OP ＝OC ，∠COB ＝∠POB ， ∴OC ＝OP ＝OD ，∠AOB ＝1∠COD ，2∵△PMN 周长的最小值是 5cm ，∴PM ＋PN ＋MN ＝5，∴DM ＋CN ＋MN ＝5，即 CD ＝5＝OP ， ∴OC ＝OD ＝CD ，即△OCD 是等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴∠AOB ＝30°；13 解：作 M 关于 OB 的对称点 M ′，作 N 关于 OA 的对称点 N ′，连接 M ′N ′，即为 MP ＋PQ ＋QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ ＝∠M ′OB ＝30°，∠ONN ′＝60°， ∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′＝90°， ∴在 Rt △M′ON′中，M ′N ′＝ ．故答案为 ．10314.解：(1)作点 A 关于BC 的对称点 A′，连 DA′交BC 于点P.(2)由(1)可证得PA 垂直平分CD，∴AQ＝CQ＝3PQ15.解：(1)∵E 为AB 上的一个动点，∴作G 关于AB 的对称点M，连接CM 交AB 于E，那么E 满足使△CGE 的周长最小；∵在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，G 为边AD 的中点，∴AG＝AM＝4，MD＝12，而AE∥CD，∴△AEM∽△DCM，∴AE：CD＝MA：MD，∴AE＝CD ⨯MA＝2；MD(2)∵E 为AB 上的一个动点，∴如图，作G 关于AB 的对称点M，在CD 上截取CH＝4，然后连接HM 交AB 于E，接着在EB 上截取EF＝4，那么E、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，G 为边AD 的中点，∴AG＝AM＝4，MD＝12，而CH＝4，∴DH＝2，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝HD ⨯MAMD＝2，3∴AF ＝4＋2＝14．3 316.解：（1）依题意，易得B（0，4），A（2，0），则AB解析式：y=-2x+4（2）∵AB⊥MN∴直线MN：y =1x - 12⎧y =-1x2+ 2x + 4⎪与抛物线联立可得：⎨⎪y =⎩21x - 1 2解得：M（-2，-2）将AB向负方向平移t个单位后，A1（2，-t），B1（0，4-t）则A1 关于直线x=-2 的对称点A2 为（-6，-t）当A2、M、B1 三点共线时，MA1 +MB1取最小值∴t =143。
最短路径问题 ---“将军饮马” 问题
【重要考点】 两点之间线段最短、轴对称的性质、正方形的性质、圆、
二次函数的图象与性质、三角形相关知识、基本作图等．
【命题形式】 主要以二次函数、四边形、三角形、圆为背景借助轴对称
的性质考查学生的综合能力。
【考查方向】 最短路径问题(即“将军饮马”模式)，动点问题下的最
塔P向A村、B村铺设管道最短需__5_0_0__米。
y
B
A
O
P
M
X
H
B′
知识应用
（利用正方形的对称性找对称点）
2. 已知正方形ABCD的边长为4，F为BC边的中点， P为 对角线BD上的一动点，要使 PF+PC的值最小，试确定点P 的位置，并求出最小值。
因为点C关于BD的对称点为
点A,连接AF，交BD于P点。
坐标为(2,−3)
总结
【思想方法】 (1) 最短路径问题的背景来源主要有：角、等腰(边) 三角形、菱形、正方形以及圆等．从内容上看，还会引申到 三角形(四边形)的周长最值问题、面积最值等问题。 (2)“将军饮马”问题就是利用对称性“化折为直”。
方法提升：（PA+PB最小）
1.点的分类及确定： 两个定点+一个动点
2．如图，在边长为4的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1， AF=3，点P为BD上一动点，求：线段EP+FP和的最小值。
3．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y 轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时， 求点C的坐标。
值问题在中考中一般放置在选择题、填空题或解答题最后， 以压轴题的形式出现．
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B
L C
B1
1、动点所在直线为对称轴 2、异侧和最小：两点在这条直线的异侧时，才能
使这两点在同一条直线上并且与直线L有交点
A
B
L C
B1
例2变式1： 已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在 BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？ R即为所求点
R P1
一点在两条相交线的内部
最短路线
为什么有的人会经常践踏草地呢？
两点之间，线段最短
禁止践踏
将军饮马问题：
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途 中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程 最短？
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
(一)两点在一条直线两侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡 B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样 走路程最短？
例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM 吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A问：这位将 军怎样走路程最短？
M 草地
O
.驻地A
N 河边
例3变式：已知如图 MON和 MON 内
一点A
A1
M
作法:
（1）作点A关于OM、
B
ON的对称点A1、A2
O
C
(2）连结A1和A2，交OM于B,交ON于C
点分别放在两条直线的异侧）
练习
1.在锐角AOB中有一点p,若从p点出发到达AO上任意一点后 再到达BO上任意一点,然后返回P点,使总路程最短？
2.探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两 个 定 点 A 、 B ， 在 直 线 l 上 存 在 点 P ， 使 得 PA + P B 的 值 最 小
最短路线：
A
A ---P--- B.
P
根据： 两点之间线段最短.
B
(二)两点在一条直线同侧 例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中 马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程 最短？
A
B
作法： （1）作点B关于直线 L 的对称点 B1 （2）连结B1A，交L于点 C；
所以 点C就是所求的点．
.A
（1）作点A关于OM、 O
ON的对称点A1、A2
.N . C
A2
(2）连结A1和A2，交OM于B,交ON于C,则点
B、C为所求。
A ---P--- B. A
P
根据：两点之间线段最短.
B
作法： （1）作点B关于直线 L 的对称点 B1 （2）连结B1A，交L于点 C；
所以 点C就是所求的点．
A
B
L C
B1
例3变式：已知如图 MON和 MON 内
一点A
.A1
M
求作:OM上一点B,ON上
一点C,使AB+BC+AC最小 B .
作法:
B，C为所求的点
.A
N
A2
例3：
已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、 AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长 最短吗？
P2
Q
R
P1
总结：异侧和最小；两点之间线段最短
• 一、两点在一条直线的两侧（直接连接两点） • 二、两点在一条直线的同侧（通过对称将两点放
在直线异侧） • 三、一点在两条相交线的内部（通过对称将这一
两点在两相交直线内部
练习：如图，A为马棚，B为帐篷，将军某一天 要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再 到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这 一天的最短路线。
(一)两点在一条直线两侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡 B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样 走路程最短？
最短路线：