最短距离问题将军饮马
《最短路径-将军饮马问题》教学课件ppt
• A2
AB+BC+CA的和
为什么是最小呢？
·
M
A
两点之间
N
线段最短
反思验证
将军饮马问题
为什么AB+BC+CA的和最小？Fra bibliotek情节1：
O
B
C
• A2
A1 •
C′
B′ ·
M
A
N
两点之间 线段最短
反思验证
将军饮马问题
为什么AB+BC+CA的和最小？
情节2： A1 •
O
C
B
·
M
A
• A2
两点之间 线段最短
N
y
4
A′• 3 2 1•P
-4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 -4
•A
2 3•P 4 x
•B
若换成y 轴呢？
一题多变
将军饮马问题
探究3 若将军要先让马到草地OM吃草，再到河边ON喝水 ，最后回到出发点A，你能画出最短路径吗？
O
A
M
N
探究新知
将军饮马问题
分析：1、建模：点在两直线的内部 2、在OM上找点B，在ON上找点C， 使AB+BC+CA的和最小。
O
B
·
M
A
考虑对称点的作用
C
1.将直线同侧两点问题转 化为直线异侧两点问题；
2.利用轴对称的性质可以 将相等线段转化。
N
方法揭晓
将军饮马问题
作法：
1、作点A关于直线OM的对称点A1，点A关于直线ON的对称点A2 ， 2、连接A1，A2，交OM于B，交ON于C,
则路径A-B-C-A是最短路径。
将军饮马模型
将军饮马问题将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。
所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。
而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。
比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。
一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。
1.将军饮马故事“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”原题：如图，一位将军，从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？•A•B模型一：一条定直线，同侧两定点在直线l的同侧有两点A,B,在L上求一点P，使得PA+PB值最小。
一般做法：作点 A（B）关于直线的对称点，连接 A’B，A’B 与直线交点即为所求点。
A’B即为最短距离。
理由：A’为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=A’P。
所以 PA+PB=PA’+PB。
这样问题就化成了求 A’到 B 的最短距离，直接相连就可以了。
例一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。
已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。
（1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？（2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？模型二：一条定直线，一定点，一动点如图，已知直线L 和定点A ，在直线K 上找一点M，在直线L 上找一点P ，使得AP+PB 值最小。
模型三：一定点，两条定直线如图，在∠OAB 内有一点 P ，在 OA 和 OB 各找一个点 M 、N ，使得△PMN 周长最短（题 眼）。
一般做法：作点 P 关于 OA 和 OB 的对称点 P1、P2。
最短距离之将军饮马
B
L C
B1
1、动点所在直线为对称轴 2、异侧和最小：两点在这条直线的异侧时，才能
使这两点在同一条直线上并且与直线L有交点
A
B
L C
B1
例2变式1： 已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在 BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？ R即为所求点
R P1
一点在两条相交线的内部
最短路线
为什么有的人会经常践踏草地呢？
两点之间，线段最短
禁止践踏
将军饮马问题：
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途 中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程 最短？
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
(一)两点在一条直线两侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡 B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样 走路程最短？
例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM 吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A问：这位将 军怎样走路程最短？
M 草地
O
.驻地A
N 河边
例3变式：已知如图 MON和 MON 内
一点A
A1
M
作法:
（1）作点A关于OM、
B
ON的对称点A1、A2
O
C
(2）连结A1和A2，交OM于B,交ON于C
点分别放在两条直线的异侧）
练习
1.在锐角AOB中有一点p,若从p点出发到达AO上任意一点后 再到达BO上任意一点,然后返回P点,使总路程最短？
2.探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两 个 定 点 A 、 B ， 在 直 线 l 上 存 在 点 P ， 使 得 PA + P B 的 值 最 小
2将军饮马问题
比较特殊的题型
例题3.∠OAB中有一点P，求在OA、OB上分别找一个点M，N，使 得PM+MN最短（题眼）。
根据前面总结的，首先肯定是作点P的 对称点，那么就面临第一个问题，点P 关于OA和OB的对称都要作吗？这个时 候就要明白，作对称的本质并不是对称 点，而是对称边。换句话说关于OA对 称式在对称线段PM，关于OB对称实际 上是在对称线段PN。那么对于这道题 目，显然PN显然是无用的，所以这道 题目就应该关于OA对称。接下里会面 临第二个问题，对称完连接谁？根据前 面的理论，应该找一个定点相连，这道 题目里面显然没有第二个定点可用。切 记不能直接与N相连，因为N点是个动 点。但是从另一个侧面可以知道这条线 段其实有无数条。但是最终要达到一个 要求连线最短。最后就会想到过P’作 OB垂线。则交点即为所求。
将军饮马最常见的三大模型
类型三
3. 如图，在∠OAB内有两点P、Q，在OA和OB各找一个点M、N， 使得四边形PMNQ周长最短（题眼）。 一般做法：题目中PQ距离 固定。所以只是求PM+MN+QN的最短距离。最终P’Q’+PQ即为所 求最短周长。M、N即为所求的点。 理由：作完对称后，由于 P’M=PM，Q’N=QN，所以 PM+MN+QN=P’M+MN+Q ’N。所以就化成了求P’到Q’ 的最短距离，所以相连即 可。
【点评】
本题考查了二次函数的综合运用， 涉及了顶点坐标的求解、 三角形的面积及轴对称 求最短路径的知识，解答本题的关键是熟练各个知识点，注意培养自己解综合题 的能力．
2．（2015•吉林市一模）如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A （﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求b、c的值； （2）P为抛 物线上的点，且满足S△PAB=8，求P点的坐标； （3）设抛物线 交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）抛物线y=x2 +bx+c与x 轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B （3，0），求得b，c值；（2）设点P 的坐标为（x，y），求得y值，分别代 入从而求得点P的坐标；（3）由AC长 为定值，要使△QAC的周长最小，只 需QA+QC最小．又能求得由几何知识 可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点， 再求得BC的直线，从而求得点Q的坐 标．
初中数学最值系列之将军饮马
最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
将军饮马模型
将军饮马模型LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】将军饮马问题将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。
所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。
而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。
比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。
一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。
1.将军饮马故事“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”原题：如图，一位将军，从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？AB模型一：一条定直线，同侧两定点在直线l的同侧有两点A,B,在L上求一点P，使得PA+PB值最小。
一般做法：作点 A（B）关于直线的对称点，连接 A’B，A’B 与直线交点即为所求点。
A’B即为最短距离。
理由：A’为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=A’P。
所以 PA+PB=PA’+PB。
这样问题就化成了求 A’到 B 的最短距离，直接相连就可以了。
例一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。
已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。
（1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短最短线路的长度是多少千米（2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短此时分支点M与A1的距离是多少千米模型二：一条定直线，一定点，一动点 如图，已知直线L 和定点A ，在直线K 上找一点M，在直线L 上找一点P ，使得AP+PB 值最小。
模型三：一定点，两条定直线如图，在∠OAB 内有一点 P ，在 OA 和 OB 各找一个点 M 、N ，使得△PMN 周长最短（题眼）。
最短路径(将军饮马+造桥选址)
为ＡM＋MN＋ＮＰ＋Ｐ
B
Ｑ＋ＱＢ．
11/24/2019
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方
A
向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿 A1
垂直于第二条河岸方向平移
Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1
M
分别交A、B的对岸于N、P 两点，建桥MN和PQ.
N P
最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为
AA1+A1B1+BB1.
Q B
M N P Q
B
平移的方法有三种：两个桥长都平移 到A点处、都平移到B点处、MN平移 到A点处，PQ平移到B点处
11/24/2019
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
A A1
B
11/24/2019
最短路径 问题
将军饮马 造桥选址
问题
问题
郧西县河夹中学
段廉洁
最短路径问题
①垂线段最短。
B L
A
②两点之间，线段最短。
A L
C B
问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马
人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
A C
B
L
两种情形
① 点A，B分别是直线l异 侧的两个点
a
A
M
b
N
B
解决问题 2
① 作图
A A′
M N
a b
B
② 证明
A A′
a
M′
b
M
N′
N
B
最短路径问题1--将军饮马型2-一点两轴型
13.4最短路径问题1--将军饮马型2-一点两轴型一．【知识要点】题方法是关键。
二．【经典例题】1．如图，已知∠AOB，点P在∠AOB内部，请在射线OA上确定点M，在射线OB上确定点N，使△PMN的周长最小。
【问题 1】作法作图原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小。
连 AB，与 l 交点即为 P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为 AB．【问题 2】作法作图原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小．作 B 关于 l 的对称点 B＇连 A B＇，与 l 交点即为 P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【问题 3】“将军饮马”作法作图原理在直线 l1 、 l2 上分别求点M、N，使△PMN 的周长最小．分别作点 P 关于两直线的对称点 P＇和 P＇，连 P＇P＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．PM+MN+PN 的最小值为线段 P＇P＇＇的长。
【问题 5】作法作图原理在 l1上求点 A，在 l2上求点 B，使 PA+AB 值最小．作点P 关于l1的对称点P＇，作P＇B⊥ l2于B，交l1于 A．点到直线，垂线段最短PA+AB 的值最小为P＇B三．【题库】 【A 】1．有一个养鱼专业户，在如图所示地形的两个池塘内养鱼，他住的地方在P 点，每天早上必须去池塘边投放鱼食，试问他怎么走才能走最少的路程完成放食回到住地？说明理由.2.如图：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为 ．【B 】1.如图，四边形ABCD 中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△A MN 周长最小时，则∠MAN 的度数为____________。
P 2P 1N MO PB A2.如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接1P 2P 交OA 于M ，交OB 于N ，若1P 2P ＝6，则△PMN 的周长为（ ）． A.4 B.5 C.6 D.7【C 】1.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）。
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第一讲 转化思想
一、线段和、差
“牧童放牛”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”，在最近几年的中招试题及竞赛中，该问题经过不同的转化及演变，一 一浮现在我们的眼前，使我们目不暇接，顾此失彼。
因此，我们有必要作一下总结，找出其中的规律，以做到屡战屡胜的效果。
原题：如图，一位小牧童，从A 地出发，赶着牛群到河边饮水，然后再到B 地，问怎样选择饮水的地点，才能使牛群所走的路程最短？
延伸一：某供电部门准备在输电主干线L 上连接一个分支线路，分支点为M ，同时向新落成的A 、B 两个居民小区送电。
已知两个居民小区A 、B 分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。
（1）如果居民小区A 、B 位于主干线L 的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？
（2）如果居民小区A 、B 位于主干线L 的同旁，如图（2）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短？此时分支点M 与A1的距离是多少千米？
•A
•B
• A • B
• B
• A
• A ’
•
B ’
•
A ’
• B ’
L
L
延伸二：如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值是多少？
延伸三：如图，A 是半圆上一个三等分点，B 是弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点， ⊙O 的半径为1，求AP+BP 的最小值。
延伸四：如图所示，在边长为6的菱形ABCD 中,∠DAB=600，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点，则EF+BF 的最小值是多少？
延伸五：在直角坐标系XOY 中x 轴上的动点M （x,0）到定点P （5，5），Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标x=?
A
B
M
N
O P
x
A B C
D
M
N
A
B
C
D
E F • •
例，如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90°，E 、F 分别是AB 、CD 的中
点，求证EF ＝ （AB －CD ）
二、面积问题
例，如图， 中，BC ＝4， ，P 为BC 上一点，过点
P 作PD//AB ，交AC 于D 。
连结AP ，问点P 在BC 上何处时， ⊿APD 面积最大？
ABC ∆︒=∠=6032ACB AC ， A
D
C 2
1
三、中考题
如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于E 1，连结1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥于2E ，连结2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…，
如此继续，可以依次得到点45D D ，，…，n D ，分别记112233BD E BD E BD E △，△，△，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S .则n S =________ABC S △（用含n 的代数式表示）
.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x
的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 与点D ，连接DC.过点D 作D E ⊥DC 交OA 与点E. ① 求过点E,D,C 的抛物线的解析式.
② 将∠DEC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC 交于点G ..如果DF 与第（1）题中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为6/5，那么EF=2GO 是否成立？请说明理由.
③ 对于第（2）题中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C ，G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
B
C
A
E 1 E 2
E 3
D 4
D 1
D 2 D 3
如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．
求证：（1）CG
AE=；
（2）.
MN
CN
DN
AN•
=
•
如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连结BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G
（1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由
（2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗？为什么？
G F
A C
E
B
如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC CD ，于点P Q ，．
（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求::BP PQ QR ．
如图，已知反比例函数x
k y 1
=
的图象与一次函数b x k y +=2的图象交于A 、B 两点，)2,1(),,2(--B n A ．
(1)求反比例函数和一次函数的关系式；
(2)在直线AB 上是否存在一点P ，使APO ∆∽AOB ∆， 若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由．
A B
C
D E
P
O R。