运筹学课程04-灵敏度分析(胡运权 清华大学)
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2012/12/14
18
问题：设bi bi bi , 其余不 变，则bi 在什么范围内 检验行 变化时，原最优基不变 XB
XB 0
E
XN CN- CBB-1N
B-1N
解
NEUQ
Z ：CBB-1b
B-1b
b b1 bi bi bm
11 b1 0 1 21 b2 1 记B b ，B b m1 m
设b b ，
C N C B B N 0不变
1
Z CB B 1b Z CB B 1b
0
B 1b B 1 b 求B 1 若B 1 b 0： 单纯形表保持最优，
1 ， 最优解X * （B 1 b， 0） 最优值Z * C B B b
若B 1 b 0：在原最优单纯形表中， B 1b B 1 b ，Z CB B 1b Z CB B 1 b
bk bk max | ki 0 bi min | ki 0 ki ki
原问题的最优基不变
1i 2i 是B 1的第i列， 其中： M mi b1 b2 B 1b是最优单纯形表中s.t的常数项 M 2012/12/14 bm
CI CB -3 -2
XB X2 X1 σ j
b 2/5 11/5
从表中看到σ3= c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23 ) 可得到Δc3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。
2012/12/14
12
2、基变量对应的价值系数的灵敏度分析
NEUQ
由于基变量对应的价值系数在C B 中出现，因此它会影响所 有非基变量的检验数。设 C B 中一个基变量的 c k 发生变 化，变化量为 ck 。
2012/12/14
14
Ci CB 2 0 3 Ci CB 2 0 3+Δ C 2 XB X1 X5 X2 σ
j
2 XB X1 X5 X2 σ
j
3 X2 0 0 1 0 3+Δ C 2 X2 0 0 1 0
0 X3 0 -2 1/2 -1.5 0 X3 0 -2 1/2
-1.5 -Δ C 2 /2
基变量价值系数变化，影响所有非基变量检验数
2012/12/14
9
NEUQ
当C 变为 C 时，
检验行
XB 0
XN CN- CBB-1N
常数项
≤0
检验数和最优值改变，
但B 1b 0不变
XB E
Z： CBB-1b
B-1N
B-1b
0
若C N C B B 1 N 0 此表仍为最优，
此时最优解不变但最优值改变
当前检验数
XN
Xs
B 1 N B 1 C N CB B 1 N CB B 1
7
2012/12/14
当前基解
NEUQ
单纯形法计算的矩阵描述（回顾）
1 C C B N 0 N B 1 C B 0 B
X B 检验数
CB C B I 0 C B CB B B 0
结论：当bi的改变量bi 满足
bk bk max | ki 0 bi min | ki 0 ki ki
2012/12/14
原问题的最优基不变
20
NEUQ
结论：当bi的改变量bi 满足
1 1 1 B 1 b B (b b) B b B b
1i bi 0 b 1i 1m 1 b 2i i b 2i 2 m b 2 i b bm 0 mi mm mi i
21
NEUQ 例：某工厂准备生产A、B、C三种产品，他们都消耗劳动 力和材料，有关数据如下：
原料 劳动力
材料 售价（元）
产品
A 6
3 3
B 3
4 1
NEUQ
LP灵敏度分析 Sensitivity Analysis
灵敏度分析面对的是信息的不确定性， 也称为后优化分析
2012/12/14
1
NEUQ
灵敏度分析又称“后验分析”，它是对已经得到的最优
方案改变某些条件来检验最优解的“稳定性”以及目标 函数最优值随各种条件变化的“敏感性”；换言之，假 定对于已知线性规划问题已求得的最优解是获得的最大 利润的生产计划安排，现在如果在生产过程中成本系数 向量C，约束常数向量b,约束系数A以及其他条件发生变 化或波动，这些变化限制在什么范围内，在原来得到的 最优安排仍为最优，而不需要改变工作计划？
b
XB B CB
XN N CN
Xs I 0
初始基变量
2012/12/14
6
NEUQ
单纯形法计算的矩阵描述（回顾） 设若干步迭代后，基变量为 X B , X B 在初始单纯形 表中的系数矩阵为B，而A中去掉B的若干列组成矩 阵N，则迭代后的单纯形表为：
基变量 非基变量
XB CB X B B 1b cj zj I 0
0
1i bi 0 1i bi b1 b1 b b b b 0 2i i 2 2 2i i mi bi 0 mi bi bm bm
若 ki 0 , bi
2012/12/14
3
NEБайду номын сангаасQ
单纯形法计算的矩阵描述（回顾） 线性规划问题
max z CX AX b X 0
化为标准型
max z CX 0 X s AX IX s b X 0, X s 0
2012/12/14
4
NEUQ
单纯形法计算的矩阵描述（回顾） XS为松弛变量,XS=(xn+1,xn+2,…,xn+m), I为m×m 矩阵
可得到 -3≤Δc2≤1时，原最优解不变。
2012/12/14
15
NEUQ
二、右边项 b 发生变化的灵敏度分析
设 XB=B1b 是最优解，则有XB=B1b0 b 的变化不会影响检验数 b 的变化量 b 可能导致原最优解变为非可行解
2012/12/14
16
NEUQ
最优单纯形表：
XB 检验行 XB 0 E XN CN- CBB-1N ≤0 B-1N 常数项 Z：CBB-1b B-1b
因此
1 C C B A0 B 1 C B 0 B
1
2012/12/14
8
NEUQ
一、目标函数系数C（价值系统）变化
cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动
cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下， 分析cj 允许的变动范围cj
cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况 非基变量价值系数变化，不影响其它检验数
bk
b b k k 1 B b 0 max | ki 0 bi min | ki 0 ki ki
ki
若 ki 0 , bi
bk
ki
B 1b
b1 bi bm 0 bi
b b
11 b1 21 b2 b m m1
2012/12/14
1i 1m 2i 2 m mi mm
解决这些问题的理论和方法就是灵敏度分析
灵敏度越小，解的稳定性越好
2012/12/14
2
灵敏度分析包括以下几个方面的内容
NEUQ
分析成本系数向量C的变化对解和目标函数值
的影响 分析约束常数向量b的变化对解的影响，以及 通过对偶最优解研究b的变化对目标函数值的 影响 分析系数矩阵A中元素变化对解和目标值的影 响 增加新变化量时最优解和最优值的变化 增加新的约束条件后对最优解和最优值的影响
2012/12/14
13
NEUQ
为保证所有非基变量检验数仍满足最优条件, 有 j j max akj 0 ck min akj 0 j j akj akj
结论2：若ck 是基变量的系数， 则当ck的改变量ck 在范围 j j max | akj 0, j N ck min | akj 0, j N akj akj 内时，最优解不变
1i bi b1 b b 2 2i i b b mi i m
0
19
问题：bi 在什么范围内变化时，B 1 b 0
NEUQ B 1的第 i列
B b
1
b1 1i bi 2i bi b2 b b mi i m
若C N C B B 1 N 0 此表不是最优单纯形表
用单纯形法继续迭代
2012/12/14
10
NEUQ
1、非基变量对应的价值系数的灵敏度分析 设 c k 变化为
' k
ck ck
m i 1
ck ck ci aik k c k
' 只要 k
0
0 X4 1/4 1/2 -1/8 -1/8 0 X4 1/4 1/2 -1/8
-1/8+Δ C2 /8
0 0 1 0 0 0
NEUQ
B 4 4 2
X1 1 0 0 0 2
X5
B 4 4 2
X1 1 0 0 0
X5 0 1 0 0
从表中看到
σj=cj-(c1×a1j+c5 × a5j+(c2+Δc2)×a2j) j=3,4
即
ck k
则最优解不变；否则，将最优单纯形表的检验数 k 用 k’取代，继续单纯形法的表格计算。
结论1：若ck 是非基变量的系数，则当ck的改变量
2012/12/14
ck 在范围ck i内时，最优解不变
11
例：最优单纯形表
CI CB -3 -2 XB X2 X1 σ j b 2/5 11/5 -2 X1 0 1 0
A ( B, N ) XB X X N C (CB , C N )
XB ( B, N ) X b BX B NX N b N
2012/12/14
5
NEUQ
单纯形法计算的矩阵描述（回顾） 初始单纯形表
非基变量 基变量
0
Xs cj zj
-2 X1 0 1 0
NEUQ
-3 X2 1 0 0
-3 X2 1 0 0
-4 0 0 X3 X4 X5 -1/5 -2/5 1/5 7/5 -1/5 -2/5 -9/5 -8/5 -1/5
0 -4+Δ c3 X3 X4 -1/5 -2/5 7/5 -1/5 -9/5+Δ c3 -8/5 0 X5 1/5 -2/5 -1/5
2012/12/14
用对偶单纯形法迭代求出最优解
17
NEUQ
对问题 max z CX B 的求法： s.t AX b X 0
1
标准型 max z CX 1 1 1 X B NX B X B b s.t AX X S b B N S X 0
最优单纯形表的s.t中 松弛变量的系数
18
问题：设bi bi bi , 其余不 变，则bi 在什么范围内 检验行 变化时，原最优基不变 XB
XB 0
E
XN CN- CBB-1N
B-1N
解
NEUQ
Z ：CBB-1b
B-1b
b b1 bi bi bm
11 b1 0 1 21 b2 1 记B b ，B b m1 m
设b b ，
C N C B B N 0不变
1
Z CB B 1b Z CB B 1b
0
B 1b B 1 b 求B 1 若B 1 b 0： 单纯形表保持最优，
1 ， 最优解X * （B 1 b， 0） 最优值Z * C B B b
若B 1 b 0：在原最优单纯形表中， B 1b B 1 b ，Z CB B 1b Z CB B 1 b
bk bk max | ki 0 bi min | ki 0 ki ki
原问题的最优基不变
1i 2i 是B 1的第i列， 其中： M mi b1 b2 B 1b是最优单纯形表中s.t的常数项 M 2012/12/14 bm
CI CB -3 -2
XB X2 X1 σ j
b 2/5 11/5
从表中看到σ3= c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23 ) 可得到Δc3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。
2012/12/14
12
2、基变量对应的价值系数的灵敏度分析
NEUQ
由于基变量对应的价值系数在C B 中出现，因此它会影响所 有非基变量的检验数。设 C B 中一个基变量的 c k 发生变 化，变化量为 ck 。
2012/12/14
14
Ci CB 2 0 3 Ci CB 2 0 3+Δ C 2 XB X1 X5 X2 σ
j
2 XB X1 X5 X2 σ
j
3 X2 0 0 1 0 3+Δ C 2 X2 0 0 1 0
0 X3 0 -2 1/2 -1.5 0 X3 0 -2 1/2
-1.5 -Δ C 2 /2
基变量价值系数变化，影响所有非基变量检验数
2012/12/14
9
NEUQ
当C 变为 C 时，
检验行
XB 0
XN CN- CBB-1N
常数项
≤0
检验数和最优值改变，
但B 1b 0不变
XB E
Z： CBB-1b
B-1N
B-1b
0
若C N C B B 1 N 0 此表仍为最优，
此时最优解不变但最优值改变
当前检验数
XN
Xs
B 1 N B 1 C N CB B 1 N CB B 1
7
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当前基解
NEUQ
单纯形法计算的矩阵描述（回顾）
1 C C B N 0 N B 1 C B 0 B
X B 检验数
CB C B I 0 C B CB B B 0
结论：当bi的改变量bi 满足
bk bk max | ki 0 bi min | ki 0 ki ki
2012/12/14
原问题的最优基不变
20
NEUQ
结论：当bi的改变量bi 满足
1 1 1 B 1 b B (b b) B b B b
1i bi 0 b 1i 1m 1 b 2i i b 2i 2 m b 2 i b bm 0 mi mm mi i
21
NEUQ 例：某工厂准备生产A、B、C三种产品，他们都消耗劳动 力和材料，有关数据如下：
原料 劳动力
材料 售价（元）
产品
A 6
3 3
B 3
4 1
NEUQ
LP灵敏度分析 Sensitivity Analysis
灵敏度分析面对的是信息的不确定性， 也称为后优化分析
2012/12/14
1
NEUQ
灵敏度分析又称“后验分析”，它是对已经得到的最优
方案改变某些条件来检验最优解的“稳定性”以及目标 函数最优值随各种条件变化的“敏感性”；换言之，假 定对于已知线性规划问题已求得的最优解是获得的最大 利润的生产计划安排，现在如果在生产过程中成本系数 向量C，约束常数向量b,约束系数A以及其他条件发生变 化或波动，这些变化限制在什么范围内，在原来得到的 最优安排仍为最优，而不需要改变工作计划？
b
XB B CB
XN N CN
Xs I 0
初始基变量
2012/12/14
6
NEUQ
单纯形法计算的矩阵描述（回顾） 设若干步迭代后，基变量为 X B , X B 在初始单纯形 表中的系数矩阵为B，而A中去掉B的若干列组成矩 阵N，则迭代后的单纯形表为：
基变量 非基变量
XB CB X B B 1b cj zj I 0
0
1i bi 0 1i bi b1 b1 b b b b 0 2i i 2 2 2i i mi bi 0 mi bi bm bm
若 ki 0 , bi
2012/12/14
3
NEБайду номын сангаасQ
单纯形法计算的矩阵描述（回顾） 线性规划问题
max z CX AX b X 0
化为标准型
max z CX 0 X s AX IX s b X 0, X s 0
2012/12/14
4
NEUQ
单纯形法计算的矩阵描述（回顾） XS为松弛变量,XS=(xn+1,xn+2,…,xn+m), I为m×m 矩阵
可得到 -3≤Δc2≤1时，原最优解不变。
2012/12/14
15
NEUQ
二、右边项 b 发生变化的灵敏度分析
设 XB=B1b 是最优解，则有XB=B1b0 b 的变化不会影响检验数 b 的变化量 b 可能导致原最优解变为非可行解
2012/12/14
16
NEUQ
最优单纯形表：
XB 检验行 XB 0 E XN CN- CBB-1N ≤0 B-1N 常数项 Z：CBB-1b B-1b
因此
1 C C B A0 B 1 C B 0 B
1
2012/12/14
8
NEUQ
一、目标函数系数C（价值系统）变化
cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动
cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下， 分析cj 允许的变动范围cj
cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况 非基变量价值系数变化，不影响其它检验数
bk
b b k k 1 B b 0 max | ki 0 bi min | ki 0 ki ki
ki
若 ki 0 , bi
bk
ki
B 1b
b1 bi bm 0 bi
b b
11 b1 21 b2 b m m1
2012/12/14
1i 1m 2i 2 m mi mm
解决这些问题的理论和方法就是灵敏度分析
灵敏度越小，解的稳定性越好
2012/12/14
2
灵敏度分析包括以下几个方面的内容
NEUQ
分析成本系数向量C的变化对解和目标函数值
的影响 分析约束常数向量b的变化对解的影响，以及 通过对偶最优解研究b的变化对目标函数值的 影响 分析系数矩阵A中元素变化对解和目标值的影 响 增加新变化量时最优解和最优值的变化 增加新的约束条件后对最优解和最优值的影响
2012/12/14
13
NEUQ
为保证所有非基变量检验数仍满足最优条件, 有 j j max akj 0 ck min akj 0 j j akj akj
结论2：若ck 是基变量的系数， 则当ck的改变量ck 在范围 j j max | akj 0, j N ck min | akj 0, j N akj akj 内时，最优解不变
1i bi b1 b b 2 2i i b b mi i m
0
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问题：bi 在什么范围内变化时，B 1 b 0
NEUQ B 1的第 i列
B b
1
b1 1i bi 2i bi b2 b b mi i m
若C N C B B 1 N 0 此表不是最优单纯形表
用单纯形法继续迭代
2012/12/14
10
NEUQ
1、非基变量对应的价值系数的灵敏度分析 设 c k 变化为
' k
ck ck
m i 1
ck ck ci aik k c k
' 只要 k
0
0 X4 1/4 1/2 -1/8 -1/8 0 X4 1/4 1/2 -1/8
-1/8+Δ C2 /8
0 0 1 0 0 0
NEUQ
B 4 4 2
X1 1 0 0 0 2
X5
B 4 4 2
X1 1 0 0 0
X5 0 1 0 0
从表中看到
σj=cj-(c1×a1j+c5 × a5j+(c2+Δc2)×a2j) j=3,4
即
ck k
则最优解不变；否则，将最优单纯形表的检验数 k 用 k’取代，继续单纯形法的表格计算。
结论1：若ck 是非基变量的系数，则当ck的改变量
2012/12/14
ck 在范围ck i内时，最优解不变
11
例：最优单纯形表
CI CB -3 -2 XB X2 X1 σ j b 2/5 11/5 -2 X1 0 1 0
A ( B, N ) XB X X N C (CB , C N )
XB ( B, N ) X b BX B NX N b N
2012/12/14
5
NEUQ
单纯形法计算的矩阵描述（回顾） 初始单纯形表
非基变量 基变量
0
Xs cj zj
-2 X1 0 1 0
NEUQ
-3 X2 1 0 0
-3 X2 1 0 0
-4 0 0 X3 X4 X5 -1/5 -2/5 1/5 7/5 -1/5 -2/5 -9/5 -8/5 -1/5
0 -4+Δ c3 X3 X4 -1/5 -2/5 7/5 -1/5 -9/5+Δ c3 -8/5 0 X5 1/5 -2/5 -1/5
2012/12/14
用对偶单纯形法迭代求出最优解
17
NEUQ
对问题 max z CX B 的求法： s.t AX b X 0
1
标准型 max z CX 1 1 1 X B NX B X B b s.t AX X S b B N S X 0
最优单纯形表的s.t中 松弛变量的系数