运筹学课程04-灵敏度分析(胡运权 清华大学)
胡运权运筹学简答题
胡运权运筹学简答题胡运权先生是我们大家公认的物流学泰斗，其所著作的《运筹学》（Operations Research）与《管理科学与工程中的计量技术》（Quantitative Techniques in Management and Engineering）是我国管理学、工程学等许多学科的基础教材。
在本文中，我将回答一下有关胡运权老师所著作的《运筹学》的一些简答题。
一、为什么要学习运筹学？运筹学是一门应用数学，旨在对复杂的决策问题进行优化和决策。
而在现代社会，我们面对的问题无时无刻不与优化、决策相关。
如何通过建立数学模型，对现实问题进行量化分析，据此进行科学地优化和决策，是运筹学吸引我们学习的重要原因。
运筹学涉及的领域非常广泛，可以应用于生产、运输、库存、投资、金融、环境等各个领域。
众所周知，计算机技术的发展与日俱增，已经在各个领域发挥了巨大的作用。
而运筹学作为与计算机紧密结合的一门应用数学，则是计算机技术发挥作用的重要工具。
二、什么是数学规划？数学规划，也称为数学优化，是一种运筹学中用于求解最优决策的数学方法。
数学规划以优化目标函数为主要目标，以约束条件为限制方程，利用数学模型对问题进行精确描述，目标是通过调整决策变量，使得目标函数取得最大值或最小值，以达到问题的最优解。
数学规划可以分为线性规划、非线性规划、整数规划等几种类型。
它们的区别在于目标函数和约束条件的形式。
其中，线性规划是最常见的类型，它的目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划的数学模型可以表示为：max\ c^Tx \\s.t.\ Ax \leq b \\\ \ \ x \geq 0其中，x 是决策变量向量，c 是目标函数系数向量，A 是系数矩阵，b 是约束条件向量。
整数规划则是在线性规划的基础上，要求决策变量只取整数值。
非线性规划则包括一些目标函数或约束条件非线性的情况，要求采用非线性的数学方法进行求解。
三、什么是线性规划？线性规划是数学规划中最常见的类型，也是应用最广泛的求解方法之一。
运筹学完整版胡运权
运筹学简述
运筹学的历史
“运作研究(Operational Research)小组”:解决复 杂的战略和战术问题。例如：
1. 如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭 2. 对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜
艇攻击时损失最少； 3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深
度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。
线性规划问题的数学模型
Page 16
2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
x3) x3)
x5 2 5
x1 , x2 , x3 , x3, x4 , x5 0
Page 25
线性规划问题的数学模型
Page 26
4. 线性规划问题的解
线性规划问题
n
max Z c j x j (1) j1
s.t
n j1
aij x j
bi
(i 1,2,, m)
每年节约成本600万美元 每年节约成本7000万
优化商业用户的电话销售中心选址
控制成本库存（制定最优再定购点和定购 量确保安全库存） 制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量
优化员工安排，以最低成本服务客户
每年节约成本4.06亿美元，销 售额大幅增加 每年节约成本380万美元
每年节约成本1500万美元， 年收入大幅增加。 每年节约成本1300万美元
绪论
灵敏度分析(运筹学)
最优基不变，即在最终表中求得的经过变化后 的b列的所有元素要求不小于0
目标函数 m ax z 2 x1 3x2 x1 2 x2 8 4x 16 1 约束条件 : 4 x2 12 x1 , x2 0
0 x3 1 -2 1/2 -3/2 0 x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8 0 x5 0 1 0 0 θ
（5）按照下表所列情况得出结论或继续计算的步 骤。
原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解 对偶问题 可行解 非可行解 可行解 非可行解 结论或继续计算的步骤 原最优基不变 用单纯形法继续迭代 用对偶单纯形法继续迭 代 引入人工变量 ，扩大原 单纯形表继续计算
资源数量变化是指资源中某系数 br 发生变化，即 br′=br+Δ br。并假设规划问题的其他系数都不变。 这样使最终表中原问题的解相应地变化为 XB′=B-1(b+Δ b) 这里 Δ b=(0,… ， Δ br,0,… ， 0)T 。只要 XB′≥0 ， 因最终表中检验数不变，故最优基不变，但最优 解的值发生了变化，所以 XB′ 为新的最优解。新 的最优解的值可允许变化范围用以下方法确定。
(d) (e) -2
· · ·
1 0 0
0 1 0
cj - zj
XB x1 x5 cj - zj
b (f) 4
x1
x2
x3
x4
x5
(g) (h) 0
2 (i) 7
-1 1 (j)
1/2 1/2 (k)
0 1 (l)
--7--
--第2章 对偶问题--
以前讨论线性规划问题时，假定αij，bi,cj都是常数。 但实际上这些系数往往是估计值和预测值。如市场 条件一变，cj值就会变化；αij往往是因工艺条件的 改变而改变；bi是根据资源投入后的经济效果决定 的一种决策选择。显然，当线性规划问题中某一个 或几个系数发生变化后，原来已得结果一般会发生 变化。 因此，所谓灵敏度分析，是指当线性规划问题中的 参数发生变化后，引起最优解如何改变的分析。
整理《运筹学》第五节 灵敏度分析
《运筹学》第五节灵敏度分析整理表姓名:职业工种:申请级别:受理机构:填报日期:A4打印/ 修订/ 内容可编辑文件编号：99-4D-41-DB-B6西南财经大学《运筹学》教学实施方案一、课程基本信息课程名称：运筹学课程代码： 131602学分：4学时：2学时/课，共64学时。
二、任课教师、助教、教室等情况（一）任课教师：张**，管理科学与工程博士、副教授办公室：通博楼B***答疑辅导时间：周一下午1:00-6:00电子邮件： hlzhang@（二）助教：管理科学与工程硕士研究生答疑辅导时间：双周星期一下午2：00-5:00答疑辅导地点：通博楼***电子邮件：349437566@（三）课程资源：教务处课程中心http://10.9.10.16/（四）教室：B214实验室：I108（五）上课时间：每周二早1-4节（六）纪律：1、无特殊情况，不允许无故缺课。
2、每次作业须在规定时间内提交。
三、阅读材料（一）推荐教材：胡运权:《运筹学教程》第4版，清华大学出版社,2012年11月。
（二）参考教材1.熊伟编著，《运筹学》，机械工业出版社，2005年11月。
2. 运筹学教材编写组，《运筹学（第三版）》，清华大学出版社，2006年。
（三）进一步阅读教材1.中国知网()相关文献2.David R. Anderson等，An Introduction To Management Science: Quantitative Approaches to Decision Making（13th）,South-Western Cengage Learning（电子书,简称MS）.3.自编教材《运筹学案例集》。
第2页共8页四、课程内容概要（一）课程目标1.理解并掌握运筹学系统优化与分析问题的基本思路。
2.能正确对现实中的问题进行抽象，在统筹规划基础上使用运筹学模型进行实际问题的模型构建与求解。
3.能够逻辑清晰地论证他人提出的运筹学模型，并进行评价和完善。
运筹学教程（第二版）（胡运权）课后答案（清华大学出版社）
运筹学教程（第⼆版）（胡运权）课后答案（清华⼤学出版社）运筹学教程（第⼆版）习题解答第⼀章习题解答运筹学教程1.1 ⽤图解法求解下列线性规划问题。
并指出问题具有惟⼀最优解、⽆穷多最优解、⽆界解还是⽆可⾏解。
1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5 x 1 + 6 x 2≤ 82 5 ≤ x ? 1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3) 1 2 x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 21 2 ? ≥ 12 2 1 ? x , x ≥ 0 .? ?2 x 1 + x 2 ≤ 2st ?3x + 4 x (2) max Z = 3x 1 + 2 x 2x , x ≥ 0 1 2该问题⽆解≥ 12 2 1 ? ? 2 x 1 + x 2 ≤ 2st .?3 x +4 x ( 2 ) max Z = 3 x 1 + 2 x 2第⼀章习题解答3 2 1x = 1, x = 1, Z = 3是⼀个最优解⽆穷多最优解，1 2x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 2该问题有⽆界解1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5x 1 + 6 x 2第⼀章习题解答唯⼀最优解， x 1 = 10, x 2 = 6, Z = 16 ≤ 82 5 ≤ x ?1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3)第⼀章习题解答运筹学教程1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。
运筹学清华大学出版社胡运权着课后答案
�12 x1 � 3 x2 � 6 x3 � 3 x4 � 9
(1)
st
��8 ��3
x1 x1
� �
x2 x6
� 4 x3 �0
�
2 x5
� 10
�� x j � 0�, j � 1,� ,6�
min Z � 5 x1 � 2 x2 � 3 x3 � 2 x4
� x1 � 2 x2 � 3 x3 � 4 x4 � 7
运筹学教程�第二版� 习题解答
运筹学教程
1.1 用图解法求解下列线性规划问题。并指出问 题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可 行解。
min Z � 2 x1 � 3 x2 � 4 x1 � 6 x2 � 6
(1) st .�� 2 x1 � 2 x2 � 4 �� x1 , x2 � 0
Z
0
0.5
2
0
5
0
0
1
1
5
2/5
0
11/5
0
43/5
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School of Management
运筹学教程
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划 问题�并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解 法中可行域的哪一顶点。
max Z � 10 x1 � 5 x2 �3 x1 � 4 x2 � 9
max Z � x1 � x2 �6 x1 � 10 x2 � 120 (3) st.�� 5 � x1 � 10 �� 5 � x2 � 8
max Z � 3x1 � 2 x2 �2 x1 � x2 � 2
(2) st.��3x1 � 4 x2 � 12 �� x1, x2 � 0
运筹学教案(胡运权版)
《绪论》（2课时）【教学流程图】举例引入，绪论运筹学运筹学与数学模型的基本概念管理学课堂练习课堂小结布置作业【教学方法】本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。
任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。
自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生的积极性，激发学生参与的热情。
学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。
【教学内容】一、教学过程：（一）举例引入：（5分钟）（1）齐王赛马的故事（2）两个囚犯的故事导入提问：什么叫运筹学？（二）新课：绪论一、运筹学的基本概念（用实例引入）例1-1战国初期，齐国的国王要求田忌和他赛马，规定各人从自己的上马、中马、下马中各选一匹马来比赛，并且说好每输一匹马就得支付一千两银子给予获胜者。
当时齐王的马比田忌的马强，结果每年田忌都要输掉三千两银子。
但孙膑给田忌出主意，可使田忌反输为赢。
试问：如果双方都不对自己的策略保密，当齐王先行动时，哪一方会赢？赢多少？反之呢？例1-2有甲乙两个囚犯正被隔离审讯，若两人都坦白，则每人判入狱8年；若两个人都抵赖，则每人判入狱1年；若只有一人坦白，则他初释放，但另一罪犯被判刑10年。
求双方的最优策略。
乙囚犯抵赖坦白甲囚犯抵赖-1，-1 -10，0坦白0，-10 -8，-8定义：运筹学（Operation Research）是运用系统化的方法，通过建成立数学模型及其测试，协助达成最佳决策的一门科学。
它主要研究经济活动和军事活动中能用数学的分析和运算来有效地配置人力、物力、财力等筹划和管理方面的问题。
二、学习运筹学的方法1、读懂教材上的文字；2、多练习做题，多动脑筋思考；3、作业8次；4、考试；5、EXCEL操作与手动操作结合。
二、学生练习（20分钟）三、课堂小结（5分钟）《线性规划及单纯形法》（2课时）【教学流程图】运筹学运筹学与线性规划的基本概念线性规划（结合例题讲解）线性规划的标准型目标函数结合例题讲解线性规划标准型的转化方法约束条件的右端常数约束条件为不等式课堂练习课堂小结布置作业【教学方法】本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。
清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案
3 x1 x2 x5 3
st
4 x1 3 x2 x3 x6
x1
2 x2
x4
4
6
x j 0（, j 1,,4）
cj
CB
xB
b
-M x5 3
-M
x6
6
0
x4
4
cj zj
-4 x1 1
-M x6 2
0
x4
3
cj zj
-4
-1 0
x1
x2
x3
3
1
0
4
3 -1
1
20
7M-4 4M-1 -M
小于0 ,因此已经得到唯一最优解，最优解为：
X * 2 5 ,9 / 5,1,0T
max Z 10x1 15x2 12x3
5x1 3x2 x3 9
(4)
st
5x1 2x1
6x2 x2 x3
15x3 5
15
x j 0（, j 1,,3）
39
1.8 已知某线性规划问题的初始单纯形
表和用单纯形法迭代后得到下面表格,试求括
弧中未知数a∼l值。
项目
X1 X2 X3 X4 X5
X4 6 (b) (c) (d) 1 0
X5 1 -1 3 (e) 0 1
Cj－Zj
a -1 2 0 0
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
Cj－Zj
0 -7 (j) (k) (l)
6 4
x1 , x2 0
无穷多最优解
(蓝 色 线 段 上 的 点 都 是 最优 解 ）
x1
6 5
,
x2
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2012/12/14
13
NEUQ
为保证所有非基变量检验数仍满足最优条件, 有 j j max akj 0 ck min akj 0 j j akj akj
结论2：若ck 是基变量的系数， 则当ck的改变量ck 在范围 j j max | akj 0, j N ck min | akj 0, j N akj akj 内时，最优解不变
CI CB -3 -2
XB X2 X1 σ j
b 2/5 11/5
从表中看到σ3= c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23 ) 可得到Δc3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。
2012/12/14
12
2、基变量对应的价值系数的灵敏度分析
NEUQ
由于基变量对应的价值系数在C B 中出现，因此它会影响所 有非基变量的检验数。设 C B 中一个基变量的 c k 发生变 化，变化量为 ck 。
0
1i bi 0 1i bi b1 b1 b b b b 0 2i i 2 2 2i i mi bi 0 mi bi bm bm
若 ki 0 , bi
1i bi b1 b b 2 2i i b b mi i m
0
19
问题：bi 在什么范围内变化时，B 1 b 0
NEUQ B 1的第 i列
B b
1
b1 1i bi 2i bi b2 b b mi i m
2012/12/14
3
NEUQ
单纯形法计算的矩阵描述（回顾） 线性规划问题
max z CX AX b X 0
化为标准型
max z CX 0 X s AX IX s b X 0, X s 0
2012/12/14
4
NEUQ
单纯形法计算的矩阵描述（回顾） XS为松弛变量,XS=(xn+1,xn+2,…,xn+m), I为m×m 矩阵
21
NEUQ 例：某工厂准备生产A、B、C三种产品，他们都消耗劳动 力和材料，有关数据如下：
原料 劳动力
材料 售价（元）
产品
A 6
3 3
B 3
4 1
b
XB B CB
XN N CN
Xs I 0
初始基变量
2012/12/14
6
NEUQ
单纯形法计算的矩阵描述（回顾） 设若干步迭代后，基变量为 X B , X B 在初始单纯形 表中的系数矩阵为B，而A中去掉B的若干列组成矩 阵N，则迭代后的单纯形表为：
基变量 非基变量
XB CB X B B 1b cj zj I 0
结论：当bi的改变量bi 满足
bk bk max | ki 0 bi min | ki 0 ki ki
2012/12/14
原问题的最优基不变
20
NEUQ
结论：当bi的改变量bi 满足
基变量价值系数变化，影响所有非基变量检验数
2012/12/14
9
NEUQ
当C 变为 C 时，
检验行
XB 0
XN CN- CBB-1N
常数项
≤0
检验数和最优值改变，
但B 1b 0不变
XB E
Z： CBB-1b
B-1N
B-1b
0
若C N C B B 1 N 0 此表仍为最优，
此时最优解不变但最优值改变
当前检验数
XN
Xs
B 1 N B 1 C N CB B 1 N CB B 1
7
2012/12/14
当前基解
NEUQ
单纯形法计算的矩阵描述（回顾）
1 C C B N 0 N B 1 C B 0 B
X B 检验数
CB C B I 0 C B CB B B 0
2012/12/14
用对偶单纯形法迭代求出最优解
17
NEUQ
对问题 max z CX B 的求法： s.t AX b X 0
1
标准型 max z CX 1 1 1 X B NX B X B b s.t AX X S b B N S X 0
最优单纯形表的s.t中 松弛变量的系数
若C N C B B 1 N 0 此表不是最优单纯形表
用单纯形法继续迭代
2012/12/14
10
NEUQ
1、非基变量对应的价值系数的灵敏度分析 设 c k 变化为
' k
ck ck
m i 1
ck ck ci aik k c k
' 只要 k
0
1 1 1 B 1 b B (b b) B b B b
1i bi 0 b 1i 1m 1 b 2i i b 2i 2 m b 2 i b bm 0 mi mm mi i
bk
b b k k 1 B b 0 max | ki 0 bi min | ki 0 ki ki
ki
若 ki 0 , bi
bk
ki
B 1b
NEUQ
LP灵敏度分析 Sensitivity Analysis
灵敏度分析面对的是信息的不确定性， 也称为后优化分析2012/1Fra bibliotek/141
NEUQ
灵敏度分析又称“后验分析”，它是对已经得到的最优
方案改变某些条件来检验最优解的“稳定性”以及目标 函数最优值随各种条件变化的“敏感性”；换言之，假 定对于已知线性规划问题已求得的最优解是获得的最大 利润的生产计划安排，现在如果在生产过程中成本系数 向量C，约束常数向量b,约束系数A以及其他条件发生变 化或波动，这些变化限制在什么范围内，在原来得到的 最优安排仍为最优，而不需要改变工作计划？
2012/12/14
14
Ci CB 2 0 3 Ci CB 2 0 3+Δ C 2 XB X1 X5 X2 σ
j
2 XB X1 X5 X2 σ
j
3 X2 0 0 1 0 3+Δ C 2 X2 0 0 1 0
0 X3 0 -2 1/2 -1.5 0 X3 0 -2 1/2
-1.5 -Δ C 2 /2
设b b ，
C N C B B N 0不变
1
Z CB B 1b Z CB B 1b
0
B 1b B 1 b 求B 1 若B 1 b 0： 单纯形表保持最优，
1 ， 最优解X * （B 1 b， 0） 最优值Z * C B B b
若B 1 b 0：在原最优单纯形表中， B 1b B 1 b ，Z CB B 1b Z CB B 1 b
b1 bi bm 0 bi
b b
11 b1 21 b2 b m m1
2012/12/14
1i 1m 2i 2 m mi mm
解决这些问题的理论和方法就是灵敏度分析
灵敏度越小，解的稳定性越好
2012/12/14
2
灵敏度分析包括以下几个方面的内容
NEUQ
分析成本系数向量C的变化对解和目标函数值
的影响 分析约束常数向量b的变化对解的影响，以及 通过对偶最优解研究b的变化对目标函数值的 影响 分析系数矩阵A中元素变化对解和目标值的影 响 增加新变化量时最优解和最优值的变化 增加新的约束条件后对最优解和最优值的影响
A ( B, N ) XB X X N C (CB , C N )
XB ( B, N ) X b BX B NX N b N
2012/12/14
5
NEUQ
单纯形法计算的矩阵描述（回顾） 初始单纯形表
非基变量 基变量
0
Xs cj zj
因此
1 C C B A0 B 1 C B 0 B
1
2012/12/14
8
NEUQ
一、目标函数系数C（价值系统）变化
cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动
cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下， 分析cj 允许的变动范围cj
cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况 非基变量价值系数变化，不影响其它检验数
2012/12/14
18
问题：设bi bi bi , 其余不 变，则bi 在什么范围内 检验行 变化时，原最优基不变 XB
XB 0
E
XN CN- CBB-1N
B-1N
解
NEUQ
Z ：CBB-1b
B-1b
b b1 bi bi bm
11 b1 0 1 21 b2 1 记B b ，B b m1 m
bk bk max | ki 0 bi min | ki 0 ki ki
原问题的最优基不变
1i 2i 是B 1的第i列， 其中： M mi b1 b2 B 1b是最优单纯形表中s.t的常数项 M 2012/12/14 bm