高一数学课程第2讲-函数的解析式、定义域和值域

第二讲 函数的解析式、定义域和值域一、知识梳理1．函数的概念设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作 )(x f y =，A x ∈．函数的本质含义是定义域内任一x 值，必须有且仅有惟一的y 值与之对应．函数的定义域与值域：函数的定义中，自变量x 取值的范围叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域．确定一个函数的两个要素：定义域，对应法则．函数好比数的加工厂，定义域是加工范围，值域是产品系列，f 是加工手段． 2．函数的表示法：列表法，图象法，解析法． 图象法和解析法是考查的重点． 3．映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．这时，称y 是x 在映射f 作用下的象，记作)(x f ，于是y ＝)(x f ，x 称作 y 的原象． 映射f 也可记为 B A f →: )(x f x →其中A 叫做映射f 的定义域，由所有象)(x f 构成的集合叫做映射f 的值域．二、方法归纳求函数的解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法、特殊值法等等．求函数的定义域的一般原则：分母不为零，偶次根下的式子不负，零的零次幂没意义，零和负数无对数，等等．求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等．判断某“对应法则”是否为A→B 的映射，主要表现为“一对一”及“多对一”的两种特殊对应；应特别注意：①A 中任一元素在B 中应有象，且象唯一；②B 中可以有空闲元素，即B 中可以有元素没有原象．三、典型例题精讲【例1】如果45)1(2+-=+x x x f ，那么)(x f ＝ .解析：方法一（配凑法）∵45)1(2+-=+x x x f ＝4)11(5)11(2+-+--+x x ，∴)(x f ＝4)1(5)1(2+---x x ＝1072+-x x ．方法二（换元法） 设t x =+1，则1-=t x ，于是4)1(5)1()(2+---=t t t f ＝1072+-t t ，即)(x f ＝1072+-x x ．技巧提示：（1）凑配法：若已知))((x g f 的表达式，需求)(x f 的表达式，可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再将)(x g 统一换为x ，求出)(x f 的表达式．（2）换元法：已知))((x g f 的表达式，需求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式．用凑配法和换元法求)(x f 的解析式时，不单是关注对应法则的变化，还需要考虑定义域的变化． 又例:已知14)12(+=-x x f ，31≤<x ，求函数)(x f .错解分析：∵14)12(+=-x x f ＝3)12(2+-x ，∴)(x f ＝32+x ，31≤<x .定义域是函数的一个要素，没有考虑定义域的变化，所求函数出错．解析：∵14)12(+=-x x f ＝3)12(2+-x ，又∵31≤<x ，有5121≤-<x ，∴)(x f ＝32+x ，51≤<x . 再例:已知函数)(x f 满足)(log x f a ＝)1(12x x a a -- （a ＞0，a ≠1，x ＞0)，求)(x f 的表达式. 错解分析：令x t a log =，于是a ＞1，t ＞0；10<<a ，t ＜0．将t a x =代入，得)(t f ＝)(12tt a a a a ---， ∴)(x f ＝)(12x x a a a a--- （a ＞1，x ＞0；10<<a ，x ＜0）． 在a ＞0，a ≠1，x ＞0的条件下，R t x a ∈=log ．解析：令x t a log =，R t ∈， 将t a x = 代入，得)(t f ＝)(12t t a a a a--- ∴)(x f ＝)(12xx a a a a --- （a ＞0，0≠a ，x R ∈）．【例2】已知二次函数)(x f ＝c bx ax ++2满足1)0()1()1(==-=f f f ，求)(x f 的表达式解析：由c b a f ++=)1(，c b a f +-=-)1(，c f =)0(．得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=)0()]1()1([21)0()]1()1([21f c f f b f f f a 并且)1(f ，)1(-f ，)0(f 不能同时等于1或－1，所以所求函数为：)(x f ＝122-x 或)(x f ＝122+-x 或)(x f ＝12+--x x 或)(x f ＝12--x x 或)(x f ＝12++-x x 或)(x f ＝12-+x x .技巧提示：待定系数法：若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式．又例:已知一次函数)(x f 满足)1(3+x f )1(2--x f ＝172+x ，求)(x f 的表达式． 解析：设)(x f ＝b kx +，则)1(3+x f ＝b k kx 333++，)1(2-x f ＝b k kx 222+-，由)1(3+x f )1(2--x f ＝172+x ，得1725+=++x b k kx ．比较系数及常数项，得⎩⎨⎧=+=1752b k k ，∴2=k ，7=b ．∴)(x f ＝72+x ．再例:如果函数∈-+=c b c bx ax x f ,()(2N +）满足)0(f ＝0，)2(f ＝2，且)2(-f ＜21-．求函数)(x f 的解析式．解析：依题意，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=2240c b a a ，即⎩⎨⎧=-=220c b a ．∴22)(2+-=b bx x x f ．又由21)2(-<-f ，得21244-<+-b ． ∵b ∈N +，∴012>-b ，25<b ．∴b ＝1 或 b ＝2． 又c b -2＝2，故当b ＝1时， c ＝0，不符合题意；当b ＝2时，c ＝2．∴ )1(22)(2≠-=x x x x f ．【例3】 已知)(x f 满足对任意R x ∈，0≠x ，有x xf x f 2)1()(2=+．求)(x f ．解析：∵x xf x f 2)1()(2=+ ……①将x 用x 1代之，得xx f x f 2)()1(2=+……② 由①，②得xx x x x f 3234324)(-=-=． 技巧提示：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法．又例：设)(x f 满足)0(f ＝1，并且)12()()(+--=-y x y x f y x f 对任意实数x 、y 都成立，求)(x f 的解析式．解析：方法一 ：由)0(f ＝1，)12()()(+--=-y x y x f y x f令x ＝y ，得x x x f x x x x f f --=+--=2)()12()()0(，∴)(x f ＝12++x x .方法二：令x ＝0，得1)()(1)1()0()(22+-+-=-+=+--=-y y y y y y f y f ，∴)(x f ＝12++x x ．技巧提示：赋值法：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式． 【例4】求函数29)1ln(1x x y -+-=的定义域．解析：这个函数是两项之和，由第一项有：⎩⎨⎧≠->-1101x x ⇒⎩⎨⎧≠>21x x ， 由第二项有：092≥-x ，33≤≤-⇒x ，取两者之交集，得所求函数的定义域为]3,2()2,1( ．技巧提示：求函数的定义域就是要使函数有意义，目前我们知道：分母为零无意义，负数开偶次方无意义，零的零次幂没意义，零和负数的对数无意义等等．求函数的定义域往往需要解不等式或不等式组；使函数有意义就要使函数的每一部分都要有意义，所以通常需要求数集的交集．又例:（1）函数()()1log 143++--=x x xx f 的定义域是 ． （2）函数)23(log 32-=x y 的定义域是.解析：（1）要使函数)(x f 有意义，必须有⎪⎩⎪⎨⎧>+≠-≥-010104x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧->≠≤114x x x ．应填：]4,1()1,1( -．（2）要使函数有意义，必须有)23(log 32-x ≥0，∴1230≤-<x ，即132≤<x ．应填：]1,32(．再例：函数1002≤<≤⎩⎨⎧=x x xe y x的定义域是 .解析：这是分段函数，其定义域应是各段函数定义域的并集，应填：]1,(-∞． 【例5】 若)(x f y =的定义域为[]2,0，则)(ln x f 的定义域是 ．解析： 由2ln 0≤≤x ， 有20e x e ≤≤得)(ln x f 的定义域为 ],1[2e ．应填：],1[2e ．技巧提示：函数)(x f y =的定义域为[]2,0，意思是f 只能对[]2,0中的数作用，也就是对[]2,0中的数f 才有意义．函数)(ln x f 要有意义，必须f 对x ln 能作用，所以必须2ln 0≤≤x ．又例:已知函数1)(2++=mx mx x f 的定义域是全体实数，则m 的取值范围是（ ）A ．0＜m ≤4B ．0≤m ≤1C ．m ≥4D ．0≤m ≤4错解分析：由12++mx mx ≥０对全体实数都成立，得⎩⎨⎧≤∆>00m ，即⎩⎨⎧≤->0402m m m ．∴m 的取值范围是0＜m ≤4．故选A ．解析：由12++mx mx ≥0对全体实数都成立，得当m ＝0时，1≥0，对全体实数都成立； 当m ≠0时，⎩⎨⎧≤∆>00m ，即 ⎩⎨⎧≤->0402m m m ．∴m 的取值范围是0≤m ≤4．故选B ．技巧提示：这是求函数的定义域的逆问题，即给定函数的定义域，求参数的取值范围．此问题转化为不等式恒成立问题，但要注意二次函数的二次项系数为字母时的分类讨论．再例：已知函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围． 解析：由题意知R x ∈时，012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立． （1）当012=-a 且01≠+a 时，有a ＝1，此时)(x f ＝1，显然对R x ∈时，012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立． （2）当012≠-a 时，有⎪⎩⎪⎨⎧≤+⋅---=∆>-012)1(4)1(01222a a a a ，解不等式组得91≤<a ． 综上知，当R x ∈时，使得)(x f 有意义的a 的取值范围是[1，9]．【例6】 求函数x x y 422+--=的值域．解析：本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设)0)((4)(2≥+-=x f x x x f ，配方得][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f ．利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出所求函数的值域为 ]0,2y ⎡∈⎣．技巧提示：配方法能解决与二次函数有关的函数的值域问题．本题可以直接配方，得x x y 422+--=＝2)2(42---x ，然后经分析得所求函数的值域为]0,2y ⎡∈⎣，因此，有时直接分析也能得到函数的值域． 又例：求242-+-=x y 的值域．解析：由绝对值知识及二次函数值域的求法易得)[∞+∈+-,042x ，∴)[∞+-∈-+-,2242x ，∴)[∞+-∈,2y ．再例：求函数122+--=x x xx y 的值域．解析：观察分子、分母中均含有x x -2项，可先变形后再采取分析法．43)21(11111122222+--=+--+-=+--=x x x x x x x x x y ．由2)21(-x ≥0，有43)21(2+-x ≥43， 0＜43)21(12+-x ≤34，－34≤－43)21(12+-x ＜0，－31≤1－43)21(12+-x ＜1，∴ 所求函数的值域为 )1,31⎢⎣⎡-∈y ．技巧提示：配方法、分析法、配方分析法都是解决含2x 项的函数值域问题的重要方法．本题亦可采用判别式法:将122+--=x x x x y 重新整理为关于x 的二次方程，得0)1()1(2=+---y x y x y ，这个关于x 的二次方程有解，∴1≠y 且判别式△≥０， 由△≥０，得y y y )1(4)1(2---≥0， ∴131≤≤-y ． ∴ 所求函数的值域为 )1,31⎢⎣⎡-∈y ．【例7】已知函数1222+++=x bax x y 的值域为[1，3]，求a 、b 的值． 解析：由题意知R x ∈，把原函数变形为0)2(2=-+--b y ax x y当02=-y 时，满足题意；当02≠-y 时，因R x ∈，所以0))(2(42≥---=∆b y y a ， 即08)2(4422≤-++-a b y b y ．∵31≤≤y ，∴1和3是方程08)2(4422=-++-a b y b y 的两个实根，由韦达定理解得22=±=b a ，．技巧提示：这是求函数的值域的逆问题，即在给定函数值域的条件下求参数的值．解决此问题的关键在于把求值域的问题和解一元二次不等式的问题联系起来，最后通过比较同解不等式的系数，列方程求出参数的值．又例：已知)(x f ＝[)+∞∈++,1,22x xax x ． （1）当a ＝21时，求函数)(x f 的最小值； （2）若对任意x [)+∞∈,1，)(x f ＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．解析：（1）当a ＝21时，)(x f ＝x a x x ++22＝221++x x ＝22)21(2++-xx ， ∵函数xx 21-在[)+∞∈,1x 上是增函数，∴xx 21-≥211-＞０，∴2)21(xx -在[)+∞∈,1x 上是增函数，于是2)21(xx -≥2)211(-≥223- ∴)(x f ＝22)21(2++-xx ≥22223++-＝27， 所以)(x f 的最小值为27. （2）)(x f ＞0即为2++xax ＞0，又[)+∞∈,1x ，∴ a ＞x x 22--恒成立． 而当[)+∞∈,1x 时，22)1(12+-=--x x x ≤－3，∴a ＞－3．四、课后训练1．已知x x f 26log )(=，则=)8(f （ ） A ．34 B ． 8 C ．18 D ．21 2．已知函数)(n f ＝⎩⎨⎧<+≥-),10)](5([),10(3n n f f n n 其中n ∈N ，则)8(f 等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．73.若函数)(x f ＝34-x mx (x ≠43)在定义域内恒有))((x f f ＝x ，则m ＝( )A.3B. 23C.－23 D. －34．（1）已知)(x f 的定义域为[]2,2-，求)1(2-x f 的定义域；（2）已知)(x f 的定义域为[]0,1，求函数)()()(a x f a x f x F -++=的定义域．5．已知函数347)(2+++=kx kx kx x f 的定义域是R ，求实数k 的取值范围． 6．已知函数)(x f ＝xx-+11log 2． （1）求证：)1()()(212121x x x x f x f x f ++=+；（2）若)1(ab b a f ++＝1，21)(=-b f ，求)(a f 的值． 7．求函数3274222++-+=x x x x y 的值域．8．求函数x x y 41332-+-=的值域．9．求函数y =112+++x x ax (x ＞－1且a ＞0)的最小值.10．求函数y=x x -+1的最大值和最小值.五、参考答案1．答案：D解析：由x x f 26log )(=，知0>x ，令86=x ，得212=x ，∴=)8(f 21log 2=x ，故选D ． 2．答案：D解析：)8(f ＝))13((f f ＝)10(f ＝7，故选D ． 3．答案: A解析: ∵ )(x f ＝34-x mx .∴ ))((x f f ＝334434--⋅-⋅x mx x mxm ＝x ，整理比较系数得m ＝3.4．解析：（1）令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而33≤≤-x ，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-．（2）因为)(x f 的定义域为[]0,1，即10≤≤x ．故函数)(x F 的定义域为下列不等式组的解集，⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1010a x a x ，即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a x a a x a 11． 即两个区间[],1a a --与[],1a a +的交集，比较两个区间左、右端点，知（i ）当021≤≤-a 时，)(x F 的定义域为}1|{a x a x +≤≤-； （ii ）当210≤≤a 时，)(x F 的定义域为}1|{a x a x -≤≤； （iii ）当21>a 或21-<a 时，上述两区间的交集为空集，此时)(x F 不能构成函数． 5．解析：要使函数有意义，则必须342++kx kx ≠0恒成立，因为)(x f 的定义域为R ，即方程0342=++kx kx 无实根．①当k ≠0时，需034162<⨯-=∆k k 恒成立，解得430<<k ； ②当k ＝0时，方程变为3＝0恒无实根．综上k 的取值范围是430<≤k ． 6．解析：（1）证明： 221122111log 11log )()(x x x x x f x f -++-+=+＝)11(log 212121212x x x x x x x x +--+++；又 =++-+++=++)1111(log )1(2121212122121x x x x x x x x x x x x f )11(log 212121212x x x x x x x x +--+++． ∴ =+)()(21x f x f )1(2121x x x x f ++． （2）∵)1(abb a f ++＝)(a f ＋)(b f ＝１， 又∵)(b f -＝b b +-11log 2＝12)11(log --+b b ＝bb -+-11log 2＝)(b f -． ∴ )(a f ＝1－)(b f ＝1＋)(b f -＝23． 7．解析：方法一: 由于本题的分子、分母均为关于x 的二次形式，因此可以考虑使用判别式法．将原函数变形为 7423222-+=++x x y xy y x ，整理得073)2(2)2(2=++-+-y x y x y ，显然2≠y ，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足032)(2≠++=x x x f即R x ∈此时方程有实根即△0≥，△[]2,29[0)73)(2(4)]2(22-∈⇒≥+---=y y y y ， ∴ 函数3274222++-+=x x x x y 的值域为)2,29[-． 方法二： 将函数式变形为3274222++-+=x x x x y ＝2)1(1322++-x ． ∵2)1(2++x ≥2， 0＜2)1(132++x ≤213， ∴ 29-≤2)1(1322++-x ＜2． ∴ 函数3274222++-+=x x x x y 的值域为)2,29[-． 8．解析：由于题中含有x 413-不便于计算，但如果令：x t 413-=注意0≥t从而得：)0(321341322≥+--=∴-=t t t y t x 变形得)0(8)1(22≥+--=t t y ， 即：]4,(-∞∈y ．9．解析：∵y ＝112+++x x ax ＝a x ＋1+x a ＋1－a ＝a (x ＋1)＋1+x a ＋1－2a ＝1)11)1((2++-+x x a ≥1．∴ 当 x ＝0时等号成立，min y ＝1．10．解析：令u x =，]1,0[∈u ，[]1,0,1∈=-v v x ，于是，有 122=+v u (0≥u ，)0≥v ，且v u y +=，即y u v +-=，由直线方程斜截式纵截距的几何意义， 1min =y ，2max =y ．。