圆锥曲线的极点与极线方程_汪民岳
圆锥曲线的极坐标方程介绍
节故所求椭圆方程为 x2 y2 1 ． 36 27
肀（II）记椭圆的右顶点为 A ，并设 AFPi i （ i 1，2，3），不失一般性，
莇假设 0 ≤1
2 3
，且 2
1
2 3
，3
1
4 3
．
螆又设点
Pi
在l
上的射影为 Qi
，因椭圆的离心率 e
c a
1 2
，从而有
蚃 FPi
PiQi
e
a2 c
来确定：
肄作射线 OM（如图二）使 XOM ，在 OM 的反向延长线上 P 点，使| OP || | ， 那么 P 点就是极坐标是（ ， ）的点 ( 0) ．
蒈
羅l
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。3
命运如同手中的掌纹，无论多曲折，终掌握在自己手中。
艿 袃O
芆M 莀X
芃 P(, ) ( <0)
命运如同手中的掌纹，无论多曲折，终掌握在自己手中。
袀(22) (本小题满分 12 分)如图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F（3，0），右准线的 方程为：x = 12。 羇（1）求椭圆的方程；
薃（2）在椭圆上任取三个不同点 P1 , P2 , P3 ，使 P1FP2 P2 FP3 P3 FP1 ，证明
袇这就是圆锥曲线的极坐标方程．
膃注意：对于椭圆和双曲线的一支，有 p b2 (b, c 0) ．然而对于抛物线，其中的 p c
即为抛物线标准方程 y2 2 px( p 0) 中的 p ．
虿下面我们就可以使用极坐标方程的方法很容易的解出重庆市０７年高考最后一题的 第二问．
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。3
莃Q 肂
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2025新高考数学一轮复习极点与极线教案课件
知识拓展
定理 2：若点 P(x0，y0)是曲线外的一点，过 P(x0，y0)作曲线的两条切线， 切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程分别是 y0y＝p(x＋x0)，xa02x＋yb02y＝1， xa02x－yb02y＝1.
知识拓展
4.极点和极线的作图(几何意义) 如图所示(以椭圆图形为例)，若点P是不在圆 锥曲线上的点，且不为原点O，过点P作割线 PAB、PCD依次交圆锥曲线于A，B，C，D 四点，连接直线AD，BC交于点M，连接直 线AC，BD交于点N，则直线lMN为极点P对应 的极线.
板块五 平面解析几何
知识拓展
1.极点和极线的代数定义 已知圆锥曲线 Γ：Ax2＋2Bxy＋Cy2＋2Dx＋2Ey＋F＝0，P(x0，y0)(非中心)和直 线 l：Ax0x＋B(x0y＋y0x)＋Cy0y＋D(x0＋x)＋E(y0＋y)＋F＝0，则称点 P(x0，y0) 是直线 l 关于圆锥曲线 Γ 的极点，直线 l 称为 P 点关于曲线 Γ 的极线. 以上代数定义表明，在圆锥曲线方程中，以x0y＋2 y0x替换 xy，以 x0x 替换 x2， 以x0＋2 x替换 x(另一变量 y 也是如此)，即可得到点 P(x0，y0)关于曲线 Γ 的极线 方程.
易错提醒
解题的关键是发现点A(a，b)与直线l：ax＋by－r2＝0互为关于圆C的 极点、极线.
训练2
已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)，点 P(x0，y0)，x0＝acos α，y0＝bsin α，则直线
l：xa02x＋yb02y＝1 与椭圆的位置关系是
A.相交
√B.相切
C.相离
D.以上皆有可能
12345678
3.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的 方程为
用圆锥曲线极点与极线的性质解题
Ⅳ．过圆锥曲线特定直线（极线）上任意一点引圆锥曲线 的切线，则切点弦直线恒过定点（极点）．
上述证明可参考《高等几何》，此处不再展开，这里重在说 明其应用．
例１ 已知椭圆ｃ：每＋ｙ２—１的两焦点为，点Ｐ（如，Ｙｏ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
满足．则１ＰＦ，ｌ＋ｌＰＦ。ｊ的取值范围为——，直线等＋ｙｏｙ＝
１与椭圆Ｃ的公共点个数——．
一条直线都有一个极点．
２．标准方程下圆锥曲线极点与相应极线的方程
，２
．．２
椭圆争＋寺一１，则点ｐ（ｘ。，Ｙ ｃ，）对应的极线方程为：
掣＋掣一１．
Ⅱ。
Ｄ”
双曲线≥一ｙ６２—１，则点ｐ（ｚ。，Ｙ。）对应的极线方程为：
Ｘｏ工 口２
ｙｏＹ一１
ｂ２
１‘
抛物线Ｙ２＝２ｐｘ。则点ｐ（氙，Ｙ。，）对应的极线方程为：
Ｐ（Ｘ０，ｙｏ）．还有学生看到竿＋ｙｏｙ一１这样的结构，认为是 切线，所以判断有一个公共点．事实上，下Ｊ。ｏ ３１＂＋ｙｏＹ一１是
～２
Ｐ（ｚ。，Ｙ。）对应的极线，Ｐ（ｚ。，Ｙ。）在椭圆ｃ：等＋ｙ２—１的内 部，此直线与椭圆相离，故交点数为０个，问题能够快速解决．
而常规方法只能联立方程用判别式判断，计算比较复杂．
引用本文格式：黄彩红 用圆锥曲线极点与极线的性质解题[期刊论文]-中学生数理化（学研版） 2013(10)
点共线．由极点与极线性质知相应的三极线共点于Ｐ．
ｆ竿一ｙ，一一，１
Ｐ（Ｔ。，一１），代入极线方程得：＜
Ｉ—＇／７２：广Ｘ（Ｉ—ｙ２一一１．
两式相减得：塑１二竽堕一（ｙ。一ｙ：）． Ｌ
所以讳·蕊一Ｔ。（ｚ：一ｚ。）一２（弘一ｙ１）一ｏ．
（２）设ＡＢ方程：ｙ一１一ｋｘ，则ＡＢ对应的极点为（２ｋ， １）．把ＡＢ代人Ｃ：，一４ｙ．
高中数学4.2曲线的极坐标方程2曲线的极坐标方程的意义2圆锥曲线的极坐标方程及应用课件苏教版选修4-4
阶
段
段
一
三
第2课时 圆锥曲线的极坐标方程及应用
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．掌握极坐标系中圆锥曲线的方程． 2．会求简单的圆锥曲线的极坐标方程． 3．感受在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的完美统一．
圆锥曲线的统一极坐标方程
[基础·初探]
ρ＝1－eecpos θ，(***)
其中p为焦点到相应准线的距离，称为焦准距．
双曲线极坐标方程的应用
过双曲线
x2 4
－
y2 5
＝1的右焦点，引倾斜角为
π 3
的直线，交双曲线于A、
B两点，求AB.
【思路探究】 求出双曲线极坐标方程，得出A、B两点极坐标，进而求AB.
应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点(极点)的弦长非常方便．椭圆和抛物线 中，该弦长都表示为ρ1＋ρ2，而双曲线中，弦长的一般形式是|ρ1＋ρ2|.
当0＜e＜1时，方程ρ＝1－eecpos
表示椭圆； θ当e＝1时，方(***)为ρ＝1－cpos θ，表示抛物线；
当e＞1时，方程ρ＝1－eecpos θ表示双曲线，其中ρ∈R.
椭圆极坐标方程的应用 已知A、B为椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)上两点，OA⊥OB(O为原点)．
求证：O1A2＋O1B2为定值．
抛物线极坐标的应用
已知抛物线y2＝4x的焦点为F. (1)以F为极点，x轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程； (2)过F作直线l交抛物线于A，B两点，若AB＝16，运用抛物线的极坐标方 程，求直线l的倾斜角．
1．抛物线ρ＝1－c4os θ(ρ＞0)的准线方程为______． 【答案】 ρcos θ＝－4
圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的统一定义：一动点P 到一定点O 的距离与到一定直线L 的距离之比为一定值常数e ，则点P 的轨迹为圆锥曲线。
今以一定点O 为极点，使极轴垂直于定点的直线L ，交点为H ，L PD ⊥.设p HO =，又设),(θρP 为轨迹上任意一点，即θρcos +=HO DP ，从而θρρcos +==p DPOP e ，即θρcos 1e ep -=椭圆（双曲线）的焦参数cb p 2=（极和极线的距离）椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（如右图）其中02>=cb p 是定点F 到定直线的距离， 当10<<e 时，方程表示椭圆；当1>e 时，方程表示双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线右支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。
当1=e 时，方程表示开口向右的抛物线。
引论:（1）若θρcos 1e ep+=当10<<e 时，方程表示极点在右焦点上的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在左焦点的双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线左支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。
当1=e 时，方程表示开口向左的抛物线。
（2）若θρsin 1e ep-=10<<e 时，方程表示极点在下焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在上焦点上的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向上的抛物线。
（3）1sin ep e ρθ=+当10<<e 时，方程表示极点在上焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在下焦点的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向下的抛物线。
整体对比：θρcos 1e ep -=θρcos 1e ep +=θρsin 1e ep-=θρsin 1e ep +=例题：一、二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程θρcos 3510-=表示的曲线的离心率，焦距，长短轴长。
极点与极线法解高中圆锥曲线
极点与极线背景下的高考试题极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)；(3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹.定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，交l 于Q ，则PA PBAQ BQ= ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线.推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭 点为点Q ，则有211PQ PA PB =+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQ PA PB PA PB PA PB --=⇒=⇒-=-11()2PQ PA PB ⇒⋅+= 211PQ PA PB⇒=+.特别地，我们还有推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则PR PR OP OR OP ORRQ R Q OR OQ OR OQ '-+=⇒='-+，化简图1图2即可得2OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出PR PR RQ R Q'='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条 对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠；若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线. 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b+=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. (4)如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2p F 时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题图4 R【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；(2)设12123x x ==，，求点T 的坐标；(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据 极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ， 又点T 对应的极线方程为9195x m y⋅⋅+=，即 15m yx ⋅+=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)， 从而直线MN 也恒过定点K (1,0). 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ，且左焦点为1(F .(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明点Q分析与解：(1)易求得答案22142x y +=. (2)由条件可有PA PBAQ BQ=，说明点,P Q 关于 圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，即41142x y ⋅⋅+=，化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:12416x y C +=，直线:1128x y l +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.分析与解：由条件知2OR OP OQ =⋅可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭，而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.设(12,88)P t t -，则与P 对应的极线方程为12(88)12416t x t y⋅-⋅+=，化简得 (1)2tx t y +-= ③图5,)m图6x又直线OP 的方程为8812ty x t-=，化简得 223ty x t-=④ 解由③④联立方程组得22654244542t x t t tx t t ⎧=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩，消去t 得222346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点.【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线24x y = 的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=(0)λ>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P . (1)证明FP AB ⋅为定值；(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式， 并求S 的最小值.分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=. (2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以212(12ABP S AB FP k ∆==+. 显然，当0k =时，S 取最小值4. 【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2:C y x = 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别相切于,A B 两点. (1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠.分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ， 与002y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1(,2)2.图8图9设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为122212223322422222333k k x x k k x k k k y y k k k y ⎧+++⎪===⎪⎪⎨⎪++--++--+⎪===⎪⎩，消去k 即得 21(42)3y x x =-+.(2)设221122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,)4F ，由(1)知(,2)22k k P -，即1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-，12121(,)24x x FP x x +=-，2221(,)4FB x x =-.221211************111111()()()()244444cos 11()()4x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-.同理1214cos x x FP FB PFB FP FB FP+⋅∠==⋅. 所以有PFA PFB ∠=∠.。
2019-2020人教A版高中数学选修4-4课件第二讲二圆锥曲线的参数方程优质课件
知能演练轻松闯关
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OA、OB.
(1)求线段AB中点M的轨迹方程;
(2)分别以弦OA、OB为直径画圆,求两圆另一交点H的轨迹.
【解】 (1)设点 A(2pt21,2pt1),B(2pt22,2pt2),M(x,y), 则 x＝p(t21＋t22),① y＝p(t1＋t2),y2＝p2(t21＋t22＋2t1t2).② 又 OA⊥OB,且 kOA＝t11,kOB＝t12, 则t11·t12＝－1,t1·t2＝－1.③
所以,中点 M 的轨迹方程是py22＝xp－2,
即 y2＝p(x－2p)(p>0).
题型四 应用参数求曲线的轨迹方程
例4 设抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l,焦点为F,顶点为
O,P为抛物线上任一点,PQ⊥l于Q,求QF与OP的交点M的轨
迹方程. 【解】 设 P 点的坐标为(2pt2,2pt),当 t≠0 时,直线 OP 的方 程为 y＝1t x,QF 的方程为 y＝－2t(x－p2),它们的交点 M(x,y)
x＝asec θ _y_＝__b_t_a_n_θ____(θ
为参数,0≤θ＜2π,_θ_≠__π2_,3_2π______,a>0,b>0).
4.抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程 x＝2pt2
__y_＝__2_p_t ____(p>0,t 为参数,t∈R),
其中参数 t 可以视为该抛物线 y2＝2px(p>0)上任一点 P 与 抛物线顶点 O 所连直线 OP 的斜率的倒数,即对抛物线上任 一点 P(x,y),都有 t＝xy.
则
d1·d2＝|absec
φ＋abtan a2＋b2
2019版数学人教A版选修4-4课件：2.2 圆锥曲线的参数方程 .pdf
������ ������
= =
2������������ 2 , 2������������
(������为参数).
(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线
的斜率的倒数.
【做一做3】 抛物线y2=14x的参数方程是( )
A.
������ ������
= =
14������, 14������2
(������是参数).因此,参数
φ
的几何意义是椭圆上任意一点
M 所对应的圆的半径 OA(或 OB)的旋转角(称为点 M 的离心角),而
不是 OM 的旋转角,如图所示.
-7-
二 圆锥曲线的参数方程
目标导航
3
(������为参数).
答案:
������ ������
= =
3sec������, tan������
-5-
二 圆锥曲线的参数方程
目标导航
Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
3.抛物线的参数方程
(1)抛物线 y2=2px(p>0)的参数方程为
-3-
二 圆锥曲线的参数方程
目标导航
Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
【做一做1-2】 在下面的参数方程中,表示的曲线是椭圆的为
()
A.
������ ������
= =
������cos������, ������sin������
-2-
二 圆锥曲线的参数方程