探讨数学思维与物理思维的差异性对高中学生学习的影响

探讨数学思维与物理思维的差异性对高中学生学习的影响江苏省新海高级中学李庆222006虽说“物理与数学相通”，“数学为物理解题服务”，却发现有许多高中学生出现这样的现象：数学学得很好的同学物理学得较差，物理学得很好的同学数学学得不理想。

笔者是物理教师，针对这一现象会经常与一些数学教师进行探讨，也时常做一做数学习题，看一看自己的解答与所提供的数学答案之间就思维过程有什么不同。

通过探讨与解题，发现数学思维与物理思维之间的差异是导致上述现象的原因。

物理是一门实验学科，它强调的是针对具体的实验事实，通过观察分析，忽略次要因素，有时还要借组作图等手段，建立模型，运用有关定律或定理列出方程进行求解。

数学是一门理论学科，它强调的是通过严密的逻辑推理推导出结论，推导过程中如果不是公理、定理等，要得出某些结论就必须加以说明或给出证明。

由于这两门学科的出发点和要求不同，在分析问题时所采用的思维方法就不同，物理需要“事实依据”，做到“以事实说话”；数学则需要“缜密思维”，做到“无懈可击”。

在日常的教学中，数学教师强调数学思维，物理教师则强调物理思维，使得学生在学习中感觉不到它们之间还有相通之处，甚至有部分学生把这两种思维对立起来，常常对“用物理思维解决数学问题”或“用数学思维解决物理问题”感到惊讶，有时还会产生怀疑。

笔者通过本文对这两种思维的相通性进行探讨，也希望物理教师与数学教师能经常沟通，寻找物理思维与数学思维的交叉点，让学生学习数学与物理不再是痛苦而是快乐的。

一、用物理思维解决数学问题，有时可以避开数学的繁琐讨论或运算例1 若定义在区间D上的函数f（x）满足：对任意的x∈D，都有f（x）∈D，则称函数f （x）在区间D上封闭。

若函数h（x）= x 3—3 x在区间[ a，b ]（a，b∈Z，且a≠b）上封闭，求a，b的值。

所给出的数学解答是这样的：因为h（x）= x 3—3 x，所以h /（x）= 3 x 2—3 = 3（x + 1）（x -1）当x＜-1或x＞1时，h /（x）＞0；当x = -1或1时，h /（x）= 0；当-1＜x＜1时，h /（x）＜0，所以h（x）在区间（-∞，-1 ]上单调递增，在区间[ -1，1 ]上单调递减，在区间[ 1，+∞）上单调递增。

从而h（x）在x = -1处取得极大值2，在x = 1处取得极小值-2。

方法一：①当a＜b≤-1时，因为h（x）在区间[ a，b]上单调递增，所以h（a）= a 3 —3 a≥a，h（b）= b 3 —3 b≤b，即a（a + 2）（a -2）≥0，b（b + 2）（b -2）≤0，解得：-2≤a≤0或a≥2，b≤-2或0≤b≤2。

此时无解。

②当a≤-1＜b≤1时，因为h（-1）= 2＞b，与“h（x）在区间[ a，b]上封闭”矛盾，无解。

③当a≤-1且b＞1时，因为h（-1）= 2，h（1）= -2，故a≤-2，b＞2。

由h（a）= a 3—3 a≥a，h（b）= b 3 —3 b≤b，解得：-2≤a≤0或a≥2，b≤-2或0≤b≤2。

从而a = -2，b = 2。

④当-1≤a＜b≤1时，h（x）在区间[ a，b]上单调递减，所以h（b）= a 3 —3 a≥a，h（a）= b 3 —3 b≤b，又a，b∈Z，所以：a = -1，b = 0或a = -1，b = 1 或a = 0，b = 1。

带入h（b）= a 3 —3 a≥a，h（a）= b 3 —3 b≤b检验，均不合要求，即此时无解。

⑤当-1≤a≤1且b≥1时，因为h（1）= -2＜a，与“h（x）在区间[ a，b]上封闭”矛盾，此时无解。

⑥当1≤a＜b时，因为h（x）在区间[ a，b]上递增，所以h（a）= a 3 —3 a≥a，h（b）= b 3 —3 b≤b，得：-2≤a≤0或a≥2，b≤-2或0≤b≤2。

此时无解。

综上所述，a = -2，b = 2。

方法二：由题意知，h（a）= a 3 —3 a≥a，h（b）= b 3 —3 b≤b，即a（a + 2）（a -2）≥0，b（b + 2）（b -2）≤0，得：-2≤a≤0或a≥2，b≤-2或0≤b≤2。

因为a＜b，所以-2≤a≤0，0≤b≤2。

又a，b∈Z，故a只可能取-2，-1，0；b只可能取0，1，2。

①当a = -2时，因为b＞0，故由h（-1）= 2，得b≥2。

因此b = 2。

经检验，a = -2，b = 2满足题意。

②当a = -1时，由于h（-1）= 2，故b = 2，此时h（1）= -2，不满足题意。

③当a = 0时，显然不满足题意。

综上所述，a = -2，b = 2。

上述两种方法中，方法二比较好。

至于方法一，训练学生的数学思维是必要的，但笔者认为，对于一些已经有了“数学恐惧症”的学生来说，只能使“恐惧感”加剧。

倒不如换成用物理思维去思考，目标很明确，符合学生的认知水平。

题中所给的“事实”是函数h（x）= x 3 —3 x，这个函数的图象是怎样的？为了能作出h（x）的图象，就要找出极值点和单调区间，学生可利用h /（x）能做到这一点。

h（x）= x 3—3 x，所以h /（x）= 3 x 2—3 = 3（x + 1）（x -1）Array当x＜-1或x＞1时，h /（x）＞0；当x = -1或1时，h /（x）= 0；当-1＜x＜1时，h/（x）＜0，所以h（x）在区间（-∞，-1 ]上单调递增，在区间[ -1，1 ]上单调递减，在区间[ 1，+∞）上单调递增。

从而h（x）在x = -1处取得极大值2，在x = 1处取得极小值-2。

h（0）= 0，得出h（x）的图象如图1所示。

由图1可得，-2≤x≤2时，-2≤h（x）≤2。

所以a = -2，b = 2。

例2 已知实数x，y同时满足4—x + 27—y = 5 / 6 （1）log 27 y—log 4 x≥1 / 6 （2）27 y—4 x ≤1 （3）则x + y的取值范围为。

解答如下：令27—y = u（u＞0），4—x = v（v＞0），则（1）式为：u + v = 5 / 6 （4）（3）式为：1 / u -1 / v ≤1，即（v—u）/ uv ≤1，v—u≤uv （5）由（4）式得：u = 5 / 6—v代入（5）式并整理得：6 v 2 + 7 v—5≤0解得：-5 / 3≤v≤1 / 2，由于v＞0，所以：0＜v≤1 / 2。

因为v = 4—x≤1 / 2，即2—2x ≤2—1，所以2 x≥1，即x≥1 / 2 。

所以：log 4 x≥log 4（1 / 2）= -1 / 2 即：-log 4 x≤1 / 2 （6）又因为：v = 5 / 6—u，所以：0＜5 / 6—u≤1 / 2，得：u≥1 / 3。

u = 27—y≥1 /3，即3—3y≥3—1，所以：3 y≤1，即y≤1 / 3。

得：log 27 y≤log 27（1 / 3）= -1 / 3 （7）由（6）、（7）两式得：log 27 y—log 4 x≤-1 / 3 + 1 / 2 = 1 / 6 （8）将（8）式与（2）式作比较，log 27 y —log 4 x= 1 / 6，所以：x = 1 / 2，y = 1 / 3，x + y = 5 / 6。

笔者用物理思维解这道题，解答过程如下：首先观察所给的“事实”：对于（1）式，左边与“2”、“3”有关，右边可以拆成：5 /6 = 1 / 2 + 1 / 3。

于是提出一个尝试解：4—x = 1 / 2，27—y = 1 / 3。

将这个尝试解带入（2）、（3）两式进行验证，发现满足它们的要求（这两道式均取“=”号）。

若4—x ＞1 / 2，则27—y ＜1 / 3。

得：4 x ＜2，27 y ＞3，与（3）式相矛盾。

若4—x ＜1 / 2，则27—y ＞1 / 3。

得：4 x ＞2，27 y ＜3，即x ＞1 / 2，y ＜1 / 3，与（2）式相矛盾。

综上所述，有：4—x = 1 / 2，27—y = 1 / 3，即x = 1 / 2，y = 1 / 3。

所以：x + y = 5 / 6。

根据实验事实，提出猜想或假设，再进行验证，这是物理中常用的方法。

本题中提出尝试解，体现了这一思维方式。

如果要求学生“步步为营”进行推导，对一些数学推理不是太好的学生来说，是极为不利的。

二、运用数学思维解物理问题，可以提供方法指导或避免漏解出现例3 如图2所示是由无数个阻值均为r 的电阻按一定规律组成的网络，求A 、B 两点间的电阻R 。

在解本题之前，先来解下面的一道数学题。

求 +++222（根号个数为无数个）的值。

这是一道极限题，根据“无数个”的含义，“无数个”加上或减去“有限个”还是“无数个”。

令 +++222= k ，则有：k +2= k ，解得：k = 2。

根据上述数学思维过程，若将图2中的电路从C 、D 点剪断，则C 、D 两点右侧的电路应与原电路相同，即这部分的电阻应与原电路的A 、B 间电阻相同，为R 。

图2的电路就可以用图3来等效代替。

有： R = r + R r /（R + r ）所以：R =（1 +5）r / 2。

这就是A 、B 间的电阻值。

本题若仅从物理的角度来分析，是很困难的，利用上述数学思维来解，就显得容易多了。

例4 如图4所示，一质量为m 的小球套在竖直放置半径为R 的光滑大圆环上，一劲度系数为k ，自然长度为L （L ＜2 R ）的轻弹簧，其一端与小球相连，另一端固定在大环的最高点，不计摩擦，小球静止时弹簧与竖直方向的夹角为θ，求圆环对小球的弹力。

解答如下：小球受重力m g 、弹簧弹力F 、圆环对小球的弹力N 作用，受力图如图4所示。

沿弹簧弹力F 方向及垂直F 方向进行正交分解，可得平衡方程：m g sin θ= N sin θ （Ⅰ） F = N cos θ + m g cos θ （Ⅱ）由（Ⅰ）得：N = m g 。

许多同学解到此处认为已经完成了。

仔细推敲（Ⅰ）式，就会发现，得到N = m g 的前提是等式两边的sin θ不为零，即θ≠0。

若θ= 0，N ≠m g 等式也成立。

R 图3若θ≠0，则N = m g 。

而F = k （2 R cos θ—L ），则（Ⅱ）式可以写成：k （2 R cos θ—L ）= 2 m g cos θ，所以：cos θ= k L /（2 k R —2 m g ）＜1，得：k ＞2 m g /（2 R —L ）。

若k ≤2 m g /（2 R —L ），则θ= 0。

此时弹簧处于竖直方向，伸长量为：2 R —L 。

对于N ，以向下的方向为正方向，则：N + m g = k （2 R —L ），即：N = k （2 R —L ）—m g 。