---第二章_对偶理论与灵敏度分析

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I 原材料 工时 利润(元) 利润 元 2 5 4
II 3 2 3
资源总量 24 26
解: 1) 设y1--出售单位原材料的价格 y2-----出租设备单位工时的租金。 ----2）目标函数： 工厂的总收入: W=24y1+26y2----租赁方需要付出的成本 Min W=24y1+26y2 2 y + 5 y ≥ 4 3)约束条件: 1 2
11
表2.14
CB 0 0 XB x4 x5 b 12 20 0
5 x1 1 1 5 5 XB b 4 8 －84 x1 1 0 0
8 x2 1 2 8 8 x2 0 1 0
6 x3 1 2 6 6 x3 0 1 -2
0 x4 1 0 0 0 x4 2 -1 -2
0 x5 0 1 0 0 x5 -1 1 -3
B −1b ≥ 0 C − CB B−1 A ≤ 0
单纯形法 的前提下， 在保证 B b ≥ 0 的前提下，使C − CB B −1 A ≥ 0 迭代到 C − C B B −1 A ≤ 0 对偶单纯形法:根据对偶问题的对称性 保持对偶可行下， 根据对偶问题的对称性， 对偶单纯形法 根据对偶问题的对称性，保持对偶可行下，经 过迭代，逐步实现原问题可行，以求得最优解。 过迭代，逐步实现原问题可行，以求得最优解。
-9 x1 9/14 1/14 -3/14 -9 x1 1 0 0 0 -9/7 [-9/14]
-12 x2 0 1 0 0 -12 x2 0 1 0 0
-15 x3 0 0 1 0 -15 x3 0 0 1 0
0 x4 1 0 0 0 0 x4 -14/9 1 1/9 -1/3
0 x5 -9/14 -5/14 1/14
-12 x2 -2 -3 -1 -12 -15 x3 -1 -1 [-5] -15 0 x4 1 0 0 0 0 x5 0 1 0 0 0 x6 0 0 1 0
7
CB 0 0 0 -z’
CB 0 0 0 -z’ CB 0 0 -15 -z’
表2.4cj xB x4 x5 x6 xB x4 x5 x3
表2.4cj xB b x4 -10 x5 -12 x6 -14 0 -9 x1 -2 -2 -1 -9
maxZ′ = −9x1 −12x2 −15x3 = −10 −2x1 − 2x2 − x3 + x4 + x5 = −12 −2x1 − 3x2 − x3 s.t + x6 = −14 − x1 − x2 − 5x3 x ,L,x ≥ 0 6 1
14
(2)
b1 = 30
2 B b= − 1
−1
− 1 30 40 20 = − 10 1
5 8 x2 0 1 0 8 x2 2 －1 －2 6 x3 0 1 -2 6 x3 2 －1 -4 0 x4 2 [-1] -2 0 x4 0 1 0 0 x5 -1 1 -3 0 x5 1 －1 -5
-9 b -10 -12 -14 0 b -7.2 -9.2 2.8 42 x1 -2 -2 -1 -9 x1 -1.8 0.2 -6
-12 x2 -2 -3 -1 -12 x2 -1.8 0.2 -9
-15 x3 -1 -1 [-5] -15 x3 0 0 1 0
0 x4 1 0 0 0 x4 1 0 0 0
15
表2.20
XB 5 8 x1 x2 －Z
表2.21
b 40 －10 －120
x1 1 0 0 5
XB 5 0 x1 x4 －Z
b 20 10 －100
x1 1 0 0
目标值为100。 最优方案为 X=(20,0,0)T,目标值为 。 目标值为
10
例2.9
已知某企业计划生产3种产品 、 、 ， 已知某企业计划生产 种产品A、B、C，其资源消耗 种产品 与利润如表2.12所示 与利润如表 所示 A 甲 乙 利润 1 1 5 B 1 2 8 C 1 2 6 资源量 12 20
问：如何安排产品产量，可获最大利润？ 如何安排产品产量，可获最大利润？ 解：设三种产品的产量分别为x1、x2、x3， 标准型为 设三种产品的产量分别为 max Z=5x1 +8x2 +6x3 x1 +x2 +x3+x4=12 x1 +2x2 +2x3+x5=20 x1 , x2 ,x3 , x4,x5>0
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析 第一节 线性规划的对偶理论
一、对偶问题的提出
即任何一个求maxZ的LP都有一个求 的 都有一个求 都有一个求minW的LP。 即任何一个求 的 。 其中的一个问题叫“原问题” 记为“ 其中的一个问题叫“原问题”，记为“LP”， ， 另一个称为“对偶问题” 记为“ 另一个称为“对偶问题”，记为“DP”。 。
II 3 2 3
资源总量 24 26
2
设 :x1、x2---计划期内生产产品 、II的件数 计划期内生产产品I、 的件数 计划期内生产产品
m ax Z = 4 x 1 + 3 x 2 2 x 1 + 3 x 2 ≤ 24 s .t . 5 x 1 + 2 x 2 ≤ 26 x 1, x 2 ≥ 0 (材 料 约 束 ) (工 时 约 束 )
B − 1b 不பைடு நூலகம்全 ≥ 0
对偶单纯形法- 新的最优方案。 对偶单纯形法 新的最优方案。
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(1)
−1
b1
2 − 1 b1 B b= 20 ≥ 0 − 1 1
2b1 − 20 ≥ 0 − b1 + 20 ≥ 0
10 ≤ b1 ≤ 20
即原料甲的供应量在[10， 之间时并不影响最优方案 之间时并不影响最优方案。 即原料甲的供应量在 ，20]之间时并不影响最优方案。 当 b1 = 18 时，最优方案调整为 X=(16,2,0)T,目标值为96。
初始表 表2.15
CB 5 8 x1 x2
最优表 －Z
最优方案为 X=(4,8,0)T,目标值为84。
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2、资源b的灵敏度分析 、资源 的灵敏度分析
b XB －Z
B −1b ≥ 0
X B-1A C-C BB-1A
B-1b -C BB-1b
影响最优解和最优值 最优基不变---即生产产品的品种不变，但最优值会变化。 最优基不变 即生产产品的品种不变，但最优值会变化。 即生产产品的品种不变
−1
对偶单纯形是先保证现行解对应的对偶问题可行， 对偶单纯形是先保证现行解对应的对偶问题可行，即 C − CB B ，然后从 B b ≤ 0 迭代到 B b ≥ 0 。
−1 −1
−1
A≤0
6
例2.7 用对偶单纯形法求解
min Z = 9 x1 + 12 x2 + 15 x3 2 x1 + 2 x2 + x3 ≥ 10 2 x + 3 x + x ≥ 12 1 2 3 x1 + x2 + 5 x3 ≥ 14 x j ≥ 0( j = 1.2.3)
1
例2.1 资源的合理利用问题
某工厂在计划期内安排生产Ⅰ 某工厂在计划期内安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品 已知资料如表2.1所示 所示， ，已知资料如表 所示，问应如何安排生产计划 使得既能充分利用现有资源有使总利润最大？ 使得既能充分利用现有资源有使总利润最大？
表2.1
I 原材料 工时 利润 2 5 4
（对偶问题） 对偶问题）
在同一企业的资源状况和生产条件下产生的， 在同一企业的资源状况和生产条件下产生的，且是同 一个问题从不同角度考虑所产生的， 一个问题从不同角度考虑所产生的，因此两者密切相 两个LP问题是互为对偶 关-----两个 问题是互为对偶 两个
5
第二节、 第二节、对偶单纯形法
1. 单纯形法的重新解释 设X*是最大化LP问题最优解的充要条件是
3
y
1
+ 2
y
2
≥ 3
4
m ax Z = 4 x 1 + 3 x 2
m in W = 24 y + 26 y
1
2
2 y + 5 y ≥ 4 原问题） 2 x 1 + 3 x 2 ≤ 24（原问题） 1 2 s .t . 3 y + 2 y ≥ 3 s .t . 5 x 1 + 2 x 2 ≤ 26 1 2 y 1, y 2 ≥ 0 x 1, x 2 ≥ 0
现假设工厂考虑为每种资源定价--租金使其获得 现假设工厂考虑为每种资源定价 租金使其获得 的利润最大？ 的利润最大？ 分析问题： 分析问题： 1、每种资源定价不能低于自己生产时的可获利润； 、每种资源定价不能低于自己生产时的可获利润； 2、定价又不能太高，要使对方能够接受。 、定价又不能太高，要使对方能够接受。
0 x6 -1/14 1/14 -3/14
-z’
-45/14 -33/14 0 x5 1 -1 0 -3 0 x6 1/9 0 -2/9 -7/3
9
-z’
第三节、 第三节、灵敏度分析
如市场条件发生变化，价值系数就会发生变化； 如市场条件发生变化，价值系数就会发生变化； 当资源投入量发生改变时，也随着发生变化； 当资源投入量发生改变时，也随着发生变化； 当工艺条件发生改变时，也随着工艺的变化而变化。 当工艺条件发生改变时，也随着工艺的变化而变化。 b XB XN XB B-1 b I B-1 N -Z -CB B-1b 0 CN -CB B-1 N 灵敏度分析 1）系数在什么范围内变化时，最优解（基）不变； ）系数在什么范围内变化时，最优解（ 不变； 2）若系数的变化使最优解发生变化，如何最简便地 ）若系数的变化使最优解发生变化， 求得新的最优解(值 结构）。 求得新的最优解 值，结构）。