独立性检验3
高中数学- 独立性检验
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1．对于事件A与B及统计量χ2，下列说法正确的是( ) A．χ2越大，“A与B有关系”的可信程度越小 B．χ2越小，“A与B有关系”的可信程度越小 C．χ2越接近于0，“A与B没有关系”的可信程度越小 D．χ2越大，“A与B没有关系”的可信程度越大 解析：χ2越大，“A与B没有关系”的可信程度越小，则 “A与B有关系”的可信程度越大，即χ2越小，“A与B有 关系”的可信程度越小． 答案：B
2．独立性检验
(1)χ2＝
nn11n22－n12n212 n1＋n2＋n＋1n＋2
.
(2)经过对χ2统计量分布的研究，已经得到了两个临界
值：3.841与6.635.
①当χ2>3.841时，有 95%的把握说事件A与B有关；
②当χ2>6.635时，有 99%的把握说事件A与B有关； ③当χ2≤3.841时，认为事件A与B是 无关的．
性别与患色盲有关系．
(10分)
[一点通] (1)独立性检验方法有三步：一是列表，二是计算， 三是判断． (2)注意判断时把计算结果与两个临界值3.841与 6.635比较，其值越大，有关的可信度越高．
3．为观察药物A、B治疗某病的疗效，某医生将100例患 该病的病人随机分成两组，一组40人，服用A药；另 一组60人，服用B药．结果发现：服用A药的40人中有 30人治愈；服用B药的60人中有11人治愈．问A、B两 药对该病的治愈率之间是否有显著差异？
3.2 独立性检验
（3）两个临界值：3.841与6.635.
经过对χ2统计量分布的研究，已经得到了 两个临界值：3.841与6.635。
当根据具体的数据算出的χ2>3.841时，有 95%的把握说事件A与事件B有关； 当χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与事 件B有关； 当χ2<3.841时，认为事件A与事件B无关；
对于人力资源部的研究项目，根据上述数 据能得出什么结论？
解：这是一个2×2列联表的独立性检验问 题，由公式
189(54 63 32 40) 2 2 10.759 94 95 86 103
因为10.759>6.635，所以有99%的把握说： 员工“工作积极”与“积极支持企业改革” 是有关的。可以认为企业的全体员工对待 企业改革的态度与其工作积极性是有关的。
也应该比较小。 （2）卡方统计量： 为了消除样本对上式的影响，通常用卡方 2 2 (观测值 预期值) ）来进行估 统计量（χ 预期值 计．
卡方χ2统计量公式：
2
n n11n22 n12 n21 n1 n 2 n1n2
2
用它的大小可以决定是否拒绝原来的统计 假设H0，如果算出的χ2值较大，就拒绝 H0，也就是拒绝“事件A与事件B无关”， 从而就认为它们是有关的了
因为1.780<3.841，我们没有理由说“心脏 搭桥手术”与“又发生过心脏病”有关， 可以认为病人又发作心脏病与否跟他做过 何种手术无关。
3．某大型企业人力资源部为了研究企业员 工工作积极性和对待企业改革态度的关系， 随机抽取了189名员工进行调查，所得的数 据如下表所示：
工作积极 工作一般 合计 积极支持企业 改革 54 32 86 不太赞成企业 改革 40 63 103 合计 94 95 189
数学：1.1《独立性检验》教案(3)(新人教B版选修1-2)
1.1独立性检验教学目标：通过对典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用。
教学重点：通过对典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用。
教学过程（一）、x 2检验的基本步骤1、建立虚无假设：观察的结果与期望的结果无差异。
2、确定检验水平等级 P=0.05 或P=0.01 3、应用公式计算∑-=ee f f f x 202)(其中：f 0 观察实际的次数f e ：期望次数（理论次数）4、根据计算得出x 2值和df 值（自由度）查x 2值表.查出：x 2（df ）0.01或x 2（df ）0.05的值。
5、用x 2值与x 2（df ）0.01或x 2（df ）0.05值比较大小。
若x 2≥x 2（df ）0.01 p ≥0.01 差异非常显著 否定虚无假设 x 2 ≤ x 2（df ）0.05 p ≤0.05 差异显著 否定虚无假设 x 2 < x 2（df ）0.05 p>0.05 差异不显著 承认虚无假设（二）、例1、对某一电教媒体能否在课堂教学使用的问卷调查中，有44名教师发表了意见，其中很同意者23人，同意者13人，不同意者6人，很不同意者2人。
问各类意见之间4df 解：11444====n N f e 态度等级数观察总人数 df=n-1=4-1=31、建立虚无假设：观察的结果与期望的结果无差异2、确定检验水平等级 P=0.013、计算x 2值09.2311)112(11)116(11)1113(11)1123()(2222202=-+-+-+-=-=∑e e f f f x4、查x 2值表：x 2 (3)0.01=11.3455、比较大小 ∵23.09>>11.345 ∴P ＜0.07 差异非常显著结论：意见差异非常大，且同意的意见占很大优势。
(二)统计数是百分数例2、对某校50名学生问卷“你对录像中关于**原理的理解程度？”统计如下，全部理解12%；大部分理解24%；部分理解36%；少部分理解18%；完全不理解10%。
独立性检验资料
50 0
不患患肺病癌 患患病肺癌
吸烟 不吸烟
三维柱 状图
不吸烟 吸烟
2) 经过图形直观判断
350 300 250 200 150 100
50 0 不吸烟
吸烟
二维条 形图
患肺病癌 不患患肺病癌
3)经过图形直观判断
100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%
5、下结论
已知在 H0成立旳情况下，
P( 2 11.8634) 0.001以下
故有99.9%旳把握以为H0不成立，即有99.9% 旳把握以为“患呼吸道疾病与吸烟有关系”。
网络链接——检验成果
DNA亲子鉴定旳原理和程序
DNA是从几滴血,腮细胞或培养旳组织纤内提取而 来.用畴素将DNA样本切成小段,放进喱胶内,用电泳槽推动 DNA小块使之分离--最细旳在最远,最大旳近来. 之後, 分 离开旳基因放在尼龙薄膜上,使用尤其旳DNA探针去寻找基 因, 相同旳基因会凝聚于一,然後,利用尤其旳染料,在X光 旳环境下,便显示由DNA探针凝聚于一旳黑色条码.小孩这 种肉眼可见旳条码很尤其 ----二分之一与母亲旳吻合,二 分之一与爸爸旳吻合.这过程重覆几次,每一种探针用于寻 找DNA旳不同部位并影成独特旳条码,用几组不同旳探针, 可得到超出99,9%旳父系或然率或辨别率.
患其他病 175 597 772
总计 389 1048 1437
600 500 400 300 200 100
0 患心脏病 患其他病
不秃顶 秃顶
秃顶 不秃顶
2 1437 (214 597 175 451)2 16.373 6.635
3891048 665 772 有99%旳把握以为“秃顶与患心脏病有关”
统计学中的独立性检验
统计学中的独立性检验统计学中的独立性检验（Test of Independence）是一种常用的统计方法，用于研究两个或多个分类变量之间是否存在相互独立的关系。
通过对随机抽样数据进行分析，可以判断不同变量之间是否有关联，并衡量关联的强度。
本文将介绍独立性检验的基本原理、常用的检验方法以及实际应用。
一、独立性检验的基本原理独立性检验的基本原理是基于统计学中的卡方检验（Chi-Square Test）。
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较观察值频数与期望频数之间的差异。
在独立性检验中，我们首先建立一个原假设，即所研究的两个或多个变量之间不存在关联，然后通过计算卡方统计量来判断观察值与期望值之间的差异是否显著。
二、常用的独立性检验方法1. 皮尔逊卡方检验（Pearson's Chi-Square Test）：这是最常见的独立性检验方法，适用于有两个以上分类变量的情况。
它基于观察频数和期望频数之间的差异，计算出一个卡方统计量，并根据卡方分布表给出显著性水平。
2. Fisher精确检验（Fisher's Exact Test）：当样本量较小或者某些期望频数很小的情况下，皮尔逊卡方检验可能存在一定的偏差。
在这种情况下，可以使用Fisher精确检验来代替皮尔逊卡方检验，得到更准确的结果。
3. McNemar检验：适用于配对数据比较的独立性检验，例如一个样本在两个时间点上的观察结果。
三、独立性检验的实际应用独立性检验在各个领域都有广泛的应用，以下是几个常见的实际应用场景：1. 医学研究：独立性检验可以用于研究某种药物治疗方法是否具有显著的疗效，或者判断不同年龄组和性别之间是否存在患病率的差异。
2. 教育领域：独立性检验可用于研究学生成绩与家庭背景、教育水平之间是否存在关联。
3. 市场调研：在市场调研中，可以通过独立性检验来分析不同年龄、性别、收入水平等因素对消费者购买习惯的影响。
4. 社会科学研究：独立性检验可以帮助社会科学研究人员探索个体特征与社会行为之间的关系，例如政治倾向与不同年龄群体之间的关联性等。
3.2 独立性检验
•(2)在实际问题中要记住以下几个常用值： •①k＞6．635有99%的把握认为“X与Y有关系”； •②k＞3．841有95%的把握认为“X与Y有关系”； •③k＞2．706有90%的把握认为“X与Y有关系”； •④k≤2．706就认为没有充分证据显示“X与Y有关系”． •(3)反证法原理与独立性检验原理的比较 •反证法原理：在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0 不成立． •独立性检验原理：在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的 小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超 过这个小概率．
•
频数
乙厂
29 71 85 159 76 62 18
[29．86，[29．90，[29．94， [29．98， [30．02， [30．06， [30．10， 分组 29．90) 29．94) 29．98) 30．02) 30．06) 30．10) 30．14)
•
•
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率； (2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99% 的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”． 甲厂 优质品 非优质品 总 计 乙厂 总计
解 判断方法如下： 假设 H0“喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系”，若 H0 成立，则 K2 应该很小． ∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79， nad－bc2 ∴k＝ a＋bc＋da＋cb＋d 79×21×29－23×62 ＝ ≈8．106． 21＋23×6＋29×21＋6×23＋29
总计 94 95 189
判断学生的数学成绩好坏与对学习数学的 兴趣是否有关？
解
由公式得 K2 的观测值
189×64×73－22×302 k＝ ≈38．459． 86×103×95×94 ∵38．459＞10．828， ∴有 99．9%的把握说学生学习数学的兴趣与数学成绩是有 关的．
配合度检验独立性检验与同质性检验
配合度检验、独立性检验与同质性检验1. 引言在统计学中，配合度检验、独立性检验和同质性检验是常用的方法之一，用于检验随机变量之间的关系。
它们在不同的场景中用来评估数据之间的相关性、独立性以及异质性。
本文将分别介绍这三种检验方法的定义、假设前提和具体应用。
2. 配合度检验2.1 定义配合度检验 (Goodness-of-Fit Test) 是一种用于确定观测数据是否与理论分布相符的统计检验方法。
它通过比较观测数据与给定理论分布的离差来评估两者之间的差异。
2.2 假设前提配合度检验的假设前提包括以下两点： 1. 观测数据来自于特定的总体或总体分布； 2. 预期的理论分布已知。
2.3 应用场景配合度检验在许多实际应用中被广泛采用，例如： - 检验观测数据是否符合正态分布、泊松分布等特定的理论分布； - 检验样本数据是否符合某一理论模型，如线性回归模型、逻辑回归模型等。
2.4 示例以下是一个应用配合度检验的简单示例：假设我们有一组观测数据，表示了一批产品的重量。
根据厂家提供的数据，产品的重量应该符合正态分布。
我们可以使用配合度检验来评估观测数据是否与正态分布相符。
首先，我们计算观测数据的均值和标准差，作为理论分布的参数。
然后，我们根据观测数据的样本量和理论分布的参数，计算出在理论分布下每个重量区间的期望频数。
最后，我们使用配合度检验统计量（如卡方检验）来比较观测频数与理论分布的期望频数之间的差异。
如果差异较小，则我们可以得出结论：观测数据符合正态分布。
3. 独立性检验3.1 定义独立性检验 (Test of Independence) 用于检验两个随机变量之间是否存在相互独立的关系。
它可以帮助我们确定两个变量是否在某种程度上相互影响。
3.2 假设前提独立性检验的假设前提包括以下两点： 1. 观测数据来自于一个大的总体或总体分布； 2. 两个变量之间不存在相互依赖的关系。
3.3 应用场景独立性检验在数据分析中具有广泛的应用场景，例如： - 检验两个变量之间是否存在相关性，如商品价格与销量之间的关系； - 检验两个分类变量之间是否相互独立，如男性与女性对某一产品的偏好。
独立性检验基本思想及应用
独立性检验基本思想及应用独立性检验是一种用于确定两个变量之间是否存在关联的统计方法。
其基本思想是通过比较观察到的数据与预期的数据之间的差异来推断这两个变量之间的关系。
独立性检验的应用非常广泛。
在社会科学中，独立性检验常被用于研究两个分类变量之间是否存在关联，例如性别和职业、教育水平和政治倾向等。
在医学研究中，独立性检验也可以用来检查某种治疗方法是否与疾病的发展有关，以及风险因素和某种疾病之间的关系。
此外，独立性检验还被广泛应用于市场调查、品牌定位以及质量控制等领域。
独立性检验的基本思想是建立一个零假设（H0）和一个备择假设（H1）。
零假设认为两个变量是独立的，即它们之间没有关联；备择假设则认为两个变量之间存在关联。
独立性检验的步骤可以分为以下几步：1. 收集数据：需要收集两个分类变量的数据，例如通过问卷调查或观察获得数据。
2. 建立列联表：将数据整理成列联表形式，列联表是一种用于描述两个或多个分类变量之间关系的矩阵。
表格的行表示一个变量的不同类别，列表示另一个变量的不同类别，表格中的每个单元格表示两个类别的交叉数量。
3. 计算期望频数：在独立性检验中，我们假设两个变量是独立的，因此可以基于各类别的边际总数以及样本总数来计算期望频数。
期望频数是在两个变量独立情况下，各个类别的交叉数量。
4. 计算卡方统计量：卡方统计量用于衡量观察到的数据与期望数据之间的差异程度。
计算公式为：χ2 = Σ（（观察频数- 期望频数）^2 / 期望频数）。
其中，Σ表示对所有单元格进行求和。
5. 设定显著性水平：显著性水平α为决策的临界点，用于决定是否拒绝零假设。
通常，α的常见选择为0.05或0.01。
6. 判断和解释结果：根据计算出的卡方统计量与临界值进行比较，如果计算出的卡方值大于临界值，拒绝零假设，认为两个变量之间存在关联；反之，接受零假设，认为两个变量是独立的。
独立性检验的结果常常以卡方统计量和p值的形式呈现。
p值是在零假设成立的条件下，观察到的数据与期望数据之间差异的概率。
8.3.2独立性检验 课件—高二下数学人教A版(2019)选择性必修第三册
P( x )
2
临界值xα
的方法称为χ2独立性检验，
读作“卡方独立性检验”，
简称独立性检验.
概率值α越小，临界值xα越大.
这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立
性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.
犯错误的
概率
例2： 依据小概率值α=0.1的χ2独立性检验，分析例1中的抽样数据，
甲校
乙校
合计
你认为“两校学生的数
学成绩优秀率存在差异”
这一结论是否有可能是
错误的？
因此，需要找到一种更为合理的推断方法，希望能对出现错误
判断的概率有一定的控制或估算。
本节课给到一个方法：独立性检验
独立性检验是一种“概率反证法”。依据是小概率原理（在一次实
验中几乎不可能发生）
找到了，假设不成立，嫌
疑人有罪。
例4 ：为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机
抽样的方法，调查了9965人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，
如下表所示. 依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析吸烟是否会增加
患肺癌的风险.
解：零假设为H0: 吸烟与患肺癌之间
无关联，由表中数据可得
9965(7775 49 42 2099)
数学成绩
不优秀
优秀
合计
甲校
乙校
合计
解：零假设为H0：分类变量X与Y相互独立，即两校学生的数学成绩优
秀率无差异根据表中的数据，计算得到
2
88
(33
7
10
38)
2
0.837 2.706 x0.1
20-21版：4.3.2 独立性检验（创新设计）
6
课前预习
课堂互动
素养达成
@《创新设计》
拓展深化 [微判断] 1.列联表中的数据是两个分类变量的频数.( √ ) 2.事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响.( × )
提示 错，事件A与B的独立性检验无关，只是认为两个事件互不影响的把握较 高. 3.χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量.( √ )
3
课前预习
课堂互动
素养达成
1.2×2列联表和χ2 如果随机事件A与B的样本数据的2×2列联表如下.
－
A
A
B
a
b
－
B
c
d
总计 ____a_＋__c__ b＋d
总计 a＋b
___c_＋__d___ a＋b＋c＋d
@《创新设计》
4
课前预习
课堂互动
素养达成
记 n＝a＋b＋c＋d，则由表可知： (1)事件 A 发生的概率可估计为 P(A)＝a＋n c；
y1
x1
a
x2
8
总计
b
则表中a，b的值分别为( )
A.94，96
B.52，50
C.52，60
D.54，52
答案 C
9
@《创新设计》
y2
总计
21
73
25
33
46
106
课前预习
课堂互动
素养达成
3.已知P(χ2<7.897)＝0.095，则P(χ2≥7.897)＝________. 解析 P(χ2≥7.897)＝1－P(χ2<7.897)＝1－0.095＝0.905. 答案 0.905
a＋b (2)事件 B 发生的概率可估计为 P(B)＝______n______；
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0.50 0.40 0.25 0.15
0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
例3：气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人 员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比， 所得数据如表所示，问：它们的疗效有无差异？ 有效 无效 合计 184 61 245 复方江剪刀草 91 9 100 胆黄片 275 70 345 合计
1%把握认为 A与B无关
2
99.9%把握认 为A与B有关
99%把握认 6.635 为A与B有关 90%把握认 10%把握认为 2 2.706 为A与B有关 A与B无关 没有充分的依据显示A与B有关， 2 2.706 但也不能显示A与B无关
反证法原理与假设检验原理 反证法原理：
0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
例2：为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效 果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查， 调查的结果列在表中，根据所选择的193个病人的数 据，能否作出药的效果和给药方式有关的结论？ 口服 注射 合计 有效 58 64 122 无效 40 31 71 合计 98 95 193
P(
2
x0
)
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
例如:
2
x0
10.828
2
0.1%把握认 为A与Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ关
其中n a b c d
n ad bc
2
第四步：查对临界值表，作出判断。
P(Ⅹ2≥x0)
0.50 0.40 0.25 0.15
0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2
独立性检验
步骤
问题：吸烟与患病有关？ 方法：用χ2统计量研究这类问题的方法
第一步：H0： 吸烟和患病之间没有关系 第二步：列出2×2列联表
吸烟 不吸烟 总计
患病 a c a+c 不患病 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d
第三步：引入一个随机变量：卡方统计量
2
a b c d a c b d
因当H0成立时，χ2≥10.828的概率为0.001，故有99.9%的把握 认为，两种药物的疗效有差异。
课堂练习： 书 P 9
1 ， 2 ，3
课堂作业： 书 P 11
1，2
解：设H0：感冒与是否使用该血清没有关系。 2 1000 258 284 242 216 2 7.075 474 526 500 500 因当H0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，故有99%的把握认 为该血清能起到预防感冒的作用。
P(Ⅹ2≥x0)
0.50 0.40 0.25 0.15
解：设H0：两种中草药的治疗效果没有差异。 2 345 184 9 61 91 2 11.098 275 70 245 100
P(Ⅹ2≥x0)
0.50 0.40 0.25 0.15
0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
利用随机变量 来确定在多大程度上 可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为 两个分类变量的独立性检验. 独立性检验的思想类似于数学上的反证法. 要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立, 首先假设该结论不成立,即假设结论“两个分类 变量没有关系”成立.
2
在该假设下我们构造的随机变量 应该很 2 小,如果由观测数据计算得到的 的观测值很 大,则在一定程度上说明假设不合理.
解：设H0：药的效果与给药方式没有关系。 2 193 58 31 64 40 2 1.3896 ＜2.072 122 71 98 95 因当H0成立时，χ2≥1.3896的概率大于15%，故不能否定假设 H0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论。
P(Ⅹ2≥x0)
在一个已知假设 下，如果推出一 个矛盾，就证明 了这个假设不成 立。
假设检验原理：
在一个已知假设 下，如果一个与 该假设矛盾的小 概率事件发生， 就推断这个假设 不成立。
例 1. 在 500 人身上试验某种血清预防感冒作用，把他们 一年中的感冒记录与另外 500 名未用血清的人的感冒记 录作比较，结果如表所示。问：该种血清能否起到预防 感冒的作用？ 未感冒 感冒 合计 使用血清 未使用血清 合计 258 216 474 242 284 526 500 500 1000