2017-2018年福建省泉州市晋江市养正中学高一上学期数学期中试卷带答案

2017-2018学年福建省泉州市晋江市养正中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）下列集合中，是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（）A．{2，5}B．（6，+∞）C．（0，5） D．（1，5）2．（5分）若函数y=f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数y=f（log2x）的定义域是（）A．[﹣1，1]B． C．D．[1，4]3．（5分）对于幂函数，若0＜x1＜x2，则，大小关系是（）A．＞ B．＜C．=D．无法确定4．（5分）若函数y=f（x）的定义域为M={x|﹣2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．5．（5分）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c6．（5分）若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．7．（5分）已知f（x）=满足对任意x1≠x2都有＜0成立，那么a的取值范围是（）A．（0，1） B． C．D．8．（5分）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f （x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+39．（5分）已知函数f（x）=log a（2x+b﹣l）（a＞0，a≠1的图象如图所示，则函数g（x）=a x﹣b的图象为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=ln（x+1）+2x﹣m（m∈R）的一个零点附近的函数值的参考数据如表：由二分法，方程ln（x+1）+2x﹣m=0的近似解（精确度0.05）可能是（）A．0.625 B．﹣0.009 C．0.5625 D．0.06611．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2﹣x+a，若函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有两个，则实数a的取值范围是（）A．a＜0 B．a≤0 C．a≤1 D．a≤0或a=112．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设a＞0，且a≠1，函数y=2+log a（x+2）的图象恒过定点P，则P点的坐标是．14．（5分）若正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），则的值为．15．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）的值域为R，且f（x）在（﹣3，1﹣）上是增函数，则a的取值范围为．16．（5分）给出下列4个命题：①函数是偶函数，但不是奇函数；②若方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；③函数y=f（x）的值域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）的值域是[﹣3，1]；④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的公共点的个数是m个，则m的值不可能是1．其中命题正确的序号有．三、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（Ⅰ）求值：；（Ⅱ）求值：．18．（12分）集合A={x|﹣2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．19．（12分）已知f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域，并求出f（），f（），f（），f（）的值；（Ⅱ）观察（Ⅰ）中的函数值，请你猜想函数f（x）的2个性质，并用定义证明你的猜想．20．（12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=ka x（k＞0，a＞1）与y=px+q（p＞0）可供选择．（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）21．（12分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（Ⅰ）试判断函数f1（x）=x2与f2（x）=x是否是“L函数”；（Ⅱ）若函数g（x）=3x﹣1+a（3 ﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围．22．（12分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．2017-2018学年福建省泉州市晋江市养正中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）下列集合中，是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（）A．{2，5}B．（6，+∞）C．（0，5） D．（1，5）【解答】解：因为A={x|x2＜5x}={x|0＜x＜5}，所以是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（1，5）．故选：D．2．（5分）若函数y=f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数y=f（log2x）的定义域是（）A．[﹣1，1]B． C．D．[1，4]【解答】解：∵y=f（x）的定义域是[﹣1，1]，∴函数y=f（log2x）有意义⇔﹣1≤log2x≤1，∴≤x≤2．∴函数y=f（log2x）的定义域是{x|≤x≤2}．故选：B．3．（5分）对于幂函数，若0＜x1＜x2，则，大小关系是（）A．＞ B．＜C．=D．无法确定【解答】解：∵幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，∴当0＜x1＜x2时，应有＞．故选：A．4．（5分）若函数y=f（x）的定义域为M={x|﹣2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选：B．5．（5分）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【解答】解：∵x∈（e﹣1，1），a=lnx∴a∈（﹣1，0），即a＜0；又y=为减函数，∴b=＞==1，即b＞1；又c=e lnx=x∈（e﹣1，1），∴b＞c＞a．故选：B．6．（5分）若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：A：与直线y=2的交点是（0，2），不符合题意，故不正确；B：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y=2的在区间（0，+∞）上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线y=2在（﹣∞，0）上有交点，故正确．故选：D．7．（5分）已知f（x）=满足对任意x1≠x2都有＜0成立，那么a的取值范围是（）A．（0，1） B． C．D．【解答】解：对任意x1≠x2都有＜0成立，即有f（x）在R上为减函数，当x＜1时，y=（2a﹣1）x+3a，递减，即有2a﹣1＜0，解得a＜，①当x＞1时，y=a x递减，即有0＜a＜1，②由于x∈R，f（x）递减，即有2a﹣1+3a≥a，解得a≥，③由①②③，可得≤a＜．故选：C．8．（5分）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f （x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+3【解答】解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．9．（5分）已知函数f（x）=log a（2x+b﹣l）（a＞0，a≠1的图象如图所示，则函数g（x）=a x﹣b的图象为（）A．B．C．D．【解答】解：由图象可知f（x）为增函数，所以a＞1，∵﹣1＜f（0）＜0，∴﹣1＜log a b＜0，即＜b＜1，∴g（x）=a x﹣b单调递增，g（0）=1﹣b＞0，g（﹣1）=﹣b＜0，可以判断g（x）=a x﹣b的图象为：A故选：A．10．（5分）已知函数f（x）=ln（x+1）+2x﹣m（m∈R）的一个零点附近的函数值的参考数据如表：由二分法，方程ln（x+1）+2x﹣m=0的近似解（精确度0.05）可能是（）A．0.625 B．﹣0.009 C．0.5625 D．0.066【解答】解：设近似根为x0，因为f（0.53125）＜0，f（0.5625）＞0，所以x 0∈（0.53125，0.5625）；故选：C．11．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2﹣x+a，若函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有两个，则实数a的取值范围是（）A．a＜0 B．a≤0 C．a≤1 D．a≤0或a=1【解答】解：因为f（x）是奇函数，所以g（x）=f（x）﹣x也是奇函数，所以要使函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有两个，则只需要当x＞0时，函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有一个即可．由g（x）=f（x）﹣x=0得，g（x）=x2﹣x+a﹣x=x2﹣2x+a=0，若△=0，即4﹣4a=0，解得a=1．若△＞0，要使当x＞0时，函数g（x）只有一个零点，则g（0）=a≤0，所以此时，解得a≤0．综上a≤0或a=1．故选：D．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log 2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设a＞0，且a≠1，函数y=2+log a（x+2）的图象恒过定点P，则P点的坐标是（﹣1，2）．【解答】解：当x+2=1，即x=﹣1时，y=2+log a（x+2）=2恒成立，故函数y=2+log a（x+2）的图象恒过定点P（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）．14．（5分）若正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），则的值为108．【解答】解：∵正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），∴设2+log2a=3+log3b=log6（a+b）=x，则a=2x﹣2，b=3x﹣3，a+b=6x，∴===108．故答案为：108．15．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）的值域为R，且f（x）在（﹣3，1﹣）上是增函数，则a的取值范围为[0，2] ．【解答】解：由函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）的值域为R，可得函数y=x2﹣ax ﹣a能够取遍所有的正数，故有△=a2+4a≥0，求得a≤﹣4，或a≥0 ①．再根据f（x）在（﹣3，1﹣）上是增函数，可得函数y=x2﹣ax﹣a在（﹣3，1﹣）上是减函数且为正值，故≥1﹣，且当x=1﹣时y≥0．即a≥2﹣2，且4﹣2﹣a（1﹣）﹣a≥0．求得2﹣2≤a≤2 ②．结合①②求得0≤a≤2，故答案为：[0，2]．16．（5分）给出下列4个命题：①函数是偶函数，但不是奇函数；②若方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；③函数y=f（x）的值域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）的值域是[﹣3，1]；④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的公共点的个数是m个，则m的值不可能是1．其中命题正确的序号有②④．【解答】解：①函数，x2﹣1≥0，且1﹣x2≥0，可得x=±1，则y=0，是偶函数，也是奇函数，故①不正确；②若方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，由f（x）=x2+（a﹣3）x+a，f（0）＜0，即a＜0，故②正确；③函数y=f（x）的值域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）的图象可由y=f（x）的图象向左平移1个单位可得，则值域是[﹣2，2]，故③不正确；④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的图象如右：则公共点的个数是0或2或3或4个，则m的值不可能是1．故④正确．故答案为：②④．三、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（Ⅰ）求值：；（Ⅱ）求值：．【解答】解：（Ⅰ）原式═=﹣8÷8+1=；（Ⅱ）原式==．18．（12分）集合A={x|﹣2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）若B⊆A，B=∅时，m+1＞2m﹣1，∴m＜2，满足B⊆A；B≠∅时，则，解得2≤m≤3；综上所述，当m≤3时有B⊆A；即实数m的取值范围为（﹣∞，3]；（2）由题意知，A∩B=∅；∴B=∅时，m+1＞2m﹣1，∴m＜2；B≠∅时，则，解得：m＞4；∴实数m的取值范围为（﹣∞，2）∪（4，+∞）．19．（12分）已知f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域，并求出f（），f（），f（），f（）的值；（Ⅱ）观察（Ⅰ）中的函数值，请你猜想函数f（x）的2个性质，并用定义证明你的猜想．【解答】解：（Ⅰ）由1﹣x＞0，1+x＞0，可得﹣1＜x＜1，可得函数的定义域为（﹣1，1）；（2分）f（﹣）=ln2，f（﹣）=ln3，f（）=﹣ln3，f（）=﹣ln2．（Ⅱ）性质一：由于f（﹣）=﹣f（），f（﹣）=﹣f（），猜想：函数f（x）为奇函数，证明：因为函数f（x）定义域为（﹣1，1）关于原点对称，又f（﹣x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）=﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数．性质二：由于f（﹣）＞f（﹣）＞f（）＞f（），所以函数f（x）在定义域上是减函数．证明：设任意x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=ln（1﹣x1）﹣ln（1+x1）﹣ln（1﹣x2）+ln（1+x2）=ln（×），因为﹣1＜x1＜x2＜1，所以1﹣x1＞1﹣x2＞0，1+x2＞1+x1，则×＞1，ln（×）＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在定义域上是减函数．20．（12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=ka x（k＞0，a＞1）与y=px+q（p＞0）可供选择．（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）【解答】本小题满分（12分）．解：（Ⅰ）两个函数y=ka x（k＞0，a＞1），在（0，+∞）上都是增函数，随着x的增加，函数y=ka x（k＞0，a＞1）的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢．由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y=ka x（k＞0，a＞1）适合要求．由题意可知，x=2时，y=24；x=3时，y=36，所以解得所以该函数模型的解析式是（x∈N*）．（Ⅱ）x=0时，，所以元旦放入凤眼莲面积是，由得，所以，因为，所以x≥6，所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．21．（12分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（Ⅰ）试判断函数f1（x）=x2与f2（x）=x是否是“L函数”；（Ⅱ）若函数g（x）=3x﹣1+a（3 ﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）对于函数f1（x）=x2，当t＞0，s＞0时，f1（t）=t2，f1（s）=s2，f1（s+t）=（s+t）2，f1（s）+f1（t）﹣f1（s+t）=t2+s2﹣（s+t）2=﹣2st＜0所以f1（s）+f1（t）＜f1（s+t），故f1（x）=x2，是“L函数”．对于函数f2（x）=，当t=s=1时，f2（1）+f2（1）=2＞f2（2）=，即存在：正数s，t，使得，f2（s）+f2（t）＞f2（s+t），故f2（x）=，不是“L函数”．（2）当t＞0，s＞0时，由g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）是“L函数”，可知g（t）=3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，又3t﹣1＞0，可得a＜3t对一切正数t恒成立，所以a≤1．由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，故（3s﹣1）（3t﹣1）（3s+t+a）＞0，又（3t﹣1）（3s﹣1）＞0，故3s+t+a＞0，由3s+t+a＞0对一切正数s，t恒成立，可得a+1≥0，即a≥﹣1．综上可知，a的取值范围是[﹣1，1]．22．（12分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=5时，f（x）=log2（+5），由f（x）＞0；得log2（+5）＞0，即+5＞1，则＞﹣4，则+4=＞0，即x＞0或x＜﹣，即不等式的解集为{x|x＞0或x＜﹣}．（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a ﹣5]=0．即log2（+a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=，若x=﹣1是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a＞1，若x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣=设1﹣t=r，则0≤r≤，==，当r=0时，=0，当0＜r≤时，=，∵y=r+在（0，）上递减，∴r+≥=，∴==，∴实数a的取值范围是a≥．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。