2015年江苏省南通市如皋市高一下学期期末数学试卷与解析答案
2015-2016年江苏省南通市如皋市高一(下)期中数学试卷和答案
2015-2016学年江苏省南通市如皋市高一（下）期中数学试卷一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）在△ABC中，已知a=8，B=60°，A=45°，则b等于．2．（5分）若点A（4，3），B（5，a），C（6，5）三点共线，则a的值为．3．（5分）已知数列{a n}为等比数列，且a7=1，a9=4，则a8=．4．（5分）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直，则直线l的方程是．5．（5分）若x＞0，y＞0，x+4y=40，则lgx+lgy的最大值为．6．（5分）已知两直线l1：（3+m）x+4y+3m+5=0，l2：2x+（5+m）y+2=0，当l1∥l2时，m的值为．7．（5分）若k，﹣1，b三个数成等差数列，则直线y=kx+b必经过定点．8．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为．9．（5分）函数y=（x＞1）的最小值是．10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，并且S10＞0，S11＜0，关于数列{a n}有下列命题：（1）公差d＜0，首项a1＞0；（2）S6最大；（3）a3＞0；（4）a6＞0上述命题正确的是．11．（5分）已知x，y满足，则z=2x﹣y的最小值．12．（5分）已知实数a，b，c成等比数列，若a，x，b和b，y，c都成等差数列，则+=．13．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，a2＞a1，||=2n（n∈N*），若数列{a2n}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n=．﹣114．（5分）若钝角△ABC的三边a，b，c成等差数列且a＜b＜c，则的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共90分。
请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（15分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．16．（15分）过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．17．（15分）过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点．（1）|OA|•|OB|最小时，求直线l的方程；（2）2|OA|+|OB|最小时，求直线l的方程．18．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边满足a＜b＜c，a2﹣c2=b2﹣，a=3，△ABC的面积为6．（1）求角A的正弦值；（2）求边b，c；（2）设D为△ABC内任一点，点D到边BC、AC的距离分别为x，y，求|2x﹣y|的取值范围．19．（15分）如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；…，如此下去．记第n次操作中挖去的三角形个数为a n．如a1=1，a2=3．（1）求a n；（2）求第n次操作后，挖去的所有三角形面积之和P n？（3）求第n次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Q n．20．（15分）在公差不为0的等差数列{a n}中，a2、a4、a8成公比为a2的等比数列，又数列{b n}满足b n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和为T n；（3）令c n=（n∈N*），求使得c n＞10成立的n的取值范围．2015-2016学年江苏省南通市如皋市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分。
如皋高一期末数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. √9D. 0答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，即分数。
√9=3，是一个整数，因此是有理数。
2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，那么f(2)的值为（）A. 0B. 4C. 6D. 8答案：A解析：将x=2代入函数f(x) = x^2 - 4x + 4中，得到f(2) = 2^2 - 42 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0。
3. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，那么∠C的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°答案：C解析：三角形内角和为180°，∠A=60°，∠B=45°，所以∠C=180° - ∠A -∠B = 180° - 60° - 45° = 75°。
4. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = 1/x答案：C解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)。
对于y = x^3，有f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)，因此是奇函数。
5. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，那么第10项a10的值是（）A. 17B. 19C. 21D. 23答案：C解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
代入a1=3，d=2，n=10，得到a10 = 3 + (10-1)2 = 3 + 18 = 21。
二、填空题（每题5分，共50分）6. 若a+b=5，ab=6，那么a^2 + b^2的值为（）答案：37解析：利用恒等式(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，得到a^2 + b^2 = (a+b)^2 -2ab = 5^2 - 26 = 25 - 12 = 13。
2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题(解析版) (8)
高一下学期期末考试数学试题一、选择题1．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c = 120b B == ，则边a 等于（ ）A.B. C. D. 2【答案】C【解析】试题分析：根据题意中给定了两边以及一边的对角可知那么结合余弦定理可知222212cos 622b a c ac B a a ⎛⎫=+-∴=+-⨯-∴= ⎪⎝⎭故答案为C.【考点】解三角形点评：主要是考查了余弦定理的运用，求解边，属于基础题。
2．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2c a =，1sin sin sin 2b B a A a C -=，则sin B 为（ ）A.B. 34C.D. 13【答案】A【解析】试题分析： 1sin sin sin 2b B a A a C -=，则由正弦定理可得2212b a ac -=，又2c a = ， 222222132224a cb b a ac a cosB ac +-∴=+=∴==.故选B.【考点】正弦定理，余弦定理3．各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S .若25378,13a a S -=-=，则数列{}n a 的通项公式为n a =（ ） A. 2n B. 12n - C. 3n D. 13n -【答案】D【解析】各项均为正数,公比为q 的等比数列{a n }，a 2−a 5=−78,S 3=13， 可得421111178,13a q a q a a q a q -=-++=， 解得113a q ==，，则11*13n n n a a q n N --==∈，， 本题选择D 选项.4．已知数列{}n a 的通项为()()143nn a n =--，则数列{}n a 的前50项和50T =（ ）A. 98B. 99C. 100D. 101 【答案】C【解析】数列{a n }的通项为()()143nn a n =--， 前50项和()()()()5015913171971591317211931974444425100.T =-+-+-+⋯+=-++-++-++⋯+-+=+++⋯+=⨯=本题选择C 选项.点睛：(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解． (2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式．5．设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n=（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 9 【答案】B【解析】试题分析：由题意可得9567890S S a a a a -=+++=，∴()7820a a +=，∴780a a +=，又10a >，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当S n 最大时，n=7，故选：B.【考点】等差数列的前n 项和．6．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ）A. 48B. 56C. 64D. 72 【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是由两个长方体组成的组合体，上面的长方体长宽高分别为4,2,5，线面的长方体长宽高分别为4,6,1，据此可得该几何体的体积为42546164⨯⨯+⨯⨯=. 本题选择C 选项. 点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7．设0,0a b >>，若2是4a 和2b 的等比中项，则21a b+的最小值为（ ）A. B. 4 C. 92D. 5【答案】C【解析】∵2是4a和2b 的等比中项， ()22424,22,22,1,2a b a b b a b a +∴⋅=∴=∴+=∴+=又∵0,0a b >>，21215592222b b a a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当b a a b =，即23a b ==时等号成立. 本题选择C 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．8．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和.是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0248121824324050......、、、、、、、、、，则此数列第20项为（ ）A. 180B. 200C. 128D. 162 【答案】B【解析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…， 可得偶数项的通项公式：a 2n =2n 2. 则此数列第20项=2×102=200. 本题选择B 选项. 9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若M N P 、、三点共线， O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+（直线MP 不过点O ），则20S 等于（ ） A. 20 B. 10 C. 40 D. 15 【答案】B【解析】∵M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+（直线MP 不过点O ），∴a 6+a 15=1，∴a 1+a 20=1， ∴()1202020102a a S +==.本题选择B 选项.10．已知a b >，一元二次不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，由又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=，则222a b +的最小值为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】∵已知a >b ,二次不等式220ax x b ++…对于一切实数x 恒成立， ∴a >0，且△=4−4ab ⩽0，∴ab ⩾1.再由∃x 0∈R ,使20020ax x b ++=成立，可得△=0，∴ab =1，222a b ∴+=…当且仅当222a b =即b =时等号成立， 本题选择D 选项.11．若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是（ ） A. a b > B. a b < C. a b ≤ D. a b ≥ 【答案】B【解析】∵a 、b ∈(0,1)，且满足()114a b ->，()112211.22a b a b b a -+>-+∴>∴>，又， 本题选择B 选项.12．()()3,1,1,3,(0,0)OA OB OC mOA nOB m n ==-=->>若[]1,2m n +∈则OC的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据题意,向量()()()3,1,1,33,3OA OB OC mOA nOB m n m n ==-=-=+-，，则OC =令t =,则OC =，而m +n ∈[1,2]，即1⩽m +n ⩽2，在直角坐标系表示如图，t =表示区域中任意一点与原点(0,0)的距离， 分析可得：22t ，又由OC =，OC剟本题选择A 选项.二、填空题13．已知向量,a b满足()5a a b ⋅+= ，且2,1a b == ，则向量a 与b 夹角余弦值为__________．【答案】12【解析】()22,1,5,42,51,2a b a a b a a b cos a b cos a b cos a b ==⋅+=∴+⋅=+=∴=，，即向量a与b 夹角余弦值为12.14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c 且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积S =，则ab 的值为__________． 【答案】13【解析】在△ABC 中,由条件用正弦定理可得2sinCcosB =2sinA +sinB =2sin (B +C )+sinB ，即2sinCcosB =2sinBcosC +2sinCcosB +sinB ,∴2sinBcosC +sinB =0,12,.23cosC C π∴=-=由于△ABC 的面积为11sin .23S ab C ab =⋅==∴= 156、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为_____. 【答案】88.【解析】试题分析：设该长方体的高为x,则因为半径为，所以，即，所以长方体的表面积为，故应填88.【考点】1、简单几何体的体积的求法.16．设等比数列{}n a满足公比*q N∈，*na N∈，且{}n a中的任意两项之积也是该数列中的一项，若8112a=，则q的所有可能取值的集合为．【答案】{}8127932,2,2,2,2【解析】试题分析：由题意，8112nna q-=，设该数列中任意两项为,m la a，它们的积为pa，则811811811222m l pq q q---=，即8112p m lq--+=，故1p m l--+必须是81的正约数，即1p m l--+的可能取值为1,3,9,27,81，所以q的所有可能取值的集合为{}8127932,2,2,2,2【考点】等比数列三、解答题17．请推导等比数列的前n项和公式.【答案】见解析【解析】试题分析：由等比数列的特点分类讨论，然后结合错位相减的方法即可求得等比数列前n项和公式.试题解析：若数列{}n a为公比为q的等比数列，则其前n项和公式()()11,11nna qS qq-=≠-，当1q=时，1nS na=.下面证明：21123111......nn nS a a a a a a q a q aq-=++++=++++，①23111...nnqS a q a q a q aq∴=++++，②①-②可得()11nnq S a aq-=-，当1q ≠时，上式两边同除以1q -可得()111nn a q S q-=-，当1q =时，数列各项均为1a ，故1n S na =.点睛：一是在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1或q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误． 二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制.18．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，（1）若方程()60f x a +=有两个相等的实根，求()f x 的解析式； （2）若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围．【答案】（1）()2163555f x x x =---；（2）((),22-∞-⋃-【解析】试题分析：（1）抓住二次函数的图像与横坐标的交点、二次不等式解集的端点值、二次方程的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程的思想、化归的思想将问题转化，（2）结合二次函数的图象来解决是当不等式对应的方程的根个数不确定时，讨论判别式与0的关系，（3）当a>0时，配方法最大值，也可用顶点坐标，或在对称轴处取得最大值 试题解析：由题意可设()()()213f x x a x x +=--，且0a <， 即()()()132f x a x x x =---， 2分（1）()()()613260f x a a x x x a +=---+=， 即()24290ax a x a -++=有两个相等的实根，得()2242360a a ⎡⎤∆=-+-=⎣⎦，即25410a a --=， 而0a <，得15a =-，即()()()11325f x x x x =----，整理得()2163555f x x x =---． 6分（2）()()22max 124204a a f x a-+=>，即2410a a a--->，而0a <，得2410a a ---<，即2410a a ++>， 9分2a >-2a <-0a <，得a 的取值范围为((),22-∞-⋃-． 12分【考点】二次函数和一元二次不等式解的关系及二次函数的最值19．已知函数f (x )＝226xx +.(1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围．【答案】（1）－25（2）⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】(1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25(2)∵x >0，f (x )＝226xx +＝26x x+，当且仅当x已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t t 的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 20．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若sinAsinC C ． 【答案】（Ⅰ）0120B =（Ⅱ）015C =或045C =【解析】试题分析：（1）由()()a b c a b c ac ++-+=得222a c b ac +-=-，结合余弦定理可求出B ;（2）由三角形内角和定理可知060A C +=，由()()cos cos 2sin sin A C A C A C -=++=可求出030A C -=或030A C -=-，解之即可.试题解析： （1）因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a c b ac +-=-，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-因此0120B =（2）由（1）知060A C +=，所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+ cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()cos 2sin sin A C A C =++112242=+⨯= 故030A C -=或030A C -=-，因此015C =或045C = 【考点】1.余弦定理；2.三角恒等变换.21．已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为 （1）求该四面体的体积；（2）求该四面体外接球的表面积. 【答案】（1）20（2）50π 【解析】试题分析：(1)将四面体放入一个长方体，列出方程求得长宽高，据此可得该四面体的体积是20；(2)结合(1)的结论可得外接球半径为r =，则外接球的表面积为2450S r ππ==.试题解析：（1） 四面体的三组对边分别相等，∴四面体为某一长方体的六条面对角线组成的三棱锥，设长方体的棱长为,,a b c，则5===，解得4{3 5a b c ===，∴四面体的体积1142063V abc abc abc =-⨯==.（2）由（1）可知四面体的外接球为长方体的外接球，外接球直径为长方体=∴外接球的半径为2r =， ∴外接球的表面积为2450S r ππ==.22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*22n nn S a n N =-∈. （1）求1a 的值，若2n n n a c =，证明数列{}n c 是等差数列；（2）设()22log log 1n n b a n =-+，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n B ，若存在整数m ，使对任意*n N ∈且2n ≥，都有320n n mB B ->成立，求m 的最大值. 【答案】（1）见解析（2）18. 【解析】试题分析：(1)由题意可得112,1n n c c c -=-=，则数列{}n c 是首项为2，公差为1的等差数列.(2)由题意可得3111123n n B B n n n-=+++++ ，结合恒成立的条件可得m 得最大值为18.试题解析：（1）由22n n n Sa =-，则122n n n S a +=-，则21122S a =-可得14a =，又()11222n n n S a n --=-≥两式相减，得1222n n n n a a a -=--，即()1222n n n a a n --=≥， 于是11122n n n n a a ---=即112,1n n c c c -=-=， 所以数列{}n c 是112,1n n c c c -=-=以首项为2，公差为1的等差数列. （2）()12,n n n a n b n =+⋅=12311111112111123n n n n B b b b nB B n n n∴=+++=+++∴-=+++++令()111123f n n n n=+++++ 则()1111111233313233f n n n n n n n +=+++++++++++ 所以()()111113132331f n f n n n n n +-=++-++++ 1111120313233333333n n n n n n =++>+-=++++++. 所以当2n ≥时， ()f n 的最小值为()1111192345620f =+++=.据题意， 192020m <，即19m <，又m 为整数，故m 得最大值为18.。
(完整版)2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一(下)期末数学试卷
2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1．（4分）不等式10xx-…的解集为( ) A ．[0，1]B ．(0，1]C ．(-∞，0][1U ，)+∞D ．(,0)[1-∞U ，)+∞2．（4分）已知两条平行直线3460x y +-=和340x y a ++=之间的距离等于2，则实数a 的值为( ) A ．1-B ．4C ．4或16-D ．16-3．（4分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差3d =，68a =，则10S 的值为( ) A ．65B ．62C ．59D ．564．（4分）已知正四棱锥的底面边长为2，则该正四棱锥的体积为( )A ．43B ．23C ．D 5．（4分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11m a =，21121m S -=，则m 的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．66．（4分）若直线1:(2)l y k x =-与直线2l 关于点(1,2)对称，则直线2l 恒过点( ) A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(0,4)D ．(4,0)7．（4分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积S B =，2a =，1c =，则(b = )A ．32B ．2C ．34D ．528．（4分）设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题： ①若//m α，//m n ，则//n α； ②若m α⊥，//m β，则αβ⊥；③若αβ⊥，n αβ=I ，m n ⊥，则m β⊥；④若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确命题的序号是( ) A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④9．（4分）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AA ==2AD =，则异面直线AC 与1BD 所成角的余弦值为( )A B ． C D ． 10．（4分）设直线1:370l x y +-=与直线2:10l x y -+=的交点为P ，则P 到直线:20l x ay a ++-=的距离最大值为( )A B ．4 C ． D 11．（4分）若实数x ，y 满足264(0)3xy x x +=<<，则41x y +的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．3212．（4分）在ABC ∆中，120B =︒，AB =，角A 的平分线AD =，则BC 长为( )A ．1BC D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，6350S S -=，则7a 的值为 ． 14．（5分）过点(1,2)直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，当2OM ON +最小时，直线l 的一般方程为 ．15．（5分）已知P ，A ，B ，C 是球O 的球面上的四点，PA ，PB ，PC 两两垂直，PA PB PC ==，且三棱锥P ABC -的体积为43，则球O 的表面积为 ．16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆，且A ，B ，C 成等差数列，则ac 最小值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共82分）17．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M 为PC 中点，且90PAB PDC ∠=∠=︒．（1）证明：//PA 平面BDM ； （2）证明：平面PAB ⊥平面PAD ．18．（12分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知4A π=，3sin 4a Cb =． （1）求tan B 的值；（2）若3c =，求ABC ∆的面积．19．（14分）如图，在直棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，1AC CC =，D ，E 分别是棱AB ，AC 上的点，且//BC 平面1A DE ．（1）证明：11//DE B C ； （2）求证：11AC A B ⊥．20．（14分）已知2()(34)1()f x x a x a R =-++∈．（1）若对任意的(0,)x ∈+∞，不等式()0f x >上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式2()252f x a a <---．21．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P ，B ，C 坐标分别为(0,1)，(2,0)，(0,2)，E 为线段BC 上一点，直线EP 与x 轴负半轴交于点A ，直线BP 与AC 交于点D ． （1）当E 点坐标为13(,)22时，求直线OD 的方程；（2）求BOE ∆与ABE ∆面积之和S 的最小值．22．（16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1n n S a =-，数列{}n b 满足11b =，12n n b b n +=+-．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）()2,,*,n n na n c n N log a n ⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n T ；（3）对任意的正整数m ，是否存在正整数k ，使得m k a b >？若存在，请求出k 的所有值；若不存在，请说明理由．2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1．（4分）不等式10xx-…的解集为( ) A ．[0，1]B ．(0，1]C ．(-∞，0][1U ，)+∞D ．(,0)[1-∞U ，)+∞【解答】解：根据题意，10(1)0xx x x-⇒-厖且0x ≠， 解可得：01x <„， 即不等式的解集为(0，1]， 故选：B ．2．（4分）已知两条平行直线3460x y +-=和340x y a ++=之间的距离等于2，则实数a 的值为( ) A ．1-B ．4C ．4或16-D ．16-【解答】2=，解得4a =，或16-．故选：C ．3．（4分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差3d =，68a =，则10S 的值为( ) A ．65B ．62C ．59D ．56【解答】解：61538a a =+⨯=Q ， 17a ∴=-， ∴1010910(7)3652S ⨯=⨯-+⨯=． 故选：A ．4．（4分）已知正四棱锥的底面边长为2，则该正四棱锥的体积为( )A ．43B ．23C ． D【解答】解：正四棱锥的底面边长是2，底面对角线长为：=．所以棱锥的体积为：1223⨯⨯=．故选：D．5．（4分）设等差数列{}na的前n项和为nS，若11ma=，21121mS-=，则m的值为() A．3B．4C．5D．6【解答】解：Q等差数列{}na的前n项和为nS，11ma=，21121mS-=，21121211()(21)()11(21)12122m m m mmS a a m a a m---∴=+=-+=-=，解得6m=．故选：D．6．（4分）若直线1:(2)l y k x=-与直线2l关于点(1,2)对称，则直线2l恒过点() A．(2,0)B．(0,2)C．(0,4)D．(4,0)【解答】解：直线1:(2)l y k x=-恒过点(2,0)P．设点P关于点(1,2)的对称点为(,)Q a b，则21222ab+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得0a=，4b=．∴直线2l恒过点(0,4)．故选：C．7．（4分）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ABC∆的面积S B=，2a=，1c=，则(b=)A．32B．2C．34D．52【解答】解：2a=Q，1c=，∴三角形的面积1sin sin2S ac B B B===，sin0B∴>．cos0B>，22sin cos1B B+=Q，1cos4B∴=，由余弦定理可得，2221cos42a c bBac+-==，∴214144b +-=， 2b ∴=，故选：B ．8．（4分）设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题： ①若//m α，//m n ，则//n α； ②若m α⊥，//m β，则αβ⊥；③若αβ⊥，n αβ=I ，m n ⊥，则m β⊥；④若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确命题的序号是( ) A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④【解答】解：设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题： ①若//m α，//m n ，则//n α或n α⊂，因此不正确； ②若m α⊥，//m β，则αβ⊥，正确；③若αβ⊥，n αβ=I ，m n ⊥，则m β⊂，或//m β，或m 与β相交，因此不正确； ④若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，正确． 其中正确命题的序号是②④． 故选：D ．9．（4分）在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA ==，2AD =，则异面直线AC 与1BD 所成角的余弦值为( )A 210B ．15C 15D ．72【解答】解：在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA ==2AD =，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(2A ，0，0)，(0C，0)，(2B，0)，1(0D ，0，， (2AC =-u u u r，0)，1(2BD =-u u u u r，-，，设异面直线AC 与1BD 所成角为θ，则11||cos ||||AC BD AC BD θ===u u u r u u u u r g u u u r u u u u r g ∴异面直线AC 与1BD． 故选：C ．10．（4分）设直线1:370l x y +-=与直线2:10l x y -+=的交点为P ，则P 到直线:20l x ay a ++-=的距离最大值为( )AB ．4 C． D【解答】解：联立37010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得1x =，2y =．可得(1,2)P ．直线:20l x ay a ++-=化为：2(1)0x a y ++-=，因此直线经过定点(2,1)Q -． P 到直线:20l x ay a ++-=的距离最大值为||PQ ==．故选：A ．11．（4分）若实数x ，y 满足264(0)3xy x x +=<<，则41x y +的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32【解答】解：实数x ，y 满足264(0)3xy x x +=<<，42(0,)63x y ∴=∈+，0y >．则4116268y x y y +=+++=…，当且仅当1y =，47x =时取等号． ∴41x y+的最小值为8． 故选：B ．12．（4分）在ABC ∆中，120B =︒，AB =，角A的平分线AD =，则BC 长为( )A ．1 BCD【解答】解：ABD ∆=sin ADB ∴∠=， 45ADB ∴∠=︒，15BAD ∠=︒，30BAC C ∠==︒，BC AB ∴==，故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，6350S S -=，则7a 的值为 16 ． 【解答】解：Q 等比数列{}n a ，11a =，6350S S -=， 1q ∴≠，63115011q q q q---=--， 整理可得，34q =，67116a a q ==故答案为：1614．（5分）过点(1,2)直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，当2OM ON +最小时，直线l 的一般方程为 30x y +-= ． 【解答】解：设直线l 的方程为：2(1)(0)y k x k -=-<，可得2(1M k-，0)，(0,2)N k -，210.20kk ⎧->⎪⎨⎪->⎩，又0k <，解得0k <．21212(2)52()5229OM ON k k k k ∴+=-+-=+-++⨯=-…，当且仅当1k =-时取等号．当2OM ON +最小时，直线l 的一般方程为2(1)y x -=--，化为：30x y +-=． 故答案为：30x y +-=．15．（5分）已知P ，A ，B ，C 是球O 的球面上的四点，PA ，PB ，PC 两两垂直，PA PB PC ==，且三棱锥P ABC -的体积为43，则球O 的表面积为 12π ． 【解答】解：依题意，设PA PB PC a ===， 则三棱锥P ABC -的体积31463V a ==，解得2a =，PA ，PB ，PC 两两垂直，PA PB PC ==，所以三棱锥P ABC -为棱长为2的正方体的一角，如图． 设球的半径为r ，则222222223r PQ ==++=，即3r =， 所以球O 的表面积2412S r ππ==． 故答案为：12π．16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆3，且A ，B ，C 成等差数列，则ac 最小值为 4 ． 【解答】解：A Q 、B 、C 成等差数列， 2B A C ∴=+，又A B C π++=Q ， 3B π∴=，∴1332ABC S ∆==， 2ac b ∴=，由余弦定理有：2222cosb ac ac B=+-，∴222()24acac a c ac+=+…，4ac∴…，故填4．三、解答题（本大题共6小题，共82分）17．（10分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，点M为PC中点，且90PAB PDC∠=∠=︒．（1）证明：//PA平面BDM；（2）证明：平面PAB⊥平面PAD．【解答】证明：（1）连接AC交BD于点O，因为底面ABCD为平行四边形，所以O为AC 中点，在PAC∆中，又M为PC中点，所以//OM PA，又PA⊂/平面BDM，OM⊂平面BDM，所以//PA平面BDM．（2）因为底面ABCD为平行四边形，所以//AB CD，又90PDC∠=︒即CD PD⊥，所以AB PD⊥，又90PAB∠=︒即AB PA⊥，又PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，PA PD P=I，所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．18．（12分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知4A π=，3sin 4a Cb =． （1）求tan B 的值；（2）若3c =，求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）在ABC ∆由正弦定理得，3sin sin sin 4A CB =①因为()C A B π=-+， 所以sin sin()C A B =+， 又因为4A π=，所以3sinsin()sin 444B B ππ+=， 整理可得，sin 2cos B B =， 解得tan 2B =．（2）在锐角ABC ∆中，因为tan 2B =，所以sinB =将sinB =①得sin C =在ABC ∆由正弦定理sin sin c bC B=得b =所以11sin 3322ABC S bc A ∆==⨯=．19．（14分）如图，在直棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，1AC CC =，D ，E 分别是棱AB ，AC 上的点，且//BC 平面1A DE ．（1）证明：11//DE B C ； （2）求证：11AC A B ⊥．【解答】证明：（1）因为//BC 平面1A DE ，BC ⊂平面ABC ，平面ABC ⋂平面1A DE DE =， 所以//BC DE ；又在直棱柱111ABC A B C -中，有11//BC B C ， 所以11//B C DE ；（2）连接1A C ，如图所示；因为棱柱111ABC A B C -为直棱柱，所以1CC ⊥平面ABC ， 又BC ⊂平面ABC ，所以1BC CC ⊥，又因为BC AC ⊥，AC ⊂平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，1AC CC C =I ， 所以BC ⊥平面11ACC A ，又1A C ⊂平面11ACC A ，所以1BC AC ⊥；在直棱柱111ABC A B C -中，有四边形11AA C C 为平行四边形； 又因为1AC CC =，所以四边形11AA C C 为菱形， 所以11AC A C ⊥；又1BC A C C =I ，BC ⊂平面1A BC ，1A C ⊂平面1A BC ， 所以1AC ⊥平面1A BC ； 又1A B ⊂平面1A BC ， 所以11AC A B ⊥．20．（14分）已知2()(34)1()f x x a x a R =-++∈．（1）若对任意的(0,)x ∈+∞，不等式()0f x >上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式2()252f x a a <---．【解答】解：（1）对任意的(0,)x ∈+∞，2()(34)10f x x a x =-++>恒成立， 即134a x x+<+恒成立， 因为当0x >时，12x x +…（当且仅当1x =时取等号）所以342a +<，即23a <-，故得实数a 的取值范围是2(,)3-∞-；（2）不等式22(34)1252x a x a a -++<---，22(34)2530x a x a a ∴-++++<，即[(1)][(23)]0x a x a -+-+<， ①当123a a +=+即2a =-时，x ∈∅，②当123a a +>+即2a <-时，231a x a +<<+， ③当123a a +<+即2a >-时，123a x a +<<+， 综上：当2a =-时，不等式解集为∅； 当2a <-时，不等式解集为(23,1)a a ++； 当2a >-时，不等式解集为(1,23)a a ++．21．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P ，B ，C 坐标分别为(0,1)，(2,0)，(0,2)，E 为线段BC 上一点，直线EP 与x 轴负半轴交于点A ，直线BP 与AC 交于点D ． （1）当E 点坐标为13(,)22时，求直线OD 的方程；（2）求BOE ∆与ABE ∆面积之和S 的最小值．【解答】解：（1）当13(,)22E 时，直线PE 的方程为1y x =+．所以(1,0)A -，直线AC 的方程为22y x =+①又直线BP 的方程为112y x =-+②①②又联立方程组得26(,)55D -，所以直线OD 的方程为3y x =-．（2）直线BC 的方程为20x y +-=，设(,2)E a a -． 直线PE 的方程为11a y x a -=+，所以(,0)1aA a -． 因为A 在x 轴负半轴上，所以11(43)(2)01(2)(2)22121ABE OEB a a a a S S S a a a a∆∆--<<=+=-⨯-+-=--，01a <<． 令1t a =-，则11013422t S t t t ⎛⎫⎛⎫<<=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，当t =时，1a =- 答：S2+．22．（16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1n n S a =-，数列{}n b 满足11b =，12n n b b n +=+-．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）()2,,*,n n na n c n N log a n ⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n T ；（3）对任意的正整数m ，是否存在正整数k ，使得m k a b >？若存在，请求出k 的所有值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在数列{}n a 中，当1n =时，112a =， 当2n …时，由1111n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩得112n n a a -=所以数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列， 即*1()2n n a n N =∈．在数列{}n b 中，当2n …时，有21321103n n b b b b b b n --=-⎧⎪-=⎪⎨⋯⋯⎪⎪-=-⎩叠加得，211(1)(4)5610322n n n n n n b b n b b ---+-=-++⋯+-=+=，当1n =时，11b =也符合上式，所以2*56()2n n n b n N -+=∈． （2）1,2,n n n C n n ⎧⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数当n 为偶数时，13124()()n n n T c c c c c c -=++⋯++++⋯+ 111121(2)()(24)(1)282324n n n n n -+=++⋯++---⋯-=--． 当n 为奇数时，13241()()n n n T c c c c c c -=++⋯++++⋯+21111211()(241)(1)282324n n n n +-=++⋯++---⋯-+=--． （3）对任意的正整数m ，有102m a <„，假设存在正整数k ，使得m k a b >，则0k b „，令25602k k k b -+=„， 解得23k 剟，又k 为正整数， 所以2k =或3满足题意．。
江苏省如皋市2014-2015学年高一下学期期末考试数学试卷(图片版)
2014-2015学年度高一年级第二学期期末调研测试答案一．填空题1. 122.53.14.565.乙6.[-1,2]7.0.38.449.-3或32 10. 1 11.8 12.-3或213. )+∞ 14. (,2][1,)-∞-⋃+∞二．解答题15.解：（1）因为13AB k =,所以3k =-；…………………………………………4分 故AB 边上的高所在直线方程为330x y +-=. ………………………7分（2）因为M 为AC 的中点，所以C(2,1)，1CB k =； …………………11分 故BC 所在直线方程为10x y --=.……………………………………14分16. 解：法一：(1)设集合A 中的点(x ，y )∈B 为事件M ，区域A 的面积为S 1＝36，区域B 的面积为S 2＝36-8=28，∴P (M )＝S 2S 1＝287369=. …………………………………………6分 (2)设点(x ，y )在集合B 中为事件N ，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数为36，其中在集合B 中的点有33个， …………………………………………10分故P (N )=33113612=. …………………………………………12分法二：（1）设集合A 中的点(x ，y )∈B 为事件M ，其对立事件M 为集合A 中的点(x ，y ) ∉B ，∴P (M )＝1- P (M )＝1-87369=.…………………………………………6分 (2)设点(x ，y )在集合B 中为事件N ，其对立事件N 为点(x ，y )不在集合B 中.甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数为36，其中不在集合B 中的点有3个，…………10分故P (N )= 1- P (N )＝1- 3113612=.…………………………………………12分 答：(1)在区域A 中任取一点(x ，y )，点(x ，y )∈B 的概率为79； (2)点(x ，y )在区域B 中的概率为1112．…………………………………………14分 17.解：（1）24a ∆=-………………………………………………………………………1分①当0∆>，即a >2或a <-2时，不等式的解集为()-∞⋃+∞； …………………………………………2分②当0∆=，即a =2或-2时，当a =2时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞；当a =-2时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞；…………………………4分③当0∆<，即当-2<a <2时，解集为R . …………………………………………5分综上，①当a >2或a <-2时，不等式的解集为()-∞⋃+∞；②当a =2时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞；③当a =-2时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞；④当-2<a <2时，解集为R . …………………………………………7分（2）法一：分离参数法当x >0时，由210x ax ++≥得1()a x x ≥-+，即max 1()a x x≥-+. 令1()()g x x x=-+，∵()g x 在（0，1）上单调递增，(1,)+∞上单调递减. ∴max ()2g x =-∴2a ≥-. …………………………………………14分法二：图像法020a ⎧->⎪⎨⎪∆≤⎩或02a -≤， ∴20a -≤<或0a ≥∴2a ≥-. …………………………………………14分18.解：（1）当2n ≥时，111122n n n n b b a a ---=--- 111112321n n a a --=----- 1111122n n n a a a ----=--- =1 …………………………………………5分当n =1时，b 1=2，∴数列{}n b 是首项b 1=2，公差为1的等差数列. …………………………………………7分（2）由（1）得b n =n +1， …………………………………………9分∴c n =n （n +1）， ∴1111(1)1n c n n n n ==-++. …………………………………………12分 ∴1111112231n S n n =-+-++-+1111n nn =-+=+ …………………………………………16分19.解：法一：设点（1）以E 为坐标原点，AD 所在直线为y 轴，过E 垂直于AD 的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则C (4，8)，B （4，-2），P (1,1)∴EC ：y =2x EB ：2x y =-∴EC ⊥EB设M （m ，2m ），N （2n ，n ），（m >0,n >0）∵P 为MN 的中点 ∴2222m n m n +=⎧⎨-=⎩ ∴6525m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩此时612M(,)55，d =答：当d =P 为MN 中点. …………………………………………7分 （2）∵PM PN k k = ∴211121m n m n ---=-- ∴35m n mn +=（244,2317m n ≤≤≤≤） ∵EC ⊥EB∴12EMN S EM EN ∆=⋅=52mn∵35m n mn +=≥当且仅当635m n ==时取等号， ∴1225mn ≥. ∴EMN S ∆=52mn 65≥，此时d =…………………………………………14分答：当d =EMN 面积最小，最小为65.…………………………………16分 法二：设斜率（1）当直线MN 的斜率存在时，设MN ：1(1)y k x -=-即1y kx k =+-，且73k ≥或1k ≤-， 由12y kx k y x =+-⎧⎨=⎩ 和 112y kx k y x =+-⎧⎪⎨=-⎪⎩得 11,221M N k k x y k k --==-+ 由P 为MN 的中点得k =7，从而d = …………………………………………7分 （2）当直线MN 的斜率存在时，∵EC ⊥EB ∴12EMN S EM EN ∆=⋅=5112221k k k k --⋅⋅-+，73k ≥或1k ≤- 令1k t -=，43t ≥或2t ≤- ∴225223EMN t S t t ∆=+-22552213112523()612t t t ==+---+ ∴当6t =时，即k =7时，min 6()5EMN S ∆=. 当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x =1，EMN S ∆=5465>. ∴min 6()5EMN S ∆=，此时d =…………………………………………14分答：当d =EMN 面积最小，最小为65…………………………………16分 法三：以A 为坐标原点建系则C (4，10)，B （4，0），P (1,3)，E （0，2）∴EC ：y =2x +2 EB ：2x y =-+2 ∴EC ⊥EB下同法一、法二 法四：在上述两种坐标系下均可求得P 到EB,EC的距离分别为1d =,2d = ∴123d d =.设ENM α∠=,则222222111333tan 2tan 2EMN S d d d d αα∆=+⋅⋅+⋅ 2222193(tan )2tan d d αα=++2222132d d ≥+⋅226d =，当且仅当tan 3α=时取等号. ∴min 6()5EMN S ∆=，此时d =（法三和法四请酌情给分）20.解：（1）设等差数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，由525S S =得a 1=d ，由2121n n a a +=+得a 1-2d +1=0.∴a 1=d =1,a n =n .∴b 2=2，b 6=8∵b n >0,∴公比q，∴bn n =. …………………………………………5分 （2）,,n n n c ⎧⎪=⎨⎪⎩21,*,2,*.n k k N n k k N =-∈=∈ 当n 为偶数时，2(131)(242)nn T n =+++-+++ 12222412n n +-=+- 212224n n +=-+； …………………………………………7分 当n 为奇数时，12(13)(242)n n T n -=++++++ 122(1)22412n n ++-=+- 122(1)224n n ++=-+ …………………………………………9分 ∴122212(1)22,422,4n n n n T n ++⎧+-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩21,2.n k n k =-=…………………………………………10分 （3）当m 为偶数时，2122222224m n m +-+=⋅+ 即244m =， ∴m =4. …………………………………………13分 当m 为奇数时，122(1)22224m m m ++-+=+ ∴1224224(3)m m +⋅=--即122(3)24420m m +-=-⋅≥ ∴1226m +≤，∴m =1或3.当m =1时，4≠16，当m =3时，0≠8.故当m 为奇数时，这样的m 不存在.所以m =4. …………………………………………16分。
高中江苏省南通市如皋市高一下学期期末数学试题
江苏省南通市如皋市【精品】高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．不等式10xx-≥的解集为( ) A ．[]0,1 B ．(]0,1C ．(][),01,-∞⋃+∞D ．()[),01,-∞⋃+∞ 2．已知两条平行直线3460x y +-=和340x y a ++=之间的距离等于2，则实数a 的值为( ) A ．1-B ．4C ．4或16-D ．16-3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差3d =，68a =，则10S 的值为( ) A ．65B ．62C ．59D ．564．已知正四棱锥的底面边长为2( )A ．43B ．23C ．D 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11m a =，21121m S -=，则m 的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．66．若直线l 1：y =k （x –2）与直线l 2关于点（1，2）对称，则直线l 2恒过点（ ） A ．（2，0） B ．（0，2） C ．（0，4）D ．（4，0）7．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若ABC ∆的面积,2,1S B a c ===，则b =( )A ．32B ．2C ．34D ．528．设m ,n 为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，给出下列命题: ①若//m α，//m n ，则//n α； ②若m α⊥，//m β，则αβ⊥； ③若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥；④若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确命题的序号是( ) A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AA ==2AD =,则异面直线AC 与1BD 所成角的余弦值为( )A B ．15-C ．15D ．12-10．设直线1:370l x y +-= 与直线2:10l x y -+=的交点为P ,则P 到直线:20l x ay a ++-=的距离最大值为( )A B ．4C ．D11．若实数,x y 满足26403xy x x ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则41x y +的最小值为( ) A ．4B ．8C ．16D ．3212．在ABC ∆中，0120B =，AB =角A 的平分线AD =，则BC 长为( )A ．1BC D二、填空题13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，6350S S -=,则7a 的值为______． 14．过点()1,2直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，当2OM ON +最小时，直线l 的一般方程为______.15．已知P ,A ,B ,C 是球O 的球面上的四点，PA ，PB ，PC 两两垂直，PA PB PC ==,且三棱锥P ABC -的体积为43，则球O 的表面积为______．16．在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2b ，且A ,B ,C 成等差数列，则ac 最小值为______．三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M 为PC 中点，且090PAB PDC ∠=∠=.(1)证明：//PA 平面BDM ； (2)证明：平面PAB ⊥平面PAD .18．在锐角ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4A π=,3sin 4a Cb =.（1）求tan B 的值；（2）若3c =,求ABC ∆的面积.19．如图，在直棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，1AC CC =，D ，E 分别是棱AB ，AC 上的点，且//BC 平面1A DE .（1）证明：DE //11B C ； （2）求证：11AC A B ⊥.20．已知()()()2341f x x a x a R =-++∈.（1）若对任意的()0,x ∈+∞，不等式()0f x >上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()2252f x a a <---.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P ,B ,C 坐标分别为()0,1，()2,0，()0,2，E 为线段BC 上一点，直线EP 与x 轴负半轴交于点A ，直线BP 与AC 交于点D ．（1）当E 点坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭时，求直线OD 的方程； （2）求BOE ∆与ABE ∆面积之和S 的最小值.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1n n S a =-，数列{}n b 满足111,2n n b b b n +==+-.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）2,,log n n n a n c a n ⎧=⎨⎩为奇数，为偶数()*n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）对任意的正整数m ，是否存在正整数k ，使得m k a b >？若存在，请求出k 的所有值；若不存在，请说明理由.参考答案1．B 【解析】 【分析】可将分式不等式转化为一元二次不等式，注意分母不为零. 【详解】 原不等式可化为()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩，其解集为(]0,1，故选B .【点睛】一般地，()()0f x g x >等价于()()0f x g x >，而()()0f x g x ≥则等价于()()()00f x g x g x ⎧≥⎪⎨≠⎪⎩，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零. 2．C 【分析】利用两条平行线之间的距离公式可求a 的值. 【详解】两条平行线之间的距离为625a d --===，故4a =或16a =-， 故选C . 【点睛】一般地，平行线1110A x B y C ++=和1120A x B y C ++=，应用该公式时注意,x y 前面的系数要相等. 3．A 【分析】先求出5a ，再利用等差数列的性质和求和公式可求10S . 【详解】565a a d =-=，所以()()1101056105652a a S a a +==+=，故选A . 【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；（2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+== 且()2121n n S n a -=- ；（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （4）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列.4．D 【分析】求出正四棱锥的高后可求其体积. 【详解】正四棱锥底面的对角线的长度为故正四棱锥的高为h ==1433⨯=， 故选D . 【点睛】正棱锥中，棱锥的高、斜高、侧棱和底面外接圆的半径可构成四个直角三角形，它们沟通了棱锥各个几何量之间的关系，解题中注意利用它们实现不同几何量之间的联系. 5．D 【分析】利用等差数列的前n 项和的性质可求m 的值. 【详解】因为()2121121m m S m a -=-=，所以2111m -=，故6m =， 故选D . 【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；（2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+== 且()2121n n S n a -=- ；（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （4）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列.6．C 【分析】先求出直线l 1恒过点P （2，0），求出点P 关于点（1，2）的对称点Q ，从而得到直线l 2恒过的点，得到答案. 【详解】直线l 1：y =k （x –2）恒过点P （2，0）． 设点P 关于点（1，2）的对称点为Q （a ，b ），则212022ab +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得04a b =⎧⎨=⎩，∴直线l 2恒过点（0，4）． 故选C ． 【点睛】本题考查直线过定点，求点关于点的对称点，属于简单题. 7．B 【分析】利用面积公式及S B =可求tan B ，再利用同角的三角函数的基本关系式可求cos B ，最后利用余弦定理可求b 的值.【详解】 因为1sin 2S ac B =，故121sin 2B B ⨯⨯⨯=，所以tan 0B =>，因为()0,B π∈，故0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又1cos 4B ==，由余弦定理可得22212cos 522144b ac ac B =+-=-⨯⨯⨯=，故2b =. 故选B . 【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理. 8．D 【分析】根据线面平行的性质和面面垂直的判定可知②④正确. 【详解】对于①，若//m α，//m n ，//n α或n ⊂α，故①错；对于②，过m 作一个平面γ，它与平面β交于b ，则m b ，因为m α⊥，故b α⊥，因为b β⊂，故αβ⊥，故②成立；对于③，由面面垂直的性质定理可知前提条件缺少m α⊂，故③错； 对于④，如图所示，如果,m n 分别于平面αβ，斜交，且斜足分别为1,A A ， 在直线,m n 上分别截取斜线段11A B 、AB ，使得11A B AB =， 过1,B B 分别作平面,αβ的垂线，垂足分别为1,C C ，连接11,A C AC ，则111,B AC BAC ∠∠分别为m 与平面α所成的角、n 与平面β所成的角， 因为αβ∥，故11BCB C ，所以111A B C ABC ∠=∠，故111B AC BAC ∠=∠.当,m n 分别垂直于,αβ时，1112B AC BAC π∠=∠=；当,m n 分别平行于,αβ时，1110B A C BAC ∠=∠=；故m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，故④正确. 故选D.【点睛】本题考查空间中的点、线、面的位置关系，正确判断这些命题的真假的前提是熟悉公理、定理的前提条件，同时需要动态考虑它们的位置关系，观察是否有不同的情况出现. 9．C 【分析】连接BD ，交AC 于O ，取1DD 的中点E ，连接OE 、AE ，可以证明EOA ∠是异面直线AC 与1BD 所成角，利用余弦定理可求其余弦值.【详解】连接BD ，交AC 于O ，取1DD 的中点E ，连接OE .由长方体1111ABCD A B C D -可得四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点， 因为E 为1DD 的中点，所以1OE BD ，所以EOA ∠或其补角是异面直线AC 与1BD 所成角.在直角三角形EOD 中，则2OD ==DE =，所以OE =.在直角三角形ADE 中，AE =在AOE ∆中，cosEOA ∠== 故选C .【点睛】空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算. 10．A 【分析】先求出P 的坐标，再求出直线l 所过的定点Q ，则所求距离的最大值就是PQ 的长度. 【详解】由37010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩可以得到12x y =⎧⎨=⎩，故()1,2P ， 直线l 的方程可整理为：()210x a y ++-=，故直线l 过定点()2,1-， 因为P 到直线l 的距离d PQ ≤，当且仅当l PQ ⊥时等号成立，故max d ==故选A . 【点睛】一般地，若直线1111:=0l A x B y C ++和直线2222:0l A x B y C ++=相交，那么动直线()1112220A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈）必过定点（该定点为12,l l 的交点）.11．B 【分析】由64xy x +=可以得到4116y x y y+=++，利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为64xy x +=，故41611=6xy x y x y x y y+++=++， 因为203x <<，故46460x y x x -==->， 故168y y ++≥，当且仅当41,7y x ==时等号成立， 故41x y+的最小值为8， 故选B . 【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证. 12．B 【分析】在ABD ∆中利用正弦定理可求sin BDA ∠，从而可求BDA ∠，再根据内角和为180︒ 可得BAD ∠，从而得到ABC ∆为等腰三角形，故可求BC 的长.【详解】在ABD ∆中，由正弦定理有sin sin AD AB ABD ADB=∠∠sin ADB =∠，所以sin ADB ∠=03ADB π<∠<，故4ADB π∠=，故12BAD π∠=，所以6BAC π∠=，故6BCA π∠=，ABC ∆为等腰三角形，故BC AB ==故选B .【点睛】在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量． 13．16 【分析】利用3633S S q S -=及6350S S -=可计算3q ，从而可计算7a 的值.【详解】因为3633S S q S -=，故3334q S S =， 因为30S ≠，故34q =，故67116a a q ==，故填16. 【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． 14．30x y +-= 【解析】 【分析】设直线的截距式方程为1x y a b +=，利用该直线过()1,2可得121a b+=，再利用基本不等式可求何时2OM ON +即2+a b 取最小值，从而得到相应的直线方程． 【详解】设直线的截距式方程为1x ya b +=，其中0,0a b >>且22OM ON a b +=+． 因为直线过()1,2，故121a b+=．所以()125222a b a b b a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝++⎭=， 由基本不等式可知2b aa b+≥，当且仅当3a b ==时等号成立， 故当2OM ON +取最小值时，直线方程为：30x y +-=．填30x y +-=． 【点睛】直线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于x 的轴的直线没有点斜式、斜截式和截距式，垂直于y 轴的直线没有截距式，注意根据题设所给的条件选择合适的方程的形式，特别地，如果考虑的问题是与直线、坐标轴围成的直角三角形有关的问题，可考虑利用截距式. 15．12π 【分析】根据三棱锥的体积可求三棱锥的侧棱长，补体后可求三棱锥外接球的直径，从而可计算外接球的表面积． 【详解】三棱锥的体积为2114323V PA PA =⨯⨯⨯=，故2PA =， 因为PA ，PB ，PC 两两垂直，PA PB PC ==，故可把三棱锥补成正方体， 该正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径，又体对角线的长度为(212S ππ=⨯=.填12π. 【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定． 16．4 【分析】先根据A ,B ,C 成等差数列得到60B =︒，再根据余弦定理得到,,a b c 满足的等式关系，而由面积可得ac b =，利用基本不等式可求ac 的最小值. 【详解】因为A ,B ,C 成等差数列，180A B C ++=︒，故60B =︒. 由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-. 由基本不等式可以得到2b ac ≥，当且仅当a c =时等号成立.因为11sin sin 223S ac B ac π===，所以2ac b =， 所以224a c ac ≥即4ac ≥，当且仅当2a c ==时等号成立.故填4. 【点睛】三角形中与边有关的最值问题，可根据题设条件找到各边的等式关系或角的等量关系，再根据边的关系式的结构特征选用合适的基本不等式求最值，也可以利用正弦定理把与边有关的目标代数式转化为与角有关的三角函数式后再求其最值. 17．（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】(1) 连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，可证//OM PA ，从而可证//PA 平面BDM . (2) 可证AB ⊥平面PAD ，从而得到平面PAB ⊥平面PAD . 【详解】(1) 连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，因为底面ABCD 为平行四边形，所以O 为AC 中点. 在PAC ∆中,又M 为PC 中点，所以//OM PA . 又PA ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， 所以//PA 平面BDM .(2) 因为底面ABCD 为平行四边形，所以//AB CD . 又090PDC ∠=即CD PD ⊥，所以AB PD ⊥. 又090PAB ∠=即AB PA ⊥.又PA ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，PA PD P =，所以AB ⊥平面PAD . 又AB平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角. 18．（1）2；（2）3. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得3sin sin sin 4A CB =，消元后可得关于B 的三角方程，从该方程可得tan B 的值.（2）利用同角的三角函数的基本关系式结合（1）中的结果可得sin B ，再根据题设条件得到sin C 后再利用正弦定理可求b 的值，从而得到所求的面积. 【详解】(1)在ABC ∆由正弦定理得，3sin sin sin 4A CB =①， 因为()C A B π=-+,所以()sin sin C A B =+， 又因为4A π=，所以3sinsin sin 444B B ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理得到2cos sin B B =， 故tan 2B =.(2)在锐角ABC ∆中，因为tan 2B =，所以sinB =， 将sinB =代入①得sin C =.在ABC ∆由正弦定理sin sin c bC B=得b =所以11sin 3322ABC S bc A ∆==⨯=. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.另外，三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两角及一边，用正弦定理.另外，如果知道两个角的三角函数值，则必定可以求第三角的三角函数值，此时涉及到的公式有同角的三角函数的基本关系式和两角和差的三角公式、倍角公式等. 19．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用线面平行的性质定理可得//BC DE ，从而得到11//B C DE . （2）连接1A C ，可证1AC ⊥平面1A BC ，从而得到11AC A B ⊥. 【详解】（1）因为//BC 平面1A DE ，BC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面1A DE DE =，所以//BC DE .又在直棱柱111ABC A B C -中，有11//BC B C ，所以11//B C DE .(2)连接1A C ，因为棱柱111ABC A B C -为直棱柱，所以1CC ⊥平面ABC ， 又BC ⊂平面ABC ，所以1BC CC ⊥.又因为BC AC ⊥，AC ⊂平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，1ACCC C =，所以BC ⊥平面11ACC A .又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC AC ⊥. 在直棱柱111ABC A B C -中，有四边形11AAC C 为平行四边形. 又因为1AC CC =，所以四边形11AAC C 为菱形，所以11AC AC ⊥. 又1BCAC C =,BC ⊂平面1A BC ,1AC ⊂平面1A BC ， 所以1AC ⊥平面1A BC ，又1A B ⊂平面1A BC ，所以11AC A B ⊥.【点睛】线线平行的证明，有如下途径：（1）利用平面几何的知识，如三角形的中位线、梯形的中位线等；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）线面垂直的性质定理（同垂直一个平面的两条直线平行）.而线线垂直的证明，有如下途径：（1）利用平面几何的知识，如勾股定理等；（2）异面直线所成的角为2π；（3）线面垂直的性质定理； 20．（1）23a <-；（2）见解析.【分析】（1）参变分离后可得134a x x+<+在()0,∞+上恒成立，利用基本不等式可求1x x +的最小值，从而得到参数a 的取值范围.（2）原不等式可化为()()1230x a x a ⎡⎤⎡⎤-+-+<⎣⎦⎣⎦，就对应方程的两根的大小关系分类讨论可得不等式的解集. 【详解】（1）对任意的()0,x ∈+∞，()()23410f x x a x =-++>恒成立即134a x x+<+恒成立. 因为当0x >时，12x x +≥（当且仅当1x =时等号成立）， 所以342a +<即23a <-.（2）不等式()22341252x a x a a -++<---，()22342530x a x a a -++++<即()()1230x a x a ⎡⎤⎡⎤-+-+<⎣⎦⎣⎦，①当123a a +=+即2a =-时，x ∈∅；②当123a a +>+即2a <-时，231a x a +<<+； ③当123a a +<+即2a >-时，123a x a +<<+. 综上：当2a =-时，不等式解集为ϕ； 当2a <-时，不等式解集为()23,1a a ++； 当2a >-时，不等式解集为()1,23a a ++. 【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式大于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．一元二次不等式的恒成立问题，参变分离后可以转化为函数的最值进行讨论，后者可利用基本不等式来求.21．（1）3y x =-；（22. 【解析】 【分析】（1）求出PE 的直线方程后可得A 的坐标，再求出PB 的直线方程和AC 的直线方程后可得D 的坐标，从而得到直线OD 的直线方程.（2）直线BC 的方程为20x y +-=，设(),2E a a -，求出PE 的直线方程后可得A 的坐标，从而可用a 表示S ，换元后利用基本不等式可求S 的最小值. 【详解】 （1）当13,22E ⎛⎫⎪⎝⎭时，直线PE 的方程为1y x =+， 所以()1,0A -，直线AC 的方程为22y x =+①，又直线BP 的方程为112y x =-+②， ①②联立方程组得26,55D ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以直线OD 的方程为3y x =-. (2)直线BC 的方程为20x y +-=，设(),2E a a -， 直线PE 的方程为11a y x a -=+，所以,01a A a ⎛⎫⎪-⎝⎭. 因为A 在x 轴负半轴上，所以01a <<，()122221ABE OEB a S S S a a a ∆∆⎛⎫=+=-⨯-+- ⎪-⎝⎭=()()432121a a a--- ，01a <<.令1t a =-，则01t <<，113422S t t ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭（当且仅当t =，而当3t =时，()10,13a =-，故S 2. 【点睛】直线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于x 的轴的直线没有点斜式、斜截式和截距式，垂直于y 轴的直线没有截距式，注意根据题设所给的条件选择合适的方程的形式.直线方程中的最值问题，注意可选择合适的变量（如斜率、倾斜角、动点的横坐标或纵坐标等）构建目标函数，再利用基本不等式或函数的单调性等求目标函数的最值.22．（1）()12n n a n N *=∈，()2562n n n b n N *-+=∈；（2）见解析；（3）存在，23k =或. 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可得112n n a a -=，从而可得{}n a 为等比数列，故可得其通项公式.用累加法可求{}n b 的通项.（2）利用分组求和法可求n T ，注意就n 的奇偶性分类讨论. （3）根据{}n a 的通项可得102m a <≤，故考虑0k b ≤的解可得满足条件的k 的值. 【详解】（1）在数列{}n a 中，当1n =时，112a =. 当2n ≥时，由1111n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩得112n n a a -=，因为1102a =≠，故112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列即()12n n a n N *=∈.在数列{}n b 中，当2n ≥时，有21321103n n b b b b b b n --=-⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=-⎩，由累加法得，1103n b b n -=-+++-，()()21145622n n n n n b b ---+=+=.当1n =时，11b =也符合上式，所以()2562n n n b n N *-+=∈.(2)1,2,nn n C n n ⎧⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数. 当n 为偶数时，()()13124n n n T c c c c c c -=+++++++=()()1211121241282324n nn n n -+⎛⎫⎛⎫++++----=--⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 当n 为奇数时，()()13241n n n T c c c c c c -=+++++++=()211112112411282324n n n n +-⎛⎫⎛⎫++++----+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(3)对任意的正整数m ,有102m a <≤， 假设存在正整数k ，使得m k a b >，则0k b ≤，令25602k k k b -+=≤，解得23k ≤≤，又k 为正整数，所以23k =或满足题意. 【点睛】给定数列的递推关系，求数列的通项时，我们常需要对递推关系做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系、变形方法及求法如下： （1）()1n n a a f n --=，用累加法； （2）()10n n a q p p q a -+≠=，可变形为111n n a q p p a q p --⎛⎫= ⎪⎝--⎭-，利用等比数列的通项公式可求1n q p a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭的通项公式，两种方法都可以得到{}n a 的通项公式.（3）递推关系式中有n a 与前n 项和n S ，可利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩实现{}n a 与n S 之间的相互转化.另外，数列不等式恒成立与有解问题，可转化为数列的最值（或项的范围）来处理.。
南通一中2014-2015学年度第二学期最后一练高三数学参考答案
南通一中2014-2015学年度第二学期高三数学最后一练参考答案1．{（3，﹣1）}； 2．真；34；5．π4； 6．(3,1)(3,)-+∞ ； 7．π4ϕ=； 8．λ>－3；9．1023； 10．②③；1112．ππ(,)；13．915,44⎛⎫⎪⎝⎭； 14． 【解析】11．方法一：令y ＝tx ，则t >0，代入不等式得x 2＋2tx 2≤a (x 2＋t 2x 2)，消掉x 2得1＋2t ≤a (1＋t 2)，即at 2－2t ＋a －1≥0对t >0恒成立，显然a >0，故只要Δ＝4－4a (a －1)≤0，即a 2－a －1≥0，考虑到a >0，得a .方法二：令y ＝tx ，则a ≥22222121x xy tx y t ＋＋＝＋＋，令m ＝1＋2t >1，则t ＝12m -， 则a ≥2121tt ＋＋＝22444541)252m m m m m m m＝＝＋(－－＋＋－，故a . 13．分析：由条件213(2)n n S S n n -+=≥得21)1(3+=++n S S n n ，两式相减得361+=++n a a n n ，故9612+=+++n a a n n ，两式再相减得62=-+n n a a ，由2=n 得12121=++a a a ， a a 2122-=，从而a n a n 2662-+=；3=n 得2721321=++++a a a a a ，a a 233+=，从而a n a n 23612+-=+，由条件得⎪⎩⎪⎨⎧-++<+-+-<-+-<an a n a n a n a a 26)1(6236236266212，解之得41549<<a 14．左焦点为1F .连结11,AF BF 可得四边形1AFBF 是矩形，所以AO OF OB c ===.所以2AB c =又,AF BF ⊥所以. 2sin ,2cos AF c BF c αα==.又因为1A FB F =，12AF AF a +=.所以2s i n 2c o s c c a αα+=.即11sin cos)4c aπααα==++.因为ππ,,124α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π)4α+.c a ==故填. 15．（1）max()3f x =，5π12α=；（2）0b c -=.解：（1）由题意可得：ππ()1cos(2)21sin 2212sin(2)23f x x x x x x ⎡⎤=-+=+-=+-⎢⎥⎣⎦，（3分）又∵ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ2π2633x -≤≤，（5分）故当ππ232x -=，即5π12x α==时，max ()3f x =；（7分）（2）由（1）知ππ123A α=-=，（8分）又∵2sin sin sin B C A =，∴2bc a =，（9分） ∵222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，（11分）∴22b c bc bc +-=，即2()0b c -=，故b c =（13分） 所以△ABC 是等边三角形（14分）16．解：（1）连结OE Q O 是正方形的中心O AC \是的中点，又Q E 是PC 的中点 \OE 是PCA V 的中位线 \ OE ∥P A ， （3分）又Q OE Ì 平面BDE ,PA Ë 平面BDE \P A ∥平面BDE .（7分）（2）Q PO ⊥底面ABCD ，BD Ì平面ABCD ，\PO ⊥BD（9分） 又Q BD ⊥AC AC PO O ?，且,AC PO ⊂平面P AC ，\BD ⊥平面PAC （12分） 又Q BD Ì 平面BDE \平面PAC ⊥平面BDE ． （14分） 17．（1）21(sin )2S R θθ=-弓；（2）当园林公司把扇形的圆心角设计成π3时，总利润取最大值24π5(3R -.解：（1）212S R θ=扇，21sin 2OBD S R θ∆=, 21()(sin )2S f R θθθ==-弓. （3分）（2）设总利润为y 元，种植草皮利润为1y 元，种植花卉利润为2y ，种植学校观赏植物成本为3y2211130(π)22y R R θ=-，221sin 802y R θ=⋅，231(sin )202y R θθ=-⋅， （6分）2222123111130(π)sin 80(sin )202222y y y y R R R R θθθθ∴=+-=-+⋅--⋅ .25[3π(510sin )]R θθ=--（9分） 设()510sin g θθθ=- (0,π)θ∈.'()510cos g θθ=-'1π()0,cos ,()0,2g g θθθθ<>∈在（）3上为减函数； '1π()0,cos ,(),π2g g θθθθ><∈在（）3上为增函数. （12分） 当π3θ=时，()g θ取到最小值,此时总利润最大：224π5[3π(510sin )]=5-3y R R θθ=--（.（13分） 答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成3π时，总利润取最大值24π53R -（. （14分） 18．（1）2212516x y +=或2225125616x y+=；（2）5m =． 解：（1）当焦点在x 轴上时， 由2222221616161625332555a c a c a a c c a a ⎧⎧-=-=⎪⎪⇒⇒=⇒=⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，故所求椭圆方程为2212516x y +=．（2分）当焦点在y 轴上时，由22222161625631225455a c a c a c c ⎧⎧-==-⎪⎪⇒⇒=⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，故所求椭圆方程为2225125616x y +=．（4分）综上所述，所求椭圆方程为2212516x y +=或2225125616x y +=．（5分）（2）如图所示：设直线AB 的方程为()()3,0y k x k =-≠，()()1122342525,,,,,,,33A x y B x y M y N y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则由()()222222316515025400012516y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩， 根据韦达定理（根与系数的关系）得：21221501625k x x k +=-，21222254001625k x x k -=+， （8分） ∴由()()()()2112121222232563316253y k x k y y k x x k y k x ⎧=--⎪⇒=--=⎨+=-⎪⎩ …… ①（10分）M D A 、、三点共线，即//MD DA ,且325,3MD m y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()11,DA x m y =-,∴()()()1311313252533y m y x m y m y m x -⎛⎫--=-⇒= ⎪-⎝⎭,同理可得()()2423253y m y m x -=-, ∴()()()21234123259m y y y y m x m x -=-- ……②（12分）根所题意,π2MFN ∠=（直径所对圆周角），即0FM FN FM FN ⊥⇔⋅= ，∴233434416,31625603916,3FM y y y y y FN y ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎛⎫⇒+=⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩ ……③ （14分）由①、②、③得：()()()()()22222123252562561164000916259m k k m m x m x k --⨯=-⇒+-=--+， 210k +>，∴由21640005m m -=⇒=±， 点D 在()3,0F 的右侧，∴3m >，5m =．∴存在满足条件的D 点，且5m =．（16分） 19．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2121()2a ax a f x ax x x +++'=+＝，（2分）当0a ≥ 时，0f x '（）＞ ，故()f x 在0（，）+∞上单调递增；当1a -≤ 时，0（）＜f x ' ，故()f x 在0（，）+∞上单调递减； （4分）当10a -＜＜ 时，令0（）f x '=，解得x ， 即0,x ⎛∈⎝时，()0f x '>；x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0.f x '< （6分） 故f （x）在0（上单调递增，在+∞）上单调递减．（8分）（2）不妨设12x x …，而1a <-，由（1）知()f x 在(0,)+∞单调递减， 从而对任意12(0,)x x ∈+∞、，恒有121212||04x x f x f x x x ∀∈+∞--，（，），（）（）≥ ⇔1221()()4()f x f x x x --…⇔1122()4()4f x x f x x ++…（11分）令()()4g x f x x =+，则1()24a g x ax x+'=++等价于()g x 在(0,)+∞单调递减， 即1()240a g x ax x+'=++…，（13分）从而22222241(21)42(21)2212121x x x x a x x x ------==-+++…， 故a 的取值范围为(],2.-∞-（16分）另解：min 241()21x a x --+≤ 设241()21x x x ϕ--=+， 则222222222224(21)(41)48448444(21)(1)()(21)(21)(21)(21)x x x x x x x x x x x x x x ϕ-+---⋅+-+--+'====++++当1(0,)()0,()2x x x ϕϕ'∈<时，为减函数，1(,)()0,()2x x x ϕϕ'∈+∞>时，为增函数．∴min 1()()22x ϕϕ==- ∴2].a -∞-的取值范围为（，20．解：（1）82423()03(30)9a a a a =+-=+⨯-= ）91314()24210a a a a =+⨯-=+⨯=,8919a a ∴+= （3分） （2）{}n a 是3级等差数列，332n n n a a a +-+=，2(2sin )2(3)sin(3)2(3)sin(3)n n n n n n ωωωωω+=++++-+-（n ∈*N ）（4分） 2sin sin(3)sin(3)2sin cos3n n n n ωωωωωωω∴=++-=（n ∈*N ）所以sin 0n ω=，或cos 31ω=，sin 0n ω=对n ∈*N 恒成立时， π()k k ω=∈Zcos 31ω=时，2π32π(),(),3k k k k ωω=∈∴=∈Z Z2π{|()}{|π()}3k k k k ωωωωω∴∈=∈=∈Z Z （6分）ω最小正值等于2π3，此时2π2sin 3n n a n =+. 由于2(32)π2(31)π2(3)πsin sin sin 0333n n n --++=（n ∈*N ）323136(31)n n n a a a n --∴++=-（n ∈*N ） （8分）312345632313[126(31)]()()()2n n n n n n S a a a a a a a a a --+-=+++++++++=293n n =+（n ∈*N ） （9分）（3）若{}n a 为2级等差数列，222n n n a a a +-+=，则212{},{}n n a a -均成等差数列，（10分）设等差数列212{},{}n n a a -的公差分别为12,d d ，{}n a 为3级等差数列，332n n n a a a +-+=，则32{}n a -成等差数列，设公差为D 17,a a 既是中21{}n a -的项，也是32{}n a -中的项，71132a a d D -== 410,a a 既是中2{}n a 的项，也是32{}n a -中的项，104232a a d D -==12332d d D ∴== （12分）设122d d d ==，则3D d =所以21111(1)(22)n a a n d a n d -=+-=+-（n ∈*N ），2222(1)(22)n a a n d a n d =+-=+-，（n ∈*N ）又4113a a D a d =+=+，42222a a d a d =+=+，所以21a a d =+， 21(21)n a a n d ∴=+-（n ∈*N ）（14分）综合得：1(1)n a a n d ∴=+-，显然{}n a 为等差数列． （16分）附加题参考答案21B ．得a ＝2（3分）设点列式（3分）得22114x y +=（4分） 21C ．（10y -=；（2）32⎛⎝⎭. 解：（1）∵πsin 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1sin 2ρθθ⎫-=⎪⎪⎝⎭12y -=即所求直线l0y -．（3分） （2）曲线C 的直角坐标方程为：()()221101x y y -+=≤≤ ， （6分）∴()22011y x y ---+=⎪⎩，解得32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）． （9分）所以，直线l 与曲线C的交点的直角坐标为32⎛ ⎝⎭． （10分）22．解：（1）设“取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片”为事件A ，则13222525476()7C C C C P A C +==． 所以取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率为67．（4分） （2）随机变量X 的所有可能取值为1，2，，3，4，33471(1)35C P X C ===，34474(2)35C P X C ===，35472(3)7C P X C ===，36474(4)7C P X C ===，所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望14241712343535775EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．（10分） 23．解：（1）由题意知(,0)2p F ，设(,0)(0)D t t >，则FD 的中点为2(,0)4p t+，因为||||FA FD =，由抛物线的定义知：3||22p pt +=-，解得3t p =+或3t =-（舍去）.由234p t+=，解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =.（3分） （2）（ⅰ）由（1）知(1,0)F ， 设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>，因为||||FA FD =，则0|1|1D x x -=+，由0D x >得02D x x =+，故0(2,0)D x +，（8分）故直线AB 的斜率为02AB y k =-，因为直线1l 和直线AB 平行， 设直线1l 的方程为02y y x b =-+， 代入抛物线方程得200880b y y y y +-=，由题意20064320b y y ∆=+=，得02b y =-. 设(,)E E E x y ，则04E y y =-，204E x y =. 当204y ≠时，000220002044444E AB E y y y y y k y x x y y +-==-=---， 可得直线AE 的方程为000204()4yy y x x y -=--，由2004y x =，整理可得0204(1)4y y x y =--， 直线AE 恒过点(1,0)F .当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ， 所以直线AE 过定点(1,0)F .（6分）（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE 过焦点(1,0)F ，所以000011||||||(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++，设直线AE 的方程为+1x my =，因为点00(,)A x y 在直线AE 上，故001x m y -=，设11(,)B x y ，直线AB 的方程为000()2y y y x x -=--， 由于00y ≠，可得0022x y x y =-++，代入抛物线方程得2008840y y x y +--=， 所以0108y y y +=-，可求得1008y y y =--，10044x x x =++， 所以点B 到直线AE 的距离为0048|4()1|x m y d ++++-===. 则ABE ∆的面积00112)162S x x =⨯++≥， 当且仅当001x x =即01x =时等号成立. 所以ABE ∆的面积的最小值为16. （10分）考后反思表。
如皋高一期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若复数z满足|z+1|=|z-1|，则复数z的取值范围是（）A. z=0B. z∈实数集C. z∈虚数集D. z∈复数集2. 函数f(x)=2x+1在区间[1,2]上的最大值是（）A. 5B. 6C. 7D. 83. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1+a2+a3=12，a4+a5+a6=36，则a1+a6的值为（）A. 18B. 20C. 22D. 244. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，则f(x)的图像关于点（1,0）对称，则f(x)的对称中心是（）A. (1,0)B. (0,1)C. (-1,0)D. (0,-1)5. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，c=8，则sinB 的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 5/7D. 7/86. 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a1+a2+a3=18，a4+a5+a6=54，则a1的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 67. 函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 08. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,2)，则线段AB的中点坐标是（）A. (3,5)B. (1,5)C. (1,2)D. (2,2)9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=15，S10=55，则S15的值为（）A. 90B. 100C. 110D. 12010. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的图像关于点（2,0）对称，则f(x)的对称轴是（）A. x=2B. y=2C. x=-2D. y=-2二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知函数f(x)=x^2+2x+1，则f(-1)的值为______。
12. 在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则sinA的值为______。
2015年下学期高一期末考试数学(A)试卷及答案
平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1．
20、 （本小题满分 12 分）
已知函数 f(x)=log3(ax+b)的图象经过点 A(2,1),B(5,2). (1)求函数 f(x)的解析式及定义域. (2)求 f(14)÷f 的值.
解：因为函数 f(x)=log3(ax+b)的图象经过点 A(2,1),B(5,2), 所以 即
3x y 1 0 x y 3 0
得
x 1 ，所以交点 P(1,2) y 2
1 3
（2） l1 的斜率为 3，故所求直线为 y 2 ( x 1) 即为 x 3 y 7 0
18、(本题满分 12 分)
设 A={x|-1≤x≤4},B={x|m-1<x<3m+1}, (1)当 x∈N 时,求 A 的子集的个数. (2)当 x∈R 且 A∩B=B 时,求 m 的取值范围. 解：(1)当 x∈N 时,A={1,2,3,4}, A 中有 4 个元素, 所以 A 的子集的个数为 2 =16 个. (2)当 x∈R 且 A∩B=B 时,则 B⊆ A, 当 B=∅时,m-1≥3m+1,即 m≤-1, 当 B≠∅时, 综上,m≤-1 或 0≤m≤1. 即 0≤m≤1.
6、一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( B )
7、下列说法中错误的是 ( B ) A.如果α ⊥β ,那么α 内一定存在直线平行于平面β B.如果α ⊥β ,那么α 内所有直线都垂直于平面β C.如果平面α 不垂直平面β ,那么α 内一定不存在直线垂直于平面β D.如果α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =l,那么 l⊥γ
6
参考答案
2015—2016学年度下期期末高一数学参考答案.doc
2015—2016学年度下期期末高一数学参考答案一、 选择题BCBBB CAACB CB二、 填空题 13. 13 14. 231- 15. [1,1]- 16. 1[1,)2- 三、 解答题17．解 (Ⅰ)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．…………2分又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．……………5分(Ⅱ)∵()a ＋2b ⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0. ……………7分∵|a |＝5，|b |＝52，∴a·b ＝－52. ∴cos θ＝a·b |a||b |＝－1，∴θ＝180°. ……………10分 18.解:( Ⅰ)设回归直线方程为ˆy =ˆbx+ˆa . ∵72i i 1x =∑=280,72i i 1y =∑=45 309,7i 1=∑x i y i =3 487,x =6,y =5597, ……………2分 ∴ˆb =5593487767280736-⨯⨯-⨯=13328=4.75, ……………4分 ˆa =5597-6×4.75≈51.36, ∴回归直线方程为ˆy =4.75x+51.36. ……………6分(Ⅱ)当x=20时,ˆy =4.75×20+51.36≈146.故某天的销售量为20件时,估计这天可获纯利大约为146元. ……………12分19.解:(Ⅰ)由题设可知,第3组的频率为0.06×5=0.3,第4组的频率为0.04×5=0.2,第5组的频率为0.02×5=0.1. ……………3分(Ⅱ)第3组的人数为0.3×100=30,第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10. ……………5分因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组抽取的人数分别为第3组:3060×6=3, 第4组:2060×6=2, 第5组:1060×6=1. 所以第3、4、5组分别抽取3人,2人,1人. ……………7分(Ⅲ)设第3组的3位同学为A 1,A 2,A 3,第4组的2位同学为B 1,B 2,第5组的1位同学为C 1.则从六位同学中抽两位同学有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,C 1),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,C 1),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共15种可能. ……………9分其中第4组的2位同学为B 1,B 2至少有一位同学入选的有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2).(A 3,B 1),(B 1,B 2),(A 3,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共9种可能.所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为915=35.……………12分 20.解 (Ⅰ)如图所示建立直角坐标系， 设角(0)2πϕϕ-<<是以Ox 为始边，0OP 为终边的角,则.6πϕ=-……………2分OP 每秒钟内所转过的角为52.606ππ⨯=……………4分 由OP 在时间()t s 内所转过的角为52().606t t ππ⨯= 由题意可知水轮逆时针转动， 故所求的函数关系式为4sin() 2.66z t ππ=-+……………6分 (Ⅱ)令4sin()26,66z t ππ=-+=……………9分得sin()1,66t ππ-= ,4,662t t πππ-==令得故点p 第一次到达最高点大约需要4s . ……………12分 21．解：（Ⅰ）sin θ因为，θcos 为方程21204x bx -+=的两根， 则有： 220(1)sin cos (2)21sin cos (382)b b θθθθ⋯⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⋯⎪⋯=⋯⋯⎪⎪⎩分由（2）、（3）有：21144b =+，解得：b =520∆=->，……………4分又sin cos )04πθθθ+=+>，b ∴=……………6分 （Ⅱ）sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++==-+-因为……………8分且sin cos )04πθθθ-=->，sin cos 2θθ∴-=……………10分sin 1cos 1sin cos 21cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++∴+=⋅=-+-.……………12分1cos(2)1cos 2322.:()()221[cos(2)cos 2]2313(2cos 2)222)23x x f x x x x x x πωωπωωωωπω+--=-=-+=+=+解Ⅰ………………………………………………………2分 2,(),0,,12f x ππωπωω>∴==由题意可知的最小正周期为且即())3()122f x x f ππ∴=+∴=………………………………………………………………………………5分 ()|()|1,()1()1f x m f x m f x -≤-≤≤+Ⅱ即min max 7[,0]|()|1,12()1()1,x f x m m f x m f x π∃∈--≤≥-≤+因为使得成立所以且 ………………………………………………………………………………7分max min 750,2126331sin(2)33)343(),()42x x x x f x f x ππππππ-≤≤-≤+≤-≤+≤≤+≤==-因为所以所以所以即 …………………………………………………………………10分7147[1,].24m m -≤≤--即的取值范围是 ………………………………………………………………………………12分。
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2014-2015学年江苏省南通市如皋市高一（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案写在答题纸的相应位置上）1．（5分）设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，若l1⊥l2，则实数m=．2．（5分）某单位有工程师20人，技术员100人，工人280人，要从这些人中用分层抽样法抽取一个容量为20的样本，其中技术员应该抽取人．3．（5分）已知为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数a=．4．（5分）已知某程序伪代码如图，则输出结果S=．5．（5分）如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是．6．（5分）已知x，y满足约束条件，则的取值范围是．7．（5分）甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋，已知甲不输的概率为0.6，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为．8．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a4+2a7=12，则S11=．9．（5分）如图所示的流程图中，若输出的结果为3．则输入的x值为10．（5分）一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为．11．（5分）若x＞0，y＞0且x+2y=xy，则x+2y的最小值为．12．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，记S n为{a n}的前n项和，T n为数列{a n3}的前n项和，若S3n=7T n，则公比q的值为．13．（5分）已知点P在直线x﹣2y﹣1=0上，点Q在直线x﹣2y+3=0上，线段PQ 的中点为M（x0，y0）且y0＞﹣x0+2，则的取值范围是．14．（5分）已知x，y为正实数，若关于x，y的不等式+≤m2+m恒成立，则实数m的取值范围是．二、解答题（本大题6小题，共90分，请在答题纸上写出必要的演算步骤）15．（13分）在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点A（0，1），B（3，2）．（1）若C点坐标为（1，0），求AB边上的高所在的直线方程；（2）若点M（1，1）为边AC的中点，求边BC所在的直线方程．16．（15分）设不等式组表示的区域为A，不等式组表示的区域为B．（1）在区域A中任取一点（x，y），求点（x，y）∈B的概率．（2）若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得点数，求点（x，y）在区域B中的概率．17．（14分）已知函数f（x）=x2+ax+1，a为实数．（1）解不等式f（x）＞0，（2）当x＞0时，不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．18．（16分）数列{a n}中，a1=，a n=3﹣（n≥2，n∈N*），数列{b n}满足b n=（n∈N*）．（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）若数列{c n}满足：c n=nb n，求数列{}的前n项和S n．19．（16分）某生态农庄池塘的平面图为矩形ABCD，已知AB=4，BC=10，E为AD上一点，且AE=2，P为池塘内一临时停靠点，且P到AB，BC的距离均为3，EC，EB为池塘上浮桥，为了固定浮桥，现准备进过临时停靠点P再架设一座浮桥MN，其中M，N分别是浮桥EC，EB上点．（浮桥宽度、池塘岸边宽度不计），设EM=d，（1）当d为何值时，P为浮桥MN的中点？（2）怎样架设浮桥MN才能使得△EMN面积最小，求出面积最小时d的值？20．（16分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S5=5S2，a2n+1=2a n+1（n ∈N*），正项等比数列{b n}满足b2=a2，b6=a8，数列{c n}满足c n=．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和为T n（用n表示）；（3）是否存在正整数m，使得T m=2c m+2，若存在，求出所有m的值；若不存在，说明理由．2014-2015学年江苏省南通市如皋市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案写在答题纸的相应位置上）1．（5分）设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，若l1⊥l2，则实数m=．【解答】解：直线l 1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，由L1⊥L2，得3m+（m﹣2）=0，即4m=2，解得m=．故答案为：．2．（5分）某单位有工程师20人，技术员100人，工人280人，要从这些人中用分层抽样法抽取一个容量为20的样本，其中技术员应该抽取5人．【解答】解：由分层抽样的定义得技术员应该抽==5，故答案为：53．（5分）已知为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数a=1．【解答】解：∵=为纯虚数，∴a=1．故答案为：1．4．（5分）已知某程序伪代码如图，则输出结果S=56．【解答】解：模拟程序程序代码，可得i=0，S=0满足条件i＜6，i=2，S=4满足条件i＜6，i=4，S=4+16=20满足条件i＜6，i=6，S=20+36=56不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为56．故答案为：56．5．（5分）如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是甲．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲的平均数是=（87+89+90+91+93）=90，乙的平均数是=（78+88+89+96+99）=90，甲的方差是=[（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4，乙的方差是=[（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2，∵＜，∴成绩较稳定的是甲．故答案为：甲．6．（5分）已知x，y满足约束条件，则的取值范围是[﹣1，2] ．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，表示过平面区域内的点和原点的直线的斜率，由图象得：直线过A时，斜率最大，过B时斜率最小，由，解得：A（1，2），由，解得：B（1，﹣1），∴直线OA的斜率是2，直线OB的斜率是﹣1，故答案为：[﹣1，2]．7．（5分）甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋，已知甲不输的概率为0.6，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为0.3．【解答】解：设甲、乙两人下成和棋P，甲获胜的概率为P（A），则乙不输的概率为1﹣P（A），∵甲不输的概率为0.6，乙不输的概率为0.7，∴P（A）+P=0.6，1﹣P（A）=0.7∴1+P=1.3解得P=0.3∴两人下成和棋的概率为0.3故答案为：0.3．8．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a4+2a7=12，则S11=44．【解答】解：设公差为d，则a4=a1+3d，a7=a1+6d，∵a4+2a7=12，∴3a1+15d=12，∴a1+5d=4，∴S11==11（a1+5d）=11×4=44，故答案为：44．9．（5分）如图所示的流程图中，若输出的结果为3．则输入的x值为或﹣3【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求z=的值，当x≥0时，z=2x=3⇒x=；当x＜0时，y=x2+2x=3⇒x=1（舍去）或﹣3，故答案为：或﹣3．10．（5分）一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为1﹣．【解答】解：记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A，则其对立事件为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”，边长为4的等边三角形的面积为S=×42=4，则事件构成的区域面积为S（）=3×××π×12=，由几何概型的概率公式得P（）==；P（A）=1﹣P（）=1﹣；故答案为：1﹣．11．（5分）若x＞0，y＞0且x+2y=xy，则x+2y的最小值为8．【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+2y=xy，∴=1，即+=1，∴x+2y=（x+2y）（+）=4++≥4+2=8当且仅当=即x=4且y=2时取等号，故答案为：812．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，记S n为{a n}的前n项和，T n为数列{a n3}的前n项和，若S3n=7T n，则公比q的值为﹣3或2．【解答】解：∵等比数列{a n}中a1=1，a n=q n﹣1．则a n3=（q n﹣1）3=（q3）n﹣1，即数列{a n3}是1为首项q3为公比的等比数列，∴S3n==，T n==，由S3n=7T n可得=7×，即1﹣q3=7（1﹣q），即1+q+q2=7，则q2+q﹣6=0．解得q=2或q=﹣3，故答案为：﹣3或213．（5分）已知点P在直线x﹣2y﹣1=0上，点Q在直线x﹣2y+3=0上，线段PQ 的中点为M（x0，y0）且y0＞﹣x0+2，则的取值范围是[，+∞）．【解答】解：∵直线x﹣2y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行，∴线段PQ的中点为M（x0，y0）在与之平行的直线x﹣2y+1=0上，∴x0﹣2y0+1=0，∴x0=2y0﹣1，∵y0＞﹣x0+2，∴y0＞﹣2y0+1+2，解得y0＞1，∴==，由二次函数可知当y0=﹣=2（满足y0＞1）时上式取最小值=，∴的取值范围为：[，+∞）．故答案为：[，+∞）．14．（5分）已知x，y为正实数，若关于x，y的不等式+≤m2+m恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．【解答】解：设2x+y=m，2y+x=n 且m，n均为正数则3x=2m﹣n，3y=2n﹣m，所以+=+=2+2﹣﹣≤4﹣2=2，当且仅当m=n时取等号，∵关于x，y的不等式+≤m2+m恒成立，∴m2+m≥2，解得m≤﹣2，或m≥1，故实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．二、解答题（本大题6小题，共90分，请在答题纸上写出必要的演算步骤）15．（13分）在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点A（0，1），B（3，2）．（1）若C点坐标为（1，0），求AB边上的高所在的直线方程；（2）若点M（1，1）为边AC的中点，求边BC所在的直线方程．【解答】解：（1）∵A（0，1），B（3，2），∴k AB==，由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k=﹣3，∴AB边上的高所在直线方程为y﹣0=﹣3（x﹣1），化为一般式可得3x+y﹣3=0（2）∵M为AC的中点，∴C（2，1），∴k BC==1，∴BC所在直线方程为y﹣1=x﹣2，化为一般式可得x﹣y﹣1=016．（15分）设不等式组表示的区域为A，不等式组表示的区域为B．（1）在区域A中任取一点（x，y），求点（x，y）∈B的概率．（2）若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得点数，求点（x，y）在区域B中的概率．【解答】解法一：（1）设集合A中的点（x，y）∈B为事件M，区域A的面积为S1=36，区域B的面积为S2=36﹣8=28，∴P（M）===．…（6分）（2）设点（x，y）在集合B中为事件N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数为36，其中在集合B中的点有33个，…（10分）故P（N）==．…（12分）解法二：（1）设集合A中的点（x，y）∈B为事件M，其对立事件为集合A中的点（x，y）∉B，∴P（M）=1﹣P（）=1﹣=．…（6分）（2）设点（x，y）在集合B中为事件N，其对立事件为点（x，y）不在集合B中．甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数为36，其中不在集合B中的点有3个，…（10分）故P（N）=1﹣P（）=1﹣=．…（12分）答：（1）在区域A中任取一点（x，y），点（x，y）∈B的概率为；（2）点（x，y）在区域B中的概率为．…（14分）17．（14分）已知函数f（x）=x2+ax+1，a为实数．（1）解不等式f（x）＞0，（2）当x＞0时，不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）△=a2﹣4，①当△＞0，即a＞2或a＜﹣2时，不等式的解集为（﹣∞，）∪（，+∞），②当△=0，即a=2或﹣2时，当a=2时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）；当a=﹣2时，不等式的解集为（﹣∞，1）∪（1，+∞）；③当△＜0，即当﹣2＜a＜2时，解集为R．综上，①当a＞2或a＜﹣2时，不等式的解集为（﹣∞，）∪（，+∞）；②当a=2时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）；③当a=﹣2时，不等式的解集为（﹣∞，1）∪（1，+∞）；④当﹣2＜a＜2时，解集为R．（2）当x＞0时，由x2+ax+1≥0得a≥﹣（x+）=﹣2=﹣2，当且仅当x=1时取等号．故a的取值范围为[﹣2，+∞）18．（16分）数列{a n}中，a1=，a n=3﹣（n≥2，n∈N*），数列{b n}满足b n=（n∈N*）．（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）若数列{c n}满足：c n=nb n，求数列{}的前n项和S n．=﹣【解答】（1）证明：当n≥2时，b n﹣b n﹣1=﹣=﹣=1；当n=1时，b1===2，∴数列{b n}是首项b1=2、公差为1的等差数列；（2）解：由（1）得b n=n+1，∴c n=n（n+1），∴==﹣，∴S n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．19．（16分）某生态农庄池塘的平面图为矩形ABCD，已知AB=4，BC=10，E为AD上一点，且AE=2，P为池塘内一临时停靠点，且P到AB，BC的距离均为3，EC，EB为池塘上浮桥，为了固定浮桥，现准备进过临时停靠点P再架设一座浮桥MN，其中M，N分别是浮桥EC，EB上点．（浮桥宽度、池塘岸边宽度不计），设EM=d，（1）当d为何值时，P为浮桥MN的中点？（2）怎样架设浮桥MN才能使得△EMN面积最小，求出面积最小时d的值？【解答】解：（1）以E为坐标原点，AD所在直线为y轴，过E垂直于AD的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则C（4，8），B（4，﹣2），P（1，1）∴EC：y=2x EB：y=x，∴EC⊥EB设M（m，2m），N（2n，n），（m＞0，n＞0）∵P为MN的中点∴∴此时M（1.2，2.4），d=．答：当d=时，P为浮桥MN中点．…（7分）（2）∵k PM=k PN∴∴m+3n=5mn（，）∵EC⊥EB∴EM•EN=mn∵m+3n=5mn当且仅当m=3n=1.2时取等号，∴mn．∴≥1.2，此时d=．…（14分）答：当d=时，三角形EMN面积最小，最小为1.2．…（16分）20．（16分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S5=5S2，a2n+1=2a n+1（n ∈N*），正项等比数列{b n}满足b2=a2，b6=a8，数列{c n}满足c n=．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和为T n（用n表示）；（3）是否存在正整数m，使得T m=2c m+2，若存在，求出所有m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S5=5S2，得a1=d，由a2n=2a n+1得a1﹣2d+1=0．+1∴a1=d=1，a n=n．∴b2=2，b6=8∵b n＞0，∴公比q==，b1=，∴b n=；（2）∵c n=，当n为偶数时，T n=[1+3+5+…+（n﹣1）]+（2+4+8+…+）=+=﹣2+；当n为奇数时，T n=（1+3+5+…+n）+（2+4+8+…+）=+=﹣2+；∴T n=；（3）结论：存在正整数m=4满足题设条件．理由如下：当m为偶数时，﹣2+=2•+2，即=4，∴m=4；当m为奇数时，﹣2+=2m+2，∴4•=24﹣（m﹣3）2，即（m﹣3）2=24﹣4•≥0，∴≤6，∴m=1或3．∵当m=1时，4≠16，当m=3时，0≠8．∴当m为奇数时，这样的m不存在．综上所述：m=4．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。