高数极限运算法则讲解
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
高等数学同济大学第六版1-04-极限的运算-文档资料
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解
lim( x2 3x 5) lim x2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3lim x lim 5 22 3 2 5 3 0,
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数。
2.无穷小与函数极限的关系: 定理 : lim f ( x) A f (x) A (x),
其中( x)是自变量变化时的无穷小.
意义： 将一般极限问题转化为特殊极 限 — 无穷小 —的问题。
3.无穷小的运算性质:
定理. 在同一自变量的变化过程中,有限个无 穷小的代数和仍是无穷小.
n n
n
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小. x0
又如,
函数 x2 1当 x2 1
x 时的极限为 1 ，
而当x 1 时的极限为 0 ，
函数 x2 1本身不是无穷小量， x2 1
而当x
1
时函数
x2 x2
1 才是无穷小量。 1
注意 （1）无穷小是变量,不是有穷小量，不能与很 小的数混淆;
x 1
x2
2x
3
lim
x 1
(x
3)( x
1)
x 1
x1 1
lim
x1 x1 x 3 2
消去零因子
例4
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
高等数学极限求法总结
高等数学极限求法总结高等数学极限求法总结极限的判断定义是:单调递增有上界则有极限,单调递减有下界则有极限。
下面是小编整理的高等数学极限求法总结，希望对你有帮助！函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知的极极限值的证明题中。
掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x时的极限。
1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。
方能利用极限四则运算法则进行求之。
不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。
但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。
而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。
例 1 求 lim( x 2 3x + 5).x→ 2解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5= (lim x) 2 3 lim x + lim 5= 2 2 3 2 + 5 = 3.x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →22.利用洛必达法则洛必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。
一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。
利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;（3）x→a时,lim(f(x)/F(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F(x))例1：1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx) = 1 / (cosx)^2(x) = 1原式 = lim 1/(cosx)^2当 x --> 0 时,cosx ---> 1原式 = 13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：① 分子、分母为无穷小，即极限为 0 ；② 分子上取正弦的角必须与分母一样。
高等数学-极限运算法则.ppt
解
例2
解
商的法则不能用
由无穷小与无穷大的关系,得
例3
解
(消去零因子法)
解：原式
又例 : 求
例4
解
(无穷小因子分出法)
例5
解
先变形再求极限.
分母 = 0 , 分子≠0 ,
但因
结论：
2.已知分式函数
若
则
若
求
去公因子再求
1.已知多项式则练习：求Fra bibliotek解: 原式
例6 . 求
解:
分子分母同除以
则
“ 抓大头”
原式
先用x3去除分子及分母 然后取极限
解:
例7
例8
解
所以
说明 : y = 0 是
的水平渐近线 .
二、极限运算法则
定理 3
推论 1 .
( C 为常数 )
推论 2 .
( n 为正整数 )
思考：
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 .
否则由
利用极限四则运算法则可知
存在 ,
矛盾.
问
是否一定不存在 ?
问
是否一定不存在 ?
问
1.
2.
3.
答: 不一定不存在 .
一、 无穷小运算法则
定理1. 两个无穷小的和还是无穷小 .
推广: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .
无限个无穷小之和是否仍为无穷小???
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
例1. 求
解:
利用定理 2 可知
同济七版NUAA高数课件 第一章 函数与极限 极限运算法则
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
f ( x0 ).
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
例2
求
lim
x 1
x
2
4x 1 2x
3
.
解 lim( x 2 2x 3) 0, 商的法则不能用 x1
又lim(4x 1) 3 0, x1
lim x2 2x 3 0 0.
x1 4x 1
3
由无穷小与无穷大的关系得
即0 ( x) a u a ,
有 f [( x)] A f (u) A 由极限定义得lim f [( x)] A,证毕!
x x0
三、求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
lim x 2 x 2 2 2 x2 x 2 x 7 3 3
lim (
x 1
3 x3
1
1 x
) 1
lim
x1
3
(x2 (x3
x 1) 1)
lim
x1
(x 2)(x 1) (x3 1)
lim
x1
(x x2
x
2) 1
1
例4
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
高等数学极限的公式总结
高等数学极限的公式总结在高等数学中，极限的公式是非常重要的概念，这些公式能够帮助我们理解函数的极限，并进行极限的运算。
以下是一些常见的高等数学极限的公式总结：1. 极限的四则运算性质：lim(a+b) = lim a + lim blim(a-b) = lim a - lim blim(ab) = lim a lim b (假设lim a 和 lim b都存在)lim(a/b) = lim a / lim b (假设lim b 不等于0)2. 极限的常数性质：lim a = a (当a是一个常数)3. 极限的单调性：lim(f(x0+delta x) - f(x0)) / delta x = f'(x0) (当delta x -> 0)4. 连续函数的性质：如果f(x)在x0处连续，那么lim f(x) = f(x0) 当 x -> x05. 无穷小量与无穷大量：当x -> 0时，x是无穷小量，1/x是无穷大量。
6. 洛必达法则：如果lim (f'(x)/g'(x))存在，那么lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x)) (当x->a时)。
7. 泰勒公式：对于任何n阶可导函数f(x)，存在一个多项式Pn(x)，使得对于所有-∞ < x < ∞，有f(x) = Pn(x) + o(x^n)，其中o(x^n)是高阶无穷小。
8. 夹逼准则：如果存在一个区间或闭区间[a, b]，满足f(a) <= g(a), f(b) >= g(b)，并且lim f(x) = lim g(x)，则lim g(x)存在，并且lim g(x) = lim f(x)。
9. 无穷大与无穷小的关系：lim x -> ∞ f(x) = lim x -> ∞ f(x) （如果存在的话）lim x -> ∞ f(x) = 0 （如果lim x -> ∞ f(x)存在的话）10. 极限的唯一性：对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当x - x0 < δ时，有f(x) - A < ε。
高数极限1-6
∴ ( 2)成立.
f ( x ) A A + α A Bα − Aβ − = Q B α − A β → 0. − = g ( x ) B B + β B B( B + β )
又 Q β → 0, B ≠ 0, ∃ δ > 0, 当0 < x − x 0 < δ时,
1 1 B β < , ∴ B+β ≥ B − β > B − B = B 2 2 2
一、极限运算法则: 极限运算法则
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和仍是 无穷小. 无穷小 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 是无穷小， 例如, n → ∞时, 是无穷小， n
1 但 n个 之 和 为 1 不 是 无 穷 小 . n
u →a
则复合函数 f [φ ( x)] 当 x → x0 时的极限也存在，且
x → x0
lim f [φ ( x)] = lim f (u ) = A.
u →a
意义： 意义：x → 源自0lim f [ϕ ( x )]
令u = ϕ(x)
a = limϕ(x)
x→x0
lim f ( u)
u→a →
二、求极限方法举例
xm − xn 7、 lim m x →1 x + xn − 2
练习题答案
-5； 一、1、-5； 5、 5、0； 二、1、2； 1 5、 5、 ； 2 2、 2、3； 6、 6、0； 2、 2、 2 x ； 6、 6、0； 3、 3、2；
1 7、 7、 ； 2 3、-1； 3、-1； m−n 7、 7、 . m+n 1 4、 4、 ； 5 3 30 8、 8、( ) . 2 4、-2； 4、-2 ；
高数函数的极限知识点
高数函数的极限知识点一、极限的定义1. 数列极限数列 $\{a_n\}$ 极限为 $L$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式 $|a_n - L| < \epsilon$ 成立。
2. 函数极限函数 $f(x)$ 当 $x \to c$ 时的极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - c| < \delta$ 时，不等式 $|f(x) - L| < \epsilon$ 成立。
二、极限的性质1. 唯一性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} f(x) = M$ 都成立，则 $L = M$。
2. 局部有界性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，则 $f(x)$ 在 $c$ 的某个邻域内有界。
3. 局部保号性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 且 $L > 0$，则存在 $c$ 的一个邻域，使得在这个邻域内 $f(x) > 0$。
三、极限的计算1. 极限的四则运算如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} g(x) = M$ 都存在，则：- $\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = L + M$- $\lim_{x \to c} [f(x) - g(x)] = L - M$- $\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$- $\lim_{x \to c} [f(x) / g(x)] = L / M$，当 $M \neq 0$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高数极限运算法则讲解
极限是数学中最重要的概念，它是用来描述一个函数d（x）在某个点a接近而不是等于某个值L时，对x的变化可以推导出一个结果。
也就是说，当x趋向于a时，d（x）会趋向于L，这时d（x）就称为以a为极限的函数。
实际应用中，很多复杂的数学问题都可以通过极限来解决。
极限也是高等数学的重点。
二、极限的运算法则
（1）极限加法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的和也存在，其极限关系式为：lim_x→
a[f(x)+g(x)]=lim_x→a f(x)+lim_x→a g(x)。
（2）极限减法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的差也存在，其极限关系式为：lim_x→
a[f(x)-g(x)]=lim_x→a f(x)-lim_x→a g(x)。
（3）极限乘法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的积也存在，其极限关系式为：lim_x→
a[f(x)*g(x)]=lim_x→a f(x)*lim_x→a g(x)。
（4）极限除法：当函数f (x)和g (x)都有极限，且lim_x→a g(x)非零时，两函数的极限的商也存在，其极限关系式为：lim_x→a [f(x)/g(x)]=lim_x→a f(x)/lim_x→a g(x)。
（5）极限交换法则：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，函数的项可以进行交换，即lim_x→a[f(x)g(x)]=lim_x→a g(x)lim_x→a f(x)。
（6）极限重复法则：当函数f (x)有极限，当x趋向于a时，函数f (x)重复m次，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)^m]=[lim_x →a f(x)]^m。
三、极限的应用
（1）冯科普雷定理：当n≥3时，给定f（x）在区间[a,b]上有n次连续可导，且f（a）=f（b），就一定存在某一点c∈(a,b)，使得f′（c）=0。
（2）极限在微积分和概率论中的应用：微积分中，极限的概念可以用来解决微分方程，求出连续函数的极限，从而研究函数的性质；在概率论中，极限的概念可以用来求解不确定的概率问题，从而预测随机变量的分布情况。
四、总结
极限是数学中一个非常重要的概念，其运算法则可以用来求解极限问题，其实质是在某一点趋近时会改变函数的结果，因而在高数中有重要的应用。
极限的运算法则，主要包括极限加法、极限减法、极限乘法、极限除法、极限交换法则和极限重复法则，分别适用于不同的情况。
它们在实际应用中也具有重要的含义，如冯科普雷定理、微积分和概率论等。
本文就以高数极限运算法则为核心，分析了极限的概念及其实际应用，希望能对大家在学习和应用高数极限有所帮助。