1-4函数极限的运算
函数极限的四则运算法则
函数极限的四则运算法则函数极限是数学中重要的概念之一，它在数学分析和微积分中有着广泛的应用。
四则运算法则指的是对函数进行加减乘除运算时，其极限的运算规则。
在本文中，我们将对四则运算法则进行详细的说明。
1.加法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的和的极限等于两个极限的和，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a)f(x) + lim(x→a) g(x)。
证明如下：假设lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，我们需要证明lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L = L1 + L2根据极限的定义，我们可以找到两个足够小的正数ε1和ε2，使得当0<，x-a，<δ1时，有，f(x)-L1，<ε1，当0<，x-a，<δ2时，有，g(x)-L2，<ε2取δ = min{δ1, δ2}，则当 0 < ，x-a，< δ 时，有，f(x) - L1，< ε1 且，g(x) - L2，< ε2此时，我们可以将不等式，f(x)-L1，+，g(x)-L2，<ε1+ε2转化为不等式，f(x)+g(x)-(L1+L2)，<ε1+ε2根据极限的定义，当，f(x) + g(x) - (L1 + L2)，< ε1 + ε2 时，有，x - a，< δ，即证明了lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 +L22.减法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的差的极限等于两个极限的差，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
证明方法与加法法则类似，略。
3.乘法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的乘积的极限等于两个极限的乘积，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] =lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
1-4 函数极限的概念
1-4 函数极限的概念
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、单侧极限 三、自变量趋于无穷大时函数的极限 四、函数极限的性质
四、函数极限的性质
1、唯一性：函数极限是唯一的.
2、有界性：若 lim f (x) A ，则 f (x) 在点x0 附近有界. xx0
3、保号性：若 lim f (x) A ，且 A 0，则当 x 充分接 . xx0 近 x0时恒有 f (x) 0 .
第一章 函数、极限与连续
1-1 函数及其特性 1-2 初等函数 1-3 函数极限的重要引例 1-4 函数极限的概念 1-5 无穷小与无穷大、无穷小的比较 1-6 函数的连续性及间断点 1-7 闭区间上连续函数的性质
1-4 函数极限的概念
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、单侧极限 三、自变量趋于无穷大时函数的极限 四、函数极限的性质
【极限定义】 lim f (x) A x 对于 0 ，X 0，使得当 | x | X 时，恒有 | f (x) A |
三、自变量趋于无穷大时函数的极限
【例】已知 f (x) 2x 1 x
（1）当 | x |满足什么条件时，| f (x) 2 | 0.1 ？ （2）当 | x |满足什么条件时，| f (x) 2 | 0.01 ？ （3）当 | x |满足什么条件时，| f (x) 2 | 0.001 ？ （4）推测当 x 时该函数的极限，并证明之.
思考：怎样定量描述函数极限中“无限趋近”这个行为？ 转化：“f(x)无限趋近于3” = “| f(x) – 3| 要多小有多小”
= “| f(x) – 3| 可以小于任意小的一个正数”
定量：用一个任意小的正数 来衡量 f (x)与3的接近程度.
极限的四则运算(1)
例3
求
x2 16
lim
.
x4 x 4
解：lim x 2 16 x4 x 4
( x 4)( x 4) lim
x4 ( x 4)
lim( x 4) x4
lim( x 4) 4 4 8. x4
教材95页练习：
1.求下列极限：
(1) lim(3x2 2x 1) 312 21 1 2 ; x1
(2) lim 2x 1 2 2 1 1 ; x2 3x 1 3 2 1
(3) lim ( x 3)(2x 1) (1 3)(2 1) 3 ; x1 ( x 5)( x 6) (1 5)(1 6) 14
2.4 极限的四则运算（1）
对于一些简单的函数，可以从自变量的值按
某种规定无限变化时相应的函数值的变化趋势找 出函数的极限. 例如，简单函数的极限：
(1)若f ( x) C(C为常数),则lim f ( x) C . x
(2) lim C 0 .
x x
若 0 p 1, 则 lim px 0,lim px不存在.
x
x
解：
3x 2 lim
x
x
lim (3 2) lim 3 lim 2
x
x
x
x x
3 0 3.
法2：lim 3 x 2 3 .
x
x
（3）lim x
5x4 2x
7 4
x x
3 1 4
.
x1 2x2 1
1_4无穷小无穷大 极限运算法则
定理 4 . 若 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B , 则有
lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) = AB
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[ C f ( x)] = C lim f ( x) 推论 2 . lim[ f ( x)]n = [ lim f ( x) ] n ( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
x → x0
lim Pn ( x) = Pn ( x0 ).
x → x0
例2. 设 n 次多项式 Pn ( x) = a0 + a1 x + + an x n , 试证
n a lim a x 证: lim Pn ( x) = 0 + a1 lim x + + n
= Pn ( x0 )
x → x0
x →1
1 1 lim = 0 , 函数 当 x → ∞ 时为无穷小; x→ ∞ x x 1 1 lim = 0 , 函数 当 x → −∞ 时为无穷小. x→ − ∞ 1 − x 1− x
定义1. 若 x → x0 (或 x → ∞ ) 时 , 函数 f ( x) → 0 , 则 则称函数 f ( x ) 为 x → x0 (或 x → ∞ ) 时的无穷小 . 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为
1 1 1 lim + + + = 1 n →∞ n n n
n
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 ∀ x ∈ ( x0 , δ 1 ) , u ( x ) ≤ M
第四节 极限的运算法则
a0 b , 当n m , 0 m m 1 a0 x a1 x a m lim 0,当n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m ,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂 除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.
. 解: x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大
先用x 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.
3
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim 2 x 7 x 4 x 1 x 4 7 x
(无穷小因子分出法)
5 3 x 2. 7 1 3 x
小结: 当a 0 0, b0 0, m 和n为非负整数时有
x2 2
x2
x2
小结: 1. 设 f ( x ) a x n a x n 1 a , 则有 0 1 n
x x0
lim f ( x ) a 0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
a0 x0 a1 x0
lim P ( x )
二、求下列各极限:
1 1 1 1、 lim(1 ... n ) n 2 4 2
( x h) 2 x 2 2、 lim h 0 h
1 3 3、 lim( ) 3 x 1 1 x 1 x
1 x 3 4、 lim x 8 2 3 x
5、 lim ( x x x x )
0
n
x x0
n 1
a n f ( x 0 ).
x x0
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x 0 ) 0, 则有 Q( x )
第2周：函数的极限、无穷大与无穷小、极限四则运算法则
x x
。 y sin x x
lim x 2 sin 1
x0
x
3.在自变量的同一变化过程中,
若
为无穷大, 则 1 为无穷小 ;
f (x)
若
为无穷小, 且
f
(x)
0, 则
1 f (x)
为无穷大。
x
5.定理：x 时y=f (x)的极限存在的充要条件是 x 和 x 时的极限都存在且相等。
即：lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
x
x
x
例：观察图形判断以下极限是否存在：
lim ex 不存在， lim ex 0, lim ex 不存在
x x0
3.以上法则，对于 x 等情形也同样成立。
例：lim x2
2x2 x x2 4
2
注1：求初等函数在x x0 时的极限，如果把 x x0 代入函数有意义，则函数值就是极限值。
例：lim x3
x2
3x 2x
4 15
注2：运用无穷小与无穷大的关系求极限。
例如: lim 1 x0 x
Байду номын сангаас
lim(2x2 1)
x
注：1.说一个函数是无穷小（大）量需说明x变化
趋势。
2.无穷小（大）量表示的是函数的一种变化趋势，
而不是一个很小（大）的数。
问题：零是无穷小量吗？ 是（特例）
3.无穷大量的极限并不存在，lim f (x) 只是
一个记号而已。
x
极限的公式总结
极限的公式总结极限是微积分的一个重要概念，用来描述函数在某一点附近的趋势。
在求解极限时，我们经常会用到各种公式，这些公式帮助我们简化计算，更快地得到结果。
在本文中，我将总结一些常见的极限公式，希望能帮助读者更加深入地理解极限的本质。
一、基本极限1. 常数函数：lim(x→a) c = c，其中c为常数；2. 幂函数：lim(x→a) x^n = a^n，其中n为正整数；3. 指数函数：lim(x→∞) e^x = ∞，lim(x→-∞) e^x = 0；4. 对数函数：lim(x→0) log(x) = -∞，lim(x→∞) log(x) = ∞；5. 三角函数：lim(x→0) sin(x)/x = 1；lim(x→0) (1 - cos(x))/x = 0；lim(x→π/2) (sin(x))^n = 1，其中n为正整数；lim(x→0) (1 + x)^a ≈ 1 + ax；lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e。
二、极限运算1. 四则运算：lim(x→a) [f(x) ± g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)；lim(x→a) [f(x)g(x)] = lim(x→a) f(x) · lim(x→a) g(x)；lim(x→a) [f(x)/g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)，其中lim(x→a) g(x) ≠ 0；2. 复合函数：lim(x→a) f(g(x)) = lim(x→a) f(u) = f(lim(x→a) g(x))，其中lim(x→a) g(x)存在。
三、特殊极限1. 自然对数的极限：lim(x→∞) ln(x)/x = 0；2. 无穷小的高阶无穷小：lim(x→0) (1 + x)^{1/x} = e；3. 无穷小和无穷大的比较：lim(x→∞) [f(x)/g(x)] = 0，若lim(x→∞) [f(x)] = 0；lim(x→∞) [f(x)/g(x)] = ∞，若lim(x→∞) [g(x)] = 0；lim(x→∞) [f(x)/g(x)] = L，若lim(x→∞) [f(x)] = L且lim(x→∞)[g(x)] = L；4. 多项式函数的极限：lim(x→∞) [P(x)/Q(x)] = a/b，其中P(x)和Q(x)分别为n次多项式，且n为高次项的系数为a，Q(x)的最高次项系数为b。
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·复习 极限的定义的几种形式·引入 如何求一个函数的极限，是高等数学的基本运算之一，为此，要切实掌握求极限的基本方法·讲授新课第四节 函数极限的运算一 函数极限的四则运算法则 (一)极限的运算法则设lim ()f x A =，lim ()g x B =，则法则 1 两个具有极限的函数的代数和的极限等于这两个函数的极限的代数和，即 lim[()()]lim ()lim()f x g x f x x A B ±=±=±。
法则2 两个具有极限的函数的积的极限等于这两个函数极限的积，即 lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x A B ⋅=⋅=⋅。
特别地，（1）若()g x C =，则lim ()lim ()Cf x C f x C A =⋅=⋅ （C 是常数）， （2）若()()g x f x =，则 222lim[()][lim ()]f x f x A ==， 法则3 两个具有极限的函数的商的极限，当分母的极限不为0时，等于这两个函数的极限的商，即()()limlim ()()f x f x Ag x g x B== （0B ≠）证法则2 因为lim ()f x A =，lim ()g x B =，所以()()f x A x α=+，()()g x B x β=+（,αβ都是无穷小）， 于是()()()(()f x g x A B AB A B αββααβ=++=+++，由无穷小的性质知A B βααβ++仍为无穷小， 再由极限与无穷小的关系，得lim[()()]lim ()lim ()f x g x A B f x g x ⋅=⋅=⋅.法则1和法则2可以推广到具有极限的有限个函数的情形。
如当n 为正整数时，有 lim[()][lim ()]n n n f x f x A ==例1（1）求22lim(22)xx x →-+ ，（2）求22124lim 32x x x x →-+-+.解：（1）由极限的四则运算法则得22222222lim(22)lim 2lim lim 22222x x x x x x x x →→→→-+=-+=-+=（2）因为2-1lim 3250x x →+=≠，所以由极限的四则运算法则得 221243lim 325x x x x →-+-=-+由例1可以看出,当0x x →时,求有理多项式或有理分式(分母在0x x →时的极限不为0)的极限,只要把0x 直接代人表达式级数函数值即可例2 （1）求224lim 2x x x →--，（2）2147lim 1x x x →+-解：（1）由于2lim(2)x x →-=0，商的运算法则不能用，但是当 2x →时，2x ≠，因此20x -≠，可以先行约掉2x -这个因子，再求极限22224(2)(2)lim lim lim(2)422x x x x x x x x x →→→--+==+=--. （2）由于21lim(1)0x x →-=，1lim(47)11x x →+=，因此，不能使用商的运算法则，分析、分子、分母又没有非零公因式可约。
此时，先考虑函数的倒数的极限，由于2110lim04711x x x →-==+，根据无穷小的与无穷大的关系可得2147lim1x x x →+=∞-。
例3 求下列极限。
（1）22234lim 2x x x x x →∞----，（2）232321lim 25x x x x x →∞---+, （3）求3222lim7x x x xx →∞-++.解：(1)因为当x →∞时，分式的分子、分母都趋于无穷大，因此不能直接利用积的极限，可以先把分子、分母同除以2x ，再求极限22222234342lim 2lim lim 234lim lim 2121221lim1lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞------===------ 此例所用的方法称为无穷小分出法。
一般地，如果一个分式函数，当x →∞时，分子和分母都是无穷大，求此分式函数的极限时，都应用分子、分母中自变量最高次幂去除分子、分母，以分出无穷小，然后再求极限。
（2）2233223213210lim lim 0152522x x x x x x x x x x x→∞→∞----===-+-+（3）因为2233223213210lim lim 02522x x x x x x x x x x x→∞→∞----===-+-+ 所以 3222lim 7x x x xx →∞-+=∞+ 当000,0a b ≠≠时，有理函数当x →∞的极限有如下结果：101101,lim0,,m m mn n x na n mb a x a x a n m b x b x b n m --→∞⎧=⎪⎪++⋅⋅⋅+⎪=<⎨++⋅⋅⋅+⎪∞>⎪⎪⎩。
例4 求下列极限 (1)3131lim()11x x x →---，(2)0x →.解 (1) 321131(2)(1)()111(1)(1)lim limx x x x xxx x x →→+--=---++=(2) 01lim12x x x→→===例5 limx解 (3)因为limlim0x x ==且|cos x |≤1，由有界量与无穷小的积仍是无穷小的性质，得limx =0.练习 1 求下列函数的极限 （1）2225lim32x x x x x →∞+--+，（2）233lim231x x x x x →∞---+，（3）22323lim43x x x x x →---+，（4）1123lim 23n n n nn +-→∞++，（5）2121lim()11x x x →---，（6）33lim 2231x x x x x --→∞-+. 答 (1)13, (2)0, (3)2, (4)13, (5)12,（6）∞.2 求极限 cos limx x xx→∞-. 答 1.（二）无穷递缩等比数列的和定义：称公比为q 且||1q <的无穷等比数列23,,,......n q a aq aq aq aq -为无穷递缩等比数列。
该数列所有项之和s 为它的前n 项之和n s 当n →∞时的极限，即(1)lim lim lim(1)111n n n n n n a q a as s q q q q→∞→∞→∞-===-=---。
这就是无穷递缩等比数列的求和公式。
例6 求231111112222n -+++++ 。
解 121112a s q ===--。
例7 将循环小数化成分数。
（1）.0.2，（2）..0.315.解 （1）.0.20.22220.20.020.002==+++222221011010010009110=+++==- 。
（2）..0.3150.31515150.30.0150.00015==+++15315153315521000110100010000010109901651100=+++=+=+=- 。
练习 P18 4，5.小结 （1）应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）才能适用．（2）求函数极限时，经常出现0,0,∞∞∞-∞等情况，都不能直接运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限.常使用的有以下几种方法．i 、对于∞-∞型，往往需要先通分，化简，再求极限，ii 、对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限，iii 、对分子、分母进行因式分解，再求极限，iv 、对于当∞→x 时的∞∞型，可将分子分母同时除以分母的最高次幂，然后再求极限．作业 P17 3，4 板书设计·复习 极限的四则运算法则.·讲授新课二 两个重要极限重要极限一如图，设<AOB =x (rad)于是BC =sin x ,AB =x ,AD =tan x有图可知OAB OAD OAB S S S ∆∆<<扇形即111sin tan 222x x x <<得sin x <x <tan x ,从而有cos x <sin x x<1上述不等式是当02x π<<时得到的，但因当x 用-x 代换时cos x ,sin xx都不变号，所以x 为负时关系式也成立.因为0lim cos 1x x →=，又0lim11x →=，由两边夹定理知0sin lim1x xx→=.在使用重要极限0sin lim 1x xx→=来计算函数极限时,要注意其使用条件： （1）极限属于型；（2）所求变量中带有三角函数；(3)在极限sin lim x →∆∆∆表达式中，∆处要保持一致例1 求0sin 3lim 2x xx →解：030sin 33sin 3lim lim 223x x x xx x →→=⋅303sin 333lim 1=2322x x x →==⨯一般地，有0sin limx mx mnx n→=例2 （1）求21cos limx xx→-，（2）3tan sin limx x xx→-解：（1）2222sin 1cos 2limlimx x x xxx→→-=220sin1112lim()12222x xx →==⨯=.（2）3300tan sin tan (1cos )lim lim x x x x x x x x →→--=201sin 1cos 1lim()cos 2x x x x x x →-=⋅⋅=. 练习 求下列极限.（1）lim 2sin 2nn n x →∞，（2）0sin 5lim sin 3x x x →，（3）0tan 2lim x x x→，（4）0lim cot x x x →.答 （1） 1，（2） 53，（3） 2，（4）1重要极限二或在使用重要极限1lim(1)xx e x →∞+=或10lim(1)x x x e →+=来计算函数极限时,要注意其使用条件：（1）极限属于∞1型；（2）在极限1lim(1)x ∆→∆+∆或1lim(1)x ∆→∆+∆表达式中，∆处要保持一致例3 （1）求1lim(1)x x x →∞-，（2）求3lim(1)xx x→∞+，（3）求2lim()3xx x x →∞-- 解：（1）1111lim(1)lim(1)lim[(1)]x x x x x x x x x--→∞→∞-→∞-=+=+--111[lim (1)]x x e x----→∞=+=- （2）31lim(1)lim(1)3x x x x x x→∞→∞+=+33333311lim(1)[lim(1)]33x xx x e x x ⨯→∞→∞=+=+=（3）3321lim()lim(1)33x x x x x xx -+→∞→∞-=+--3311lim(1)lim(1)33x x x e x x -→∞→∞=+⋅+=--练习 求下列函数的极限（1）21lim()xx x x→∞+，（2）1lim(12)x x x →-，21lim()21x x x x →∞-+.答 (1) (2) (3)三 无穷小的比较两个无穷小的和、差、积都是无穷小，但是两个无穷小的商确会出现三种不同的结果.如0x →时，x 、2x 、2x 虽然都是无穷小，但是趋向于零的速度却快慢不同，2x 比x 、2x 趋于零的速度快得多. 为此引入关于无穷小的阶的概念.定义 在某一极限过程中，设lim 0α=，lim 0β=，如果（1）lim0βα=，那么称β是比α高阶的无穷小. （2）lim βα=∞，那么称β是比α低阶的无穷小.（3）lim C βα=（C 为非零常数），那么称β与α是同阶的无穷小.特别地，当1C =时，称β与α是等价的无穷小，记作α～β. 例4 当1x →时，比较无穷小11-的阶。