中值定理题目分析总结答案
微分中值定理与导数的应用习题解答
第三章 微分中值定理与导数的应用答案§3.1 微分中值定理1． 填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2．选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（C ）．A .x e x f =)( B. ||)(x x f = C.21)(x x f -= D.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（ B ）．A ．),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ．ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ．211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ．211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数．设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x <<3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5．证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中是介于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明：由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ．同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-证明：只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明. 8．证明下列不等式（１）当π<<x 0时，x xxcos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此，当π<<x 0时，x xxcos sin >． （２）当0>>b a 时，bba b a a b a -<<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<<因为'1()f x x =，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a bξ<<，从而bba b a a b a -<<-ln ． §3.1 洛毕达法则1． 填空题 （１）=→xxx 3cos 5cos lim2π35-（２）=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 （３）)tan 11(lim 20x x x x -→=31（４）0lim (sin )xx x +→=1 ２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A ．==∞→∞→nn nn n en ln limlim 11lim=∞→nn eB ．=-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． x x x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ．x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e（２） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ．x x x sin lim 20→B ．x x x tan 0)1(lim +→C ． xx x x sin lim +∞→ D ．x nx e x +∞→lim3．求下列极限（１）nn mm a x a x a x --→lim ．解： n n m m a x a x a x --→lim =nm n m a x a nm nx mx ---→=11lim． （２）20222lim xx x x -+-→． 解：20222lim xx x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2)2(ln ． （３）30tan sin lim xxx x -→． 解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)21(lim )1(cos tan lim x x x x x x x x -⋅=-→→＝21-． （４）20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim x x e x x --→＝212sin lim 2cos lim 00=+=-→→x e x x e x x x x ． （５）xx x x xx ln 1lim 1+--→．解： )ln 1()(x x x x x +='，x x x x xx ln 1lim 1+--→＝xx x x x 11)ln 1(1lim 1+-+-→＝22111)ln 1(limx x x x x xx x --+-→2])ln 1([lim 1221=++=++→x x x x x x ．（６）)111(lim 0--→x x e x ． 解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→x xe x x e e x x x x x x x （７）x x xtan 0)1(lim +→． 解：1)1(lim 202000sin limcsc 1lim cot ln limln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x xx x xxxx xx x x x x eeee x．（８）)31ln()21ln(lim xxx +++∞→． 解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 23ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim1x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++== =xx x 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．（９）n n n ∞→lim ．解： 因为1lim 1limln 1lim ===∞→∞→∞→x x xx x x x eex ，所以n n n ∞→lim =1．§3.3 泰勒公式１．按1-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f ． 解： 10)1(,64)(3='+='f x x x f ，同理得24)1(,24)1(,18)1()4(=='''=''f f f ，且0)()5(=x f ．由泰勒公式得：43)(24++=x x x f =432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+x x x x ．2．求函数x e x x f 2)(=的带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林公式．解：因为)(!!2!112n nxx o n x x x e +++++= ， 所以xe x xf 2)(==2222[1()]1!2!(2)!n n x x x x o x n --+++++-=)()!2(!2!1432n n x o n x x x x +-++++ ． 3．求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=． 解：设x x f 2)(=，则2ln 2)(x x f ='，2)2(ln 2)(x x f =''． 2)2(ln )0(,2ln )0(,1)0(=''='=f f f ，故 )(!2)2(ln !12ln 12222x x x xο+++=， 则 222)2(ln 2ln 1)(x x x p ++=为所求．4．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2xx x x +-∞→． 解：因为 ))1((3)1(2)1(1)11ln(332xo x x x x ++-=+，所以 )11ln(2x x x +-=)])1((3)1(2)1(1[3322x o x x x x x ++--=)1(3121x o x +-， 故 21)]1(3121[lim )]11ln([lim 2=+-=+-∞→∞→x o x x x x x x ． 5． 设)(x f 有三阶导数,且0)1(,0)(lim 20==→f xx f x ,证明在)1,0(内存在一点,使0)(='''ξf ．证明： 因为 0)(lim 20=→xx f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ．由麦克劳林公式得：332!3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+'+=（介于0与之间），因此 !3)()1(ξf f '''=，由于0)1(=f ，故0)(='''ξf ．§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1．填空题（１）函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是),21()0,21(+∞-，单调减少区间)21,0()21,( --∞．（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调增加．（３）函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则． （４）若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a 23-，29，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．2．单项选择题（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A .x y -=2),(∞+-∞B .x y e =)0,(-∞ C .x y ln =),0(∞+D .x y sin =),0(π（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ B ）． A .)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B.)(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的 Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的（３）)(x f 在),(+∞-∞内可导,且21,x x ∀,当21x x >时,)()(21x f x f >,则( D ) A. 任意0)(,>'x f x B. 任意0)(,≤-'x f x C. )(x f -单调增 D. )(x f --单调增（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2．求下列函数的单调区间 （１）1--=x e y x ．解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加； 当0<x 时，0<'y ，所以函数在区间]0,(-∞为单调减少．（２）(2y x =-解：)1(31031-='-x x y ，当1>x ，或0<x 时，0>'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加； 当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）)1ln(2x x y ++=解：011111222>+=++++='xxx x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．3．证明下列不等式（１）证明： 对任意实数和, 成立不等式||1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++．证明：令x x x f +=1)(，则0)1(1)(2>+='x x f ，)(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即 ||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++（２）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ．证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ，11ln )('-+=xx x f ，由于当1x >时，211()0f x x x''=->,因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增,当1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ,因此1)1(2ln +->x x x ．（３）当0>x 时，6sin 3x x x ->．证明：设6sin )(3x x x x f +-=,021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->，所以)(x f '在),0[+∞单调递增,当0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当0>x 时，6sin 3x x x ->．4． 讨论方程k x x =-sin 2π(其中为常数)在)2,0(π内有几个实根．解：设()sin ,2x x x k πϕ=-- 则()x ϕ在]2,0[π连续,且k k -=-=)2(,)0(πϕϕ，由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2,0(π内的唯一驻点．()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2ππ上单调增加．故k ---=242arccos)2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π的最大值是,最小值是k ---242arccos2ππ．（１）当,0≥k 或242arccos2--<ππk 时,方程在)2,0(π内无实根；（２）当0242arccos2<<--k ππ时,有两个实根；（３） 当242arccos2--=ππk 时，有唯一实根．5．试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．解：c bx ax y ++='232,b ax y 26+=''，所以2323(2)2(2)062010(2)(2)(2)44a b c a b a b c d a b c d ⎧-+-+=⎪+=⎪⎨+++=-⎪⎪-+-+-+=⎩ 解得：16,24,3,1=-=-==d c b a ．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（１）12-+=x xx y 解：222)1(11-+-='x x y ,323)1(62-+=''x xx y ,令0=''y ,得0=x ，当1x =±时不存在．当01<<-x 或1>x 时,0>''y ,当1-<x 或10<<x 时,0<''y ．故曲线12-+=x xx y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，曲线的拐点为)0,0(．（２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间解：y '=，y ''=．当0=x 时，y y ''',不存在；当21-=x 时，0=''y ．故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,21(3--是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明: 当π<<x 0时, πxx >2sin证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2sin 41)(xx f -=''．当π<<x 0时,0)(<''x f , 故函数πxx x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的,从而曲线)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πx x >2sin ．§3.5 函数的极值与最大值最小值1．填空题（１）函数x x y 2=取极小值的点是1ln 2x =-． （２） 函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为322)21(=f ，最小值为(0)1f =- ．2．选择题（１） 设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（C ）A ．0x x =是)(x f 的唯一驻点B ．0x x =是)(x f 的极大值点C ．)(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ． )(x f ''不为零（２） 已知)(x f 对任意)(x f y =满足x e x f x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（B ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C. ))(,00x f x （为拐点D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点（３）若)(x f 在至少二阶可导, 且1)()()(lim2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在处( Ａ ) A ． 取得极大值 B ． 取得极小值 C ． 无极值 D ． 不一定有极值 3． 求下列函数的极值 （１）()3/223x x x f -=． 解：由13()10f x x -'=-=，得1=x ．4''31(),(1)03f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．（２）xx x f 1)(=．解：定义域为),0(+∞，11ln 21, (1ln )x xxy ey xx x'==-， 令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．因此ee e y 1)(=为极大值．4． 求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值． 解：(3)23, (4)132y y -==．由266120y x x '=+-=，得1=x ,2-=x ．而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．5．在半径为的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积最大． 解：设圆锥体的高为, 底半径为,故圆锥体的体积为h r V 2 31π=， 由于222)(R r R h =+-，因此)2( 31)(2h Rh h h V -=π)20(R h <<， 由0)34( 31)(2=-='h Rh h V π，得34R h =，此时R r 322=．由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34R h =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大． 6.工厂与铁路线的垂直距离AC 为20km ,点到火车站的距离为100km .欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站与工厂间的运费最省,问点应选在何处？解:设AD x =,与间的运费为, 则)100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ），其中是某一正数． 由0)34005(2=-+='xx k y ,得15=x .由于k y x 400|0==,k y x 380|15==, 2100511500|+==x y ,其中以k y x 380|15==为最小,因此当AD =15=x km 时,总运费为最省．7．宽为的运河垂直地流向宽为的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?解： 问题转化为求过点的线段AB 的最大值. 设木料的长度为, y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为，则l y x =+，且t by t a x sin ,cos ==, t b t a l sin cos +=)2,0(π∈t ．则ttb t t a l 22sin cos cos sin -='， 由0='l 得3tan a bt =, 此时233232)(b a l +=，故木料最长为233232)(b a l +=．§3.6函数图形的描绘１．求23)1(+=x x y 的渐近线. 解：由 -∞=+-→231)1(lim x x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线．因为 2)1(lim )(lim ,1)1(lim lim 2322-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．2．作函数23)1(22--=x x y 的图形。
3章微分中值定理与导数应用习题解答
第3章 微分中值定理与导数应用习题解答1.验证中值定理的正确性（1) 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈，因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.(2) 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性.解 因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ∈(0, 1), 使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12135∈±=x .因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ, 使01)0()1()(--='y y y ξ.(3) 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上验证柯西中值定理的正确性. 解 因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续, 在)2 ,0(π可导, 且F '(x )=1-sin x 在)2 ,0(π内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ, 即22sin 1cos -=-πx x .化简得14)2(8sin 2-+-=πx . 易证114)2(802<-+-<π, 所以14)2(8sin 2-+-=πx 在)2 ,0(π内有解, 即确实存在)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--.2. 证明题:(1)证明恒等式: 2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1).证明 设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为 01111)(22≡---='x x x f ,所以f (x )≡C , 其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f , 即2arccos arcsin π=+x x .(2)若方程a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x =0有一个正根x 0, 证明方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0必有一个小于x 0的正根.证明 设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0, x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(0, x 0), 使F '(ξ)=0, 即方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.(3)若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明: 在(x 1, x 3)内至少有一点ξ, 使得f ''(ξ)=0.证明 由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ1∈(x 1, x 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在一点ξ2∈(x 2, x 3), 使f '(ξ2)=0.又由于f '(x )在[ξ1, ξ2]上连续, 在(ξ1, ξ2)内可导, 且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ ∈(ξ1, ξ2)⊂(x 1, x 3), 使f ''(ξ )=0.(4) 设a >b >0, n >1, 证明: nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明 设f (x )=x n , 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即a n -b n =n ξ n -1(a -b ). 因为 nb n -1(a -b )<n ξ n -1(a -b )< na n -1(a -b ), 所以 nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) .3. 用洛必达法则求下列极限: (1)22)2(sin ln limx x x -→ππ; (2)nn m m ax a x a x --→lim; (3)x xx 2tan ln 7tan ln lim0+→; (4)x x x 3tan tan lim 2π→;(5)2120lim x x e x →; (6)⎪⎭⎫ ⎝⎛---→1112lim 21x x x ; (7)x x xa )1(lim +∞→; (8)xx xsin 0lim +→; 解: (1)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ.(2)nm n m n m ax nn m m ax a nm na mx nx mx a x a x -----→→===--1111limlim. (3)2000021sec 77ln tan 77tan 272tan 7lim lim lim lim 11ln tan 22tan 727sec 22tan 2x x x x x x x x x x x x x x→+→+→+→+⋅⋅====⋅⋅.(4))sin (cos 23)3sin (3cos 2lim31cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x -⋅-==⋅=→→→→ππππ 3sin 3sin 3lim cos 3cos lim22=---=-=→→x xx x x x ππ.(5)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 2101222t t t t x x xx e t e x e e x (注: 当x →0时, +∞→=21xt ). (6)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x . (7)解法1 因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x exa +∞→∞→=+, 而 221()ln(1)1lim (ln(1)limlim 11x x x aa axa x x x x x x→∞→∞→∞⋅-+++==- limlim 1x x ax aa x a →∞→∞===+ ,所以 a x ax x x x e exa ==++∞→∞→)1ln(lim )1(lim . 解法2 lim 1lim 1axxa ax x a a e x x →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦(8) 因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=,而 00ln lim sin ln lim csc x x x x x x →+→+= 2001sin lim lim 0csc cot cos x x x x x x x x→+→+==-=-⋅ ，所以 1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .4. 验证下列各题: (1) 验证极限xxx x sin lim+∞→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 1)s i n 1(l i m s i n l i m =+=+∞→∞→x x x x x x x , 极限x xx x sin lim+∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (limx xx x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在, 不能用洛必达法则.(2) 验证极限xx x x sin 1sinlim20→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 0011sin sin lim sin 1sinlim020=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x , 极限x x x x sin 1sinlim 20→是存在的. 但xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim )(sin )1sin (lim020-=''→→不存在, 不能用洛必达法则. 5. 将下列函数展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式(1) 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解 因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--;kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1)所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n nn x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-.(2) 求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解 因为f '(x )=e x +x e x ,f ''(x )=e x +e x +x e x =2e x +x e x , f '''(x )=2e x +e x +x e x =3e x +x e x , ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ;f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n nn xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+=)()!1(1!2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.6. 确定下列函数的单调区间:(1) y =2x 3-6x 2-18x -7; (2)xx x y 6941023+-=; 解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0, 令y '=0得驻点x 1=-1, x 2=3. 列表得可见函数在(-∞, -1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.(2)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=', 令y '=0得驻点211=x , x 2=1, 不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0), ]21 ,0(, [1, +∞)内单调减少, 在]1 ,21[上单调增加.7.证明下列不等式::(1)当x >0时, x x +>+1211;(2)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx , 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01211>+-+x x ,也就是 x x +>+1211.(2)设f (x )=x ln2-2ln x , 则f (x )在[4, +∞)内连续, 因为 0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时, f '(x )>0, 即f (x )内单调增加.因此当x >4时, f (x )>f (4)=0, 即x ln2-2ln x >0,也就是2x >x 2.8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ;(3) y =(x +1)4+e x .解 (1)y '=3x 2-10x +3, y ''=6x -10. 令y ''=0, 得35=x .因为当35<x 时, y ''<0; 当35>x 时, y ''>0, 所以曲线在]35 ,(-∞内是是凸的, 在) ,35[∞+内是凹的, 拐点为)2720,35(.(2)y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x , y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞, +∞)内是凹的, 无拐点.9.求函数的极值:(1) y =2x 3-6x 2-18x +7； (2) y =x -ln(1+x )； (3) y =-x 4+2x 2 .解 (1)函数的定义为(-∞, +∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1), 驻点为x 1=-1, x 2=3. 列表可见函数在x =-1处取得极大值17, 在x =3处取得极小值-47.(2)函数的定义为(-1, +∞), xxx y +=+-='1111, 驻点为x =0. 因为当-1<x <0时, y '<0; 当x >0时, y '>0, 所以函数在x =0处取得极小值, 极小值为y (0)=0.(3)函数的定义为(-∞, +∞),y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1), y ''=-12x 2+4, 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-1, x 3=1.因为y ''(0)=4>0, y ''(-1)=-8<0, y ''(1)=-8<0, 所以y (0)=0是函数的极小值, y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.10.求下列函数的最大值、最小值: (1) y =2x 3-3x 2 , -1≤x ≤4;(2) y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4).解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=1. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=0, y (1)=-1, y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5, 最大值为y (4)=80.(2) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1), 函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29, f (3)=-61, f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.11.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解 设矩形高为h , 截面的周长S , 则5)2(212=⋅+πx xh , x x h 85π-=.于是xx x x h x S 10422++=++=ππ(π400<<x ), 21041xS -+='π.令S '=0, 得唯一驻点π+=440x .因为0203>=''xS , 所以π+=440x 为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为π+=440x 时所用的材料最省. 12.从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图), 问留下的扇形的中心角ϕ取多大时, 做成的漏斗的容积最大？解 漏斗的底周长l 、底半径r 、高h 分别为 l =R ⋅ϕ, πϕ2R r =, 222242ϕππ-=-=Rr R h .漏斗的容积为22223242431ϕππϕπ-==R hr V (0<ϕ<2π).2222234)38(24ϕπϕπϕπ--⋅='R V ，驻点为πϕ362=. 由问题的实际意义, V 一定在(0, 2π)内取得最大值, 而V 在(0, 2π)内只有一个驻点, 所以该驻点一定也是最大值点. 因此当ϕ π362=时, 漏斗的容积最大.13.一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？解 房租定为x 元, 纯收入为R 元.当x ≤1000时, R =50x -50⨯100=50x -5000, 且当x =1000时, 得最大纯收入45000元. 当x >1000时,700072501100)]1000(5150[)]1000(5150[2-+-=⋅---⋅--=x x x x x R ,72251+-='x R . 令R '=0得(1000, +∞)内唯一驻点x =1800. 因为0251<-=''R , 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R =57800.因此, 房租定为1800元可获最大收入.。
高等数学数学分析中值定理习题有答案
第三章 中值定理与导数的应用1. 设)(x f 在]1,0[上连续，在(0,1)内可导，0)1()0(==f f ,1)21(=f 求证：存在)1,0(∈ξ使1)(='ξf .2. 求证：若)(x f 在],[b a 上可导，)()(b f a f -+'≠'，则对介于)(a f +'与)(b f -'之间的任意值c ，有),(b a ∈ξ，使c f =')(ξ.（导函数的介值定理）3. 设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，)(x f 在],[b a 上不恒为常数.求证：),(,21b a ∈∃ξξ，使0)(1>'ξf ，0)(2<'ξf .4. 设012>>x x ，证明：),(21x x ∈∃ξ，使)()1(212112x x e e x e x x x --=-ξξ.5. 讨论方程212x x+=的实根个数.6. 设)(x f 在]1,0[上二阶可导，0)1()0(==f f ，2)(max 10=≤≤x f x .求证：)1,0(∈∃ξ，使16)(-≤''ξf .7. 求)1(cot lim 22x x x -→8. 求xx x ln 0)1(lim -+→9. 求21)tan (lim 0x xxx →10. 求30)1(sin lim x x x x e x x +-→11. 求2220sin )(cos 121lim 2xe x x x x x -+-+→12. 讨论方程x x x x cos sin 2+=的实根个数。
13. 求证：bb aa ba b a +++≤+++11114. 比较eπ和πe 的大小.15. 设 ,3,2,1,==n n x n n ，求该数列中的最大项.16. 设⎩⎨⎧>-≤≤=1,)2(10,)(3x x x x x f ，求)(x f 的极值与拐点.17. 设10,1≤≤>x p ，求证：1)1(211≤-+≤-p p p x x .18. 求椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上的点，使得椭圆在该点的切线与坐标轴所围成的三角形面积最小.第三章 中值定理与导数的应用 答案1. 设)(x f 在]1,0[上连续，在(0,1)内可导，0)1()0(==f f ,1)21(=f 求证：存在)1,0(∈ξ使1)(='ξf . 证明：令x x f x F -=)()(，则)(x F 在]1,0[上连续，在(0,1)内可导，0)0(=F ，1)1(-=F ，21)21(=F .由连续函数的介值定理，)1,21(0∈∃x ，0)(0=x F ，又根据罗尔定理，),0(0x ∈∃ξ，0)(='ξF ，即1)(='ξf .2. 求证：若)(x f 在],[b a 上可导，)()(b f a f -+'≠'，则对介于)(a f +'与)(b f -'之间的任意值c ，有),(b a ∈ξ，使c f =')(ξ.（导函数的介值定理）证明：无妨设)()(b f c a f -+'<<'，令cx x f x F -=)()(，则0)(<'+a F ，0)(>'-b F .)(x F 在],[b a 上可导，必连续，因此有最小值)(ξF ，a ≠ξ，否则0)()(lim )(≥--='+→+ax a F x F a F ax 矛盾！；b ≠ξ，否则0)()(lim )(≤--='-→+bx b F x F b F bx 矛盾！因此),(b a ∈ξ.由Fermat 定理，0)(='ξF ，即c f =')(ξ.3. 设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，)(x f 在],[b a 上不恒为常数.求证：),(,21b a ∈∃ξξ，使0)(1>'ξf ，0)(2<'ξf .证明：)(x f 在],[b a 上连续，因此有最大值M x f =)(1，最小值m x f =)(2.由题意m M >，因为)()(b f a f =，所以)()(b f a f M =>，或m b f a f >=)()(.无妨设)()(b f a f M =>，由Lagrange 中值定理可知，),(11x a ∈∃ξ， 0)()()()(1111>--=--='a x a f M a x a f x f f ξ；),(12b x ∈∃ξ，0)()()()(1112<--=--='x b Mb f x b x f b f f ξ.4. 设012>>x x ，证明：),(21x x ∈∃ξ，使)()1(212112x x e e x ex x x --=-ξξ.证明：令x e x f x =)(，xx g 1)(=，)(),(x g x f 在],[21x x 上连续，在),(21x x 内可导且0)(≠'x g .由Cauchy 中值定理，),(21x x ∈∃ξ，使)()()()()()(1212x g x g x f x f g f --=''ξξ，即212112x x e x e x e e x x --=-ξξξ.5. 讨论方程212x x +=的实根个数.解：令212)(x x f x--=，)(x f 在),(+∞-∞连续，0)0(=f ，0)1(=f ，0)2(<f ，0)5(>f ，故)(x f 至少有三个实根，若)(x f 有多于三个的实根，则由罗尔定理，)(x f '''有实零点，而0)2(ln 2)(3>='''xx f ，因此)(x f 恰有三个实根.6. 设)(x f 在]1,0[上二阶可导，0)1()0(==f f ，2)(max 10=≤≤x f x .求证：)1,0(∈∃ξ，使16)(-≤''ξf .证明：设2)()(max 010==≤≤x f x f x ，则)1,0(0∈x ，0)(0='x f .根据Taylor 公式，),0(01x ∈∃ξ，)1,(02x ∈ξ，使2010002)())(()()0(0x f x x f x f f ξ''+-'+==； 202000)1(2)()1)(()()1(0x f x x f x f f -''+-'+==ξ，即4)(21-=''x f ξ，4)1)((202-=-''x f ξ.2100≤<x 时，16)(1-≤''ξf ；1210<≤x 时，16)(2-≤''ξf .7. 求)1(cot lim 22x x x -→ 解：)1(cot lim 220x x x -→x x x x x x 222220sin sin cos lim -=→300sin cos limsin cos lim x xx x x x x x x x -+=→→ 323cos sin cos lim220-=--=→xx x x x x8. 求xx x ln 0)1(lim -+→解： xx x ln 0)1(lim -+→)1ln(ln 0lim x x x e -→+==-+→)1ln(ln lim 0x x x =-+→x x x ln )(lim 0=-+→x xx 1ln lim 0=--+→2011lim xx x 0lim 0=+→x x 1)1(lim ln 0=-+→x x x9. 求21)tan (lim 0x xxx →解：21)tan (lim 0x xx x →xx x x e tan ln 102lim →=x x x x tan ln 1lim 20→)tan 1ln(1lim 20x x x x x -+=→30tan lim x xx x -=→3131sec lim 220=-=→x x x 31021)tan (lim e xx x x =→10. 求30)1(sin lim xx x x e x x +-→ 解：30)1(sin lim x x x x e xx +-→3333320)1()](!3)][(!321[lim x x x x o x x x o x x x x +-+-++++=→ 31)(3lim 3330=+=→xx o x x11. 求222sin )(cos 121lim 2xe x x x x x -+-+→解：0→x 时，2cos x e x -)](1[)(212222x o x x o x ++-+-=)(2322x o x +-=～232x -； 2220sin )(cos 121lim 2x e x xx x x -+-+→12123)](8121[21lim 2244220-=-+-+-+=→x x x o x x x x12. 讨论方程x x x x cos sin 2+=的实根个数。
微分中值定理经典题型
例2 设 f ( x)在U(a, )内具有二阶连续导数 ,
f (a) 0 , a h U (a, ),且
f (a h) f (a) hf (a h) (0 1),
证明：lim 1 / 2. h0
证明: f (a h) f (a) hf (a h)
f (a) h[ f (a) f (a 1 h) h] (0 1 1),
f
( x0 )
1 2
f
(1 ) x02
1 2
f
(2 )(1
x0 )2
f ( x) 1,
f
( x0 )
1 2
x02
1 (1 2
x0 )2
(
x0
1)2 2
1 4
又由 x0 [0,1] 知,
x0
1 2
1, 2
于是有
f
( x0 )
1 2
由 x0 的任意性,可知命题成立.
类似地， 若函数 f ( x) 在 [0,1] 上二阶可微,且 f ( x) a, f ( x) b,其中a, b是非负数. 证明 : x (0,1),有 f ( x) 2a b .
x
x
7 试证至少存在一点
使
证: 法2 用柯西中值定理 . 令
f ( x) sinln x , F ( x) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件,
因此
f (e) f (1) f ( ) , ( 1 , e ) F (e) F (1) F( )
故 方 程f ( x) 0,若 有 根必 有 唯 一 的 根,
以 下 只 须 证f (a f (a)) 0
方法1：
将f ( x)在[a,a
微分中值定理习题解答
上册P 224—226 习题解答1.求下列函数的极值点 , 并确定单调区间 :⑴ =y 1123223+--x x x .解 定义域D =) , (∞+∞-.='y )2)(1(612662-+=--x x x x , y '的符号为 :X可见 ，在区间) 1 , (-∞-和) , 2 (∞+内 y ↗↗，在区间) 2 , 1 (-内y ↘↘ ； y 在点=x 1-取极大值 ，在点=x 2取极小值 . ⑵ =y x x sin +.解 定义域D =) , (∞+∞-.0cos 1≥+='x y ,且使0='y 的点不充满任何区间 ,⇒ 在) , (∞+∞-内y ↗↗.⑶ =y x x ln .解 定义域D =) , 0 (∞+.='y xx 22ln -. y '的符号为 :0 2e X可见 ，在区间) , 0 (2e 内y ↘↘ ，在区间) , (2∞+e 内y ↗↗；y 在点=x 2e取极小值 .⑷ =y xnex -解 定义域D =) , (∞+∞-.)(1x n x e y n x -='--. 1≥n 时 , y '的符号为 :X可见 ，在区间) 0 , (∞-和) , (∞+n 内 y ↘↘，在区间) , 0 (n 内y ↗↗； y 在点=x 0取极小值 ，在点=x n 取极大值 .⑸ =y 322)1(-+x x .解 定义域D =) , 2 () 2 , (∞+∞- .2322)2()5)(1(2)1(31--+⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+='-x x x x x y . y '的符号为 :X 可见 ，在区间) 1 , (-∞-和) , 5 (∞+内 y ↗↗，在区间) 2 , 1 (-和) 5 , 2 (内y ↘↘；y 在点=x 1-取极大值 , 在点=x 5取极小值 .⑹ =y 211xx+-. 解 定义域D =) , (∞+∞-.()()()222221)21( )21()1()1(2)1(xx x x x x x y ++---=+--+-=', y '的符号为 :21- 21+ X 可见 ，在区间) 21 , (-∞-和) , 21 (∞++内 y ↗↗， 在区间) 21 , 21 (+-内y ↘↘；y 分别在点=x 21-和=x 21+取极大值和极小值 .⑺ =y xx 43+. 解 定义域D =) , 0 () 0 , (∞+∞- .2224343x x x y -=-='2332 3323xx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. y '的符号为 :332-0 332 X可见 ，在区间) 332 , (-∞-和) , 332 (∞+内 y ↗↗，在区间) 0 , 332 (-和 ) 332, 0 (内y ↘↘；y 分别在点=x 332-和=x 332取极大值和极小值 . ⑻ =y )1ln(x x +-.解 定义域D =) , 1 (∞+-.xxx y +=+-='1111. y '的符号为 :X可见 ，在区间) 0 , 1 (-内y ↘↘ ，在区间) , 0 (∞+内y ↗↗；y 在点=x 0取极小值 .⑼ =y x x 33sin cos +.解 定义域D =) , (∞+∞-.y 是周期为π2的周期函数 , 因此仅在] 2 , 0 [π上讨论 .)s i n (c o s 2s i n 23c o s s i n 3s i n c o s 322x x x x x x y --=+-=',y '在] 2 , 0 [π上的符号为 :4 2π42π2 X 可见 ，在区间 ⎪⎭⎫ ⎝⎛2 , 4ππ, ⎪⎭⎫ ⎝⎛45, ππ 和 ⎪⎭⎫⎝⎛ππ2 , 23内y ↗↗ , 在区间 ⎪⎭⎫ ⎝⎛4 , 0π, ⎪⎭⎫⎝⎛ππ , 2和 ⎪⎭⎫⎝⎛23 , 45ππ内y ↘↘. y 在点=x 0,45 , 2ππ和π2取极大值 , 在点=x , 4ππ和23π取极小值.( 注意 : 在上述讨论中 , 0=x 和π2并不是区间的端点 . )⑽ =y x x -arctan .解 定义域D =) , (∞+∞-.01112≤-+='xy , 且仅在点=x 0有0='y . 因此 , 在) , (∞+∞-内y ↘↘.无极值 . ⑾ =y xxee -+2.解 定义域D =) , (∞+∞-.xx xx ee ee y 1222-=-='-, 驻点为=x 22ln . y '的符号为 :22lnX因此, 在区间) 22ln , (∞-内y ↘↘，在区间) , 22ln (∞+内y ↗↗；y 在点=x 22ln 取极小值 .⑿ =y 32)1(2--x .解 定义域D =) , (∞+∞-.31)1(32---='x y , y 在点=x 1不可导 . y '的符号为 :X因此 ,在区间) 1 , (∞-内y ↗↗ , 在区间) , 1 (∞+内y ↘↘. y 在点=x 1取极大值 . ⒀ =y 25431xx ++.解 定义域D =) , (∞+∞-.23)54(5122x x y +-='.易见, 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛∞- 512 , 内y ↗↗ , 在区间⎪⎭⎫⎝⎛∞+ , 512 内y ↘↘.y 在点=x 512取极大值 . ⒁ =y xx 1.解 定义域D =) , 0 (∞+.21ln 1xxx y x-⋅='. 易见 , 在区间) , 0 (e 内y ↗↗ , 在) , (∞+e 内y ↘↘ . y 在点e x =取极大值 . 2．求下列函数的拐点 ，并确定它们的保凸区间 ：⑴ =y 233x x +-. 解 定义域为) , (∞+∞-.x x y 632+-=', )1(666x x y -=+-=''. 可见 :y 在区间) 1 , (∞-内下凸 , 在区间) , 1 (∞+内上凸 ; 仅有一个拐点 ) 2 , 1 (.⑵ =y x x sin +.解 定义域为) , (∞+∞-.x y cos 1+=', x y sin -=''. 对于 , 2 , 1 , 0 ±±=k ,在区间) 2 , 2 (πππ+k k 内0<''y , y 上凸 ; 在区间 () )1(2 , )12( ππ++k k 内0>''y ,y 下凸 . 拐点为) , (ππk k .⑶ =y 21x +.解 定义域为) , (∞+∞-.21xx y +=', 0)1(1232>+=''x y . y 在) , (∞+∞-内下凸 , 没有拐点 .⑷ =y xxe -.解 定义域为) , (∞+∞-.x x xe e y ---=', x e x y --='')2(. 可见:在区间 ) 2 , (∞-内 0<''y , y 上凸 ; 在区间 ) , 2 (∞+内 0>''y 下凸 . 仅有一个 拐点 ) 2 , 2 (2-e .⑸ =y 322)1(-+x x .解 定义域为) , 2 () 2 , (∞+∞- .2322)2()5)(1(2)1(31--+⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+='-x x x x x y . =''y 3137)1()2()14(92+--⋅x x x .y ''的符号为:X因此 , y 在区间) 1 , (-∞-和) 14 , 2 (内上凸 , 在区间) 2 , 1 (-和) , 14 (∞+内下凸 ; 该曲线仅有一个拐点 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 475 , 14 3.⑹ =y xx +-112.解 定义域为) , 1 () 1 , (∞+--∞- .1-='y , y 在点1-=x 连续 , 所以不可导 ; 0=''y ,) 1 (-≠x .因此函数y 在区间) 1 , (-∞-和) , 1 (∞+-内是线性函数 ,也是保凸的( 视为上凸或下凸均可 ). 该曲线没有拐点 .⑺ =y x x -a r c ta n . 解 定义域为) , (∞+∞-.1112-+='x y , 22)1 (2x x y +-=''. 可见 , 在) 0 , (∞-内0>''y , y 下凸 ; 在) , 0 (∞+内0<''y , y 上凸 ; 拐点为) 0 , 0 (. ⑻ =y )1l n (x x +-. 解 定义域为) , 1 (∞+-.x y +-='111, 2)1(1x y +=''0>. y 在其定义域) , 1 (∞+-内下凸 . 无拐点 . ⑼ =y xe x ++4)1(.解 定义域为) , (∞+∞-.x e x y ++='3)1(4,0)1(122>++=''x e x y .y 在其定义域) , (∞+∞-内下凸 . 无拐点 .⑽ =y )1ln(2x +. 解 定义域为) , (∞+∞-.212x x y +=' , 22222)1()1)(1(2)1(12x x x x x y ++-⋅=+-⋅=''. y ''的符号为:X可见 , 在区间) 1 , (-∞-和) , 1 (∞+内0<''y ,在这两个区间内y 上凸 ; 在区间) 1 , 1 (- 内0>''y , y 下凸 .该函数有两个拐点 : ) 2ln , 1 (±. ⑾ =y xearctan .解 定义域为) , (∞+∞-.2a r cta n 11x ey x +⋅=', 22a r ctan22a rcta na r c t a n )1()21()1(2x e x x xee y x x x +-=+-=''.在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛∞- 21 , 内0>''y , y 下凸 ; 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+ , 21 内0<''y , y 上凸 . y 有一个拐点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a r c tan, 21 e .⑿ =y 1-+x x .解 定义域为) , 1 [∞+. 1>x 时 ,1211-+='x y , 01)1(141<---=''x x y .y 在其定义域) , 1 [∞+上上凸 ,无拐点 .3. ⑴ 设函数)(x f 在点0x 处二阶可导 . 证明 : )(x f 在点0x 处取到极大值(极小值)的必 要条件是0)(0='x f 且) 0 ( 0)(0≥≤''x f .证 设函数)(x f 在点0x 处取到极大值 . 把)(x f 在点0x 处展开为具Peano 型余项的 Taylor 公式 , 并注意到0)(0='x f , 就有()=-+-''+-'+=20200000)())((21))(()()(x x x x x f x x x f x f x f ()202000)())((21)(x x x x x f x f -+-''+= . 即 21)()(0=-x f x f ())())((0200x x x x x f -+-'' .上式右端的符号由200))((x x x f -''决定 , 即由)(0x f ''决定 . 由于0)()(0≤-x f x f , ⇒()0)())((210200≤-+-''x x x x x f ，即 0)(0≤''x f . 同理可证: )(x f 在点0x 处取到极小值时 , 0)(0='x f 且 0 )(0≥''x f .⑵ 证明: 设函数)(x f 在点0x 处二阶可导 , 0)(0='x f .则 ⅰ> 0 )(0<''x f 时 , 0x 是极大值点 ;ⅱ> 0 )(0>''x f 时 , 0x 是极小值点 ;ⅲ> 0 )(0=''x f 时 , 0x 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .证 把)(x f 在点0x 展开为具Peano 型余项的Taylor 公式, 注意到0)(0='x f , 就有 21)()(0=-x f x f ())())((0200x x x x x f -+-'' . 当0x x →且0)(0≠''x f 时 , 上式右端的符号由)(0x f ''决定 . 于是ⅰ> 0 )(0<''x f 时 ,在点0x 的某邻域内有21)()(0=-x f x f ()0)())((0200<-+-''x x x x x f .可见)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值 ，即0x 是极大值点 。
高等数学(上)06-微分中值定理 答案详解
2.6 微分中值定理一、设汽车沿直线作变速运动，其速度v 随时间t 变化的函数()v f t =是连续且可导的，已 知在1212,()t t t t <时刻其速度均为0v ，则在1t 到2t 这个时间段内一定有一时刻瞬时加速度为 0，请用相应的微分中值定理解释这一现象．解：利用罗尔定理，()v f t =在12[,]t t 上连续，在12(,)t t 内可导，120()()f t f t v ==则至少存在一点012(,)t t t ∈，使得00()()0f t a t '==即在1t 到2t 这个时间段内一定有一时刻瞬时加速度为0二、不求函数(1)(3)y x x x =--的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，并指出实根所在区间．解：(0)(1)(2)(3)f f f f ===且()f x 在R 上均连续且可导由罗尔定理，至少存在123(0,1),(1,2),(2,3)ξξξ∈∈∈使123()()()0f f f ξξξ'''=== 又()f x 是四次函数，有()0f x '=是三次方程，至多有三个实根()0f x '∴=有且只有三个实根，分别位于(0,1),(1,2),(2,3)三、证明不等式:sin sin b a b a -≤-．证明：令()sin f x x =当a b =时，结论显然成立当a b ≠时，不妨设b a >，显然()sin f x x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导 由拉格朗日中值定理有sin sin cos ()()b a b a a b ξξ-=-<<，sin sin cos b a b a b a ξ∴-=-≤-四、当1x ≥时，证明：222arctan arcsin1x x x π+=+． 证明：令22()2arctan arcsin 1x f x x x=++，有1x ≥时2222222222()011(1)(1)x f x x x x x -'==+=++-+()f x C ⇒≡，又(1)242f πππ=⨯+=，故222arctan arcsin 1x x x π+=+ *五、若函数()f x 可导，试证在其两个零点间，一定有()()f x f x '+的零点． 证明：设,()a b a b <为()f x 的两个零点，即()()0f a f b ==构造辅助函数()()x F x e f x =，易得()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导 且()()0F a F b ==由罗尔定理得，(,)a b ξ∃∈，使得()[()()]0F e f f ξξξξ''=+=从而有()()0f f ξξ'+=，即ξ为()()f x f x '+的零点考研真题：*证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则存在(,)a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.分析：逆向思维构造函数()F x ，将问题转化为求其导函数的零点 证明：令()()()()f b f a F x f x x b a-=--，显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，且()()()()()()()()()(),()()f b f a bf a af b f b f a bf a af b F b f b b F a f a a b a b a b a b a----=-==-=----()()F a F b ⇒=∴由罗尔定理，至少存在(,)a b ξ∈使得()0F ξ'=，即()()()0f b f a f b a ξ-'-=- 即()()()()f b f a f b a ξ'-=-。
中值定理复习题总结-14页 文字版
， 使得
（1） 可得结论； （2）若
在 内同一点 取得最大值，则
， 两次罗尔中值定理
在 内不同点 取得最大值， 则
， 由零点定理得
得
， 两次罗尔中值定理可得结论
，使
例 11.设函数
在 的某个邻域内具有 阶导数， 且
证明： 介于 0与 之间， 有
.
证明： ∵ 、 且在 每一点处，
及其各阶导数在 上连续， 在 上可导，
内至少存在两个不同的点 ， 使得
证明： 令
， 则有
， 再由
由积分中值定理得
.再 对
在区间
，因
， 必有
上 分 别 用 罗 尔 定 理， 知 至 少 存 在
， 使得
，即
.
推广的积分中值定理： 设
在区间
上连续，
在区间
上连续且
不变号， 证明： 至少存在一点
， 使得
例 32 解： 由推广的积分中值定理得
（2） 例 16.证明： 当 时， 证明： 令
， 其中
在Ⅰ上可导且 C为常数.
当 时有
，
所以
.因为 在 时连续， 从而
故
即
例 17.设 可导，
，
是 的反函数， 证明：
证明： 即证 引入辅助函数
， 即结论成立
， 于是
， 所以
常数， 从而
题型五： 利用泰勒中值定理证明等式和不等式
+
注：（1）欲证等式或不等式中含有二阶或二阶以上导数时， 可考虑用泰勒中值定 理证明；（2）关键问题： 选择合适的 与
；
（2）
，则
即：
；
（3） （4） （5）
，则 ，则
中值定理的参考题(有分析和解答)
( 1 ) f ( 1 ) 1 1 1 1 0 ， 2 2 2 22
(1) f (1)10110 ，
由零点定理知， ( 1, 1) ，使()0 ，即 f () 。 2
（2）要证 f ( x)[ f ( x) x]10 在(0,) 内有根，即证 [ f ( x)1][ f ( x) x]0 在(0,) 内有根。
值定理，故( x,
x)
，使
f ( x) f ( x) x x
f
()
，
从而 lim f ( x) f ( x) lim f () lim f () A ，
xx x x
xx
x
即 f ( x) A 。 同理可证 f ( x) B 。
分段函数在分段点 x处的导数 f ( x) 的求法
方法一
求出
f
(
x)
（2）分析：所证结论中的g() 的位置相当于（1） 中的 ，而（1）中的 是由ex 求导而得到的， 故可设辅助函数G( x)e g( x) f ( x) 。
证明：设G( x)e g(x) f ( x) ，
则 G( x)C[a, b] ，G( x)D(a, b) ，且G(a)G(b)0 ，
由罗尔定理可知，(a, b) ，使G()0 ，
分析：（1）即证[ f ( x)f ( x)] x 0 。
注意到[ex f ( x)]ex[ f ( x)f ( x)] ， 故取 F ( x)ex f ( x) 。
证明：设 F(x)ex f (x) ， 则 F ( x)C[a, b] ， F ( x)D(a, b) ，且 F (a) F (b)0 ， 由罗尔定理可知，(a, b) ，使F ()0 ， 即e[ f ()f ()]0 ， 由于e 0 ，从而 f ()f ()0 。