自动控制课程设计——超前校正(理工版)

课程设计

题目控制系统的超前校正设计学院自动化学院

专业自动化专业

班级Xxxxxxxxxxx

姓名Xxxxxxxxxxx

指导教师Xxxxxxxxxxx

2011 年12 月31 日

课程设计任务书

学生姓名： Xxxxxxxxxxx 专业班级： Xxxxxxxxxxx 指导教师： Xxxxxxxxxxx 工作单位： 自动化学院

题 目: 用MATLAB 进行控制系统的超前校正设计。 初始条件：已知一单位反馈系统的开环传递函数是

)

5.01)(05.01()(s s s K

s G ++=

要求系统跟随2r/min 的斜坡输入产生的最大稳态误差为2°，

45≥γ。

要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）

1、用MATLAB 作出满足初始条件的最小K 值的系统伯德图，计算系统的幅值裕量和相位裕量。

2、在系统前向通路中插入一相位超前校正，确定校正网络的传递函数。

3、用MATLAB 画出未校正和已校正系统的根轨迹。

4、课程设计说明书中要求写清楚计算分析的过程，列出MATLAB 程序和MATLAB 输出。说明书的格式按照教务处标准书写。

时间安排：

指导教师签名： 年 月 日

系主任（或责任教师）签名： 年 月 日

目录

摘要 (1)

控制系统的超前校正设计 (2)

1. 超前校正的原理介绍 (2)

1.1. 校正简介 (2)

1.2. 超前校正及其特性 (2)

1.3. 系统参数设计步骤 (4)

2. 控制系统的超前校正设计 (5)

2.1.控制系统的任务要求 (5)

2.2.校正前系统分析 (5)

2.3.校正系统的设计与分析 (8)

2.4.校正前后系统比较 (12)

3. 手工绘制根轨迹和伯德图步骤 (14)

3.1.手工绘制根轨迹的步骤 (14)

3.2.手工绘制伯德图的步骤 (15)

结束语 (16)

参考文献 (17)

)

5.01)(05.01()(s s s K

s G ++=

摘 要

自动控制技术在工业，农业，教育，航天，生物，医学，环境等方面发挥着重要作用，极大地提高了社会劳动生产率，改善劳动条件，丰富和提高了人民的生活水平。而完成一个控制系统的设计任务，需要根据被控对象及给定的技术指标要求进行大量的分析计算，而且要经过理论和实践的反复比较才可以得到比较合理的结构形式和满意的性能。在线性控制系统中，常用的校正装置设计方法有分析法和综合法。目前，前者在物理上易于实现，而且比较直观，故工程技术多采用分析法进行系统设计。由于在用分析法进行串联校正时，校正环节的结构通常采用超前校正、滞后校正、滞后超前校正这三种类型。

此次《自动控制原理》的课程设计采用的超前校正的基本原理是利用超前相角补偿系统的滞后相角，改善系统的动态性能，如增加相角裕度，提高系统稳定性能等。由于计算机技术的发展，MATLAB 软件在控制器设计，仿真和分析方面得到广泛应用，故此次课程设计要求采用MATLAB 软件对系统进行了计算机仿真，分析未校正系统的动态性能和超前校正后系统是否满足相应动态性能要求。使校正前开环传递函数为

的系统在跟随2r/min 的斜坡输入产生的最大稳态误差为2°， 45≥γ。

C

R R R R T 2

12

1+=

1

2

2

1>+=R R R a ()11++=

Ts aTs s aG c 控制系统的超前校正设计

1. 超前校正的原理介绍

1.1. 校正简介

所谓校正就是在系统不可变部分的基础上，加入适当的校正元部件，使系统满足所给定的性能指标。校正环节的形式及其在系统中的位置称为校正方案。校正方式一般有串联校正、反馈校正、复合校正以及前馈校正。在控制系统设计中，常用的校正方式为串联校正和反馈校正两种，选用哪种校正方式取决于系统中的信号性质、技术实现的方便性、可供选择的元器件、抗扰性要求、经济性要求以及环境使用条件。一般来说，串联校正设计比反馈校正设计简单，也比较容易对信号进行各种必要形式的变换。本次课程设计就是用的串联校正中的超前校正。

1.2. 超前校正及其特性

超前校正就是在前向通道中串联传递函数为:

（1-1） 其中：

（1-2）

（1-3）

通常 a 为分度系数,T 叫时间常数,由式(1-1)可知,采用无源超前网络进行串联校正 时,整个系统的开环增益要下降 a 倍,因此需要提高放大器增益交易补偿. 如果对无源超前网络传递函数的衰减由放大器增益所补偿，则

（1-4）

上式（1-4）称为超前校正装置的传递函数。

()()()1

1

1G c ++?

==Ts aTs a s R s C s

而无源超前校正网络的对数频率特性如图1-1。

图1-1 无源超前校正网络的对数频率特性

超前校正RC 网络图如图1-2。

图1-2 超前校正RC 电路图

显然，超前校正对频率在1/aT 和1/T 之间的输入信号有微分作用，在该频率范围内，输出信号相角比输入信号相角超前，超前网络的名称由此而得。因此超前校正的基本原理就是利用超前相角补偿系统的滞后相角，改善系统的动态性能，如增加相位裕度，提高系统的稳定性等。

下面先求取超前校正的最大超前相角m ?及取得最大超前相角的频率m ω， 则像频特性：

（1-5）

当 则有： (1-6)

T a m 1

=

ω （1-7）

()()()221T 1d ωωω?ωT T a aT d c +-+=()()()ωωω?T aT arctan arctan c -=()ωω?d c d

11arcsin 21arctan 111

arctan +-=-=+-

a a a a a

a

a a 从而有：

a

a T a T T a aT 1

arctan

arctan 1arctan 1arctan m

-=-=? = （1-8）

即当T

a m 1=ω时，超前相角最大为11

arcsin m

+-=a a ?，可以看出m ?只与a 有关这一点对于超前校正是相当重要的 。

1.3. 系统参数设计步骤

（1） 根据给定的系统性能指标，确定开环增益K 。

（2） 利用已确定的开环增益K 绘制未校正系统的伯德图,在这里使用MATLAB 软件来绘制伯德图显得很方便,而且准确。

（3） 在伯德图上量取未校正系统的相位裕度和幅值裕度，在这里可以利用MATLAB 软件的margin 函数很快计算出系统的相角裕度和幅值裕度并绘制出伯德图。然后计算为使相

位裕度达到给定的指标所需补偿的超前相角0

0εγγ?+-=?其中γ为给定的相位裕度指标，0γ为未校正系统的相位裕度，ε0为附加的角度。（当剪切率为-20dB 时，ε0可取5-10°，

剪切率为-40dB 时，ε0可取10-15°，剪切率为-60dB 时，ε0可取15-20°。） （4） 取m ??=?，即所需补偿的相角由超前校正装置来提供，从而求出m

m

sin -1sin 1a ??+=求

出a 。

（5） 取未校正系统的幅值为-10lga(dB)时的频率作为校正后系统的截止频率c ω。为使超

前校正装置的最大超前相角出现在校正后系统的截止频率c 'ω上，即

。 （6） 由T

a 1

m =

ω计算出参数T ，并写出超前校正传递函数。 （7）检验指标：绘制系统校正后的伯德图，检验是否满足给定的性能指标。当系统仍不能满足要求时增大ε值，从步骤3开始重新计算设计参数啊a 和T 。

c m '

ωω=

2. 控制系统的超前校正设计

2.1. 控制系统的任务要求

已知一单位反馈系统的开环传递函数是

)

5.01)(05.01()(s s s K

s G ++=

要求系统跟随2r/min 的斜坡输入产生的最大稳态误差为2°，

45≥γ。

2.2. 校正前系统分析

系统由于要求要求系统跟随2r/min 的斜坡输入产生的最大稳态误差为2°，所以：

s rad

1260

3602R =?= ss e 02<=K R

故可以取K=6。故待校正的系统的开环传递函数为：

()()()s

5.01s 05.01s 6

s G ++=

s

s 55.0s 025.06

2

3++=

可以用MATLAB 画出该最小相位系统的伯德图。程序如下： num=[6];

den=[0.025 0.55 1 0]; bode(num,den); Grid

从而得到未校正系统的伯德图，如图2-1。

利用软件MATLAB 中的margin 函数又可以很方便的地得出系统未校正的相角裕度和幅值裕度。程序如下： num=[6];

den=[0.025 0.55 1 0]; margin(num,den);

从而得到图2-2，从中可以知道系统的的幅值裕度和相角裕度。

图2-1 校正前系统的伯德图

图2-2 校正前系统的相角裕度和幅值裕度

从图2-2中，得知系统未校正前：

相角裕度r =23.3

穿越频率wg =6.32

截止频率wc =3.17 也可以利用allmargin函数直接得出所有结果，程序如下：num=[6];

den=[0.025 0.55 1 0];

f=tf(num,den)

S= allmargin(f)

运行得到结果如下：

Transfer function:

6

------------------------

0.025 s^3 + 0.55 s^2 + s

S =

GainMargin: 3.6667

GMFrequency: 6.3246

PhaseMargin: 23.2920

PMFrequency: 3.1654

DelayMargin: 0.1284

DMFrequency: 3.1654

Stable: 1

与图2-2所得结果相一致。

显然0

γ，与题目要求不相符，需进行超前校正。

45

≤

再将未校正系统的根轨迹图绘制出，MATLAB程序如下：

num=[6];

den=[0.025 0.55 1 0];

rlocus(num,den)

grid

得到未校正系统的根轨迹图，如图2-3所示：

图2-3 未校正系统的根轨迹图

2.3. 校正系统的设计与分析

由于给定的相位裕度指标为045=γ，未校正系统的相位裕度为=0γ03.23，不妨设附加角

度为ε=15.3°，则：

037-=+=?εγγ?

取???=m ，从而求出m

m

sin -1sin 1a ??+=

求出a ：

4sin 1sin 1a =-+=m

m ??

设校正后的截至频率ω'c =ωm 则：

lg 10-17.3lg -lg 40m

=）（ω

48.4

m ≈ωrad/s 112.048.421

a 1T m

≈?==

ωs

()s

112.01s

448.0111++=

++=

Ts aTs s aG c 0.5s)0.05s)(1s)(1112

.01(s)

448.01(6)((s)G ++++=

s s G c s

s s s ++++=

234662.00866.00028.0 2.688s

6所以可得超前网络传递函数为：

为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器的增益需要提高4倍，否则不能保证稳态误差要求

加入校正环节之后的传递函数为：

在计算参数、确定开环传递函数之后，还必须使用其它的方法来进行检验，看所加的校正装置参数选择是否符合题意，满足要求。

在这里利用MATLAB 绘图来进行验证，用MATLAB 计算校正后的相角裕度和幅值裕度，程序如下： num1=[2.688 6];

den1=[0.0028 0.0866 0.662 1 0] margin(num1,den1)

得到如图2-4所示能计算相角裕度和幅值裕度的伯德图，校正后相角裕度

06.46=γ045?，截止频率为：4.71rad/s 。

再利用allmargin 函数直接得出所有结果，程序如下：

num1=[2.688 6];

den1=[0.0028 0.0866 0.662 1 0]

f=tf(num1,den1) S= allmargin(f) 得到的结果如下：

S = GainMargin: 5.1697 GMFrequency: 13.1152 PhaseMargin: 46.5623

PMFrequency: 4.7132 DelayMargin: 0.1724 DMFrequency: 4.7132

与图2-4所得的校正后的相角裕度06.46=γ045?，截止频率为：4.71rad/s 相一致，并满足

图2-4 校正后系统的相角裕度和幅值裕度用MATLAB画出校正以后系统的伯德图，

程序分别如下：

num1=[2.688 6];

den1=[0.0028 0.086 0.662 1 0];

bode(num1,den1)；

grid

得到校正后系统的伯德图2-5。

用MATLAB画出校正以后系统的根轨迹，

程序分别如下：

num2=[2.688 6];

den2=[0.0028 0.086 0.662 1 0];

rlocus(num2,den2) ；

grid

如下图，得到校正后系统的根轨迹图2-6。

图2-5 校正后系统的伯德图

图2-6 校正后系统的根轨迹图

2.4. 校正前后系统比较

运用MATLAB软件作系统校正前后的单位冲击响应曲线比较，程序如下：num1=[6];

den1=[0.025,0.55,1,0];

num2=[2.526,6];

den2=[0.0028,0.086,0.662,1,0];

t=[0:0.02:5];

[numc1,denc1]=cloop(num1,den1);

y1=step(numc1,denc1,t);

[numc2,denc2]=cloop(num2,den2);

y2=step(numc2,denc2,t);

plot(t,[y1,y2]);

grid ;

title('校正前后阶跃响应对比图');

xlabel('t(sec)');

ylabel('c(t)');

gtext('校正前');

gtext('校正后');

图2-7 校正前后阶跃响应对比图

得到校正前后阶跃响应对比图，如图2-7所示：

由上图可以看出在校正后：

a．加入校正装置系统的超调量明显减少了，阻尼比增大，动态性能得到改善。

b．校正后系统的调节时间大大减少，大大提升了系统的响应速度。

c．校正后系统的上升时间减小很多，从而提升了系统的响应速度。

因此，串入超前校正装置后，系统的超调量，调节时间都显著下降，系统的动态性能得到很大的改善。

比较校正前后伯德图2-1和2-5，可以得知系统经串联校正后，中频区的斜率变为

-20dB/dec，并占据频带范围也一定程度地变大了，从而使的系统的相角裕度增大，动态过程的超调量下降。因此，在实际运行中的控制系统中，其中频区斜率大多具有-20dB/dec 的斜率，由此可见，串联超前校正可使开环系统的截止频率增大，从而闭环系统的带宽也增大，使响应速度加快。

m

n z

p m

j j

n

i i --=

∑∑==1

1

a σ()???

?-++=∑∑n pjpi zjpi m pi 1k 2θ?πθ()???

?--+=∑∑n pjpi zjpi m zi 1k 2θ?π?3.手工绘制根轨迹和伯德图步骤

3.1.手工绘制根轨迹的步骤

在手工绘制根轨迹的过程中，要遵循根轨迹的八个法则，这八个法则也构成了绘制的步骤，在此以本次课程设计的未校正系统的根轨迹图2-3为例说明：

（1） 根轨迹的起点和终点；

根轨迹起于开环极点，终于开环零点，本例中起点极点有p1=0，p2=﹣20和p3=﹣2。零点都在无穷远处。

（2） 根轨迹的分支数、对称性和连续性；

根轨迹的分支数等于开环极点数n （n>m ），或者开环零点数m （m>n ），根轨迹对称于实轴，在本例中分支数等于n=3>m=0。

（3） 根轨迹的渐近线；

n-m 条根轨迹渐近线与实轴的交角和交点分别为：

，其中（k=0，1，2……） 和 可以求出本例中渐近线的交角分别是60°，180°，300°，交点为（﹣7.33 , 0），以交点为端点，三个交角的角度做三条射线，即为本例的三条渐近线，根轨迹就是沿着渐近线向无穷远处延伸。

（4） 根轨迹在实轴上的分布；

实轴上某一区域，若其右方的开环实数零、极点个数为奇数，则该区域必是根轨迹的一部分，如图2-3所示，在本例中，实轴上0到-2，从-20到-负无穷远处均是根轨迹。

（5） 根轨迹的分离点和分离角；

t 条根轨迹分支相遇，其分离点d 坐标由 确定， 为分

离角，在本例中，方程式为 解得d ≈﹣0.974，分离角为90°和270°

（6） 根轨迹的起始角和终止角；

起始角： 终止角：

m

n k -+=π

?)12(a ∑∑===m

1j n

1i i

j p -d 1z -d 1t k π

)12(+020

1

211=++++d d d

其中k=0,1,2,3…，本例中因为零点均在无穷远处，所以起始角分别为180°，0°和180°

（7） 根轨迹的与虚轴的交点；

根轨迹与虚轴的交点的K*值与ω值，可利用劳斯判据确定。 在本例中求得交点为（0 , j6.15）和（0，-j6.15 ）。 （8） 根之和；

可以用于检验根轨迹的正确性，判断根轨迹的走向。

3.2.手工绘制伯德图的步骤

对于任意的开环传递函数，可按典型环节分解，将组成系统的各典型环节分为三部分： 1） K/s v 或-K/s v （K>0）;

2) 一阶环节，包括惯性环节、一阶微分环节以及对应的非最小相位环节，交接频率为1/T ； 3）二阶环节,包括振荡环节、二阶微分环节以及对应的非最小相位环节,交接频率为ωn 。

记ωmin 为最小的交接频率，称ω<ωmin 为低频段。

开环对数幅频渐近线特性曲线的绘制可以按一下步骤进行，以伯德图2-1为例说明：

（1）开环传递函数典型环节分解， 可以分解为6/s ，两个一阶

环节： ；

（2）确定一阶环节、二阶环节的交接频率，将各交接频率标注在半对数坐标图的ω轴上，在本例中有两个交接频率，分别为：ω1=2和ω2=20；

（3）绘制低频段渐进特性线：开环系统幅频渐进特性的斜率取决于 ，因而直线的斜率为-20νdB/dec 。因为本例中的v=1，故低频渐进特性线的斜率为-20dB/dec 。但是为了确定该直线，还需要直线上的一点，有三种方法可以采取：

方法一：在ω<ωmin 范围内，任选一点计算， ； 方法二：取频率为特定值ω0=1，则 ； 方法三：取

为特定值0，则有 ； 在这里，选用方法二，可以求出L a (1)=15.56；

（4）作ω≥ωmin 频段渐进特性线：在此段上每两个相邻交接频率之间为直线，在每个交接频率点处，斜率发生变化，变化规律取决于该交接频率对应的典型环节的种类，本例中的两个一阶环节均属于-20dB/dec 的斜率变化典型环节。故在ω1=2之后的渐进特性线的斜率会变成-40dB/dec ，在ω2=20之后的斜率为-60dB/dec,到此开环对数幅频渐近线特性曲线基本完成。

()()()s 5.01s 05.01s 6

s G ++=s

5.011

s 05.011++和v

K

ω

()00a lg 20lg 20L ωωv K -=()K lg 201L a =()0a L ωv 1

0K =ω

结束语

此次任务是超前校正网络的设计，难点在于给定系统的传递函数使用频域法计算是需要测试的次数过多，计算量大，使用MATLAB软件极大方便了此次的任务量。通过这次课程设计,对课本知识又有了更深的理解，对校正过程中的静态速度误差系数，相角裕度，截止频率，超前角频率，分度系数，时间常数等参数有了更深理解并应用到了设计当中。

这次课程设计的一大考验就是MATLAB的应用，虽说之前有基础强化训练课程设计的经验，但是并没有具体到在自动控制系统上的应用，所以查阅和吸收相关资料是必须要掌握的，对于工科学生来说这一点尤其重要。有些问题在不会时看上去很手足无措，但是在看过资料后才发现也没有想象的那么难。

在设计过程中，通过使用MATLAB这款性能强大的软件对控制系统进行分析，也进一步熟悉了MATLAB语言及其在自动控制上的应用，例如MATLAB中计算单位阶跃响应函数step()，二维绘图函数plot()，根轨迹绘制函数rlocus()，伯德图绘制函数bode（）等等。书写课程设计说明书时使用WORD软件，也掌握了许多WORD编辑和排版技巧。

通过这次课程设计使我懂得了理论与实际相结合是很重要的，只有理论知识是远远不够的，只有把所学的理论知识与实践相结合起来，从理论中得出结论，才能真正为社会服务，从而提高自己的实际动手能力和独立思考的能力。

参考文献

[1]胡寿松.自动控制原理第五版.科学出版社,2007.

[2]Mohand Mokhtari,Michel Marie.赵彦玲，吴淑红，译.MATLAB与SIMULINK工程应用[M]，

北京：电子工业出版社，2002

[3]刘金琨，先进PID控制及其MATLAB仿真[M].北京：电子工业出版社，2003

[4]王琦，高军锋等．MATLAB基础与应用实例集萃．北京：人民邮电出版社，2007

[5]王万良.自动控制原理.北京：高等教育出版社，2008.

[6]楼顺天等.基于MATLAB7.x的系统分析与设计――控制系统.西安电子科技大学出版社