第二章 时间序列分析的基本概念

一、两种不同的平稳性定义
（一）严平稳(strictly stationary)时间序列
若时间序列{ X t }的概率分布不随时间的平移 而改变，则称{ X t }为严平稳时间序列.
即对于任何正整数 m和整数t1 t2 ... tm ，此 序列中的随机变量X t1 s , X t2 s ,..., X tm s 的联合分 布函数与整数 s 无关，亦即
注：①随机过程具有二元属性；
②随机过程是关于时间 t 的随机函数.
（三）随机序列（时间序列）
当 t 0,1,2,... 时，即时刻t只取整数时，随
机过程
X t , t T
可表示为 X t , t 0, 1, 2,...，
此时随机过程
X t 是离散时间t的随机函数，称
为随机序列，也称时间序列.
注：①仅研究随机序列中与平稳过程有关的序列；
②随机序列是一个无限维的随机向量.
二、时间序列的概率分布
（一）时间序列的有限维分布函数：
对于时间序列
...X 1, X0 , X1... 有如下定义：
1、时间序列的一维分布函数:指时间序列中每 个随机变量 X k的分布函数 Fk () k ..., 1,0,1... 2、时间序列的二维分布函数:指随机序列中任 意两个随机变量 X i、 X j 的联合分布函数 i, j ..., 1,0,1...; i j Fij (, )
③ 平稳序列的直观含义是序列中不存 在任何趋势性与周期性.
（三）严平稳与宽平稳的关系
1、区别 （1）严平稳的概率分布随时间的平移而不变， 宽平稳序列的均值和自协方差随时间的平移而 不变。 （2）一个严平稳序列，不一定是宽平稳序列； 一个宽平稳序列也不一定是严平稳序列。
2、联系 （1）若一个序列为严平稳序列，且有有穷 的二阶矩，那么该序列也必为宽平稳序 列。 （2）若时间序列为正态序列（即它的任何 有限维分布都是正态分布），那么该序 列为严平稳序列和宽平稳序列是相互等 价的。
三、时间序列的均值与协方差函数
（一）均值函数
对于时间序列 X t , t 0, 1, 2,... ，称
t EX t xdFt ( x) t 0, 1, 2...
为其均值函数，其中 EX t 表示在 t 固定时， 随机变量 X t 的均值. 注：均值函数 t 是离散时间 t 的函数，其实 质为一实数列，由{ X t }的一维分布族决定.
由此可见，严平稳就是其分布不随时间改变， 从而所有的统计特性随时间的平移而不变的 时间序列.
（二）宽平稳(weak stationary)时间序列
若时间序列{ X t }的均值与自协方差不随时间的 平移而改变，且所有二阶矩均存在，则称 { X t } 为宽平稳时间序列，简称{ X t } 为平稳序列.
n i i 0 i n n i
c 为任意常数
其中
n! C i!(n i )!
i n
例
1) Yt ( B) BX t ( B B ) X t X t 1 X t 2
2
2) (1 1 B)(1 2 B) X t [1 (1 2 ) B 12 B 2 ] X t X t (1 2 ) X t 1 12 X t 2
2
(1 2 B B 2 ) X t (1 B) X t ... X t (1 B ) X t
p p 2
k X t X t X t k (1 Bk ) X t
第二节
平稳时间序列
一、两种不同的平稳性定义 二、两个特殊的平稳序列 三、平稳序列的自协方差函数与自 相关函数 四、平稳序列的偏自相关函数
为对称非负定矩阵.
（三）自相关函数
1、定义 称
(t , s) (t , s) (t , t ) ( s, s)
为时间序列{ X t } 的自相关函数. 自相关函数 (t , s )描述了时间序列 { X t } 自身 的相关结构.
2、性质 （1） (t , t ) 1
2、性质
①对称性
(t, s) (s, t )
②非负定性
对任意正整数 m 和任意 m个整数 k1 , k2 ,...km ， 方阵 (k1 , k1 ) (k1 , km )
m (k , k ) (k , k ) m 1 m m
（二）时间序列的有限维分布族：
1、时间序列的一维分布族:指时间序列的所有 一维分布函数构成的全体
...F1, F0 , F1...
2、时间序列的二维分布族:指时间序列的所有 可能二维分布函数构成的全体
{Fij , i, j ... 1,0,1...; i j}
3、时间序列的有限维分布族:指时间序列的所 有可能有限维分布函数族构成的全体
（2）对称性
(t, s) (s, t )
（3）非负定性
四、时间序列的运算
是指对一个或几个时间序列进行运算而获得 新的时间序列.
（一）时间序列的线性运算
对于时间序列{ X t }, {Yt },
a, b R
令
tZ
Zt aX t bYt
则 {Zt } 为 {X t } 与 {Yt } 的线性运算所形成的 时间序列. 注： 若 EX t 0, EYt 0, 则 EZt 0
注：
注：若时间序列{X t } 的任何有限维分布均为正
态分布，则称{ X t } 为正态序列.
例1
X k , k 0, 1, 2,...是独立的随机序列，
1 f ( x) (1 x 2 )
{ X k }服从柯西分布，其概率密度函数为 且
证明{ X k } 是严平稳而不是宽平稳序列.
X t , t T
其中，T 表示时间 t 的变动范围，对每个 固定的时刻 t 而言，X t 是一随机变量，这些随 机变量的全体就构成一个随机过程.
（二）特征：
1、从顺序角度来看，随机过程是随机变量的 集合；构成随机过程的随机变量是随时间产生 的，在任意时刻，总有随机变量与之相对应. 2、从试验角度来看，若对事物变化的全过程 进行一次观测，得到的结果是时间的函数，但 对同一过程独立地重复多次进行观测，所得的 结果是不相同的.
即{ X t }满足如下条件：
(1) EX t , t T ; (2) EX t , t T ; (3) (t , s) E[( X t )(EX s )] (t s,0) t s
2
注：
① 三个条件的含义： 1）存在有限的二阶矩； 2）均值为和时间无关的常数； 3）自协方差函数和自相关函数只依赖于 时间的平移长度而与时间的起止点无关 （协方差结构的不变性）. ② 平稳序列又称为二阶矩平稳序列.
第二章 概念
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
时间序列分析的基本
随机过程与时间序列 平稳时间序列 平稳过程的样本特征 一般线性过程 线性差分方程
第一节
随机过程与时间序列
一、随机过程 二、时间序列的概率分布 三、时间序列的均值与协方差函数 四、时间序列的运算
一、随机过程
（一）定义：
在数学上，随机过程被定义为一组随机变量， 即
3、时间序列的有限维分布函数:指时间序列中 任意有限个随机变量 X i1 , X i2 ,..., X ik的联合分布函 数 Fi1i2...ik (, ,...) i1, i2 ,...ik ..., 1,0,1...; k 1, 2,..., n;
i1 , i2 ...ik 不全相等
pN
令
Z t a0 X t a1 X t 1 ... a p X t p (a0 a1 B ... a p B p ) X t
则 {Zt } 为{X t }的线性与延迟联合运算所形成 的时间序列.
延迟算子的性质
B 1
0
B (c X t ) c B ( X t ) c X t 1 , B ( X t Yt ) X t 1 Yt 1 (1 B ) (1) C B
（四）时间序列的非线性运算例如Zt X aX t
2 t
Yt 1 Zt 2 1 Yt 2
（五）时间序列的差分运算
1、P 阶差分 相距一期的两个序列值之间的减法运算 称为1阶差分运算，记为 X t ，即 X t X t X t 1 对1阶差分后序列再进行一次1阶差分， 2 称为原序列的2阶差分运算，记为 X t ，即
{Fi1i2 ...ik ,
i1, i2 ,...ik ... 1,0,1...; k 1,2..., n}
i1 , i2 ...ik 不全相等
（三）柯尔莫哥洛夫定理：
一个时间序列的概率分布可以由其有限维分 布族来描述.
注：在时序分析中，由于分布函数族的复杂
性，一般不直接对有限维分布进行统计分析， 而主要使用时间序列的各种数值特征量描述 该时间序列.
1 2
m s
的联合分布函数.
注： ① Ft (a1 ) Ft s (a1 ) 1 1
即任何时刻的一维分布函数都是一样的. ② Ft1 ,t2 (a1 , a2 ) Ft1 s,t2 s (a1 , a2 )
即二维及二维以上的联合分布函数只与时 间间隔有关，而与时间起点无关，间隔相 同的多维分布函数是相同的.
Ft1 ,t2 ,...,tm (a1, a2 ,...am ) Ft1 s,t2 s,...,tm s (a1, a2 ,...am )
其中，Ft ,t
1
2 ,...,tm
是X t , X t ,..., X t 1 2 m
的联合分布函数，