量子力学第一章习题
第一章量子力学基础例题与习题
第⼀章量⼦⼒学基础例题与习题第⼀章量⼦⼒学基础例题与习题⼀、练习题1．⽴⽅势箱中的粒⼦，具有的状态量⼦数，是A． 211 B． 231 C． 222 D． 213。
解：(C)。
2．处于状态的⼀维势箱中的粒⼦，出现在处的概率是多少？A．B．C．D．E．题⽬提法不妥，以上四个答案都不对。
解：(E)。
3．计算能量为100eV光⼦、⾃由电⼦、质量为300g⼩球的波长。
( )解：光⼦波长⾃由电⼦300g⼩球。
4．根据测不准关系说明束缚在0到a范围内活动的⼀维势箱中粒⼦的零点能效应。
解：。
5．链状共轭分⼦在波长⽅向460nm处出现第⼀个强吸收峰，试按⼀维势箱模型估计该分⼦的长度。
解：6．设体系处于状态中，⾓动量和有⽆定值。
其值是多少？若⽆，求其平均值。
解：⾓动量⾓动量平均值7．函数是不是⼀维势箱中粒⼦的⼀种可能的状态？如果是，其能量有没有确定值？如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？解：可能存在状态，能量没有确定值，8．求下列体系基态的多重性。
(2s+1) (1)⼆维⽅势箱中的9个电⼦。
(2)⼆维势箱中的10个电⼦。
(3)三维⽅势箱中的11个电⼦。
解：(1)2，(2)3，(3)4。
9．在0－a间运动的⼀维势箱中粒⼦，证明它在区域内出现的⼏率。
当，⼏率P怎样变？解：10．在长度l的⼀维势箱中运动的粒⼦，处于量⼦数n的状态。
求 (1)在箱的左端1/4区域内找到粒⼦的⼏率？(2)n为何值，上述的⼏率最⼤？(3)，此⼏率的极限是多少？(4)(3)中说明什么？解：11．⼀含K个碳原⼦的直链共轭烯烃，相邻两碳原⼦的距离为a，其中⼤π键上的电⼦可视为位于两端碳原⼦间的⼀维箱中运动。
取l＝(K－1)a，若处于基组态中⼀个π电⼦跃迁到⾼能级，求伴随这⼀跃迁所吸收到光⼦的最长波长是多少？解：12．写出⼀个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒⼦的薛定锷⽅程，求其解。
解：13．在什么条件下?解：14．已知⼀维运动的薛定锷⽅程为：。
量子力学第一章习题答案
量⼦⼒学第⼀章习题答案第⼀章1.1 由⿊体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极⼤值所对应的波长λm 与温度T 成反⽐，即λm T = b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。
解：⿊体辐射的普朗克公式为：)1(833-=kT h e c h νννπρ∵ v=c/λ∴ dv/dλ= -c/λ2⼜∵ρv dv= -ρλdλ∴ρλ=-ρv dv/dλ=8πhc/[λ5(ehc/λkT-1)] 令x=hc/λkT ,则ρλ=8πhc(kT/hc)5x 5/(e x -1)求ρλ极⼤值，即令dρλ(x)/dx=0，得：5(e x -1)=xe x可得： x≈4.965∴ b=λm T=hc/kx≈6.626 *10-34*3*108/(4.965*1.381*10-23)≈2.9*10-3（m K ）1.2√. 在0 K 附近，钠的价电⼦能量约为3电⼦伏，求其德布罗意波长。
解： h = 6.626×10-34 J ·s , m e = 9.1×10-31 Kg,， 1 eV = 1.6×10-19 J故其德布罗意波长为：07.0727A λ=== 或λ= h/2mE = 6.626×10-34/(2×9.1×10-31×3×1.6×10-19)1/2 ≈ 7.08 ?1.3 √.氦原⼦的动能是E=32KT （K B 为波尔兹曼常数），求T=1 K 时，氦原⼦的德布罗意波长。
解：h = 6.626×10-34 J ·s , 氦原⼦的质量约为=-26-2711.993104=6.641012kg , 波尔兹曼常数K B =1.381×10-23 J/K故其德布罗意波长为：λ= 6.626×10-34/ (2×-276.6410?×1.5×1.381×10-23×1)1/2≈01.2706A或λ= ⽽KT E 23=601.270610A λ-==?1.4利⽤玻尔-索末菲量⼦化条件，求：a ）⼀维谐振⼦的能量：b ）在均匀磁场作圆周运动的电⼦轨道的可能半径。
一二三习题答案
B18.原子轨道指的是下列的哪一种说法？
（A）原子的运动轨迹（B）原子的单电子波函数（C）原子的振动态（D）原子状态
C19.钠原子光谱D线是双重线，其原因是下列的哪一个：
（A）电子的轨道角动量（B）外磁场;（C）自旋轨道耦合（D）3p能级高
C20.对于原子中电子的总能量，下列的哪一个说法是正确的？
D15.如果氢原子的电离能是13.6 eV，则Li2+的电离能是下列的哪一个？
（A）13.6eV，（B）27.2 eV；（C）54.4 eV；（D）122.4 eV
A16.在氢原子中，对于电子的能量，下列的哪一种说法正确？
（A）只与n有关；（B）只与l有关；（C）只与m有关；（D）与n和l有关
B17.测量3d态氢原子的轨道角动量的z轴分量，可得到几个数值？
（C）动量一定有确定值；（D）几个力学量可同时有确定值；
7.试将指数函数e±ix表示成三角函数的形式cosex±isinex
8.微观粒子的任何一个状态都可以用波函数来描述；ψψ*表示粒子出现的概率密度。
D9.Planck常数h的值为下列的哪一个？D
（A）1.38×10-30J/s（B）1.38×10-16J/s（C）6.02×10-27J·s（D）6.62×10-34J·s
(A)CA=0.90,CB=0.10；（B）CA=0.95,CB=0.32；
(C)CA=CB；（D）CA=0.10,CB=0.90；
B7.下列分子的基态中哪个是三重态？
（A）F2（B）O2（C）N2（D）H2+
B8.对分子的三重态，下列哪种说法正确？
（A）分子有一个未成对的电子（B）分子有两个自旋平行的电子
（A）Zeeman（B）Gouy（C）Stark（D）Stern-Gerlach
量子力学第一章作业
量子力学 第一章 习题一、填空题1． 普朗克（Planck ）常数h 的数值是 ，普朗克（Planck ）常数ħ和h 之间的关系是 ，普朗克（Planck ）常数ħ的数值是 。
2． 索末菲（Sommerfeld ）的量子化条件是 。
3． 德布罗意（de Broglie ）公式是 。
二、问答题1．什么是黑体（或绝对黑体）？根据普朗克（Planck ）黑体辐射规律（教材第二页1.2.1式），试讨论辐射频率很高（趋于无穷大）和很低（趋于零）时的黑体辐射规律，并与维恩公式、瑞利——金斯公式相比较。
请给出波长在λ到λ+d λ之间的辐射能量密度规律。
2．什么是光电效应？光电效应的实验特点是什么？经典物理在解释光电效应时的困难是什么？采用爱因斯坦（Einstein ）的光量子假设后，光电效应是如何解释的？3．光子有什么特点？爱因斯坦关于光子能量、动量和光子频率、波长之间的关系是什么？这个关系反映出光子的什么特征？4．什么是康普顿效应？试由Einstein 的光量子说，利用能量动量守恒，解释Compton 效应。
康普顿效应说明了什么？和光电效应相比，入射光子能量哪个大，并说明理由。
5．玻尔的氢原子模型内容是什么？试根据玻尔的氢原子模型给出里德堡（Rydberg ）常数和氢原子第一玻尔半径的表达式和数值结果。
并说明为什么玻尔的量子论是半经典的半量子的？三、多项选择题1．说明微观粒子具有波动性的现象有 说明电磁波具有粒子性的现象有(a)以太漂移说 (b)黑体辐射 (c)光电效应(d)康普顿（Compton ）效应 (e)原子结构和线性光谱 (f)电子的双缝衍射 (g)戴维逊（Davisson ）——革末（Germer ）实验(h)迈克尔逊（Michelson ）——莫雷（Monley ）实验四、计算题1． 教材习题(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)2． 设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
第一章 量子力学基础习题1
sin β φ = sin (φ + 2π )
若上式成立, 若上式成立,则:
β =n
β 2π = n 2π
n = 0,±1,±2,
n 2 2 E = 2 ma 2
β = n2
inφ
Φ (φ ) = ce
=
1 inφ e 2π
习题
1.26正方体箱中的粒子处于状态和时,其几率密度最大处的 正方体箱中的粒子处于状态和时, 正方体箱中的粒子处于状态和时 坐标是什么?若不考虑边界,各有几个节面? 坐标是什么?若不考虑边界,各有几个节面?表示这些节面 的方程是什么?这些节面将整个正方体箱分成几个部分? 的方程是什么?这些节面将整个正方体箱分成几个部分?你 能不能不用计算而直接得出这些答案? 能不能不用计算而直接得出这些答案?
基本知识
5.态叠加原理
为某一微观体系的可能状态, 若Ψ1, Ψ2, Ψi, Ψn为某一微观体系的可能状态,由 它们线性组合也是该体系的可能状态. 它们线性组合也是该体系的可能状态.
Ψ = c1ψ 1 + c2ψ 2 + … cnψ n = ∑ ciψ i
i =1
n
式中Ci是任意常数,数值的大小反应了Ψi对Ψ的贡献 的大小.
A
x
z
θ
r
o
z
y
y
体系的能量 算符
x
P
2 1 2 1 = H [ 2 (r )+ 2 (sin θ ) 2m r r r r sin θ θ θ 1 2 + 2 2 ] + V (r ) 2 r sin θ φ
习题
因为是自由粒子, 因为是自由粒子,V(r)=0.又因为 .又因为r=a 因此体系的能量算符变为
Sakurai. Modern Quantumn Mechanics 习题答案(chapter 1 )
3
∞
< x 2 >=
−∞
2 ∫ dx' < α | x' > x' < x'| α >
y = x '−< x > ∞
=
−∞
∫ dy < α | y + < x >> ( y + < x >)
2
< y + < x >| α >
= d 2 + < x >2 < (∆x) 2 >= d 2 Also : h2 < (∆p) >= 4d 2
^
^
h ⎛ cos γ ⎜ 2⎜ ⎝ sin γ
sin γ ⎞ ⎟ − cos γ ⎟ ⎠
⎛ c1 ⎞
h ⎛ cos γ ⎜ 2⎜ ⎝ sirγ
（1） 、求： S x = 解答： S x =
γ⎞ ⎛ ⎜ cos ⎟ sirγ ⎞⎛ c1 ⎞ h ⎛ c1 ⎞ 2⎟ ⎟⎜ ⎜c ⎟ ⎟ ⇒ψ = ⎜ ⎜c ⎟ ⎟ = 2⎜ γ − cpsγ ⎟ ⎜ ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎜ sin ⎟ ⎟ 2⎠ ⎝
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ 当 A‘=-a 时，对应 B’=b，要求α=0，γ=iβ，取归一化得 − a, b = ⎜ ⎜ ⎜i ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ 0 ⎟ 1 ⎟ ⎟ 2 ⎟ 1 ⎟ ⎟ 2⎠
5
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ 当 A‘=-a 时，对应 B‘=-b，要求α=0，γ=—iβ，取归一化得 − a,−b = ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜− i 1 ⎟ ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝
4
⎛α ⎞ ⎜ ⎟ （3） 、解答：因为 A，B 对易，所以有共同本征态，设其共同本征态为 ⎜ β ⎟ ，本征值为 A`， ⎜γ ⎟ ⎝ ⎠
量子力学教程（二版）习题答案
第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b bTm3109.2 ,×´==-l 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：由普朗克黑体辐射公式：n n p nr n nd ec hd kTh 11833-=， 及ln c=、l ln d c d 2-=得1185-=kThcehc l l l p r ，令kT hc x l =，再由0=l r l d d ，得l .所满足的超越方程为所满足的超越方程为15-=x x e xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m l ，将数据代入求得C m 109.2 ,03×´==-b b T ml 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=´»==-mEh p h l # 1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。
波长。
解：010A 63.12m 1063.1232=´»===-mkT h mE h p h l其中kg 1066.1003.427-´´=m ，123K J 1038.1--×´=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--×´=B m ，求动能的量子化间隔E D ，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E mw m +=可以化为()12222222=÷÷øöççèæ+mw m E q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2mw m Eb E a ==，相空间面积为，相空间面积为,2,1,0,2=====òn nh EE ab pdq nw pp 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E n方法2：一维谐振子的运动方程为02=+¢¢q q w ，其解为，其解为()j w +=t A q sin速度为速度为 ()j w w +=¢t A q c o s ，动量为()j w mw m +=¢=t A q p cos ，则相积分为，则相积分为 ()()nh T A dt t A dt t A pdq T T ==++=+=òòò2)cos 1(2cos 220220222mw j w mw j w mw ， ,2,1,0=n nmw nh T nh A E ===222， ,2,1,0=n （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
第一章 量子力学基础习题20111019
E
0 a 0
a
Hdx
(4 E1 9 E 2 ) 1 (4 E1 9 E 2 ) 2 49 13 dx
1 h2 4h 2 (4 9 ) 2 2 13 8m a 8m a 5h 2 13m a2
习题
1.49-51 处于状态的一维箱中的粒子的动量和动量平方有无 确定值，若有，求确定值；若没有，求平均值。
基本知识
5.态叠加原理
若Ψ1、 Ψ2、••• Ψi、••• Ψn为某一微观体系的可能状态，由 它们线性组合也是该体系的可能状态。
c1 1 c2 2 cn n ci i
i 1
n
式中Ci是任意常数，数值的大小反应了Ψi对Ψ的贡献 的大小。
ˆ A i ai i a
基本知识
4.Schrodinger方程
在量子力学中，决定微观体系运动状态的是定态Schrodinger 方程:
ˆ H (r) E (r )
2 2 [ V (r )] (r ) E (r ) 2m
实质是能量算符的本征方程。 解法：一维箱 精确求解 三维箱 分离变量法 平面刚性转子
Ci ai
2
C
2 i
ci ai
i 1
n
2
基本知识
三.简单应用
1.一维箱中粒子
n 2 x sin x x a a
h2 2 E nx 8m a2
2.三维箱中粒子 三个方向一维箱的叠加。
n y nx 8 n ( xyz) sin x sin y sin z z abc a b c
n 解： ＝ 83 sin n x x sin yx y sin nz z a a a a
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第一章 绪论
1.1. 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即
b T m =λ(常量)
并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字.
解: 能量密度公式 581
hc kT hc d d e λλπλ
ρλλ=-
则可由
0=λρλ
d d 解得 m λ 05111186=⎪⎭⎫
⎝⎛---=λλλλλλπλρkT hc kT hc kT hc e e kT hc e hc d d , 亦即 051
1
=--λλλkT hc kT hc e e kT hc
若令
x kT hc
m =λ, 则 051
1=--x x e xe 即 015
=-+-x e x
这是个超越方程,用计算机做出()51x f x e x -=+-的函数图,容易看出当0,5x =附近近似地满足上述方程(舍去0x =的解),用计算机编程求出其数值解为
96514.x ≈ 显然 23
8
23
6.62610 2.991028971.3810 4.9651
m hc T kx λ--⨯⨯⨯===⨯⨯⋅⋅米度微米度 绘图程序: >>clear x=0:0.01:8; y=exp(-x)+x/5-1; plot(x,y,'-k' ,'LineWidth',2)
title('\fontsize{18}\rmf(x)=e^-^x+x/5-1的图像', 'Color','k') xlabel ('\fontsize{14}\rmx', 'Color','k') ylabel ('\fontsize{14}\rmf(x)', 'Color','k') axis ([0 8 -0.8 0.8]) grid on %end 计算程序:
1.在文件编辑区建立待求方程组文件并保存： function F = myfun(x)
F = exp(-x)+x/5-1 % Compute function values at x 2. 在MATLAB 的命令窗口求解： >>clear
x0=1 %建立初始量
题1.1图
fsolve(@myfun,x0, optimset('fsolve')) %解非线性方程 ans = 0 >>clear
x0=5 %建立初始量 fsolve(@myfun,x0, optimset('fsolve')) %解非线性方程 ans = 4.9651
1.2. 在K 0附近,钠的价电子能量约为3电子伏特,求其德布罗意波长. 解: 因 E
h p
h μλ2==
而 1212
1084106133--⨯=⨯⨯==..eV E (尔格)
故
()27
2780206.626107.0827107.08279.3466610
A cm λ----⨯=
==⨯=⨯ 1.3. 氦原子的动能是kT E 2
3
=
(k 为波尔茨曼常数),求K T 1=时,氦原子的德布罗意波长. 解: 在c v <<的情况下,E p μ2=,故 E
h p h μλ2==. 对于氦原子16
103812
323-⨯⨯==.kT E (尔格),24241068610
6714--⨯=⨯⨯=..μ(克
), ()27
801.210 1.2A cm λ--==⨯=
1.4. 利用波尔-索莫菲的量子化条件,求: (1) 一维谐振子的能量;
(2) 在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径. 已知外磁场10=H 特斯拉,玻尔磁子24
10
9-⨯=B M 焦耳/特斯拉,试计算动能的量子化间
隔E ∆,并与K T 4=及K T 100=的热运动能量相比较.
解: 波尔-索莫菲的量子化条件表示为 ⎰
==Λ3210,,,n h n dq p i i i i
(1) 求一维谐振子的能量
一维谐振子的能量 2222
1
2q p E μωμ+=
整理为如下形式: (
)
1222
222
2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
μωμE q E
p
这是椭圆方程,长短半轴b ,a 为
E a μ2=, 2
2μωE
b =
.
于是
⎰==
==nh E
ab pdq ω
ππ2椭圆面积
由最后一个等式,立即得到:
π
ω2321h ,,n ,n E =
==ηΛ
η其中 (2) 求电子轨道的可能半径
电子在垂直于磁场方向的平面里以某一确定的线速度v 作半径为R 的圆运动,则角动量就是广义动量
Rv p μϕ=
对应的广义坐标为ϕ,则
()Rv d Rv d p nh πμϕμϕπ
ϕ220
==
=⎰⎰
由上式得
R
nh
v πμ2=
(1) 另一方面,电子在均匀磁场中作圆周运动的力R v 2
μ来源于电子所受到的罗仑兹力evB ,即
2
v evB R
μ=
亦即
eBR
v μ
=
(2)
比较(1)和(2),消去v 便得到
1,2,3R n =
=L 现在来研究电子的能量.先讨论电子的动能：
222222*********B e B R e B n e T v nB nBM eB μμμμμμ=====h h (2B
e M μ
=h 波尔磁子) 其次讨论电子的势能. 电子作圆周运动相当于有一个磁矩μ，取磁场方向B 为正方向. 则磁矩
222
v evR
m iA e R R ππ==-=-
2v R
π代表电子作圆周运动的频率，i 是电流强度，2
A R π=是电流环的面积. 综合上述结果得 22222222evR eR eBR e
B e B n e m R n eB μμμμ
=-=-=-=-=-h h
因此与磁场B 的作用能为
2eB
V mB n μ
=-=h
所以带电粒子总能量为
222B eB
e E T V n n
B nM B μ
μ
=+===h
h。
动能的量子化间隔为：B T BM ∆=。
具体到本题，有
242310910910T J J ∆--=⨯⨯=⨯
根据动能与温度的关系式
3
2
T E kT =
(为区别起见，此处用T E 代表动能) 以及
323110 1.610k K eV J --⋅==⨯
可知，当温度4T K =时
232233
4 1.6109.61022
T E kT J J --==⨯⨯⨯=⨯
可知，当温度100T K =时
232033
100 1.610 2.41022
T E kT J J --==⨯⨯⨯=⨯
显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量间隔。
1.5. 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对.如果两光子的能量相等,问要实现这种转化,光子的波长最大是多少?
解: 反应可以表示为 +
+→e e γ2
正负电子的能量 224202p c c m E +=,设产生的正、负电子静止,即0=p ,2
0c m E =,
这能量来自光量子λνc
h
h E ==,所以光子的最大波长(对应于最小能量)为:
8
3134020024010
99821019106266A ....c m h c m hc E hc =⨯⨯⨯⨯====--λ。