精品解析：北京市北京一零一中学2019-2020学年高二第一学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020年北京市西城区高二数学上学期期末考试试题(理)(有答案)-优质版
北京市西城区高二数学上学期期末考试试题理试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 已知点)1,0(-M ,)3,2(N . 如果直线MN 垂直于直线032=-+y ax ，那么a 等于_______.11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1,AD BD 所成角 的余弦值为_________.12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的 侧视图的面积为_________.13. 设O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物 线上一点. 若3PF =，则OPF △的面积为_________.正（主）视图俯视图14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）如图,PA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,22AB PA BC ===,M 为PB 的中点. (Ⅰ)求证AM ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值.ABCDPEAB CPM17．（本小题满分13分）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y +-+=. (Ⅰ)当直线l时，求l 与圆C 相交所得的弦长；(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程.18．（本小题满分13分）已知1F 为椭圆22143x y +=的左焦点，过1F 的直线l 与椭圆交于两点,P Q . （Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45，求PQ ；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k (0)k ≠，点P 关于原点的对称点为P '，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，P Q ''所在直线的斜率为k '. 若2k '=，求k 的值.19．（本小题满分14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,//DC AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =,2BC CD EA ED ====.（Ⅰ）求证BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F ，使得平面B D F ⊥EABCD平面CDE ，请说明理由.20．（本小题满分14分）如图，过原点O 引两条直线12,l l 与抛物线21:2W y px =和22:4W y px =（其中p 为常数，0p >）分别交于四个点1122,,,A B A B .（Ⅰ）求抛物线12,W W 准线间的距离； （Ⅱ）证明：1122//A B A B ；（Ⅲ）若12l l ⊥，求梯形1221A A B B 面积的最小值.北京市西城区第一学期期末试卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C ；2.D ；3. B ；4. D ；5. B ；6. A ；7. C ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1；12.；14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解 (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）解 (Ⅰ)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥. 因为BC AB ⊥，PAAB A =，所以BC ⊥平面PAB . ……………2分 所以AM BC ⊥. ……………3分ABCDPE O因为PA AB =，M 为PB 的中点， 所以AM PB ⊥. ……………4分 所以AM ⊥平面PBC . ……………5分 (Ⅱ)如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，则,,AP AB AZ 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)A P B C M .(2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM = . ……………8分设平面APC 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x y z =⎧⎨+=⎩ 令1y =，则2z =-.所以(0,1,2)=-n . ……………10分由(Ⅰ)可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量， 设,AM n 的夹角为α，则cos 5AM AMα⋅===n n . ……………12分 因为二面角A PC B--为锐角， 所以二面角A PC B --……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，直线l的方程为y =，圆C 圆心为(0,3)，………3分所以，圆心到直线l=……………5分所以，所求弦长为……………6分 (Ⅱ) 设11(,)A x y ，因为A 为OB 的中点，则11(2,2)B x y . ……………8分 又,A B 圆C 上，所以 22111640x y y +-+=，22111441240x y y +-+=，即22111310x y y +-+=. ……………10分解得11y =，11x =±， ……………11分即(1,1)A 或(1,1)A -. ……………12分 所以，直线l 的方程为y x =或y x =-. ……………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由已知，椭圆的左焦点为(1,0)-，又直线l 的倾斜角为45，所以直线l 的方程为1y x =+， ……………1分 由221,3412y x x y =+⎧⎨+=⎩得27880x x +-=， ……………3分所以1287x x +=-，1287x x =-. ……………4分24||7PQ ===. ……………5分（Ⅱ）由22(1),3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(34)84120k x k x k +++-=， ……………6分 所以2122834k x x k -+=+，212241234k x x k -=+. ……………8分依题意1122(,),(,)P x y Q x y ''---，且11(1)y k x =+，22(1)y k x =+， 所以，12121212()y y k x x k x x x x --'==++， ……………10分其中12x x -== ……………11分结合2122834k x x k-+=+，可得k '=2=. ……………12分 解得279k =，k =……………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由BC CD ⊥,2BC CD ==.可得BD =由EA ED ⊥,且2EA ED ==，可得AD =又4AB =. 所以BD AD ⊥. …………2分 又平面EAD ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面ADE . ……………4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,B ，(C ，E ，(2,BE =-，(2,0,DE =,(DC =. …………6分设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ,0DC ⋅=n ， 即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩ 令1x =，则(1,1,1)=-n . ……………7分设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，则||sin |cos ,|||||BE BE BE ⋅=<>===⋅αn n n . ……………8分所以BE 和平面CDE 所成的角的正弦值3. ……………9分 （Ⅲ）设CF CE =λ,[0,1]λ∈.又(DC =,CE =,(0,BD =-. 则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ. ……………10分设(,,)x'y'z'=m 是平面BDF 一个法向量,则0BD ⋅=m ，0DF ⋅=m ， 即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ……………11分令1x'=,则21(1,0,)λλ-=-m . ……………12分若平面BDF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE . ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线12,W W 的准线分别为2px =-和x p =-， ……………2分所以，抛物线12,W W 准线间的距离为2p. ……………4分 （Ⅱ）设11:l y k x =，代入抛物线方程，得12,A A 的横坐标分别是212p k 和214pk . ………5分 12||||OAOA 12==，同理12||1||2OB OB =， ……………7分 所以1122OA B OA B △△，所以1122//A B A B . ……………8分 （Ⅲ）设111(,)A x y ，122(,)B x y ，直线11A B 方程为111:A B l x ty m =+，代入曲线22y px =，得21220y pty pm --=，所以122y y pt +=，1212y y pm =-. ……………9分由12l l ⊥，得12120x x y y +=，又2112y px =，2222y px =，所以221212204y y y y p+=，由1212y y pm =-，得12m p =. ……………11分 所以直线11A B 方程为11:2A B l x ty p =+， 同理可求出直线22A B 方程为22:4A B l x ty p =+.所以1112||2A B y =-=， ……………12分22||4A B =平行线11A B l 与22A B l之间的距离为d =，所以梯形1221A A B B的面积11221()62S A B A B d p =+⋅= ……………13分 212p ≥当0t =时，梯形1221A A B B 的面积达最小，最小值为212p . ……………14分。
2019北京101中学高二(上)期末数学试卷及答案
2019北京101中学高二（上）期末数学一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
1.已知z轴上一点N到点A（1，0，3）与点B（－l，1，－2）的距离相等，则点N的坐标为（）A. （0，0，）B. （0，0，）C. （0，0，）D. （0，0，）2.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（）A. BD与CF成60°角B. BD与EF成60°角C. AB与CD成60°角D. AB与EF成60°角3.若椭圆+=1（a>b>0）的焦距为2，且其离心率为，则椭圆的方程为（）A. +=1B. +=1C. +=1D. +=14.5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（）A. 24种B. 48种C. 96种D. 120种5.某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图。
如果该公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有（）A. 6人B. 7人C. 8人D. 9人6.某中学从4名男生和4名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A. 68种B. 70种C. 240种D. 280种7.在（）5的展开式中，第4项的二项式系数为（）A. 10B. －10C. 5D. －58.某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是，构造数列{}，使得记+a2+…a n（n∈N+），则的概率为（）A. B. C. D.9.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则（）A. B. C. D.10.下图中有一个信号源和五个接收器，接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。
若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器不能同时接收到信号的概率是（）A. B. C. D.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市一零一中学高二上学期期末考试(数学理).doc
北京一零一中－第一学期期末考试高 二 数 学（理科）一、选择题：本大题共8小题，共40分.1. 已知,αβ是两个不同平面，直线m α⊂，那么“m β⊥”是“αβ⊥”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件 2．如图所示是一个几何体的三视图，则在此几何体中，直角三角形的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．椭圆221x my +=的离心率为2，则m 的值为（ ）A ．2B ．14C ．2或12D ．14或4 4．设抛物线28y x =上一点M 到y 轴的距离为4，则点M 到该抛物线焦点的距离是（ ） A ．12B ．8C ．6D ．45．已知3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是单调增函数，则a 的最大值为 ( ) A ．3 B ．2C ．1D ．06.已知()f x 的导函数'()(1)()f x a x x a =+-，若()f x 在x a =处取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,0)-C ．(,1)-∞-D ．(,0)-∞7．如图，E 为正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA 的中点，F 为棱AB 上一点，190C EF ∠=，则:AF FB = （ ）A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:48．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率为（ ）D.3二、填空题：每小题5分，共30分.9．函数()ln f x x x =-的单调减区间是 .10.已知1F 、2F 是椭圆22:1259x y C +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，且1290F PF ∠=，则12PF F ∆的面积.主视图侧视图俯视图22111C 1A 1CA BB 1DD 1FE11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1A D 与1BC 所成角为90，则直线1BC 与平面11BB D D 所成角的大小为_________.12．函数()y f x =的图象在点(3,(3))f 处的切线方程是4y x =-+，则(3)'(3)f f +等于___________.13．已知直线l 过点(0,2)，且与抛物线24y x =交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，则1211y y +=________．14．如图，正四面体ABCD 的顶点A 、B 、C 分别在两两垂直的三条射线Ox 、Oy 、Oz 上，给出下列四个命题： ①多面体O ABC -是正三棱锥； ②直线//OB 平面ACD ；③直线AD 与OB 所成的角为45；④二面角D OB A --为45.其中真命题有_______________（写出所有真命题的序号）.参考答案一、选择题：本大题共8小题，共40分。
北京市101中学19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
北京市101中学19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设z=2−2i1+i，则｜z｜=()A. √2B. 2C. √5D. 32.设a,b,c分别是ΔABC中所对边的边长，则直线bx−sinBy−c=0与sinAx+ay+sinc=0的位置关系是()A. 平行B. 重合C. 垂直D. 相交但不垂直3.下列命题中正确的是()A. 命题“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”；B. 命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题；C. l为直线，α、β为两个不同的平面，若l⊥α，α⊥β，则l//β；D. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题；4.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A—BC—D的平面角最大时，其正切值为()A. √33B. 12C. √23D. 145.已知两圆C1：(x−4)2+y2=169，C2：(x+4)2+y2=9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A. x264−y248=1 B. x248+x264=1 C. x248−y264=1 D. x264+y248=16.已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点D到y轴的距离为()A. 34B. 1 C. 54D. 747.已知四棱锥S−ABCD的底面是边长为2的正方形，AC、BD相交于点O，SO⊥面ABCD，SO=2，E是BC的中点，动点P在该棱锥表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为( )A. √2+2B. √2+√3C. √2+√6D. √2+√628. 已知P(1,√3)是双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=l(a >0,b >0)渐近线上的点，则双曲线C 的离心率是( )A. 2B. √2C. √5D. √52二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 9. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)右支上一点P 到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的范围为________．10. 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为____．11. 已知两点P(−2,2)，A(2,2)，动直线l 过点A ，直线PM 垂直l 于点M ，则PM 的中点的轨迹方程是________．12. 过M(12,1)的直线l 与圆C:(x −1)2+y 2=4交于A,B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．13. 设F 1，F 2分别是椭圆x 2+y 2b 2=1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线与椭圆相交于A,B 两点，且|AB|=43，则b 的值为____．14. 在四面体ABCD 中，设AB =1，CD =√3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为π3，则四面体的体积等于________．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 15. 已知复数z 满足|z|=√2，z 2的虚部是2．(1)求复数z ．(2)设z ，z 2，z −z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．16. 在如图所示的坐标系中，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，已知AB =2，AA 1=1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于点E ，F 是A 1B 1的中点． (Ⅰ)求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值； (Ⅱ)求直线AA 1与平面BDF 所成角的正弦值．17. 在图所示的五面体中，面ABCD 为直角梯形，∠BAD =∠ADC =π2，平面ADE ⊥平面ABCD ，EF =2DC =4AB =4，EF//CD ，△ADE 是边长为2的正三角形． (1)证明：BE ⊥平面ACF ；(2)若点P 在线段EF 上，且二面角P −BC −F 的余弦值为√108，求EP PF 的值．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x−y−2=0，抛物线C：y2=2px(p>0)．(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为(2−p,−p)；②求p的取值范围．19.一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB 所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l与两定直线l1：x−2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：z=2−2i1+i =(2−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−4i2=−2i，｜z｜=2．故选B．2.答案：C解析：本题考查直线的斜率，正弦定理的应用，基本知识的考查．求出两条直线的斜率，结合正弦定理即可判断两条直线的位置关系．解：a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA⋅x+ay+sinC=0的斜率为：−sinAa，bx−sinB⋅y−c=0的斜率为：bsinB，∵−sinAa ⋅bsinB=−sinA2RsinA⋅2RsinBsinB=−1，∴两条直线垂直．故选C．3.答案：A解析：本题考查四种命题、全称命题及特称命题的真假判断，要弄清条件和结论再解决问题．解：对于A，全称命题的否定是将任意改成存在，将结论否定，故命题“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”，A正确；对于B，命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是若a<b，则am2<bm2，显然当m2=0时不成立，故我j假命题，B错误；对于C，当l⊂β时，也满足l⊥α，α⊥β，故C错误；对于D，当命题“p∧q”为真命题时，p，q都是真命题时才为真，故D错误．4.答案：B解析：本题考查二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，注意运用面面垂直的性质定理，考查运算求解能力，是难题．过A作DM的垂线，垂足为E，交CD于F，交BC于G，设A在平面BCD内的射影为O，则O在直线EG上，过O作BC的垂线，垂足为H，则∠AHO为二面角A−BC−D的平面角，通过辅助角公式和正弦函数的值域，解不等式可得所求正切值．解：在图1中，过A作DM的垂线，垂足为E，交CD于F，交BC于G，在图2中，设A在平面BCD内的射影为O，则O在直线EG上，过O作BC的垂线，垂足为H，连接AH，则∠AHO为二面角A−BC−D的平面角，设∠AEO=θ，(0<θ<π)，AE=√22，AO=AEsinθ=√22sinθ，由∠GAB=45°，可得AG=2√2，OG=2√2−√22−√22cosθ=2√2−√22(1+cosθ)，OH=√22OG=2−12(1+cosθ)，即有tan∠AHO=AOOH =√22sinθ2−12(1+cosθ)=√2⋅sinθ3−cosθ(0<θ<π)，令t=sinθ3−cosθ>0，0<θ<π，可得sinθ+tcosθ=3t≤√t2+1，解得0<t≤√24，则tan∠AHO≤12．所以当二面角A−BC−D的平面角最大时，其正切值为12．5.答案：D解析：解：设动圆圆心M(x,y)，半径为r ，∵圆M 与圆C 1：(x −4)2+y 2=169内切，与圆C 2：(x +4)2+y 2=9外切， ∴|MC 1|=13−r ，|MC 2|=r +3， ∴|MC 1|+|MC 2|=16>8，由椭圆的定义，M 的轨迹为以C 1，C 2为焦点的椭圆， 可得a =8，c =4；则 b 2=a 2−c 2=48； ∴动圆圆心M 的轨迹方程：x 264+y 248=1． 故选：D ．根据两圆外切和内切的判定，圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆半径为r ，消去r ，根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心M 的轨迹，进而可求其方程．考查两圆的位置关系及判定方法和椭圆的定义和标准方程，要注意椭圆方程中三个参数的关系：b 2=a 2−c 2，属中档题．6.答案：C解析：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A ，B 的中点横坐标，求出线段AB 的中点到y 轴的距离． 解：∵F 是抛物线y 2=x 的焦点， F(1 4，0)准线方程x =−1 4， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=x 1+1 4，|BF|=x 2+1 4， ∴|AF|+|BF|=x 1+1 4+x 2+1 4=3 解得x 1+x 2= 5 2，∴线段AB的中点横坐标为 5 4，∴线段AB的中点到y轴的距离为 5 4．故选：C．7.答案：C解析：解：由题意知：点P的轨迹为如图所示的三角形EFG，其中G、F为中点，∴EF=12BD=√2，GE=GF=12SB=√62，∴轨迹的周长为√2+√6．故选C．根据题意可知点P的轨迹为三角形EFG，其中G、F为中点，根据中位线定理求出EF、GE、GF，从而求出轨迹的周长．本题主要考查了轨迹问题，以及点到面的距离等有关知识，同时考查了空间想象能力，计算推理能力，属于中档题．8.答案：A解析：解：点P(1,√3)是双曲线C：x2a2−y2b2=l(a>0,b>0)渐近线上y=bax的点，可得：ba =√3，即b=√3a，c2−a2=3a2，e=ca>1，所以e=2．故选：A．求出双曲线的渐近线方程，然后转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9.答案：1<e≤2或3≤e<6解析：设P 到右准线d 的距离为d ，则d ≥a −a 2c，求出P 到右焦点的距离，P 到左焦点的距离，利用双曲线的定义，结合d ≥a −a 2c，建立不等式，即可确定双曲线离心率的范围．解：由题意，设P 到右准线d 的距离为d ，则d ≥a −a 2c，根据第二定义，可得P 到右焦点的距离为ed ，因为右支上一点P 到左焦点的距离是到右准线距离的6倍， 所以P 到左焦点的距离为6d ， 所以6d −ed =2a ， 所以d =2a6−e (e <6)， 所以2a6−e≥a −a 2c ，所以26−e ≥1−1e ， 所以e 2−5e +6≥0， 所以e ≤2或e ≥3， 因为1<e <6，所以1<e ≤2或3≤e <6． 故答案为1<e ≤2或3≤e <6．10.答案：14a 2解析：利用向量的三角形法则、数量积运算即可得出.本题考查了向量的三角形法则、数量积运算，属于基础题．解：如图所示，∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14a 2cos60∘×2=14a 2． 故答案为14a 2．11.答案：(x +1)2+(y −2)2=1解析：本题考查了动点的轨迹方程，根据题意首先求出点M 的轨迹方程，然后由相关点求解．解：∵P(−2,2)，A(2,2)，PM 垂直l 于点M ，∴M 点的轨迹是以PA 为直径的圆，∴M 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4，设PM 的中点为N(x,y)，M(x 1,y 1)，∴{x =x 1−22y =y 1+22，即{x 1=2x +2y 1=2y −2， 代入M 的方程整理可得：(x +1)2+(y −2)2=1，故答案为(x +1)2+(y −2)2=1．12.答案：2x −4y +3=0解析：本题考查了圆与直线的相关知识，研究知点M(12,1)在圆内，过它的直线与圆交于两点A ，B ，当∠ACB最小时，直线l 与CM 垂直，故先求直线CM 的斜率，再根据充要条件求出直线l 的斜率，由点斜式写出其方程．解：验证知点P(12,1)在圆内，当∠ACB 最小时，直线l 与CM 垂直，由圆的方程，圆心C(1,0)，∵k CM =1−012−1=−2， ∴k l =12，∴l：y−1=12(x−12)，整理得2x−4y+3=0，故答案为2x−4y+3=0．13.答案：√22解析：本题考查椭圆的性质及几何性质，直线与椭圆的位置的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．通过椭圆方程可知F1(−√1−b2,0)、F2(√1−b2,0)，通过过F1的直线L的斜率为1可知其方程为y= x+√1−b2，联立直线L与椭圆方程，利用弦长公式计算即得结论．解：依题意，F1(−√1−b2,0)，F2(√1−b2,0)，∵过F1的直线L的斜率为1，∴直线L的方程为：y=x+√1−b2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线L与椭圆方程，消去y整理得：(1+b2)x2+2√1−b2x+1−2b2=0，∴x1+x2=−2√1−b21+b2，x1x2=1−2b21+b2，∴|AB|=√2·√(x1+x2)2−4x1x2=√2· √4(1−b2)−4(1−2b2)(1+b2)2=2√2b1+b2=43，解得：b=√22．故答案为√22．14.答案：12解析：本题主要考查的是立体几何的有关知识，考查空间想象能力，属于一般题．解：∵四面体ABCD中，设AB=1，CD=√3，直线AB与CD的距离为2，夹角为π3，=13(12×1×2)×√3×√32=12，故答案为12． 15.答案：解：(1)设z =a +bi(a,b ∈R)，由已知可得：{√a 2+b 2=√22ab =2， 即{a 2+b 2=2ab =1， 解得{a =1b =1或{a =−1b =−1． ∴z =1+i 或z =−1−i ；(2)当z =1+i 时，z 2=2i ，z −z 2=1−i ，∴A(1,1)，B(0,2)，C(1,−1)，故△ABC 的面积S =12×2×1=1；当z =−1−i 时，z 2=2i ，z −z 2=−1−3i ，∴A(−1,−1)，B(0,2)，C(−1,−3)，故△ABC 的面积S =12×2×1=1．∴△ABC 的面积为1．解析：本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于容易题．(1)设z =a +bi(a,b ∈R)，由已知列关于a ，b 的方程组，求解可得复数z ；(2)分类求得A 、B 、C 的坐标，再由三角形面积公式求解．16.答案：解：(Ⅰ)在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AA 1所在的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．由已知AB =2，AA 1=1，可得A(0,0，0)，B(2,0，0)，F(1,0，1)．又AD ⊥面AA 1B 1B ，从而BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为∠DBA =30°，而AB =2，AE ⊥BD ，AE =1，AD =2√33，∴E(12,√32,0)，D(0,2√33,0). AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)， ∴cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−12√2=−√24． ∴异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为√24. (Ⅱ)直线AA 1的一个方向向量为m ⃗⃗⃗ =(0,0，1)，设n ⃗ =(x,y ，z)是平面BDF 的一个法向量，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2√33,0)， {n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +z =0n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2√33y =0， 取x =1，得n ⃗ =(1,√3,1)，cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√55， ∴直线AA 1与平面BDF 所成角的正弦值√55.解析：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． (Ⅰ)以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AA 1所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与BF 所成角的余弦值．(Ⅱ)求出直线AA 1的一个方向向量和平面BDF 的一个法向量，利用向量法能动求出直线AA 1与平面BDF 所成角的正弦值．17.答案：证明：(1)连结BE 、AC 、AF ，取AD 的中点O ，连结OE ，依题意知OE ⊥AD ，平面ADE ⊥平面ABCD ，又OE ⊂平面ADE ，平面ADE ∩平面ABCD =AD ，∴OE ⊥平面ABCD ，∴以O 为原点，OA 为x 轴，OE 为z 轴，过O 作AB 的平行线为y 轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，B(1,1，0)，C(−1,2，0)，E(0,0，√3)，F(0,4，√3)，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,√3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,4，√3)， ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,√3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,4，√3)，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴BE ⊥AC ，BE ⊥AF ，又AC ∩AF =A ，∴BE ⊥平面ACF ．解：(2)由(1)知BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1，0)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,3，√3)，设平面BCF 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +y =0n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +3y +√3z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,2，−5√33)， 设P(x P ,y P ,z P )，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λEF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，0≤λ≤1，EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，0)， 则(x P ,y P ,z P −3)=(0,4λ,0)，∴P(0,4λ,√3)，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1，0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,4λ−1,√3)， 设平面PBC 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +y =0m⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +(4λ−1)y +√3z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,2，√3)， ∵二面角P −BC −F 的余弦值为√108， ∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|403λ|√403⋅√15+(3−8λ)23=√108， 解得λ=14或λ=−12(舍)，∴EPPF =13．解析：(1)连结BE 、AC 、AF ，取AD 的中点O ，连结OE ，则OE ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA 为x 轴，OE 为z 轴，过O 作AB 的平行线为y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE ⊥平面ACF ．(2)求出平面BCF 的一个法向量和平面PBC 的一个法向量，利用向量法能求出结果．本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.答案：解：(1)∵l ：x −y −2=0，∴l 与x 轴的交点坐标(2,0)，即抛物线的焦点坐标(2,0)．∴p2=2，∴抛物线C ：y 2=8x ．(2)证明：①设点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则：{y 12=2px 1y 22=2px 2， 即：{y 122p =x 1y 222p =x 2，k PQ =y 1−y 2y 122p −y 222p =2p y 1+y 2，又∵P ，Q 关于直线l 对称，∴k PQ =−1，即y 1+y 2=−2p ，∴y 1+y 22=−p ， 又PQ 的中点在直线l 上，∴x 1+x 22=y 1+y 22+2=2−p ，∴线段PQ 的中点坐标为(2−p,−p)；②因为Q 中点坐标(2−p,−p)．∴{y 1+y 2=−2px 1+x 2=y 12+y 222p =4−2p ，即{y 1+y 2=−2p y 12+y 22=8p −4p 2， ∴{y 1+y 2=−2p y 1y 2=4p 2−4p，即关于y 2+2py +4p 2−4p =0，有两个不相等的实数根， ∴△>0，(2p)2−4(4p 2−4p)>0，∴p ∈(0,43)．解析：本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．(1)求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．(2)①设点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，通过抛物线方程，求解k PQ ，通过P ，Q 关于直线l 对称，点的k PQ =−1，推出y 1+y 22=−p ，PQ 的中点在直线l 上，推出x 1+x 22=2−p ，即可证明线段PQ 的中点坐标为(2−p,−p)；②利用线段PQ 中点坐标(2−p,−p)，推出{y 1+y 2=−2p y 1y 2=4p 2−4p，得到关于y 2+2py +4p 2−4p =0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p 的范围．19.答案：解：(1)设D(t,0)，|t|≤2，N(x 0,y 0)，M(x,y)，由题意得MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 且|DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， ∴(t −x,−y)=2(x 0−t,y 0)，且{x 02+y 02=1(x 0−t)2+y 02=1， 即{y =−2y 0t−x=2x 0−2t，且t(t −2x 0)=0，由于当点D 不动时，点N 也不动，∴t 不恒等于0，于是t =2x 0，故x 0=x 4，y 0=−y 2，代入x 02+y 02=1，得方程为x 216+y 24=1．(2)①当直线l 的斜率k 不存在时，直线l 为：x =4或x =−4，都有S △OPQ =12×4×4=8， ②直线l 的斜率k 存在时，直线l 为：y =kx +m ，(k ≠±12)，由{x 2+4y 2=16y=kx+m 消去y ，可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−16=0，∵直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，∴△=64k 2m 2−4(1+4k 2)(4m 2−16)=0，即m 2=16k 2+4，①，由{x −2y =0y=kx+m ，可得P(2m 1−2k ,m 1−2k )，同理得Q(−2m 1+2k ,m 1+2k )，原点O 到直线PQ 的距离d =√1+k 2和|PQ|=√1+k 2⋅|x P −x Q |，可得S △OPQ =12|PQ|d =12|m||x P −x Q |=12|m||2m 1−2k +2m 1+2k |=|2m 21−4k 2|②， 将①代入②得S △OPQ =|2m 21−4k 2|=8|4k 2+14k 2−1|， 当k 2>14时，S △OPQ =8(4k 2+14k 2−1)=8(1+24k 2−1)>8， 当0≤k 2<14时，S △OPQ =8|4k 2+14k 2−1|=−8(4k 2+14k 2−1)=8(−1+21−4k 2)， ∵0≤k 2<14时，∴0<1−4k 2≤1，21−4k 2≥2，∴S △OPQ =8(−1+21−4k )≥8，当且仅当k =0时取等号，∴当k =0时，S △OPQ 的最小值为8，综上可知当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，三角形OPQ 的面积存在最小值为8．解析：(1)根据条件求出a ，b 即可求椭圆C 的方程；(2)联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可． 本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．。
北京市东城区2019-2020学年高二上学期期末统考数学(理)试题 Word版含答案
北京市东城区2019-2020学年上学期期末统考高二数学（理）试题本试卷共4页，共100分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共24分）一、选择题: （共大题共8小题，每小题3分，共24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）110y -+=的倾斜角为A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 2．已知a ∈R ，命题“()0,x ∀∈+∞,等式ln x a =成立”的否定形式是 A ．()0,x ∀∈+∞,等式ln x a =不成立B ．(),0x ∀∈-∞,等式ln x a =不成立C ．()00,x ∃∈+∞,等式0ln x a =不成立D ．()0,0,x ∃∈-∞等式0ln x a =不成立3．若焦点在x 轴上的椭圆222:1(0)5x y C a a +=>的离心率为23，则a 的值为 A ．9 B ．6 C ．3 D ．24．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的正方形，俯视图是正三角形，则这个几何体的体积是A ．32B ． 34C ．332D ． 85．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β，下列命题中正确的是 A ．若α⊥β，则m ⊥n B ．若α∥β，则m ∥n C ．若m ⊥n ，则α⊥β D ．若n ⊥α，则α⊥β6．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，121AA BC AB ==，E 为BC 的中点，则异面直线E A 1 与11C D 所成角的正切值为俯视图侧视图正视图1AA ．2B ．554C.217 D ．217．已知()3,0A -，()0,4B ，点P 为直线y x =上一点，过,,A B P 三点的圆记作圆C ，则“点P 为原点”是“圆C 的半径取得最小值”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．右图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食 者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食 者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是第二部分（非选择题 共76分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上） 9．点(1,1)-到直线20x y +-=的距离为 ．10．双曲线2214x y -=的渐近线方程为 ．11．若x ，y 满足约束条件10,30,30x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≥≤，则2z x y =+的最小值为 ．12．已知一个球的体积为36π，则该球的表面积为 ．13．已知点(2,M ，点F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，点P 是该抛物线上的一个动点．若||||PF PM +的最小值为5，则p 的值为 ．14．已知直线k l ：2()y kx k k =+∈R ，下列说法中正确的是__________ ．（注：把你认为所有正确选项的序号均填上）① k l 与抛物线24x y =-均相切； ② k l 与圆22(1)1x y ++=均无交点；③ 存在直线l ，使得l 与k l 均不相交； ④ 对任意的，i j ∈R ，直线,i j l l 相交． 三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分9分）已知△ABC 的顶点(5,1)A ，AB 边上的中线CM 所在的直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在的直线方程为250x y --=．求（Ⅰ）AC 所在的直线方程； （Ⅱ）点B 的坐标．16．（本题满分8分）三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，侧棱1AA ⊥平面ABC ，F ,E 分别为11A B ，11A C 的中点． （Ⅰ）求证： 11B C //面BEF ；（Ⅱ）过点A 存在一条直线与平面BEF 垂直，请你 在图中画出这条直线（保留作图痕迹，不必说明理由）．17．（本题满分9分）已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，且与y 轴相切于点(0,1)． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线:0l x y m -+=交于,A B 两点，分别连接圆心C 与,A B 两点，若CA CB ⊥，求m 的值．18．（本题满分9分）如图1，在等边ABC ∆中，,,D E F 分别为AB ，AC ，BC 的中点．将ABF ∆沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥BCF A -． （Ⅰ）证明：BC AF ⊥；（Ⅱ）当120BFC ∠=时，求二面角F DE A --的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在线段BC 上是否存在一点N ，使得平面ABF ⊥平面FDN ？若存在，求出BN BC的值；若不存在，说明理由．1AB19．（本题满分9分）已知动点P 到点(2,0)A -与点(2,0)B 的斜率之积为14-，点P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（Ⅱ）过点(1,0)D 作直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，连接PB ，QB 分别与直线3x =交于,M N 两点．若△BPQ 和△BMN 的面积相等，求直线l 的方程．20．（本题满分8分）在平面直角坐标系中，设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ．定义：11212(,)()d A B x x y y αααα=-+-，其中+α∈R （+R 表示正实数）.（Ⅰ）设A (1,1)，(2,3)B ，求1(,)d A B 和2(,)d A B 的值；（Ⅱ） 求证：对平面中任意两点A 和B 都有212(,)(,)(,)d A B d A B A B ≤；（Ⅲ）设(,)M x y ，O 为原点，记{(,)|(,)1,}D M x y d M O ααα+=≤∈R ．若0αβ<<，试写出D α与D β的关系（只需写出结论，不必证明）．北京市东城区2019-2020学年上学期期末统考高二数学（理）试题参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题目的横线上.）三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分9分）解：（Ⅰ）因为AC BH ⊥，所以设AC 所在的直线方程为20x y t ++=．把(5,1)A 代入直线方程为20x y t ++=，解得11t =-．所以AC 所在的直线方程为2110x y +-=． …………………… 5分 （Ⅱ）设00(,)B x y ，则AB 的中点为0051(,)22x y++． 联立方程组0000250,51250.22x y x y --=⎧⎪⎨++⨯--=⎪⎩化简得0000250,210.x y x y --=⎧⎨--=⎩ 解得001,3.x y =-⎧⎨=-⎩即(1,3)B --． …………………… 9分16．（本题满分8分） 证明：（Ⅰ）E,F 分别为11A B ，11A C 的中点，∴11EF //B C ．EF ⊂面BEF ，11B C ⊄面BEF ，又∴11B C //面BEF ． (5)分（Ⅱ）A 1………………………………………… 8分17．（本题满分9分）解：（Ⅰ）设圆心坐标为(,)C a b ，圆C 的圆心在直线30x y -=上，所以3a b =． 因为圆与y 轴相切于点(0,1)，则1b =，|0|r a =-． 所以圆C 的圆心坐标为(3,1)，3r =．则圆C 的方程为22(3)(1)9x y -+-=． ……………………………… 5分 （Ⅱ）因为CA CB ⊥，||||CA CB r ==，所以△ABC 为等腰直角三角形． 因为||||=3CA CB r ==，则圆心C 到直线l的距离d =则d ==1m =或5-． ……………………………… 9分 18．（本题满分9分） 证明：（Ⅰ）等边∆ABC ，F 为BC 的中点，∴AF BC ⊥．即AF BF ⊥，AF FC ⊥．又BF FC F =，∴AF ⊥面BCF ．又BC ⊂面BCF ，∴AF BC ⊥． ………………………… 3分(II) 如图，以点F 为原点，在平面BCF 内过点F 作FC 的垂线作为x 轴， FC 为y 轴，FA 为z 轴，建立空间直角坐标系．设2FC =，则有()000F ,,，(00A ,,，)10B,-，()020C ,,，∴12D -⎝，(01E ,．∴312FD,⎛=- ⎝，(01FE ,=， 3122AD ,,⎛=- ⎝，(01AE ,,=．设平面DEF 的法向量为()111x ,y ,z =m ，因此有00FD ,FE ,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即1111110220x y ,y .-=⎪⎨⎪=⎩令11z =，则()31,=-m ．设平面ADE 的法向量为()222x ,y ,z =n ，因此有00AD ,AE ,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即2222210220x y ,y .--=⎨⎪=⎩ 令21z =，则()31=n ．∴1113cos ,⋅〈〉===-m n m n m n ． ∴二面角A DE F --的余弦值为1113-． ………………………… 6分 (III)在线段BC 上存在一点N ，满足面ABF ⊥面DFN ，且23BNBC =．证明如下： 在平面BCF 内，过F 作FN BF ⊥交BC 于N ，AF ⊥面BCF ，FN ⊂面BCF ，∴AF FN ⊥．又FN BF ⊥， AFBF F =，∴FN ⊥面ABF ．又FN ⊂面DFN ，∴面ABF ⊥面DFN ．设FN a =，120BFC ∠=，BF FC = ， ∴ =30FBC FCB ∠=∠．又FN BF ⊥，∴ 2BN a =．=30NFC FCN ∠=∠, ∴FN NC a ==. ∴3BC a =. ∴23BN BC =． ………………………… 9分 19．（本题满分9分）B解：（Ⅰ）设P 点的坐标为(,)x y ，则(2)2PA y k x x =≠-+， (2)2PB yk x x =≠-． ∵14PA PBk k ⋅=-，∴221(44y x x =-≠±-化简得曲线C 的轨迹方程为221(4x y x +=（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为x = (1,(1,22P Q -． 直线PB 的方程为(2)2y x =--，解得M 直线QB 的方程为2)y x =-，解得N 则112BPQ S ==△，112BMN S ==△． 此时△BPQ 和△BMN 的面积相等 ……… 6分 当直线l 的斜率存在时，法1：设直线的方程为(1)y k x =-，11(,)P x y ，22(,)Q x y ． 由22(1),4 4.y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 2122814k x x k +=+，21224414k x x k-=+． 直线PB 的方程为11(2)2y y x x =--，求得11(3,)2yM x -． 直线QB 的方程为22(2)2y y x x =--，求得22(3,)2yN x -． 121211|||||||22BPQ S PQ h x x k x x ==-=-△，1212()111||||||222(2)(2)BMN N M k x x S MN h y y x x -==-=--△． 若BPQ BMN S S =△△，则12(2)(2)1x x --=，即12122()30x x x x -++=．∴22224416301414k k k k--+=++，化简得10-=． 此式不成立．所以△BPQ 和△BMN 的面积不相等综上，直线l 的方程为1x =． ………………………… 9分 法2：设直线的方程为(1)y k x =-，11(,)P x y ，22(,)Q x y ． 由22(1),4 4.y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．1||||sin 2BPQ S BQ BP PBQ =∠△，1||||sin 2BMN S BM BN MBN =∠△， 因为PBQ MBN ∠=∠，BPQ BMN S S =△△， 所以||||||||BQ BP BM BN =，即||||||||BP BN BM BQ =．则有12232322x x --=--，化简得12122()30x x x x -++=. ∴22224416301414k k k k --+=++，化简得10-=． 此式不成立．所以△BPQ 和△BMN 的面积不相等综上，直线l 的方程为1x =． ………………………… 9分 20．（本题满分8分） 解（Ⅰ）1(,)3d A B =，2(,)d A B ………………………… 2分 （Ⅱ）设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则11212(,)d A B x x y y =-+-，122221212(,)()d A B x x y y =-+-．2211212(,)()d A B x x y y =-+-2222121212121212222x x y y x x y y x x y y =+++--+--．22221212(,)()d A B x x y y =-+-22221212121222x x y y x x y y =+++--． 所以21(,)(,)d A B d A B ≤成立．因为22222212121212(,))222244A B x x y y x x y y =+++--，所以2221(,))(,)d A B d A B - 2222121212121212222x x y y x x y y x x y y =+++----- 2212121212()()2x x y y x x y y =-+---- 21212(||||)0x x y y =---≥．所以12(,)(,)d A B A B ≤成立． ………………………… 6分 （Ⅲ）D α⊂D β 真子集 ………………………… 8分 证明如下：任取00(,)x y D α∈， 100(,)()1d M O x y αααα=+≤． 当0010，x y ==时， (,)0d M O α=, (,)0d M O β=，此时D α⊆D β． 当0010x y ==，时，100(,)()1d M O x y αααα=+=， (,)1d M O β=. 此时D α⊆D β． 同理可得，当0001x y ==，时，D α⊆D β． 当0011x y ≠≠，时，因为100(,)()1d M O x y αααα=+≤，所以 001x y αα+≤． 又因为0αβ<<，所以00001x y x y ββαα+<+≤．此时D α⊆D β． 反之不成立．所以D α⊂D β．。
北京市朝阳区2019-2020学年高二第一学期期末数学试题及答案
北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷 2020.1(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分 （选择题 共50分）一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 不等式(2)0x x -<的解集是（A ）{}02x x << （B ）{}0x x >（C ）{}2x x < （D ）{}02<<或x x x2. 已知1x ≥，则当4x x +取得最小值时，x 的值为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）43. 已知双曲线2221(0)16x y a a -=>的一个焦点为(5,0)，则a 的值为（A ）9（B ）6（C ）5（D ）34. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，则椭圆C 的方程为 （A ）22184x y += （B ）221164x y += （C ）221816x y += （D ）221168x y +=5. 若向量,,a b c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（A ）,,-+b c b b c （B ）,,a b c a b c +++ （C ）,,a b a b c +- （D ）,,a b a b a -+6.已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出⊥m l 的所有序号是①,,αβαβ⊥⊥⊥m l ②,,αβαβ⊥∥∥m l③,,αβαβ⊂⊥∥m l ④,,αβαβ⊂⊥∥m l （A ）①②③（B ）①②（C ）②③④ （D ）③④7. 已知0>mn ，21+=m n ，则12+m n的最小值是 （A ）4（B ）6（C ）8（D ）168. 已知数列{}n a 和{}n b 满足=n n b a ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 经过双曲线2222:1(0,0)-=>>x y M a b a b的左焦点作倾斜角为60°的直线l ，若l 与双曲线M 的左支有两个不同的交点，则M 的离心率的取值范围是（A ）(2,)+∞（B ）(1,2) （C ）(1,（D ）)+∞10. 已知球O 的直径为3，,,,A B C D 是球O 上四个不同的点，且满足0⋅=AB AC ，0⋅=AC AD ，0⋅=AD AB ，分别用123,,S S S 表示,,ABC ACD ABD 的面积，则123++S S S 的最大值是（A ）14（B ）92（C ）9 （D ）18第二部分（非选择题 共100分）二.填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分，答案写在答题卡上.11. 双曲线2214-=x y 的渐近线方程是________.12. 抛物线22=y x 的焦点坐标是________；准线方程是_________.13. 已知公比不为1的等比数列{}n a 满足12=a ，234+=a a ，则4=a _________. 14. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________，面积最大的侧面的面积为________.15. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的17是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.16. 不等式222()-≤-x y cx y x 对满足0>>x y 的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值是________.俯视图三.解答题:本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17. （本小题满分16分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，23=a ，且125,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2=+n n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）若12+=n n n c a a ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足2425>n T 的n 的最小值.18. （本小题满分18分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD .已知==PA PD AB ，090∠=APD .（Ⅰ）证明：∥AD平面PBC ； （Ⅱ）证明：⊥AB PD ；（Ⅲ）求二面角--A PB C 的余弦值.PDCBA19. （本小题满分18分）已知抛物线22(0)=>y px p 经过点(1,2). （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线C 的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设O 为原点（ⅰ）当直线l 的斜率为1时，求∆AOB 的面积； （ⅱ）当3=FA FB 时，求直线l 的方程.20. （本小题满分18分）已知椭圆2222:10)+=>>（x y C a b a b ，直线20++=x y 经过椭圆C 的左焦点A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:=+l y kx m （0≠k ）交椭圆C 于,M N 两点（,M N 不同于点A ）.过原点O 的一条直线与直线l 交于点P ，与直线,AM AN 分别交于点,D E .（ⅰ）当k MN 的最大值；（ⅱ）若=OD OE ，求证：点P 在一条定直线上.北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷 参考答案 2020．1三、解答题：（本题满分70分） 17．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d （0d >），由条件可得121113,(4)(),0,a d a a d a d d +=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩所以12(1)21n a n n =+-=-，*n ∈N ．…………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2212n n n n b a n =+=-+，则12323121135(21)2222(121)222122 2.n nnn n S b b b b n n n n ++=++++=++++-++++++--=+-=+-所以数列{}n b 的前n 项和2122n n S n +=+-． (11)分（Ⅲ）因为122(21)(21)n n n c a a n n +==-+11,2121n n =--+ 所以1111121335212121n nT n n n =-+-++-=-++. 由2242125n n >+得12n >，又因为*n ∈N ， 所以满足2425n T >的n 的最小值为13. ……………………………………16分 18．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为矩形，所以AD BC ∥． 又因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）根据题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，因为AB平面ABCD ，且AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ． 又因为PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥． ……………………………………………………9分（Ⅲ）取AD 的中点为O ，取BC 的中点为E ，连接,OP OE ，则OE AD ⊥，又因为PA PD =，所以PO AD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OA OE OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图． 不妨设2AB =，因为PA PD AB ==，90APD ∠=︒，所以2PA PD ==，2AD =，1OP =．所以(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(0,0,1)P ，(1,0,0)D -．所以(1,2,1)PB =-，(2,0,0)BC =-，(1,0,1)=--PD ．由（Ⅱ）可知，AB PD ⊥．因为90APD ∠=︒，所以⊥PA PD ．O xyz PA BC D E所以⊥PD 平面PAB ．所以PD 为平面PAB 的一个法向量． 设平面PBC 的一个法向量为(),,x y z =n ，则0,0,PB BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n即0,20.x z x ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩取1y =，得平面PBC的一个法向量为=n ．则cos ,3PD PD PD ⋅〈〉===-⋅n n n，由图可知，二面角--A PBC 为钝角， 所以二面角--A PB C 的余弦值是-…………………………………18分 19．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）由抛物线22y px =过点(1,2)，得24p =．于是2p =，所以该抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-．……………………………………………………………4分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．焦点F 的坐标为(10)，．（i ）由题可知，直线l 的方程为1y x =-．联立24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2440y y --=．由韦达定理可得12124,4.y y y y +=⎧⎨=-⎩因为||1OF =，1212||||||y y y y+=-，所以()121212111||||||||||||||2221||2OB OF O A A FBS S S OF y OF y OF y y y y =+=⋅+⋅=+=-===△△△所以AOB △的面积为 (10)分（ii ）易知直线l 的斜率存在且不为0，焦点坐标为(10)，， 设直线():1l y k x =-．联立()24,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2222(24)0k x k x k -++=．由韦达定理可得1221242,1.x x kx x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩①② 由题意，||3||FA FB =，因为,A B 分别到准线的距离等于,A B 到焦点F 的距离， 所以1213(1)x x +=+，即1232x x =+．③ 联立②③，解得1213,3x x ==，代入①得23k =，所以k = 所以直线l的方程为)1y x =-． …………………………………18分20．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）设0(,0)A x ，因为点A 在直线20x y ++=上，所以020x +=，得02x =-，所以(2,0)A -． 所以2a =．又因为离心率c e a ==，所以c =1b =． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ．（i）因为k =22,1,4y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y可得22)14x m ++=，即229440x m ++-=，由2161440m ∆=-+>得29m <．由韦达定理，2121244,.99m x x x x -+=-= 由弦长公式得||MN ===由于216144144m -+≤，所以||MN =≤=当且仅当0m =时，||MN. ……………………………11分 （ii ）若||||OD OE =，则O 为DE 的中点，所以0D E x x +=. 设直线0:DE y k x =，直线11:(2)2y AM y x x =++， 两个方程联立可得：101(2)2y x k x x +=+． 解得10112(2)D y x k x y =+-，同理20222.(2)E y x k x y =+- 所以12011022220,(2)(2)D E y y x x k x y k x y +=+=+-+-即0121202112(2)(2)0.k y x y y k y x y y +-++-=所以210102012122()20.y m y mk y k y k y y y y k k --⋅+⋅++-= 化简得：00120122(1)(2)()0.k mky y k y y k k-+-+=① 由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得: 2222()44y m k y k -+=，即2222(14)240k y my m k +-+-=，11 / 11 由222244(14)(4)0m k m k ∆=-+->，得2214m k <+． 所以2212122224,.1414m m k y y y y k k -+==++ 代入①得到：2200022422(1)(2)0.1414k mk m k m k k k k k--+-=++ 所以2200()(4)(2)0,k k m k mk m k ----=即0(2)(22)0.m k k k k m ---=若2m k =，则直线l 过点A ，与已知不符合.又0k ≠，所以0220k k m --=.又由0:DE y k x =，联立:l y kx m =+，消去y 得：02P m x k k==-， 所以，点P 在定直线2x =上. ………………………………………………18分。
北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试文科数学试卷 Word版含解析 (2)
北京市海淀区2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）A．4 B．C．1 D．3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．8 B．C．D．64．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A．B．1 C．D．25．（4分）命题“∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限”的否定是（）A．∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限B．∃k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限C．∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限D．∀k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限6．（4分）已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．11．（4分）已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．13．（4分）已知平面α⊥β，且α∩β=l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，AB=4，AC=3，BD=12，则线段CD的长为．14．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．16．（12分）已知直线l：y=x+t与椭圆C：x2+2y2=2交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的长轴长和焦点坐标；（Ⅱ）若|AB|=，求t的值．17．（12分）如图所示的几何体中，直线AF⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，ADEF为梯形，DE∥AF，又AB=1，AF=2DE=2a．（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）求证：直线BD⊥平面ACF；（Ⅲ）若直线AE⊥CF，求a的值．18．（10分）已知椭圆，经过点A（0，3）的直线与椭圆交于P，Q两点．（Ⅰ）若|PO|=|PA|，求点P的坐标；（Ⅱ）若S△OAP=S△OPQ，求直线PQ的方程．北京市海淀区2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：直线的倾斜角与斜率之间的关系解答：解：设倾斜角为θ，θ∈可得，解得m=4．故选：A．点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，基本知识的考查．3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．8 B．C．D．6考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面面积S=2×2=4，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==，故选：B点评：本题考查三视图、三棱柱的体积，本试题考查了简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．基础题．4．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A．B．1 C．D．2考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系结合弦长公式即可得到结论．解答：解：圆心到直线的距离d=，则直线l被圆O所截的弦长为==，故选：C点评：本题主要考查直线和圆相交的应用，根据圆心到直线的距离结合弦长公式是解决本题的关键．5．（4分）命题“∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限”的否定是（）A．∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限B．∃k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限C．∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限D．∀k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．解答：解：命题为特称命题，则根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定是∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限，故选：C点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．6．（4分）已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：在等差数列{a n}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{a n}为单调递增数列，若数列{a n}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”充分必要条件，故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，等差数列的性质是解决本题的关键．7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出图形，利用线面垂直的判定判定AD⊥面BCE，由此说明A正确；由三垂线定理结合∠BEC为锐角三角形说明B错误；举例说明C错误；由平面的斜线与平面内直线的位置关系说明D错误．解答：解：如图，∵四面体A﹣BCD为正四面体，且E为AD的中点，∴BE⊥AD，CE⊥AD，又BE∩CE=E，∴AD⊥面BCE，则∀F∈BC，EF⊥AD，选项A正确；由AE⊥面BCE，∴AE⊥EF，若AC⊥EF，则CE⊥EF，∵∠BEC为锐角三角形，∴不存在F∈BC，使EF⊥AC，选项B错误；取BC中点F，可求得DF=，又DE=1，得EF=，选项C错误；AC是平面BCE的一条斜线，∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D错误．故选：A．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面的位置关系，考查了线线垂直与线面平行的判定，考查了空间想象能力，是中档题．8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）A．B．C．D．考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：化简方程+|y|=1，得到x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，通过图象观察，即可得到到原点距离的最小值．解答：解：+|y|=1即为=1﹣|y|，两边平方，可得x2+y2=1+y2﹣2|y|，即有x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，如右：则由图象可得，O与点（0，）或（0，﹣）的距离最小，且为．故选A．点评：本题考查曲线方程的化简，考查两点的距离公式的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=1或﹣1．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由平行关系可得向量相等，排除截距相等即可．解答：解：当a=0时，第二个方程无意义，故a≠0，故直线x﹣ay﹣1=0可化为x﹣，由直线平行可得a=，解得a=±1故答案为：1或﹣1点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．解答：解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：点评：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想11．（4分）已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为7．考点：椭圆的定义．专题：计算题．分析：椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，即可得到P到另一个焦点的距离．解答：解：椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7故答案为：7点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，属于基础题．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意和椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，由椭圆的性质即可求出椭圆C的离心率．解答：解：因为等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，如图：所以由椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，因为△F1F2P是等边三角形，所以a=2c，则=，即e=，故答案为：．点评：本题考查椭圆的简单几何性质的应用，解题的关键确定点P的位置，属于中档题．13．（4分）已知平面α⊥β，且α∩β=l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，AB=4，AC=3，BD=12，则线段CD的长为13．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由于本题中的二面角是直角，且两线段都与棱垂直，可根据题意作出相应的长方体，CD恰好是此长方体的体对角线，由长方体的性质求出其长度即可．解答：解：如图，由于此题的二面角是直角，且线段AC，BD分别在α，β内垂直于棱l，AB=4，AC=3，BD=12，作出以线段AB，BD，AC为棱的长方体，CD即为长方体的对角线，由长方体的性质知，CD==13．故答案为：13．点评：本题考查与二面角有关的线段长度计算问题，根据本题的条件选择作出长方体，利用长方体的性质求线段的长度，大大简化了计算，具体解题中要注意此类问题的合理转化．14．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点F，设P（m2，m），运用两点的距离公式，结合条件|AP|=|PF|，计算可得m，再由两点的距离公式计算即可得到结论．解答：解：抛物线y2=2x的焦点为F（，0），设P（m2，m），由|AP|=|PF|，可得|AP|2=2|PF|2，即有（m2+）2+m2=2，化简得m4﹣2m2+1=0，解得m2=1，即有|OP|===．故答案为：．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点坐标，同时考查两点的距离公式的运用，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：平面向量及应用；直线与圆．分析：（1）由已知中直线过点A我们可以设出直线的点斜式方程，然后化为一般式方程，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线的方程；（2）设出P点的坐标，借助坐标来表示两个向量的数量积，再根据P在圆上的条件，进而得到结论．解答：（本小题满分10分）解：（ I）由题意，所求直线的斜率存在．设切线方程为y=kx+2，即kx﹣y+2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以圆心O到直线的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所求直线方程为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（ II）设点P（x，y），所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为点P在圆上，所以x2+y2=1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又因为x2+y2=1，所以﹣1≤y≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查的知识是直线和圆的方程的应用，其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时，点到直线的距离与半径的关系是关键，还考查了向量数量积的坐标表示．16．（12分）已知直线l：y=x+t与椭圆C：x2+2y2=2交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的长轴长和焦点坐标；（Ⅱ）若|AB|=，求t的值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出椭圆的标准方程，即可求椭圆C的长轴长和焦点坐标；（Ⅱ）联立直线和椭圆方程转化为一元二次方程，结合弦长公式进行求解即可．解答：解：（ I）因为x2+2y2=2，所以，所以，所以c=1，所以长轴为，焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．（ II）设点A（x1，y1），B（x2，y2）．因为，消元化简得3x2+4tx+2t2﹣2=0，所以，所以，又因为，所以，解得t=±1．点评：本题主要考查椭圆方程的应用和性质，以及直线和椭圆相交的弦长公式的应用，转化一元二次方程是解决本题的关键．17．（12分）如图所示的几何体中，直线AF⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，ADEF为梯形，DE∥AF，又AB=1，AF=2DE=2a．（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；（Ⅱ）求证：直线BD⊥平面ACF；（Ⅲ）若直线AE⊥CF，求a的值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）由AB∥CD，DE∥AF，且AB∩AF=A，CD∩DE=D，可证平面ABF∥平面DCE即可证明CE∥平面ABF．（II）先证明AC⊥BD，AF⊥BD，即可证明直线BD⊥平面ACF．（Ⅲ）连接 FD，易证明CD⊥AE．又AE⊥CF，可证AE⊥FD．从而可得，即有，即可解得a的值．解答：（本小题满分12分）解：（ I）因为ABCD为正方形，所以AB∥CD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又DE∥AF，且AB∩AF=A，CD∩DE=D．所以平面ABF∥平面DCE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）而CE⊂平面EDC，所以CE∥平面ABF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）因为直线AF⊥平面ABCD，所以AF⊥BD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）因为AF∩AC=A，所以直线BD⊥平面ACF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）连接 FD．因为直线AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CD，又CD⊥AD，AD∩AF=A所以CD⊥平面ADEF，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以CD⊥AE．又AE⊥CF，FC∩CD=C，所以AE⊥平面FCD，所以AE⊥FD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以，所以==解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）．点评：本题主要考察了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考察了转化思想，属于中档题．18．（10分）已知椭圆，经过点A（0，3）的直线与椭圆交于P，Q两点．（Ⅰ）若|PO|=|PA|，求点P的坐标；（Ⅱ）若S△OAP=S△OPQ，求直线PQ的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由|PO|=|PA|，得P在OA的中垂线上，求出中垂线方程，代入椭圆方程进行求解即可求点P 的坐标；（Ⅱ）求出直线方程，联立直线和椭圆方程，转化为一元二次方程，结合三角形面积之间的关系即可得到结论．解答：解：（ I）设点P（x1，y1），由题意|PO|=|PA|，所以点P在OA的中垂线上，而OA的中垂线为，所以有．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）把其代入椭圆方程，求得x1=±1．所以或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）设Q（x2，y2）．根据题意，直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+3，所以．消元得到（3+4k2）x2+24kx+24=0，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）因为S△OAP=S△OPQ，所以S△OAQ=2S△OPQ，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）所以有|x1|=2|x2|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）因为，所以x1，x2同号，所以x1=2x2．所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）解方程组得到，经检验，此时△＞0，所以直线PQ的方程为，或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）法二：设Q（x2，y2），因为S△OAP=S△OPQ，所以|AP|=|PQ|．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）即点P为线段OQ的中点，所以x2=2x1，y2=2y1﹣3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）把点P，Q的坐标代入椭圆方程得到﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解方程组得到或者，即，或者．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以直线PQ的斜率为或者，所以直线PQ的方程为，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题主要考查椭圆方程的应用和性质，直线和椭圆相交的性质，利用设而不求的思想是解决本题的关键．考查学生的运算能力．。
北京第一一O中学2020年高二数学理上学期期末试题含解析
北京第一一O中学2020年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 集合若,则（）A．B．C．D．参考答案：D2. 复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（）A3. 若与在区间上都是减函数，则的取值范围是（）参考答案：D略4. 等比数列中，，公比，则等于（）A.6B.10C.12D.24参考答案：D5. 下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A. ①②③B. ②③④C. ①③⑤D. ②④⑤；参考答案：C【分析】利用归纳推理就是从个别性知识推出一般性结论的推理，从而可对①②进行判断；由类比推理是由特殊到特殊的推理，从而可对④⑤进行判断；对于③直接据演绎推理即得．【详解】所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．故①对②错；又所谓演绎推理是由一般到特殊的推理．故③对；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．故④错⑤对．故选C．【点睛】本题主要考查推理的含义与作用．所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．演绎推理可以从一般到特殊；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．6. 三角形的面积为、、为三边的边长，为三角形内切圆半径，利用类比推理可得出四面体的体积为（）A． B．C ．D ．（其中、、、分别为四面体4个面的面积，为四面体内切球的半径）参考答案：D7. 在下列各数中，最大的数是（）A．85（9）B．210（6）C．1000（4）D．11111（2）参考答案：B考点：进位制；排序问题与算法的多样性．专题：计算题．分析：欲找四个中最大的数，先将它们分别化成十进制数，后再比较它们的大小即可．解答：解：85（9）=8×9+5=77；210（6）=2×62+1×6=78；1000（4）=1×43=64；11111（2）=24+23+22+21+20=31．故210（6）最大，故选B．点评：本题考查的知识点是算法的概念，由n进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果．8. 已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为（）A．B．C．D．1参考答案：C【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a1，a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论．【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|﹣|PF2|=2a2，∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2，设|F1F2|=2c，∠F1PF2=，则：在△PF1F2中由余弦定理得，4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化简得：a12+3a22=4c2，又因为，∴e1e2≥，故选：C【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来，属于难题．9. 已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为（）A．B．C．或D．或7参考答案：C【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】由实数4，m，9构成一个等比数列，得m=±=±6，由此能求出圆锥曲线的离心率．【解答】解：∵实数4，m，9构成一个等比数列，∴m=±=±6，当m=6时，圆锥曲线为，a=，c=，其离心率e=；当m=﹣6时，圆锥曲线为﹣，a=1，c=，其离心率e==．故选C．【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等比中项公式的应用．10. 已知函数若对任意，恒成立，则的取值范围是（）A B C D参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式的解集是，则a ＋b 的值是________.参考答案：略12. 等差数列{an}的首项为a1，公差为d ，前n 项和为Sn ，给出下列四个命题：①数列为等比数列；②若a2＋a12＝2，则S13＝13；③前n 项和为可以表示为Sn ＝nan －d ； ④若d>0，则Sn 一定有最大值．其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．参考答案：①②③ 略13. 函数在上有极值，则的取值范围是参考答案：14. 已知函数f （x ）=x 3，则不等式f （2x ）+f （x ﹣1）＜0的解集是 ．参考答案：（﹣∞，）根据题意，由函数的解析式分析可得f （x ）为奇函数且在R 上递增，则不等式f （2x ）+f （x ﹣1）＜0可以转化为2x ＜1﹣x ，解可得x 的取值范围，即可得答案． 解：根据题意，函数f （x ）=x 3，f （﹣x ）=（﹣x ）3=﹣x 3， 即有f （﹣x ）=﹣f （x ），为奇函数； f （x ）=x 3，其导数f′（x ）=3x 2≥0，为增函数；则f （2x ）+f （x ﹣1）＜0?f （2x ）＜﹣f （x ﹣1）?f （2x ）＜f （1﹣x ）?2x ＜1﹣x ， 解可得x ＜，即不等式f （2x ）+f （x ﹣1）＜0的解集为（﹣∞，）；故答案为：（﹣∞，）．15. 已知函数，（、且是常数）．若是从、、、四个数中任取的一个数，是从、、三个数中任取的一个数，则函数为奇函数的概率是____________. 参考答案：16. 过直线外一点，与这条直线平行的直线有_________条， 过直线外一点，与这条直线平行的平面有_________个. 参考答案：1,无数17. 与直线垂直，且过抛物线焦点的直线的方程是 _________ ．参考答案：8x-4y+1=0三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷Word版含解析
北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x+1）2+y 2=2，则其圆心和半径分别为（ ）A ．（1，0），2B ．（﹣1，0），2C ．D ．2．抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为（ ）A ．B ．1C ．2D ．43．双曲线4x 2﹣y 2=1的一条渐近线的方程为（ ）A ．2x+y=0B ．2x+y=1C ．x+2y=0D ．x+2y=14．在空间中，“直线a ，b 没有公共点”是“直线a ，b 互为异面直线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知A ，B 为圆x 2+y 2=2ax 上的两点，若A ，B 关于直线y=2x+1对称，则实数a=（ ）A ．B ．0C ．D ．16．已知直线l 的方程为x ﹣my+2=0，则直线l （ ）A ．恒过点（﹣2，0）且不垂直x 轴B ．恒过点（﹣2，0）且不垂直y 轴C ．恒过点（2，0）且不垂直x 轴D ．恒过点（2，0）且不垂直y 轴7．已知直线x+ay ﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a 的取值是（ ）A ．2B ．±2C ．﹣2D ．08．已知两直线a ，b 和两平面α，β，下列命题中正确的为（ ）A ．若a ⊥b 且b ∥α，则a ⊥αB ．若a ⊥b 且b ⊥α，则a ∥αC ．若a ⊥α且b ∥α，则a ⊥bD ．若a ⊥α且α⊥β，则a ∥β9．已知点A （5，0），过抛物线y 2=4x 上一点P 的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B ，若|PB|=|PA|，则cos ∠APB=（ ）A ．0B ．C ．D ．10．如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．B ．2C ．D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ： ． 12．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为 ．13．若曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为 ．14．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 的两组对边均不平行．①在平面PAB 内不存在直线与DC 平行；②在平面PAB 内存在无数多条直线与平面PDC 平行；③平面PAB 与平面PDC 的交线与底面ABCD 不平行；上述命题中正确命题的序号为 ．15．已知向量，则与平面BCD 所成角的正弦值为 ．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为 ，表面积为 ．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC 的三个顶点坐标为A （0，0），B （8，4），C （﹣2，4）．（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）若△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m 的值．18．如图所示的几何体中，2CC 1=3AA 1=6，CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 为棱A 1D 中点，平面ABE 分别与棱C 1D ，C 1C 交于点F ，G ．（Ⅰ）求证：AE ∥平面BCC 1；（Ⅱ）求证：A 1D ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角D ﹣EF ﹣B 的大小，并求CG 的长．19．已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C．D．【考点】圆的标准方程．【分析】利用圆的标准方程的性质求解．【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．2．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．3．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由双曲线的渐近线方程y=±x，即可得到所求结论．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．故选：A．4．在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中两直线的位置关系直接求解．【解答】解：“直线a，b没有公共点”⇒“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，“直线a，b互为异面直线”⇒“直线a，b没有公共点”，∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．故选：B．5．已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0 C．D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，C的坐标并代入直线2x+y+a=0，再解关于a的方程，即可得到实数a的值．【解答】解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，∴2a+1=0，解之得a=﹣故选：A．6．已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴 B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴【考点】直线的一般式方程．【分析】由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x即可得出定点，再利用斜率即可判断出与y轴位置关系．【解答】解：由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，故选：B．7．已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2 B．±2 C．﹣2 D．0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可得1×4﹣a•a=0，解得a值排除重合可得．【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，∴1×4﹣a•a=0，解得a=2或a=﹣2，经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去故选：A8．已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥α B．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间线面平行、线面垂直以及面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；对于D ，若a ⊥α且α⊥β，则a ∥β或者a 在平面β内，故D 错误；故选：C ．9．已知点A （5，0），过抛物线y 2=4x 上一点P 的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B ，若|PB|=|PA|，则cos ∠APB=（ ）A ．0B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出P 的坐标，设P 在x 轴上的射影为C ，则tan ∠APC==，可得∠APB=120°，即可求出cos ∠APB ．【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P 的横坐标为3，不妨取点P （3，2），设P 在x 轴上的射影为C ，则tan ∠APC==， ∴∠APC=30°，∴∠APB=120°，∴cos ∠APB=﹣． 故选：C ．10．如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．B ．2C ．D ．3【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B 1P 的长度的最大值．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设P （a ，b ，0），则D 1（0，0，2），E （1，2，0），B 1（2，2，2），=（a ﹣2，b ﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2）， ∵B 1P ⊥D 1E ，∴=a ﹣2+2（b ﹣2）+4=0，∴a+2b ﹣2=0，∴点P 的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，设CD 中点F ，则点P 在线段AF 上，当A 与P 重合时，线段B 1P 的长度为：|AB 1|==2； 当P 与F 重合时，P （0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B 1P 的长度||==3， 当P 在线段AF 的中点时，P （1，，0），=（﹣1，﹣，﹣2），线段B 1P 的长度||==． ∴线段B 1P 的长度的最大值为3．故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ： ∃x ∈R ，x 2＜0 ． 【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ：∃x ∈R ，x 2＜0． 故答案为：∃x ∈R ，x 2＜0．12．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为 6 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆化为标准方程，求得a=3，即可得到长轴长2a ．【解答】解：椭圆x 2+9y 2=9即为+y 2=1，即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．13．若曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为 （2，+∞） ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，由题意可得m ＞0且m ﹣2＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，解得m＞2．故答案为：（2，+∞）．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为①②③．【考点】棱锥的结构特征．【分析】①用反证法利用线面平行的性质即可证明．②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，即可判断；③用反证法利用线面平行的性质即可证明．【解答】解：①用反证法．设在平面PAB内存在直线与DC平行，则CD∥平面PAB，又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD，故CD∥AB，与已知矛盾，故原命题正确；②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；③用反证法．设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，则l∥AB，l∥CD，可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原命题正确．故答案为：①②③．15．已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出平面BCD的法向量，利用向量法能求出与平面BCD所成角的正弦值．【解答】解：∵向量，∴==（﹣1，2，0），==（﹣1，0，3），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，2），设与平面BCD所成角为θ，则sinθ===．∴与平面BCD所成角的正弦值为．故答案为：．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱锥，棱锥底面为等腰三角形，底边为2，底边的高为1，棱锥的高为．棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，∴底面三角形的腰为，棱锥的高为．∴V==，S=+××2+=3．故答案为，三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）若△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m 的值．【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率；圆的一般方程．【分析】（1）证明•=﹣16+16=0，可得⊥，即可证明△ABC 是直角三角形；（2）求出△ABC 的外接圆的方程，利用△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，可得圆心到直线的距离d=4，即可求m 的值．【解答】（1）证明：∵A （0，0），B （8，4），C （﹣2，4），∴=（8，4），=（﹣2，4），∴•=﹣16+16=0，∴⊥，∴ABC 是直角三角形；（2）解：△ABC 的外接圆是以BC 为直径的圆，方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=25，∵△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，∴圆心到直线的距离d=4=，∴m=﹣4或﹣44．18．如图所示的几何体中，2CC 1=3AA 1=6，CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 为棱A 1D 中点，平面ABE 分别与棱C 1D ，C 1C 交于点F ，G ．（Ⅰ）求证：AE ∥平面BCC 1；（Ⅱ）求证：A 1D ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角D ﹣EF ﹣B 的大小，并求CG 的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出CC 1∥AA 1，AD ∥BC ，从而平面AA 1D ∥平面CC 1B ，由此能证明AE ∥平面CC 1B ． （Ⅱ）法1：推导出AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD ，以AB ，AD ，AA 1分别x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A 1D ⊥平面ABE ．法2：推导出AA 1⊥AB ，AB ⊥AD ，从而AB ⊥A 1D ，再由AE ⊥A 1D ，能证明A 1D ⊥平面ABE ．（Ⅲ）推导出平面EFD ⊥平面ABE ，从而二面角D ﹣EF ﹣B 为90°，设，且λ∈[0，1]，则G （2，2，3λ），再由A 1D ⊥BG ，能求出CG 的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，所以CC 1∥AA 1，因为ABCD 是正方形，所以AD∥BC，因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，所以平面AA1D∥平面CC1B．因为AE⊂平面AA1D，所以AE∥平面CC1B．（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），，，因为，所以，所以A1D⊥平面ABE．法2：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB．因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面AA1D，所以AB⊥A1D．因为E为棱A1D中点，且，所以AE⊥A1D，所以A1D⊥平面ABE．（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D⊂平面EFD，所以平面EFD⊥平面ABE．因为平面ABE即平面BEF，所以二面角D﹣EF﹣B为90°．设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），因为A1D⊥平面ABE，BG⊂平面ABE，所以A1D⊥BG，所以，即，所以．19．已知椭圆G ：的离心率为，经过左焦点F 1（﹣1，0）的直线l 与椭圆G 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于C 点，且点C 在线段AB 上．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若|AF 1|=|CB|，求直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，可设直线l ：y=k （x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，由已知可得，且c=1，所以a=2，即有b 2=a 2﹣c 2=3，则椭圆G 的方程为；（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，可设直线l ：y=k （x+1），由消y ，并化简整理得（4k 2+3）x 2+8k 2x+4k 2﹣12=0，由题意可知△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，因为点C ，F 1都在线段AB 上，且|AF 1|=|CB|，所以，即（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=（x 2，y 2﹣y C ），所以﹣1﹣x 1=x 2，即x 1+x 2=﹣1，所以，解得，即．所以直线l的方程为或．。
北京市101中学2019-2020学年高二上学期统练数学试卷 Word版含解析
北京市101中学2019-2020学年高二上学期统练数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．已知方程+=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．﹣9＜m ＜25B ．8＜m ＜25C ．16＜m ＜25D ．m ＞82．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知椭圆+=1上的一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，O 为原点，则|ON|等于（ ）A ．2B ．4C ．8D ．4．直线y=kx+1（k ∈R ）与椭圆+=1恒有公共点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．（0，5）C ．[1，5）∪（5，+∞）D ．（1+∞）5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（0，] C ．（0，） D ．[，1）6．已知F 1（﹣4，0），F 2（4，0），又P （x ，y ）是曲线+=1上的点，则（ ） A ．|PF 1|+|PF 2|=10 B ．|PF 1|+|PF 2|＜10 C ．|PF 1|+|PF 2|≤10 D ．|PF 1|+|PF 2|≥107．过点A （11，2）作圆x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣164=0的弦，其中弦长为整数的共有（ ）A ．16条B ．17条C ．32条D ．34条8．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题共6小题．9．已知直线5x ﹣12y+a=0与圆x 2﹣2x+y 2=0相切，则a 的值为 ． 10．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ． 11．椭圆+=1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|=4，则|PF 2|= ，∠F 1PF 2的大小为 ．12．已知P为椭圆+y2=1上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|•|PF2|的最大值是，|PF1|2+|PF2|2的最小值是．13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．14．设F1，F2分别为椭圆+y2=1的焦点，点A，B在椭圆上，若=5；则点A的坐标是．三、解答题共3小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+9=0．（I）若点Q（x，y）在圆C上，求x+y的最大值与最小值；（II）已知过点P（3，2）的直线l与圆C相交于A、B两点，若P为线段AB中点，求直线l的方程．16．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点F（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．17．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．北京市101中学2019-2020学年上学期统练高二数学试卷参考答案一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．﹣9＜m＜25 B．8＜m＜25 C．16＜m＜25 D．m＞8【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的标准方程及其性质即可得出．【解答】解：∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴m+9＞25﹣m＞0，解得8＜m＜25．故选：B．2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的长轴长是短轴长的2倍可知a=2b，进而可求得c关于a的表达式，进而根据求得e．【解答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，椭圆的离心率，故选D．3．已知椭圆+=1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于（）A．2 B．4 C．8 D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先根据椭圆的定义求出MF2=8的值，进一步利用三角形的中位线求的结果．【解答】解：根据椭圆的定义得：MF2=8，由于△MF2F1中N、O是MF1、F1F2的中点，根据中位线定理得：|ON|=4，故选：B．4．直线y=kx+1（k∈R）与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围为（）A ．（0，1）B ．（0，5）C ．[1，5）∪（5，+∞）D ．（1+∞）【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】求出直线结果的定点，利用直线与椭圆恒有公共点，列出不等式组求出m 的范围．【解答】解：由于直线y=kx+1恒过点M （0，1）要使直线y=kx+1与椭圆+=1恒有公共点，则只要M （0，1）在椭圆的内部或在椭圆上从而有，解可得m ≥1且m ≠5故选：C ．5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（0，] C ．（0，） D ．[，1） 【考点】椭圆的应用．【分析】由•=0知M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距c 为半径的圆．又M 点总在椭圆内部，∴c ＜b ，c 2＜b 2=a 2﹣c 2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a ，b ，c ，∵•=0，∴M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距c 为半径的圆．又M 点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c ＜b ，c 2＜b 2=a 2﹣c 2．∴e 2=＜，∴0＜e ＜．故选：C ．6．已知F 1（﹣4，0），F 2（4，0），又P （x ，y ）是曲线+=1上的点，则（ ）A ．|PF 1|+|PF 2|=10B ．|PF 1|+|PF 2|＜10C ．|PF 1|+|PF 2|≤10D ．|PF 1|+|PF 2|≥10【考点】两点间的距离公式．【分析】根据题意，曲线表示的图形是图形是如图所示的菱形ABCD ，而满足|PF 1|+|PF 2|=10的点的轨迹恰好是以A 、B 、C 、D 为顶点的椭圆，由此结合椭圆的定义即可得到|PF 1|+|PF 2|≤10．【解答】解：∵F 1（﹣4，0），F 2（4，0），∴满足|PF 1|+|PF 2|=10的点在以F 1、F 2为焦点，2a=10的椭圆上可得椭圆的方程为，∵曲线表示的图形是图形是以A（﹣5，0），B（0，3），C（5，0），D（0，﹣3）为顶点的菱形∴由图形可得菱形ABCD的所有点都不在椭圆的外部，因此，曲线上的点P，必定满足|PF1|+|PF2|≤10故选：C7．过点A（11，2）作圆x2+y2+2x﹣4y﹣164=0的弦，其中弦长为整数的共有（）A．16条B．17条C．32条D．34条【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化简圆的方程为标准方程，求出弦长的最小值和最大值，取其整数个数．【解答】解：圆的标准方程是：（x+1）2+（y﹣2）2=132，圆心（﹣1，2），半径r=13过点A（11，2）的最短的弦长为10，最长的弦长为26，（分别只有一条）还有长度为11，12，…，25的各2条，所以共有弦长为整数的2+2×15=32条．故选C．8．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设点P在x轴上方，坐标为，根据题意可知|PF2|=，|PF2|=|F1F2|，进而根据求得a和c的关系，求得离心率．【解答】解：设点P在x轴上方，坐标为，∵△F1PF2为等腰直角三角形∴|PF2|=|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e=故选D二、填空题共6小题．9．已知直线5x ﹣12y+a=0与圆x 2﹣2x+y 2=0相切，则a 的值为 ﹣18或8 ． 【考点】点到直线的距离公式；圆的标准方程． 【分析】求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出a 的值．【解答】解：圆的方程可化为（x ﹣1）2+y 2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可得， 所以a 的值为﹣18或8．故答案为：﹣18；810．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为． 【考点】椭圆的标准方程．【分析】由题设条件知，2a=12，a=6，b=3，由此可知所求椭圆方程为．【解答】解：由题设知，2a=12， ∴a=6，b=3，∴所求椭圆方程为．答案：．11．椭圆+=1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|=4，则|PF 2|= 2 ，∠F 1PF 2的大小为 120° ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】第一问用定义法，由|PF 1|+|PF 2|=6，且|PF 1|=4，易得|PF 2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．【解答】解：∵|PF 1|+|PF 2|=2a=6，∴|PF 2|=6﹣|PF 1|=2．在△F 1PF 2中，cos ∠F 1PF 2===﹣，∴∠F 1PF 2=120°．故答案为：2；120°12．已知P 为椭圆+y 2=1上任意一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|•|PF 2|的最大值是 4 ，|PF 1|2+|PF 2|2的最小值是 8 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】借助于椭圆的定义得|PF 1|+|PF 2|=2a ，设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，利用基本不等式的性质即可|PF 1|•|PF 2|的最大值．利用PF 1|•|PF 2|的最大值，即可得到的|PF 1|2+|PF 2|2的最小值．【解答】解：由题意：椭圆+y 2=1，可得a=2，P 时椭圆上任意一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点． 由椭圆的定义得|PF 1|+|PF 2|=2a ，设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，即m+n=2a=4，∴m+n ，当且仅当m=n 时取等号．所以：mn ≤4即|PF 1|•|PF 2|的最大值为4．|PF 1|2+|PF 2|2的=m 2+n 2≥2mn=8当且仅当m=n 时取等号．所以|PF 1|2+|PF 2|2的最小值8．故答案为：4，8．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2﹣8x+15=0，若直线y=kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ．【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．【分析】由于圆C 的方程为（x ﹣4）2+y 2=1，由题意可知，只需（x ﹣4）2+y 2=1与直线y=kx ﹣2有公共点即可．【解答】解：∵圆C 的方程为x 2+y 2﹣8x+15=0，整理得：（x ﹣4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x ﹣4）2+y 2=1与直线y=kx ﹣2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx ﹣2的距离为d ，则d=≤2，即3k 2﹣4k ≤0，∴0≤k ≤．∴k 的最大值是．故答案为：．14．设F 1，F 2分别为椭圆+y 2=1的焦点，点A ，B 在椭圆上，若=5；则点A 的坐标是 （0，±1） ． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】作出直线F 1A 的反向延长线与椭圆交于点B'，由椭圆的对称性，得，利用椭圆的焦半径公式及向量共线的坐标表示列出关于x 1，x 2的方程，解之即可得到点A 的坐标． 【解答】解：方法1：直线F 1A 的反向延长线与椭圆交于点B'又∵由椭圆的对称性，得设A （x 1，y 1），B'（x 2，y 2）由于椭圆的a=，b=1，c= ∴e=，F 1（，0）． ∵|F 1A|=|x 1﹣|， |F 1B'|=|x 2﹣|， 从而有：|x 1﹣|=5×|x 2﹣|， 由于≤x 1，x 2， ∴﹣x 1＞0，﹣x 2＞0， 即=5× =5． ①又∵三点A ，F 1，B ′共线，∴（，y 1﹣0）=5（﹣﹣x 2，0﹣y 2） ∴．②由①+②得：x 1=0．代入椭圆的方程得：y 1=±1，∴点A 的坐标为（0，1）或（0，﹣1）方法2：因为F 1，F 2分别为椭圆的焦点，则，设A ，B 的坐标分别为A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），若；则，所以，因为A ，B 在椭圆上，所以，代入解得或，故A （0，±1）．方法三、由e=||，λ=5，e=，cos θ=，sin θ=，k=tan θ=，由，即可得到A （0，±1）．故答案为：（0，±1）．三、解答题共3小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y+9=0．（I ）若点Q （x ，y ）在圆C 上，求x+y 的最大值与最小值；（II ）已知过点P （3，2）的直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，若P 为线段AB 中点，求直线l 的方程．【考点】点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质．【分析】（I ） 设 x+y=d ，d 取最值时，圆和直线 x+y=d 相切，则由圆心到直线x+y=d 的距离等于半径求得d 值，即为所求．（II ） 由题意得 CP ⊥AB ，由 k CP =﹣1，可得 k AB =1，点斜式可求直线l 的方程．【解答】解：圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4，∴圆心C （2，3），半径r=2，（I ）设 x+y=d ，则由圆心到直线x+y=d 的距离等于半径得 ，∴x+y 最大值为，最小值．（II ）依题意知点P 在圆C 内，若P 为线段AB 中点时，则CP ⊥AB ，∵k CP =﹣1，∴k AB =1，由点斜式得到直线l 的方程：y ﹣2=x ﹣3，即 x ﹣y ﹣1=0．16．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，其中左焦点F （﹣2，0）．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y=x+m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段的中点M 在圆x 2+y 2=1上，求m 的值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）由题意，得由此能够得到椭圆C 的方程．（2）设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段AB 的中点为M （x 0，y 0），由消y 得，3x 2+4mx+2m 2﹣8=0，再由根的判断式结合题设条件能够得到m 的值． 【解答】解：（1）由题意，得解得∴椭圆C 的方程为．（2）设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段AB 的中点为M （x 0，y 0），由消y 得，3x 2+4mx+2m 2﹣8=0， △=96﹣8m 2＞0，∴﹣2＜m ＜2．∴=﹣， ． ∵点M （x 0，y 0）在圆x 2+y 2=1上，∴，∴．17．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （﹣1，1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M ，N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式．【分析】（Ⅰ）设点P 的坐标为（x ，y ），先分别求出直线AP 与BP 的斜率，再利用直线AP 与BP 的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：．根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点P 的纵坐标的方程，解之即得．【解答】解：（Ⅰ）因为点B 与A （﹣1，1）关于原点O 对称，所以点B 得坐标为（1，﹣1）． 设点P 的坐标为（x ，y ）化简得x 2+3y 2=4（x ≠±1）．故动点P 轨迹方程为x 2+3y 2=4（x ≠±1）（Ⅱ）解：若存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，设点P 的坐标为（x 0，y 0）则．因为sin ∠APB=sin ∠MPN ，所以所以=即（3﹣x 0）2=|x 02﹣1|，解得因为x 02+3y 02=4，所以故存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为（）．。
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时，动点 M 的轨迹可以是_____（把所有可能的序号都写上）.①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线. 【答案】①②③ 【解析】
推导公式 e c a
c2 a2
a2 b2 a2
1
b a
2
,考查了理解能力和转化能力.
二、填空题共 6 小题每小题 5 分共 30 分
9.若抛物线 y2 2 px 的焦点与双曲线 x2 y2 1的右焦点重合，则 p 的值
．
63
【答案】6
【解析】
试题分析：根据题意，由于双曲线 x2 y2 1的 a2 6,b2 3, c2 a2 +b2 9c 3 右焦点坐标为（3, 0）， 63
A. 平行
B. 重合
C. 垂直
D. 相交但不垂直
【答案】C
【解析】
a, b, c 分别是 ABC 中 A, B, C 所对边的边长， 则直线 x sinA a y c 0 斜率为： sinA ，
a b x y sinB sinC 0 的斜率为： b ，
uuur AD)
,又因为空间四边形
ABCD
的每条边和对角线
2
2
4
的长都等于 2,所以原式 1 (2 2 cos 60 2 2 cos 60) 1 . 4
故答案为:1
【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间
的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.
【分析】
设点 M 的坐标,得到 N 点坐标,利用条件中 | MN |2 AN NB 计算出关于动点 M 的轨迹方程,然后再进行
判断轨迹图形.
【 详 解 】 设 M (x, y) , 则 N ( x, 0) , 由 题 意 | MN |2 AN NB 计 算 可 得 y2 (x 1)(1 x) , 化 简 得
2
24 4
【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.
7.正四棱锥 S—ABCD 底面边长为 2，高为 1，E 是边 BC 的中点，动点 P 在四棱锥表面上运动，并且总保
持 PE⊥AC，则动点 P 的轨迹的周长为（ ）
A. 1 2
B. 2 3
C. 2 2
D. 2 3
【答案】B 【解析】
【详解】
x2
y2
,又因为
0 ,即得 x2
y2
1,当
0 时,其轨迹方程是双曲线;当
0且
1时其轨迹方
程是椭圆;当 1 时其轨迹方程是圆,综上动点 M 的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线.
故答案为: ①②③
【点睛】本题考查了动点轨迹问题,求解过程中依据已知条件进行先求出轨迹方程,然后再进行判断,解答题目
【详解】设动圆圆心 M x, y ，半径为 r ，
圆 M 与圆 C1 ： (x 4)2 y2 169 内切，与圆 C2 ： (x 4)2 y 2 9 外切， MC1 13 r ， MC2 r 3 ， | MC1 MC2 16 8 ，
由椭圆的定义， M 的轨迹为以 C1 ， C2 为焦点的椭圆，
A. （1， 2 3 ] 3
B. （1， 2 ]
C. [ 2 3 ，+∞） 3
D. [ 2 ，+∞）
【答案】B
【解析】 【分析】 结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内,则可以得到倾斜角的范围,再利用离心率的计算方法求出 结果.
【详解】根据题意,因为点 P 为双曲线右支上的动点,过点 P 向两条渐近线作垂线,垂足分别为 A,B,若点 AB
的距离为 ( )
3
A.
4
B. 1
5
C.
4
7
D.
4
【答案】C
【解析】
【分析】
抛物线的准线为 l
:
x
1 4
，过
A,
B
作准线的垂线，垂足为
E,G
，
AB
的中点为
M
，过
M
作准线的垂线，
垂足为 MH ，则可利用几何性质得到
MH
3 2
，故可得
M
到 y 轴的距离.
【详解】抛物线的准线为 l
:
x
1 4
，过
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
【答案】C
【解析】 【分析】
运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.
【详解】对于①中复数 z1 和 z2 的模相等,例如 z1=1+i , z2 = 2i ,则 z1 和 z2 是共轭复数是错误的;对于② z1 和 z2 都是复数,若 z1+z2 是虚数,则其实部互为相反数,则 z1 不是 z2 的共轭复数,所以②是正确的; 对于③复数 z 是实数,令 z a ,则 z a 所以 z z ,反之当 z z 时,亦有复数 z 是实数,故复数 z 是实数的充
相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 ( )
A. x2 y2 1 64 48
B. x2 x2 1 48 64
C. x2 y2 1 48 64
D. x2 y2 1 64 48
【答案】D
【解析】 【分析】
设出动圆半径为 r ，根据两圆外切和内切判定圆心距与两圆半径和差的关系，消去 r ，根据椭圆的定义，即 可求得动圆圆心 M 的轨迹，进而可求其方程．
北京一零一中 2019-2020 学年度第一学期期末考试
一、选择题共 8 小题每小题 5 分共 40 分，在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一
项
1.复数
z
1 1
i i
，则|z|=(
)
A. 1
B. 2
Hale Waihona Puke C. 2D. 2 2
【答案】A
【解析】 【分析】
运用复数的除法运算法则,先计算出 z 的表达式,然后再计算出 z .
动点 P 的轨迹为如图三角形 MEF,周长为 2 3 3 2 3 ,选 B. 22
8.设点
P
为双曲线
x2 a2
y2 b2
（1 a 0，b 0）右支上的动点，过点 P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为 A，
B，若点 AB 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率 e 的取值范围是( )
sinB ∵ sinA b =﹣1，∴两条直线垂直．
a sinB
故选 C．
3.已知下列三个命题：①若复数 z1，z2 的模相等，则 z1，z2 是共轭复数；②z1，z2 都是复数，若 z1+z2 是虚数，
则 z1 不是 z2 的共轭复数；③复数 z 是实数的充要条件是 z z .则其中正确命题的个数为( )
的值为_____.
【答案】1 【解析】 【分析】
结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果.
【详解】因为点 E , F 分别是边 BC , AD 的中点,
则
uuur AE
uuur AF
1
uuur ( AB
uuur AC )
1
uuur AD
1
uuur (AB
uuur AD
uuur AC
因此可知抛物线 y2 2 px 的焦点（ p , 0） ( 3, 0) p 3 p 6 ,故答案为 6
2
2
考点：考查了抛物线与双曲线的性质．.
点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数 p 的值，属于
基础题．
10.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 2，点 E，F 分别是边 BC，AD 的中点，则 AE AF
得方法是依据题意设出点坐标进行化简,注意分类讨论.
12.过点 M ( 1 ,1) 的直线 l 与圆 C：（x﹣1）2+y2＝4 交于 A、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线 l 的 2
方程为_____．
【答案】2x﹣4y+3＝0
【解析】
【分析】
要∠ACB 最小则分析可得圆心 C 到直线 l 的距离最大,此时直线 l 与直线 CM 垂直,即可算出 CM 的斜率求
【答案】 4 10 5
【解析】
【分析】
设出直线 l 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦长的表达式，进而求得弦长的最大值.
【 详 解 】 设 直 线 方 程 为 y x b ， 代 入 椭 圆 方 程 并 化 简 得 5x2 8bx 4b2 4 0 ，
【详解】由题意复数
z
1i 1 i
得 1i 1 i
= (1 i) 2 (1 i)(1 i)
1 2i i 2 2
i ,所以
z
=1 .
故选 A
【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基
础.
2.设 a, b, c 分别是 ABC 中 A, B, C 所对边的边长，则直线 x sin A a y c 0 与 b x y sin B sin C 0 位置关系是（ ）
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点
与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.