2018年一轮复习数学训练：第3章 第4节 训练20 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用(测)
专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用一、填空题1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移_____个单位 【解析】由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可 2. 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝3．(2017·湖北八校联考)把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为【解析】把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R)的图象；再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6(x ∈R)．4．(2016·长沙四校联考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则函数f (x )的单调递增区间为【解析】将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝f (x )，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ， 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为________．【答案】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π－π3，k ∈Z【解析】根据所给图象，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故ω＝2ππ＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，又图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0，所以有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z)，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z)时，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值．6．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝7.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.【答案】32【解析】观察图象可知，A ＝1，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π， ∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0， 即－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，即x 1＋x 2＝π6， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.8．(2017·山东师大附中模拟)设P 为函数f (x )＝sin π2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos π2x的图象上的一个最低点，则|PQ |的最小值是________． 【答案】 5【解析】由题意知两个函数的周期都为T ＝2ππ2＝4，由正、余弦函数的图象知，f (x )与g (x )的图象相差14个周期，设P ，Q 分别为函数f (x )，g (x )图象上的相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，则Q (x 0＋1，－1)，则|PQ |min ＝x 0＋1－x 02＋－1－2＝ 5.9．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f π6＝________.【答案】2210．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 【答案】143【解析】依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，则π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)．所以ω＝8k ＋143(k ∈Z)．因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.二、解答题11.函数f (x )＝cos(πx ＋φ) 0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．12．(2017·洛阳质检)如图，摩天轮上一点P 在时刻t (单位：分钟)距离地面的高度y (单位：米)满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，φ∈[－π，π]，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．(1)根据条件写出y 关于t 的解析式；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面的高度超过85米？ 解：(1)由题设可知A ＝50，b ＝60， 又T ＝2πω＝3，所以ω＝2π3，从而y ＝50sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t ＋φ＋60.由题设知t ＝0时y ＝10， 将t ＝0，y ＝10代入y ＝50sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t ＋φ＋60，得sin φ＝－1，又φ∈[－π，π]，从而φ＝－π2，因此y ＝60－50cos 2π3t (t ≥0)．(2)要使点P 距离地面的高度超过85米，则有y ＝60－50cos 2π3t >85，即cos 2π3t <－12，解得2π3<2π3t <4π3，即1<t <2，所以在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面的高度超过85米的时间有1分钟.。
第3章 第4节 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像及应用
大一轮复习·数学·BSD（理）
(3)对称性：利用 y＝sin x 的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解， 令 ωx利0＋用φy＝＝ksπi(nk∈x 的Z)对，称求轴得为对_称_x＝_中_k_心π_＋_为_2π_(_x_0,_0)(．k∈Z)求解，令 ωx＋φ ＝kπ＋2π(k∈Z)，求得其对称轴为 x＝x0.
解析：由函数f(x)＝2sin
2x＋π6
得周期T＝
2π 2
＝π，将函数f(x)
＝2sin2x＋6π的图像向右平移14个周期，即为函数f(x)＝2sin2x＋π6
的图像向右平移
π 4
个单位，得y＝f
x－4π
＝2sin
2x－4π＋6π
＝
2sin2x－3π.
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即f(3)＝sin32π＋π6＝－cos
π6＝－
3 2.
答案：－
3 2
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3 ． (2018·贵 州 贵 阳 检 测 ) 函 数 f(x) ＝ sin(ωx ＋ φ)(x ∈ R)ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，如果 x1，x2∈－π6，π3，且 f(x1) ＝f(x2)，则 f(x1＋x2)＝( B )
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2．(2018·西安八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋ φ) ω>0，－2π≤φ≤π2 的图像上的一个最高点和它相邻的一个最 低点的距离为2 2 ，且过点 2，－12 ，则函数f(3)的值为 ________.
2018一轮复习数学训练：第3章 第4节 训练20 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
课时分层训练(二十) 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )【导学号：57962161】A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位A [由于y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π2，因此只需将y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位，即可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像．] 2．(2017·成都二诊)将函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图像上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g (x )的图像，则函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 C ．g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D ．g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B [由图像变换规则可得g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故选B.]3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图3-4-5所示，则ω，φ的值分别是( )图3-4-5A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π3A [∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.由T ＝2πω＝π，得ω＝2.∵5π12×2＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－π3＋2k π.又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3.]4．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图像与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的递增区间是( )【导学号：57962162】A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z C [由题设知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，f (x )的周期为T ＝π，所以ω＝2，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .]5．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )B [将函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，即平移后图像的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．]二、填空题6．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.【导学号：57962163】0 [由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.] 7．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．π6 [由题意cos π3＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，2π3＋φ＝k π＋(－1)k ·π6(k ∈Z )．因为0≤φ＜π，所以φ＝π6.] 8.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图像如图3-4-6所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．图3-4-6－5 [由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100， ∴ω＝2πT ＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10，∴10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ＝10，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z .又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6， ∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6， 当t ＝1100秒时，I ＝－5安．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图像．[解] (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4. 5分(2)图像如图所示．12分10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图像过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图像上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间.【导学号：57962164】[解] (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，2分∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图像过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，4分∴5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.6分(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，10分故函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·北京高考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图像上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图像上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6 B ．t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3 D ．t ＝32，s 的最小值为π3A [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图像上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s ＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z )，所以s 的最小值为π6.]2．若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．(－2，－1] [由题意可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ，该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的交点．结合函数的图像可知1≤－a ＜2，所以－2＜a ≤－1.]3.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图像如图3-4-7所示．图3-4-7(1)求f (x )的解析式； (2)设g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122，求函数g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值，并确定此时x 的值．[解] (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3， 2分∴ω＝32.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝0.4分∵0＜φ＜π2， ∴－π4＜φ－π4＜π4， ∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4.6分(2)由(1)可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π8，8分∴g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122＝4×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π42＝2－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.10分∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )ma x ＝4. 12分。
高考数学一轮复习 第三章三角函数 解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型
_
_______．
π 解析：函数 y＝sin2x 的图象向右平移 个单位后得到 y＝sin2(x 4 π π － )＝sin(2x－ )＝－cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位可以 4 2 得到 y＝－cos2x＋1 的图象，由二倍角公式知 y＝2sin2x.
1 法二：将 y＝sinx 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 倍， 2 纵坐标不变，得到 y＝sin2x 的图象； π π 再将 y＝ sin2x 的图象向左平移 个单位，得到 y＝ sin2(x＋ )＝ 6 6 π π sin(2x＋ )的图象；再将 y＝sin(2x＋ )的图象上每一点的横坐标保 3 3 π 持不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y＝2sin(2x＋ )的图象． 3
1 π 解：(1)y＝3sin( x－ )的周期 T＝4π. 2 4 π 振幅为 3，初相为－ . 4
(2)在x∈[0,4π]上确定关键点列表：
x 1 π x－ 2 4 1 π 3sin( x－ ) 2 4 0 － － π 4 π 2 0 0 3π 2 π 2 3 5π 2 π 0 7π 2 3π 2 4π
π (3)法一：把 y＝sinx 的图象上所有的点向左平移 个单位，得到 y＝ 3 π π sin(x＋ )的图象， 再把 y＝sin(x＋ )的图象上的点的横坐标缩短到原 3 3 1 π 来的 倍(纵坐标不变)， 得到 y＝sin(2x＋ )的图象，最后把 y＝sin(2x 2 3 π ＋ )上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y 3 π ＝2sin(2x＋ )的图象． 3
答案：0
1. y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx 振幅 ＋φ)(A>0， ω>0)，
2018高考一轮数学浙江专版练习第3章 第4节 函数y=Asin
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin (ωx ＋φ)的有关概念表所示先平移后伸缩 先伸缩后平移⇓ ⇓1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( )(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向上平行移动π3个单位长度 D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．]3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象3-4-1如图，则ω＝( )图3-4-1A ．5B ．4C ．3D ．2B [由图象可知，T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4，所以T ＝π2＝2πω，所以ω＝4.]4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4 B.π4 C ．0D ．－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.] 5．(教材改编)电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的初相、周期分别是________.【导学号：51062109】π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I 变化的初相是π3，周期T ＝2π100π＝150.]已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ [解] (1)列表取值：(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象.15分[规律方法] 1.变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位．2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．[变式训练1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到. 【导学号：51062110】(1)D (2)π3 [(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.(2)∵y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∴函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到．]图3-4-2A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2(1)A (2)D [(1)由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.][规律方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[变式训练2] (2017·浙江名校(镇海中学)交流卷一)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图3-4-3所示，则A ＝________，ω＝________，φ＝________.图3-4-31 3 π4 [显然A ＝1；周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π4＝2π3，则ω＝2πT ＝3； 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π12＋φ＝－1和|φ|<π2，得φ＝π4.]已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪π2－x ·cos ⎝ ⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解](1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z.2分f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.7分(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .12分设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.15分[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．[变式训练3] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．[解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.4分 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.7分(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.9分 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.13分 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.15分数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，2分又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.4分 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.7分 (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.12分又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18. 故在10时至18时实验室需要降温.15分[规律方法] 1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4] 如图3-4-4，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图3-4-4A ．5B ．6C ．8D ．10C[根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.][思想与方法]1．由图象确定函数解析式由图象确定y＝A sin(ωx＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降确定“五点法”作图中的第几个零点．2．对称问题函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．[易错与防范]1．要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域．课时分层训练(十八) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位A [由于y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π2，因此只需将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位，即可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象．] 2．(2017·浙江测试卷)为得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只需将函数y ＝2cos2x 的图象( ) 【导学号：51062111】A ．向左平移π4个单位 B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π8个单位 D ．向右平移π8个单位D [将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π8个单位，可得函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．]3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图3-4-5所示，则ω，φ的值分别是( )图3-4-5A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6 D ．4，π3A [∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.由T ＝2πω＝π，得ω＝2.∵5π12×2＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－π3＋2k π.又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3.]4．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z C [由题设知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，f (x )的周期为T ＝π，所以ω＝2，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .]5．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )B [将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．]二、填空题6．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.0 [由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.] 7．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．π6 [由题意cos π3＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，2π3＋φ＝k π＋(－1)k ·π6(k ∈Z )．因为0≤φ＜π，所以φ＝π6.] 8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃.【导学号：51062112】20．5 [依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝20.5.]三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．[解] (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.6分 (2)图象如图所示．15分10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的递增区间. 【导学号：51062113】 [解] (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，2分∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，4分∴5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.7分 (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，10分故函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).15分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6 B ．t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3 D ．t ＝32，s 的最小值为π3A [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s ＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z )，所以s 的最小值为π6.]2．若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．(－2，－1] [由题意可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ，该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的交点．结合函数的图象可知1≤－a ＜2，所以－2＜a ≤－1.]3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图3-4-6所示．图3-4-6(1)求f (x )的解析式； (2)设g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122，求函数g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值，并确定此时x 的值．[解] (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，2分 ∴ω＝32.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝0.4分∵0＜φ＜π2， ∴－π4＜φ－π4＜π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4.7分(2)由(1)可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π8，10分∴g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122＝4×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π42＝2－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.12分∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.15分。
一轮复习课时训练§3.4：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
第三章§4：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间40钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．将函数y ＝sin4x 的图象向左平移π12个单位，得到y ＝sin(4x ＋φ)的图象，则φ等于 A ．－π12 B ．－π3 C ．π3 D ．π122．已知a 是实数，则函数f(x)＝1＋asinax 的图象不可能是3．设ω＞0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是A ．23B ．43C ．32D ．34．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ≤π2)的图象与y ＝2直线相交的两个相邻交点间的距离为π，且f(0)＝3，则A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π35．关于函数f(x)＝4sin(2x －π3)(x ∈R)，有下列命题：(1)y ＝f(x ＋4π3)为偶函数，(2)要得到函数g(x)＝－4sin2x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移π3个单位，(3)y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－π12对称，(4)y ＝f(x)在[0,2π]内的增区间为[0，5π12]和[11π12，2π]．其中正确命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．已知函数f(x)＝5sin(ωx ＋2)满足条件f(x －1)＝f(x ＋1)．则正数ω＝________.7．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f(7π12)＝________. 8．已知函数f(x)＝3sin(ωx －π6)(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈[0，π2]，则f(x)的取值范围是________． 三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π2)图象关于点B(－π4，0)对称，点B 到函数y ＝f(x)图象的对称轴的最短距离为π2，且f(π2)＝1. (1)求A ，ω，φ的值；(2)若0<θ<π，且f(θ)＝13，求cos2θ的值．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知函数f(x)＝cos 2x －sin 2x 2，g(x)＝12sin2x －14. (1)函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象经过怎样的变化得出？(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值，并求使h(x)取得最小值的x 的集合．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：y ＝sin4x 的图象向左平移π12个单位后，得到y ＝sin4(x ＋π12)，即y ＝sin(4x ＋π3)，即φ＝π3.因此C 项对． 答案：C2．解析：∵函数的最小正周期T ＝2π|a|，∴当|a|＞1时，T ＜2π，当0＜|a|＜1时，T ＞2π，观察图形中周期与振幅的关系，可知D 项不符合要求．答案：D3．解析：由已知函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的最小正周期是4π3，则T ＝2πω＝4π3，ω＝32. 答案：C4．解析：由已知f(x)的最小正周期为π，则2πω＝π，∴ω＝2，则f(x)＝2sin(2x ＋φ)． 又∵f(0)＝3，则f(0)＝2sinφ＝3，∴sinφ＝32， ∵－π2≤φ≤π2，∴φ＝π3. 答案：D5．解析：y ＝f(x ＋43π)＝4sin(2x ＋83π－π3)＝4sin(2x ＋73π)，非奇非偶，(1)错误；f(x)右移π3个单位得f 1(x)＝4sin [2(x －π3)－π3]＝－4sin2x ，(2)正确；当x ＝－π12时，2x －π3＝－π2，使f(x)取得最小值，y ＝f(x)关于x ＝－π12对称，(3)正确；由f(x)的单增区间为[kπ－π12，kπ＋512π]，k ∈Z ，知(4)正确．答案：C 二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：已知可得f(x)的周期为2，∴T ＝2πω＝2，∴ω＝π. 答案：π7．解析：由题中图象知32T ＝π， ∴T ＝2π3. ∵f(π4)＝0， ∴f(7π12)＝f(π4＋π3)＝f(π4＋T 2)＝－f(π4)＝0. 答案：08．解析：∵f(x)与g(x)的对称轴完全相同，∴f(x)与g(x)的周期相同．知ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x －π6)， 当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，56π]， sin(2x －π6)∈[－12，1]，f(x)的取值范围是[－32，3]． 答案：[－32，3] 三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)依题意有2πω＝4×π2＝2π，∴ω＝1. 又f(－π4)＝Asin(－π4＋φ)＝0，∴sin(φ－π4)＝0. ∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4，∴φ－π4＝0， ∴φ＝π4. 又f(π2)＝Asin(π2＋π4)＝22A ＝1，∴A ＝ 2. (2)f(θ)＝2sin(θ＋π4)＝sinθ＋cosθ＝13⇒1＋2sinθcosθ＝19， 2sinθcosθ＝－89<0，θ∈(0，π) ∴sinθ>0，cosθ<0，∴sinθ－cosθ＝1－2sinθcosθ＝173， ∴cos2θ＝(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ)＝－179.10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)f(x)＝12cos2x ＝12sin(2x ＋π2)＝12sin2(x ＋π4)， 所以要得到f(x)的图象只需要把g(x)的图象向左平移π4个单位长度，再将所得的图象向上平移14个单位长度即可． (2)h(x)＝f(x)－g(x)＝12cos2x －12sin2x ＋14＝22cos(2x ＋π4)＋14， 当2x ＋π4＝2kπ＋π(k ∈Z)时，h(x)取得最小值－22＋14＝1－224. h(x)取得最小值时，对应的x 的集合为{x|x ＝kπ＋3π8，k ∈Z}．。
【课堂新坐标】高考数学一轮复习 第三章第四节 三角函数的图象及三角函数模型的应用 理 (广东专用)
A．ω＝1，φ＝π6 C．ω＝2，φ＝π6
B．ω＝1，φ＝－π6 D．ω＝2，φ＝－π6
【解析】 由图象知 A＝1，T＝4(172π－π3)＝π， ∴2ωπ＝π，ω＝2，排除 A，B. 再由 2×π3＋φ＝π2，得 φ＝－π6.
【答案】 D
4．(2011·大纲全国卷)设函数 f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将 y＝f(x)
究
•••678、、、做凡教老为育师教者的者，只必非要期为有于已一达往次到，向不非学须为生教现撒。在谎对，撒人而漏以专了诚为底信将，，来就人。可不20能 欺22使 我/1他/;对3的12事全02以部2诚/教1/信育31，成2事0果2无2从/不1此/成3为1。2之022失20/2败12//。31/132102220年 22/11月/32102J2a/n1u/a3r1y23012,2/210/23212022/1/311/31/2022提知·
【规范解答】 (1)∵f(x)的图象过点(π6，12)，
∴21＝21sin
π 3sin
φ＋cos2π6cos
φ－21sin(π2＋φ)．
化简 23sin φ＋12cos φ＝1，即 sin(φ＋π6)＝1…………….3 分
的图象向右平移π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 3
ω
的最小值等于( )
1 A.3
B．3 C．6
D．9
【解析】 平移后函数 y＝cos ω(x－π3)＝cos(ωx－π3ω)， 依题意 cos ωx＝cos(ωx－π3ω)， ∴－π3ω＝2kπ，(ω＞0)，ωmin＝6.
【答案】 C
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
规范解答之五 函数 y＝Asin(ωx＋φ)最值的求法 (12 分)(2010·山东高考)已知函数 f(x)＝ 12sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－12sin(π2＋φ)(0＜φ＜π)，其图象过点 (π6，21)． (1)求 φ 的值；
高考数学一轮复习 第3章《三角函数》三角函数的图象课件
∴φ=-ωx0=-
2
(3
2)=
3
.
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解法四：（平移法）
由图象知，将y=5sin
2 3
x的图象沿x轴向左平移
2
个单
位，就得到本题图象.故所求函数解析式为
y=5sin〔 2 ( x+ )〕=5sin( 2 x+ ).
3
2
33
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考点三 三角函数图象的对称性
已知函数y=sin2x+acos2x= 1 a2 sin(2x+φ)(其中
3
(2)由此题两种解法可见,在由图象求解析式时，
“第一个零点”的确定是重要的，应尽量使A取正值.
(3)已知函数图象求函数
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时,常用的解题 方法是待定系数法,由图中的最大值或最小值确定A,由 周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由
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图象求得的y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式一般不唯 一,只有限定φ的取值范围,才能得出唯一解,否则φ的值不 确定,解析式也就不唯一.
学案3 三角函数的图象
考点分析
1. “五点法”作y=Asin(ωx+φ)(A＞00,,ω,＞,30)的,2简图
五点的取法是：设X=ωx+φ，由X取 2 2 来求相应的x值，及对应的y值，再描点作图.
2.变换作图法作y=Asin(ωx+φ)（A＞0,ω＞0）的 图象
(1)振幅变换：y=sinx→y=Asinx 返回目录
以“五点法”中的第一零点(
,0)作为突破口，要从图
象的升降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特殊量和特
高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第四节三角函数的图象与性质教师用书理(2021学年)
2018届高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第四节三角函数的图象与性质教师用书理编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2０1８届高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第四节三角函数的图象与性质教师用书理)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第四节三角函数的图象与性质☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1．能画出ｙ=sin x,y=ｃosｘ，y＝ｔan x 的图象,了解三角函数的周期性;２.理解正弦函数、余弦函数在区间［0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间错误!内的单调性。
201６,天津卷,1５,13分(三角函数的周期性、单调性)２016，山东卷,７，5分（三角函数的周期性)20１6,浙江卷，3,5分(三角函数的图象）２015，全国卷Ⅰ,8,5分（三角函数的图象与单调性)以考查基本三角函数的图象和性质为主,是高考的重点内容,题目涉及三角函数的图象、单调性、周期性、最值、零点、对称性。
微知识小题练自|主|排|查1.“五点法”作图原理在确定正弦函数y＝ｓin x在［0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是（0，０）、错误!、(π，0)、错误!、（2π,0)。
２．三角函数的图象和性质函数性质y＝siｎx y＝cosｘy=tanｘ定义域错误!错误!{x|x≠kπ+＼ｆ(π,２) (k∈Z）}图象值域[-1，1]［-１,1］R对称性对称轴:x=kπ＋错误!(k∈Z）;对称中心：(kπ，0)（k∈Ｚ）对称轴:x=kπ(k∈Z);对称中心：错误!(k∈Z)对称中心:错误!(k∈Z）周期2π2ππ单调性单调增区间2kπ－错误!,２kπ＋错误!(ｋ∈Z)；单调减区间2kπ+＼f（π，２）,2ｋπ+3π2(k∈Z）单调增区间[２kπ-π，2kπ]（k∈Ｚ)；单调减区间[２kπ，2kπ+π］（ｋ∈Z）单调增区间错误!(ｋ∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数微点提醒1.判断函数周期不能以特殊代一般，只有x取定义域内的每一个值时，都有f（ｘ+T)=f(ｘ),Ｔ才是函数f(x）的一个周期。
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数的
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数的简单应用[考纲传真] 1.了解函数y ＝A sin F (ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A ，ω，φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(对应学生用书第45页)[基础知识填充]1．函数y ＝A sin (ωx ＋φ)中各量的物理意义y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)，表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相AT ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φx－φωπ2－φω π－φω32π－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A先平移后伸缩 先伸缩后平移⇓ ⇓[知识拓展]1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换中，应向左平移φω个单位长度，而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图像左移π4个单位后所得图像的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( ) (4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2016·四川高考)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像．]3．(2017·山东高考)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π2B ．2π3C ．πD ．2πC [y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，T ＝2π2＝π. 故选C ．]4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.]5．(教材改编)电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系式是I ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的初相、周期分别是________．【导学号：00090097】π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I 变化的初相是π3，周期T ＝2π100π＝150.](对应学生用书第46页)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及变换(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2D [因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 故选D ．](2)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .①画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；②将函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到f (x )的图像？ [解] ①列表取值：xπ2 32π 52π 72π 92π 12x －π40 π2 π 32π 2π f (x )3－3描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．②先把y ＝sin x 的图像向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图像．[规律方法] 1.变换法作图像的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位．2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图像．如果在限定的区间内作图像，还应注意端点的确定．[变式训练1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)(2018·长春模拟)要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像( )【导学号：00090098】A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度(1)D (2)C [(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D ．(2)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，故把g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位，即得函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3的图像，即得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，故选C ．]求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图341所示，则( )图341A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 (2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 (1)A (2)D [(1)由图像知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图像的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A ．(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.][规律方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[变式训练2] (2017·石家庄一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图像如图342所示，则f ⎝⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )图342A ．－62 B ．－32C ．－22D ．－1D [由图像可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z )，即k ＝1，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D ．]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像与性质的应用(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．【导学号：00090099】[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. 2分f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .8分设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减少的.12分[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数． [变式训练3] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． [解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.3分因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.5分 (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6分当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32. 10分故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.12分三角函数模型的简单应用某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，2分又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.4分当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.6分 (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.9分又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18.故在10时至18时实验室需要降温.12分[规律方法] 1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4] (2015·陕西高考)如图343，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图343A ．5B ．6C ．8D ．10C [根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.]。
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课时分层训练(二十) 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )【导学号：57962161】A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位A [由于y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π2，因此只需将y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位，即可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像．] 2．(2017·成都二诊)将函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图像上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g (x )的图像，则函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C ．g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D ．g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B [由图像变换规则可得g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故选B.]3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图3-4-5所示，则ω，φ的值分别是( )图3-4-5A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π3A [∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.由T ＝2πω＝π，得ω＝2.∵5π12×2＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－π3＋2k π.又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3.]4．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图像与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的递增区间是( )【导学号：57962162】A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z C [由题设知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，f (x )的周期为T ＝π，所以ω＝2，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .]5．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )B [将函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，即平移后图像的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．]二、填空题6．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.【导学号：57962163】0 [由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.] 7．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．π6 [由题意cos π3＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，2π3＋φ＝k π＋(－1)k ·π6(k ∈Z )．因为0≤φ＜π，所以φ＝π6.] 8.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图像如图3-4-6所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．图3-4-6－5 [由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100， ∴ω＝2πT ＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10，∴10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ＝10， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z .又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6， ∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6， 当t ＝1100秒时，I ＝－5安．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图像．[解] (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4. 5分(2)图像如图所示．12分10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图像过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图像上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间.【导学号：57962164】[解] (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，2分∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图像过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，4分∴5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.6分(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，10分故函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·北京高考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图像上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图像上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6 B ．t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3 D ．t ＝32，s 的最小值为π3A [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12. 因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图像上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s ＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z )，所以s 的最小值为π6.]2．若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．(－2，－1] [由题意可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ，该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的交点．结合函数的图像可知1≤－a ＜2，所以－2＜a ≤－1.]3.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图像如图3-4-7所示．图3-4-7(1)求f (x )的解析式； (2)设g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122，求函数g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值，并确定此时x 的值．[解] (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3， 2分∴ω＝32.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝0.4分∵0＜φ＜π2， ∴－π4＜φ－π4＜π4， ∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4.6分(2)由(1)可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π8，8分∴g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122＝4×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π42 ＝2－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.10分∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )ma x ＝4. 12分。