高考文科数学一轮复习第四章三角函数解三角形第五节函数yAsinωxφ的图像及三角函数模型的简单课件
高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.4函数y=Asinωxφ的图像及应用课件文北师大版
答案
答案
--10
10知识(zhī
shi)梳理
双基自测(zì
cè)
自测(zì cè)
点评
1.利用图像变换由y=sin x的图像得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)
的图像,若先平移后伸缩,则平移的量是|φ|个单位;若先伸缩再平移,则平移
||
2.三角函数图像的对称中心就是图像与x轴的交点坐标,若函数
第二十一页，共35页。
,
--22
22考点(kǎo
diǎn)1
考点
(kǎo
diǎn)2
考点(kǎo
diǎn)3
考向二 由函数y=Asin(ωx+φ)的性质求解析式
π
2
例 3 已知函数 f(x)=√3sin(ωx+φ) > 0,- ≤ <
π
于直线 x=3对称,且图象上相邻两个最高点的距离为 π.
5
12 3 12
6
3
π
2π
2
2
1
0 -1
0
0
2
-
x
x'=2x+
6
0
3
y=sin x'
y=2sin 2x +
3
描点连线得函数图象:
第十七页，共35页。
0
-2
0
18--18
考点
(kǎo
diǎn)1
考点
(kǎo
diǎn)2
考点
(kǎo
diǎn)3
π
(3)把 y=sin x 的图象上所有的点先向左平移3个单位,得到
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用课件文北师大版
1 4
π 4
π 6
π 3
-7知识梳理
考点自诊
3.(2018 河南周口二模,6)将函数
π 向左平移4个单位长度,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的
π y=sin(x+6)的图像上所有的点
2倍
(纵坐标不变),则所得图像的解析式为( B ) A.y=sin 2x+ C.y=sin
5π 12 ������ π − 2 12
4.4
函数y=Asin(ωx+φ)的图像 及应用
-2知识梳理
考点自诊
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0), x∈[0,+∞) 振幅 周期 A T= ω
2������
频率 f=T = 2�����43;φ
φ
2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图时,要找出的五个 特征点如下表所示 ������ 3������ ������-φ 0-φ 2������-φ φ φ 2 x 2 ω ω ω ω ω ������ 3������ ωx+φ 0 π 2π 2 2 y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
考点二
考点三
思考作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像有哪些方法? 解题心得1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像的两种作法: (1)五点法:用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量 π 3π 0, 代换,设z=ωx+φ,由z取 2,π, 2 ,2π 来求出相应的x,通过列表,计算得 出五点坐标,描点后得出图像. (2)图像变换法:由函数y=sin x的图像通过变换得到y=Asin(ωx+φ) 的图像,有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 2.变换法作图像的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后 ������ 平移,对于后者可利用 ωx+φ=ω ������ + ������ 来确定平移单位.
2025届高考数学一轮复习讲义课件——三角函数、解三角形之函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
将－π4，0代入 f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1 得 0＝2sin－π2＋φ＋1， 结合|φ|<π2及函数图象，解得 φ＝π3， 所以 f(x)＝2sin2x＋π3＋1， 故 fπ2＝2sinπ＋π3＋1＝1－ 3.
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)，如
训练 1 (1)(2024·成都石室中学模拟)将函数 f(x)＝2sin2x－π3的图象先向左平移π4 个单位长度，再将横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数
解析式为( D )
A.g(x)＝2sin4x＋π6 C.g(x)＝2sin4x＋π3
B.g(x)＝2sinx－1π2 D.g(x)＝2sinx＋π6
考点二 由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例 2 (1)(2024·新乡模拟)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b
A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，Βιβλιοθήκη fπ2＝( C )A.0
B.2
C.1－ 3
D. 3－1
解析 由题图可知 A＝3－(2－1)＝2，b＝3＋(2－1)＝1， 所以 f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1.
后得到曲线 C，若 C 关于 y 轴对称，则 ω 的最小值是( C )
1
1
1
1
A.6
B.4
C.3
D.2
解析 记曲线 C 的函数解析式为 g(x)， 则 g(x)＝sinωx＋π2＋π3＝sinωx＋π2ω＋π3. 因为函数 g(x)的图象关于 y 轴对称， 所以π2ω＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得 ω＝2k＋13(k∈Z). 因为 ω＞0，所以 ωmin＝31.
新人教A版版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形函数y=Asinω+φ的图象及应用教案理解析版
基础知识整合１．y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念２．用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示．３．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象的步骤函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k（A>0，ω>0）中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；φ的变化引起左右平移变换；k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．１．为了得到函数y＝sin错误!的图象，只需把函数y＝sin２x的图象上的所有点（）Ａ．向左平行移动错误!个单位长度Ｂ．向右平行移动错误!个单位长度Ｃ．向左平行移动错误!个单位长度Ｄ．向右平行移动错误!个单位长度答案D解析∵y＝sin错误!＝sin２错误!，∴只需将函数y＝sin２x图象上的所有点向右平移错误!个单位长度即可得到函数y＝sin错误!的图象．故选Ｄ．２．函数f（x）＝２sin（ωx＋φ）错误!的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）Ａ．２，—错误!Ｂ．２，—错误!Ｃ．４，—错误!Ｄ．４，错误!答案A解析由图可知，错误!T＝错误!＋错误!＝错误!，T＝π，ω＝错误!＝２．因为点错误!在图象上，所以２×错误!＋φ＝错误!＋２kπ，φ＝—错误!＋２kπ，k∈Z.又—错误!<φ<错误!，所以φ＝—错误!.故选Ａ．３．（２0１8·西安模拟）已知函数f（x）＝cos错误!（ω>0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）Ａ．关于点错误!对称Ｂ．关于直线x＝错误!对称Ｃ．关于点错误!对称Ｄ．关于直线x＝错误!对称答案D解析错误!＝π得ω＝２，函数f（x）的对称轴满足２x＋错误!＝kπ（k∈Z），解得x＝错误!—错误!（k ∈Z），当k＝１时，x＝错误!.选Ｄ．４．（２0１9·河北五校联盟摸底）把函数y＝sin错误!的图象向左平移错误!个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）Ａ．x＝0 Ｂ．x＝错误!Ｃ．x＝错误!Ｄ．x＝—错误!答案C解析５．（２0１8·天津高考）将函数y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度，所得图象对应的函数（）Ａ．在区间错误!上单调递增Ｂ．在区间错误!上单调递减Ｃ．在区间错误!上单调递增Ｄ．在区间错误!上单调递减答案A解析将y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度，所得图象对应的函数为y＝sin错误!＝sin２x，当２kπ—错误!≤２x≤２kπ＋错误!（k∈Z），即kπ—错误!≤x≤kπ＋错误!（k∈Z）时，y＝sin２x单调递增，令k＝0，则x∈错误!，所以y＝sin２x在错误!上单调递增，故选Ａ．核心考向突破考向一三角函数的图象变换例１将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移错误!个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）Ａ．y＝sin错误!Ｂ．y＝sin错误!Ｃ．y＝sin错误!Ｄ．y＝sin错误!答案C解析将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移错误!个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝sin 错误!；再把所得各点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y＝sin错误!.故选Ｃ．触类旁通两种图象变换的区别由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是错误!（ω>0）个单位长度．即时训练１．将函数y＝cos错误!的图象上各点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不变），再向左平移错误!个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）Ａ．x＝错误!Ｂ．x＝错误!Ｃ．x＝πＤ．x＝错误!答案D解析y＝cos错误!错误!y＝cos错误!y＝cos错误!，即y＝cos错误!.由余弦函数的性质知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当x＝错误!时，y＝cos错误!＝１．故选Ｄ．考向二求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式例２已知函数y＝sin（ωx＋φ）（ω>0，—π≤φ<π）的图象如图所示，则φ＝________.答案错误!解析由图象可知ω＝错误!，当x＝２π时，y＝１，∴错误!×２π＋φ＝错误!＋２kπ，k∈Z.∵—π≤φ<π，∴φ＝错误!.触类旁通确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A>0，ω>0）的解析式的步骤（１）求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝错误!，b＝错误!.错误!３求φ，常用方法有：１代入法：把图象上的一个已知点代入此时A，ω，b已知或代入图象与直线y＝b的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.２五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.即时训练２．已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）错误!，y＝f（x）的部分图象如图所示，则f错误!＝________.答案错误!解析由图象可知，错误!＝错误!—错误!，即错误!＝错误!，所以ω＝２，再结合图象，可得２×错误!＋φ＝kπ＋错误!，k∈Z，即|φ|＝错误!<错误!，所以—错误!<k<错误!，只有k＝0，所以φ＝错误!，又图象过点（0,１），代入得Atan错误!＝１，所以A＝１，函数的解析式为f（x）＝tan错误!，则f错误!＝tan错误!＝错误!.考向三函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质角度错误!函数图象与性质的综合应用例３（２0１9·山西模拟）函数f（x）＝cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）Ａ．错误!，k∈ZＢ．错误!，k∈ZＣ．错误!，k∈ZＤ．错误!，k∈Z答案D解析由图象可知错误!＋φ＝错误!＋２mπ，错误!＋φ＝错误!＋２mπ，m∈Z，所以ω＝π，φ＝错误!＋２mπ，m∈Z，所以函数f（x）＝cos错误!＝cos错误!的单调递减区间为２kπ<πx＋错误!<２kπ＋π，k ∈Z，即２k—错误!<x<２k＋错误!，k∈Z.故选Ｄ．角度错误!图象变换与性质的综合应用例４（２0１8·太原模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）错误!的最小正周期是π，若将f（x）的图象向右平移错误!个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）Ａ．关于直线x＝错误!对称Ｂ．关于直线x＝错误!对称Ｃ．关于点错误!对称Ｄ．关于点错误!对称答案B解析∵f（x）的最小正周期为π，∴错误!＝π，ω＝２，∴f（x）的图象向右平移错误!个单位后得到g（x）＝sin错误!＝sin错误!的图象，又g（x）的图象关于原点对称，∴—错误!＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝错误!＋kπ，k∈Z，又|φ|＜错误!，∴φ＝—错误!，∴f（x）＝sin错误!.当x＝错误!时，２x—错误!＝—错误!，∴A，C错误；当x＝错误!时，２x—错误!＝错误!，∴B正确，D错误．角度错误!三角函数模型的简单应用例５某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）＝１0—错误!cos错误!t—sin错误!t，t∈[0,２４）．（１）求实验室这一天的最大温差；（２）若要求实验室温度不高于１１℃，则在哪段时间实验室需要降温？解（１）f（t）＝１0—２错误!＝１0—２sin错误!，因为0≤t<２４，所以错误!≤错误!t＋错误!<错误!，—１≤sin错误!≤１．当t＝２时，sin错误!＝１；当t＝１４时，sin错误!＝—１．于是f（t）在[0,２４）上取得最大值１２，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为１２℃，最低温度为8 ℃，最大温差为４℃.（２）依题意，当f（t）>１１时实验室需要降温．由（１）得f（t）＝１0—２sin错误!，故有１0—２sin错误!>１１，即sin错误!<—错误!.又0≤t<２４，因此错误!<错误!t＋错误!<错误!，即１0<t<１8．在１0时至１8时实验室需要降温．触类旁通１解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f x＝Asinωx＋φ＋k中的待定系数.２研究y＝Asinωx＋φ的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题。
第五章 第五节 函数y=A sin (ωx+φ)的图象 课件(共55张PPT)
)
C [因为|tan x|≥0， 所以当 x∈0，π2 时，cos x≥0，y≥0， 当 x∈π2 ，π 时，cos x≤0，y≤0.]
4．(必修
4P56
练习
T3
改编)已知函数
f(x)＝2sin
π (3
x＋φ)φ＜π2
的图象
经过点(0，1)，则该函数的振幅为________，周期 T 为________，频率为
A．向右平移π6 个单位长度 B．向右平移π3 个单位长度 C．向左平移π6 个单位长度 D．向左平移π3 个单位长度
A [因为 y＝2sin 2x＝2sin 2x＋π6 －π3 ，所以将 y＝2sin 2x 的图象向
π
π
右平移 6 个单位长度可得 y＝2sin (2x－ 3 )的图象．]
3．函数 y＝cos x|tan x|0≤x≤π且x≠π2 的图象大致为(
坐上摩天轮，则第 7 分钟时他距地面大约为( )
A．75 米
B．85 米
C．100 米
D．110 米
B [设该人距地面高度与时间 t 的关系 f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A＞0，ω
＞0，φ∈[0，2π))，由题意可知：A＝50，B＝110－50＝60，T＝2ωπ ＝21， 所以 ω＝22π1 ，
________，初相 φ 为________． 解析： 振幅 A＝2，T＝2ππ ＝6，f＝16 ， 3
因为图象过点(0，1)，所以 1＝2sin φ，
所以 sin φ＝12 ，又 φ ＜π2 ，所以 φ＝π6 . 答案： 2；6；16 ；π6
5．函数 f(x)＝2sin (ωx＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜π2 的部分图象如图所示，则 ω＝________，φ＝________．
2021版高考数学一轮复习第4章三角函数、解三角形第5节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用文新人教A版
第五节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用A 级·基础过关|固根基|1.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B 、D ；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( )A ．－ 3 B.33C ．1D. 3解析：选D 由题意可知，该函数的周期为π2，所以πω＝π2，则ω＝2，所以f (x )＝tan 2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3.3．(2019届重庆模拟)函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的值为( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选B 由题意知y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin2x －π6，其图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ－π6的图象，因为g (x )为偶函数，所以2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π2，k ∈Z .又因为φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以φ＝π6.4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则下列为f (x )的单调递减区间的是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，－7π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，4π3 解析：选B 由图象得12T ＝2π3－π6＝π2，解得T ＝π.由图象可得f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z ，结合选项可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3为f (x )的单调递减区间，故选B.5．(2019届福建莆田一模)已知函数f (x )＝a sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为π2，且f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3，为了得到函数g (x )＝sin ωx －a cos ωx 的图象，只要把f (x )图象上所有的点( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度解析：选B ∵f (x )图象中相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴T 2＝π2，即T ＝π，则2πω＝π，即ω＝2，∴f (x )＝a sin 2x ＋cos 2x .∵f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3，∴a sin 0＋cos 0＋a sin π3＋cos π3＝3，即1＋32a ＋12＝3，解得a ＝3，即f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由于g (x )＝sin 2x － 3 cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2sin2x －π4＋π6，因此要得到g (x )＝2sin2x －π4＋π6的图象，只要把函数f (x )图象上所有的点向右平移π4个单位长度即可．故选B.6．(2020届惠州市高三第二次调研)已知直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2图象的一条对称轴，则( )A ．φ＝π6B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增C ．f (x )的图象向左平移π6个单位长度可得到y ＝2sin 2x 的图象D ．f (x )的图象向左平移π12个单位长度，可得到y ＝2sin 2x 的图象解析：选 D 由题意可得2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π6，故选项A 错误；函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，函数不具有单调性，故选项B 错误；f (x )的图象向左平移π6个单位长度可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，故选项C 错误；f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－π6＝2sin 2x 的图象，故选项D 正确．7.(2019届开封模拟)如果存在正整数ω和实数φ使得函数f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1，0))，那么ω的值为________．解析：因为f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)＝12－12cos 2(ωx ＋φ)，所以函数f (x )的最小正周期T＝2π2ω＝πω，由题图知，T 2<1，且3T 4>1，即43<T <2.又ω为正整数，所以ω的值为2.答案：28．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是________．解析：画出函数的图象如图所示．由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18 9．(2019届合肥市第一次质量检测)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，设函数h (x )＝f (x )－g (x )．(1)求函数h (x )的单调递增区间； (2)若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，求h (α)的值． 解：(1)由已知可得，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以h (x )＝sin 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .所以函数h (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .(2)由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13及(1)得，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π3＝ sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋2π3＝13，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝－13，由(1)可知h (α)＝－13. 10．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6(其中0<ω<1)，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)试求ω的值，并求出函数的单调递增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解：(1)因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z .又因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.令2k π－π2<x ＋π6<2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－2π3<x <2k π＋π3，k ∈Z ，所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]， 列表如下：x ＋π6－5π6－π20 π2 π 7π6 x －π －2π3－π6π3 5π6 π y－1－2 02－1B 级·素养提升|练能力|11.(2019年天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2D ．2解析：选C ∵f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2. 又f (x )＝A sin(2x ＋φ)为奇函数，∴φ＝k π(k ∈Z )． ∵|φ|<π，∴φ＝0，∴f (x )＝A sin 2x ，则g (x )＝A sin x . ∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，即A sin π4＝2，∴A ＝2.∴f (x )＝2sin 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＝ 2.故选C. 12．(2019届武汉调研)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：①f (x )的最小正周期为2；②f (x )图象的一条对称轴为直线x ＝－12；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 上是减函数； ④f (x )的最大值为A . 则正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，故①正确；因为函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋54＋kT 2＝34＋k (k ∈Z )，故直线x ＝－12不是函数f (x )图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当14－T4＋kT ≤x ≤14＋T 4＋kT (k ∈Z )，即2k －14≤x ≤2k ＋34(k ∈Z )时，f (x )是减函数，故③正确；若A >0，则最大值是A ，若A <0，则最大值是－A ，故④不正确．综上知正确结论的个数为2.13．函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．解析：由题图及题意可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N (x N ，－1)， 所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝3.答案：314．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋b ＋1.(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且ω∈[0，3]，求函数f (x )的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．解：(1)函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋b ＋1 ＝32sin 2ωx ＋1＋cos 2ωx 2＋b ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b .因为函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，所以2ω·π6＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，且ω∈[0，3]，所以ω＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b . 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b .因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3.当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f (x ) 单调递减．又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点，即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，所以b ∈(－2，3－32)∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52.。
2025年高考数学一轮复习(新高考版)第4章 §4.6 函数y=Asin(ωx+φ)
1 2
倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移
A 项，先把曲线 C1 上点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 得 y＝cos 12x 的图象，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度得 y＝ cos 12x－π6＝cos12x－1π2＝－sin12x－71π2的图象，故 A 错误； B 项，先把曲线 C1 上点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 得 y＝cos 12x 的图象，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度得 y＝ cos 12x＋π6＝cos12x＋1π2＝sin12x＋71π2的图象，故 B 错误；
A.先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移
π 6
个单位长度
B.先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移
π 6
个单位长度
√C.先把横坐标缩短到原来的
π 12
个单位长度
1 2
倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移
D.先把横坐标缩短到原来的
π 12
个单位长度
五个特征点
ωx＋φ x
0
0－φ __ω___
π 2
π2－φ __ω___
π
π－φ __ω___
3π 2
32π－φ ___ω___
2π
2π－φ ___ω___
y＝Asinபைடு நூலகம்0
(ωx＋φ)
A
0
－A
0
知识梳理
3.函数y＝sin x的图象经变换 得 到 y ＝ Asin(ωx ＋ φ)(A>0 ， ω>0)的图象的两种途径
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用课件文北师大版
因为函数y＝sin x图像的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令 2x＋2θ－π6＝kπ，解得 x＝k2π＋1π2－θ，k∈Z.
由于函数 y＝g(x)的图像关于点51π2，0成中心对称， 所以令k2π＋1π2－θ＝152π，解得 θ＝k2π－π3，k∈Z. 由 θ>0 可知，当 k＝1 时，θ 取得最小值π6.
2.(2015·山东)要得到函数y＝ sin4x－π3 的图像，只需将函数y＝sin 4x的 图像 答案 解析
A.向左平移1π2个单位
B.向右平移1π2个单位
C.向左平移π3个单位
D.向右平移π3个单位
∵y＝sin4x－π3＝sin4x－1π2， ∴要得到 y＝sin4x－π3的图像，只需将函数 y＝sin 4x 的图像向右平
所得图像的解析式为y＝sin 2x， 再向左平移π4个单位得 y＝sin 2(x＋π4)，即 y＝cos 2x.
题型二 由图像确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|< π，ω>0)
2 的图像的一部分如图所示.
(1)求f(x)的表达式； 解答
D.{x|x＝2kπ－π3，k∈Z}
题型三 三角函数图像性质的应用
命题点1 三角函数模型的应用
例3 (2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的 水深变化曲线近似满足函数 y＝3sinπ6x＋φ＋k，据 此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为
A.5
B.6
C.8
D.10
由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5. ∴ymax＝k＋3＝8.
令 2x＋π6＝kπ，k∈Z，解得 x＝k2π－1π2，k∈Z. 即 y＝g(x)图像的对称中心为(k2π－1π2，0)，k∈Z.
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 5函数y=Asinωx+φ及三角函数的应用课件
命题角度1 函数的零点问题
例3 设常数使方程在区间,上恰有五个解 ，则 ( )
A. B. C. D.
解： .
√
作出函数在, 上的图象如图所示.
由图象，可知在区间, 上恰有五个解，只有 时才能成立.由，,，解得， ，
，， .所以 .故选C.
【点拨】研究的性质时，一般将 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题.与三角函数相关的方程根的问题（零点问题）等常通过函数与方程思想化为图象交点问题，再借助图象分析.
图1
图2
A.200 B.400 C. D.
解：由题图，可得，，即，则 .故选D.
√
6.将函数 的图象上所有点向右平移个单位长度，得到如图所示的函数 的图象，则 ( )
A.0 B.1 C.2 D.
√
解：依题意，知，故 .的周期满足，得 ，所以，所以 .由，得 , .又，所以，所以 ，所以 .故选C.
图1
图2
A.函数 的最小正周期为12B. C.时，过山车距离地平面 D.一个周期内过山车距离地平面低于的时间是
√
√
√
解：由题意，知周期满足，解得 ，A正确.由，得.又 解得 所以.由，即，得 .因为，所以.所以 ,B错误. ，C正确.由，得，即 ， ，，解得， .所以一个周期内过山车距离地平面低于的时间是 ，D正确.故选 .
√
3.（2022年浙江卷）为了得到函数的图象，只要把函数 图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
解：因为，所以把函数 图象上的所有点向右平移个单位长度，即可得到函数 的图象.故选D.
近年高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第5讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换及三角函数
2019高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第5讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换及三角函数的综合问题分层演练文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第5讲函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象变换及三角函数的综合问题分层演练文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第5讲函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象变换及三角函数的综合问题一、选择题1．(2018·福州综合质量检测）要得到函数f(x）＝cos 2x的图象，只需将函数g(x)＝sin 2x的图象( ）A．向左平移错误!个周期B．向右平移错误!个周期C．向左平移错误!个周期D．向右平移错误!个周期解析：选C.因为f(x)＝cos 2x＝sin错误!＝sin错误!，且函数g（x)的周期为错误!＝π，所以将函数g(x）＝sin 2x的图象向左平移错误!个单位长度，即向左平移错误!个周期，可得函数f（x）＝cos 2x的图象，故选C。
2．（2018·安徽两校阶段性测试)将函数y＝cos错误!的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移错误!个单位长度,所得函数图象的一条对称轴为( )A．x＝错误!B．x＝错误!C．x＝错误!D．x＝π解析：选A。
将函数y＝cos错误!图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变)时，得到函数y＝cos错误!的图象；再将此函数的图象向左平移错误!个单位长度后，得到函数y＝cos错误!＝cos错误!的图象．该函数图象的对称轴为错误!－错误!＝kπ（k∈Z），即x＝2kπ＋错误!(k∈Z)．结合选项,只有A符合，故选A。
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像.根据以上数据,
世纪金榜导学号
(1)求函数f(t)的解析式.
(2)求一日(持续24小时)内,该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间.
【素养立意】 与实际问题相结合,考查三角函数模型的应用.注意本题建立的是余弦型函数 模型.
【解析】(1)由表格得 又因为T=12,所以
A b 1.5, A b 0.5,
6 3 36
2 t＜2 或2 5 ＜ t 2 2,
6
3
36
的图像,只需把
AB..纵横3坐 坐cos标 标(x＋伸 伸8长长) 到到原原来来的的33倍 倍,,横 纵坐坐标标不不变变
C.纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变
D.横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变
1
3 1
3
【像上解析的所】有选点D.的因纵为坐变标换不前变后,,横两坐个标函缩数短的到初原相来相的同,所,即以可只得需到把函y数＝3cos(x＋8 ) 图
解得
A
1 2
,
b 1,
2 ，
12 6
故 y f t 1 cos t 1.
26
(2)由题意,令 即
1 cos t 1＞1.25, 26
又故因co为s 6t∈t＞[120,,24],所以 t∈[0,4π],
或
即0≤t<2或10<t≤12或612<t<14或22<t≤24,
所以0 在一t 日内或该5海＜滨 t浴场2的, 海浪高度超过1.25米的时间为8小时.
C.向左平移 个单位长度
3
D.向左平移 个单位长度
6 3
【解析】选A.因为y=2sin 移 个单位长度可得y=
2x=
2sin[2的(x图 像6 ).
3
]
,所以将y=2sin
2x的图像向右平
2sin(2x－ )
6
3
2.(必修4P55A组T1(1)改编)为了得到y=
y=
图像上的所有点的 (
3cos()3x＋8 )
【知识点辨析】
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)将函数y=3sin 2x的图像左移 个单位长度后所得图像的解析式是
y=3sin
.( )
(2)利用图像变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度
一致. ( )
4
(2x＋ )
4
(3)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图像的两个相邻对称中心之 间的距离为 . ( ) (4)由图像求T解析式时,振幅A的大小是由一个周期内的图像中最高点的值与最低 点的值确定的2. ( )
的图像.
1
y＝3cos(3x＋ )
3
8
核心素养 数学建模——三角函数应用问题 【素养诠释】 数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学知识与方法构建数学模型解决问 题的素养. 主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析 问题、建立模型、求解结论、验证结果并改进模型,最终解决实际问题.
注意先平移后伸缩,先伸缩后 平移的区别
求φ值易出错
典题索引 考点一、T4
基础自测T2 考点二、T1
【教材·基础自测】
1.(必修4P55A组T1(2)改编)为了得到函数y=
的图像,可以将函数
y=2sin 2x的图像 ( ) A.向右平移 个单位长度
2sin(2x－ ) 3
B.向右平移 个单位长度
6
提示:(1)×.将函数y=3sin 2x的图像向左平移 个 单位长度后所得图像的解析
式是y=3cos 2x.
4
(2)×.“先平移,后伸缩”的平移单位长度为|φ|,而“先伸缩,后平移”的平
移单位长度为 .所以当ω≠1时平移的长度不相等.
(3)√.(4)√.
【易错点索引】
序号 1
2 3
易错警示
“五点法”作图,特殊点的选 取
【典例】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的 函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据:
t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b(A>0,ω>0)的图
第五节 函数y=Asin(ωx+φ) 的图像及三角函数模型的简单 应用
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养·微专题 核心素养测评
【教材·知识梳Leabharlann 】 1.“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的五个关键点
2.函数y=sin x的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像的两种途径