人教版高中数学-空间向量的应用
新人教版高中数学选择性必修第一册1
C．(－5，16，－24) D．(－5，16，－24)或(7，－16，24)
返回导航
解析：设
B(x
，
y
，
z)
，
→ AB
＝ (x － 1 ， y ＋ 2 ， z) ， 依 题 意 有
x－－31＝y＋4 2＝1z2， （x－1）2＋（y＋2）2＋z2＝[（－3）2＋42＋122]×4，
返回导航
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析：因为 C 为线段 AB 上的一点，且 AC＝13 AB，
所以A→C
＝13
→ AB
.由此可求得点 C 的坐标．
设点 C(x，y，z)，则A→C ＝(x－4，y－1，z－3).
又A→B ＝(－2，－6，－2)，
所以(x－4，y－1，z－3)＝13 (－2，－6，－2)， 解得 x＝130 ，y＝－1，z＝73 .所以 C130，－1，37 .
因为 SA⊥平面 ABCD， 所以A→S ＝(0，0，1)是平面 ABCD 的一个法向量．
返回导航
1234
(2)求平面SAB的一个法向量； 解：因为 AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面 ABS， 所以 AD⊥平面 SAB， 所以A→D ＝12，0，0 是平面 SAB 的一个法向量．
A．P(1，－1，1)
√B．P1，3，32
C．P1，－3，32
D．P－1，3，－32
返回导航
1234
解析：对于选项 A，P→A ＝(1，0，1)，P→A ·n＝5，所以P→A 与 n 不垂直， 排除 A； 同理可排除C，D. 对于选项 B，P→A ＝1，－4，12 ，P→A ·n＝0，因此 B 正确．
高中数学-空间向量及向量的应用
高中数学 - 空间向量及向量的应用空间直角坐标系的原则：规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
设 ， ，空间向量的直角坐标运算：空间两点间距离： ；1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量）2：利用空间向量求线线角、线面角1 ）异面直线所成角 设 分别为异面直线的方向向量，则则：空间线段的中点 M （x ，y ，z ）的坐标：2 ）线面角 设 是直线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则3 ：利用空间向量求二面角其计算公式为：设 分别为平面 的法向量，则 与 互补或相等，操作方法：1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法：斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos （ S 为原斜面面积 , S 为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角 ）这个公式对于斜面为三角形, 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。
2．空间的距离点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离2）直线与平面所成的角的范围是[0, ] 。
射影转化法2方法 3）二面角的范围一般是指（0, ]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。
作二面角的平面角常有三种1）异面直线所成的角的范围是bF如右图所示，a、b 是两异面直线，n是a和b 的法向量，点 E ∈a，F∈ b ，则异面直线 a 与b 之间的距离EF n 是dn2）用法向量求点到平面的距离AB n 如右图所示，已知AB 是平面α的一条斜线，n 为平面α的法向量，则 A 到平面α的距离为d 如右图所示，已知AB 是平面α的一条斜线，n为平面α的法向量，则A到平面α的距离为d n（3）用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。
高中数学-空间向量及向量的应用
高中数学-空间向量及向量的应用一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
设血勺乃召），氓叫•乃w ），AB = OB-OA=（^y 2l 切—（吊丹 丑）=（乃—咛乃—丹 勺一匂）空间向量的直角坐标运算：设Q =2],砌，色3 $ =1鹉毎妇则；① 口+ b= P],曲，电 宀|俎,给禺 ・=I 角十知鬥 +為、屯 +鸟I ? ② a-b = \ a^a 2,a 21■ 诲.场岛i =（业一％ 气-如 码一為 帀 ③ 加=兄I 曲卫2，© ' = I 現珂"久卷 '（/i e 7?）； ④ 总■&= |气命4 片妇任 | = &占 + 逐血 +&並：⑤ 口0Fe 鱼二 空三生=左或。
『舌寻口[三碣‘ - 冊节 处二赵;对® $⑥ 7丄匸q 口血十口曲十m 禺=0 ；空间两点间距离:丄“「1 :利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量）2:利用空间向量求线线角、线面角（1）异面直线所成角Z • gw 设Q”分别为异面直线讥的方向向量，则则:空间线段的中点M （x ，y ，z ）的坐标: 空间直角坐标系的原则:规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应(2) 线面角凰打殳《是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则3 :利用空间向量求二面角其计算公式为：设 加“分别为平面G 8的法向量，则 与，剤7 互补或相等,- • «. m * n|( csfl i = |A>| = I 忘I * I 云I操作方法：1 •空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法:斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos (S 为原斜面面积，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时如果能找得斜面面积的射影面积，可直接应用公式，求岀二面角的大小。
课件_人教版数学高中二年级选修-节空间向量及其运算复习PPT课件_优秀版
共线定理、共面定理的应用
【训练 2】 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O， 若点 M 满足O→M＝1(O→A＋O→B＋O→C)．
3 (1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
解 (1)由已知O→A＋O→B＋O→C＝3 O→M， ∴O→A －O→M＝ (O→M －O→B )＋(O→M －O→C)， 即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C， ∴M→A，M→B，M→C共面． (2)由(1)知，M→A，M→B，M→C共面且基线过同一点 M， ∴四点 M，A，B，C 共面，从而点 M 在平面 ABC 内．
空间向量的数量积及其应用
【例3】如图所示，已知空间四边形的ABCD各边和对角线的长都等
于a ，点M , N分别是AB,CD 的中点．
在空间中，具有 的量叫做(空1间)向求量，证其大：M小叫N做向量A的B长度；或模(．2)求 MN 的长；
a1＝ b1，a2＝ b2，a3＝ 探究三 空间向量的数量
(b33 )求异面直线AN与CM
2.空间向量中的有关定理
(1)共线（平行）向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存
在λ∈R，使 a＝ b . (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面 ⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝ xa＋yb . (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一 向量 p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得 p＝ xa＋yb＋zc .
【例3】如图所示，已知空间四边形的 各边和对角线的长都等于 ，点 分别是 的中点．
（1）利用数量积解决问题的两种途径：
第1课时 用空间向量研究距离问题 高中数学人教A版选择性必修第一册课件
所以=
1
,0,1
2
1
2
1
,0,1
2
1
0,-1,
2
,M
,=
,
, =(1,1,0).
设 n=(x,y,z),且 n⊥,n⊥,
1
2
+ = 0,
· = 0,
所以
即
1
· = 0,
- + = 0,
2
= -2,
1
即
取 z=2,则 x=-4,y=1,
情境:在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 A 作直线
OB 的垂线,垂足为 A1,则1 就是 a 在 b 上的投影向量.
【思考】
已知两个非零向量 a,b,a 和 b 的夹角为 θ,那么 a 在 b 上
的投影是什么?a 在 b 上的投影向量是什么?
提示:a 在 b 上的投影为|a|cos θ,a 在 b 上的投影向量
5 5
ABC 的一个法向量.
由题意,知 =(-7,-7,7),
所以点 D 到平面 ABC
84
5
|·|
42 2
的距离为
= =
.
||
2
5
4.同类练如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,则点 A 到平面 BDC1 的
3 .
距离为
3
解析:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、
.
【思考】
(1)若“单位方向向量 u”变为“方向向量 s”,投影向量
,PQ 分别如何表示?
||
· ·
·
高中数学人教A选择性必修一第一章 1.2 第2课时 空间向量基本定理的初步应用
MN BC
1
1 2 25×
＝ 1100， 2
故异面直线
MN
与
BC1
所成角的余弦值为
10 10 .
三、求距离(长度)问题
例3 已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l ，在l上有两点A，B，线段AC⊂α ，线段 BD⊂β ，并且AC⊥l ，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，则CD＝____2_6___.
又 SA＝2 2，所以 SC＝ SA2＋AC2＝4 ， 因此 cos〈S→C，A→B〉＝SS→→CC·AA→→BB＝4×4 2＝21 ， 所以SC与AB所成角的大小为60° .
12345
4.如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°， PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为____7____.
→→ AE·DC → →
＝
AE DC
62×2＝
6 6
.
故直线
AE
与
DC
的夹角的余弦值为
6 6.
反思 感悟
求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝ a·b ，求〈a，b〉的大小，进
|a||b| 而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况.
跟踪训练2 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别 是AD，DC的中点.求异面直线MN与BC1所成角的余弦值.
证明 因为—AC→1 ＝A→B＋A→D＋—AA→1 ＝A→B＋A→D＋13—AA→1 ＋23—AA→1 ＝A→B＋13—AA→1 ＋A→D＋23—AA→1 ＝A→B＋B→E＋A→D＋D→F＝A→E＋A→F， 所以—AC→1 ，A→E，A→F共面，
所以A，E，C1，F四点共面.
高考数学一轮专项复习ppt课件(新高考用)-空间向量及其应用
a·b＝0
(a≠0，b≠0)
模
|a|
夹角余
a·b
cos〈a，b〉＝ |a||b|
(a≠0，b≠0)
弦值
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
_____________________
2
2
2
a
1＋a2＋a3
______________
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3
2
2
2
2
2
2
a
＋a
＋a
·
又因为 =
02 + 12 + −2
所以 · = − 5 − 5．
故答案为：− 5 − 5．
2
= 5, cos
2
2π
3
= ·
≤ ≤
⋅ ∈ −
17
,0
4
1
2
．
，故||2
∈
1 9
,
4 2
题型突破·考法探究
题型三：空间向量的数量积运算
【典例3-2】已知空间向量 = 0,1, −2 ， = 2， , =
2π
，则
3
⋅ =
【答案】− 5 − 5
【解析】因为 · = · − = · −
（2）空间向量基本定理及其 2024年II卷第17题，15分
应用
考情分析
2023年I卷第18题，12分
（3）向量法证明平行、垂直 2023年II卷第20题，12分
（4）向量法求空间角
2022年I卷第19题，12分
（5）空间距离
2022年II卷第20题，12分
必考,一般12分.以解答题为主,难度中等,可灵活选择运
高二数学新教材选择性必修第一册1.4.1 空间向量的应用(一)(精讲)(解析版)
1.4.1 空间向量应用（一）考法一 平面的法向量【例1】（2020年广东潮州）如图已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．【答案】见解析【解析】以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，S (0,0,1)． (1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量．(2)∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ，∴AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． (3)在平面SCD 中，DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，SC →＝(1,1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则n ⊥DC →，n ⊥SC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝0，n ·SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝0，x ＋y －z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ，z ＝－y ，令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．【一隅三反】1．（2020年广东惠州）正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．【答案】见解析【解析】设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)． (1)连接AC (图略)，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，z ＝－12x . 令x ＝2，得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2，－1)即为平面BDEF 的一个法向量.2．（2019·涟水县第一中学高二月考）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,AC BD 为正方形ABCD 的对角线，给出下列命题：①BC 为平面P AD 的法向量； ②BD 为平面P AC 的法向量； ③CD 为直线AB 的方向向量；④直线BC 的方向向量一定是平面P AB 的法向量． 其中正确命题的序号是______________ 【答案】②，③，④【解析】①因为底面ABCD 是正方形，所以//BC AD ，由AD ⊂平面P AD 知BC 不是平面P AD 的法向量； ②由底面ABCD 是正方形知BD AC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，又PA AC A =，PA ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥平面P AC ，BD 为平面P AC 的法向量，②正确；③因为底面ABCD 是正方形，所以//AB CD ，则CD 为直线AB 的方向向量，③正确； ④易知BC AB ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又PA AB A =，PA ⊂平面P AB ，AB平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ，故④正确.故答案为：②，③，④考点二 空间向量证明平行【例2】（2019年广东湛江二中周测）如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．（1）求证：PB ∥平面EFG . （2）证明平面EFG ∥平面PBC 【答案】见解析 【解析】证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ，∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)， D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)．∴PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →＝(1，1，－1)，设PB →＝sFE →＋tFG →， 即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2，∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . （2）证明 ∵EF →＝(0，1，0)，BC →＝(0，2，0)，∴BC →＝2EF →，∴BC ∥EF .又∵EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ，同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC .又EF ∩GF ＝F ，EF ，GF ⊂平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面PBC .【一隅三反】1.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD ． 【答案】见解析【解析】 法一 如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝⎛⎭⎫0，1，12，N ⎝⎛⎭⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝⎛⎭⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝⎛⎭⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD ． 法二 MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD ．法三 MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA →－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →. 即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD ．2．（2020·上海杨浦.复旦附中高二期中）已知平面α的一个法向量为(1,2,2),(2,1,0)n AB ==-，则直线AB 与平面α的位置关系为_______.【答案】直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行【解析】由()12+21+200n AB ⋅=⨯-⨯⨯=，所以n AB ⊥.又向量n 为平面α的一个法向量. 所以直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行. 故答案为：直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行.3．（2019·江苏海陵.泰州中学高二月考）已知直线//l 平面α，且l 的一个方向向量为()2,,1a m =，平面α的一个法向量为11,,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则m =______. 【答案】8-【解析】由题意，知a n ⊥，∴0a n ⋅=，即()12,,11,,202m ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，∴8m =-. 故答案为：8-考法三 空间向量证垂直【例3】（2020.广东.田家炳中学）如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .【答案】见解析【解析】方法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a·c ＝0，b·c ＝2，以它们为空间的一个基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ，m ＝λBA 1→＋μBD →＝⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4⎝⎛⎭⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证． 方法二 取BC 的中点O ，连接AO . 因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，且平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AO ⊂平面ABC ，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB ，OO 1，OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0)． 设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0)． 因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1，2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ，故AB 1⊥平面A 1BD .【一隅三反】1．（2018·浙江高三其他）已知平面α的法向量为(2,2,4)n =-，(1,1,2)AB =--，则直线AB 与平面α的位置关系为（ ） A ．AB α⊥ B ．AB α⊂C ．AB 与α相交但不垂直D ．//AB α【答案】A 【解析】()()1,1,2,2,2,4,2,//,AB n n AB n AB AB α=--=-∴=-∴∴⊥.本题选择A 选项.2．（2020·安徽池州。
人教版高中数学选修课程课件选修2-1空间向量
D` A`
C` B`
出 AB AD AA`,
D
C
AB AA` AD表示
A
的向量.从中你能体
B
图3.1 6
会向量加法运算的
交换律及结合律吗?一般地,三个不共面的向
量的和与这三个向量有什么关系?
OB OA AB a b,CA OA OC a b. 空间向量的加法运算满足交换律及结合律:
a b b a,a b c a b c.
你能证明空间向量的交换律及结合律吗?证明结 合律时,与证明平面向量的结合律有什么不同?
探究 如图3.1 6, 在四棱柱ABCD A`B`C `D`中, 分 别 标
角形钢板所受的三个力F1, F2, F3,正方体的三条
棱 所 表 示 的 三 个 向 量OA, OB, OC都 是 空 间 向 量.
与 平 面 向 量 一 样,空 间 向 量 也
B
用 有 向 线 段 表 示.有 向 线 段 的 长 度 表 示 向 量 的 模.如 图3.1 3,向 量 的 起 点 是A,终 点 是B,则
F3
F1
F2
C
A
O
C
A
B
500kg
图3.3 1
O
B
图3.3 2
图3.3 1中的三个力F1, F2, F3是既有大小又有方向 的量,它们是不在同一平面内的向量.因此, 解决这
个问题需要空间向量的知识.事实上,不在同一平 面 内 的 向 量 随 处 可 见.例 如, 正 方 形 中 过 同 一 顶 点
第三章 空间向量与立体几何
向量是一种重要的数学工具 ,它不仅在解决几何 问题中有着广泛的应用,而且在物理学、工程 科 学 等 方 面 也 有 着 广 泛 的应 用. 向 量 是 近 代 数 学 的 基本概念之一,它的初步知识及其应用, 早已列入 近代数学的基础部分. 通过学习平面向量, 我们知道,平面上的点、直线 可以通过向量及其运算表示出来,它们之间的关 系 , 如 平 行 、 垂 直 、 夹 角 、距离 等可 以 通过 向 量 运算而得到, 从而有关平面图形的问 间向量,学习空间向量的概念、运算、坐标表示, 并利用空间向量的运算解决有关立体几何问题.
高中数学空间向量在立体几何中的应用知识总结
空间向量在立体几何中的应用一、教学目标与要求：1.理解直线的方向向量与平面的法向量；2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；3.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理；4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用；二、基础知识回顾知识点1．基本向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．知识点2．空间位置关系的向量表示知识点3.两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．知识点4．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n ·e ||n||e|.知识点5．求二面角的大小(1)如图①，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．知识点6．点到平面的距离的向量求法如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则点B 到平面α的距离d ＝|AB ·n ||n |.三、例题讲解例1如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .解：设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的坐标系A －xyz ， 则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )． ∵F 为CD 的中点， ∴F ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.(1)证明：AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，BE ＝(a ，3a ，a )，BC ＝(2a,0，－a )，∵AF ＝12(BE ＋BC )，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)证明：∵AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，CD ＝(－a ，3a,0)，ED ＝(0,0，－2a )， ∴AF ·CD ＝0，AF ·ED ＝0， ∴AF ⊥CD ，AF ⊥ED . 又CD ∩DE ＝D ， ∴AF ⊥平面CDE ， 即AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ， ∴平面BCD ⊥平面CDE .例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2.E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝FB ＝1.(1)求二面角C －DE －C 1的正切值； (2)求直线EC 1与FD 1所成角的余弦值．[自主解析] (1)以A 为原点，AB ，AD ，1AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则D (0,3,0)、D 1(0,3,2)、E (3,0,0)、F (4,1,0)、C 1(4,3,2)，于是DE ＝(3，－3,0)，EC 1＝(1,3,2)，FD 1＝(－4,2,2)． 设n ＝(x ，y,2)为平面C 1DE 的法向量， 则有⎭⎪⎬⎪⎫n ⊥DE n ⊥1EC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫3x －3y ＝0x ＋3y ＋2×2＝0⇒x ＝y ＝－1， ∴n ＝(－1，－1,2)，∵向量1AA ＝(0,0,2)与平面CDE 垂直，∴n 与AA 1所成的角θ为二面角C －DE －C 1的平面角或其补角． ∵cos θ＝n ·1AA |n ||1AA |＝－1×0－1×0＋2×21＋1＋4×0＋0＋4＝63，由图知二面角C －DE －C 1的平面角为锐角， ∴tan θ＝22. (2)设EC 1与FD 1所成的角为β，则cos β＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1EC ·1FD |1EC ||1FD | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×(－4)＋3×2＋2×212＋32＋22×(－4)2＋22＋22＝2114. 例3在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点，如图所示，求点B 到平面CMN 的距离．[自主解答] 取AC 的中点O ，连接OS 、OB . ∵SA ＝SC ，AB ＝BC ， ∴AC ⊥SO ，AC ⊥BO .∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ∩平面ABC ＝AC ， ∴SO ⊥平面ABC ，又∵BO ⊂平面ABC ，∴SO ⊥BO . 如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz ， 则B (0,23，0)，C (－2,0,0)，S (0,0,22)， M (1，3，0)，N (0，3，2)．∴CM ＝(3，3，0)，MN ＝(－1,0，2)，MB ＝(－1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎨⎧CM ·n ＝3x ＋3y ＝0，MN ·n ＝－x ＋2z ＝0，取z ＝1，则x ＝2，y ＝－6，∴n ＝(2，－6，1)． ∴点B 到平面CMN 的距离 d ＝|n ·MB ||n |＝423.例4 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2.求点B 到平面EFG 的距离．解：如图所示，以C 为原点，CB 、CD 、CG 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .由题意知B (4,0,0)，E (4,2,0)，F (2,4,0)，G (0,0,2)，BE ＝(0,2,0)，GE ＝(4,2，－2)，EF ＝(－2,2,0)．设平面GEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧n ·GE ＝0，n ·EF ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －z ＝0，－x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝3， ∴n ＝(1,1,3)．点B 到平面GEF 的距离为 d ＝|||BE |·cos 〈BE ，n 〉＝|BE ·n ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(0，2，0)·(1，1，3)11＝21111.归纳反思2种方法——用向量证平行与垂直的方法 (1)用向量证平行的方法①线线平行：证明两直线的方向向量共线．②线面平行：a.证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； b ．证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行． ③面面平行：a.证明两平面的法向量为共线向量； b ．转化为线面平行、线线平行问题． (2)用向量证明垂直的方法①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． ②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示． 3种角——利用向量法求三种角的问题在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等．关于角的计算，均可归结为两个向量的夹角．(1)求两异面直线a 、b 的夹角θ，须求出它们的方向向量a ，b 的夹角，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.(2)求直线l 与平面α所成的角θ可先求出平面α的法向量n 与直线l 的方向向量a 的夹角．则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|. (3)求二面角α-l -β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n 1，n 2所成的角，则θ＝〈n 1，n 2〉或π－〈n 1，n 2〉．1个易错点——利用平面法向量求二面角的易错点利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点.四、典型练习1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形．且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为,PB PD 的中点．（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）若2PA AB ==，求CN 与平面PBD 所成角的正弦值．2．如图，三棱锥P ABC -的底面ABC 和侧面PAB 都是边长为4的等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABC ，点E 为线段PA 中点，点F 为AB 上的动点．（1）若平面CEF ⊥平面ABC ，求线段AF 的长； （2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1114,2,23,,60AB AA BC AC AC BC A AB ====⊥∠=︒．（1）证明：BC ⊥平面11ACC A ；（2）设点D 为1CC 的中点，求直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值．4．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC⊥平面,90,//,90ABCD PBC AD BC ABC ∠∠==，2222AB AD CD BC ====．（1）求证：CD ⊥平面PBD ；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角的正切值为22B PC D --的正切值．5．已知等腰直角SAB ，4SA AB ==，点C ，D 分别为边SB ，SA 的中点，沿CD 将SCD 折起，得到四棱锥S ABCD -，平面SCD ⊥平面ABCD ．（1）过点D 的平面//α平面SBC ，平面α与棱锥S ABCD -的面相交，在图中画出交线；设平面α与棱SA 交于点M ，写出SMMA的值（不必说出画法和求值理由）； （2）求证：平面SBA ⊥平面SBC ．6．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA AD =，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 为PB 的两个三等分点．（1）证明：//DE 平面ACF ； （2）求二面角B AC F --的余弦值．7．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，//EF AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD ，244AD EF DE ===，3AF =．（1）判断平面ABF 与平面CDE 的交线l 与AB 的位置关系，并说明理由；（2）求平面ABF 与平面CDE 所成二面角的大小．8．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点E 是侧棱1AA 上一点，且1BE EC ⊥．（1）求证：平面BCE ⊥平面11B C E ；（2）若E 是棱1AA 的中点，且2AB =，求平面11B C E 与平面11C D E 所成的锐二面角的大小．9．如图，多面体PQABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，==2AB PA ，0=60ABC ∠，22QC QD ==，(0)PQ a a =>．（1）设点F 为棱CD 的中点，求证：对任意的正数a ，四边形PQFA 为平面四边形； （2）当14a =时，求直线PQ 与平面PBC 所成角的正弦值． 参考答案：1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形．且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为,PB PD 的中点．（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）若2PA AB ==，求CN 与平面PBD 所成角的正弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）23． 【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，即转化为证明//MN BD ；（2）首先建立空间直角坐标系，求平面PBD 的法向量，利用线面角的向量公式求解． 【解析】（1）连结BD ，,M N 分别是,PB PD 的中点，//MN BD ∴，MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ；（2）如图，以点A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，()002P ,,，()2,0,0B ，()0,2,0D ()2,2,0C ，()0,1,1N ， ()2,0,2PB =-，()2,2,0PD =-，()2,1,1CN =--，设平面PBD 的法向量(),,n x y z =，则00PB n PD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220220x z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1,1y z ==，∴平面PBD 的法向量()1,1,1n =，则2111112sin cos ,363CN n CN n CN nθ⋅-⨯-⨯+⨯=<>===⨯， 所以CN 与平面PBD 所成角的正弦值是23． 2．如图，三棱锥P ABC -的底面ABC 和侧面PAB 都是边长为4的等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABC ，点E 为线段PA 中点，点F 为AB 上的动点．（1）若平面CEF ⊥平面ABC ，求线段AF 的长； （2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）1；（2）1510． 【分析】（1）方法一通过建空间直角坐标系来利用面面垂直，从而求出线段长度；方法二通过线面、面面关系的性质求得EF ⊥平面ABC ，进而解得长度． （2）建系后，通过直线与面的法向量的夹角来求得线面夹角． 【解析】解（1）(法一)取AB 中点O ，连接PO ，CO ．因为ABC 与PAB △都是正三角形，所以PO AB ⊥，CO AB ⊥ 又已知平面ABC ⊥平面PAB ，所以PO ⊥平面ABC ．如图所示，以O 为坐标原点，分别以OA ，OC ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．因为PAB △，ABC 边长为4，E 为AP 中点，()2,0,0A ，()0,23,0C ，(3E ，()2,0,0B -设AF t =，则()2,0,0F t -，()2,23,0CF t =--，(1,0,3EF t =--． 设平面CEF 的法向()1111,,n x y z =．由()()11112230130t x t x z ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，令13x =11121t y z t⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以13,1,12t n t ⎛⎫=-- ⎪⎭．设平面ABC 的法向量()0,0,1n =． 因为平面CEF ⊥平面ABC ，所以10n n ⋅=，即10t -=，解得1t =， 故线段AF 的长为1时，则平面CEF ⊥平面ABC ．(法二：同一法)取AB 中点O ，AO 中点G ，连接EG ，PO ．因为PAB △为正三角形，E 为PA 的中点，所以PO AB ⊥． 因为//EG PO ，所以EG AB ⊥．又平面PAB ⊥平面ABC ，所以EG ⊥平面ABC ． 在平面EFC 中，作EF FC '⊥于点F '．因为平面EFC ⊥平面ABC ，平面EFC ⋂平面ABC FC =， 所以EF '⊥平面ABC ．因为过平面外一点有且仅有一条直线垂直于已知平面， 所以点F '与G 重合，即为所求点F 即当1AF=时，平面CEF ⊥平面ABC ．（2）由（1）图所示， 则易知()0,0,0O，()0,23,0C ，(3E ，(0,0,23P ，()2,0,0B -，所以(1,23,3CE =-，设平面PBC 的法向量()111,,m x y z =，又(2,0,23BP =，()2,23,0BC =则111122302230x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令13x =()3,1,1m =--．设直线CE 与平面PBC 所成的角为α，则323315sin cos ,1045CE m CE m CE mα⋅+-====⨯． 故直线CE 与平面PBC 15【名师点睛】建立空间直角坐标系的难点在于点坐标的准确求取，然后按照向量间的关系，转化为面面，线面关系．3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1114,2,23,,60AB AA BC AC AC BC A AB ====⊥∠=︒．（1）证明：BC ⊥平面11ACC A ；（2）设点D 为1CC 的中点，求直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）33． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理可知1BC A C ⊥，然后利用线面垂直的判定定理可知结果． （2）解法1通过作辅助线，找到直线1A D 与平面11ABB A 所成角，然后根据三角函数的知识进行求解即可；解法2利用建系，求得平面11ABB A 的一个法向量，然后按公式计算即可． 【解析】（1） 证明：如图，连接1A B由11,60AB AA A AB =∠=︒，所以1ABA △为等边三角形 因为112324AC BC A B ===，，， 所以22211A B A C BC =+，所以1BC A C ⊥，又11BC AC AC AC C AC AC ⊥⋂=⊂，，，平面11ACC A ， 所以BC ⊥平面11ACC A ．（2）解法1：如图，设E 为1BB 的中点，连结1A E DE ，，作1DF A E ⊥于F ．因为BC ⊥平面11ACC A ，//DE BC ，所以DE ⊥平面11ACC A ， 又1CC ⊂平面11ACC A ，所以1DE CC ⊥．在11ACC △中，111AC A C =，D 为1CC 的中点，所以11A D CC ⊥，又1A D DE D ⋂=，所以1CC ⊥平面1A DE ． 因为11//BB CC ，所以1BB ⊥平面1A DE ，所以1BB DF ⊥，因为11111,DF A E BB A E E BB A E ⊥⋂=⊂，，平面11ABB A ，所以DF ⊥平面11ABB A ， 所以直线1A D 与平面11ABB A 所成角为1DA E ∠． 在1DA E 中，221112222A D DE A D AC DE BC ⊥=-===，，， 所以221123A E A D DE =+=113sin 3DE DA E A E ∠==． 因此，直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值为33． 解法2：如图，以C 为原点，以射线CA CB ，分别为x ，y 轴正半轴，建立空间直角坐标系C xyz -，则()()()123460,0,0,23,0,0,0,2,0,C A B A ⎝⎭143462326,C D ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，因此14326A D ⎛= ⎝⎭，()1434623,2,0,,0,33AB AA ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭．设平面11ABB A 的法向量为,,n x y z =（），由100n AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3020x y x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，可取()2,6,1n =．设直线1A D 与平面11ABB A 所成角为θ， 则1113sin cos ,3A D n A D n A D nθ⋅===⋅． 因此，直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值是33． 4．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC⊥平面,90,//,90ABCD PBC AD BC ABC ∠∠==，2222AB AD CD BC ====．（1）求证：CD ⊥平面PBD ；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角的正切值为22B PC D --的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）52． 【分析】（1）分别证明CD DB ⊥，PB CD ⊥即可证得CD ⊥平面PBD ．（2）建立空间直角坐标系，由线面夹角求得PB 的值，由平面的法向量求得二面角的正切值． 【解析】（1）在四边形ABCD 中，//,90,222AD BC ABC AB AD CD BC ∠====，所以,ABD BCD 都为等腰直角三角形，即CD DB ⊥， 因为平面PBC ⊥平面,90ABCD PBC ∠=，平面PBC 平面,ABCD BC =所以直线PB ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD 所以PB CD ⊥，又PB BD B ⋂=，所以CD ⊥平面PBD ．（2）以B 为原点，,,BC BP BA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，2,BC =则,1,2,AB CD BD ===因为直线PD 与底面ABCD 所成的角的正切值为2，所以在Rt PBD △中，tan 2242PB PDB PB BD ∠===∴= 设平面PBC 和平面PDC 法向量分为为,,m n →→易知可取()0,0,1,m →= 因为(2,4,0),(1,0,1)PC CD →→=-=-， 所以0,0PC n CD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2400x y x z -=⎧⎨-+=⎩，令2z =，解得(2,1,2)n →=设所求二面角为,θ所以2cos 3414m nm nθ→→→→⋅===++，5tan 2θ∴=【名师点睛】（1）在平面上找到两条相交的直线与给定直线垂直可以证明线面垂直． （2）建立空间直角坐标系，用向量的方法解决二面角问题．5．已知等腰直角SAB ，4SA AB ==，点C ，D 分别为边SB ，SA 的中点，沿CD 将SCD 折起，得到四棱锥S ABCD -，平面SCD ⊥平面ABCD ．（1）过点D 的平面//α平面SBC ，平面α与棱锥S ABCD -的面相交，在图中画出交线；设平面α与棱SA 交于点M ，写出SMMA的值（不必说出画法和求值理由）； （2）求证：平面SBA ⊥平面SBC ．【答案】（1）图形见解析，1；（2）证明见解析．【分析】（1）过D 作//DE BC 交AB 于E ，由中位线性质证BCDE 为平行四边形即可知E 为AB 的中点，由平面//α平面SBC ，过E 作//EM SB 交SA 于M ，即知M 为SA 的中点，即可得SMMA．（2）由题设易证DA ，DC ，DS 两两互相垂直，构建以D 为原点，分别以射线DA ，DC 、DS 的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，并确定SB ，AB ，CB ，进而求面SAB ，面SBC 的法向量，根据法向量的夹角即可证面SBA ⊥面SBC ．【解析】（1）过D 作//DE BC 交AB 于E ，由C ，D 分别为边SB ，SA 的中点，即//CD AB ， 所以BCDE 为平行四边形，则E 为AB 的中点，再过E 作//EM SB 交SA 于M ， 所以在△ABS 中，EM 为中位线，即M 为SA 的中点，所得平面α即为平面DEM ，如下图示，所以由上，知1MSMA=． （2）由题设知//CD AB ，CD SD ⊥ 面SCD ⊥面ABCD ，面SCD面ABCD CD =，SD CD ⊥，SD ⊂面SCD ，SD ∴⊥面ABCD ，又CD ，AD ⊂面ABCD ， SD CD ∴⊥，SD AD ⊥，又CD AD ⊥，DA ∴，DC ，DS 三条棱两两互相垂直．以D 为原点，分别以射线DA ，DC 、DS 的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(0,0,2)S ，(2,4,0)B ，(2,4,2)SB ∴=-，(0,4,0)AB =，(2,2,0)CB =，设平面SAB ，平面SBC 的法向量分别为()111,,u x y z =，()222,,v x y z =，00u AB u SB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111020y x y z =⎧⎨+-=⎩，取11x =，则(1,0,1)u =， 00v SB v CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22222200x y z x y +-=⎧⎨+=⎩，取21x =，则(1,1,1)v =--， cos ,02113u v u v u v⨯+⋅∴===⋅，∴平面SBA ⊥平面SBC ．【名师点睛】第二问，根据面面垂直的性质证线面垂直，进而确定线线垂直，进而构建空间直角坐标系，求出所证平面的法向量，根据法向量的夹角判断平面的关系．6．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA AD =，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 为PB 的两个三等分点．（1）证明：//DE 平面ACF ； （2）求二面角B AC F --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）63． 【分析】（1）根据线面平行的判断性质，在平面AFC 上找到一条与DE 平行的直线即可． （2）建立空间直角坐标系，通过法向量的夹角求得二面角的余弦值． 【解析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OF ，则O 为BD 的中点， 因为E ，F 为PB 的两个三等分点，所以F 为BE 的中点，所以//OF DE ， 又OF ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF ，所以//DE 平面ACF ．（2）设正方形ABCD 的边长为3，以点A 为原点，以AD ，AB ，AP 所在的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则(0,0,0)A ，(3,3,0)C ，(0,3,0)B ，(0,2,1)F ， 则()3,3,0AC =，()0,2,1AF =，()0,3,0AB =．设平面ACF 的法向量为(,,)n x y z =．由()()()(),,3,3,00,,0,2,10n AC x y z n AF x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩，得33020x y y z +=⎧⎨+=⎩，得2x y z y =-⎧⎨=-⎩， 令1y =，得平面ACF 的一个法向量为(1,1,2)n =--；显然平面ACB 的一个法向量为(0,0,1)m =； 则cos ,||||n m n m n m ⋅〈〉==(1,1,2)(0,0,1)6361--⋅=-⨯， 即二面角B AC F --的余弦值为63．7．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，//EF AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD ，244AD EF DE ===，3AF =．（1）判断平面ABF 与平面CDE 的交线l 与AB 的位置关系，并说明理由；（2）求平面ABF 与平面CDE 所成二面角的大小．【答案】（1）//l AB ；答案见解析；（2）90︒．【分析】（1）//l AB ，证明见解析；（2）先证明90APD ∠=︒，再利用向量法求解即可．【解析】（1）由//EF AD ，2AD EF =，可知延长AF ，DE 交于一点设为P ．过P 点作AB 的平行线即为l ，//l AB ，理由如下：由题意可知//AB CD ，AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，则//AB 平面CDE ． 又AB 平面ABF ，平面ABF 平面CDE l =，则//l AB ．（2）由//EF AD ，2AD EF =，1DE =，3AF =得2DP =，3AP =又4=AD ，则222AD DP AP =+，所以90APD ∠=︒，由题意可知，P 点向平面ABCD 引垂线，垂足落在AD 上，设为O ，则1OD =． 以O 为原点，以OD →，OP →的方向分别为y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．(0,3,0)A -，(4,3,0)B -，3)P ，则(4,0,0)AB →=，3)AP →=，设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z →=， 由0AB m →→⋅=，0AP m →→⋅=得40,330x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可取(0,1,3)m →=-， (0,1,0)D ，(4,1,0)C ，则(4,0,0)DC →=，(0,3)DP →=-，设平面PCD 的法向量为n (x,y,z)→=，同理可得3,1)n →=，因为0m n →→=，所以平面PAB ⊥平面PCD ，即平面ABF ⊥平面CDE ，所以，平面ABF 与平面CDE 所成二面角的大小为90︒．8．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点E 是侧棱1AA 上一点，且1BE EC ⊥．（1）求证：平面BCE ⊥平面11B C E ；（2）若E 是棱1AA 的中点，且2AB =，求平面11B C E 与平面11C D E所成的锐二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）3π． 【分析】（1）由线面垂直的性质定理得11B C BE ⊥，再根据已知条件，结合线面垂直的判定定理证明BE ⊥平面11B C E ，接着利用面面垂直的判定定理证明即可．（2）首先根据E 是棱1AA 的中点，且2AB =，求得侧棱的长，再利用空间向量法求平面11B C E 与平面11C D E 所成的锐二面角的大小．【解析】（1）证明：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，易知11B C ⊥侧面11AA B B ，且BE ⊂平面11AA B B ，可得11B C BE ⊥，又1BE EC ⊥，且1EC 与11B C 是平面11B C E 内两相交直线，所以得BE ⊥平面11B C E ，因为BE ⊂平面BCE ，故得平面BCE ⊥平面11B C E ．（2）设平面11B C E 与平面11C D E 所成的锐二面角的大小为θ．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，由于DA ，DC ，1DD 两两互相垂直，则以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示．因为E 是棱1AA 的中点，且2AB =，从而知正四棱柱的上、下底面是边长为2的正方形，设1AE EA t ==；由（1）知BE ⊥平面11B C E ，则得1BE EB ⊥， 且214BE EB t ==+12BB t =，由勾股定理得22211BE EB BB +=，即得()2224(2)t t +=， 解得2t =（取正），即侧棱长14BB =．于是可得1(0,0,4)D ，(2,0,2)E ，1(2,2,4)B ，1(0,2,4)C ，(2,2,0)B ；设平面11B C E 的法向量为1(,,)n x y z →=，由第（1）问可知向量BE →为平面11B C E 的一个法向量，故1(0,2,2)n BE →→==-； 设平面11C D E 的法向量为2(,,)n a b c →=，而11(0,2,0)D C →=，1(2,2,2)EC →=- 则由21121202220n D C b n EC a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，得0b =，令1a =，得1c =，所以2(1,0,1)n →=． 于是由212112cos cos ,n n n n n n θ→→→→→→⋅=<>=12222==⨯，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以3πθ=，即平面11B C E 与平面11C D E 所成的锐二面角的大小为3π． 【名师点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解．9．如图，多面体PQABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，==2AB PA ，0=60ABC ∠，22QC QD ==，(0)PQ a a =>．（1）设点F 为棱CD 的中点，求证：对任意的正数a ，四边形PQFA 为平面四边形； （2）当14a =时，求直线PQ 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2526- 【分析】（1）法一：设Q 在平面内的射影为E ，可证明点E 在CD 的垂直平分线上，又AE 也为CD 的垂直平分线，AE 与CD 的交点即为CD 的中点F ，有PA ⊥平面ABCD ，QE ⊥平面ABCD ，PA//QE ，可证明PQFA 为平面四边形．法二：证明CD ⊥平面AFQ ，再证明CD ⊥平面PAF ，有公共点F ，可证明结论．（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，求出PQ 以及平面PBC 的一个法向量，计算可求出夹角的正弦值．【解析】（1）方法1：设Q 在平面内的射影为E ，由QC =QD 可得EC =ED ，所以点E 在CD 的垂直平分线上由ABCD 是菱形，且0=60ABC ∠，故直线AE 与CD 的交点即为CD 的中点F ．因为PA ⊥平面ABCD ，QE ⊥平面ABCD ，所以PA//QE ，从而PA ，QE 共面，因此PQ ，FA 共面，所以PQFA 为平面四边形．方法2：取棱CD 的中点F ，则有AF CD ⊥，QF CD ⊥，又AFQF F =，所以CD ⊥平面AFQ ，在菱形ABCD 中，60ADC ABC ∠==，所以AF CD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，所以有PA CD ⊥，AF PA A =，所以CD ⊥平面PAF ．由AFQ 与平面PAF 均过点A 可得平面AFQ 与平面PAF 重合．即P 、Q 、F 、A 共面，所以PQFA 为平面四边形．（2）分别以AB 、AF 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，3,0),3,0),(0,0,2)C F P 当14a =7,7PF QF ==222PF QF PQ +=，设Q 在平面ABCD 内的射影为E ，则有QFE △相似于FPA ，即3QE =2FE = 所以Q 的坐标为(02+33)，，，()0,23,32PQ = 设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =，()2,0,2PB =-，()3,0BC =- 则有·0·0n BC n PB ⎧=⎨=⎩，即22030x z x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，有(3,1,3)n =． 设直线PQ 与平面PBC 所成角为θ，则526sin cos ,n PQ θ-=<>=， 从而直线PQ 与平面PBC 526- 【名师点睛】（1）证明点共面：可证四点中两条线段平行，或平面外一条直线垂直有公共点的两个平面，则这两个平面重合．（2）求线面角的正弦即为直线与法向量夹角的余弦的绝对值．。