人教版数学高一A版必修4预习学案 1.5函数yAsin(ωxψ)的图象(第1课时)
高一数学人教A版必修4第一章1.5 函数y=Asin(ωx φ)的图象教案
导入正弦函数y=sinx是最基本、最简单的三角函数，在物理中，简谐运动中的单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如)sin(ϕω+=xAy的函数.我们需要了解它与函数y=sinx的内在联系。
ϕ、ω、A是影响函数图象形态的重要参数，对此，我们分别进行探究.知识讲解（难点突破）（一）了解参量的实际意义1、参数的意义sin(),[0,)y A wx xϕ=+∈+∞表示一个振动时，振幅为；周期为；频率为；初相为；（二）振幅变换例1、在同一个平面直角坐标系中画出sin,[0,2]y x xπ=∈，2sin,[0,2]y x xπ=∈，1sin,[0,2]2y x xπ=∈问题1：观察函数siny A x=与函数siny x=的图像，你有什么发现？【设计意图】：巩固五点作图法，利用五点作图法画出三个函数的图象，根据图象图象得到三个图象的关系，培养学生的绘图和识图能力（二）平移变换例2：在同一个平面直角坐标系中画出sin,y x=sin3y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，sin4y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的简图问题2：函数sin()y xϕ=+与函数siny x=的图象有什么关系？（三）周期变换例3、在同一个平面直角坐标系中画出sin,y x=sin2,y x=1sin,2y x=的图象问题3：函数sin,(0,1)y xωωω=>≠与函数siny x=的图象有什么关系？【设计意图】：列表时换了第一行与第二行的位置，考虑到这样学生更易接受。
二通过图象观察变换规律也很直观，特别要强调ω的变换与振幅变换、周期变换的不同。
（四）称热打铁，讲练结合练习1：已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上的所有点（）A、横坐标伸长到原来的43倍，纵坐标不变； B、横坐标缩短到原来的34，纵坐标不变；C、纵坐标伸长到原来的43倍，横坐标不变； D、纵坐标缩短到原来的34，横坐标不变；练习2：已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上的所有点（）A、向右平移5π个单位长度； B、向左平移5π个单位长度；C、向右平移25π个单位长度；D、向左平移25π个单位长度；练习3：已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上的所有点（）A、横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；B、横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；C、纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变；D、纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变；35=πy si n(x+),35=πy si n(x-),35=πy si n(x+),35=πy si n(2x+),35=πy si n(x+),45=πy s i n(x+),（八）板书设计小结1、振幅，周期，频率，初相的概念2、振幅变换=∈y s i nx,x R A=∈y si nx,x R3、平移变化=∈y s i nx,x Rϕ=∈y s i n(x+),x R4、周期变化=∈y s i nx,x Rω=∈y s i n x,x R5、综合变换（两种方法）=∈y si nx,x R Aωϕ=∈y s i n(x+),x R6、例题讲解+学生练习正弦型函数y=Asin(wx+ϕ)的图象。
高中数学人教A版必修四教学案1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 Word版含答案
[核心必知]．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材～的内容，回答下列问题．()φ对函数＝(＋φ)的图象有什么影响？提示：函数＝(＋φ)，∈(其中φ≠)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>时)或向右(当φ<时)平行移动φ个单位长度而得到．()ω(ω>)对函数＝(ω＋φ)的图象有什么影响？提示：函数＝(ω＋φ)，∈(其中ω>且ω≠)的图象，可以看作是把＝(＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>时)或伸长(当<ω<时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．()(>)对函数＝(ω＋φ)的图象有什么影响？提示：函数＝(ω＋φ)(>且≠)的图象，可以看作是把＝(ω＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当>时)或缩短(当<<时)到原来的倍(横坐标不变)而得到的，函数＝(ω＋φ)的值域为[－，]．最大值为，最小值为－.()函数＝(ω＋φ)(>，ω>)中，、ω、φ的物理意义各是什么？提示：是振幅，是周期，是频率，φ是初相．．归纳总结，核心必记()参数、ω、φ对函数＝(ω＋φ)图象的影响①φ对函数＝(＋φ)图象的影响②ω(ω>)对函数＝(ω＋φ)图象的影响③(>)对函数＝(ω＋φ)图象的影响()由函数＝的图象得到函数＝(ω＋φ)的图象的途径由函数＝的图象通过变换得到＝(ω＋φ)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．①先平移后伸缩②先伸缩后平移()函数＝(ω＋φ)(>，ω>)中，、ω、φ的物理意义①简谐运动的振幅就是；②简谐运动的周期＝；③简谐运动的频率＝＝；④ω＋φ称为相位；⑤＝时的相位φ称为初相．。
高中数学 1.5《函数 的图象》导学案 新人教A版必修4
y x =+sin()π3ω1ω1 1.5《函数)sin(ϕω+=x A y 的图象》导学案【学习目标】1.会用 “五点法”作出函数)(ϕ+=wx Asm y 以及函数)cos(ϕ+=wx A y 的图象的图象。
2.能说出A W 、、ϕ对函数)sin ϕ+=wx A y （的图象的影响.3.能够将x y sin =的图象变换到)sin(ϕ+=wx A y 的图象，并会根据条件求解析式.【重点难点】重点：由正弦曲线变换得到函数)sin(ϕω+=x A y 的图象。
难点：当1≠ω时，函数)sin(11φx ωA y +=与函数)sin(22φx ωA y +=的关系。
【学法指导】预习图像变换的过程，初步了解图像的平移。
【知识链接】1.函数)sinϕ+=x y （，x R ∈（其中0≠ϕ）的图象，可以看作是正弦曲线上所有的点_________（当ϕ>0时）或______________（当ϕ<0时）平行移动ϕ个单位长度而得到.2.函数R x x y ∈=,sin ω（其中ω>0且1ω≠）的图象，可以看作是把正弦曲线 上所有点的横坐标______________（当ω>1时）或______________（当0<ω<1时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到.3.函数A R x x A y (,sin ∈=>0且A ≠1)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标___________（当A>1时）或__________（当0<A<1）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的，函数y=Asinx 的值域为______________.最大值为______________，最小值为______________.4. 函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω其中的（A>0,ω>0）的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点___________（当ϕ>0时）或___________（当ϕ<0时）平行移动ϕ个单位长度，再把所得各点的横坐标____________（当ω>1时）或____________（当0<ω<1）到原来的 倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵横坐标____________（当A>1时）或_________（当 0<A<1时到原来的A 倍（横坐标不变）而得到.【学习过程】1、复习巩固；作业评讲——作出函数x y sin =在一个周期内的简图并回顾作图方法？2、自主探究；问题一、函数图象的左右平移变换y x =-sin()π4如在同一坐标系下，作出函数和的简图，并指出它们与y x =sin 图象之间的关系。
人教A版高中数学必修4-1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象-课件
三 、 教学目标
１.知识与能力目标：
理解三个参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ) 图象的影响；揭示函数y=Asin(ωx+φ)的图象与 正弦曲线的变换关系，
２.过程与方法目标：
结合具体函数图象的变化，领会由简单到复杂 ，由特殊到一般的化归思想，通过A、ω、φ变化 与函数y=Asin(ωx+φ)图象变换的关系，加深对数 形结合思想的理解。
函数.
那么函数 y Asin( x )与函数y=sinx
有什么关系呢?
从解析式上来看函数y=sinx就是函数
y Asin( x )在A=1，ω=1， 0 的情况.
下面就来探索 、、A 对函数
y Asin( x )
的图象的影响.
***检测复习***
y sin x, x [0,2 ]的图象
合
函数y=sinx(>0)图象:
作 探
究
y=sinx 横坐标变为本来的1/倍 y=sinx
纵坐标不变
小试牛刀
2. 要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将 y=sinx 图象（ B ）
A. 横坐标伸长到本来的3倍 ，纵坐标不变 B.横坐标缩小到本来的1/3倍 ，纵坐标不变 C.纵坐标扩大到本来的3倍，横坐标不变 D.纵坐标缩小到本来的1/3倍，横坐标不变
1 sin x 0
2
1 2
0
1 2
0
函数 y 2sin x、y 1 sin x与y sin x 的图象
2
间的变化关系.
y
自
2
主 学
1
习
O
3
2
x
2
-1
y 1 sin x
-2
人教A版数学必修4第一章1.5 函数y=Asin(wx φ )的图象 导学案
函数)sin(ϕω+=x A y 的图像导学案（课前准备的部分课前完成，其余内容课堂上探究完成）活动一：探索参数ϕ对函数)sin(ϕ+=x y ，R x ∈的图像的影响。
1，课前准备:使用五点法画出以下函数的图像。
①同一坐标系内画x y sin =与)3sin(π+=x y 的图像②同一坐标系内画x y sin =与)3-sin(πx y =的图像2、观察比较上面的函数图像。
x y sin =与)3sin(π+=x y 的图像的关系:x y sin =与)3-sin(πx y =的图像的关系:（反思：你是怎么发现的？）3、我猜想：函数)sin(ϕ+=x y 其中ϕ≠0的图像与函数x y sin =的图象有着如下关系:4、结论：5、进一步验证结论（借助计算机）。
x2ππ23ππ2x sin3π+x0 2π π23π π2x3-π6π 32π67π35π）（3sin π+xx2ππ23ππ2x sin3-πx0 2ππ23π π2x3π65π34π611π37π）（3-sin πx6、巩固练习。
（在括号里填出图像变化过程）①x y sin =的图像（ ）得到）6sin(π+=x y 的图像。
②x y sin =的图像（ ）得到)4sin(π-=x y 的图像。
③函数)4sin(π+=x y 的图像向左平移4π个单位后得到的新函数图像解析式为：（ ）。
活动二：探索ω（ω>0)对函数)sin(ϕω+=x y 的图像的影响。
1，课前准备:使用五点法画出以下函数的图像。
①同一坐标系内画出x y sin =与)2sin(x y =的图像②同一坐标系内画出x y sin =与)21sin(x y =的图像2、观察比较上面的函数图像。
x y sin =与)2sin(x y =的图像的关系：x y sin =与)21sin(x y =的图像的关系：3、我猜想：函数)sin(ϕω+=x y 其中ϕ≠0，ω>0的图像与函数）（ϕ+=x y sin 的图象有着如下联系：x2ππ23ππ2xsinx 2 0 2ππ23ππ2x)2sin(xx2ππ23ππ2x sinx 21 0 2ππ23ππ2x)21sin(x4、结论： ５、进一步验证结论（借助计算机）。
人教A版高中数学必修4第一章-三角函数1.5-函数y=Asin(ωx+φ)的图象导学案(1)
班级： 小组： 姓名： 编号：课题：1.5.1 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像学习目标：1．通过学生自主探究，理解A 、ω、对函数y=Asin （ωx+ϕ）的图像的影响．2．通过探究图像变换，熟练掌握“五点法”画函数y=Asin （ωx+ϕ）的简图，并会用图像变换法画出函数y=Asin （ωx+ϕ）的简图．学习重点：掌握函数y=Asin （ωx+ϕ）的简图的作法学习难点：相位变换,周期变换先后顺序调整后对平移量的影响. 导学流程： 一.了解感知复习1：回顾五点作图法作正弦函数[]π2,0,sin ∈=x x y 、余弦函数[]π2,0,cos ∈=x x y 图像的方法复习2： y=f(x)→y=f(x+a)左右平移变换：a>0,向 平移a 个单位；a<0,向 平移|a|个单位y=f(x)→y=f(x)+k 上下平移变换：k<0,向 平移|k|个单位；k>0,向 平移k 个单位二．深入学习 思考：对函数sin()y A x ωϕ=+（0,0A ω>>），你认为怎样讨论参数,,A ϕω对函数图象的影响？例1画出函数y=2sin x ， x ∈R ，y= sin x ，x ∈R 的简图要得到函数2sin y x =的图象，只需将sin y x =图象（ ）A.横坐标扩大原来的两倍B. 纵坐标扩大原来的两倍C.横坐标扩大到原来的两倍D. 纵坐标扩大到原来的两倍结论：一般地，函数y=Asin x ， x ∈R （其中A ＞0且A ≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当A ＞1时）或缩短（当0＜A ＜1时）到原来的A 倍（横坐标不变）而x sin 21xsin 2 xsin x得到。
函数y=Asin x ， x ∈R 的值域是[－A ，A]，最大值是A ，最小值是－A 。
注：A 引起图象的纵向伸缩，它决定函数的最大（最小） 值,我们把A 叫做振幅。
人教A版高中数学必修四第一章1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象导学案设计(无答案)
ω1函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象第1课时导学案班级 组号 姓名【教学目标】：1.明确,,φωA 对函数图象变化的的影响；会用五点法和变换法画出sin()y A ωx φ=+的图象；探究清楚平移变换和周期变换先后顺序的区别。
2.通过自主学习，合作探究，学会对sin y x =进行平移、周期变换和振幅变换.3.通过对函数图象的研究，渗透数形结合思想，培养动与静的辩证关系，提高数学修养.【过程与方法】：通过师生共同交流和探究，以问题引导学生通过自主观察、总结，在与他人、小组合作的交流中领悟知识、方法和思想。
【重点】：用五点法和图象变换法画出sin()y A ωx φ=+的简图；【难点】：,,φωA 对函数sin()y A ωx φ=+图象的影响.课前预习学案一、预习目标预习教材P49-P54页内容，理解图像变换的过程。
二：预习引领：1.用15分钟左右的时间，阅读、探究课本中的内容，提升自己的阅读理解能力；2.完成填一填内容，完成预习自测题，然后结合基础知识和例题力求自主探究“探究案“中的问题。
3.将预习中的疑惑、不能解决的问题标出来，并写到后面的“我的疑惑”处。
三、填一填（知识要点，记下疑难点）1. 【平移变换】函数)sin ϕ+=x y （，x R ∈（其中0≠ϕ）的图象，可以看作是正弦曲线上所有的点_________（当ϕ>0时）或______________（当ϕ<0时）平行移动ϕ个单位长度而得到.2. 【周期变换】函数R x x y ∈=,sin ω（其中ω>0且1ω≠）的图象，可以看作是把正弦曲线 上所有点的横坐标______________（当ω>1时）或____ __________（当0<ω<1时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到. 3. 【振幅变换】函数A R x x A y (,sin ∈=>0且A ≠1)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标ω1___________（当A >1时）或__________（当0<A<1）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的，函数y=Asinx 的值域为___________.最大值为__________，最小值为____________四：预习自测1、函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω其中的（A >0,ω>0）的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点___________（当ϕ>0时）或___________（当ϕ<0时）平行移动ϕ个单位长度，再把所得各点的横坐标____________（当ω>1时）或____________（当0<ω<1）到原来的 倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵横坐标____________（当A >1时）或_________（当0<A<1时到原来的A 倍（横坐标不变）而得到.2. 函数)3x 2sin(3y π+=的图象，可由函数sinx y =的图象经过下述________变换而得到（ ）.A.向右平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21，纵坐标扩大到原来的3倍 B.向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21，纵坐标扩大到原来的3倍 C. 向右平移6π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的31 D.向左平移6π个单位，横坐标缩小到原来的21，纵坐标缩小到原来的31 【我的疑惑】：课内探究学案（一）：课内探究探究一：,,φωA 对函数sin()y A ωx φ=+图象的影响（自主探究）问题1：,,φωA 分别影响函数sin()y A ωx φ=+图象的哪几个方面？问题2：横坐标何时伸长、缩短？伸长缩短到原来的多少倍?为什么？探究二：函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω的图像问题1：“五点法”作函数sin()y A ωx φ=+时，怎样取关键的五点？问题2：简述怎样由sin y x =的图像得到函数12sin()36πy x =-+的图像？ 【总结】：探究三：先平移变换再周期变换与先周期变换再平移变换的区别（合作交流）由sin y x =的图像得到函数12sin()36πy x =-的图像，分别按法一：先平移变换，再周期变换，最后振幅变换法二：先周期变换，再平移变换，最后振幅变换，得到以下两幅图请问：谁是用法一得到的图，谁是用法二得到的图？同一函数两图为什么不一样？【规律总结】：（三）：当堂检测1.已知函数12sin(4)53πy x =+的图象为C ，为了得到函数1sin 45y x =的图象，只需把C的所有点（ ）A 、向左平移6π个单位长度B 、向右平移6π个单位长度C 、向左平移32π个单位长度D 、向右平移32π个单位长度2．将函数)(x f y =图象上每一点的纵坐标变为原来的21，横坐标变为原来的21，再将整个图象沿轴向左平移3π个单位，得到函数x y sin =的图象，则函数=)(x f __________. （四）：课堂小结： 1.知识方面：2.注意点有：【课堂评价】：回扣目标 总结收获，评出优秀小组和个人【课后反思】：（学到了什么？还有什么疑问？）课后练习与提高1、已知函数f(x)f(x),y 将=图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图形沿着x 轴向左平移2π个单位，这样得到的曲线与sinx 21y =的图象相同，那么已知函数f(x)y =的解析式为（ ）. A.1x f(x)sin(-)222π= B.)2x 2sin(21f(x)π+= C.)22x sin(21f(x)π+= D.)2-x 2sin(21f(x)π= 2、把函数sinx y =的图象向右平移8π后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，所得到的函数的解析式为（ ）.A. )8-x 21sin(y π=B. )8x 21sin(y π+=C. )8-x 2sin(y π=D. )4-x 2sin(y π= 3、已知)2sin()(π+=x x f ，)2cos()(π-=x x g ，则)(x f 的图象 ( )A. 与()g x 图像相同B. 与()g x 图象关于y 轴对称C. 向左平移2π个单位得到)(x g 的图象D. 向右平移2π个单位得到)(x g 的图象 4、已知函数)x Asin(y ϕω+=（A >0，ω>0，0<πϕ<）的两个邻近的最值点为（26π，）和（232-，π），则这个函数的解析式为____________________. x。
高中数学1.5函数的图象导学案新人教版必修4
1.5函数y Asin( x )的图象课前预习学案一、预习目标预习图像变换的过程，初步了解图像的平移。
二、预习内容1. 函数y sin（x ），x R （其中0）的图象，可以看作是正弦曲线上所有的点___________ （当>0时）或_____________________ （当<0时）平行移动| |个单位长度而得到.2. 函数y sin x,x R （其中>0且1）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标____________________ （当>1时）或____________________ （当0< <1时）到原来的倍3. 函数y Asinx,x R（A>0且A 1）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标_____________ （当A>1时）或 ______________ （当0<A<1 ）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的，函数y=Asinx 的值域为____________________________ .最大值为，最小值为4. 函数y Asin（ x ）, x R其中的（A>0, >0）的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点__________________ （当>0时）或 _________________ （当<0时）平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标________________________ （当>1时）或 ___________________ （当0< <1）到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵横坐标_____________________________ （当A>1时）或___________ （当0<A<1时到原来的A倍（横坐标不变）而得到.课内探究学案一、学习目标1. 会用“五点法”作出函数y Asm（wx ）以及函数y Acos（wx ）的图象的图象。
数学必修4人教A教案 学案1.5函数 的图象(教、学案)
1. 5函数)sin(ϕω+=x A y 的图象一、教材分析三角函数是中学数学的重要内容之一，它既是解决生产实际问题的工具，又是学习高等数学及其它学科的基础．本节课是在学习了任意角的三角函数，正、余弦函数的图象和性质后，进一步研究函数y ＝Asin(ωx +φ)的简图的画法，由此揭示这类函数的图象与正弦曲线的关系，以及A 、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映．二、教学目标1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。
2. 通过对函数y = Asin(wx+4)(A>0，w>0)图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。
3. 培养学生观察问题和探索问题的能力。
三、教学重点难点重点：通过五点作图法正确找出函数y ＝sin x 到y ＝sin(ωx +φ)的图象变换规律。
难点：对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象平移量的理解． 四、学法分析 本节课是在学习了三角函数的性质和图象的基础上来学习)sin(ϕω+=x A y 的图像，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。
在教师的引导下，积极、主动地提出问题，自主分析，再合作交流，达到殊途同归．在思维训练的过程中，感受数学知识的魅力，成为学习的主人．五、教法分析教学的目的是以知识为平台，全面提升学生的综合能力．本节课突出体现了以学生能力的发展为主线，应用启发式、讲述式引导学生层层深入，培养学生自主探索以发现问题、分析问题和解决问题的能力，注重利用非智力因素促进学生的学习，实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一。
六、课时安排：2课时 七、教学程序及设计意图（一）复习引入：在现实生活中，我们常常会遇到形如y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的函数解析式(其中A ，ω，ϕ都是常数)下面我们讨论函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，x ∈R 的简图的画法（二）讲解新课：例 1、 画出函数y ＝sin(x ＋3π)，x ∈R ，y ＝sin(x －4π)，x ∈R 的简图描点画图：通过比较，发现：(1)函数y ＝sin(x ＋3π)，x ∈R 的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动3π个单位长度而得到(2)函数y ＝sin(x －4π)，x ∈R 的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动4π个单位长度而得到一般地，函数y ＝sin(x ＋ϕ)，x ∈R (其中ϕ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)y ＝sin(x ＋ϕ)与y ＝sin x 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换设计意图：引导学生学习y ＝sin(x ＋3π)，x ∈R ，y ＝sin(x －4π)，x ∈R 图象上点的坐标和y=sinx 的图象上点的坐标的关系，获得ϕ对y ＝sin(x ＋ϕ)的图象的影响的具体认识。
人教版数学高一A版必修4导学案 1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象(第1课时)
第1课时 画函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象1．能够将y ＝sin x 的图象通过平移、伸缩等变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的简图． 2．能正确理解参数A ，ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响． 3．会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图．1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响如图所示，对于函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y ＝sin x 的图象上所有的点向__(当φ＞0时)或向__(当φ＜0时)平行移动__个单位长度得到的．将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴方向平移|a |个单位长度后，得到函数y ＝f (x ＋a )(a ≠0)的图象．当a ＞0时，向左平移，当a ＜0时，向右平移，简记为“左加右减”．【做一做1】 将函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为( )A ．y ＝sin x －π3B ．y ＝sin x ＋π3C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 2．ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的图象的影响如图所示，函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的__坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的__倍(纵坐标不变)而得到．函数y ＝f (ωx )(ω＞0)的图象，可以看作是把函数y ＝f (x )的图象上的点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的．【做一做2】 把y ＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的13(纵坐标不变)得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝13sin xB ．y ＝sin 13x C ．y ＝3sin x D ．y ＝sin 3x3．A (A ＞0)对y ＝A sin (ωx ＋φ)，x ∈R 的图象的影响如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)的图象上的所有点的__坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的__倍(横坐标不变)而得到的．函数y ＝Af (x )(A ＞0，且A ≠1)的图象，可以看作是把函数y ＝f (x )的图象上的点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的．【做一做3】 把y ＝sin x 图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝2sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝12sin xD ．y ＝sin 12x4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象常见画法(1)五点法：①列表(ωx ＋φ通常取0，π2，π，3π2，2π这五个值)；②描点；③____.(2)变换法：①(相位变换)先把y ＝sin x 的图象上所有的点____(当φ＞0时)或____(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度，得函数y ＝________的图象；②(周期变换)再把函数y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)，得函数y ＝________的图象；③(振幅变换)再把函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变)，得函数y ＝________的图象．【做一做4】 函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象？答案：1．左 右 |φ| 【做一做1】 D2．横 1ω【做一做2】 D 3．纵 A【做一做3】 A4．(1)③连线 (2)①向左 向右 sin(x ＋φ) ②sin(ωx ＋φ) ③A sin(ωx ＋φ) 【做一做4】 解：步骤：①将函数y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象； ②再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象．③把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，得函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象．由函数y ＝sin x 的图象变换成y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象剖析：y ＝sin x 的图象变换成y ＝sin(ωx ＋φ)的图象一般有两个途径： 途径一：先相位变换，再周期变换先将y ＝sin x 的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．途径二：先周期变换，再相位变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|ω个单位长度，便得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．题型一 “五点法”画图【例1】 用“五点法”画函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6的图象． 分析：将2x ＋π3看作一个整体取值0，π2，π，3π2，2π，求出对应的x ，y 值，再描点、连线即得所求函数图象．反思：用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象的步骤： ①列表：②描点：在坐标系中描出下列各点：⎝⎛⎭⎫－φω，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φω，A ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π－φω，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φω，－A ，⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－φω，0. ③连线：用光滑曲线将所描五个点顺次连接起来，得函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的简图．题型二 “变换法”作图【例2】 已知函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54，该函数的图象可由y ＝sin x ，x ∈R 的图象经过怎样的变换得到？反思：方法一是先平移后伸缩，方法二是先伸缩后平移．两种变换中的平移的单位长度分别是π6和π12，因而是不同的．在应用中一定要区分清楚，以免混乱而失误．弄清平移对象是减少失误的好方法．题型三 易错辨析易错点 忽视自变量x 的系数【例3】 为了得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4的图象，可以将函数y ＝sin x2的图象( ) A ．向左平移π2个单位长度 B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π2个单位长度D ．向右平移π4个单位长度错解：∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫x 2－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，故选B. 错因分析：上述解法忽视了变量的系数．因为当变量系数不为1时，先周期变换后相位变换和先相位变换后周期变换所移动的长度单位不一样．题目中的x 的系数是12，而不是1，按照x 的系数为1的情况进行变换，结果必然错误．答案：【例1】 解：①列表：②描点：在坐标系中描出下列各点：⎝⎛⎭⎫－π6，0，⎝⎛⎭⎫π12，3，⎝⎛⎭⎫π3，0，⎝⎛⎭⎫7π12，－3，⎝⎛⎭⎫5π6，0. ③连线：用光滑曲线将所描五个点顺次连接起来，得函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6的简图，如图所示．【例2】 解：方法一：步骤：(1)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象； (2)把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，而纵坐标不变，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象；(3)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的12，而横坐标不变，可以得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象； (4)再把得到的y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向上平移54个单位长度，就能得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图象． 方法二：步骤：(1)将函数y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，而纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x 的图象；(2)将y ＝sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象； (3)将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的12，而横坐标不变，可以得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象； (4)再把得到的y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向上平移54个单位长度，就能得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图象． 【例3】 正解：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫x 2－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π2， 故选A.1．要得到函数y ＝cos 2x 的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度2．用“五点法”画函数y ＝π2sin 3x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭(ω＞0)在一个周期内的简图时，五个关键点是π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭，π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭，π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π,212⎛⎫-⎪⎝⎭，5π,06⎛⎫⎪⎝⎭，则ω＝__________. 3．把函数y ＝π2sin 34x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象对应的一个解析式为__________．4．说出y ＝2sin 2x 的图象怎样由y ＝1sin 2x 的图象得到？ 5．用“五点法”画函数y ＝1πsin 226x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象．答案：1．A y ＝cos 2x ＝πsin 22x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝πsin 24x ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则需把函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度得到函数y ＝cos 2x 的图象． 2．2 周期T ＝5ππ66⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝π， ∴2πω＝π.∴ω＝2.3．y ＝3π2sin 24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 把函数y ＝π2sin 34x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，得函数y ＝ππ2sin 364x ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝π2sin 34x ⎛⎫-⎪⎝⎭的图象， 再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝1π2sin 324x ⎡⎤⎛⎫⋅-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，即y ＝3π2sin 24x ⎛⎫-⎪⎝⎭.4．解：y ＝2sin 2x 的图象可以看作先由y ＝1sin 2x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的14倍(纵坐标不变)得到y ＝sin 2x 的图象，再把所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)而得到．5．解：列表：描点画图：将函数在π13π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象向左、向右依次平移π个单位长度即得y ＝1πsin 226x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象．。
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1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响
如图所示，函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y ＝sin x 的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．
即y ＝sin x 的图象
y ＝sin(x ＋φ)的图象．
思考1如何把函数y ＝sin(x ＋φ)的图象变换成y ＝sin x 的图象？
提示：只需把y ＝sin(x ＋
φ)的图象向左(φ<0)或向右(φ>0)平移|φ|个单位便可以得到y ＝sin x 的图象．
2．ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的图象的影响
如图所示，函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的
1
倍(纵坐标不变)而得到．
即y ＝sin(x ＋φ)的图象
y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．
思考2把y ＝sin(x ＋φ)的图象伸长或缩短为原来的1
ω
倍，得函数y ＝sin ω(x ＋φ)的图象，这句话正确吗？其中ω>0.
提示：不正确．ω影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期．函数y ＝sin(x ＋φ)图象上各点的横坐标变化、纵坐标不变得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，ω只对x 发生作用，不改变φ的值．
3．A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的图象的影响
如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的．
即y ＝sin(ωx ＋φ)的图象
y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．
4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的常见画法 (1)五点法：①列表3222x π
πωϕππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
＋通常取，，，这五个值；②描点；③连线． (2)变换法：
由y ＝sin x 变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的方法如下： ①先平移后伸缩
②先伸缩后平移
思考3由y ＝sin 2x 的图象如何平移得到y ＝sin 23x π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的图象？是向左平移
3
π
个单位吗？
提示：不是．∵y ＝sin 23x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
＝sin 26x π⎛⎫+
⎪⎝
⎭
， ∴应将y ＝sin 2x 的图象向左平移6
π
个单位．。