人教版数学高一A版必修4 1.5函数yAsin(ωxψ的图象(第2课时)

课堂探究
探究一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称性
1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴方程由ωx ＋φ＝k π＋2
π
求得，即x ＝
2
kx π
ϕ
ω
+
-，k
∈Z ；对称中心由ωx ＋φ＝k π求得，即为,0k πϕω-⎛⎫
⎪⎝⎭
，k ∈Z . 2．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴方程由ωx ＋φ＝k π求得，即x ＝
k πϕ
ω
-，k ∈Z ，对
称中心由ωx ＋φ＝k π＋2π求得，即为2,0kx πϕω⎛⎫+- ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，k ∈Z . 【典型例题1】 已知函数f (x )＝sin 3x πω⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象( )
A ．关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 B ．关于直线x ＝4π对称
C ．关于点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．关于直线x ＝3π对称
解析：由T ＝
2π
ω
＝π，解得ω＝2，
则f (x )＝sin 23x π⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
， 令2x ＋
3π＝k π＋2π
，得x ＝2k π＋12π，k ∈Z ，即对称轴为x ＝2k π＋12π，k ∈Z .
令2x ＋
3π＝k π，得x ＝2k π－6π，k ∈Z ，即对称中心为,02
6k ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭，k ∈Z . 从而可判断A 正确． 答案：A
探究二 求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式 由函数图象确定解析式，可按以下规律来确定A ，ω，φ. (1)A ：一般可由图象的最高点、最低点来确定A .
(2)ω：因为T ＝
2π
ω
，所以ω＝
2T
π
，可通过曲线与x 轴的交点确定T ，也可由相邻的最高点与最低点之间的距离为2
T
来求，还可由相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T 来求．
(3)φ：①代入法：通常取最高点或最低点的坐标代入解析式，根据φ的范围确定其值．如果代入的是平衡点(零点)，则必须区分0相位和π相位，代入0相位时，需令ωx ＋φ＝2k π(k ∈Z )，代入π相位时，需令ωx ＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )．②对点法：将所给图象中的五个关键点与“五点法”中的五个点进行对照．从寻找“五点法”中的第一个点,0ϕω⎛⎫
- ⎪⎝⎭
(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．
【典型例题2】 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ) 0,0,2A πωϕ⎛⎫
>>≤ ⎪⎝
⎭
图象的一段，试确定此函数解析式．
解：该函数的周期T ＝
133π－3
π
＝4π， ∴ω＝
2T π＝1
2
. 又∵函数的最大值为3，故A ＝3. ∴y ＝3sin 12x ϕ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
. 法一：所给图象是由函数y ＝3sin
2x 向右平移3
π
个单位长度得到的，于是所求解析式为y ＝3sin 123x π⎡⎤
⎛
⎫-
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，即y ＝3sin 1
2
6x π⎛⎫-
⎪⎝⎭.
法二：∵周期为4π，∴由图象知最大值点为4,33π⎛⎫
⎪⎝⎭
.
∴3sin 1423πϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭
＝3. ∴
23π＋φ＝2k π＋2
π
，k ∈Z . ∴φ＝2k π－6
π
，k ∈Z . ∵|φ|≤
2π，∴φ＝－6
π. ∴所求解析式为y ＝3sin 1
2
6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭.
法三：∵图象过点30,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭
， ∴3sin φ＝－32.∴sin φ＝－12
. 又∵－
2π≤φ≤2π，∴φ＝－6
π. ∴所求解析式为y ＝3sin 1
2
6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭.
法四：由图象过点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
，且该点在递增区间上， ∴
12×3
π
＋φ＝2k π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π－6
π
，k ∈Z . ∵|φ|≤
2π，∴φ＝－6
π. ∴所求解析式为y ＝3sin 1
2
6x π⎛⎫-
⎪⎝⎭.
探究三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际应用
1．正确理解并识记简谐运动、周期、频率、振幅的概念以及实际意义是解答这类题的基础．
2．对于实际问题，要注意定义域．
【典型例题3】 已知弹簧上挂的小球做简谐运动时，小球离开平衡位置的距离s (cm)
随时间t (s)的变化规律为：s ＝4sin 23t π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
，t ∈[0，＋∞)．用五点法作出这个函数在一个周期内的简图，并回答下列问题：
(1)小球在开始运动(t ＝0)时，离开平衡位置的位移是多少？
(2)小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？ (3)经过多长时间，小球往复运动一次？ (4)小球运动的频率是多少？ 解：列表如下：
(1)将t ＝0代入s ＝4sin 23t π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
，
得s ＝4sin
3
π
＝(cm)，
以竖直向上作为位移的正向，则小球开始运动时的位移是 cm ，方向为正向． (2)小球上升到最高点时，离开平衡位置的位移是4 cm ，下降到最低点时，离开平衡位置的位移是－4 cm ，负号表示方向竖直向下．
(3)反映在图象上，正弦曲线在每一个长度为π的区间上，都完整地重复变化一次．由于这个函数的周期T ＝
22π
＝π，所以小球往复运动一次所需要的时间为π s. (4)小球运动的频率为1π
. 探究四易错辨析
易错点：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式时求错φ的值
【典型例题4】 函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，其中|φ|<
2
π
，则(
)
A ．ω＝2，φ＝
6
π
B ．ω＝2，φ＝－12π
C ．ω＝
1011，φ＝6
π
D ．ω＝1011，φ＝－12π 错解：由图象观察可得φ＝－12π，T ＝1112π－12π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
＝π， 则ω＝2.故选B.
错因分析：错解中认为φ为函数图象与x 轴交点的横坐标中绝对值最小的那个横坐标是错误的，实际上φ要根据平移或特殊点的坐标列方程来求．
正解：由图可得T ＝π，
∴ω＝2.∴y ＝sin(2x ＋φ)．又由图可知y ＝sin 2x 的图象y ＝sin(2x ＋φ)
＝sin
22x ϕ⎡⎤
⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
的图象，
∴
2ϕ＝12π.∴φ＝6
π.故选A. 答案：A。