2018-2019学年数学高考(人教A版文科)一轮复习考点规范练：55Word版含解析
2018-2019学年高考数学(文科)一轮复习通用版：第八单元 数 列
第八单元 数 列教材复习课“数列”相关基础知识一课过1．数列的有关概念n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[小题速通]1．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21的值为( )A ．5 B.72 C.92D.132解析：选B ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2， n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72. 2．数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n －1a n(n ∈N *)，则a 2 018＝( )A.12 B ．3 C ．－12D.23解析：选D由a1＝3，a n＋1＝a n－1a n，得a2＝a1－1a1＝23，a3＝a2－1a2＝－12，a4＝a3－1a3＝3，……，由上可得，数列{a n}是以3为周期的周期数列，故a2 018＝a672×3＋2＝a2＝2 3.3．已知数列{a n}满足a n＝32n－11(n∈N*)，前n项的和为S n，则关于a n，S n的叙述正确的是()A．a n，S n都有最小值B．a n，S n都没有最小值C．a n，S n都有最大值D．a n，S n都没有最大值解析：选A①∵a n＝32n－11，∴当n≤5时，a n<0且单调递减；当n≥6时，a n>0，且单调递减．故当n＝5时，a5＝－3为a n的最小值；②由①的分析可知：当n≤5时，a n<0；当n≥6时，a n>0.故可得S5为S n的最小值．综上可知，a n，S n都有最小值．4．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n＋2n＋1(n∈N*)，则a5＝________.解析：依题意得a n＋1－a n＝2n＋1，a5＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＝1＋3＋5＋7＋9＝25.答案：25[清易错]1．易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成a n＝S n－S n－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．1．已知数列的通项公式为a n＝n2－8n＋15，则()A．3不是数列{a n}中的项B．3只是数列{a n}中的第2项C．3只是数列{a n}中的第6项D．3是数列{a n}中的第2项或第6项解析：选D令a n＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{a n}中的第2项或第6项．2．已知数列{a n}的前n项和为S n＝3＋2n，则数列{a n}的通项公式为________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－2n －1＝2n －1.因为当n ＝1时，不符合a n ＝2n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥21．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．[小题速通]1．在等差数列{a n }中，已知a 2与a 4是方程x 2－6x ＋8＝0的两个根，若a 4>a 2，则a 2 018＝( )A ．2 018B ．2 017C ．2 016D ．2 015解析：选A 因为a 2与a 4是方程x 2－6x ＋8＝0的两个根，且a 4>a 2，所以a 2＝2，a 4＝4，则公差d ＝1，所以a 1＝1，则a 2 018＝2 018.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＝3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 5＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选C ∵等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＝3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和， ∴a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝3， 解得a 3＝1，∴S 5＝52(a 1＋a 5)＝5a 3＝5.3.正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 4＋a 10－a 27＋15＝0，则S 13＝( )A ．－39B ．5C ．39D ．65解析：选D ∵正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 4＋a 10－a 27＋15＝0，∴a 27－2a 7－15＝0，解得a 7＝5或a 7＝－3(舍去)， ∴S 13＝132(a 1＋a 7)＝13a 7＝13×5＝65. 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a 3＝a 6＋4.若S 5<10，则a 2的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，0) C ．(1，＋∞)D ．(0,2)解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，∵3a 3＝a 6＋4， ∴3(a 2＋d )＝a 2＋4d ＋4，可得d ＝2a 2－4.∵S 5<10，∴5(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝5(2a 2＋2d )2＝5(3a 2－4)<10，解得a 2<2.∴a 2的取值范围是(－∞，2)．5．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 [清易错]1．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件． 2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．1．(2018·武昌联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：选C 由a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.2．在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *，有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52D.54解析：选C 由2a n ＋1＝1＋2a n ，可得a n ＋1－a n ＝12，即数列{a n }是以－2为首项，12为公差的等差数列，则a n ＝n －52，所以数列{a n }的前10项的和S 10＝10×⎝⎛⎭⎫－2＋522＝52.1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)都是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k . [小题速通]1．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：选B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2解析：选B 设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73.3．设数列{a n }是等比数列，公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3的值为( )A.154B.152C.74D.72解析：选A 根据等比数列的公式，得S 4a 3＝a 1(1－q 4)1－q a 1q 2＝1－q 4(1－q )q 2＝1－24(1－2)×22＝154. 4．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3＋a 5＝8，a 2a 6＝16，则数列{a n }的前2 018项的和为( )A ．8 064B ．4C ．－4D ．0解析：选D ∵等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3＋a 5＝8，a 2a 6＝16， ∴a 3a 5＝a 2a 6＝16，∴a 3，a 5是方程x 2－8x ＋16＝0的两个根， 解得a 3＝a 5＝4， ∴4q 2＝4，∵q ≠1，∴q ＝－1，∴a 1＝a 3q 2＝4，∴数列{a n }的前2 018项的和为 S 2 018＝4[1－(－1)2 018]1－(－1)＝0.5．(2018·信阳调研)已知等比数列{a n }的公比q >0，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.22C. 2D ．2解析：选B 因为{a n }是等比数列，所以a 5a 7＝a 26＝4a 24，所以a 6＝2a 4，q 2＝a 6a 4＝2，又q >0， 所以q ＝2，a 1＝a 2q ＝22.[清易错]1．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n－S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．1．设数列{a n }为等比数列，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D.558解析：选A 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.2．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q ＝________. 解析：当q ≠1时，由题意，a 1(1－q 3)1－q ＝3a 1q 2，即1－q 3＝3q 2－3q 3，整理得2q 3－3q 2＋1＝0，解得q ＝－12.当q ＝1时，S 3＝3a 3，显然成立． 故q ＝－12或1.答案：－12或1一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3da 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 2．(2018·江西六校联考)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－33，则a 2a 8＝( ) A ．3 B.17 C ．9D ．13解析：选A 由a 3a 5a 7＝－33，得a 35＝－33，即a 5＝－3，故a 2a 8＝a 25＝3.3．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 018＝( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．2解析：选D 由题意得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 018＝a 335×6＋8＝a 8＝2.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)，则a 7＝( ) A ．53 B ．54 C ．55D ．109解析：选C a 2＝a 1＋2×2，a 3＝a 2＋2×3，……，a 7＝a 6＋2×7，各式相加得a 7＝a 1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．44 B ．45 C.13×(46－1) D.14×(45－1) 解析：选B 由a n ＋1＝3S n ，得a 2＝3S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝3S n －1，则a n ＋1－a n ＝3a n ，n ≥2，即a n ＋1＝4a n ，n ≥2，则数列{a n }从第二项起构成等比数列，所以S 6＝a 73＝3×453＝45.6．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，对一切自然数n ，都有S n T n＝n n ＋1，则a 5b 5等于( )A.34B.56C.910D.1011解析：选C ∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5，T 9＝9(b 1＋b 9)2＝9b 5， ∴a 5b 5＝S 9T 9＝910. 7．已知数列{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，若5S 2＝S 4，则log 4a 3的值为( )A ．1B ．2C ．0或1D ．0或2 解析：选C 由题意得，等比数列{a n }中，5S 2＝S 4，a 1＝1， 所以5(a 1＋a 2)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 即5(1＋q )＝1＋q ＋q 2＋q 3，q 3＋q 2－4q －4＝0，即(q ＋1)(q 2－4)＝0， 解得q ＝－1或±2，当q ＝－1时，a 3＝1，log 4a 3＝0. 当q ＝±2时，a 3＝4，log 4a 3＝1. 综上所述，log 4a 3的值为0或1.8．设数列{a n }是公差为d (d >0)的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．75B ．90C ．105D ．120解析：选C 由a 1＋a 2＋a 3＝15得3a 2＝15，解得a 2＝5，由a 1a 2a 3＝80，得(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝80，将a 2＝5代入，得d ＝3(d ＝－3舍去)，从而a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋30)＝105.二、填空题9．若数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，得a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13， 两式相减得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，则a n ＝13n .当n ＝1时，a 1＝13满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n .答案：a n ＝13n10．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －1，则a n ＝________. 解析：∵S n ＝2a n －1，① ∴S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，② ①－②得a n ＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －1.∵S 1＝a 1＝2a 1－1，即a 1＝1，∴数列{a n }为首项是1，公比是2的等比数列， 故a n ＝2n －1.答案：2n －111．已知数列{a n }中，a 2n ＝a 2n －1＋(－1)n ，a 2n ＋1＝a 2n ＋n ，a 1＝1，则a 20＝________. 解析：由a 2n ＝a 2n －1＋(－1)n ，得a 2n －a 2n －1＝(－1)n ， 由a 2n ＋1＝a 2n ＋n ，得a 2n ＋1－a 2n ＝n ，故a 2－a 1＝－1，a 4－a 3＝1，a 6－a 5＝－1，…，a 20－a 19＝1. a 3－a 2＝1，a 5－a 4＝2，a 7－a 6＝3，…，a 19－a 18＝9. 又a 1＝1，累加得：a 20＝46. 答案：4612．数列{a n }为正项等比数列，若a 3＝3，且a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则此数列的前5项和S 5＝________.解析：设公比为q (q >0)，由a n ＋1＝2a n ＋3a n －1，可得q 2＝2q ＋3，所以q ＝3，又a 3＝3，则a 1＝13，所以此数列的前5项和S 5＝13×(1－35)1－3＝1213.答案：1213三、解答题13．已知在等差数列{a n }中，a 3＝5，a 1＋a 19＝－18. (1)求公差d 及通项a n ；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 及使得S n 取得最大值时n 的值． 解：(1)∵a 3＝5，a 1＋a 19＝－18，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，2a 1＋18d ＝－18，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，∴a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (9＋11－2n )2＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25， ∴n ＝5时，S n 取得最大值．14．已知数列{a n }满足a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n a n2，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)∵a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n ，∴当n ≥2时，a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n －12n －1＝(n －1)2＋n －1，两式相减得a n 2n ＝2n (n ≥2)，∴a n ＝n ·2n ＋1(n ≥2)．又∵当n ＝1时，a 12＝1＋1，∴a 1＝4，满足a n ＝n ·2n ＋1.∴a n ＝n ·2n ＋1.(2)∵b n ＝(－1)n a n 2＝n (－2)n ，∴S n ＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n ×(－2)n .－2S n ＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n －1)×(－2)n ＋n (－2)n ＋1，∴两式相减得3S n ＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋(－2)4＋…＋(－2)n －n (－2)n＋1＝－2[1－(－2)n ]1－(－2)－n (－2)n ＋1＝－(－2)n ＋1－23－n (－2)n ＋1＝－(3n ＋1)(－2)n ＋1＋23，∴S n ＝－(3n ＋1)(－2)n ＋1＋29.高考研究课(一) 等差数列的3考点——求项、求和及判定 [全国卷5年命题分析][典例] (1)设S n n 1S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )A ．5B ．5C ．7D ．8(2)(2016·全国卷Ⅱ)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.①求b 1，b 11，b 101；②求数列{b n }的前1 000项和．[解析] (1)法一：由等差数列前n 项和公式可得S n ＋2－S n ＝(n ＋2)a 1＋(n ＋2)(n ＋1)2d －⎣⎡⎦⎤na 1＋n (n －1)2d ＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋4n ＋2＝36， 解得n ＝8.法二：由S n ＋2－S n ＝a n ＋2＋a n ＋1＝a 1＋a 2n ＋2＝36，因此a 2n ＋2＝a 1＋(2n ＋1)d ＝35，解得n ＝8.答案：D(2)①设数列{a n }的公差为d ， 由已知得7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2. ②因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893. [方法技巧]等差数列运算的解题思路由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知a 1，d ，n ，a n ，S n 中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．[即时演练]1．已知数列{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 6＝4S 3，则a 10＝( ) A.172 B.192 C.910D.89解析：选B ∵S 6＝4S 3，公差d ＝1. ∴6a 1＋6×52×1＝4×⎝⎛⎭⎫3a 1＋3×22×1，解得a 1＝12.∴a 10＝12＋9×1＝192.2．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 4－S 2S 5－S 3的值为( )A ．－2B ．－3C ．2D ．3解析：选D 设{a n }的公差为d ，因为a 1，a 3，a 4成等比数列， 所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，可得a 1＝－4d ， 所以S 4－S 2S 5－S 3＝a 3＋a 4a 4＋a 5＝－3d－d＝3. 3．(2018·大连联考)已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n;(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5.因为d >0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.即所求m 的值为5，k 的值为4.[典例] 已知{a n 11n 2n ，且b 4＝17. (1)求证：数列{b n }是以－2为公差的等差数列； (2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，求S n 的最大值．[思路点拨] (1)利用等比数列以及对数的运算法则，转化证明数列{b n }是以－2为公差的等差数列；(2)求出数列的和，利用二次函数的性质求解最大值即可． [解] (1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ， 则b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n ＝log 2q ，因此数列{b n }是等差数列．又b 11＝log 2a 11＝3，b 4＝17， 所以等差数列{b n }的公差d ＝b 11－b 47＝－2， 故数列{b n }是以－2为公差的等差数列． (2)由(1)知，b n ＝25－2n ，则S n ＝n (b 1＋b n )2＝n (23＋25－2n )2＝n (24－n )＝－(n －12)2＋144，于是当n ＝12时，S n 取得最大值，最大值为144. [方法技巧]等差数列判定与证明的方法1．(2016·浙江高考)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列解析：选A 由题意，过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，…分别作直线B 1B n ＋1的垂线，高分别记为h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…，根据平行线的性质，得h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…成等差数列，又S n ＝12×|B n B n ＋1|×h n ，|B n B n ＋1|为定值，所以{S n }是等差数列．故选A.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得S n ＝(－2)×[1－(－2)n ]1－(－2)＝－23＋(－1)n 2n ＋13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋(－1)n 2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．[典例] (1)n 3610a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( )A ．8B ．12C ．6D ．4(2)已知数列{a n }，{b n }为等差数列，前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝3n ＋22n ，则a 7b 7＝( )A.4126 B.2314 C.117D.116(3)(2018·天水模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.[解析] (1)由a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，得(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝32，得4a 8＝32，即a 8＝8，m ＝8.(2)因为{a n }，{b n }为等差数列，且S n T n＝3n ＋22n ，所以a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝13(a 1＋a 13)213(b 1＋b 13)2＝S 13T 13＝3×13＋22×13＝4126.(3)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20， ∴40＝10＋S 30－30，∴S 30＝60. [答案] (1)A (2)A (3)60 [方法技巧]等差数列的性质(1)项的性质在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n . [即时演练]1．(2018·岳阳模拟)在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135D ．80解析：选B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)[(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)]＝40＋3×20＝100.2．(2018·广州模拟)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12B.5＋12C.3－52D.3＋52解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，所以a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 3(1＋q 2)a 4(1＋q 2)＝1q ＝25＋1＝5－12. 3．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 10b 9＋b 12＋a 11b 8＋b 13＝________.解析：∵数列{a n }和{b n }都是等差数列，∴a 10b 9＋b 12＋a 11b 8＋b 13＝a 10＋a 11b 9＋b 12＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝S 20T 20＝7×2020＋3＝14023. 答案：14023等差数列前n 项和的最值等差数列的通项a n 及前n 项和S n 均为n 的函数，通常利用函数法或通项变号法解决等差数列前n 项和S n 的最值问题．[典例] 等差数列{a n n 1311n n 的值为________．[解析] 法一：用“函数法”解题 由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， 因为a 1>0，所以－a 113<0. 故当n ＝7时，S n 最大． 法二：用“通项变号法”解题 由法一可知，d ＝－213a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎨⎧a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝⎛⎭⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大． [答案] 7 [方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)通项变号法①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[即时演练]1．(2018·潍坊模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17解析：选A ∵a 1＝29，S 10＝S 20， ∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．2．已知{a n }是等差数列，a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，当{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选B 设数列{a n }的公差为d ， ∵a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，∴－26＋7d －26＋12d ＝5，解得d ＝3， ∴S n ＝－26n ＋n (n －1)2×3＝32n 2－552n ＝32⎝⎛⎭⎫n －5562－3 02524， ∴{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n ＝9.3．已知{a n }是各项不为零的等差数列，其中a 1>0，公差d <0，若S 10＝0，则数列{a n }的前n 项和取最大值时，n ＝________.解析：由S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 5＋a 6)＝0， 可得a 5＋a 6＝0，∴a 5>0，a 6<0，即数列{a n }的前5项和为最大值，∴n ＝5. 答案：51．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23， 即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.2．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97解析：选C 法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98. 法二：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5. 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.3．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1， a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1.两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．4．(2013·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )， 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .一、选择题1．(2018·厦门一中测试)已知数列{a n }中，a 2＝32，a 5＝98，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，则a 7＝( )A.109 B.1110 C.1211D.1312解析：选D 设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1的公差为d ，则1a 5－1＝1a 2－1＋3d ，即198－1＝132－1＋3d ，解得d ＝2，所以1a 7－1＝1a 2－1＋5d ＝12，解得a 7＝1312.2．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )A ．6斤B ．9斤C ．9.5斤D ．12斤解析：选A 依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2.由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．3．(2018·银川一中月考)在等差数列{a n}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为S n(n∈N*)，有下列命题：①若S3＝S11，则必有S14＝0；②若S3＝S11，则必有S7是S n中的最大项；③若S7>S8，则必有S8>S9；④若S7>S8，则必有S6>S9.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D对于①，若S11－S3＝4(a1＋a14)＝0，即a1＋a14＝0，则S14＝14(a1＋a14)2＝0，所以①正确；对于②，当S3＝S11时，易知a7＋a8＝0，又a1>0，d≠0，所以a7>0>a8，故S7是S n中的最大项，所以②正确；对于③，若S7>S8，则a8<0，那么d<0，可知a9<0，此时S9－S8<0，即S8>S9，所以③正确；对于④，若S7>S8，则a8<0，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，即S6>S9，所以④正确．故选D.4．(2018·大同模拟)在等差数列{}a n中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和等于()A．290 B．300C．580 D．600解析：选B由a1＋a2＋a3＝3a2＝3，得a2＝1.由a18＋a19＋a20＝3a19＝87，得a19＝29，所以S20＝20(a1＋a20)2＝10(a2＋a19)＝300.5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9＝18，a n－4＝30(n>9)，若S n＝336，则n的值为()A．18 B．19C．20 D．21解析：选D因为{a n}是等差数列，所以S9＝9a5＝18，a5＝2，S n＝n(a1＋a n)2＝n(a5＋a n－4)2＝n 2×32＝16n ＝336，解得n ＝21. 6．设{a n }是等差数列，d 是其公差，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．当n ＝6或n ＝7时S n 取得最大值解析：选C 由S 5<S 6，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5<a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6，即a 6>0.同理由S 7>S 8，得a 8<0.又S 6＝S 7，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7，∴a 7＝0，∴B 正确；∵d ＝a 7－a 6<0，∴A 正确；而C 选项，S 9>S 5，即a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，可得2(a 7＋a 8)>0，由结论a 7＝0，a 8<0，知C 选项错误；∵S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，∴结合等差数列前n 项和的函数特性可知D 正确．故选C.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d >0，(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，则( )A ．|a 7|>|a 8|B ．|a 7|<|a 8|C ．|a 7|＝|a 8|D ．|a 7|＝0解析：选B 因为(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，所以(a 6＋a 7＋a 8)(a 6＋a 7＋a 8＋a 9)<0，因为{a n }为等差数列，所以a 6＋a 7＋a 8＝3a 7，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)，所以a 7(a 7＋a 8)<0，所以a 7与(a 7＋a 8)异号．又公差d >0，所以a 7<0，a 8>0，且|a 7|<|a 8|，故选B.二、填空题8．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n 1＋3a n，a 1＝2，则a 20＝________. 解析：由a n ＋1＝a n 1＋3a n，a 1＝2， 可得1a n ＋1－1a n＝3， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，3为公差的等差数列． 所以1a n＝12＋3(n －1)，即a n ＝26n －5，所以a 20＝2115. 答案：21159．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，则数列{a n }的通项公式为________． 解析：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，∴a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 12＝12，公差d ＝12的等差数列， 故a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝12n ， 即a n ＝n ·2n －1. 答案：a n ＝n ·2n －1 10．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 4≠0，且S 8＝3S 4，S 12＝λS 8，则λ＝________. 解析：当S 4≠0，且S 8＝3S 4，S 12＝λS 8时，由等差数列的性质得：S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，∴2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，∴2(3S 4－S 4)＝S 4＋(λ·3S 4－3S 4)，解得λ＝2.答案：2三、解答题11．已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，a 3＋a 4＝12.(1)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(2)设b n ＝10－a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 1≠b 2，则n 为何值时，S n 最大？S n 最大值是多少？解：(1)设{a n }的公差为d ，∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，解得d ＝0或d ＝2a 1.当d ＝0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a n ＝6，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝30；当d ≠0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝1，d ＝2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25.(2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0，由(1)知a n ＝2n －1，∴b n ＝10－a n ＝10－(2n －1)＝11－2n ，S n ＝10n －n 2＝－(n －5)2＋25. ∴当n ＝5时，S n 取得最大值，最大值为25.12．(2018·沈阳质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 6＝4，S 5＝－5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T 5的值和T n 的表达式． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋7d ＝4，5a 1＋5×42d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2， 故a n ＝2n －7(n ∈N *)．(2)由a n ＝2n －7<0，得n <72，即n ≤3， 所以当n ≤3时，a n ＝2n －7<0，当n ≥4时，a n ＝2n －7>0. 由(1)知S n ＝n 2－6n ，所以当n ≤3时，T n ＝－S n ＝6n －n 2；当n ≥4时，T n ＝－S 3＋(S n －S 3)＝S n －2S 3＝n 2－6n ＋18.故T 5＝13，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4. 13．已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＝a n －1＋2n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)． (1)证明数列{a n －2n }是等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 2n ，求b n 的前n 项和S n . 解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1＋3＝a n －1＋2n －2n －1＋3， ∴a n －2n －(a n －1－2n －1)＝3. 又a 1＝4，∴a 1－2＝2，故数列{a n －2n }是以2为首项，3为公差的等差数列，∴a n －2n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1，∴a n ＝2n ＋3n －1.(2)b n ＝a n 2n ＝2n ＋3n －12n ＝1＋3n －12n ， ∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1＋22＋⎝⎛⎭⎫1＋522＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋3n －12n ＝n ＋⎝⎛⎭⎫22＋522＋…＋3n －12n ， 令T n ＝22＋522＋…＋3n －12n ，①则12T n ＝222＋523＋…＋3n －12n ＋1，② ①－②得，12T n ＝1＋322＋323＋…＋32n －3n －12n ＋1， ＝1＋3×14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－3n －12n ＋1＝52－3n ＋52n ＋1， ∴S n ＝n ＋5－3n ＋52n.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)求实数λ使⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列，并由此求出a n 与S n ； (3)求n 的所有取值，使S n a n∈N *，说明你的理由． 解：(1)∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1， ∴a 2＝2×3＋22－1＝9，a 3＝2×9＋23－1＝25.(2)∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1， ∴a n ＋1－1＝2(a n －1)＋2n ＋1， ∴a n ＋1－12n ＋1－a n －12n ＝1， 故λ＝－1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 成等差数列，且首项为a 1－12＝1，公差d ＝1. ∴a n －12n ＝n ，即a n ＝n ·2n ＋1. ∴S n ＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n )＋n ，设T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①则2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，② ①－②得，－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2， ∴S n ＝T n ＋n ＝(n －1)·2n ＋1＋2＋n . (3)S n a n ＝(n －1)·2n ＋1＋n ＋2n ·2n ＋1＝2＋n －2n ＋1n ·2n ＋1， 结合y ＝2x 及y ＝12x 的图象可知2n >n 2恒成立， ∴2n ＋1>n ，即n －2n ＋1<0，∵n ·2n ＋1>0，∴S n a n<2.当n ＝1时，S n a n ＝S 1a 1＝1∈N *； 当n ≥2时，∵a n >0且{a n }为递增数列，∴S n >0且S n >a n ，∴S n a n >1，即1<S n a n <2，∴当n ≥2时，S n a n∉N *. 综上可得n ＝1.高考研究课(二)等比数列的3考点——基本运算、判定和应用[全国卷5年命题分析][典例] (1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n ＝( ) A ．4n －1 B ．4n －1C ．2n －1 D ．2n －1 (2)(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.①若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；②若T 3＝21，求S 3.[解析] (1)设{a n }的公比为q ，∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧ a 1＋a 1q 2＝52， (ⅰ)a 1q ＋a 1q 3＝54， (ⅱ)由(ⅰ)(ⅱ)可得1＋q 2q ＋q3＝2，∴q ＝12，代入(ⅰ)得a 1＝2， ∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ， ∴S n a n＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n＝2n －1. 答案：D(2)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.(ⅰ)①由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.(ⅱ)联立(ⅰ)(ⅱ)解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3，q ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2. 因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. ②由b 1＝1，T 3＝21，得q 2＋q －20＝0，解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由(ⅰ)得d ＝8，则S 3＝21.当q ＝4时，由(ⅰ)得d ＝－1，则S 3＝－6.[方法技巧]解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. [即时演练]1．已知数列{a n }是首项a 1＝14的等比数列，其前n 项和为S n ，S 3＝316，若a m ＝－1512，则m 的值为( )A ．8B ．10C ．9D ．7解析：选A 设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 3＝34≠316，不符合题意，∴q ≠1. 由⎩⎨⎧a 1＝14，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝316，得⎩⎨⎧ a 1＝14q ＝－12，∴a n ＝14·⎝⎛⎭⎫－12n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n ＋1. 由a m ＝⎝⎛⎭⎫－12m ＋1＝－1512， 得m ＝8.2．(2017·北京高考)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＋a 4＝10， 所以2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 1＝1，b 2b 4＝a 5，所以b 1q ·b 1q 3＝9.解得q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1. 从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.[典例] (1)n 12n ＋2n ＋1n N *，对数列{a n }有下列命题：①数列{a n }是等差数列；②数列{a n ＋1－a n }是等比数列；③当n ≥2时，a n 都是质数；④1a 1＋1a 2＋…＋1a n<2，n ∈N *， 则其中正确的命题有( )A ．②B ．①②C．③④D．②④(2)设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)．①求a2，a3的值；②求证：数列{S n＋2}是等比数列．[解析](1)∵an＋2＝3a n＋1－2a n，∴a n＋2－a n＋1＝2(a n＋1－a n)，∴数列{a n＋1－a n}是以a2－a1＝2为首项、2为公比的等比数列，∴a n－a n－1＝2n－1，a n－1－a n－2＝2n－2，…a2－a1＝21，累加得：a n－a1＝21＋22＋…＋2n－1＝2(1－2n－1)1－2＝2n－2，∴a n＝2n－2＋a1＝2n－1.显然①②③中，只有②正确，又∵1a n＝12n－1<12n－1(n≥2)，∴1a1＋1a2＋…＋1a n<1＋12＋122＋…＋12n－1＝1－12n1－12<2，故④正确；综上所述，①③错误，②④正确．答案：D(2)[思路点拨]①令n＝1,2,3，即可求出结论；②当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝(n－2)S n－1＋2(n－1)，与已知式相减，再利用a n＝S n－S n－1(n≥2)，化简整理，即可得出结论．解：①∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.②证明：∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，(ⅰ)∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝(n－2)·S n－1＋2(n－1)．(ⅱ)(ⅰ)－(ⅱ)得na n＝(n－1)S n－(n－2)S n－1＋2＝n(S n－S n－1)－S n＋2S n－1＋2＝na n－S n＋2S n－1＋2.∴－S n＋2S n－1＋2＝0，即S n＝2S n－1＋2，。
2018-2019学年数学高考(人教A版文科)一轮复习考点规范练：27Word版含解析
考点规范练27数系的扩充与复数的引入基础巩固1.设i为虚数单位,则复数(1+i)2=()A.0B.2C.2iD.2+2i2.已知复数z=2-i,则z·的值为()A.5B.C.3D.3.若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i4.若复数z=1+i,为z的共轭复数,则下列结论正确的是()A.=-1-iB.=-1+iC.||=2D.||=5.(2017北京,文2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)6.(2017河北武邑中学一模)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.-4B.-C. D.47.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=1+i,则z1z2=()A.2B.-2C.1+iD.1-i8.设z=1+i,则+z2等于()A.1+iB.-1+iC.-iD.-1-i9.已知复数z1=2+2i,z2=1-3i(i为虚数单位),则复数所对应的点在复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.若复数(a+i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上,则实数a的值是.11.(2017江苏,2)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.12.设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为,则|(1-z)·|=.能力提升13.若z=4+3i,则=()A.1B.-1C.iD.i14.设复数z1=-1+3i,z2=1+i,则=()A.-1-iB.1+iC.1-iD.-1+i15.(2017浙江,12)已知a,b∈R,(a+b i)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.。
2019届高考数学(人教A版文科)一轮复习考点规范练2
考点规范练不等关系及简单不等式的解法基础巩固.(安徽合肥模拟)已知∈,下列命题正确的是().若>,则>.若>,则.若>,则>.若>,则>.若集合{<}⌀,则实数的取值范围是().{<<}.{≤<}.{<≤}.{≤≤}.设∈[∞),则的大小关系是()≤≥>< .(吉林长春模拟)若<,则在下列不等式:①;②>;③>;④>中,正确的不等式是().②③.①④.②④.①③.已知α∈,β∈,则α的取值范围是()....(,π).已知集合{<}{<<},则()⫋⫋∩⌀.不等式<的解集为().{<<}.{<,且≠}.{<<,且≠}.{<或<<}.若对任意∈,不等式<恒成立,则实数的取值范围是().(].().(∞)∪[∞).(∞].若不等式()>的解集为{<<},则函数()的图象为().函数的定义域是..已知关于的不等式<(>)的解集是空集,则的取值范围是..对任意∈[],函数()()的值恒大于零,则的取值范围是.能力提升.已知函数()()(),如果不等式()>的解集是(),那么不等式()<的解集是().....已知关于的不等式()()<的解集是,则实数的取值范围是()..∪(∞)...(河南郑州月考)已知实数满足<<,且<<,则的取值范围是()>,且><,且<>,且<<<<,且<<.若关于的不等式>在区间[]上有解,则实数的取值范围为..若对一切∈(],不等式()()≤恒成立,则的取值范围是.高考预测.已知函数()(∈),对任意实数都有()()成立,当∈[]时()>恒成立,则的取值范围是()<<>.不能确定<或>答案：解析:当时不正确不正确不正确;对于>≥,则>,故选.解析:当时,满足条件.当≠时,由集合{<}⌀,可知得<≤.综上,可知≤≤.解析:由题意知≤,且≥≥,可得≥,故选.解析:因为<,故可取.因为<,所以②错误;因为()()>,所以④错误.综上所述,②④错误,故选.解析:由题意得<α<π≤,∴≤≤,∴<α<π.解析:由题意可得{<<}.又{<<},故⫋.解析:因为不等式<等价于()()()<,所以该不等式的解集是{<或<<}.故选.。
2019届高考数学人教A版文科一轮复习高考大题专项练三
高考大题专项练三高考中的数列1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的前n项和T n.2.设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=3,S n+1=3S n+3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=,求数列{b n}的前n项和T n.3.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-1;数列{b n}满足b n-1-b n=b n b n-1(n≥2,n∈N*),b1=1.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)求数列的前n项和T n.4.已知数列{a n}的首项a1=,a n+1=(n∈N*).(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列的前n项和S n.5.(2017河南南阳一模)已知f(x)=2sin x,集合M={x||f(x)|=2,x>0},把M中的元素从小到大依次排成一列,得到数列{a n},n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记b n=,设数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n<.6.(2017江苏,19)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足:a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明{a n}是等差数列.7.已知正项数列{a n}的首项a1=1,前n项和S n满足a n=(n≥2).(1)求证:{}为等差数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)记数列的前n项和为T n,若对任意的n∈N*,不等式4T n<a2-a恒成立,求实数a的取值范围.8.已知数列{a n}是公比为的等比数列,其前n项和为S n,且1-a2是a1与1+a3的等比中项,数列{b n}是等差数列,其前n项和T n满足T n=nλ·b n+1(λ为常数,且λ≠1),其中b1=8.(1)求数列{a n}的通项公式及λ的值;(2)比较+…+S n的大小.答案：1.解:(1)依题意得,解得故a n=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即a n=2n+1.(2)由题意可知,=3n-1,则b n=a n·3n-1=(2n+1)·3n-1.故T n=3+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1,①3T n=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,②①-②得-2T n=3+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n+1)3n=3+2·-(2n+1)3n=-2n·3n,因此,T n=n·3n.2.解:(1)(方法一)∵S n+1=3S n+3,∴S n+1+=3.∴S n+3n-1=×3n-1=.∴当n≥2时,a n=S n-S n-1==3n,a1也适合.∴a n=3n.(方法二)由S n+1=3S n+3(n∈N*),可知当n≥2时,S n=3S n-1+3,两式相减,得a n+1=3a n(n≥2).又a1=3,代入S n+1=3S n+3,得a2=9,故a n=3n.(2)∵b n=,∴T n=,①∴T n=,②由①-②,得T n=,解得T n=.3.解:(1)由S n=2a n-1,得S1=a1=2a1-1,故a1=1.又S n=2a n-1,S n-1=2a n-1-1(n≥2),两式相减,得S n-S n-1=2a n-2a n-1,即a n=2a n-2a n-1.故a n=2a n-1,n≥2.所以数列{a n}是首项为1,公比为2的等比数列.故a n=1·2n-1=2n-1.由b n-1-b n=b n b n-1(n≥2,n∈N*),得=1.又b1=1,∴数列是首项为1,公差为1的等差数列.∴=1+(n-1)·1=n.∴b n=.(2)由(1)得=n·2n-1.∴T n=1·20+2·21+…+n·2n-1,∴2T n=1·21+2·22+…+n·2n.两式相减,得-T n=1+21+…+2n-1-n·2n=-n·2n=-1+2n-n·2n.∴T n=(n-1)·2n+1.4.(1)证明:∵a n+1=,∴.∴-1=.又a1=,∴-1=.∴数列是以为首项,以为公比的等比数列.(2)解:由(1)知-1=,则+1.故+n.设T n=+…+,①则T n=+…+,②由①-②,得T n=+…+=1-,∴T n=2-.又1+2+3+…+n=,∴数列的前n项和S n=2-.5.(1)解:f(x)=2sin x,集合M={x||f(x)|=2,x>0},则x=kπ+,解得x=2k+1(k∈Z),把M中的元素从小到大依次排成一列,得到数列{a n},所以a n=2n-1.(2)证明:b n=,故T n=b1+b2+…+b n<=.6.证明:(1)因为{a n}是等差数列,设其公差为d,则a n=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,a n-k+a n+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2a n,k=1,2,3, 所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,因此等差数列{a n}是“P(3)数列”.(2)数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n,①当n≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n.②由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n+a n+1),③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n).④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d',在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',所以数列{a n}是等差数列.7.解:(1)因为a n=,所以S n-S n-1=,即=1,所以数列{}是首项为=1,公差为1的等差数列,得=n,所以a n==n+(n-1)=2n-1(n≥2),当n=1时,a1=1也适合,所以a n=2n-1.(2)因为=,所以T n=+…+=.所以T n<.要使不等式4T n<a2-a恒成立,只需2≤a2-a恒成立,解得a≤-1或a≥2, 故实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).8.解:(1)由题意,得(1-a2)2=a1(a3+1),即=a1,解得a1=.故a n=.设等差数列{b n}的公差为d,又解得(舍去),故λ=.(2)由(1)知S n=1-,则S n=.①由(1)知T n=nb n+1,当n=1时,T1=b1=b2, 即b2=2b1=16,故公差d=b2-b1=8,则b n=8n,又T n=nλ·b n+1,故T n=4n2+4n,即.因此,+…+==.②由①②可知+…+S n.。
2019届高考数学(人教A版文科)一轮复习考点规范练26 Word版含解析
学校集体性食物中毒事件应急预案一、背景介绍近年来，学校集体性食物中毒事件频发，给学校师生健康和生命安全带来了严重威胁。
为了保障学校师生的食品安全和健康，制定一套完善的学校集体性食物中毒事件应急预案是非常必要的。
二、应急预案目标1. 确保食品安全：及时发现、阻止和控制食品污染，确保食品安全。
2. 快速应对：在发生食物中毒事件时，迅速采取措施，避免事态扩大。
3. 保障师生安全：师生人身安全和身体健康是最重要的，预案目标是最大程度地减少伤害和死亡，对受害者进行及时救治。
三、应急预案制定过程1. 成立应急预案制定工作组：由学校领导、相关部门负责人和专家组成，负责制定学校集体性食物中毒事件应急预案。
2. 收集信息和制定应急流程：收集学校食品安全相关政策法规、监测控制技术标准和应急预案相关资料，制定学校集体性食物中毒事件的应急流程和处置方案。
3. 完善预案：在制定初稿的基础上，组织应急预案试行，根据实际情况进行修订和完善，确保预案的适用性和有效性。
4. 培训和演练：开展教师和学生的应急演练，提高应急预案的执行能力和应对水平。
四、应急预案主要内容1. 应急组织机构和职责：(1) 建立学校食品安全应急指挥部，明确各成员的职责和权限。
(2) 配备应急指挥部所需的人员、设备和场所，确保指挥工作的顺利进行。
(3) 制定指挥部人员的轮班制度，确保全天候应急工作。
2. 食品安全监测和预警：(1) 学校食品安全监测设备的配置和使用方法。
(2) 建立食品安全隐患排查机制，及时发现问题并解决。
(3) 与食品安全监测机构建立紧密合作关系，及时获取食品安全预警信息。
3. 食物中毒事件的应急处置：(1) 发现食物中毒事件后，立即上报应急指挥部。
(2) 迅速切断食品供应渠道，停止食品消费。
(3) 隔离病源，对中毒人员进行初步救治，确保其生命安全。
(4) 组织相关部门对食品和食品环境进行调查和抽样检测，找出污染原因。
(5) 封存并保存食品样品，留作证据。
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习真题演练集训第四章三角函数与解三角形4-4Word版含解析
真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725B.15 C ．－15D ．－725答案：D 解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D.2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案：B解析：解法一：由tan α＝1＋sin βcos β得 sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.解法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z .当k ＝0时，满足2α－β＝π2，故选B.3．[2016·浙江卷]已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________. 答案：2 1解析：由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1. 4．[2014·重庆卷]已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 由－π2≤φ＜π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158.。
2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：9.7
§9.7 抛物线最新考纲考情考向分析1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点．题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)标准方程p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点坐标O (0,0)对称轴x 轴y 轴焦点坐标F (p2，0)F (－p 2，0)F(0，p2)F(0，－p 2)离心率e ＝1准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p2y ＝p 2范围x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下知识拓展1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝x 0＋，也称为抛物线的(p 2，0)p2焦半径．2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为，准线方程为x ＝－.(a 4，0)a43．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝，y 1y 2＝－p 2.p 24(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝(α为弦AB 的倾斜角)．2psin2α(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方(a4，0)程是x ＝－.( × )a4(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(p2，0)x 1x 2＝，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )p 24(5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( × )(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ )题组二 教材改编2．[P64A 组T3]过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( )A ．9 B ．8 C ．7 D ．6答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．[P59T1]已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________．答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0)．将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .题组三 易错自纠4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4 B ．6C ．8 D ．12答案 B解析 如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B.5．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±2x B ．y 2＝±2x 2C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±4x 2答案 D解析 由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则22＝，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝±4x .故选D.p22226．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________．答案 [－1,1]解析 Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1.题型一 抛物线的定义及应用典例 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．答案 4解析 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4.引申探究1．若将本例中的B 点坐标改为(3,4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．解 由题意可知点B (3,4)在抛物线的外部．∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，F (1,0)，∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝＝2，42＋225即|PB |＋|PF |的最小值为2.52．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值．解 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．点P 到y 轴的距离d 1＝|PF |－1，所以d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1.易知d 2＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d 2＋|PF |的最小值为＝3，|1＋5|12＋(－1)22所以d 1＋d 2的最小值为3－1.2思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．跟踪训练设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．答案 5解析 如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小，显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.[1－(－1)]2＋(0－1)25题型二 抛物线的标准方程和几何性质命题点1 求抛物线的标准方程典例(2017·深圳模拟)如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝xB ．y 2＝9x32C ．y 2＝x D ．y 2＝3x 92答案 D解析 分别过点A ，B 作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|，所以∠BCB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3，所以|AC |＝2|AA 1|＝6，所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，所以F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝|AA 1|＝，1232故抛物线的方程为y 2＝3x .命题点2 抛物线的几何性质典例 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝；p 24(2)＋为定值；1|AF |1|BF |(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为.(p2，0)由题意可设直线方程为x ＝my ＋，代入y 2＝2px ，p2得y 2＝2p，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)(my ＋p2)因为在抛物线内部，(p 2，0)所以直线与抛物线必有两交点．则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y ＝2px 1，y ＝2px 2，所以y y ＝4p 2x 1x 2，212212所以x 1x 2＝＝＝.y 21y 24p 2p 44p 2p 24(2)＋＝＋1|AF |1|BF |1x 1＋p 21x 2＋p 2＝.x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24因为x 1x 2＝，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，p 24得＋＝＝(定值)．1|AF |1|BF ||AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 242p (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，如图所示，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线l 的垂线，垂足为N ，则|MN |＝(|AC |＋|BD |)12＝(|AF |＋|BF |)＝|AB |.1212所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．跟踪训练 (1)(2017·广西三市调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，)到其焦点的距离是2A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )A.B ．1 C. D ．21232答案 D解析 由题意得3x 0＝x 0＋，即x 0＝，p2p4即A ，代入抛物线方程，得＝2，(p4，2)p 22∵p >0，∴p ＝2.故选D.(2)(2017·郑州二模)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )12A. B. C. D ．2537597答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵|PA |＝|AB |，12∴Error!又Error!得x 1＝，23则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋＝.2353题型三 直线与抛物线的综合问题命题点1 直线与抛物线的交点问题典例 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若·＝0，则k ＝________.MA→ MB → 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，则抛物线C 与直线必有两个交点．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋，x 1x 2＝4.8k 2所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝，8k y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为·＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)MA→ MB → ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2.命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题典例 (2016·全国Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．(1)证明 由题意知，F ，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，(12，0)且A ，B ，P ，Q ，R.(a 22，a )(b 22，b )(－12，a )(－12，b )(－12，a ＋b2)记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝＝＝a －b1＋a 2a －b a 2－ab 1a＝－＝－b ＝＝k 2.ab a b －0－12－12所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝|b －a ||FD |＝|b －a |，1212|x 1－12|S △PQF ＝.|a －b |2由题意可得|b －a |＝，|x 1－12||a －b |2所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得＝(x ≠1)．2a ＋b yx －1而＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．a ＋b2当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1.所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．跟踪训练(2018届武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．解 (1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①又x 2＝2py 得y ′＝，xp 则A ，B 处的切线斜率乘积为＝－＝－1，x 1x 2p 22p 则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x ＋b ，x 1p 又切点A 在抛物线y ＝上，x 22p∴y 1＝，∴b ＝－＝－，x 212p x 212p x 21p x 212p ∴y AN ＝x －.x 1p x 212p 同理y BN ＝x －.x 2p x 22p 又∵N 在y AN 和y BN 上，∴Error!解得N.(x 1＋x 22，x 1x 22p )∴N (pk ，－1)．|AB |＝|x 2－x 1|1＋k 2＝，1＋k 24p 2k 2＋8p 点N 到直线AB 的距离d ＝＝，|kxN ＋1－yN |1＋k 2|pk 2＋2|1＋k 2S △ABN ＝·|AB |·d 12＝≥2，p (pk 2＋2)32p ∴2＝4，∴p ＝2，2p 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．思维点拨 (3)中证明·＝0.QA→ QB → 规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝y ，1m ∴它的焦点F.[2分](0，14m )(2)∵|RF |＝y R ＋，14m ∴2＋＝3，得m ＝.[4分]14m 14(3)存在，联立方程Error!消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0，得m >－.[6分]12设A (x 1，mx )，B (x 2，mx )，则Error!(*)212∵P 是线段AB 的中点，∴P ，(x 1＋x 22，mx 21＋mx 22)即P ，∴Q，[8分](1m ，yP )(1m ，1m )得＝，QA → (x 1－1m ，mx 21－1m )＝.QB → (x 2－1m ，mx 2－1m )若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则·＝0，QA→ QB → 即·＋＝0，[10分](x 1－1m )(x 2－1m )(mx 21－1m )(mx 2－1m )结合(*)式化简得－－＋4＝0，4m 26m 即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－，12而2∈，－∉.(－12，＋∞)12(－12，＋∞)∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．[12分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝x 2或y ＝－x 2112136答案 D解析 分两类a >0，a <0，可得y ＝x 2或y ＝－x 2.1121362．(2018届云南昆明一中摸底)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若＝3，则||等于( )FA → FB → AF→ A ．3 B ．4 C ．6 D ．7答案 B解析 由已知B 为AF 的三等分点，作BH ⊥l 于H ，如图，则|BH |＝|FK |＝，∴||＝||＝，∴||＝3||＝4，故选B.2343BF → BH → 43AF → BF→3．(2017·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为4，则抛物线C 的方程为( )5A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2y D ．x 2＝y答案 C解析 由Error!得Error!或Error!即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则＝4，得p ＝1(舍去负值)，(4p )2＋(8p )25故抛物线C 的方程为x 2＝2y .4．(2017·赣州二模)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且△OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( )A ．1 B ．2C ．3 D ．4答案 B解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知Error!即Error!∴A ，又∵点A 在抛物线y 2＝2px 上，(p 2，4p )∴＝2p ×，即p 4＝16，又∵p >0，∴p ＝2，故选B.16p 2p25．(2018届新余市第一中学模拟)动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝4x B ．y 2＝8x C ．x 2＝4yD ．x 2＝8y答案 D解析 ∵动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，∴动点P 到点A (0,2)的距离与它到直线y ＝－2的距离相等．根据抛物线的定义可得点P 的轨迹为以A (0,2)为焦点，以直线y ＝－2为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝8y ，故选D.6．(2017·昆明调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若·＝－12，则抛物线C 的方程为( )OA→ OB → A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x答案 C解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋，联立Error!p2消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得·＝x 1x 2＋y 1y 2＝＋y 1y 2OA → OB → (my 1＋p 2)(my 2＋p2)＝m 2y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋＋y 1y 2＝－p 2＝－12，得p ＝4(舍负)，pm 2p 2434即抛物线C 的方程为y 2＝8x .7．(2017·河北六校模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．答案 y 2＝16x解析 设满足题意的圆的圆心为M (x M ，y M )．根据题意可知圆心M 在抛物线上．又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋＝6，即x M ＝6－，p2p2又由题意可知x M ＝，∴＝6－，解得p ＝8.p4p4p2∴抛物线方程为y 2＝16x .8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与双曲线－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线上x x 23轴上方一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率等于________．答案 －22解析 双曲线－y 2＝1的右焦点为(2,0)，x 23∴抛物线方程为y 2＝8x ，p ＝4.∵|AF |＝3，∴x A ＋2＝3，∴x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2.2∵点A 在x 轴上方，∴A (1,2)，2∴直线AF 的斜率k ＝＝－2.221－229．(2017·江西九校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案 23解析 y 2＝2px 的准线方程为x ＝－.由于△ABF 为等边三角形，因此不妨设A ，Bp2(－p 2，p 3)，又点A ，B 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而－＝1，(－p 2，－p 3)p 23p 24又p >0，所以p ＝2.310．(2017·全国Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝|FO |＝1.12又|BP |＝|AO |＝2，∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.11．(2018·郑州模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于2A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．OC → OA → OB→解 (1)直线AB 的方程是y ＝2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0.2(x －p2)由题易知，方程必有两个不等实根．所以x 1＋x 2＝，由抛物线定义得5p4|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝＋p ＝9，5p4所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x .(2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－2，y 2＝4，22从而A (1，－2)，B (4,4)．设C (x 3，y 3)，22则＝(x 3，y 3)＝(1，－2)＋λ(4,4)OC→ 22＝(4λ＋1,4λ－2)．22又y ＝8x 3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，232整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12．(2017·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，过点作直线l 与抛物线C 交于不(0，12)同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段BM 的中点．(1)解 由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝，12所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，抛物线C 的焦点坐标为，准线方程为x ＝－.(14，0)14(2)证明 由题意知，直线l 的斜率必存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋(k ≠0)，12l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由Error!得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.1－kk 214k 2因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)．直线ON 的方程为y ＝x ，点B 的坐标为.y 2x 2(x 1，y 2x 1x 2)因为y 1＋－2x 1＝y 2x 1x 2y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝(kx 1＋12)x 2＋(kx 2＋12)x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝＝0，(2k －2)×14k 2＋1－k 2k 2x 2所以y 1＋＝2x 1，y 2x 1x 2故A 为线段BM的中点．13．(2017·邵阳联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M (x 0,2)是抛物线2(x 0>p2)C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝截得的弦长为|MA |.若＝2，则p23|MA ||AF ||AF |等于( )A. B ．1 C ．2 D ．332答案 B解析 由题意知M (x 0,2)在抛物线上，2则8＝2px 0，则px 0＝4，①由抛物线的性质可知，|DM |＝x 0－，＝2，p2|MA ||AF |则|MA |＝2|AF |＝|MF |＝，2323(x 0＋p2)∵圆M 被直线x ＝截得的弦长为|MA |，p23则|DE |＝|MA |＝，3233(x 0＋p2)又|MA |＝|ME |＝r ，在Rt △MDE 中，|DE |2＋|DM |2＝|ME |2，即2＋2＝2，13(x 0＋p2)(x 0－p2)49(x 0＋p2)代入整理得4x ＋p 2＝20，②20由①②，解得x 0＝2，p ＝2(舍负)，∴|AF |＝＝1，故选B.13(x 0＋p2)14．过点(0,3)的直线与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线经过点(4,0)，F 为抛物线的焦点，则|AF |＋|BF |的值为________．答案 6解析 设AB 的中点为H ，抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，设A ，B ，H 在准线上的射影为A ′，B ′，H ′，则|HH ′|＝(|AA ′|＋|BB ′|)，由抛物线的定义可得，12|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|AF |＋|BF |＝|AA ′|＋|BB ′|＝2|HH ′|.由题意知直线的斜率必存在，设为y ＝kx ＋3，与y 2＝4x 联立得k 2x 2＋(6k －4)x ＋9＝0，Δ＝(6k －4)2－36k 2>0，计算得出k <且k ≠0，13又x 1＋x 2＝，AB 的中点为，4－6kk 2(2－3k k 2，2k )线段AB 的垂直平分线过点(4,0)，方程为y ＝－(x －4)，且过中点，则＝－1k (2－3k k 2，2k )2k 1k，(2－3k k 2－4)得2k 2＋3k －2＝0，解得k ＝－2或k ＝(舍去)，12则H (2，－1)，|HH ′|＝2＋1＝3，则|AF |＋|BF |＝|AA ′|＋|BB ′|＝2|HH ′|＝6.15．已知曲线G ：y ＝及点A (1,0)，若曲线G 上存在相异两点B ，C ，其到直－x 2＋16x －15线l ：x ＋1＝0的距离分别为|AB |和|AC |，则|AB |＋|AC |＝________.答案 14解析 曲线G ：y ＝，即为半圆M ：(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)，由题意得B ，C －x 2＋16x －15为半圆M 与抛物线y 2＝4x 的两个交点，由y 2＝4x 与(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)联立方程组得x 2－12x ＋15＝0，方程必有两不等实根，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．所以|AB |＋|AC |＝x 1＋1＋x 2＋1＝12＋2＝14.16．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________．答案 (2,4)解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则Error!两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条．当k 存在时，x 1≠x 2，则有·＝2，y 1＋y 22y 1－y 2x 1－x 2又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2.由CM ⊥AB ，得k ·＝－1，y 0－0x 0－5即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上．将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，则有－2<y 0<2.33因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y ＝r 2，20故r 2＝y ＋4<12＋4＝16.20又y ＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)，20所以4<r 2<16，即2<r <4.。
2019届高考数学人教A版文科一轮复习考点规范练13 精品
考点规范练13函数模型及其应用基础巩固1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为()2.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+1003.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3B.4C.6D.124.已知某矩形广场的面积为4万平方米,则其周长至少为()A.800米B.900米C.1 000米D.1 200米5.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台6.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子租不出去.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出去的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套公寓月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元7.某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况8.世界人口在过去40年内翻了一番,则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)()A.1.5%B.1.6%C.1.7%D.1.8%9.一个人以6 m/s的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25 m时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=t2 m,则此人()A.可在7 s内追上汽车B.可在9 s内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14 mD.不能追上汽车,但期间最近距离为7 m10.某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过800元,不享受任何折扣,若顾客购物总金额超过800元,则超过800元部分享受一定的折扣优惠,按下表折扣分别累计计算.某人在此商场购物总金额为x元,可以获得的折扣金额为y元,则y关于x的解析式为y=若y=30元,则他购物总金额为元.11.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是.能力提升12.点P从点O出发,按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周,O,P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图,则点P所走的图形是()13.某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h,在22 ℃的保鲜时间是48 h,则该食品在33 ℃的保鲜时间是()A.16 hB.20 hC.24 hD.28 h14.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=a e-bt(cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.15.为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①若不超过200元,则不予优惠;②若超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③若超过500元,则其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设他们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为.高考预测16.如图,正方形ABCD的顶点A,B,顶点C,D位于第一象限,直线l:x=t(0≤t≤)将正方形ABCD 分成两部分,记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t),则函数s=f(t)的图象大致是()答案：1.D解析:由题意可得y=(1+10.4%)x,函数是底数大于1的指数函数,故选D.2.C解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型.3.A解析:设隔墙的长为x(0<x<6),矩形面积为y,则y=x·=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,故当x=3时,y 最大.4.A解析:设这个广场的长为x米,则宽为米.故其周长为l=2≥800,当且仅当x=200时取等号.5.C解析:设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000(0<x<240,x∈N*).令f(x)≥0,得x≥150,故生产者不亏本时的最低产量是150台.6.B解析:由题意,设利润为y元,租金定为(3 000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),则y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤50=204 800,当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B.7.B解析:设该股民购这支股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n 元,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这支股票略有亏损.8.C解析:设每年人口平均增长率为x,则(1+x)40=2,两边取以10为底的对数,则40lg(1+x)=lg 2,所以lg(1+x)=≈0.007 5,所以100.007 5=1+x,得1+x=1.017,所以x=1.7%.9.D解析:已知s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7.当t=6时,d取得最小值7.结合选项可知选D.10.1 350解析:若x=1 300,则y=5%(1 300-800)=25(元)<30(元),因此x>1300.故10%(x-1 300)+25=30,得x=1 350.11.16解析:由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则解得0<x≤.因为x∈N*,所以x的最大值为16.12.C解析:函数的运动图象有两个特点,①点P运动到周长的一半时,OP最大;②点P的运动图象是抛物线.选项A,B中点P开始运动后的一段路程是直线,故不符合;选项D中OP的距离不是对称变化的,也不符合,故选C.13.C解析:由题意,得(0,192)和(22,48)是函数y=e kx+b图象上的两个点,所以由②得,48=e22k·e b,③把①代入③得e22k=,即(e11k)2=,所以e11k=.所以当储藏温度为33 ℃时,保鲜时间y==(e11k)3·e b=×192=24(小时).14.16解析:当t=0时,y=a,当t=8时,y=aa,可得e-8b=.故容器中的沙子只有开始时的八分之一时,可得y=a e-bt=a,即e-bt==(e-8b)3=e-24b,则t=24,所以再经过16 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.15.546.6元解析:依题意,价值为x元的商品和实际付款额f(x)之间的函数关系式为f(x)=当f(x)=168时,由168÷0.9≈187<200,故此时x=168;当f(x)=423时,由423÷0.9=470∈(200,500],故此时x=470.故两次共购得价值为470+168=638元的商品.又500×0.9+(638-500)×0.7=546.6元,即若一次性购买上述商品,应付款额为546.6元.16.C解析:依题意得s=f(t)=分段画出函数的图象可得图象如选项C所示,故选C.。
2018-2019学年数学高考(人教A版文科)一轮复习考点规范练：26Word版含解析
考点规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用基础巩固1.对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b22.已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=()A.-1B.0C.1D.23.(2017河南新乡二模)已知向量a=(1,2),b=(m,-4),若|a||b|+a·b=0,则实数m等于()A.-4B.4C.-2D.24.(2017河南濮阳一模)若向量=(1,2),=(4,5),且·(λ)=0,则实数λ的值为()A.3B.-C.-3D.-5.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为()A. B.2C.5D.106.在△ABC中,AB边的高为CD,若=a,=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则=()A.a-bB.a-bC.a-bD.a-b7.(2017河北邯郸二模)已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则等于()A.-B.1C.2D.8.(2017北京,文7)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=.10.设e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,若a=e1+λe2与b=2e1-3e2垂直,则λ=.11.已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9.(1)求向量a与b的夹角θ;(2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.能力提升12.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,向量m与n的夹角为θ,且cos θ=.若n⊥(t m+n),则实数t 的值为()A.4B.-4C.D.-13.在矩形ABCD中,AB=1,AD=,P为矩形内一点,且AP=,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为()A. B. C. D.14.已知,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且,则的最大值等于()A.13B.15C.19D.2115.如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3=2,则的值是.16.(2017江苏,12)如图,在同一个平面内,向量的模分别为1,1,的夹角为α,且tan α=7,的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=.高考预测17.已知非零向量a,b满足|a|=2,且|a+b|=|a-b|,则向量b-a在向量a方向上的投影是.答案：1.B解析:A项,设向量a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.2.B解析:由已知得|a|=|b|=1,a与b的夹角θ=60°,则(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cos θ-|b|2=2×1×1×cos 60°-12=0,故选B.3.C解析:设a,b的夹角为θ,∵|a||b|+a·b=0,∴|a||b|+|a||b|cos θ=0,。
2019届高考数学人教A版文科一轮复习考点规范练1 精品
考点规范练1集合的概念与运算基础巩固1.下列集合中表示同一集合的是()A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={2,3},N={3,2}C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}D.M={2,3},N={(2,3)}2.(2017全国Ⅲ,文1)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为()A.1B.2C.3D.43.(2017北京,文1)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁U A=()A.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)4.已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为()A.3B.6C.8D.95.已知数集{x2+x,2x},则x的取值范围是()A.(-∞,+∞)B.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(-∞,1)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)6.(2017山东,文1)设集合M={x||x-1|<1},N={x|x<2},则M∩N=()A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)7.已知全集U=R,A={x|x(x+3)<0},B={x|x<-1},则图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x>0}B.{x|-3<x<0}C.{x|-3<x<-1}D.{x|x<-1}8.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=()A.{1,4}B.{2,3}C.{9,16}D.{1,2}9.已知集合U=R,A={x|0<x<4},B={x|x2-3x+2>0},则()A.A⊆BB.B⊆AC.A∪B=RD.A⊆∁R B10.(2017江苏,1)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.11.已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=.12.已知集合A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A⊆B的B的个数为.能力提升13.设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(∁U A)∪B=()A.(2,3]B.(-∞,1]∪(2,+∞)C.[1,2)D.(-∞,0)∪[1,+∞)14.已知集合A={x|y=},B={y|y-1<0},则A∩B=()A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.[0,1)D.[0,1]15.集合A={-1,0,1,2},B={x|x2-2x-3<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}16.已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是.17.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是.高考预测18.已知集合A=,集合B={y|y=t-2},则A∩B=()A.(-∞,2]B.(3,+∞)C.[2,3)D.(0,3)答案：1.B解析:选项A中的集合M,N都表示点集,又因为集合M,N中的点不同,所以集合M与N 不是同一个集合;选项C中的集合M,N的元素类型不同,故不是同一个集合;选项D中的集合M是数集,而集合N是点集,故不是同一个集合;由集合元素的无序性,可知选项B中M,N表示同一个集合.2.B解析:由题意可得A∩B={2,4},则A∩B中有2个元素.故选B.3.C解析:因为A={x|x<-2或x>2},所以∁U A={x|-2≤x≤2}.故选C.4.D解析:集合B中的元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共9个.5.D解析:由集合中元素的互异性,可得在集合{x2+x,2x}中,x2+x≠2x,即x≠0,x≠1,故x的取值范围是(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞),故选D.6.C解析:由|x-1|<1,得-1<x-1<1,即0<x<2.所以M={x|0<x<2},所以M∩N=(0,2).7.C解析:题图中阴影部分表示的集合是A∩B,而A={x|-3<x<0},故A∩B={x|-3<x<-1}.8.A解析:∵B={x|x=n2,n∈A}={1,4,9,16},∴A∩B={1,4}.9.C解析:∵x2-3x+2>0,∴x>2或x<1.∴B={x|x>2或x<1}.∵A={x|0<x<4},∴A∪B=R,故选C.10.1解析:由已知得1∈B,2∉B,显然a2+3≥3,所以a=1,此时a2+3=4,满足题意,故答案为1.11.(1,2]解析:∵0<log4x<1,∴log41<log4x<log44,即1<x<4,∴A={x|1<x<4}.又B={x|x≤2},∴A∩B={x|1<x≤2}.12.4解析:因为集合A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,且A={1,2},A⊆B,所以B={1,2}或B={1,2,3}或B={1,2,4}或B={1,2,3,4},即所求集合B的个数为4.13.D解析:因为∁U A={x|x>2或x<0},B={y|1≤y≤3},所以(∁U A)∪B=(-∞,0)∪[1,+∞)14.C解析:因为A={x|y=}={x|x(1-x)≥0}=[0,1],B={y|y-1<0}=(-∞,1),所以A∩B=[0,1).故选C.15.D解析:∵x2-2x-3<0,∴(x+1)(x-3)<0.∴B={x|-1<x<3}.∵在-1<x<3中的整数有0,1,2,∴A∩B={0,1,2}.16.(-∞,-2]解析:集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4].因为A⊆B,所以a≤2,b≥4.所以a-b≤2-4=-2,即实数a-b的取值范围是(-∞,-2].17.(-∞,4]解析:当B=⌀时,有m+1≥2m-1,可得m≤2.当B≠⌀时,若B⊆A,如图,则解得2<m≤4.综上,m的取值范围为(-∞,4].18.B解析:由<1,得>0,即x>3或x<0,即A=(-∞,0)∪(3,+∞).设m=≥0,则t=m2+3,故y=m2+3-2m=(m-1)2+2,因此B=[2,+∞).所以A∩B=(3,+∞),故选B.。
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考点规范练55几何概型
基础巩固
1.若在区间[-1,4]内取一个数x,则2x-2x2≥4的概率是()
A. B. C. D.
2.
若将一个质点随机地投入到如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是()
A. B. C. D.
3.北宋欧阳修在《卖油翁》中写道:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.因曰:‘我亦无他,唯手熟尔.’”可见技能都能通过反复苦练而达到熟能生巧之境.若铜钱是半径为1 cm的圆,中间有边长为0.5 cm的正方形孔,随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为()
A. B. C. D.
4.已知地铁列车每10 min(含在车站停车时间)一班,在车站停1 min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是()
A. B. C. D.
5.已知在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使△ABD为钝角三角形的概率为()
A. B. C. D.
6.有一个长、宽分别为50 m,30 m的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心(对角线的交点)处呼唤工作人员,其声音可传出15 m,则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是()
A. B.
C. D.
7.若在区间[-1,1]上随机取一个数x,则sin的值介于-之间的概率为()
A. B. C. D.
8.(2017江苏,7)记函数f(x)=的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.
9.记集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2,若
在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2的概率为.
10.在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则关于x的方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为.
能力提升
11.(2017山东临沂一模)在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=kx+与圆x2+y2=1不相交的概率为()
A. B. C. D.
12.在区间[-π,π]内随机取出两个数分别记为a,b,则函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为()。