高中数学第三章概率3.1.4概率的加法公式学案新人教B版必修3

3.1.4 概率的加法公式学习目标 1.理解互斥事件与对立事件的区别与联系.2.会用互斥事件的概率加法公式求概率.3.会用对立事件的概率公式求概率．知识点一事件的运算思考一粒骰子掷一次，记事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，当事件C，D都发生时，掷出的点数是多少？事件C，D至少有一个发生时呢？梳理事件的并一般地，由事件A和B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A、B都发生)所构成的事件C，称为事件A与B的____(或和)．记作C＝________.事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件所组成的集合．如图中阴影部分所表示的就是A∪B.知识点二互斥与对立的概念思考一粒骰子掷一次，事件E＝{出现的点数为3}，事件F＝{出现的点数大于3}，事件G ＝{出现的点数小于4}，则E与F是什么事件？G与F是什么事件？梳理1．互斥事件不可能________的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件)．2．对立事件不能同时发生且____________的两个事件叫做互为对立事件．事件A的对立事件记作A.由于A与A是互斥事件，所以P(Ω)＝P(A∪A)＝P(A)＋P(A)，又由Ω是必然事件，得到P(Ω)＝1.所以P(A)＋P(A)＝1，即P(A)＝__________.知识点三概率的基本性质思考概率的取值范围是什么？为什么？梳理概率的几个基本性质(1)概率的取值范围为________．(2)__________的概率为1，____________的概率为0.(3)互斥事件的概率加法公式①假定A、B是互斥事件，则P(A∪B)＝____________________.②一般地，如果事件A1，A2，…，A n两两互斥(彼此互斥)，那么事件“A1∪A2∪…∪A n”发生(是指事件A1，A2，…，A n中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率和，即P(A1∪A2∪…∪A n)＝__________________________.类型一事件关系的判断例1 在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}．请根据这些事件，判断下列事件的关系：(1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G.反思与感悟(1)不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件．(2)事件的包含关系与集合的包含关系相似，不可能事件与空集相似，学习时要注意类比记忆．(3)事件A也包含于事件A，即A⊆A.(4)两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件，相等的事件A、B总是同时发生或同时不发生．跟踪训练1 判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花的牌面数字都是从1到10)中任意抽取1张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌的牌面数字为5的倍数”与“抽出的牌的牌面数字大于9”．类型二互斥事件的概率加法公式例2 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率．反思与感悟在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求出)的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率．因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”．跟踪训练2 假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求投掷一枚炸弹，军火库发生爆炸的概率．类型三 用互斥、对立事件求概率例3 甲、乙两人下棋，和棋的概率是12，乙获胜的概率为13，求： (1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．反思与感悟 (1)只有当A 、B 互斥时，公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )才成立；只有当A 、B 互为对立事件时，公式P (A )＝1－P (B )才成立．(2)复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P (A )＝1－P (A )求解．跟踪训练3 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝“抽到一等品”，事件B ＝“抽到二等品”，事件C ＝“抽到三等品”．已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A ．0.20B ．0.39C ．0.35D ．0.901．从1,2，…，9中任取两数，其中： ①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述各对事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.73．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________． 4．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是______．5．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4. 求：(1)他乘火车或飞机去的概率；(2)他不乘轮船去的概率．1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．2．互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．3．求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．答案精析问题导学知识点一思考事件C，D都发生，即掷出的点数为偶数且小于3，故此时掷出的点数为2.事件C，D 至少有一个发生，掷出的点数可以是1,2,4,6.梳理并A∪B知识点二思考∵E，F互斥，但不对立，∴E与F是互斥事件．∵G，F互斥，且对立，∴E与F既是互斥事件又是对立事件．梳理1．同时发生2．必有一个发生1－P(A)知识点三思考概率的取值范围是0～1之间，即0≤P(A)≤1；由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，因而概率的取值范围也在0～1之间．梳理(1)[0,1] (2)必然事件不可能事件(3)①P(A)＋P(B) ②P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)题型探究类型一例1 (1)⊆(2)⊆(3)⊆(4)＝解析当事件B发生时，事件H必然发生，故B⊆H；同理D⊆J，E⊆I.易知事件A与事件G 相等，即A＝G.跟踪训练1 解(1)是互斥事件，不是对立事件．理由如下：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．由于还可能抽出方块或者梅花，因此不能保证其中必有一个发生，所以二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由如下：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．理由如下：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌的牌面数字为5的倍数”与“抽出的牌的牌面数字大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌的牌面数字为10，因此二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．类型二例2 解 分别记小明的考试成绩在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分为事件B ，C ，D ，E ，这四个事件是彼此互斥的．根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.18＋0.51＝0.69.小明考试及格的概率为P (B ∪C ∪D ∪E )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＋P (E )＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.跟踪训练2 解 因为只投掷了一枚炸弹，故炸中第一、第二、第三个军火库的事件是彼此互斥的．令A 、B 、C 分别表示炸中第一、第二、第三个军火库，则P (A )＝0.025，P (B )＝P (C )＝0.1.令D 表示军火库爆炸这个事件，则有D ＝A ∪B ∪C ，又因为A ，B ，C 是两两互斥事件，故所求概率为P (D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.类型三例3 解 (1)“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为1－12－13＝16. (2)方法一 “甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (甲不输)＝16＋12＝23. 方法二 “甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P (甲不输)＝1－13＝23，故甲不输的概率为23. 跟踪训练3 C [∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P (A )＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.]当堂训练1．C [从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件．]2．C [∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.]3.1928解析由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.4．0.10解析“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A、B、C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.5．解设乘火车去开会为事件A，乘轮船去开会为事件B，乘汽车去开会为事件C，乘飞机去开会为事件D，它们彼此互斥．(1)P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.(2)P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.。